10986

Кластерный анализ

Лекция

Математика и математический анализ

Кластерный анализ Если процедура факторного анализа сжимает в малое число количественных переменных данные описанные количественными переменными то кластерный анализ сжимает данные в классификацию объектов. Синонимами термина кластерный анализ являются автомати...

Русский

2013-04-03

44.7 KB

29 чел.

Кластерный анализ

Если процедура факторного анализа сжимает в малое число количественных переменных данные, описанные количественными переменными, то кластерный анализ сжимает данные в классификацию объектов. Синонимами термина "кластерный анализ" являются "автоматическая классификация объектов без учителя" и "таксономия".

Кластер - это множество объектов, близких между собой по некоторой мере сходства.

Задача классификации – отнесение объекта к определенной группе.

Если данные понимать как точки в признаковом (многомерном) пространстве, то задача кластерного анализа формулируется как выделение "сгущений точек", разбиение совокупности на однородные подмножества объектов. В пространстве переменных кластеры представляют собой скопления точек (объектов) различной формы, рис.1.

Рис. 1. Наиболее широко распространенные формы скоплений

При проведении кластерного анализа обычно определяют расстояние на множестве объектов; алгоритмы кластерного анализа формулируют в терминах этих расстояний.

Кластеризация - это процесс разбиения множества объектов на кластеры (группы объектов, близких по мере сходства). Методы кластеризации делятся на две группы: классификация с обучением и классификация без обучения.

Классификация с обучением означает, что категории установлены до отнесения объектов к классам.

В классификации без обучения: классификационная схема имеет целью определение естественных популяций на основе параметрических или непараметрических критериев. Примерами классификации без обучения являются: иерархическая классификация и метод ISODATA рис.2.

 а) Объекты до кластеризации

б) Объекты после кластеризации

Рис. 2. Кластеризация объектов

На рис.2а изображено скопление "белых", неклассифицированных точек. Кластеризованные данные (см. рис.2б) окрашены в разные цвета, причем каждый кластер образуют облако точек одного цвета.

Для изучения полученного разбиения объектов на однородные группы применяют математические характеристики кластеров рис. 3.

Рис. 3. Графическая иллюстрация основных характеристик кластера

Центр кластера – это среднее геометрическое место точек в пространстве переменных.

Дисперсия кластера – это мера рассеяния точек в пространстве относительно центра кластера.

Радиус кластера – максимальное расстояние точек от центра кластера.

Методы иерархической классификации

Численная классификация или численная таксономия не занимается распределением объектов по известным классам, а устанавливает классификацию либо не существующую ранее, либо если это желательно, игнорирующую предшествующие работы и пересматривающую данные заново.

Ее цель – почти всегда состоит в упрощении матрицы данных, слишком обширной для непосредственного анализа человеком. Не существует, однако, единственно "правильной" классификации, какого либо набора данных. Различные численные стратегии, как правило, приводят к совершенно разным результатам. Следовательно, необходима помощь специалиста – выбрать тип стратегии.

Итак, исходная информация может быть представлена в форме матрицы  "объект - свойство":

Здесь  значение -го признака на -м статистически обследованном объекте. Таким образом, -й столбец этой матрицы  характеризует объект , т.е. представляет результат его статистического обследования по всем  анализируемым параметрам (переменным).

Исходная информация, также, может быть задана в форме матрицы  попарно взаимных расстояний (близостей) объектов:

Здесь  характеризует взаимную отдаленность или близость объектов  и . В общем случае понятие однородности объектов правилом вычисления  характеризующей либо расстояние , либо степень близости (сходства ) тех же объектов.

Следует помнить: . Требование максимального сходства объекта с самим собой , и монотонное требование: из .

Расстояние между классами и мера близости классов

При кластеризации целесообразно ввести понятие расстояния между целыми группами объектов, так же, как и меру близости двух групп объектов. Введем обозначения:

-й кластер.

число объектов образующих кластер.

среднее арифметическое векторных наблюдений, т.е.  центр тяжести  -го кластера.

 расстояние между кластерами  и .

Рассмотрим наиболее употребительные и наиболее общие расстояния и меры близости между классами объектов.

Расстояние, измеряемое по принципу "ближнего соседа" (Nearest neighbor):

Расстояние, измеряемое по принципу "дальнего соседа" (Furthest neighbor):

Расстояние, измеряемое по принципу "дальнего соседа" (Furthest neighbor):

Расстояние, измеряемое по "центрам тяжести групп" (Centroid clustering):

Примеры расстояний

Обычное евклидово расстояние:

"Взвешенное" евклидово расстояние:

Определение весов , как правило, связано с дополнительными исследованиями.

Стандартизация.

Непосредственное использование переменных в анализе может привести к тому, что классификацию будут определять переменные, имеющие наибольший разброс значений. Поэтому применяются различные виды стандартизации, одним из которых являются Z-шкалы (Z-Scores). Из значений переменных вычитается их среднее значение, и эти значения делятся на стандартное отклонение. Данная стандартизация приводит все переменные к единому диапазону значений от -3 до +3.

Общий вид метрики махаланобисского типа.

В общем случае зависимых компонент  вектора наблюдений  и их различной значимости в решении задачи классификации пользуются обобщенным ("взвешенным") расстоянием махаланобисского типа:

Здесь ковариационная матрица генеральной совокупности, из которой извлекаются наблюдения ;

некоторая симметричная неотрицательно определенная матрица "весовых" коэффициентов , которая чаще всего выбирается диагональной.

Хеммингово расстояние.

Это расстояние используется как мера различия объектов, задаваемых дихотомическими признаками:

Следовательно, это расстояние равно числу  несовпадений значений соответствующих признаков в рассматриваемых –м и –м объектах.

Стратегия объединения (агломеративные системы)

  1.  Для всех систем вычисляются все  мер различия и пара индивидов с наименьшей мерой объединяется в одну группу.
  2.  Далее необходимо определить подходящую меру различия между этой группой и остальными  индивидами.

Стратегия объединения определяется именно мерой различия между группами.

Рассмотрим комбинаторные решения

Пусть первоначально задана матрица различий (расстояний). Имеются две группы  и  с  и  элементами соответственно. Мера различия между этими группами обозначается  и пусть это минимальная мера из всех оставшихся. Обозначим новую группу через  элементов. Рассмотрим теперь некоторую  группу из  оставшихся. В группе  элементов. Перед объединением известны следующие значения: . Положим:

Параметры  и  определяют сущность стратегии.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36815. Моделирование командных генераторов гармонических сигналов 55.5 KB
  Цель работы: определить схемы с помощью которых можно задать воздействие и рассчитать их параметры. схема моделирования Определим параметры модели: задание сигнала 2. схема моделирования Определим параметры модели: Таким образом данная схема не реализует синусоидальный сигнал невозможно скомпенсировать косинусоидальную составляющую. схема моделирования Определим параметры модели: задание сигнала 4.
36816. Информационно – образовательная среда вуза 73.5 KB
  Содержание работы: Задание №1 Сформируйте электронный глоссарий по тематике Информационно образовательная среда: База данных Банк данных Дистанционное обучение Индивидуальный образовательный маршрут Индивидуальная образовательная траектория Информатизация образования Информационная деятельность Информационная подготовка Информационно коммуникационная среда Информационно коммуникационная предметная среда Информационно методическое обеспечение учебно воспитательного процесса Информационнообразовательная...
36817. Изучение возможностей работы в текстовом редакторе MS Word 64 KB
  проделайте следующие операции: Создайте тестовый документ с помощью меню Файл Создать. Установите параметры и размеры страницы открыв диалоговое окно Параметры страницы в меню Файл. Чтобы отменить ваши неправильные действия воспользуйтесь командой Отменить из меню Правка. Чтобы вернуть отмененное действие воспользуйтесь командой Повторить из меню Правка.
36818. ВЫБОР МЕТОДОВ И СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ 327 KB
  Лабораторная работа № 1 ВЫБОР МЕТОДОВ И СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ РАЗМЕРОВ Цель работы: учебная получить навыки работы с нормативными документами для выбора методов и средств измерений линейных размеров; практическая выбрать для измерения линейных размеров детали выданной руководителем в соответствии с номером подгруппы соответствующие универсальные измерительные средства и указать их метрологические характеристики.80 всех видов измерений составляют линейные измерения. Любой линейный размер может быть измерен различными...
36819. ОЗНАКОМЛЕНИЕ С СИСТЕМОЙ MATLAB. ОДНОМЕРНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 93.5 KB
  Язык программирования Matlab является интерпретатором. Это значит, что каждая инструкция программы распознается и тут же исполняется. Этап компиляции полной программы отсутствует. Интерпретация означает, что Matlab не создает исполняемых конечных программ. Они существуют лишь в виде m-файлов (файлов с расширением m)
36820. Определение уровня качества технических средств защиты информации 146.5 KB
  Цель работы Изучение методов определения показателей качества технических средств защиты информации и практическое определение их уровня качества с использованием комплексных показателей. Основные понятия термины и определения теории качества Технические средства защиты информации ТСЗИ в большинстве случаев представляют собой радиоэлектронные устройства РЭУ предназначенные для обнаружения и подавления прослушивающих устройств шифрования и кодирования информации защиты информации в возможных каналах утечки. Поэтому знание методов...
36821. ИЗУЧЕНИЕ РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА 101 KB
  ОТЧЁТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1 ИЗУЧЕНИЕ РАВНОУСКОРЕННОГО ДВИЖЕНИЯ НА МАШИНЕ АТВУДА. В первом случае используя формулу пути при равноускоренном движении h=1t2 2 получим 1=2h t2 1 где пройденный грузами путь h и время движения t измеряются непосредственно. При втором способе формулу для определения ускорения на этом участке движения h получим из рассмотрения изменения энергии системы Ek= Где v линейная...
36822. Сведения о некоторых командах ОС UNIX. Сведения к лабораторной работе 115 KB
  ls поданная без параметров команда выводит список файлов и каталогов содержащихся в текущем каталоге. Например чтобы получить список файлов в каталоге usr sbin необходимо использовать команду ls usr sbin У команды ls есть множество ключей которые нужны главным образом для того чтобы выводить дополнительную информацию о файлах в каталоге или выводить указанный список файлов вместо указания имен файлов можно использовать шаблоны. ll выводит список всех имен файлов каталога включая скрытые А lmostll выводит список всех...
36823. Запуск Word. Выход из Word. Настройка пользовательского интерфейса. Открытие и сохранение документа 294 KB
  Выход из Word. Существует несколько способов запустить Microsoft Word для Windows 95. Если вы запускаете Word с помощью кнопки Пуск Windows 95 Word создает пустой незаполненный документ.