10989

Newton Interpolating Polynomial

Лекция

Математика и математический анализ

Newton Interpolating Polynomial Case 1: Constant Polynomial Only one xvalue is given in the table X x1 Y y1 Let P0x be the interpolating polynomial function. Hence P0x1 = y1. It passes through the one point x1y1 given in the table. Hence choose 6.1 Case 2: Linear Polynomial Two xvalues are given in the table ...

Английский

2013-04-03

76.5 KB

0 чел.

Newton Interpolating Polynomial

Case 1: Constant Polynomial Only one x-value is given in the table

X

x1

Y

y1

Let P0(x) be the interpolating polynomial function. Hence,
P0(x1) = y1. It passes through the one point (x1,y1) given in the table. Hence, choose

(6.1)

Case 2: Linear Polynomial Two x-values are given in the table

X

x1

x2

Y

y1

y2

Let P1(x) be the interpolating polynomial function. Hence, P1(x1) = y1, P1(x2) = y2. In this case P1(x) passes through the two points (x1,y1) and (x2,y2). Choose P1(x) as the straight. Hence the equation of the line is

where slope of the line we signify as

But y1 = P0(x) from equation (6.1). Therefore,

.   (6.2)

Case 3: Polynomial of order k

Let Pk-1(x) be the polynomial interpolating a table with k values as given below:

X

x1

x2

x3

...

xk

Y

y1

y2

y3

...

yk

So we have, Pk-1(x1) = y1,

 Pk-1(x2) = y2,

Pk-1(x3) = y3,

...

Pk-1(xk) = yk.

Consider Pk(x) defined as

. (6.3)

Note that (x - xi) is a factor of the second term for 1 <= i <= k, and hence the second term vanishes for x = xi for 1 <= i <= k. Also,

Pk(x1)=Pk-1(x1) = y1,

 Pk(x2)=Pk-1(x2) = y2,

...

Pk(xk)=Pk-1(xk) = yk.

Hence Pk(x) interpolates all the values Pk-1(x) interpolates. Suppose a table with k+1 values, x1, x2... xk, xk+1 is given as below:

X

x1

x2

x3

...

xk

xk+1

Y

y1

y2

y3

...

yk

yk+1

In order that Pk(x) interpolates the table, it should satisfy the last pair (xk+1, yk+1).

Hence,

,

,

.  (6.4)

Hence (see (6.3)),

,

interpolates a table of (k+1) values, where ck is given by (6.4).

Note 

 Pk(x) is a polynomial of order k defined recursively in terms of Pk-1(x), and the base case is given by P0(x) = y1.

 Pk(x) is known as Gregory-Newton interpolation polynomial.

Example

Using the Gregory-Newton polynomial, interpolate the following table and find the value of P4(3):

X

0

1

-1

2

-2

Y

-5

-3

-15

39

-9

Step 1 Constant Polynomial

Using the first pair (0,-5) we get the constant polynomial as

P0(x) = -5.

Graphing the constant function along with the point it interpolates we get the following figure.

Step 2 Linear Polynomial

The linear polynomial that interpolates the first two pairs (0, -5) and (1, -3) is given by:

P1(x) = P0(x) + c1(x - x1),

where c1 is given by (6.4):

.

Substituting for P0(x), c1 and x1, we get

P1(x) = -5 + 2x.

Graphing the linear function along with the points it interpolates we get the Figure 6.3.

Step 3 Quadratic Polynomial

The Quadratic polynomial that interpolates the first three pairs
(0, -5), (1, -3) and (-1, -15) is given by:

P2(x) = P1(x) + c2(x - x1) (x - x2).

Substituting for P1(x), x1 and x2, we get

P2(x) = -5 + 2x + c2(x - 0) (x - 1).

P2(x) interpolates (-1,-15). Hence,

-15 = -5 + 2(-1) + c2(-1)(-2),   2c2 = -8  c2 = -4.

So we have the quadratic polynomial

P2(x) = -5 + 2x -4x(x-1).

Graphing the quadratic function along with the points it interpolates we get the following figure.

Step 4 Cubic Polynomial

The Cubic polynomial that interpolates the first four pairs (0, -5), (1, -3), (-1, -15) and (2, 39) is given by:

P3(x) = P2(x) + c3(x - x1) (x - x2) (x - x3).

Substituting for P2(x), x1, x2 and x3, we get

P3(x) = -5 + 2x -4x(x - 1) + c3(x - 0) (x - 1)(x + 1).

P3(x) interpolates (2, 39). Hence,

39 = -5 + 2(2) - 4(2)(2-1) + c32(2-1)(2+1),

6c3 = 39 + 9 c3 = 48/6 = 8.

P3(x) = -5 + 2x -4x(x - 1)+8x(x - 1)(x + 1).

Illustrating the cubic function along with the points it interpolates we get the following figure.

Step 5 Polynomial of order 4

The polynomial of order 4 that interpolates all the five pairs
(0, -5), (1, -3), (-1, -15), (2, 39) and (-2, -9) is given by:

P4(x) = P3(x) + c4(x - x1) (x - x2) (x - x3)(x - x4).

Substituting for P3(x), x1, x2, x3,and x4, we get

P4(x) = -5 + 2x - 4x(x - 1) + 8x(x - 1)(x + 1) +

+ c4(x - 0) (x - 1)(x + 1)(x - 2).

Substituting for point (-2, -9) in P4(x), we get

-9 = -5 + 2(-2) - 4(-2)(-2 - 1) +8(-2)(-2 - 1)(-2 + 1) +

+ c4(-2)(-2 -1)(-2 + 1)(-2 -2),

24c4 = -9 + 9 +24 +48,  c4 = 72/24 = 3.

P4(x) = -5 + 2x - 4x(x -1) + 8x(x -1)(x +1) + 3x(x -1)(x +1)(x - 2).

Graphing the biquadratic function along with the points it interpolates we get the following figure.

Figure 6.6. Biquadratic function – five points.

The polynomial P4(x) can be written in a nested form as follows:

P4(x) = -5 + 2x -4x(x - 1) + x(x - 1)(x + 1){8 + 3(x - 2)} =

= -5 +2x + x(x - 1){-4 + (x + 1){8 + 3(x - 2)}} =

= -5 + x{2 +(x - 1){-4 + (x + 1){8 +3(x - 2)}}}.

Step 6 Find the value of P4(3)

Using the nested form, we have:

P4(3) = - 5 + 3 (2 + (3 - 1)(-4 + (3 + 1) (8 + 3(3 - 2)))) =

= -5 + 3 (2 + (3 - 1)(-4 + (3 + 1)(8 + 3))) =

= -5 + 3 (2 + (3 - 1)(-4 + 44)) =

= -5 + 3 (2 + 80) =

= -5 + 246 =

= 241.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31364. Влияние визуальной самоподачи образа «я» на конфликтность субъекта общения 8.86 MB
  На современном этапе развития психологии необходимо получение новых научных знаний о роли семиотических компонентов внешнего облика в возникновении и развитии межличностных конфликтов, выявление тех особенностей самоподачи субъекта, которые являются «конфликтогенными». Изучение проблемы не только углубит общенаучное понимание механизмов возникновения конфликтности, но и позволит осуществлять профилактику, коррекцию и поиск путей конструктивного разрешения конфликтов на невербальном уровне, подойти по новому к поиску путей коррекции лиц с повышенной конфликтностью.
31365. Процесс глобализации и национальная экономика 1.18 MB
  Влияние глобализации на позицию страны в системе мирохозяйственных связей. Место страны в системе мирохозяйственных связей: концептуальные положения. Глобальная конкурентоспособность страны: концептуальные основы. Цикл жизнедеятельности страны как концептуальная основа анализа ее глобальной конкурентоспособности.
31366. ПУТЬ БОРИСА ПАСТЕРНАКА К “ДОКТОРУ ЖИВАГО” 1.05 MB
  Другие темы в лирике и в романе. Сравнительный анализ образной парадигмы в лирике и в романе. Сравнительный анализ парадигмы мотивов в лирике и в романе. Многие положения €œОхранной грамоты€ встречаются в романе.
31367. Стратегическое управление фирмой в кризисных условиях 751.5 KB
  Они должны быть достаточно хорошо знакомы с деятельностью компании чтобы знать какие изменения вносить в стратегию. Ещё одно преимущество заключающееся в поощрении активного управления а не в простом реагировании на внешние факторы приводит к тому что новаторские стратегии могут стать ключом к улучшению результатов деятельности компании в долгосрочном плане. Из истории бизнеса известно что высоких результатов добивались обычно компании инициативные и ведущие а не те которые просто реагировали на изменившиеся условия или защищались....
31368. ФИЛОСОФИЯ БЕЗОПАСНОСТИ 414 KB
  ПОЛИКАРПОВ ФИЛОСОФИЯ БЕЗОПАСНОСТИ эссе Ответственный редактор д. Философия безопасности. В эссе рассматривается одна из практически не разработанных проблем современного философского и научного знания – философские основы безопасности жизнедеятельности человека и социума. Автор на основе богатого материала анализирует различные виды опасности и безопасности военную экономическую социальную психологическую информационную и др.
31369. ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОДНОЛЕТНИХ БОБОВО-ЗЛАКОВЫХ АГРОЦЕНОЗОВ В ЛЕСОСТЕПИ СРЕДНЕГО ПОВОЛЖЬЯ 2.79 MB
  Использовались: ячмень овес вика горох одновидовые посевы и смеси. В Тарской сельскохозяйственной опытной станции Омской области высевали овес ячмень горох вику. Колоскина 1979 хорошим компонентом вики в ряде районов являются подсолнечник ячмень суданская трава. Объектами исследований были люпин узколистный люпин желтый вика яровая пшеница яровая ячмень и овес.
31370. НАЛОГОВАЯ СИСТЕМА КАК ИНСТИТУТ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 988 KB
  ИНСТИТУЦИОНАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ НАЛОГОВОЙ СИСТЕМЫ В СОЦИОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ. Теоретическое исследование налоговой системы как института социального управления. Функциональная структура налоговой системы как института социального управления. СТАНОВЛЕНИЕ И РАЗВИТИЕ НАЛОГОВОЙ СИСТЕМЫ КАК ИНСТИТУТА СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ.
31371. МЕТОДОЛОГИЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ДИВЕРСИФИЦИРОВАННЫХ КОРПОРАТИВНЫХ ОБЪЕДИНЕНИЙ в россии 3.47 MB
  Исследование влияния изменения фактора прибыльности продукции ДКО Исследование влияния изменения фактора материалоемкости продукции Исследование влияния изменения фактора трудоемкости продукции Исследование влияния изменения фактора амортизациеемкости продукции
31372. Экономика и управление народным хозяйством: экономика, организация и управление предприятиями, отраслями, комплексами (сфера услуг) 2.46 MB
  СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННО ЭКОНОМИЧЕСКОГО МЕХАНИЗМА РАЗВИТИЯ ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ В РЕГИОНЕ. Анализ организационно экономической деятельности общего образования в Агинском Бурятском автономном округе. Перспективы развития организационно экономического механизма общего образования в регионе