10984

Двухфакторный анализ

Лекция

Математика и математический анализ

Двухфакторный анализ Бывает что в рамках однофакторной модели влияние интересующего нас фактора не проявляется хотя логические соображения указывают что такое влияние должно быть. Иногда это влияние проявляется но точность выводов о количественной оценке этого вли...

Русский

2013-04-03

146.5 KB

42 чел.

Двухфакторный анализ

Бывает, что в рамках однофакторной модели влияние интересующего нас фактора не проявляется, хотя логические соображения указывают, что такое влияние должно быть. Иногда это влияние проявляется, но точность выводов о количественной оценке этого влияния недостаточна. Причиной этого может быть большой внутригрупповой разброс, на фоне которого действие фактора остается незаметным или почти незаметным. Очень часто такой разброс вызывается не только случайными причинами, но также действием еще одного фактора. Если мы в состоянии указать такой фактор, можно попытаться включить его в модель, чтобы уменьшить статистическую неоднородность наблюдений и благодаря этому выявить действие на отклик закономерных причин. Конечно, не всегда удается поправить дело введением одного "мешающего" фактора и переходом к двухфакторным схемам. Иногда приходится рассматривать и трех–, и многофакторные модели.

К задачам двухфакторного или многофакторного анализа часто приводят исследования по оптимизации технологических процессов. Иногда факторы разделяют на важные и мешающие, но это совершенно не обязательно. В ряде задач факторы для экспериментатора содержательно равноправны.

Рассмотрим таблицу двухфакторного анализа (см. табл. 1). Назовем главный фактор фактором , а мешающий фактор – фактором . Пусть фактор принимает , а фактор различных значений. Фактор разбивает все объекты наблюдения на блоков. Каждый блок образует наблюдения, проведенные при одном уровне фактора . В блоке отклики могут значимо различаться только за счет применения к ним различных обработок (уровнях фактора ). Уровни фактора отображаются в таблице по столбцам, а уровни фактора по строкам.

Отличие таблицы двухфакторного анализа от аналогичной таблицы однофакторного анализа заключается в том, что наблюдения в одном столбце не являются однородными, т.е. могут не образовывать выборки (если влияние мешающего фактора значимо).

Таблица 1

Уровни фактора

Блоки

1

2

3

...

...

...

Замечание:  На практике часто рассматриваются таблицы с повторными измерениями, т.е. в каждой клетке табл. 1 могут содержаться несколько наблюдений, что не сможет существенно усложнить анализ.

Аддитивная модель данных двухфакторного эксперимента
при независимом действии факторов

В аддитивной двухфакторной модели каждое наблюдение представляется в виде:

 (21.1)

В этой модели (21.1) числа являются результатом воздействия на отклик мешающего фактора , действие которого разбивает все данные на блоки. Поэтому величины называют эффектами блоков. Числа отражают действие на отклик интересующего нас фактора и именуются эффектами обработки.

Относительно предполагается, что они одинаково распределены и независимы в совокупности. Существуют различные методы двухфакторного анализа, которые требуют от их распределения () либо только непрерывности, либо принадлежности к нормальному распределению .

Очевидно, что даже при справедливости выражения (21.1), величины вкладов факторов и не могут быть восстановлены однозначно. Действительно, увеличение всех на одну и ту же const и одновременное уменьшение всех на эту же const, оставляет выражение (21.1) неизменным. Для однозначной определенности вкладов факторов удобно перейти к представлению наблюдений в ином виде:

 (21.2)

Здесь полагаем, что . При этом параметр интерпретируется как среднее значение , присущее всем величинам , а и как отклонения от в результате действия факторов и .

Гипотеза  Как и в однофакторном анализе, вначале целесообразно проверить гипотезу о значимости эффектов обработки (уровней факторов
). Сформулируем нулевую гипотезу . Т.е. предполагаем, что влияние фактора отсутствует.

На первом этапе рассмотрим ранговые критерии, которые не требуют знания вида распределения случайной величины.

РАНГОВЫЕ КРИТЕРИИ

Критерий Фридмана

В этом критерии полагаем, что значения непрерывны, а сами величины независимы в совокупности. В двухфакторном анализе ранжирование проводится не по всей совокупности , а поблочно, т.е. (см. табл. 1) рассматривается каждая отдельная строка. При этом устраняется влияние "мешающего" фактора , значение которого для каждой строки постоянно.

Итак, подсчитываем ранги: . При этом известно, что изменяется от до , а каждая строка представляется соответствующей перестановкой чисел от до . Для простоты, считаем, что одинаковые значения отсутствуют, в противном случае берем средние ранги. При истинности нулевой гипотезы ; каждая строка рангов – случайная перестановка чисел. Причем все перестановок – равновероятны. Введем средние ранги (по столбцу):

.     (21.3)

При гипотезе все перестановки рангов равновозможны, поэтому значения не должны сильно отличаться от общего среднего ранга таблицы:

.      (21.4)

Статистика Фридмана имеет вид:

. (21.5)

Если гипотеза верна, то величины сравнительно малы для всех , тогда и не велико. Если значение велико, то гипотеза отвергается.

Замечание  При больших для выбора критических значений пользуются аппроксимацией, основанной на том, что при справедливости гипотезы и статистика Фридмана асимптотически распределена как с степенями свободы. Т.о. гипотеза принимается, если , в противном случае принимается альтернативная гипотеза .

Критерий Пейджа
(альтернативы с упорядочением)

Данный критерий применяется в тех случаях, когда хотим определить преимущества различной обработки. Здесь, как и в критерии Фридмана, проверяем нулевую гипотезу , против альтернативы . Причем в альтернативной гипотезе хотя бы одно из неравенств – строгое. Статистика Пейджа имеет вид:

.  (21.6)

Нулевая гипотеза отклоняется с достоверностью α, если
, где
 критические значения статистики Пейджа. При  справедлива аппроксимация

Здесь

При  нулевая гипотеза отклоняется ( квантиль стандартного нормального распределения).

ДВУХФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Если предположить, что имеет распределение , то можно предложить более мощный критерий для гипотезы и построить более эффективные оценки параметров и . Отметим, что при этом используются методы аналогичные тем, что использовались при однофакторном дисперсионном анализе.

Как и в однофакторном анализе, получим две различные оценки дисперсии: оценка не зависит от того, верна ли гипотеза или нет; оценка справедлива лишь при истинности гипотезы .

Оптимальная в классе несмещенных оценок оценка получается методом наименьших квадратов. Для этого сначала оценим неизвестные параметры и в модели (21.2). Найдем значения  и  такие, при которых достигается min функции:

,    (21.9)

при условии, что . Решая задачу (21.9) получим:

Полученные оценки параметров имеют следующие распределения:

.

Оценка имеет распределение с числом степеней свободы равным . Сама оценка равна:

.  (21.11)

Вторую оценку получим, воспользовавшись тем, что СВ являются средними значениями по соответствующим столбцам таблицы двухфакторного анализа. Эти СВ при нулевой гипотезе независимы и одинаково распределены по нормальному закону . На основе этого можно считать, что оценка имеет распределение с числом степеней свободы и равна:

.   (21.12)

Как и в однофакторном анализе, составляем отношение двух оценок дисперсий:

.  (21.13)

распределение (распределение Фишера–Снедекора) с числом степеней свободы и . Критерий проверки гипотезы имеет вид:

  1.  гипотеза отвергается на уровне значимости , если ;
  2.  гипотеза принимается на уровне значимости , если

Здесь и – число степеней свободы распределения Фишера–Снедекора.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24183. Сущность социальных отношений 47 KB
  Социальные нормы – это средства социальной регуляции поведения индивидов и групп. Социальная роль – это социальная функция модель поведения объективно заданная социальной позицией личности в системе социальных и межличностных отношений. С социальной стратификацией связано понятие социальной мобильности. Под социальной мобильностью понимается любой переход индивида или социального объекта ценности то есть всего того что создано или модифицировано человеческой деятельностью из одной социальной позиции в другую.
24184. Классификация социальных процессов 50 KB
  В тех случаях когда цели и способы их достижения у индивида или группы не могут удовлетворить индивида компромисса достичь не удается и индивид не приспосабливается к новым условиям окружающей среды. Ассимиляция ссимиляция это процесс взаимного культурного проникновения через который личности и группы приходят к разделяемой всеми участниками процесса общей культуре. Это всегда двухсторонний процесс в котором каждая группа имеет возможности для проникновения своей культуры в другие группы пропорционально своему размеру престижу и другим...
24185. Применение имитационного моделирования 47.5 KB
  Имитационное моделирование это частный случай математического моделирования. Применение имитационного моделирования К имитационному моделированию прибегают когда: дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте; невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время причинные связи последствие нелинейности стохастические случайные переменные; необходимо сымитировать поведение системы во времени. Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов...
24186. АЛЛЕРГИЯ 276 KB
  В поддержании аллергического иммунного ответа важны долговременные клетки памяти в т. Схема 1 Классификация аллергических реакций: Влмфзависимые Активные Немедленная по ДжеллКумбсу гуморальные и анафилаксия 1й тип реагины Тлмфзависимые Пассивные Отсроченная 5 ч 2й цитолиз клеточные АТ и клетки Замедленная дни 3й имм. Неклеточные структуры тканей коллагена миелина базальной мембраны почек – вовлекаются соседние клетки вторично. Медиаторы: гаммаинтерферон...
24187. ПАТОЛОГИЯ ВОДНО-СОЛЕВОГО ОБМЕНА 289.5 KB
  Эфферентная часть: основной механизм – регуляция почек – диуреза: а Вегетативная нервная симпатическая адреналин – чревный нерв – снижение диуреза; б Гипоталамогипофизарная регуляция: супраоптические и паравентрикулярные ядра – АДГ задний гипофиз – почечные канальцы гиалуронидаза – активация реабсорбции – тоже снижение диуреза; в передний гипофиз – АКТГ – надпочечники – альдостерон – почечные канальцы сукцинатдегидрогеназа – усиление реабсорбции Na и пассивно – воды г диэнцефальный мозг адреногломерулотропин –...
24188. КИСЛОТНО-ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ 70 KB
  Начальные сдвиги и компенсаторные реакции при нарушениях КОС Нарушения КОС Сдвиг КОС Компенсация Дыхательные Ацидоз рН  рСО2 НСО3 Алкалоз рН рСО2 НСО3 Негазовые Ацидоз рН НСО3 рСО2 Алкалоз рН НСО3 рСО2 Схема 1 Работа гемоглобиновой буферной системы Легкие О2 Нв НвО2 СО2  Кровь: венозный_Нв артериальный_НвО2щелочные_продукты  Нв  ...
24189. ПАТОФИЗИОЛОГИЯ ОБМЕНА БЕЛКА И НК 374 KB
  ПАТОФИЗИОЛОГИЯ ОБМЕНА БЕЛКА И НК Роль белков в организме незаменимые аминокислоты типы синтеза белка типы патологии белкового обмена типы алиментарной недостаточности периоды голодания и особенности обмена; синдром мальадсорбции; нарушения синтеза белка в клетке; диспротеинозы; амилоидоз – формы теории развития стадии; подагра. Пластическая роль белков структурная основа тканей и основа ферментов определяет их главенствующую роль в метаболизме. В отличие от жиров и углеводов полное белковое голодание даже при наличии...
24190. ПАТОФИЗИОЛОГИЯ ОБМЕНА ЖИРОВ 262.5 KB
  Виды ЛП: по убыли размера частиц и содержания триглицеридов нарастание фосфолипидов: хиломикроны ЛПОНП ЛППП и ЛПНП атерогены ЛПВП антиатерогены так как вытесняют холестерин с рецепторов клеток. Гиперплазия жировых клеток сохраняется навсегда особенно у детей и в пубертатном периоде. Стадии: жировой полоски пятна липидов в 12 мм появляются макрофаги которые накапливают липиды и превращаются в пенистые клетки фиброзной бляшки эксцентричный рост во внутренней оболочке артерий; капсула из эндотелия Тлимфоцитов пенистых...
24191. НАРУШЕНИЯ ОБМЕНА УГЛЕВОДОВ. САХАРНЫЙ ДИАБЕТ и КОМЫ 328.5 KB
  НАРУШЕНИЯ ОБМЕНА УГЛЕВОДОВ САХАРНЫЙ ДИАБЕТ и КОМЫ Пути метаболизма глюкозы точки приложения действия инсулина влияние инсулина на жировой и белковый обмен влияние инсулина на водноминеральный обмен контраинсулярные гормоны и эх эффекты классификация сахарного диабета факторы предрасположения к СД патогенез жалоб и симптомов при СД осложнения СД патогенез разных типов ком при СД клиника ком принчипы лечения различных видов ком и принципы лечения СД. При аэробном расщеплении окислительное фосфорилирование в...