10981

Однофакторный дисперсионный анализ

Лекция

Математика и математический анализ

Однофакторный дисперсионный анализ Для описания данных в большинстве случаев оказывается приемлема аддитивная модель. Она предполагает что значение отклика можно представить в виде суммы вклада воздействия фактора и независимой от вкладов факторов случайной велич...

Русский

2013-04-03

136.3 KB

22 чел.

Однофакторный дисперсионный анализ

Для описания данных в большинстве случаев оказывается приемлема аддитивная модель. Она предполагает, что значение отклика можно представить в виде суммы вклада (воздействия) фактора и независимой от вкладов факторов случайной величины. Иначе говоря, каждое наблюдение является суммой вида:

  (18.1)

Здесь неизвестные неслучайные величины, являющиеся результатом действия соответствующих обработок; независимые одинаково распределённые случайные величины, отражающие внутреннюю, присущую наблюдениям, изменчивость.

Если в рассматриваемой модели известно, что величины , то это позволяет использовать в модели однофакторного анализа более сильные методы, как для проверки гипотез, так и для оценки параметров. Совокупность этих методов носит название однофакторного дисперсионного анализа.

Это название связано с тем, что анализ модели (18.1) основан на сопоставлении двух оценок дисперсий . Одна из них действует вне зависимости от того, верна или нет гипотезы . Другая оценка существенно использует это предположение, она дает близкий к результат, только в том случае, если гипотеза верна. Сопоставляя эти две оценки, мы можем заключить, что следует отвергнуть, если дисперсии оказываются заметно (значимо) различны.

Т.к. каждая однородная группа (столбец) дает оценку , то для каждого столбца найдем выборочную сумму квадратов отклонений от выборочного среднего  (по фактору). Тогда получим:

   (18.2)

и далее вычисляем . Показано, что такую сумму квадратов можно представить в виде произведения , где случайная величина имеет распределение с степенями свободы. В связи с тем, что данные в разных столбцах получены независимо, то объединенная сумма квадратов имеет распределение с степенями свободы. Отсюда получаем основную оценку:

.    (18.3)

Следует обратить внимание, что при выводе оценки (18.3) мы не упоминали о гипотезе . Следовательно, независимо от того, верна гипотеза или нет.

Теперь получим другую оценку , для этого опять обратимся к столбцам (факторам). Полагаем, что

.     (18.4)

Отметим, что и статистически независимы. Найдем центр совокупности (18.4) с учетом весов средних значений , т.е. найдем, при каких значениях достигается минимум выражения:

   (18.5)

Минимум (18.5) достигается при :

.     (18.6)

Если верна гипотеза , то значение выражения (18.5) при имеет распределение , где распределение с степенями свободы. Отсюда следует вторая оценка для дисперсии:

   (18.7)

Учитывая, что независима от , то это справедливо и для их комбинаций. Поэтому оценки (18.3) и (18.7) являются независимыми.

Если гипотеза не верна (нарушена), то оценка (18.7) имеет тенденцию к возрастанию, тем большему, чем больше отклонение от .

Поскольку для оценки мы получили две независимые оценки и , имеющие при  гипотезе распределение хи-квадрат, их частное должно иметь  распределение Фишера – Снедекора с степенями свободы:

  (18.8)

Замечания:

  1.  При большом (неправдоподобно большом) значении гипотеза отвергается и принимается гипотеза . Аналогично, если вероятность того, что мала, то гипотезу следует отвергнуть.
  2.   распределение (распределение Фишера–Снедекора) обозначается обычно , где и числа степеней свободы. При   распределение приближается к нормальному закону.

Оценка эффектов обработки в нормальной модели
(Доверительные интервалы)

Если гипотеза оказалась несовместимой с наблюдениями, то есть основание для обсуждения параметров . Ранее было показано, что их оценками могут служить внутригрупповые средние , которые имеют распределение и статистически независимы от оценки дисперсии (18.3). Поэтому отношение:

     (18.9)

подчиняется распределению Стьюдента с степенями свободы. Теперь с помощью выражения (18.9) можно вычислить доверительный интервал для фактора с произвольной доверительной вероятностью :

.   (18.10)

Отсюда

   (18.11)

Таким образом, доверительный интервал для оценки будет равен:

   (18.12)

Пример ОДНОФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

Проверим гипотезу об отсутствии влияния денежного вознаграждения на число решенных сотрудниками фирмы задач.

Таблица 1   

Уровни фактора

1

2

3

4

5

6

10

8

12

12

24

19

11

10

17

15

16

18

9

16

14

16

22

27

13

13

9

16

18

25

7

12

16

19

20

24

Решение

  1.  Ранговые критерии
  2.  Критерий Краскела – Уоллеса

В связи с наличием в таблице совпадений, применим средние ранги. После пересчета таблица примет вид:

Таблица 2   

Уровни фактора

1

2

3

4

5

6

5.5

2

9

9

27.5

23.5

7

5.5

20

14

17

21.5

3.5

17

13

17

26

30

11.5

11.5

3.5

17

21.5

29

1

9

17

23.5

25

27.5

28.5

45

62.5

80.5

117

131.5

5.7

9

12.5

16.1

23.4

26.3

По формуле (17.2) вычислим статистику , учитывая, что . Поставив все значения из табл. 4, окончательно получим  .

Величина имеет асимптотическое распределение с степенями свободы. По таблице найдем уровень значимости, соответствующий вычисленному значению, ≈ 0,001. С учетом повторов, можно пересчитать . Тогда, ввиду малости вероятности значения , гипотезу можно отвергнуть.

  1.  Критерий Джонкхиера

Предполагая монотонную зависимость количества решенных задач от материального стимула, считаем применение критерия оправданным. Для этого найдем статистику Манна – Уитни для всех пар: таких что ;

По формулам (17.8 и 17.9) вычислим:

Следовательно, По таблице нормального распределения получим , т.е. гипотезу следует отвергнуть.

  1.  Оценка дисперсионного анализа

Используя формулы (18.3, 18.7 и 18.8), вычислим:

 ;   

Т.о., значение очень велико и могло бы быть "не значимо" с вероятностью , значит гипотезу отвергаем.

Оценим теперь параметры модели (18.1) по формуле (18.2) и заодно вычислим 95% доверительный интервал для каждого параметра. Все данные сведем в таблицу:

Таблица 3   

Уровни фактора

1

10.0

1.00

7.177

12.823

2

11.8

1.3565

8.977

14.623

3

13.6

1.4353

10.777

16.423

4

15.6

1.1225

12.777

18.423

5

20.0

1.4142

17.177

22.823

6

22.6

1.7493

19.777

25.423

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27505. Основные подходы к понятию политическая система 33.5 KB
  Элементами политической организации общества являются государство общественные объединения отдельные граждане. К числу общественных объединений входящих в политическую систему общества можно отнести: общественные организации т. основанные на членстве общественные объединения создаваемые на основе совместной деятельности для защиты общих интересов и достижения уставных целей членами которых могут быть как физические так и юридические лица ст.8; общественные движения состоящие из участников и не имеющие членства общественные...
27506. Основные подходы к правопониманию 27.5 KB
  Правопонимание это научная категория отражающая процесс и результат целенаправленной мыслительной деятельности человека включающая в себя познание права его восприятие и отношение к нему как к целостному социальному явлению Субъектом правопонимания всегда выступает конкретный человек например гражданин обладающий минимальным правовым кругозором столкнувшийся с проблемой права Объектом правопонимания могут быть право конкретного общества отрасль институт права отдельные правовые нормы Содержание правопонимания составляет...
27507. Относительная самостоятельность государства и права по отношению к обществу 26.5 KB
  Самостоятельность независимость свобода от внешних влияний принуждений от посторонней поддержки помощи. Относительная самостоятельность государства его органов естественна необходима и социально оправданна. Самостоятельность государства проявляется в свободе выбора при принятии им управленческих и других актов при избрании путей и методов решения встающих перед обществом задач при определении стратегии и тактики государственной политики.
27508. Отрасль права: понятие и характеристика 33 KB
  Отрасль права элемент системы права представляющий собой совокупность норм права регулирующих качественно однородную группу общественных отношений. В свою очередь отрасль права подразделяется на отдельные взаимосвязанные элементы которые называются институтами права. Основаниями для деления права на отрасли считаются: 1 предмет правового регулирования однородная и отделимая от других группа общественных отношений; 2 метод правового регулирования совокупность приемов способов воздействия на общественные отношения.
27509. Охарактеризуйте основные виды государственного принуждения 28.5 KB
  Охарактеризуйте основные виды государственного принуждения. Сфера воздействия на объект определяет вид государственного принуждения. 1 Предмет психологического государственного принуждения имеет сложную структуру. Задача психического принуждения состоит в возбуждении такого мотива поведения который вступая в борьбу с иными мотивами должен преодолеть их и склонить субъекта к требуемому поведению.
27510. Охарактеризуйте основные элементы состава правонарушения 39 KB
  Охарактеризуйте основные элементы состава правонарушения. Состав правонарушения как правовое понятие и раскрывает эту сложную структуру. Состав правонарушения это совокупность его элементов. Элементами состава правонарушения являются: объект правонарушения объективная сторона правонарушения субъект правонарушения субъективная сторона правонарушения.
27511. Охарактеризуйте соотношение понятий форма и источник права 30 KB
  Охарактеризуйте соотношение понятий форма и источник права. В отечественной правовой теории значительное место занимала дискуссия о правильности терминов обозначающих соответствующие понятия источник права или форма права. Одни ученые признавали более правильным употребление термина форма права А. Шебалов другие склонялись к термину юридический формальный источник права С.
27512. Охарактеризуйте федеративные и конфедеративные государства 33.5 KB
  Форма государственного устройства территориальная организация государственной власти или иными словами внутреннее строение государства деление его на составные части. По форме государственного устройства государства могут быть простыми и сложными. 1 Простые государства унитарные это форма государственного устройства где территориальные единицы входящие в её состав не обладают элементами суверенитета в независимости от размера общей территории государства Китай Литва.
27513. Перечислите виды правовых статусов субъектов правоотношений 24.5 KB
  Виды: общеправовой грн специальный студент индивидуальный паспорт Правовой статус это основанная на правосубъектности система взаимосвязанных прав свобод льгот ограничений обязанностей и ответственности субъектов юридически закрепленное положение. Виды правового статуса: 1 в зависимости от принадлежности лица к тому или иному гражданству; 2 различают отраслевые правовые статусы гражданскоправовой административноправовой и др.; 3 различают правовой статус нарушителя и правовой статус гражданина с правомерным поведением;...