10977

Множественная линейная регрессия

Лекция

Математика и математический анализ

Множественная линейная регрессия Обобщением линейной регрессионной модели с двумя переменными является многомерная регрессионная модель или модель множественной регрессии. Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде где вектор независим

Русский

2013-04-03

39.67 KB

115 чел.

Множественная линейная регрессия

Обобщением линейной регрессионной модели с двумя переменными является многомерная регрессионная модель (или модель множественной регрессии). Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде

где  вектор независимых (объясняющих) переменных;  вектор параметров (подлежащих определению);  случайная ошибка (отклонение);  зависимая (объясняемая) переменная.

Рассмотрим самую употребляемую и наиболее простую модель множественной регрессии – модель множественной линейной регрессии.

Теоретическое линейное уравнение регрессии имеет вид:

или для индивидуальных наблюдений

Здесь вектор размерности  неизвестных параметров.  называется j-м теоретическим коэффициентом регрессии (частичным коэффициентом регрессии). Он отражает влияние на условное математическое ожидание  зависимой переменной  объясняющей переменной  при условии, что все другие объясняющие переменные модели остаются постоянными.
свободный член, определяющий значение  в случае, когда все объясняющие переменные  равны нулю.

Если число наблюдений , то существует бесконечно много различных векторов параметров, при которых линейная формула (14.3) связи между X и Y будет выполняться абсолютно точно. Если число наблюдений , то вектор β рассчитывается единственным образом. При  возникает необходимость оптимизации, т.е. оценивания параметров  при которых формула (14.3) дает наилучшее приближение для имеющихся наблюдений.

В данном случае число  называется числом степеней свободы.

Наиболее распространенным методом оценки параметров уравнения множественной регрессии является метод наименьших квадратов (МНК).

Требования МНК

  1.  Математическое ожидание случайного отклонения  равно нулю для всех наблюдений:

  1.  Гомоскедастичность (постоянство дисперсии отклонений):

для любых наблюдений i и j.

  1.  Отсутствие автокорреляции.

Случайные отклонения  и  являются независимыми друг от друга для всех  и .

  1.  Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных.

  1.  Модель является линейной относительно параметров.

Для случая множественной линейной регрессии существенными являются еще два требования.

  1.  Отсутствие мультиколлинеарности.

Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.

  1.  Ошибки  б имеют нормальное распределение .

Выполнение данного требования важно для проверки статистических гипотез и построения интервальных оценок.

Представим выражение (14.3) в матричной форме:

Здесь  вектор-столбец значений зависимой переменной, Т – символ транспонирования, вектор-столбец (размерности m+1) неизвестных коэффициентов регрессии, вектор-столбец случайных отклонений, матрица размерности :

В этой матрице -я строка  представляет наблюдение вектора значений независимых переменных ; единица соответствует переменной при свободном члене .

Оценка коэффициентов регрессии

По аналогии с парной регрессией построим оценку  для вектора  так, чтобы вектор оценок зависимой переменной  минимально (в смысле квадрата нормы разности) отличался от вектора Y заданных значений:

Решением условия (14.5), если ранг матрицы  равен , является оценка

Нетрудно проверить, что эта оценка несмещенная. Ковариационная (дисперсионная) матрица оценки равна

𝐷[

Доказана справедливость теоремы Гаусса - Маркова.

В условиях справедливости требований МНК (п.3) оценка (14.6) является наилучшей (в смысле минимума дисперсии) оценкой в классе линейных несмещенных оценок.

Оценка дисперсии   ошибок

Обозначим

вектор остатков (или невязок);  матрица. Можно проверить, что  Для остаточной суммы квадратов  справедливо соотношение

откуда следует, что несмещенной оценкой для  является

Если справедливо требование МНК (п.7), т.е. , то справедливы следующие свойства оценок:

  1.  имеет распределение хи-квадрат  с
     степенями свободы;
  2.  оценки  и  независимы.

Как и в случае парной регрессии, справедливо соотношение:

По аналогии с (13.1) запишем

.      (14.10)

В векторном виде:

Для проверки качества уравнения множественной регрессии, как и в случае парной регрессии, воспользуемся коэффициентом детерминации:

Коэффициент  показывает качество подгонки регрессионной модели к наблюдённым значениям . Если  то регрессия  на  не улучшает качество предсказания  по сравнению с тривиальным предсказанием  Другой крайний случай  означает точную подгонку: все , т.е. все точки наблюдений лежат на регрессионной плоскости.

Однако значение  возрастает с ростом числа переменных (регрессоров) в многомерной регрессии, что не означает улучшения качества предсказания, и поэтому вводится скорректированный (adjusted) коэффициент детерминации:

Его использование более корректно для сравнения регрессий при изменении числа переменных (регрессоров).

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии

Стандартной ошибкой оценки  является величина  оценка для которой

Здесь диагональный элемент матрицы . Если ошибки распределены нормально , то, статистика

распределена по закону Стьюдента с  степенями свободы. Тогда при доверительной вероятности  соответствующий доверительный интервал вычисляется по формуле:

Проверка гипотезы о нулевых значениях коэффициентов регрессии

Для проверки гипотезы  об отсутствии какой бы то ни было линейной связи между  и совокупностью факторов,  т.е. об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при независимых переменных, кроме коэффициента , используется статистика

Статистика статистика Фишера – Снедекора при  и
степенях свободы; число оцениваемых параметров уравнения регрессии; число наблюдений. Если
, то верна гипотеза  линейная связь между зависимой и независимыми переменными отсутствует. Если , то гипотеза  отвергается и принимается альтернативная гипотеза линейная связь значима на уровне . Здесь  критическое значение критерия Фишера – Снедекора.

Замечание

Для выбора наиболее существенных объясняющих переменных можно предложить следующий практический подход. Строятся различные модели многомерной линейной регрессии (с различным набором переменных). Затем можно сравнить скорректированные коэффициенты детерминации (14.13) и принять тот вариант регрессии, для которого максимален.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39187. Комплексное исследование рынка ноутбука ROVERBOOK 580 KB
  В этой курсовой работе будут проведены исследования товара RoverBook Voager 411 его конкурентов потребителей конъюнктуры рынка будет определена емкость рынка и доля рынка исследуемого предприятия разработана маркетинговая стратегия стратегия ценообразования проведено формирование каналов сбыта и системы товародвижения разработана рекламная программа и рекламное обращение кроме того будет подсчитан бюджет реализации маркетинговой программы. Определение емкости рынка 2. Сбор и формирование исходных данных выбор метода расчета При...
39188. Материальные ресурсы организации 27.63 KB
  Понятие сырьевых и топливноэнергетических ресурсов их классификация. Факторы и направления повышения эффективности использования материальных ресурсов. Повышение эффективности использования материальных ресурсов имеет большое значение как для экономики отдельной организации так и для государства в целом. Кроме того повышение эффективности использования материальных ресурсов обеспечивает увеличение объемов производимой продукции при тех же размерах материальных затрат.
39189. Организационно-правовые формы хозяйствования организаций 52.76 KB
  Среда функционирования организации. Характерные черты организации классификация организаций. Именно в организации осуществляются производство продукции выполняются работы и услуги происходит непосредственная связь работника со средствами производства т. Право хозяйственного ведения и оперативного управления это право организации владеть пользоваться и распоряжаться имуществом собственника в пределах установленных законом.
39190. Инвестиционная деятельность организации 34.13 KB
  По экономической сути реализованные инвестиции представляют собой разовые единовременные затраты направленные на создание производственных ресурсов организации на увеличение ее реального капитала. Инвестиции вложения в активы организации. Для учета и планирования инвестиции классифицируются по различным направлениям. В зависимости от вещественного содержания: Материальные инвестиции капитальные вложения в воспроизводство основных средств.
39191. Организация технической подготовки производства. Техническая подготовка производства 17.51 KB
  Техническая подготовка производства комплекс взаимосвязанных работ по организации выпуска новых изделий или совершенствованию изготовления выпускаемых видов продукции на основе непрерывного технического процесса производства. Важнейшие задачи технической подготовки производства: обеспечить ускоренное развитие научнотехнического прогресса во всех отраслях народного хозяйства это взаимосвязанное развитие науки и техники; сократить трудоёмкость и стоимость всех работ...
39192. Организация обслуживания и обеспечения производства 60.5 KB
  Организация ремонтного хозяйства Для обеспечения надзора за техническим состоянием оборудования и своевременного проведения высококачественного ремонта на швейном предприятии организуется ремонтное хозяйство которым руководит отдел главного механика. Задачами ремонтного хозяйства являются: поддержание оборудования в рабочем состоянии и его обновление; увеличение продолжительности работы оборудования без ремонта и уменьшение затрат на ремонт; повышение качества ремонта. Одной из задач ремонтного хозяйства является предупреждение...
39195. Промышленность в хозяйственном комплексе РБ 54 KB
  Цели задачи и направления структурной перестройки промышленности республики на современном этапе. Среди отраслей сферы материального производства промышленности отводится ведущее место так как: значительная доля ВВП и национального дохода создается промышленностью; значительное число активного населения занято в промышленности; промышленность производит орудия труда используемые в других отраслях материального производства и непроизводственной сферы; уровень конкурентоспособности на внутреннем и внешнем рынках также в значительной...