10989

Newton Interpolating Polynomial

Лекция

Математика и математический анализ

Newton Interpolating Polynomial Case 1: Constant Polynomial Only one xvalue is given in the table X x1 Y y1 Let P0x be the interpolating polynomial function. Hence P0x1 = y1. It passes through the one point x1y1 given in the table. Hence choose 6.1 Case 2: Linear Polynomial Two xvalues are given in the table ...

Английский

2013-04-03

76.5 KB

0 чел.

Newton Interpolating Polynomial

Case 1: Constant Polynomial Only one x-value is given in the table

X

x1

Y

y1

Let P0(x) be the interpolating polynomial function. Hence,
P0(x1) = y1. It passes through the one point (x1,y1) given in the table. Hence, choose

(6.1)

Case 2: Linear Polynomial Two x-values are given in the table

X

x1

x2

Y

y1

y2

Let P1(x) be the interpolating polynomial function. Hence, P1(x1) = y1, P1(x2) = y2. In this case P1(x) passes through the two points (x1,y1) and (x2,y2). Choose P1(x) as the straight. Hence the equation of the line is

where slope of the line we signify as

But y1 = P0(x) from equation (6.1). Therefore,

.   (6.2)

Case 3: Polynomial of order k

Let Pk-1(x) be the polynomial interpolating a table with k values as given below:

X

x1

x2

x3

...

xk

Y

y1

y2

y3

...

yk

So we have, Pk-1(x1) = y1,

 Pk-1(x2) = y2,

Pk-1(x3) = y3,

...

Pk-1(xk) = yk.

Consider Pk(x) defined as

. (6.3)

Note that (x - xi) is a factor of the second term for 1 <= i <= k, and hence the second term vanishes for x = xi for 1 <= i <= k. Also,

Pk(x1)=Pk-1(x1) = y1,

 Pk(x2)=Pk-1(x2) = y2,

...

Pk(xk)=Pk-1(xk) = yk.

Hence Pk(x) interpolates all the values Pk-1(x) interpolates. Suppose a table with k+1 values, x1, x2... xk, xk+1 is given as below:

X

x1

x2

x3

...

xk

xk+1

Y

y1

y2

y3

...

yk

yk+1

In order that Pk(x) interpolates the table, it should satisfy the last pair (xk+1, yk+1).

Hence,

,

,

.  (6.4)

Hence (see (6.3)),

,

interpolates a table of (k+1) values, where ck is given by (6.4).

Note 

 Pk(x) is a polynomial of order k defined recursively in terms of Pk-1(x), and the base case is given by P0(x) = y1.

 Pk(x) is known as Gregory-Newton interpolation polynomial.

Example

Using the Gregory-Newton polynomial, interpolate the following table and find the value of P4(3):

X

0

1

-1

2

-2

Y

-5

-3

-15

39

-9

Step 1 Constant Polynomial

Using the first pair (0,-5) we get the constant polynomial as

P0(x) = -5.

Graphing the constant function along with the point it interpolates we get the following figure.

Step 2 Linear Polynomial

The linear polynomial that interpolates the first two pairs (0, -5) and (1, -3) is given by:

P1(x) = P0(x) + c1(x - x1),

where c1 is given by (6.4):

.

Substituting for P0(x), c1 and x1, we get

P1(x) = -5 + 2x.

Graphing the linear function along with the points it interpolates we get the Figure 6.3.

Step 3 Quadratic Polynomial

The Quadratic polynomial that interpolates the first three pairs
(0, -5), (1, -3) and (-1, -15) is given by:

P2(x) = P1(x) + c2(x - x1) (x - x2).

Substituting for P1(x), x1 and x2, we get

P2(x) = -5 + 2x + c2(x - 0) (x - 1).

P2(x) interpolates (-1,-15). Hence,

-15 = -5 + 2(-1) + c2(-1)(-2),   2c2 = -8  c2 = -4.

So we have the quadratic polynomial

P2(x) = -5 + 2x -4x(x-1).

Graphing the quadratic function along with the points it interpolates we get the following figure.

Step 4 Cubic Polynomial

The Cubic polynomial that interpolates the first four pairs (0, -5), (1, -3), (-1, -15) and (2, 39) is given by:

P3(x) = P2(x) + c3(x - x1) (x - x2) (x - x3).

Substituting for P2(x), x1, x2 and x3, we get

P3(x) = -5 + 2x -4x(x - 1) + c3(x - 0) (x - 1)(x + 1).

P3(x) interpolates (2, 39). Hence,

39 = -5 + 2(2) - 4(2)(2-1) + c32(2-1)(2+1),

6c3 = 39 + 9 c3 = 48/6 = 8.

P3(x) = -5 + 2x -4x(x - 1)+8x(x - 1)(x + 1).

Illustrating the cubic function along with the points it interpolates we get the following figure.

Step 5 Polynomial of order 4

The polynomial of order 4 that interpolates all the five pairs
(0, -5), (1, -3), (-1, -15), (2, 39) and (-2, -9) is given by:

P4(x) = P3(x) + c4(x - x1) (x - x2) (x - x3)(x - x4).

Substituting for P3(x), x1, x2, x3,and x4, we get

P4(x) = -5 + 2x - 4x(x - 1) + 8x(x - 1)(x + 1) +

+ c4(x - 0) (x - 1)(x + 1)(x - 2).

Substituting for point (-2, -9) in P4(x), we get

-9 = -5 + 2(-2) - 4(-2)(-2 - 1) +8(-2)(-2 - 1)(-2 + 1) +

+ c4(-2)(-2 -1)(-2 + 1)(-2 -2),

24c4 = -9 + 9 +24 +48,  c4 = 72/24 = 3.

P4(x) = -5 + 2x - 4x(x -1) + 8x(x -1)(x +1) + 3x(x -1)(x +1)(x - 2).

Graphing the biquadratic function along with the points it interpolates we get the following figure.

Figure 6.6. Biquadratic function – five points.

The polynomial P4(x) can be written in a nested form as follows:

P4(x) = -5 + 2x -4x(x - 1) + x(x - 1)(x + 1){8 + 3(x - 2)} =

= -5 +2x + x(x - 1){-4 + (x + 1){8 + 3(x - 2)}} =

= -5 + x{2 +(x - 1){-4 + (x + 1){8 +3(x - 2)}}}.

Step 6 Find the value of P4(3)

Using the nested form, we have:

P4(3) = - 5 + 3 (2 + (3 - 1)(-4 + (3 + 1) (8 + 3(3 - 2)))) =

= -5 + 3 (2 + (3 - 1)(-4 + (3 + 1)(8 + 3))) =

= -5 + 3 (2 + (3 - 1)(-4 + 44)) =

= -5 + 3 (2 + 80) =

= -5 + 246 =

= 241.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22255. Черепно-мозговая травма (ЧМТ) 48 KB
  Изучение расстройств дыхания при тяжелой ЧМТ важно прежде всего потому что развиваясь в остром периоде травмы дыхательная недостаточность ДН не только усугубляет тяжесть состояния больных но и является одной из причин летального исхода. Велико социальное значение ЧМТ. Оно обусловлено: преимущественным поражением лиц в возрасте до 50ти лет наиболее активных в социальном и трудовом отношении; как причина смертности и инвалидности у лиц молодого возраста ЧМТ опережает сердечнососудистые и онкологические заболевания; 3 полное...
22256. АНАТОМИЯ, КЛИНИЧЕСКАЯ ФИЗИОЛОГИЯ ЦНС 51 KB
  Содержимое супратенториальной части представлено большими полушариями головного мозга которые функционально чрезвычайно важны. Важную роль во вторичном повреждении головного мозга отводят фальксу и вырезке тенториума что связано с дислокацией и вклинением структур мозга более подробно. даление при увеличении лобной доли вклинение под фалькс результат: cingulate gyrus ишемия в бассейне ПМА вырезка намета мозжечка стволовые отделы сознание ножки мозга с чувствительными и двигательными путями глазодвигательный нерв проксимальный...
22257. АНЕСТЕЗИОЛОГИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ У БОЛЬНЫХ С ЦЕРЕБРАЛЬНЫМИ АРТЕРИАЛЬНЫМИ АНЕВРИЗМАМИ 115.5 KB
  Эта патология имеет врожденную этиологию однако аневризмы могут возникать и как приобретенная патология развиваясь вторично при дегенеративных процессах; часто встречаются у гипертоников [II] 21 больных с церебральными артериальными аневризмами АА имеют более чем одну аневризму [7]. Примерно 1 3 больных погибают или остаются глубокими инвалидами после первого же кровоизлияния а из оставшихся больных только 1 3 остаются функционально полноценными [9]. предложили клиническую систему градации состояния больных с САК.
22258. ПРИНЦИПЫ ИНТЕНСИВНОЙ ТЕРАПИИ ПРИ ОСТРЫХ СУБАРАХНОИДАЛЬНЫХ КРОВОИЗЛИЯНИЯХ НЕТРАВМАТИЧЕСКОЙ ЭТИОЛОГИИ 127 KB
  Cerebral arterial spasm: a controlled trial of nimodipine in patients with subarachnoid hemorrhage. Clinical vasospasm after subarachnoid hemorrhage: response to hypervolemic hemodilution and arterial hypertension. Intracerebral hemorrhage more than twice as common as subarachnoid hemorrhage. Aspects of the medical management in aneurysmal subarachnoid hemorrhage.
22259. КОРРЕКЦИЯ АРТЕРИАЛЬНОЙ ГИПЕРТЕНЗИИ В ПРАКТИКЕ ИНТЕНСИВНОЙ ТЕРАПИИ БОЛЬНЫХ С ЧЕРЕПНО-МОЗГОВОЙ ТРАВМОЙ И СОСУДИСТЫМИ ЗАБОЛЕВАНИЯМИ ГОЛОВНОГО МОЗГА 73.5 KB
  Повышенное АД традиционно считается неблагоприятным фактором для прогноза заболеваний головного мозга что объясняется несколькими причинами. Кроме того ряд авторов рассматривают артериальную гипертензию как пусковой фактор вазогенного отека мозга изза развития феномена роскошной перфузии . Эти исследователи предполагают что избыточный кровоток в церебральных сосудах может приводить к транскапиллярному переходу жидкой части крови в интерстициальное пространство развитию отека и дислокации мозга [2122].
22260. Лечение постперфузионной энцефалопатии 26 KB
  У каждого больного после искусственного кровообращения страдает церебральная ауторегуляция и происходит ишемия и отек головного мозга.В первые пять суток после развития потери сознания или судорог терапия должна быть направлена на поддержание нормального давления крайне нежелательна и даже губительна гипертензия и на максимально возможное подавление функциональной активности головного мозга. Падение ликворного давления на 34 сутки может являться результатом вклинения ствола мозга и декомпенсации отека.
22261. МОЗГОВОЙ КРОВОТОК 66.5 KB
  Торакальная и люмбальная порции спинного мозга не имеют в такой степени расширенного кровотока. Цереброваскулярное сосудистое русло постоянно находится под влиянием определенного количества физических и химических стимулов которые алаптируют калибр мозговых сосудов потребностям различных отделов головного мозга в зависимости от их функциональной активности. Конечной целью присходящих процессов яваляется: поддержание и быстрое изменение локального МК в зависимости от метаболической потребности различных отделов головного мозга; обеспечение...
22262. ИНФЕКЦИОННЫЕ БОЛЕЗНИ (ИБ) 43.5 KB
  Легкая форма гриппа характеризуется острым катаром верхних дыхательных путей. Эта форма длится несколько дней и завершается полным выздоровлением. Тяжелая форма гриппа имеет две разновидности: первая связана с резкой интоксикацией вторая – легочными осложнениями при присоединении вторичной инфекции. Папулопустулезная форма характеризуется появлением на коже сыпи в виде узелков папула и гнойничков пустула на лице голове шее груди спине.
22263. КИШЕЧНЫЕ ИНФЕКЦИИ (КИ) 40.5 KB
  ДИЗЕНТЕРИЯ ШИГЕЛЛЕЗ – острое кишечное инфекционное заболевание с поражением толстой кишки и признаками интоксикации антропоноз. Шигеллы размножаются в энтероцитах толстой кишки что ведет к некрозу клеток. Местные изменения развиваются в слизистой толстой кишки в основном в прямой и сигмовидной что проявляется дизентерийным колитом. Просвет кишки сужен.