10990

Spline Interpolation

Лекция

Математика и математический анализ

Spline Interpolation In the previous sections n 1th order polynomials were used to interpolate between n date points. For example for eight points we can derive a perfect seventh order polynomial. This curve would capture all the meanderings at least up to and including seventh derivatives suggested by the points. However there are cases where these functions can lead to erroneous results because of roundoff error and overshoot. An alternative approach is to apply low...

Английский

2013-04-03

87.5 KB

1 чел.

Spline Interpolation

In the previous sections, (n – 1)-thorder polynomials were used to interpolate between n date points. For example, for eight points, we can derive a perfect seventh – order polynomial. This curve would capture all the meanderings (at least up to and including seventh derivatives) suggested by the points. However, there are cases where these functions can lead to erroneous results because of round-off error and overshoot. An alternative approach is to apply lower-order polynomials to a subset of date points. Such connecting polynomials are called spline functions.

A spline function is a function consisting of polynomial pieces joined together with certain smoothness conditions. Suppose we are given the following table that needs to be interpolated with splines.

t

t1

t2

t3

...

tn

f(t)

f1

f2

f3

...

fn

In this case is t1 < t2 < t3 < ... < tn. They need not be uniformly spaced and are called knots.

The linear spline is defined by

(6.13)

where Si(x) = ai (xti) + bi. (6.14)

Since each Si(x) is linear, S(x) is piece-wise linear. Let t1 = a and
tn = b, then the domain of S(x) is [a, b]. Moreover, we require that S(x) is continuous on [a, b]. For extrapolating purpose we assume:

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

The constants ai and bi are chosen such that S(x) is continuous on [a, b]:

. (6.15)

To ensure that m-th derivatives are continuous at the knots, a spline at least of (m + 1)-th order must be used. We have decided to first illustrate the concept of spline interpolation using second – order polynomials.

These quadratic splines have continuous first derivatives at the knots. Although quadratic splines do not ensure equal second derivatives at the knots, they serve nicely to demonstrate the general procedure for developing higher – order splines.

The objective in quadratic splines is to derive a second – order polynomial for each interval between date points. The polynomial for each interval can be represented generally as

. (6.16)

For n date points (i = 1, 2, ...n), there are n – 1 intervals and consequently, 3(n – 1) unknown constants (the a's, b's, and c's) to evaluate. Therefore, 3(n – 1) equations or conditions are required to evaluate the unknowns. These are:

1. The function values of adjacent polynomials must be equal at the interior knots. These conditions can be represented as:

  (6.17)

Because only interior knots are used in (6.17), each provides n – 2 for a total of 2n – 4 conditions.

2. The first and last functions must pass through the end points. This adds two additional equations:

(6.18)

3. The first derivatives at the interior knots must be equal. The first derivative of (6.16) is

Therefore, the condition can be represented generally as

, (6.19)

for i = 2 to n – 1. This provides another n – 2 conditions for a total of 2n – 2 + n – 2 = 3n – 4. Because we have 3(n – 1) unknowns, we are one condition short.

4. Assume that the second derivative is zero at the first point. Because the second derivative of (6.16) is 2ai, this condition can be expressed mathematically as

a1 = 0. (6.20)

The visual interpretation of this condition is that the first two points will be connected by a straight line.

5. For extrapolating purpose we assume,

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

 S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

Constructing a Quadratic Spline

Let us denote the derivative of S(x) at ti as zi. Consider the quadratic polynomials,

. (6.21)

It is obvious that .

Also,      and,

.

.

Hence S'(x) is continuous at the interior knots. For S(x) to be continuous, we must have, . So,

.

That is,

.

.

.

Hence,  for . (6.22)

Starting with an assumption for z1, generate z2, z3, z4, ... zn. The polynomials are obtained from equation (6.21).

Example 2

Fit the data in the table below with a) first-order splines, b) quadratic splines, c) use the results to estimate the value at x = 3.3, d) compute percent relative errors for the numerical results.

x

0

1

2

3

4

5

f(x)

0

0.5

0.8

0.9

0.941176

0.961538

Note that the values in the table were generated with the function .

Solution.

a) The slopes for all intervals can be computed (see Table 6.2), and the resulting first-order splines are:

b) Now fit quadratic splines to the same data using formulas:

;

Select , then:

Hence,

  1.  The correct value of the function at x = 3.3 is f(x) = 0.915896.
  2.  The result of first-order splines at x = 3.3 is f(x) = 0.93. The percent relative error is εt = 1.5%. The result of quadratic splines at x = 3.3 is f(x) = 1.029706. The percent relative error is
    εt = 12.4%.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65879. АНТИСЕПТИКА 185.5 KB
  Нельзя не отметить условности этого разделения: дренирование ран принято относить к физической антисептике, но оно приводит к механическому удалению из раны субстрата размножения бактерий; при воздействии низкочастотного ультразвука - метода физической антисептики...
65880. Культура Галицько-Волинського князівства у контексті загальноєвропейського культурного розвитку (XІІ – ХІІІ ст.) 280 KB
  Розвиток книжної справи за часів Галицько-Волинської держави. Значення культурних звязків Галицько-Волинського князівства з іншими руськими землями та західними державами. Врешті-решт Київ і Київська земля стали об'єктом колективного суверенітету з боку найсильніших князів Русі...
65881. Маркетинговая среда и информация. Международные маркетинговые исследования 35.12 KB
  Маркетинговая среда состоит из сфер в которых фирма должна искать для себя новые возможности и следить за возникновением потенциальных угроз. Нерегулярный экспорт это пассивный уровень вовлечения когда фирма время от времени экспортирует свои излишки и продает...
65882. Вбудовані функції 49.5 KB
  Перед тим, як продовжити засвоєння механізмів роботи з класами, дамо невелике, але важливе пояснення. Воно не належить конкретно до об'єктно-орієнтованого програмування, але є дуже корисним засобом мови програмування C++, яке достатньо часто використовують у визначеннях класів.
65883. Загальні принципи побудови обчислювальних мереж: еволюція обчислювальних систем; структурна організація комп’ютерної мережі; основні апаратні та програмні компоненти мереж 139 KB
  Мета: Вивчити еволюцію обчислювальних систем: системи пакетної обробки багато термінальні системиперші глобальні та локальні мережі поява стандартних технологій побудови мереж сучасні тенденції; Структурну організацію компютерної мережі: масштаби середовища та режими передачі даних...
65885. Французский героический эпос. «Песнь о Роланде» 43 KB
  Этот цикл посвящен времени правления Карла Великого образ Карла в этом цикле подвергается идеализации а кроме того в этом цикле речь также идет о его верных вассалах и коварных врагах. События которые рассказывают эти жесты относят ко времени после смерти Карла Великого.
65887. Крещение и его влияние на развитие русской культуры 41.5 KB
  Уже в то время на Руси были христиане при дворе князя была сильная христианская партия. И Фотий и Никон говорят что корабли Русичей потерпели крушение изза внезапно налетевшей бури и произошло это благодаря божественному вмешательству божественному заступничеству. Владимир принимает решение...