10979

Нелинейная регрессия

Лекция

Математика и математический анализ

Нелинейная регрессия Связь между признаком и может быть нелинейной например в виде полинома: Здесь степень полинома случайная составляющая Для имеющихся данных можно записать По аналогии с 14.4 в матричной форме получим: где . Таким образом получ...

Русский

2013-04-03

192.4 KB

33 чел.

Нелинейная регрессия

Связь между признаком  и  может быть нелинейной, например, в виде полинома:

Здесь  степень полинома, случайная составляющая, 

Для имеющихся данных  можно записать

По аналогии с (14.4) в матричной форме получим:

где  .

Таким образом, получили формулы аналогичные многомерной регрессии. Слово “линейный” в названии “линейный регрессионный анализ” означает линейность относительно параметров , но не относительно факторов . Кроме полиномиальной формы широко используются, например, следующие модели:

  1.  логарифмическая; если зависимость то после логарифмирования получим:

;

  1.  гиперболическая; (при обратной зависимости, т.е. при увеличении  признак  уменьшается):

  1.  тригонометрическая:

, и многие другие.

Правильный выбор вида модели является отправной точкой для качественного ее анализа. На практике неизвестно, какая модель является верной. Поэтому зачастую подбирают такую модель, которая наиболее точно соответствует реальным данным. Учитывая, что идеальной модели не существует, попытаемся сформулировать критерии, позволяющие остановить свой выбор на качественной модели

Обычно для построения "хорошей" работоспособной модели и сравнения ее с другими возможными моделями необходимо учитывать следующие свойства (критерии).

Скупость (простота). Модель должна быть максимально простой. Это свойство обусловлено тем фактом, что модель не отражает действительность идеально, а является ее упрощением. Поэтому из двух моделей, примерно одинаково отражающих реальность, предпочтительнее та, которая содержит меньшее число объясняющих переменных.

Единственность. Для любого набора статистических данных определяемые параметры (коэффициенты) должны вычисляться однозначно.

Максимальное соответствие. Уравнение (модель) тем лучше, чем большую часть разброса зависимой переменной оно может объяснить. Поэтому стремятся построить модель с максимально возможным скорректированным коэффициентом детерминации .

Согласованность с теорией. Никакое уравнение не может быть признано качественным, если оно не соответствует известным теоретическим предпосылкам.

Прогнозные качества. Модель может быть признана качественной, если полученные на ее основе прогнозы подтверждаются реальностью.

Таким критерием прогнозных качеств оцененной модели регрессии может служить отношение:

где стандартная ошибка регрессии,  среднее значение зависимой переменной уравнения регрессии. Если величина  мала (а она определяет относительную ошибку прогноза в процентах) и отсутствует автокорреляция (критерий Дарбина – Уотсона), то прогнозные качества модели высоки.

Если уравнение регрессии используется для прогнозирования, то величина  обычно рассчитывается не для того периода (данных), на котором оценивались параметры уравнения, а для некоторого следующего за ним временного интервала, для которого известны значения зависимой объясняющей переменных.

Поскольку не существует какого либо единого правила построения регрессионных моделей, анализ перечисленных свойств и практический опыт, опирающийся на глубокие знания теории и статистического анализа, позволяют строить более качественные модели.

Рассмотрим практический пример: Как и в предыдущих задачах исследования будем проводить в пакете Statistica.

Все исходные данные сведены в таблицу.


Y

X

1

8,475

0,1

2

9,21

0,2

3

10,181

0,3

4

11,386

0,4

5

12,851

0,5

6

14,877

0,6

7

16,834

0,7

8

19,634

0,8

9

22,973

0,9

10

27,139

1

11

31,773

1,1

12

37,678

1,2

13

44,99

1,3

14

54,074

1,4

15

65,106

1,5

Вначале построим линейную зависимость (модель)

.

Заполним все опции стартового диалогового окна Multiple Regressions и выполним анализ. Проанализируем параметры модели и ее качество (рис.1).

Рис.1. Основные результаты регрессионного анализа

Построенная модель имеет вид: Это уравнение объясняет 87.9% () вариации зависимой переменной , скорректированный коэффициент детерминации равен . Что касается качества модели, то линейная зависимость существенна ( Относительно коэффициентов уравнения – выводы неоднозначны: свободный член уравнения  незначимо отличается от нуля, а коэффициент  значимо отличен от нуля. При подробном анализе модели необходимо тщательно проанализировать остатки (графически и аналитически). Мы же ограничимся только графиком, на котором представлены предсказанные данные (сплошная линия) и исходные данные (рис.2).

Рис. 2. Сравнение исходных данных с результатами линейной модели

Анализ графика исходных данных свидетельствует об их нелинейной зависимости. Выскажем предположение, что искомая функциональная зависимость имеет экспоненциальный вид:

Для получения уравнения экспоненциальной регрессии воспользуемся пунктом Exponential growth regression в меню Statistics  Advanced Linear/Nonlinear Models (см. рис.3.)

Рис. 3. Модуль экспоненциальной зависимости

Выбрав зависимую и независимую переменные, перейдем к настройкам проведения регрессионного анализа (рис.4). Выберем квази-ньютоновский метод для вычисления параметров модели. Квази-ньютоновский метод вычисляет значения функции в различных точках для оценивания первой (тангенс угла наклона графика функции в конкретной точке) и второй (скорость изменения угла наклона) производной, используя эти данные для определения направления изменения параметров и минимизации функции потерь. Кроме метода вычислений укажем максимальное число итераций и критерий сходимости.

Рис.4. Выбор метода оценки коэффициентов экспоненциальной регрессии

Проведем регрессионный анализ, для чего нажимаем «ОК».

Для получения полной информации о коэффициентах регрессионного уравнения выбираем пункт и получим результат (рис. 5).

Рис.5. Значения коэффициентов экспоненциальной модели.

Построенная модель имеет вид:

О качестве модели можно судить хотя бы по тому, что она описывает 99.996 % зависимой переменной. При проведении исследований часто полезным бывает использование диаграммы рассеяния наблюдаемых и предсказанных значений - (рис.6). Вспомним, что для линейной модели аналогичные результаты приведены на рис. 2.

Рис. 6. Сравнение исходных данных с результатами экспоненциальной модели

Как свидетельствует построенный график, предложенная экспоненциальная модель идеально описывает исходные данные (все исходные точки легли на теоретическую кривую).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60210. Мати-берегиня нашого життя йшла у бій не заради слави 358 KB
  Мета: на основі дослідження архівних документів численних публікацій презентувати колективний проект з гендерної рівності Матиберегиня нашого життя йшла у бій не заради слави; показати героїчну велич Берегині нашого життя в роки...
60211. Сценарій свята «Ой, на Івана, та й на Купайла» 114.5 KB
  На Івана Купайла дівчата плетуть віночки вставляють в них запалені свічки і пускають їх на воду. У день свята дівчата збирають польові квіти лікарські рослини зібравшись на березі ставу плетуть віночки прикрашають Ївайло зеленню квітами стрічками достиглими вишнями зв’язаними...
60214. Овочева країна 70.5 KB
  На дошці напис Овочева країна мультимедійна презентація матеріали для конкурсів Слайд №2 Дивина така в природі: У бабусі на городі Різні овочі ростуть Розповзаються цвітуть. Виростила я чудові овочі.
60215. Свято «Прощавай, Букварику!» 119 KB
  На уроках читання ми познайомилися із казкою Муха – Цокотуха і від нас тобі а також всім нашим батькам і гостям які завітали до нас на свято в дарунок ця казка. Мелодія Приходи Казка Муха Цокотуха Автор: Ось на воліпід дубком жила Муха під листком.
60216. Інтегрований виховний захід: «Країна чаю» 687 KB
  Мета: розширити знання учнів про чай історію його виникнення територію поширення та цілющі властивості ознайомити учнів з китайською та британською технологіями заварювання чаю поєднати знання учнів з ряду предметів історії географії...
60217. Математическое детективное агентство 139 KB
  Ведущие: Шерлок Холмс и доктор Ватсон. Звучит музыкальная заставка из х ф Шерлок Холмс и др Ватсон. Ватсон: Добрый день Холмс Шерлок Холмс: Добрый день Ватсон Ватсон: Вы просматривали утренние газеты Опять громкое дело...
60218. Здорові діти – здорове майбутнє 96.5 KB
  Кожна правильна відповідь кожне правильно виконане завдання будуть робити наших гостей чистішими та здоровішими. годинник Завдання: Режим дня кожна команда отримує набір карток з написами сніданок обід вечеря прогулянка...