10990

Spline Interpolation

Лекция

Математика и математический анализ

Spline Interpolation In the previous sections n 1th order polynomials were used to interpolate between n date points. For example for eight points we can derive a perfect seventh order polynomial. This curve would capture all the meanderings at least up to and including seventh derivatives suggested by the points. However there are cases where these functions can lead to erroneous results because of roundoff error and overshoot. An alternative approach is to apply low...

Английский

2013-04-03

87.5 KB

1 чел.

Spline Interpolation

In the previous sections, (n – 1)-thorder polynomials were used to interpolate between n date points. For example, for eight points, we can derive a perfect seventh – order polynomial. This curve would capture all the meanderings (at least up to and including seventh derivatives) suggested by the points. However, there are cases where these functions can lead to erroneous results because of round-off error and overshoot. An alternative approach is to apply lower-order polynomials to a subset of date points. Such connecting polynomials are called spline functions.

A spline function is a function consisting of polynomial pieces joined together with certain smoothness conditions. Suppose we are given the following table that needs to be interpolated with splines.

t

t1

t2

t3

...

tn

f(t)

f1

f2

f3

...

fn

In this case is t1 < t2 < t3 < ... < tn. They need not be uniformly spaced and are called knots.

The linear spline is defined by

(6.13)

where Si(x) = ai (xti) + bi. (6.14)

Since each Si(x) is linear, S(x) is piece-wise linear. Let t1 = a and
tn = b, then the domain of S(x) is [a, b]. Moreover, we require that S(x) is continuous on [a, b]. For extrapolating purpose we assume:

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

The constants ai and bi are chosen such that S(x) is continuous on [a, b]:

. (6.15)

To ensure that m-th derivatives are continuous at the knots, a spline at least of (m + 1)-th order must be used. We have decided to first illustrate the concept of spline interpolation using second – order polynomials.

These quadratic splines have continuous first derivatives at the knots. Although quadratic splines do not ensure equal second derivatives at the knots, they serve nicely to demonstrate the general procedure for developing higher – order splines.

The objective in quadratic splines is to derive a second – order polynomial for each interval between date points. The polynomial for each interval can be represented generally as

. (6.16)

For n date points (i = 1, 2, ...n), there are n – 1 intervals and consequently, 3(n – 1) unknown constants (the a's, b's, and c's) to evaluate. Therefore, 3(n – 1) equations or conditions are required to evaluate the unknowns. These are:

1. The function values of adjacent polynomials must be equal at the interior knots. These conditions can be represented as:

  (6.17)

Because only interior knots are used in (6.17), each provides n – 2 for a total of 2n – 4 conditions.

2. The first and last functions must pass through the end points. This adds two additional equations:

(6.18)

3. The first derivatives at the interior knots must be equal. The first derivative of (6.16) is

Therefore, the condition can be represented generally as

, (6.19)

for i = 2 to n – 1. This provides another n – 2 conditions for a total of 2n – 2 + n – 2 = 3n – 4. Because we have 3(n – 1) unknowns, we are one condition short.

4. Assume that the second derivative is zero at the first point. Because the second derivative of (6.16) is 2ai, this condition can be expressed mathematically as

a1 = 0. (6.20)

The visual interpretation of this condition is that the first two points will be connected by a straight line.

5. For extrapolating purpose we assume,

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

 S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

Constructing a Quadratic Spline

Let us denote the derivative of S(x) at ti as zi. Consider the quadratic polynomials,

. (6.21)

It is obvious that .

Also,      and,

.

.

Hence S'(x) is continuous at the interior knots. For S(x) to be continuous, we must have, . So,

.

That is,

.

.

.

Hence,  for . (6.22)

Starting with an assumption for z1, generate z2, z3, z4, ... zn. The polynomials are obtained from equation (6.21).

Example 2

Fit the data in the table below with a) first-order splines, b) quadratic splines, c) use the results to estimate the value at x = 3.3, d) compute percent relative errors for the numerical results.

x

0

1

2

3

4

5

f(x)

0

0.5

0.8

0.9

0.941176

0.961538

Note that the values in the table were generated with the function .

Solution.

a) The slopes for all intervals can be computed (see Table 6.2), and the resulting first-order splines are:

b) Now fit quadratic splines to the same data using formulas:

;

Select , then:

Hence,

  1.  The correct value of the function at x = 3.3 is f(x) = 0.915896.
  2.  The result of first-order splines at x = 3.3 is f(x) = 0.93. The percent relative error is εt = 1.5%. The result of quadratic splines at x = 3.3 is f(x) = 1.029706. The percent relative error is
    εt = 12.4%.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78801. Повторение. Имя существительное и имя прилагательное 83 KB
  Приглашаем отправиться с нами в весёлую страну Грамматику, не забудьте взять с собой быстроту мысли, находчивость, смекалку, сообразительность. Наши команды уже прибыли в эту страну. Знакомьтесь, справа команда «Слово», слева - «Предложение».
78802. Світло згаслих зірок 55 KB
  Мета: Сприяти формуванню звичок здорового способу життя. Ознайомити учнів з видатними особистостями, які в розквіті сил та творчої наснаги пішли з життя завдяки страшній хворобі – СНІД. Форма проведення: Вечір-реквієм
78803. Пословицы и поговорки о соли 3.9 MB
  Практическая – расширить знания учащихся о химических веществах, хорошо известных, но малознакомых на примере кухонной соли. Совершенствовать навыки практической работы с лабораторным оборудованием.
78804. Сценарій виховного заходу «Солдатські будні» 36.5 KB
  6 грудня у календарі позначено як День Збройних сил України. І вже стало традицією вітати у цей день усіх чоловіків, хлопців. Напевне, цим жінки, дівчата хочуть зайвий раз підкреслити у чоловіках такі риси, як мужність, сміливість, щиросердя, шляхетність.
78805. Година спілкування. Знайомство з собою 91.5 KB
  Мета: познайомитись з учнями надати їм можливість поринути у власний внутрішній світ вчити бачити в оточуючих людях позитив формувати соціальну компетентність засобами ігрового спілкування. З чим ви згодні а з чим ні Чи цікаво вам побачити себе з іншого боку Що сподобалось вам сьогодні на нашій годині...
78806. Фізичні наслідки раннього статевого життя 74.5 KB
  Вступне слово вихователя. Про це говорити вголос начебто неприйнято… хоча в усіх на вустах… Перш за все тому, що багато хто з нас ніколи не чув, щоб дані аспекти статевих зв’язків коли-небудь обговорювалися. Наші батьки не бесідували з нами про це.
78807. Поспішай творити добро 71 KB
  Обладнання: записи висловів видатних людей про добро приказок та приповідок учнівські твори та вірші картки із запитаннями для підсумкової розповіді. Тренінг Риси хорошої людини; технологія Мікрофон Народний золотослів про добро вислови видатних людей про добро і доброту...
78808. Копійка податку – мільйони достатку. Задекларуй свої доходи 273.5 KB
  Ліцеїсти нашого закладу мають змогу зрозуміти переконатись і відчути вагомість податків у особистому житті та житті суспільства. Тут вони мають змогу закріпити отримані на уроках з економіки знання ознайомитися на практиці з роботою податківців пізнати особливості різних...
78809. Взаєморозуміння. На чому воно засноване? 49.5 KB
  Підготовчий етап: Запропонувати учням наступні завдання: поміркувати над питаннями: Як виникає порозуміння між людьми Чи відчуваєте ви порозуміння та підтримку з боку однокласників вчителів батьків У чому причина відсутності порозуміння Що необхідне для того щоб досягти повного...