10989

Newton Interpolating Polynomial

Лекция

Математика и математический анализ

Newton Interpolating Polynomial Case 1: Constant Polynomial Only one xvalue is given in the table X x1 Y y1 Let P0x be the interpolating polynomial function. Hence P0x1 = y1. It passes through the one point x1y1 given in the table. Hence choose 6.1 Case 2: Linear Polynomial Two xvalues are given in the table ...

Английский

2013-04-03

76.5 KB

0 чел.

Newton Interpolating Polynomial

Case 1: Constant Polynomial Only one x-value is given in the table

X

x1

Y

y1

Let P0(x) be the interpolating polynomial function. Hence,
P0(x1) = y1. It passes through the one point (x1,y1) given in the table. Hence, choose

(6.1)

Case 2: Linear Polynomial Two x-values are given in the table

X

x1

x2

Y

y1

y2

Let P1(x) be the interpolating polynomial function. Hence, P1(x1) = y1, P1(x2) = y2. In this case P1(x) passes through the two points (x1,y1) and (x2,y2). Choose P1(x) as the straight. Hence the equation of the line is

where slope of the line we signify as

But y1 = P0(x) from equation (6.1). Therefore,

.   (6.2)

Case 3: Polynomial of order k

Let Pk-1(x) be the polynomial interpolating a table with k values as given below:

X

x1

x2

x3

...

xk

Y

y1

y2

y3

...

yk

So we have, Pk-1(x1) = y1,

 Pk-1(x2) = y2,

Pk-1(x3) = y3,

...

Pk-1(xk) = yk.

Consider Pk(x) defined as

. (6.3)

Note that (x - xi) is a factor of the second term for 1 <= i <= k, and hence the second term vanishes for x = xi for 1 <= i <= k. Also,

Pk(x1)=Pk-1(x1) = y1,

 Pk(x2)=Pk-1(x2) = y2,

...

Pk(xk)=Pk-1(xk) = yk.

Hence Pk(x) interpolates all the values Pk-1(x) interpolates. Suppose a table with k+1 values, x1, x2... xk, xk+1 is given as below:

X

x1

x2

x3

...

xk

xk+1

Y

y1

y2

y3

...

yk

yk+1

In order that Pk(x) interpolates the table, it should satisfy the last pair (xk+1, yk+1).

Hence,

,

,

.  (6.4)

Hence (see (6.3)),

,

interpolates a table of (k+1) values, where ck is given by (6.4).

Note 

 Pk(x) is a polynomial of order k defined recursively in terms of Pk-1(x), and the base case is given by P0(x) = y1.

 Pk(x) is known as Gregory-Newton interpolation polynomial.

Example

Using the Gregory-Newton polynomial, interpolate the following table and find the value of P4(3):

X

0

1

-1

2

-2

Y

-5

-3

-15

39

-9

Step 1 Constant Polynomial

Using the first pair (0,-5) we get the constant polynomial as

P0(x) = -5.

Graphing the constant function along with the point it interpolates we get the following figure.

Step 2 Linear Polynomial

The linear polynomial that interpolates the first two pairs (0, -5) and (1, -3) is given by:

P1(x) = P0(x) + c1(x - x1),

where c1 is given by (6.4):

.

Substituting for P0(x), c1 and x1, we get

P1(x) = -5 + 2x.

Graphing the linear function along with the points it interpolates we get the Figure 6.3.

Step 3 Quadratic Polynomial

The Quadratic polynomial that interpolates the first three pairs
(0, -5), (1, -3) and (-1, -15) is given by:

P2(x) = P1(x) + c2(x - x1) (x - x2).

Substituting for P1(x), x1 and x2, we get

P2(x) = -5 + 2x + c2(x - 0) (x - 1).

P2(x) interpolates (-1,-15). Hence,

-15 = -5 + 2(-1) + c2(-1)(-2),   2c2 = -8  c2 = -4.

So we have the quadratic polynomial

P2(x) = -5 + 2x -4x(x-1).

Graphing the quadratic function along with the points it interpolates we get the following figure.

Step 4 Cubic Polynomial

The Cubic polynomial that interpolates the first four pairs (0, -5), (1, -3), (-1, -15) and (2, 39) is given by:

P3(x) = P2(x) + c3(x - x1) (x - x2) (x - x3).

Substituting for P2(x), x1, x2 and x3, we get

P3(x) = -5 + 2x -4x(x - 1) + c3(x - 0) (x - 1)(x + 1).

P3(x) interpolates (2, 39). Hence,

39 = -5 + 2(2) - 4(2)(2-1) + c32(2-1)(2+1),

6c3 = 39 + 9 c3 = 48/6 = 8.

P3(x) = -5 + 2x -4x(x - 1)+8x(x - 1)(x + 1).

Illustrating the cubic function along with the points it interpolates we get the following figure.

Step 5 Polynomial of order 4

The polynomial of order 4 that interpolates all the five pairs
(0, -5), (1, -3), (-1, -15), (2, 39) and (-2, -9) is given by:

P4(x) = P3(x) + c4(x - x1) (x - x2) (x - x3)(x - x4).

Substituting for P3(x), x1, x2, x3,and x4, we get

P4(x) = -5 + 2x - 4x(x - 1) + 8x(x - 1)(x + 1) +

+ c4(x - 0) (x - 1)(x + 1)(x - 2).

Substituting for point (-2, -9) in P4(x), we get

-9 = -5 + 2(-2) - 4(-2)(-2 - 1) +8(-2)(-2 - 1)(-2 + 1) +

+ c4(-2)(-2 -1)(-2 + 1)(-2 -2),

24c4 = -9 + 9 +24 +48,  c4 = 72/24 = 3.

P4(x) = -5 + 2x - 4x(x -1) + 8x(x -1)(x +1) + 3x(x -1)(x +1)(x - 2).

Graphing the biquadratic function along with the points it interpolates we get the following figure.

Figure 6.6. Biquadratic function – five points.

The polynomial P4(x) can be written in a nested form as follows:

P4(x) = -5 + 2x -4x(x - 1) + x(x - 1)(x + 1){8 + 3(x - 2)} =

= -5 +2x + x(x - 1){-4 + (x + 1){8 + 3(x - 2)}} =

= -5 + x{2 +(x - 1){-4 + (x + 1){8 +3(x - 2)}}}.

Step 6 Find the value of P4(3)

Using the nested form, we have:

P4(3) = - 5 + 3 (2 + (3 - 1)(-4 + (3 + 1) (8 + 3(3 - 2)))) =

= -5 + 3 (2 + (3 - 1)(-4 + (3 + 1)(8 + 3))) =

= -5 + 3 (2 + (3 - 1)(-4 + 44)) =

= -5 + 3 (2 + 80) =

= -5 + 246 =

= 241.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48794. Великое изобретение российского учёного А. С. Попова 1.45 MB
  МАЙКЛ ФАРАДЕЙ 1 Кем был МАЙКЛ ФАРАДЕЙ 2 Кто помог ему стать ученым и как он делал его 3 Что сделало M. Фарадей обнаруживает 4 Почему его открытие было так важно МАЙКЛ ФАРАДЕЙ 17911867 великий английский экспериментальный физик родился в семье кузнеца. Занимая время от его работы ФАРАДЕЙ сумел прочитать некоторые книги проходящие через его руки и стал очень заинтересованным наукой. В 18141815 путешествиях с Дэйви на континенте ФАРАДЕЙ видел и слышал многих известных континентальных ученых.
48795. Анализ и синтез цифровых комбинационных схем 3.49 MB
  Напишем, применяя правила де Моргана, логические функции для управления входами Di триггеров в базисе 2И-НЕ: Нарисуйте принципиальную схему проектируемого устройства самостоятельно, пользуясь его блок-схемой: Протестируйте схему в подходящей программе моделирования и убедитесь в ее работоспособности
48796. Оценка долгосрочного кредитного рейтинга S and P для компаний на основе финансовых коэффициентов 167 KB
  Кредитный рейтинг выражает мнение Stndrd Poors относительно способности и готовности эмитента своевременно и в полном объеме выполнять свои финансовые обязательства. Кредитные рейтинги могут присваиваться эмитенту суверенному правительству региональным и местным органам власти корпорациям финансовым институтам объектам инфраструктуры страховым компаниям управляемым фондам или отдельному долговому обязательству...
48797. ОБЛАДНАННЯ ДІЛЯНКИ ЗАЛІЗНИЦІ ПРИСТРОЯМИ АВТОМАТИКИ І ТЕЛЕМЕХАНІКИ 538.5 KB
  Автоматичну дію прохідних світлофорів забезпечують колійні датчики – рейкові кола (РК) або лічильники осей. На Україні в якості колійного датчика на магістральних залізницях, які повністю устатковуються АБ, застосовуються тільки рейкові кола