10979

Нелинейная регрессия

Лекция

Математика и математический анализ

Нелинейная регрессия Связь между признаком и может быть нелинейной например в виде полинома: Здесь степень полинома случайная составляющая Для имеющихся данных можно записать По аналогии с 14.4 в матричной форме получим: где . Таким образом получ...

Русский

2013-04-03

192.4 KB

33 чел.

Нелинейная регрессия

Связь между признаком  и  может быть нелинейной, например, в виде полинома:

Здесь  степень полинома, случайная составляющая, 

Для имеющихся данных  можно записать

По аналогии с (14.4) в матричной форме получим:

где  .

Таким образом, получили формулы аналогичные многомерной регрессии. Слово “линейный” в названии “линейный регрессионный анализ” означает линейность относительно параметров , но не относительно факторов . Кроме полиномиальной формы широко используются, например, следующие модели:

  1.  логарифмическая; если зависимость то после логарифмирования получим:

;

  1.  гиперболическая; (при обратной зависимости, т.е. при увеличении  признак  уменьшается):

  1.  тригонометрическая:

, и многие другие.

Правильный выбор вида модели является отправной точкой для качественного ее анализа. На практике неизвестно, какая модель является верной. Поэтому зачастую подбирают такую модель, которая наиболее точно соответствует реальным данным. Учитывая, что идеальной модели не существует, попытаемся сформулировать критерии, позволяющие остановить свой выбор на качественной модели

Обычно для построения "хорошей" работоспособной модели и сравнения ее с другими возможными моделями необходимо учитывать следующие свойства (критерии).

Скупость (простота). Модель должна быть максимально простой. Это свойство обусловлено тем фактом, что модель не отражает действительность идеально, а является ее упрощением. Поэтому из двух моделей, примерно одинаково отражающих реальность, предпочтительнее та, которая содержит меньшее число объясняющих переменных.

Единственность. Для любого набора статистических данных определяемые параметры (коэффициенты) должны вычисляться однозначно.

Максимальное соответствие. Уравнение (модель) тем лучше, чем большую часть разброса зависимой переменной оно может объяснить. Поэтому стремятся построить модель с максимально возможным скорректированным коэффициентом детерминации .

Согласованность с теорией. Никакое уравнение не может быть признано качественным, если оно не соответствует известным теоретическим предпосылкам.

Прогнозные качества. Модель может быть признана качественной, если полученные на ее основе прогнозы подтверждаются реальностью.

Таким критерием прогнозных качеств оцененной модели регрессии может служить отношение:

где стандартная ошибка регрессии,  среднее значение зависимой переменной уравнения регрессии. Если величина  мала (а она определяет относительную ошибку прогноза в процентах) и отсутствует автокорреляция (критерий Дарбина – Уотсона), то прогнозные качества модели высоки.

Если уравнение регрессии используется для прогнозирования, то величина  обычно рассчитывается не для того периода (данных), на котором оценивались параметры уравнения, а для некоторого следующего за ним временного интервала, для которого известны значения зависимой объясняющей переменных.

Поскольку не существует какого либо единого правила построения регрессионных моделей, анализ перечисленных свойств и практический опыт, опирающийся на глубокие знания теории и статистического анализа, позволяют строить более качественные модели.

Рассмотрим практический пример: Как и в предыдущих задачах исследования будем проводить в пакете Statistica.

Все исходные данные сведены в таблицу.


Y

X

1

8,475

0,1

2

9,21

0,2

3

10,181

0,3

4

11,386

0,4

5

12,851

0,5

6

14,877

0,6

7

16,834

0,7

8

19,634

0,8

9

22,973

0,9

10

27,139

1

11

31,773

1,1

12

37,678

1,2

13

44,99

1,3

14

54,074

1,4

15

65,106

1,5

Вначале построим линейную зависимость (модель)

.

Заполним все опции стартового диалогового окна Multiple Regressions и выполним анализ. Проанализируем параметры модели и ее качество (рис.1).

Рис.1. Основные результаты регрессионного анализа

Построенная модель имеет вид: Это уравнение объясняет 87.9% () вариации зависимой переменной , скорректированный коэффициент детерминации равен . Что касается качества модели, то линейная зависимость существенна ( Относительно коэффициентов уравнения – выводы неоднозначны: свободный член уравнения  незначимо отличается от нуля, а коэффициент  значимо отличен от нуля. При подробном анализе модели необходимо тщательно проанализировать остатки (графически и аналитически). Мы же ограничимся только графиком, на котором представлены предсказанные данные (сплошная линия) и исходные данные (рис.2).

Рис. 2. Сравнение исходных данных с результатами линейной модели

Анализ графика исходных данных свидетельствует об их нелинейной зависимости. Выскажем предположение, что искомая функциональная зависимость имеет экспоненциальный вид:

Для получения уравнения экспоненциальной регрессии воспользуемся пунктом Exponential growth regression в меню Statistics  Advanced Linear/Nonlinear Models (см. рис.3.)

Рис. 3. Модуль экспоненциальной зависимости

Выбрав зависимую и независимую переменные, перейдем к настройкам проведения регрессионного анализа (рис.4). Выберем квази-ньютоновский метод для вычисления параметров модели. Квази-ньютоновский метод вычисляет значения функции в различных точках для оценивания первой (тангенс угла наклона графика функции в конкретной точке) и второй (скорость изменения угла наклона) производной, используя эти данные для определения направления изменения параметров и минимизации функции потерь. Кроме метода вычислений укажем максимальное число итераций и критерий сходимости.

Рис.4. Выбор метода оценки коэффициентов экспоненциальной регрессии

Проведем регрессионный анализ, для чего нажимаем «ОК».

Для получения полной информации о коэффициентах регрессионного уравнения выбираем пункт и получим результат (рис. 5).

Рис.5. Значения коэффициентов экспоненциальной модели.

Построенная модель имеет вид:

О качестве модели можно судить хотя бы по тому, что она описывает 99.996 % зависимой переменной. При проведении исследований часто полезным бывает использование диаграммы рассеяния наблюдаемых и предсказанных значений - (рис.6). Вспомним, что для линейной модели аналогичные результаты приведены на рис. 2.

Рис. 6. Сравнение исходных данных с результатами экспоненциальной модели

Как свидетельствует построенный график, предложенная экспоненциальная модель идеально описывает исходные данные (все исходные точки легли на теоретическую кривую).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11221. Фонетическое слово, синтагма, фраза, фоноабзац, текст. СЛОГ 93.5 KB
  Лекция 9 Фонетическое слово синтагма фраза фоноабзац текст. СЛОГ На предыдущей лекции мы выяснили что слог представляет собой симбиозную фонетикофонологическую единицу. Просодические единицы такие как например ударение и тон влияют в большей степени на сло
11222. Фоностилистическая дифференциация речи. Предмет и задачи фоностилистики 121 KB
  ЛЕКЦИЯ 14. Фоностилистическая дифференциация речи. Предмет и задачи фоностилистики. Как мы убедились в предыдущих лекциях произношение не может быть однородным. Оно меняется под воздействием многочисленных факторов. Поскольку эти факторы никак не влияют на переда...
11223. Discuss different opinions of the threat of population growth on our planet 24 KB
  Discuss different opinions of the threat of population growth on our planet. From the very start I want to admit that population growth as well as other global problems in the world is an urgent one. For decades the population explosion has been giving people nightmares. The world’s population increases by 3 every second and by a billion – every decade. With figures such as these the gloom is understandable. There school of thought that the battle to feed all the humanity is over....
11224. Talk about the problems a newly-independent state is confronted with 23.5 KB
  Talk about the problems a newlyindependent state is confronted with. Chinese people say that the worst thing is to live in the time of changes. With the rich choice of possible way of further development comes a bunch of problems as well. It’s especially true for newlyindependent states. I’d like to illustrate this on the example of Samoa. For centuries time stood still in Samoa. The people worked at banana plantations and respected the customs that the family chiefs presented abso...
11225. Talk on how parents feel about their children travelling on their own for the first time 23.5 KB
  Talk on how parents feel about their children travelling on their own for the first time. It goes without saying that parents is always get worried when their children go abroad to visit new places and get to know other ways of living. Without any doubt traveling is necessary for all of us as it broadens our minds and horizons it’s kind of relaxation and a wonderful opportunity to get away from it all. When children go on a journey they relax their body refresh their spirits and renew ...
11226. Talk about stereotyped ideas that people may have about the way of life in oyher countries 24.5 KB
  Talk about stereotyped ideas that people may have about the way of life in oyher countries. Nobody wants to be average. So generalizations about nations aren’t usually welcomed though sometimes they are quiet accurate. The dangers may go even deeper when someone tries to generalize from his own limited experience. The Americans for instance are the nation about which numerous stereotyped ideas exist. They are created as a rule by the people who have never been to the USA but n...
11227. Talk about madame tussaud’s as one of london’s famous museums 24.5 KB
  Talk about madame tussaud’s as one of london’s famous museums. It often comes as a shock for Londoners that Madame Tussaud’s museum is one of the capital top tourist attractions. Many find it gruesome and frightening. Others maintain that its collection of wax statues has no artistic merit. Yes despite this criticism Madam Tussauds has become a world famous. Millions of tourists from overseas and from other parts of Britain wouldn’t consider their trip to the capital worthwhile with...
11228. TAIK ABOUT HOLYWOOD AND THE EPICS PRODUCED THERE IN THE 1930S AND 1940S 23.5 KB
  TAIK ABOUT HOLYWOOD AND THE EPICS PRODUCED THERE IN THE 1930S AND 1940S. Nowadays for million if people there’s nothing better than watching a good film and the vast majority of films are produced in Hollywood. But what we really know about this really know about this greatstar factory To tell the truth everything we read about the great days of Hollywood in the 30’s and 40’s seems like exaggeration. The studious always said their film were superb and colossal because vast s...