10980

Факторный анализ. Задача однофакторного анализа

Лекция

Математика и математический анализ

Факторный анализ Ранее была рассмотрена проверка значимости различия выборочных средних двух совокупностей. На практике часто возникает необходимость обобщения задачи т.е. проверки существенности различия выборочных средних совокупностей . Например требуется оцен

Русский

2013-04-03

89.48 KB

18 чел.

Факторный анализ

Ранее была рассмотрена проверка значимости различия выборочных средних двух совокупностей. На практике часто возникает необходимость обобщения задачи, т.е. проверки существенности различия выборочных средних совокупностей . Например, требуется оценить влияние различных режимов плавок на механические свойства металла, свойств сырья на показатели качества продукции, количества вносимых удобрений на урожайность и т.п.

Для эффективного решения таких задач нужен новый подход, который реализуется в рамках теории ранговых критериев и в дисперсионном анализе.

Ранговые критерии (непараметрические критерии) – предназначены, в первую очередь, для задач проверки согласия и сравнения двух  и более выборок.

Ранговые критерии применяются не только при отсутствии информации о виде распределения, но и тогда, когда наблюдения могут быть только упорядочены, как это часто бывает с социологии, медицине и т.п.

Дисперсионный анализэто статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента, а также для последующего планирования аналогичных экспериментов.

Первоначально (1918 г.) дисперсионный анализ был разработан английским математиком – статистиком Р.А. Фишером. По числу факторов, влияние которых исследуется, различают однофакторный и многофакторный анализ.

Задача однофакторного анализа

При исследовании зависимостей одной из наиболее простых является ситуация, когда можно указать только один фактор, влияющий на конечный результат, и этот фактор может принимать лишь конечное число значений (уровней). Такие задачи, называемые задачами однофакторного анализа, весьма часто встречаются на практике. Типичный пример задач однофакторного анализа – сравнение по достигаемым результатам нескольких различных способов действия, направленных на достижение одной цели, скажем, нескольких школьных учебников или нескольких лекарств.

Терминология

Фактором (факторами) называют то, что, как мы считаем, должно оказывать влияние на конечный результат. В приведенных выше примерах факторами являются понятия "школьный учебник" или "лекарство".

Уровень фактора или способ обработкиэто конкретная реализация фактора (например, определённый школьный учебник, или выбранное лекарство).

Откликом часто называют значения измеряемого признака (т.е. величину результата).

Для сравнения влияния фактора (факторов) на результат необходим определённый статистический материал. Обычно его получают следующим образом: каждый из способов обработки применяют несколько раз (не обязательно одно и то же число раз) к исследуемому объекту и регистрируют отклик (результат). Итогом подобных испытаний являются выборок, вообще говоря, разных объемов. В зависимости от количества влияющих факторов (в нашем случае один фактор), говорят, что данные сведены в таблицу, с одним, двумя и т. д. входами.

Таблица 1  

Уровни фактора

1

2

3

...

Отклики (результаты измерений)

...

...

Здесь объёмы выборок при соответствующем уровне фактора, общее число наблюдений.

Прежде, чем судить о количественном влиянии фактора на измеряемый признак, полезно вначале решить, а есть ли такое влияние вообще. Нельзя ли объяснить расхождение наблюденных значений в опыте для различных уровней факторов действием чистой случайности? Ведь присущая исследуемому явлению внутренняя изменчивость уже привела к тому, что результаты оказываются различными даже при неизменном значении фактора (т.е. в табл. 1 значения в одном столбце различны). Может той же причиной (изменчивость, случайность) можно объяснить и различие между столбцами?

Выдвинем статистическое предположение – все данные принадлежат одному и тому же распределению. Это предположение называется нулевой гипотезой . Если она считается справедливой, то анализ закончен. В противном случае возникает задача оценки величины эффектов обработки и выяснения качества полученных оценок.

РАНГОВЫЙ ОДНОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Если ничего не известно о распределении неизвестных, то использовать для проверки гипотезы количественные наблюдения становится затруднительно. В этих случаях проще основывать свои выводы на отношениях "больше – меньше" между наблюдениями, т.к. они не зависят от вида распределения. Теперь вся информация, включенная в табл. 1, содержится в тех рангах, что, получают числа при  упорядочении всей совокупности (направление упорядочивания minmax, или maxmin – не существенно).

Тогда таблица 1 преобразуется в таблицу 2:

Таблица 2  

Обработки (Уровни фактора)

1

2

3

...

Ранги результатов измерений

...

...

Критерий Краскела – Уоллиса

Заменим все наблюдения их рангами , упорядочивая всю совокупность в порядке возрастания. Затем для каждой обработки (фактора) вычисляем:

и    (17.1)

это средний ранг по столбцу. Если по столбцам нет систематических различий, средние ранги не должны значительно отличатся от среднего ранга, рассчитанного по всей совокупности . Ясно, что последний равен . Поэтому величины при в совокупности должны быть небольшими. В качестве оценки меры отступления от чистой случайности и для учета различия в числе наблюдений для разных обработок предложена статистика Краскела – Уоллеса:

 (17.2)

Статистика имеет распределение с степенями свободы.

Замечание: Если в измерениях много совпадающих значений, то используется модифицированная статистика

Здесь число групп, совпадающих наблюдений,  число совпадающих наблюдений в группе с номером

Критерий Кронкхиера
(альтернативы с упорядочиванием)

Нередко известно, что имеющиеся группы результатов упорядочены по возрастанию (убыванию) влияния фактора. Пусть для определённости, первый столбец соответствует min фактору (см. табл. 2), а последний – max. В таких случаях можно использовать статистику Джонкхиера, более чувствительную (более мощную) против альтернатив об упорядоченном влиянии фактора. Разумеется, против других альтернатив свойства этого критерия могут оказаться хуже свойств критерия Краскела – Уоллиса.

Статистика Джонкхиера

Для простоты сначала рассмотрим статистику этого критерия в случае, когда сравниваются только 2 способа обработки (два уровня фактора). Тогда в нашей таблице (см. выше) будет всего два столбца. Фактически здесь идет речь о проверке однородности двух выборок. Вспомним, что для решения этой задачи используется статистика Манна – Уитни. А именно, пусть имеются две выборки: и  .

Положим:

   (17.4)

Статистика Манна – Уитни это:

    (17.5)

Теперь, в случае, когда сравниваются способов обработки (уровней), поступим следующим образом. Для каждой пары чисел и , где , составляем по выборкам с номерами и статистику
Манна – Уитни:

   (17.6)

Определим статистику Джонкхиера как

     (17.7)

Свидетельством в пользу альтернативы упорядоченности эффектов (против гипотезы однородности) служат большие значения статистики , полученные в эксперименте.

Статистика – табулирована для малых выборок с небольшим значением . Для больших выборок в отношении действует нормальная аппроксимация:

,  где и соответственно равны:

     (17.8)

 (17.9)

Свидетельством против гипотезы однородности служат большие (сравнительно с процентными точками нормального распределения) значения статистики .

Замечание  В результате проверки рангового критерия (критериев) можно однозначно (статистически) решить, если верна гипотеза , то влияние фактора не значимо и на этом однофакторный анализ закончен. Если же верна альтернативная гипотеза влияние фактора значительное, то хотелось бы продолжить однофакторный анализ и перейти от качественной оценки к количественной.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27116. Жизненный Цикл Товара 84.5 KB
  Наиболее рациональным с точки зрения задач маркетинга является рассмотрение жизненного цикла формы товара фотокопировальные установки карманные калькуляторы и т. На ее основе можно получить прогноз изменений темпов роста продаж товара размеров прибыли а так же ожидаемое время изменения поведения конкурентов и покупателей. Жизненный цикл товаров можно разделить на несколько основных этапов: Этап выведения товара на рынок Характеризуется очень высокой степенью неопределенности результатов поскольку заранее трудно определить будет ли иметь...
27117. Оценка стратегической зоны хозяйствования (бизнеса) на основе матрицы Бостонской Консультативной Группы 18.85 KB
  Для оценки конкурентоспособности отдельных видов бизнеса в матрице БКГ используются два критерия: темп роста отраслевого рынка; относительная доля рынка. Темп роста рынка определяется как средневзвешенное значение темпов роста различных сегментов рынка в которых действует предприятие или принимается равным темпу роста валового национального продукта. Относительная доля рынка определяется делением доли рынка рассматриваемого бизнеса на долю рынка крупнейшего конкурента.Значение доли рынка равное 1 отделяет продукты рыночные лидеры от...
27118. Модель Портера 22.25 KB
  Данная модель позволяет определить на сколько привлекательна та или иная отрасль для компании. При помощи этой модели выявляют основные потенциальные проблемы и угрозы с которыми может столкнуться компания в отрасли кроме этого проводя анализ на основе модели можно выявить конкурентное преимущество компании. Майкл Портер выделил 5 сил факторов которые оказывают влияние на компанию в отрасли на ее прибыль: новые конкуренты новые игроки на рынке; существующие конкуренты; компании предлагающие продуктызаменители; влияние...
27119. Реклама 18.78 KB
  Отсюда следуют главные функции рекламы: создание и поддержание положительного имиджа передача информации в виде подачи знаний о свойствах товара. Виды рекламы вид рекламы зависит от выбора целевого рынка стратегии маркетинга и маркетингамикс и состояния спроса на рынке : 1. Часть увещевательных объявлений смещается в категорию сравнительной рекламы в ходе которой утверждается преимущества одной марки по сравнению с другой. Цель рекламы: создание имиджа и достаточной известности привлечение потребителей реакция на действия конкурентов...
27120. Сегментация рынка 33.5 KB
  Процесс сегментации имеет для фирмы стратегическое значение поскольку приводит к определению области ее деятельности и выделению ключевых факторов успеха на избранных рынках а следовательно оптимизирует удешевляет всю ее производственную и коммерческую деятельность. Преимущества получаемые фирмой от сегментации: Эффективное удовлетворение потребностей; Высокая прибыль повышаются средние цены для отдельных категорий потребителей; Возможность роста Постоянные потребители Целенаправленная...
27121. Подходы к менеджменту: системный, ситуационный, процессный 27.98 KB
  В системном подходе подчеркивается что руководители должны рассматривать организацию как совокупность взаимосвязанных элементов таких как люди структура задачи и технология которые ориентированы на достижение различных целей в условиях меняющейся внешней среды. Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы ее действия относительно независимы от среды окружающей системы. На входе организация получает от окружающей среды информацию капитал человеческие ресурсы и материалы. Внутрифирменное управление и управление фирмой как...
27122. Теория иерархии потребностей А.Маслоу 35.34 KB
  Маслоу предположил что все потребности человека врожденные или инстинктоидные и что они организованы в иерархическую систему приоритета или доминирования. Физиологические потребности являются необходимыми для выживания. Они включают в себя потребности в еде воде убежище отдыхе и сексуальные потребности. Потребности в безопасности и уверенности в будущем включают потребности в защите от физических и моральных опасностей со стороны окружающей среды и уверенность в том что физиологические потребности будут удовлетворены в будущем.
27123. Сбытовая политика 27.98 KB
  Сервис предоставление услуг Основные функции сбыта это: коммерческие содействуют куплепродаже товара и осуществлению передачи прав собственности: установление контакта действия по передаче товара оформлению заказов организации платёжнорасчетных операций передаче прав собственности на товар; информирование сбор информации о покупателях конкурентах о рынке в целом информирование потребителя о товаре и фирме.; складирование и хранение продукции Посредники выполняют функции сбыта с меньшими издержками т. Канал распределения...
27124. Анализ достоинств и недостатков структур управления позволяет найти критерии их оптимального использования 38.42 KB
  Область применения функциональной структуры это однопродуктовые предприятия; предприятия реализующие сложные и длительные инновационные проекты; средние узкоспециализированные предприятия; научноисследовательские и проектноконструкторские организации; крупные специализированные предприятия табл. Дивизиональная оргструктура Область применения это многопрофильные предприятия; предприятия с расположением в различных регионах; предприятия осуществляющие сложные инновационные проекты. Таким образом каждая из структур имеет ряд достоинств и...