10988

Сглаживание временного ряда (выделение неслучайной компоненты)

Лекция

Математика и математический анализ

Сглаживание временного ряда выделение неслучайной компоненты Одной из важнейших задач исследования временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса выраженной неслучайной составляющей тренда либо тренда с циклической или/и сезонной ком...

Русский

2013-04-03

98.62 KB

51 чел.

Сглаживание временного ряда (выделение неслучайной компоненты)

Одной из важнейших задач исследования временного ряда является выявление основной тенденции изучаемого процесса, выраженной неслучайной составляющей  (тренда, либо тренда с циклической или/и сезонной компонентой).

Для решения этой задачи необходимо выбрать модель (вид функции) . Наиболее часто используются следующие функции:

  1.  линейная

  1.  полиномиальная

  1.  экспоненциальная

  1.  логистическая

  1.  Гомперца

где .

Из двух функций предпочтение, обычно, отдается той, для которой сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных – минимальна. Однако этот принцип нельзя доводить до абсурда, т.к. для любого ряда из  точек можно подобрать полином -й степени, проходящий через все точки. В этом случае сумма квадратов отклонений будет равна нулю, однако при этом бессмысленно говорить о выделении основной тенденции, учитывая случайный характер эмпирических данных (точек). На практике, при прочих равных условиях предпочтительно использовать более простые функции.

Значения временного ряда  или  рассматриваются как зависимая переменная, а время  как объясняющая:

 

где  возмущения, представляющие независимые и одинаково распределенные случайные величины, распределение которых предполагается нормальным. Как и в регрессионном анализе, для определения коэффициентов (параметров) модели воспользуемся методом наименьших квадратов. Представим функцию  в виде линейной комбинации базисных функций, являющихся линейно независимыми степенными функциями. Учтем, что во временных рядах в качестве аргумента  берем , а . Тогда для линейной модели матрица Грама примет вид:

Для квадратичной (параболической) функции  получим матрицу Грама:

Учитывая, что значения переменной  образуют натуральный ряд чисел от 1 до  суммы из (25.2) и (25.3) можно выразить через число членов ряда:

Пример 1.  По данным (Пример 2, Лекция 24) найдем уравнение неслучайной составляющей (тренда) для временного ряда , полагая тренд линейным.

РЕШЕНИЕ. По формуле (25.4) вычислим:  

Система нормальных уравнений имеет вид:

Отсюда  и уравнение тренда: , т.е. спрос ежегодно увеличивается, в среднем, на 25.7 усл.ед. Исходный ряд и модель линейного тренда приведена на рис.1.

Рис. 1. Линейное сглаживание временного ряда

Проверим качество линейной модели тренда по  критерию на 5%-ном уровне значимости. Для этого вычислим суммы квадратов:

  1.  обусловленную регрессией –
  2.  общую –
  3.  остаточную –

По формуле (13.3) значение статистики

Следовательно, принимаем альтернативную гипотезу  уравнение тренда значимо.

Модель скользящего среднего

Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т.е. выделения неслучайной составляющей, является метод скользящего среднего. Метод основан на переходе от исходных эмпирических данных к средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени "скользит" вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда. Действительно, если индивидуальный разброс значений члена временного ряда  около своего среднего (сглаженного) значения  характеризуется дисперсией , то разброс средних из  членов временного ряда  около того же значения  будет характеризоваться существенно меньшей величиной дисперсии, равной . Для усреднения могут быть использованы средняя арифметическая (простая и с некоторым весом), медиана и др.

Пример 2.  По данным (Пример 2, Лекция 24) найдем уравнение неслучайной составляющей (тренда) для временного ряда  методом скользящего среднего. В качестве усреднения используем простую среднюю арифметическую оценку с интервалом сглаживания  года.

РЕШЕНИЕ. Скользящие средние находим по формуле:

Здесь  нечетное число; при . В результате получим сглаженный ряд:

t

1

2

3

4

5

6

7

8

-

225.0

241.0

305.7

329.3

336.3

358.0

-

Полученный результат представлен на рис. 2.

Рис. 2. Сглаживание временного ряда (сплошная ломанная – исходный ряд;
прямая – линейная модель; пунктирная ломанная – скользящее среднее
m=3)

Прогнозирование временных рядов

Одна из важнейших задач анализа временного (динамического) ряда состоит в прогнозировании на его основе развития изучаемого процесса. При этом исходят из того, что тенденция развития, установленная в прошлом, может быть распространена (экстраполирована) на будущий период.

Задача ставится так: имеется временной (динамический) ряд
, необходимо дать прогноз уровня этого ряда на момент времени .

Если рассматривать временной ряд как регрессионную модель изучаемого признака по переменной "время", то к нему могут быть применены рассмотренные выше методы анализа. Следует, однако, вспомнить, что одна из основных предпосылок регрессионного анализа состоит в том, что возмущения  представляют собой независимые случайные величины с математическим ожиданием (средним значением) равным нулю. А при работе с временными рядами такое допущение оказывается в большинстве случаев неверным.

Действительно, если вид функции тренда выбран неудачно, то вряд ли можно говорить о том, что отклонения от нее (возмущения ), являются независимыми. В этом случае наблюдается заметная концентрация положительных и отрицательных возмущений, и можно предполагать их взаимосвязь. Если последовательные значения  коррелируют между собой, то говорят об автокорреляции возмущений (остатков, ошибок).

Метод наименьших квадратов, вообще говоря, и в случае автокорреляции возмущений дает несмещенные и состоятельные оценки параметров, однако их интервальные оценки могут содержать грубые ошибки. В случае выявления автокорреляции возмущений целесообразно вновь вернуться к проблеме спецификации уравнений регрессии (выбора функции тренда), пересмотреть набор включенных в него переменных и т.п.

Наиболее простым и достаточно надежным критерием определения автокорреляции возмущений является критерий Дарбина – Уотсона. С помощью этого критерия проверяется гипотеза об отсутствии автокорреляции между соседними остаточными членами ряда  и  (для лага ), где  выборочная оценка . Статистика критерия достаточно подробно рассмотрена в лекции № 13, формулы (13.5 – 13.6).

Пример 3.  По данным (Пример 2, Лекция 24) выявим на уровне значимости  наличие автокорреляции возмущений для временного ряда . В случае отсутствия значимой автокорреляции возмущений методами регрессионного анализа найдем точечную и интервальную оценки уровней ряда с надежностью (доверительной вероятностью) . Прогноз среднего и индивидуального значений спроса на некоторый товар необходимо дать на момент  (девятый год).

РЕШЕНИЕ. В примере 1 было получено уравнение тренда:
. Все расчеты, необходимые для вычисления  статистики (Дарбина – Уотсона) сведены в таблицу:

t

1

213

207.0

6.0

2

171

232.7

-61.7

6.0

-370.2

3806.9

3

291

258.4

32.6

-61.7

-2011.4

1062.8

4

309

284.0

25.0

32.6

815.0

625.0

5

317

309.7

7.3

25.0

182.5

53.3

5

362

335.4

26.6

7.3

194.2

707.6

7

351

361.1

-10.1

26.6

-268.7

102.0

8

361

386.8

-25.8

-10.1

260.6

665.6

1198.0

7023.2

Теперь по формуле (13.6) статистика . Так как в статистических таблицах минимальное значение , у нашего же ряда , поэтому воспользуемся "грубым" правилом: считаем, что автокорреляция остатков отсутствует, если . Таким образом, для рассматриваемого временного ряда спроса на уровне значимости  гипотеза об отсутствии автокорреляции возмущений принимается.

Вычислим условное математическое ожидание, оценкой для которого является групповая средняя:

(усл. ед.).

Теперь вычислим оценку  дисперсии : . Вычислим оценку дисперсии групповой средней, учитывая (12.14):

По таблицам получим . Теперь по формуле (12.14) получим интервальную оценку среднего спроса:

;

Для нахождения интервальной оценки прогноза индивидуального значения  вычислим дисперсию оценки:

;

Теперь получим интервальную оценку индивидуального значения:

;

Итак, с надежностью 0.95 среднее значение спроса на товар на девятый год будет находиться в пределах от 347 до 477.8 (усл. ед.) а его индивидуальное значение – от 306 до 518.8 (усл. ед.).

Авторегрессионная модель

Для конкретного временного ряда далеко не всегда удается подобрать адекватную модель вида (25.1), для которой ряд возмущений  будет удовлетворять основным предпосылкам регрессионного анализа, в частности, не будет автокоррелирован. В этом случае целесообразно попытаться использовать другие модели, например, авторегрессионные, учитывающие влияние предыдущих уровней фактора.

Авторегрессионная модель p-го порядка имеет вид:

где  некоторые константы. Модель описывает изучаемый процесс в момент  в зависимости от его значений в предыдущие моменты .

Если исследуемый процесс  в момент  определяется лишь его значениями в предшествующий период , то рассматривают авторегрессионную модель 1-го порядка (марковский случайный процесс):

Пример 4.  В таблице, приведенной ниже, представлены данные, отражающие динамику курса акций некоторой компании ($).

t

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

971

1166

1044

907

957

727

752

1019

972

815

823

t

12

13

14

15

17

17

18

19

20

21

22

1112

1386

1428

1364

1241

1145

1351

1325

1226

1189

1213

Необходимо построить авторегрессионную модель 1-го порядка, дать точечный и интервальный прогнозы среднего и индивидуального значения курса акций в момент t = 23.

РЕШЕНИЕ. Попытка построить линейную и полиномиальную модель вида (25.1) оказалась бесполезной. Построим авторегрессионную модель тренда вида (25.7). Неизвестные коэффициента получим, решив матрицу Грама (25.2):

.

Найденное уравнение регрессии значимо на 5%-ном уровне (критерий Фишера – Снедекора), так как полученное значение статистики
.

Проверка критерия Дарбина – Уотсона свидетельствует о незначимой автокорреляции возмущений .

Вычислим точечный прогноз . Интервальные оценки для среднего и индивидуального значения на уровне значимости 0.05 вычислим по формулам (см. пример 3). Получим окончательные оценки: .

Итак, с доверительной вероятностью 0.95 среднее значение курса акций данной компании на момент t = 23 будет заключен в пределах от 1046.6 до 1341.6 ($), а его индивидуальное значение – от 879.1 до 1509.1 ($).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5592. Экономические ресурсы 63.5 KB
  Экономические ресурсы Выполнение основной цели деятельности предприятий - создание товаров и услуг, удовлетворяющих потребности людей, увеличение прибыли — предполагает использование экономических ресурсов. Пол экономическими ресурсами мы...
5593. Измерение расстояния по времени прохождения сигнала 416 KB
  Измерение расстояния по времени прохождения сигнала Рассмотрим три метода измерения расстояния, основанные на определении времени прохождения сигнала между объектом и приемником. Два из них - лазерные, один - ультразвуковой. Первый метод...
5594. Сравнительные исследования и анализ нововременных концепций времени 95 KB
  Что такое время. Этот вопрос с давних пор волновал человека. Ибо время постоянно присутствует в нашей жизни, определяет ее ход. На вопрос: что такое время? - мыслители разных эпох отвечали по-разному. В одну эпоху господствовала одна т...
5595. Яйца и яичные продукты. Технологические характеристики и химический состав яиц 120 KB
  Вводная часть. Яйца содержат большинство известных питательных веществ и являются низкокалорийным продуктом (2 яйца - 180 калорий). В яйцах содержится полноценный и легкоусвояемый набор белков, поэтому они полезны в качестве гарнира. Можно пода...
5596. Сенсорная алалия как лексико-грамматическое нарушение речи 78 KB
  Алалия относится к разряду органических речевых нарушений центрального характера. В настоящее время термином алалия принято обозначать тяжелое нарушение речи, обусловленное недоразвитием или поражением речевых областей в левом доминантном...
5597. Обеспечение качества воздушной среды. Защита от вредных веществ и обеспечение параметров микроклимата 193.5 KB
  Обеспечение качества воздушной среды. Защита от вредных веществ и обеспечение параметров микроклимата. Причины и характер загрязнения воздушной среды. Действие вредных веществ загрязнителей воздушной среды на человека. Нормирование...
5598. Международная торговля и торговая политика. Перспективы их развития 196 KB
  Почему государства торгуют? Что составляет основу торговли между странами? В общем виде международная торговля является средством, с помощью которого страны могут развивать специализацию, повышать производительность своих ресурсов и таким о...
5599. Особенности проведения аудита на предприятиях. Курс лекций 519.5 KB
  Аудит в системе финансового контроля Российской Федерации. Понятие аудиторской деятельности Виды аудита Цели и задачи аудита Виды сопутствующих аудиту услуг Понятие аудиторской деятельности С возникновением...
5600. Законы Ньютона 27.5 KB
  Законы Ньютона. Кинематика устанавливает законы движения материальной точки, но не указывает причины вызвавшие это движение, а также факторы, влияющие на вариации кинематических параметров движения. Законы Ньютона, сформулированные более 300 лет наз...