10979

Нелинейная регрессия

Лекция

Математика и математический анализ

Нелинейная регрессия Связь между признаком и может быть нелинейной например в виде полинома: Здесь степень полинома случайная составляющая Для имеющихся данных можно записать По аналогии с 14.4 в матричной форме получим: где . Таким образом получ...

Русский

2013-04-03

192.4 KB

33 чел.

Нелинейная регрессия

Связь между признаком  и  может быть нелинейной, например, в виде полинома:

Здесь  степень полинома, случайная составляющая, 

Для имеющихся данных  можно записать

По аналогии с (14.4) в матричной форме получим:

где  .

Таким образом, получили формулы аналогичные многомерной регрессии. Слово “линейный” в названии “линейный регрессионный анализ” означает линейность относительно параметров , но не относительно факторов . Кроме полиномиальной формы широко используются, например, следующие модели:

  1.  логарифмическая; если зависимость то после логарифмирования получим:

;

  1.  гиперболическая; (при обратной зависимости, т.е. при увеличении  признак  уменьшается):

  1.  тригонометрическая:

, и многие другие.

Правильный выбор вида модели является отправной точкой для качественного ее анализа. На практике неизвестно, какая модель является верной. Поэтому зачастую подбирают такую модель, которая наиболее точно соответствует реальным данным. Учитывая, что идеальной модели не существует, попытаемся сформулировать критерии, позволяющие остановить свой выбор на качественной модели

Обычно для построения "хорошей" работоспособной модели и сравнения ее с другими возможными моделями необходимо учитывать следующие свойства (критерии).

Скупость (простота). Модель должна быть максимально простой. Это свойство обусловлено тем фактом, что модель не отражает действительность идеально, а является ее упрощением. Поэтому из двух моделей, примерно одинаково отражающих реальность, предпочтительнее та, которая содержит меньшее число объясняющих переменных.

Единственность. Для любого набора статистических данных определяемые параметры (коэффициенты) должны вычисляться однозначно.

Максимальное соответствие. Уравнение (модель) тем лучше, чем большую часть разброса зависимой переменной оно может объяснить. Поэтому стремятся построить модель с максимально возможным скорректированным коэффициентом детерминации .

Согласованность с теорией. Никакое уравнение не может быть признано качественным, если оно не соответствует известным теоретическим предпосылкам.

Прогнозные качества. Модель может быть признана качественной, если полученные на ее основе прогнозы подтверждаются реальностью.

Таким критерием прогнозных качеств оцененной модели регрессии может служить отношение:

где стандартная ошибка регрессии,  среднее значение зависимой переменной уравнения регрессии. Если величина  мала (а она определяет относительную ошибку прогноза в процентах) и отсутствует автокорреляция (критерий Дарбина – Уотсона), то прогнозные качества модели высоки.

Если уравнение регрессии используется для прогнозирования, то величина  обычно рассчитывается не для того периода (данных), на котором оценивались параметры уравнения, а для некоторого следующего за ним временного интервала, для которого известны значения зависимой объясняющей переменных.

Поскольку не существует какого либо единого правила построения регрессионных моделей, анализ перечисленных свойств и практический опыт, опирающийся на глубокие знания теории и статистического анализа, позволяют строить более качественные модели.

Рассмотрим практический пример: Как и в предыдущих задачах исследования будем проводить в пакете Statistica.

Все исходные данные сведены в таблицу.


Y

X

1

8,475

0,1

2

9,21

0,2

3

10,181

0,3

4

11,386

0,4

5

12,851

0,5

6

14,877

0,6

7

16,834

0,7

8

19,634

0,8

9

22,973

0,9

10

27,139

1

11

31,773

1,1

12

37,678

1,2

13

44,99

1,3

14

54,074

1,4

15

65,106

1,5

Вначале построим линейную зависимость (модель)

.

Заполним все опции стартового диалогового окна Multiple Regressions и выполним анализ. Проанализируем параметры модели и ее качество (рис.1).

Рис.1. Основные результаты регрессионного анализа

Построенная модель имеет вид: Это уравнение объясняет 87.9% () вариации зависимой переменной , скорректированный коэффициент детерминации равен . Что касается качества модели, то линейная зависимость существенна ( Относительно коэффициентов уравнения – выводы неоднозначны: свободный член уравнения  незначимо отличается от нуля, а коэффициент  значимо отличен от нуля. При подробном анализе модели необходимо тщательно проанализировать остатки (графически и аналитически). Мы же ограничимся только графиком, на котором представлены предсказанные данные (сплошная линия) и исходные данные (рис.2).

Рис. 2. Сравнение исходных данных с результатами линейной модели

Анализ графика исходных данных свидетельствует об их нелинейной зависимости. Выскажем предположение, что искомая функциональная зависимость имеет экспоненциальный вид:

Для получения уравнения экспоненциальной регрессии воспользуемся пунктом Exponential growth regression в меню Statistics  Advanced Linear/Nonlinear Models (см. рис.3.)

Рис. 3. Модуль экспоненциальной зависимости

Выбрав зависимую и независимую переменные, перейдем к настройкам проведения регрессионного анализа (рис.4). Выберем квази-ньютоновский метод для вычисления параметров модели. Квази-ньютоновский метод вычисляет значения функции в различных точках для оценивания первой (тангенс угла наклона графика функции в конкретной точке) и второй (скорость изменения угла наклона) производной, используя эти данные для определения направления изменения параметров и минимизации функции потерь. Кроме метода вычислений укажем максимальное число итераций и критерий сходимости.

Рис.4. Выбор метода оценки коэффициентов экспоненциальной регрессии

Проведем регрессионный анализ, для чего нажимаем «ОК».

Для получения полной информации о коэффициентах регрессионного уравнения выбираем пункт и получим результат (рис. 5).

Рис.5. Значения коэффициентов экспоненциальной модели.

Построенная модель имеет вид:

О качестве модели можно судить хотя бы по тому, что она описывает 99.996 % зависимой переменной. При проведении исследований часто полезным бывает использование диаграммы рассеяния наблюдаемых и предсказанных значений - (рис.6). Вспомним, что для линейной модели аналогичные результаты приведены на рис. 2.

Рис. 6. Сравнение исходных данных с результатами экспоненциальной модели

Как свидетельствует построенный график, предложенная экспоненциальная модель идеально описывает исходные данные (все исходные точки легли на теоретическую кривую).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74164. Исследование освещенности рабочих мест 26.64 KB
  Цель работы: Изучить принцип нормирования естественного совмещенного и искусственного рабочего освещения освоить методы измерения и оценки освещенности в рабочей зоне ознакомиться с основными методами расчёта общего и местного искусственного освещения. Исходные данные: Вариант: 7 Наименование производственного помещения: дом связи Характеристика зрительной работы по степени точности...
74166. Состав пород раннего палеозоя платформ и складчатых областей 3.29 KB
  Состав пород раннего палеозоя платформ и складчатых областей. В начале раннего палеозоя платформы северного полушария испытывали опускания и на больших площадях были покрыты морскими водами. Опускания сменились медленными поднятиями которые в конце раннего палеозоя привели к почти полному осушению всех древних платформ....
74167. ОРГАНИЧЕСКИЙ МИР ПОЗДНЕГО ПАЛЕОЗОЯ 137.98 KB
  Численность многих групп морских животных уменьшилась плеченогие мшанки морские ежи офиуры аммоноидии наутилусы остракоды губки фораминиферы как и их разнообразие вплоть до полного вымирания целых классов трилобиты эвриптериды бластоидеи палеозойские группы морских лилий тетракораллы. В этот период вымерло 96 всех морских видов и 70 наземных видов позвоночных.
74168. Органический мир мезозоя 12.01 KB
  Органический мир мезозоя В мезозое вымирают гигантские папоротники древесные хвощи плауны. В юрском периоде вымирают семенные папоротники и появляются первые покрытосеменные растения тогда представленные только древесными формами постепенно распространившиеся на все материки. Вымирают растительноядные за ними хищные динозавры. В морях вымирают многие формы беспозвоночных и морские ящеры.
74169. Суть Теории Большого Взрыва 13.4 KB
  Суть Теории Большого Взрыва Теория Большого взрыва строится на том что материя и энергия из которых состоит все сущее но Вселенной ранее находились в сингулярном состоянии т. Изначально теория Большого взрыва носила название динамическая эволюционирующая модель. На данный момент теория Большого взрыва разработана настолько хорошо что ученые берутся описать процессы которые начали происходить во Вселенной через 10 43 с после Большого взрыва. Существует несколько доказательств теории Большого взрыва одним из которых является реликтовое...
74171. Области байкальской складчатости (образованы в среднем и позднем протерозое) 11.61 KB
  Области байкальской складчатости образованы в среднем и позднем протерозое: БайкалоЕнисейская СевероТаймырская ТиманоПечорская БайкалоЕнисейская складчатая область объединяет с востока на запад Байкальскую ВосточноСаянскую и Енисейскую области складчатости. На востоке граничит с Алданским щитом на северозападе с ЗападноСибирской платформой. СевероТаймырская складчатая область включает север полуострова Таймыр и острова Северная Земля. ТиманоПечорская складчатая область включает крайний северовосток европейской России.
74172. Эпигерцинские платформы (плиты) РФ и сопредельных территорий (название, расположение) 1.14 MB
  С юга Туранская плита ограничена молодыми горными сооружениями Копет-Дага и альпийским предгорным прогибом, а с юго-востока - глыбово-складчатыми структурами эпиплатформенного подвижного пояса Средней Азии.