10990

Spline Interpolation

Лекция

Математика и математический анализ

Spline Interpolation In the previous sections n – 1th – order polynomials were used to interpolate between n date points. For example for eight points we can derive a perfect seventh – order polynomial. This curve would capture all the meanderings at least up to and including seventh derivatives suggested by the points. However there are cases where these functions can lead to erroneous results because of roundoff error and overshoot. An alternative approach is to apply low...

Английский

2013-04-03

87.5 KB

1 чел.

Spline Interpolation

In the previous sections, (n – 1)-thorder polynomials were used to interpolate between n date points. For example, for eight points, we can derive a perfect seventh – order polynomial. This curve would capture all the meanderings (at least up to and including seventh derivatives) suggested by the points. However, there are cases where these functions can lead to erroneous results because of round-off error and overshoot. An alternative approach is to apply lower-order polynomials to a subset of date points. Such connecting polynomials are called spline functions.

A spline function is a function consisting of polynomial pieces joined together with certain smoothness conditions. Suppose we are given the following table that needs to be interpolated with splines.

t

t1

t2

t3

...

tn

f(t)

f1

f2

f3

...

fn

In this case is t1 < t2 < t3 < ... < tn. They need not be uniformly spaced and are called knots.

The linear spline is defined by

(6.13)

where Si(x) = ai (xti) + bi. (6.14)

Since each Si(x) is linear, S(x) is piece-wise linear. Let t1 = a and
tn = b, then the domain of S(x) is [a, b]. Moreover, we require that S(x) is continuous on [a, b]. For extrapolating purpose we assume:

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

The constants ai and bi are chosen such that S(x) is continuous on [a, b]:

. (6.15)

To ensure that m-th derivatives are continuous at the knots, a spline at least of (m + 1)-th order must be used. We have decided to first illustrate the concept of spline interpolation using second – order polynomials.

These quadratic splines have continuous first derivatives at the knots. Although quadratic splines do not ensure equal second derivatives at the knots, they serve nicely to demonstrate the general procedure for developing higher – order splines.

The objective in quadratic splines is to derive a second – order polynomial for each interval between date points. The polynomial for each interval can be represented generally as

. (6.16)

For n date points (i = 1, 2, ...n), there are n – 1 intervals and consequently, 3(n – 1) unknown constants (the a's, b's, and c's) to evaluate. Therefore, 3(n – 1) equations or conditions are required to evaluate the unknowns. These are:

1. The function values of adjacent polynomials must be equal at the interior knots. These conditions can be represented as:

  (6.17)

Because only interior knots are used in (6.17), each provides n – 2 for a total of 2n – 4 conditions.

2. The first and last functions must pass through the end points. This adds two additional equations:

(6.18)

3. The first derivatives at the interior knots must be equal. The first derivative of (6.16) is

Therefore, the condition can be represented generally as

, (6.19)

for i = 2 to n – 1. This provides another n – 2 conditions for a total of 2n – 2 + n – 2 = 3n – 4. Because we have 3(n – 1) unknowns, we are one condition short.

4. Assume that the second derivative is zero at the first point. Because the second derivative of (6.16) is 2ai, this condition can be expressed mathematically as

a1 = 0. (6.20)

The visual interpretation of this condition is that the first two points will be connected by a straight line.

5. For extrapolating purpose we assume,

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

 S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

Constructing a Quadratic Spline

Let us denote the derivative of S(x) at ti as zi. Consider the quadratic polynomials,

. (6.21)

It is obvious that .

Also,      and,

.

.

Hence S'(x) is continuous at the interior knots. For S(x) to be continuous, we must have, . So,

.

That is,

.

.

.

Hence,  for . (6.22)

Starting with an assumption for z1, generate z2, z3, z4, ... zn. The polynomials are obtained from equation (6.21).

Example 2

Fit the data in the table below with a) first-order splines, b) quadratic splines, c) use the results to estimate the value at x = 3.3, d) compute percent relative errors for the numerical results.

x

0

1

2

3

4

5

f(x)

0

0.5

0.8

0.9

0.941176

0.961538

Note that the values in the table were generated with the function .

Solution.

a) The slopes for all intervals can be computed (see Table 6.2), and the resulting first-order splines are:

b) Now fit quadratic splines to the same data using formulas:

;

Select , then:

Hence,

  1.  The correct value of the function at x = 3.3 is f(x) = 0.915896.
  2.  The result of first-order splines at x = 3.3 is f(x) = 0.93. The percent relative error is εt = 1.5%. The result of quadratic splines at x = 3.3 is f(x) = 1.029706. The percent relative error is
    εt = 12.4%.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23575. Теория языка 2.51 MB
  bz Карл Бюлер Теория языка Оглавление Предисловие автора Введение. Теория языка вчера и сегодня Глава I. Модель языка как органона а формы существования конкретных языковых явлений 3. Знаковая природа языка в модель структуры языка 4.
23576. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ЛИНГВИСТИКИ 1.42 MB
  Иными словами выяснение общеязыковых закономерностей внутренней логики и механизма действия языка с необходимостью входит в сферу общего языкознания. В то же время автор надеется что адекватным окажется и западноевропейское понимание этого слова: ср. Передача информации один из существеннейших видов и аспектов общения между людьми поэтому по словам В. 246 иначе говоря всякое слово есть результат абстрагирующей работы мысли слово дерево обозначает дерево вообще и наоборот абстрактное понятие общее для всех членов данного...
23577. История языкознания: Учебное пособие для cтудентов старших курсов и аспирантов 1.4 MB
  Здесь даны очерки посвящённые истории формирования и развития самобытной лингвистической мысли в государствах Востока и в странах Западного мира где лингвистическая традиция сложилась на основе грекоримских идей по философии языка и грамматике. Читатель обратит внимание на то что становление и развитие языкознания в восточных и западных культурных ареалах шло во многом своими путями отражая особенности как своих языков так и своих культур и что лишь в последние одиндва века наблюдается переориентация ряда восточных школ на европейские...
23578. Плезиохронная цифровая иерархия 32.5 KB
  Технологии передачи информационного сигнала развивались параллельно с развитием телефонных сетей. Постоянно растущее число пользователей и рост телефонного трафика привел к появлению систем мультиплексирования сигналов с разделением по частоте
23579. Отсутствующая структура Введение в семиологию 2.96 MB
  Код [2. Коды и лексикоды [2. Коды и их модификации [2. Кодифицируемость уровней [2.
23580. Россия в метафорическом зеркале: когнитивное исследование политической метафоры 1.25 MB
  Чудинов Россия в метафорическом зеркале: когнитивное исследование политической метафоры 1991 2000 УДК 408. Ч84 Россия в метафорическом зеркале: Когнитивное исследование политической метафоры 1991 2000: Монография Урал. ISBN 5718602778 Монография посвящена исследованию закономерностей моделирования образа современной России в зеркале концептуальной метафоры в котором вне зависимости от чьихлибо симпатий и антипатий достаточно объективно фиксируется подлинная картина национального самосознания в котором отражаются как традиционные...
23581. Семиосфера. Культура и взрыв Внутри мыслящих миров 5.53 MB
  ЛОТМАН Семиосфера Культура и взрыв Внутри мыслящих миров Статьи Исследования Заметки СанктПетербург ИскусствоСПБ О метаязыке типологических описаний культуры О семиотическом механизме культуры Миф имя культура Культура как коллективный интеллект и проблемы искусственного разума Феномен культуры Технический прогресс как культурологическая проблема Культура как субъект и самасебе объект О семиотике понятий стыд и страх в механизме культуры Память в культурологическом освещении [1] Содержание [2] Люди и знаки1 [3] Культура и взрыв...
23582. Язык и межкультурная коммуникация 1.96 MB
  Язык культура и культурная антропология 8 3. Межкулътурная коммуникация и изучение иностранных языков 14 5. Роль сопоставления языков и культур для наиболее полного раскрытия их сущности 19 Часть I. Язык как зеркало культуры 21 Глава 1.
23583. ЯЗЫК И БЕССОЗНАТЕЛЬНОЕ 2.05 MB
  Тексты собранные в книге последовательно представляют анализы общей проблематики бессознательного лингвистической структурированности афатических расстройств речи ребенка поэтической речи проблем семиотики структур языка как такового и его наименьшей смысловой единицы фонемы. Хайдеггером и наоборот спор Хайдеггера с семиотическим представлением языка встречи с Жаком Лаканом совершенно поновому осмыслившем 5 наследие Фрейда проштудировавшем и Хайдеггера и Якобсона вес это тот новый круг внутри которого вновь и вновь можно...