10984

Двухфакторный анализ

Лекция

Математика и математический анализ

Двухфакторный анализ Бывает что в рамках однофакторной модели влияние интересующего нас фактора не проявляется хотя логические соображения указывают что такое влияние должно быть. Иногда это влияние проявляется но точность выводов о количественной оценке этого вли...

Русский

2013-04-03

146.5 KB

42 чел.

Двухфакторный анализ

Бывает, что в рамках однофакторной модели влияние интересующего нас фактора не проявляется, хотя логические соображения указывают, что такое влияние должно быть. Иногда это влияние проявляется, но точность выводов о количественной оценке этого влияния недостаточна. Причиной этого может быть большой внутригрупповой разброс, на фоне которого действие фактора остается незаметным или почти незаметным. Очень часто такой разброс вызывается не только случайными причинами, но также действием еще одного фактора. Если мы в состоянии указать такой фактор, можно попытаться включить его в модель, чтобы уменьшить статистическую неоднородность наблюдений и благодаря этому выявить действие на отклик закономерных причин. Конечно, не всегда удается поправить дело введением одного "мешающего" фактора и переходом к двухфакторным схемам. Иногда приходится рассматривать и трех–, и многофакторные модели.

К задачам двухфакторного или многофакторного анализа часто приводят исследования по оптимизации технологических процессов. Иногда факторы разделяют на важные и мешающие, но это совершенно не обязательно. В ряде задач факторы для экспериментатора содержательно равноправны.

Рассмотрим таблицу двухфакторного анализа (см. табл. 1). Назовем главный фактор фактором , а мешающий фактор – фактором . Пусть фактор принимает , а фактор различных значений. Фактор разбивает все объекты наблюдения на блоков. Каждый блок образует наблюдения, проведенные при одном уровне фактора . В блоке отклики могут значимо различаться только за счет применения к ним различных обработок (уровнях фактора ). Уровни фактора отображаются в таблице по столбцам, а уровни фактора по строкам.

Отличие таблицы двухфакторного анализа от аналогичной таблицы однофакторного анализа заключается в том, что наблюдения в одном столбце не являются однородными, т.е. могут не образовывать выборки (если влияние мешающего фактора значимо).

Таблица 1

Уровни фактора

Блоки

1

2

3

...

...

...

Замечание:  На практике часто рассматриваются таблицы с повторными измерениями, т.е. в каждой клетке табл. 1 могут содержаться несколько наблюдений, что не сможет существенно усложнить анализ.

Аддитивная модель данных двухфакторного эксперимента
при независимом действии факторов

В аддитивной двухфакторной модели каждое наблюдение представляется в виде:

 (21.1)

В этой модели (21.1) числа являются результатом воздействия на отклик мешающего фактора , действие которого разбивает все данные на блоки. Поэтому величины называют эффектами блоков. Числа отражают действие на отклик интересующего нас фактора и именуются эффектами обработки.

Относительно предполагается, что они одинаково распределены и независимы в совокупности. Существуют различные методы двухфакторного анализа, которые требуют от их распределения () либо только непрерывности, либо принадлежности к нормальному распределению .

Очевидно, что даже при справедливости выражения (21.1), величины вкладов факторов и не могут быть восстановлены однозначно. Действительно, увеличение всех на одну и ту же const и одновременное уменьшение всех на эту же const, оставляет выражение (21.1) неизменным. Для однозначной определенности вкладов факторов удобно перейти к представлению наблюдений в ином виде:

 (21.2)

Здесь полагаем, что . При этом параметр интерпретируется как среднее значение , присущее всем величинам , а и как отклонения от в результате действия факторов и .

Гипотеза  Как и в однофакторном анализе, вначале целесообразно проверить гипотезу о значимости эффектов обработки (уровней факторов
). Сформулируем нулевую гипотезу . Т.е. предполагаем, что влияние фактора отсутствует.

На первом этапе рассмотрим ранговые критерии, которые не требуют знания вида распределения случайной величины.

РАНГОВЫЕ КРИТЕРИИ

Критерий Фридмана

В этом критерии полагаем, что значения непрерывны, а сами величины независимы в совокупности. В двухфакторном анализе ранжирование проводится не по всей совокупности , а поблочно, т.е. (см. табл. 1) рассматривается каждая отдельная строка. При этом устраняется влияние "мешающего" фактора , значение которого для каждой строки постоянно.

Итак, подсчитываем ранги: . При этом известно, что изменяется от до , а каждая строка представляется соответствующей перестановкой чисел от до . Для простоты, считаем, что одинаковые значения отсутствуют, в противном случае берем средние ранги. При истинности нулевой гипотезы ; каждая строка рангов – случайная перестановка чисел. Причем все перестановок – равновероятны. Введем средние ранги (по столбцу):

.     (21.3)

При гипотезе все перестановки рангов равновозможны, поэтому значения не должны сильно отличаться от общего среднего ранга таблицы:

.      (21.4)

Статистика Фридмана имеет вид:

. (21.5)

Если гипотеза верна, то величины сравнительно малы для всех , тогда и не велико. Если значение велико, то гипотеза отвергается.

Замечание  При больших для выбора критических значений пользуются аппроксимацией, основанной на том, что при справедливости гипотезы и статистика Фридмана асимптотически распределена как с степенями свободы. Т.о. гипотеза принимается, если , в противном случае принимается альтернативная гипотеза .

Критерий Пейджа
(альтернативы с упорядочением)

Данный критерий применяется в тех случаях, когда хотим определить преимущества различной обработки. Здесь, как и в критерии Фридмана, проверяем нулевую гипотезу , против альтернативы . Причем в альтернативной гипотезе хотя бы одно из неравенств – строгое. Статистика Пейджа имеет вид:

.  (21.6)

Нулевая гипотеза отклоняется с достоверностью α, если
, где
 критические значения статистики Пейджа. При  справедлива аппроксимация

Здесь

При  нулевая гипотеза отклоняется ( квантиль стандартного нормального распределения).

ДВУХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Если предположить, что имеет распределение , то можно предложить более мощный критерий для гипотезы и построить более эффективные оценки параметров и . Отметим, что при этом используются методы аналогичные тем, что использовались при однофакторном дисперсионном анализе.

Как и в однофакторном анализе, получим две различные оценки дисперсии: оценка не зависит от того, верна ли гипотеза или нет; оценка справедлива лишь при истинности гипотезы .

Оптимальная в классе несмещенных оценок оценка получается методом наименьших квадратов. Для этого сначала оценим неизвестные параметры и в модели (21.2). Найдем значения  и  такие, при которых достигается min функции:

,    (21.9)

при условии, что . Решая задачу (21.9) получим:

Полученные оценки параметров имеют следующие распределения:

.

Оценка имеет распределение с числом степеней свободы равным . Сама оценка равна:

.  (21.11)

Вторую оценку получим, воспользовавшись тем, что СВ являются средними значениями по соответствующим столбцам таблицы двухфакторного анализа. Эти СВ при нулевой гипотезе независимы и одинаково распределены по нормальному закону . На основе этого можно считать, что оценка имеет распределение с числом степеней свободы и равна:

.   (21.12)

Как и в однофакторном анализе, составляем отношение двух оценок дисперсий:

.  (21.13)

распределение (распределение Фишера–Снедекора) с числом степеней свободы и . Критерий проверки гипотезы имеет вид:

  1.  гипотеза отвергается на уровне значимости , если ;
  2.  гипотеза принимается на уровне значимости , если

Здесь и – число степеней свободы распределения Фишера–Снедекора.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

815. Привод ленточного транспортера 7.73 MB
  Подготовка данных для расчета червячной передачи на ЭВМ. Выбор типа и схемы установки подшипников. Расчет валов на статическую прочность и сопротивление усталости. Порядок сборки привода, выполнение необходимых регулировочных работ. Выбор смазочных материалов и системы смазывания.
816. Реформы и контрреформы государственного управления во второй половине ХIХ в. 227.5 KB
  Предпосылки реформ государственного управления в начале ХIХ века. Поиск путей совершенствования государственного управления при Александре I. Конституционные проекты декабристов. Причины незавершенности реформ государственного управления 1-й половины ХIХ века. Кризис абсолютистко-бюрократической системы управления при Николае I. Сущность и значение реформ государственного управления в период правления Александра II.
817. Разработка техпроцессов сборки и монтажа 222 KB
  Выбор возможного типового или группового ТП и (при необходимости) его доработка. Составление маршрутов ТП сборки блоков (сборочных единиц) и установление технологических требований к входящим в них сборочным единицам и деталям. Выдача технического задания на проектирование и изготовление специальной технологической оснастки. Корректировка документации по результатам испытаний опытной партии.
818. Исследование спектров амплитудно-модулированных сигналов 263 KB
  Модуляция гармоническим колебанием. Модуляция периодической последовательности прямоугольных импульсов. Значения амплитуд и частот спектральных составляющих.
819. Інноваційні технології корекційно-компенсаторного впливу на дітей з вадами розвитку (на прикладі ДЦП) 201.5 KB
  Комплексне лікування дитячого церебрального паралічу. Медикаментозні засоби, лікувальна фізкультура, ортопедична допомога, різні види масажу, рефлексотерапія, фізіотерапевтичні процедури, заняття з логопедом і психологом, навчання навичкам самообслуговування та праці.
820. Выбор наиболее безопасного варианта инвестирования и комплексное планирование в здравоохранении 199 KB
  Основы определения себестоимости продукции на предприятии. Классификация затрат, включаемых в себестоимость. Выбор наиболее безопасного варианта инвестирования медицинского учреждения. Расчёт рентабельности инвестиций и коэффициентов степени риска. Специфика финансового планирования медицинского учреждения.
821. Организационная культура 213.5 KB
  Организационная культура в теории и практике современного управления. Организационная культура как инструмент управления организационным поведением. Национальное в организационной культуре. Проблемы становления новой организационной культуры в России.
822. Анализ электромонтажных систем в СХП Победа Петровского района 144.5 KB
  Электрификация сельского хозяйства является одним из условий повышения эффективности сельскохозяйственного производства. Электромонтажная практика увязана с программами теоретического обучения соответствующих дисциплин и предназначена для приобретения опыта по монтажу электроустановок.
823. Разработка и внедрение модели инклюзивного образования детей сразными возможностями в МАДОУ 179.5 KB
  Разработка и внедрение модели инклюзивного образования детей с разными возможностями в условиях детского сада. Создать условия для открытия инклюзивной группы для детей с разными возможностями. Обеспечить повышение профессиональной компетентности педагогов по проблеме.