10984

Двухфакторный анализ

Лекция

Математика и математический анализ

Двухфакторный анализ Бывает что в рамках однофакторной модели влияние интересующего нас фактора не проявляется хотя логические соображения указывают что такое влияние должно быть. Иногда это влияние проявляется но точность выводов о количественной оценке этого вли...

Русский

2013-04-03

146.5 KB

42 чел.

Двухфакторный анализ

Бывает, что в рамках однофакторной модели влияние интересующего нас фактора не проявляется, хотя логические соображения указывают, что такое влияние должно быть. Иногда это влияние проявляется, но точность выводов о количественной оценке этого влияния недостаточна. Причиной этого может быть большой внутригрупповой разброс, на фоне которого действие фактора остается незаметным или почти незаметным. Очень часто такой разброс вызывается не только случайными причинами, но также действием еще одного фактора. Если мы в состоянии указать такой фактор, можно попытаться включить его в модель, чтобы уменьшить статистическую неоднородность наблюдений и благодаря этому выявить действие на отклик закономерных причин. Конечно, не всегда удается поправить дело введением одного "мешающего" фактора и переходом к двухфакторным схемам. Иногда приходится рассматривать и трех–, и многофакторные модели.

К задачам двухфакторного или многофакторного анализа часто приводят исследования по оптимизации технологических процессов. Иногда факторы разделяют на важные и мешающие, но это совершенно не обязательно. В ряде задач факторы для экспериментатора содержательно равноправны.

Рассмотрим таблицу двухфакторного анализа (см. табл. 1). Назовем главный фактор фактором , а мешающий фактор – фактором . Пусть фактор принимает , а фактор различных значений. Фактор разбивает все объекты наблюдения на блоков. Каждый блок образует наблюдения, проведенные при одном уровне фактора . В блоке отклики могут значимо различаться только за счет применения к ним различных обработок (уровнях фактора ). Уровни фактора отображаются в таблице по столбцам, а уровни фактора по строкам.

Отличие таблицы двухфакторного анализа от аналогичной таблицы однофакторного анализа заключается в том, что наблюдения в одном столбце не являются однородными, т.е. могут не образовывать выборки (если влияние мешающего фактора значимо).

Таблица 1

Уровни фактора

Блоки

1

2

3

...

...

...

Замечание:  На практике часто рассматриваются таблицы с повторными измерениями, т.е. в каждой клетке табл. 1 могут содержаться несколько наблюдений, что не сможет существенно усложнить анализ.

Аддитивная модель данных двухфакторного эксперимента
при независимом действии факторов

В аддитивной двухфакторной модели каждое наблюдение представляется в виде:

 (21.1)

В этой модели (21.1) числа являются результатом воздействия на отклик мешающего фактора , действие которого разбивает все данные на блоки. Поэтому величины называют эффектами блоков. Числа отражают действие на отклик интересующего нас фактора и именуются эффектами обработки.

Относительно предполагается, что они одинаково распределены и независимы в совокупности. Существуют различные методы двухфакторного анализа, которые требуют от их распределения () либо только непрерывности, либо принадлежности к нормальному распределению .

Очевидно, что даже при справедливости выражения (21.1), величины вкладов факторов и не могут быть восстановлены однозначно. Действительно, увеличение всех на одну и ту же const и одновременное уменьшение всех на эту же const, оставляет выражение (21.1) неизменным. Для однозначной определенности вкладов факторов удобно перейти к представлению наблюдений в ином виде:

 (21.2)

Здесь полагаем, что . При этом параметр интерпретируется как среднее значение , присущее всем величинам , а и как отклонения от в результате действия факторов и .

Гипотеза  Как и в однофакторном анализе, вначале целесообразно проверить гипотезу о значимости эффектов обработки (уровней факторов
). Сформулируем нулевую гипотезу . Т.е. предполагаем, что влияние фактора отсутствует.

На первом этапе рассмотрим ранговые критерии, которые не требуют знания вида распределения случайной величины.

РАНГОВЫЕ КРИТЕРИИ

Критерий Фридмана

В этом критерии полагаем, что значения непрерывны, а сами величины независимы в совокупности. В двухфакторном анализе ранжирование проводится не по всей совокупности , а поблочно, т.е. (см. табл. 1) рассматривается каждая отдельная строка. При этом устраняется влияние "мешающего" фактора , значение которого для каждой строки постоянно.

Итак, подсчитываем ранги: . При этом известно, что изменяется от до , а каждая строка представляется соответствующей перестановкой чисел от до . Для простоты, считаем, что одинаковые значения отсутствуют, в противном случае берем средние ранги. При истинности нулевой гипотезы ; каждая строка рангов – случайная перестановка чисел. Причем все перестановок – равновероятны. Введем средние ранги (по столбцу):

.     (21.3)

При гипотезе все перестановки рангов равновозможны, поэтому значения не должны сильно отличаться от общего среднего ранга таблицы:

.      (21.4)

Статистика Фридмана имеет вид:

. (21.5)

Если гипотеза верна, то величины сравнительно малы для всех , тогда и не велико. Если значение велико, то гипотеза отвергается.

Замечание  При больших для выбора критических значений пользуются аппроксимацией, основанной на том, что при справедливости гипотезы и статистика Фридмана асимптотически распределена как с степенями свободы. Т.о. гипотеза принимается, если , в противном случае принимается альтернативная гипотеза .

Критерий Пейджа
(альтернативы с упорядочением)

Данный критерий применяется в тех случаях, когда хотим определить преимущества различной обработки. Здесь, как и в критерии Фридмана, проверяем нулевую гипотезу , против альтернативы . Причем в альтернативной гипотезе хотя бы одно из неравенств – строгое. Статистика Пейджа имеет вид:

.  (21.6)

Нулевая гипотеза отклоняется с достоверностью α, если
, где
 критические значения статистики Пейджа. При  справедлива аппроксимация

Здесь

При  нулевая гипотеза отклоняется ( квантиль стандартного нормального распределения).

ДВУХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Если предположить, что имеет распределение , то можно предложить более мощный критерий для гипотезы и построить более эффективные оценки параметров и . Отметим, что при этом используются методы аналогичные тем, что использовались при однофакторном дисперсионном анализе.

Как и в однофакторном анализе, получим две различные оценки дисперсии: оценка не зависит от того, верна ли гипотеза или нет; оценка справедлива лишь при истинности гипотезы .

Оптимальная в классе несмещенных оценок оценка получается методом наименьших квадратов. Для этого сначала оценим неизвестные параметры и в модели (21.2). Найдем значения  и  такие, при которых достигается min функции:

,    (21.9)

при условии, что . Решая задачу (21.9) получим:

Полученные оценки параметров имеют следующие распределения:

.

Оценка имеет распределение с числом степеней свободы равным . Сама оценка равна:

.  (21.11)

Вторую оценку получим, воспользовавшись тем, что СВ являются средними значениями по соответствующим столбцам таблицы двухфакторного анализа. Эти СВ при нулевой гипотезе независимы и одинаково распределены по нормальному закону . На основе этого можно считать, что оценка имеет распределение с числом степеней свободы и равна:

.   (21.12)

Как и в однофакторном анализе, составляем отношение двух оценок дисперсий:

.  (21.13)

распределение (распределение Фишера–Снедекора) с числом степеней свободы и . Критерий проверки гипотезы имеет вид:

  1.  гипотеза отвергается на уровне значимости , если ;
  2.  гипотеза принимается на уровне значимости , если

Здесь и – число степеней свободы распределения Фишера–Снедекора.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31209. Суда для сейсморазведочных работ 32.5 KB
  иметь специальное радионавигационное оборудование для уверенного ведения судна по запроектированной системе сейсмических профилей; обладать достаточной автономностью плавания 30 60 суток. м в наиболее комфортной части судна. Процесс смотки и размотки сейсмических кос требует установки на корме судна в полузакрытом помещении специальных барабанов с электроприводом и емкостью размещаемых кос объемом до 10 15 м3. Кроме этого весьма важно чтобы шумы самого судна шумы двигателя были бы также достаточно малыми.
31210. Типы систем наблюдений 38.5 KB
  В сейсморазведке при исследованиях по линейным профилям наиболее часто используются следующие системы наблюдений: фланговые с пунктами возбуждения расположенными по одну сторону базы приема линии пунктов приема ЛПП на ее конце или за ее пределами фланговые с выносом; встречные фланговые с пунктами возбуждения расположенными на обоих концах базы приема ЛПП или с двух сторон за ее пределами встречные фланговые с выносом; центральные с пунктом возбуждения в центре базы приема симметричные и с пунктом возбуждения...
31211. История формирования принципов телеметрии 36 KB
  Сначала появились первые телеметрические сейсморегистрирующие системы ТСС разработчики которых вообще отказались от кабельной системы передачи сейсмической информации от места ее регистрации от сейсмоприемников к месту ее окончательной записи в сейсморазведочную станцию. Телеметрические сейсморегистрирующие системы представляют собой сложно организованные и многофункциональные устройства основными элементами которых является полевой модуль сбора информации ПМ и центральная регистрирующая станция ЦРС По принципу передачи информации...
31212. Элементы методики ВСП 39 KB
  Гальперина метод ВСП начинает интенсивно развиваться и применяться при разведке на нефть и газ во всем мире. В настоящее время трудно себе представить сейсморазведочные работы без использования в том или ином объеме ВСП. ВСП метод скважинных около скважинных и межскважинных сейсмических исследований предназначенный для решения геологических методических и технологических задач на различных этапах геологоразведочного процесса с целью повышения геологоэкономической эффективности разведки месторождений различных полезных ископаемых...
31213. Телеметрические сейсморегистрирующие системы 39.5 KB
  Включает в себя следующие элементы: консоль оператора Opertor Console ModuleOSM на базе IBM486 блок управления системой System Control ModuleSCM с подблоком памяти SIM; линейный интерфейсный модуль Line Interfce ModuleLIM магнитофон Таре Trnsport ModuleTTM корреляторсумматор Correltor Stcker ModuleCSM. Оно включает в себя: полевые регистрирующие модули RSC MRX RSX; коммутационный модуль LT или АLТ Периферийное оборудование станции содержит: устройство управления источником взрыва...
31214. Телеметрические сейсморегистрирующие системы фирмы „SERCEL” 37.5 KB
  Сейсмическая станция SN368 включает в себя две подсистемы аппаратуры: центральную контролирующую электронику Centrl Control UnitCCU; полевое оборудование. Центральная контролирующая электроника CCU включает в себя б блоков: основной контрольный блок {Mster Control Unit MCU дисплей {Disply UnitDU; линейный расширитель Line Extension UnitLXV; ленточный регистратор {Tpe TrnsportsTT; устройство для подключения дополнительной периферии: принтера плоттера коррелятора сумматора дополнительного магнитофона; блок...
31215. Атрибуты систем наблюдения и их анализ 44.5 KB
  Если перекрытие по линиям приема происходит наполовину то количество отрабатываемых полос по всей площади съемки можно рассчитать следующим образом: NS=LY 0. Количество отрабатываемых шаблонов групп сейсмоприемников по полосе рассчитывается по формуле: NT=LX SLI1. В рассматриваемом примере для отработки всей площади участка потребуется отработать количество полос NS number swtch равное 15.6 км 1 = 8 а количество отрабатываемых в полосе шаблонов 16.
31216. Вспомогательные технические средства 37.5 KB
  Технологическая связь между отдельными подразделениями сейсморазведочной партии сейсморазведочная станция СВП СМ буровые установки и т. Для производства топогеодезических работ в сейсморазведочной партии создается один или несколько топогеодезический отряд возглавляемый старшим техником или инженеромтопографом. В задачи отряда входит рекогносцировка местности и определение наиболее удобных путей подъезда к площади работ вынесение на местность и подготовка профилей для работы на них сейсморазведочного отряда привязка отработанных...
31217. Группирование сейсмоприемников и источников 43 KB
  При кажущейся скорости поверхностной волны Vпов разность времен прихода этой волны на кый элемент группы по сравнению с первым элементом будет составлять к1 x Vпов. Для этих волн временной сдвиг между кым и первым элементом группы будет равен к1x Vотр. Учитывая то что элементы интерференционной группы одинаковы и выбирая начало отсчета в центре базы группы амплитудночастотную характеристику группы можно записать в виде: . Для изучения свойств амплитудночастотной характеристики линейной группы строится и анализируется график...