10977

Множественная линейная регрессия

Лекция

Математика и математический анализ

Множественная линейная регрессия Обобщением линейной регрессионной модели с двумя переменными является многомерная регрессионная модель или модель множественной регрессии. Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде где вектор независим

Русский

2013-04-03

39.67 KB

115 чел.

Множественная линейная регрессия

Обобщением линейной регрессионной модели с двумя переменными является многомерная регрессионная модель (или модель множественной регрессии). Уравнение множественной регрессии может быть представлено в виде

где  вектор независимых (объясняющих) переменных;  вектор параметров (подлежащих определению);  случайная ошибка (отклонение);  зависимая (объясняемая) переменная.

Рассмотрим самую употребляемую и наиболее простую модель множественной регрессии – модель множественной линейной регрессии.

Теоретическое линейное уравнение регрессии имеет вид:

или для индивидуальных наблюдений

Здесь вектор размерности  неизвестных параметров.  называется j-м теоретическим коэффициентом регрессии (частичным коэффициентом регрессии). Он отражает влияние на условное математическое ожидание  зависимой переменной  объясняющей переменной  при условии, что все другие объясняющие переменные модели остаются постоянными.
свободный член, определяющий значение  в случае, когда все объясняющие переменные  равны нулю.

Если число наблюдений , то существует бесконечно много различных векторов параметров, при которых линейная формула (14.3) связи между X и Y будет выполняться абсолютно точно. Если число наблюдений , то вектор β рассчитывается единственным образом. При  возникает необходимость оптимизации, т.е. оценивания параметров  при которых формула (14.3) дает наилучшее приближение для имеющихся наблюдений.

В данном случае число  называется числом степеней свободы.

Наиболее распространенным методом оценки параметров уравнения множественной регрессии является метод наименьших квадратов (МНК).

Требования МНК

  1.  Математическое ожидание случайного отклонения  равно нулю для всех наблюдений:

  1.  Гомоскедастичность (постоянство дисперсии отклонений):

для любых наблюдений i и j.

  1.  Отсутствие автокорреляции.

Случайные отклонения  и  являются независимыми друг от друга для всех  и .

  1.  Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных.

  1.  Модель является линейной относительно параметров.

Для случая множественной линейной регрессии существенными являются еще два требования.

  1.  Отсутствие мультиколлинеарности.

Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость.

  1.  Ошибки  б имеют нормальное распределение .

Выполнение данного требования важно для проверки статистических гипотез и построения интервальных оценок.

Представим выражение (14.3) в матричной форме:

Здесь  вектор-столбец значений зависимой переменной, Т – символ транспонирования, вектор-столбец (размерности m+1) неизвестных коэффициентов регрессии, вектор-столбец случайных отклонений, матрица размерности :

В этой матрице -я строка  представляет наблюдение вектора значений независимых переменных ; единица соответствует переменной при свободном члене .

Оценка коэффициентов регрессии

По аналогии с парной регрессией построим оценку  для вектора  так, чтобы вектор оценок зависимой переменной  минимально (в смысле квадрата нормы разности) отличался от вектора Y заданных значений:

Решением условия (14.5), если ранг матрицы  равен , является оценка

Нетрудно проверить, что эта оценка несмещенная. Ковариационная (дисперсионная) матрица оценки равна

𝐷[

Доказана справедливость теоремы Гаусса - Маркова.

В условиях справедливости требований МНК (п.3) оценка (14.6) является наилучшей (в смысле минимума дисперсии) оценкой в классе линейных несмещенных оценок.

Оценка дисперсии   ошибок

Обозначим

вектор остатков (или невязок);  матрица. Можно проверить, что  Для остаточной суммы квадратов  справедливо соотношение

откуда следует, что несмещенной оценкой для  является

Если справедливо требование МНК (п.7), т.е. , то справедливы следующие свойства оценок:

  1.  имеет распределение хи-квадрат  с
     степенями свободы;
  2.  оценки  и  независимы.

Как и в случае парной регрессии, справедливо соотношение:

По аналогии с (13.1) запишем

.      (14.10)

В векторном виде:

Для проверки качества уравнения множественной регрессии, как и в случае парной регрессии, воспользуемся коэффициентом детерминации:

Коэффициент  показывает качество подгонки регрессионной модели к наблюдённым значениям . Если  то регрессия  на  не улучшает качество предсказания  по сравнению с тривиальным предсказанием  Другой крайний случай  означает точную подгонку: все , т.е. все точки наблюдений лежат на регрессионной плоскости.

Однако значение  возрастает с ростом числа переменных (регрессоров) в многомерной регрессии, что не означает улучшения качества предсказания, и поэтому вводится скорректированный (adjusted) коэффициент детерминации:

Его использование более корректно для сравнения регрессий при изменении числа переменных (регрессоров).

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии

Стандартной ошибкой оценки  является величина  оценка для которой

Здесь диагональный элемент матрицы . Если ошибки распределены нормально , то, статистика

распределена по закону Стьюдента с  степенями свободы. Тогда при доверительной вероятности  соответствующий доверительный интервал вычисляется по формуле:

Проверка гипотезы о нулевых значениях коэффициентов регрессии

Для проверки гипотезы  об отсутствии какой бы то ни было линейной связи между  и совокупностью факторов,  т.е. об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов при независимых переменных, кроме коэффициента , используется статистика

Статистика статистика Фишера – Снедекора при  и
степенях свободы; число оцениваемых параметров уравнения регрессии; число наблюдений. Если
, то верна гипотеза  линейная связь между зависимой и независимыми переменными отсутствует. Если , то гипотеза  отвергается и принимается альтернативная гипотеза линейная связь значима на уровне . Здесь  критическое значение критерия Фишера – Снедекора.

Замечание

Для выбора наиболее существенных объясняющих переменных можно предложить следующий практический подход. Строятся различные модели многомерной линейной регрессии (с различным набором переменных). Затем можно сравнить скорректированные коэффициенты детерминации (14.13) и принять тот вариант регрессии, для которого максимален.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70529. Синусоидальная развертка 157.5 KB
  Если на пластины подать напряжения совпадающие по фазе то на экране получится изображение прямой линии с наклоном 45. При сдвиге фаз в 45 или 135 на экране получится изображение эллипса большая ось которого наклонена по отношению к горизонтальной оси.
70530. Генератор развертки 25.5 KB
  Генератор развертки отключается когда переключатель входа установлен в положение ВХОД Х. Требования предъявляемые к напряжению развертки. Период развертки равен n периодам сигнала где n целое число основное условие получения устойчивого изображения.
70531. Структурная схема осциллографа 1003 KB
  Из этих сигналов в устройстве запуска формируются импульсы синхронизации с длительностью кратной периоду исследуемого сигнала запускающие генератор развертки в моменты времени соответствующие одной и той же фазе исследуемого сигнала. На вход Х может также подаваться внешний сигнал...
70532. Измерение индуктивности и добротности 127.5 KB
  Индуктивность взаимную индуктивность и добротность измеряют мостом переменного тока с произведением балансных плеч рис. Взаимную индуктивность измеряют мостом переменного тока при согласном и встречном включениях двух катушек.
70533. Измерение емкости и тангенса угла потерь 115.5 KB
  Схемы мостов переменного тока с отношением балансных плеч для измерения емкости конденсатора с малыми и большими потерями представлены на рис. 1 Рассмотрим схему для измерения емкости конденсатора с малыми потерями рис. Тангенс угла потерь для конденсатора с малыми потерями.
70535. Безопасность жизнедеятельности, ответы к экзамену 134.73 KB
  Под опасным гидрометеорологическим явлением (ОЯ) понимается явление, которое по своей интенсивности, продолжительности или времени возникновения представляет угрозу безопасности людей, а также может нанести значительный ущерб отраслям экономики.