10990

Spline Interpolation

Лекция

Математика и математический анализ

Spline Interpolation In the previous sections n 1th order polynomials were used to interpolate between n date points. For example for eight points we can derive a perfect seventh order polynomial. This curve would capture all the meanderings at least up to and including seventh derivatives suggested by the points. However there are cases where these functions can lead to erroneous results because of roundoff error and overshoot. An alternative approach is to apply low...

Английский

2013-04-03

87.5 KB

1 чел.

Spline Interpolation

In the previous sections, (n – 1)-thorder polynomials were used to interpolate between n date points. For example, for eight points, we can derive a perfect seventh – order polynomial. This curve would capture all the meanderings (at least up to and including seventh derivatives) suggested by the points. However, there are cases where these functions can lead to erroneous results because of round-off error and overshoot. An alternative approach is to apply lower-order polynomials to a subset of date points. Such connecting polynomials are called spline functions.

A spline function is a function consisting of polynomial pieces joined together with certain smoothness conditions. Suppose we are given the following table that needs to be interpolated with splines.

t

t1

t2

t3

...

tn

f(t)

f1

f2

f3

...

fn

In this case is t1 < t2 < t3 < ... < tn. They need not be uniformly spaced and are called knots.

The linear spline is defined by

(6.13)

where Si(x) = ai (xti) + bi. (6.14)

Since each Si(x) is linear, S(x) is piece-wise linear. Let t1 = a and
tn = b, then the domain of S(x) is [a, b]. Moreover, we require that S(x) is continuous on [a, b]. For extrapolating purpose we assume:

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

The constants ai and bi are chosen such that S(x) is continuous on [a, b]:

. (6.15)

To ensure that m-th derivatives are continuous at the knots, a spline at least of (m + 1)-th order must be used. We have decided to first illustrate the concept of spline interpolation using second – order polynomials.

These quadratic splines have continuous first derivatives at the knots. Although quadratic splines do not ensure equal second derivatives at the knots, they serve nicely to demonstrate the general procedure for developing higher – order splines.

The objective in quadratic splines is to derive a second – order polynomial for each interval between date points. The polynomial for each interval can be represented generally as

. (6.16)

For n date points (i = 1, 2, ...n), there are n – 1 intervals and consequently, 3(n – 1) unknown constants (the a's, b's, and c's) to evaluate. Therefore, 3(n – 1) equations or conditions are required to evaluate the unknowns. These are:

1. The function values of adjacent polynomials must be equal at the interior knots. These conditions can be represented as:

  (6.17)

Because only interior knots are used in (6.17), each provides n – 2 for a total of 2n – 4 conditions.

2. The first and last functions must pass through the end points. This adds two additional equations:

(6.18)

3. The first derivatives at the interior knots must be equal. The first derivative of (6.16) is

Therefore, the condition can be represented generally as

, (6.19)

for i = 2 to n – 1. This provides another n – 2 conditions for a total of 2n – 2 + n – 2 = 3n – 4. Because we have 3(n – 1) unknowns, we are one condition short.

4. Assume that the second derivative is zero at the first point. Because the second derivative of (6.16) is 2ai, this condition can be expressed mathematically as

a1 = 0. (6.20)

The visual interpretation of this condition is that the first two points will be connected by a straight line.

5. For extrapolating purpose we assume,

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

 S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

Constructing a Quadratic Spline

Let us denote the derivative of S(x) at ti as zi. Consider the quadratic polynomials,

. (6.21)

It is obvious that .

Also,      and,

.

.

Hence S'(x) is continuous at the interior knots. For S(x) to be continuous, we must have, . So,

.

That is,

.

.

.

Hence,  for . (6.22)

Starting with an assumption for z1, generate z2, z3, z4, ... zn. The polynomials are obtained from equation (6.21).

Example 2

Fit the data in the table below with a) first-order splines, b) quadratic splines, c) use the results to estimate the value at x = 3.3, d) compute percent relative errors for the numerical results.

x

0

1

2

3

4

5

f(x)

0

0.5

0.8

0.9

0.941176

0.961538

Note that the values in the table were generated with the function .

Solution.

a) The slopes for all intervals can be computed (see Table 6.2), and the resulting first-order splines are:

b) Now fit quadratic splines to the same data using formulas:

;

Select , then:

Hence,

  1.  The correct value of the function at x = 3.3 is f(x) = 0.915896.
  2.  The result of first-order splines at x = 3.3 is f(x) = 0.93. The percent relative error is εt = 1.5%. The result of quadratic splines at x = 3.3 is f(x) = 1.029706. The percent relative error is
    εt = 12.4%.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22081. МЕТОДЫ СОЦИАЛЬНОЙ ПЕДАГОГИКИ 34 KB
  Методы соц. пед можно классифицировать объединив их в три большие группы: методы исследования; методы воспитания; методы социальнопсихологической помощи. Методы научного исследования это способы получения научной информации. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ является комплексным методом исследования и позволяет глубже чем другие методы проверить правильность выдвинутой гипотезы.
22082. ПРОФИЛАКТИКА НАРКОМАНИИ У ПОДРОСТКОВ 51.5 KB
  За последние пять лет по России число школьников и студентов употребляющих наркотики возросло более чем в 8 раз. Проведенный областным наркологическим диспансером и РИРО опрос учащихся школ и профессиональных училищ свидетельствует о том что более 17 их них уже пробовали наркотики: каждый четвертый юноша и каждая восьмая девушка. Около 4 подростков употребляют наркотики систематически. Исследование выявило что первая пробы наркотиков произошла в довольно молодом возрасте: в среднем это 1517 лет однако есть много и таких которые...
22083. Педагогика творчества 94.5 KB
  Если рассмотреть процентное соотношение одаренных и неодаренных детей то мы получим график в виде колокола: 22 сверходаренные дети; 135 выше нормы; 682 детей имеют средний интеллект; 135 ниже нормы; 22 умственно отсталые. Творческих детей отличает живое воображение включение элементов игры в выполнение задач изобретательность богатая фантазия нестандартность мышления отличная память в сочетании с ранним языковым развитием способность к классификации Барьерами тормозящими раскрытие творческого потенциала личности...
22084. СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ С ПОДРОСТКАМИ, СКЛОННЫМИ К ПРАВОНАРУШЕНИЯМ 38 KB
  Подростки особенно социально неблагополучные всегда тянутся к силе а объединение в группы намного ее увеличивает. Особенно велика в психологическом отношении роль тусовок мест сбора подростков где подростки группируются оформляясь в криминогенные группы. Вопервых это руководство молодежной группировкой взрослого опытного преступника; вовторых включение подростковой группы в преступную группу взрослых преступников; втретьих подчинение криминальной подростковой группы и ее деятельности общему командованию; вчетвертых четкое...
22085. ПРАВОСЛАВИЕ И СОЦИАЛЬНАЯ ПЕДАГОГИКА 35.5 KB
  Он считал что религия это ответ на определенные условия существования человека и общества она отвечает важным социальным потребностям. Религия система верований и ритуалов на основе которых группа людей объясняет то что находит сверхъестественным и священным. религия помогает человеку понять объяснить и определенным образом упорядочить свою жизнь.
22086. ПРЕДМЕТ И СПЕЦИФИКА СОЦИАЛЬНОЙ ПЕДАГОГИКИ 46.5 KB
  педагогики и соц.Методика и технология работы соц. Соц.
22087. ОСОБЕННОСТИ СОВРЕМЕННОЙ СЕМЬИ 49 KB
  Перестройка экономических отношений отбросила эти семьи за грань среднего прожиточного минимума разрушила их стереотип самовосприятия поселила в них неуверенность низкую самооценку. Семьи с довольно высоким уровнем достатка могут испытывать трудности в воспитании своих детей в связи с тем что они не имеют времени на воспитание и иногда просто откупаются от личного общения с ребенком дорогими подарками.неблагополучные семьи аморальные пед.
22088. СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ СЕМЬЕЙ 84.5 KB
  Роль и значение семьи в обществе. Функции семьи. Периоды развития семьи. ИСТОРИЯ СЕМЕЙНОБРАЧНЫХ ОТНОШЕНИЙ Семья неотъемлемая ячейка общества ни одна нация ни одно цивилизованное общество не обходилось без семьи.
22089. СОЦИАЛЬНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ С ДЕТЬМИ, ОСТАВШИМИС БЕЗ ПОПЕЧЕНИЯ РОДИТЕЛЕЙ 57.5 KB
  Особенности детейсирот.В стране в 2004 году официально было зарегистрировано 700 тысяч детейсирот. В этом случае общество и государство берет на себя заботу по развитию и воспитанию таких детей.