10990

Spline Interpolation

Лекция

Математика и математический анализ

Spline Interpolation In the previous sections n – 1th – order polynomials were used to interpolate between n date points. For example for eight points we can derive a perfect seventh – order polynomial. This curve would capture all the meanderings at least up to and including seventh derivatives suggested by the points. However there are cases where these functions can lead to erroneous results because of roundoff error and overshoot. An alternative approach is to apply low...

Английский

2013-04-03

87.5 KB

1 чел.

Spline Interpolation

In the previous sections, (n – 1)-thorder polynomials were used to interpolate between n date points. For example, for eight points, we can derive a perfect seventh – order polynomial. This curve would capture all the meanderings (at least up to and including seventh derivatives) suggested by the points. However, there are cases where these functions can lead to erroneous results because of round-off error and overshoot. An alternative approach is to apply lower-order polynomials to a subset of date points. Such connecting polynomials are called spline functions.

A spline function is a function consisting of polynomial pieces joined together with certain smoothness conditions. Suppose we are given the following table that needs to be interpolated with splines.

t

t1

t2

t3

...

tn

f(t)

f1

f2

f3

...

fn

In this case is t1 < t2 < t3 < ... < tn. They need not be uniformly spaced and are called knots.

The linear spline is defined by

(6.13)

where Si(x) = ai (xti) + bi. (6.14)

Since each Si(x) is linear, S(x) is piece-wise linear. Let t1 = a and
tn = b, then the domain of S(x) is [a, b]. Moreover, we require that S(x) is continuous on [a, b]. For extrapolating purpose we assume:

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

The constants ai and bi are chosen such that S(x) is continuous on [a, b]:

. (6.15)

To ensure that m-th derivatives are continuous at the knots, a spline at least of (m + 1)-th order must be used. We have decided to first illustrate the concept of spline interpolation using second – order polynomials.

These quadratic splines have continuous first derivatives at the knots. Although quadratic splines do not ensure equal second derivatives at the knots, they serve nicely to demonstrate the general procedure for developing higher – order splines.

The objective in quadratic splines is to derive a second – order polynomial for each interval between date points. The polynomial for each interval can be represented generally as

. (6.16)

For n date points (i = 1, 2, ...n), there are n – 1 intervals and consequently, 3(n – 1) unknown constants (the a's, b's, and c's) to evaluate. Therefore, 3(n – 1) equations or conditions are required to evaluate the unknowns. These are:

1. The function values of adjacent polynomials must be equal at the interior knots. These conditions can be represented as:

  (6.17)

Because only interior knots are used in (6.17), each provides n – 2 for a total of 2n – 4 conditions.

2. The first and last functions must pass through the end points. This adds two additional equations:

(6.18)

3. The first derivatives at the interior knots must be equal. The first derivative of (6.16) is

Therefore, the condition can be represented generally as

, (6.19)

for i = 2 to n – 1. This provides another n – 2 conditions for a total of 2n – 2 + n – 2 = 3n – 4. Because we have 3(n – 1) unknowns, we are one condition short.

4. Assume that the second derivative is zero at the first point. Because the second derivative of (6.16) is 2ai, this condition can be expressed mathematically as

a1 = 0. (6.20)

The visual interpretation of this condition is that the first two points will be connected by a straight line.

5. For extrapolating purpose we assume,

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

 S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

Constructing a Quadratic Spline

Let us denote the derivative of S(x) at ti as zi. Consider the quadratic polynomials,

. (6.21)

It is obvious that .

Also,      and,

.

.

Hence S'(x) is continuous at the interior knots. For S(x) to be continuous, we must have, . So,

.

That is,

.

.

.

Hence,  for . (6.22)

Starting with an assumption for z1, generate z2, z3, z4, ... zn. The polynomials are obtained from equation (6.21).

Example 2

Fit the data in the table below with a) first-order splines, b) quadratic splines, c) use the results to estimate the value at x = 3.3, d) compute percent relative errors for the numerical results.

x

0

1

2

3

4

5

f(x)

0

0.5

0.8

0.9

0.941176

0.961538

Note that the values in the table were generated with the function .

Solution.

a) The slopes for all intervals can be computed (see Table 6.2), and the resulting first-order splines are:

b) Now fit quadratic splines to the same data using formulas:

;

Select , then:

Hence,

  1.  The correct value of the function at x = 3.3 is f(x) = 0.915896.
  2.  The result of first-order splines at x = 3.3 is f(x) = 0.93. The percent relative error is εt = 1.5%. The result of quadratic splines at x = 3.3 is f(x) = 1.029706. The percent relative error is
    εt = 12.4%.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83908. Операции на мочевом пузыре и предстательной железе. Особенности техники выполнения 51.45 KB
  Операции на мочевом пузыре Высокое сечение мочевого пузыря. Высокое сечение пузыря производят по поводу камней пузыря опухолей предстательной железы. Прошивают пузырь двумя швами за которые пузырь удерживают и вскрывают ножом стенку пузыря. Края раны пузыря разводят внутренность пузыря ощупывают пальцем и осматривают.
83909. Хирургическая анатомия забрюшинного пространства 50.29 KB
  У наружного края почки забрюшинная фасция делится на задний и передний листки. Жировая капсула почки околопочечная клетчатка покрывает почку со всех сторон равномерным слоем книзу продолжается в околомочеточниковую клетчатку. Над жировой капсулой почки сверху расположен фасциальноклетчаточный футляр надпочечника. изолированный от жировой капсулы почки и образованный расщеплением предпочечной фасции.
83910. Оперативные доступы к почкам и мочеточникам. Доступ к почечной артерии. Операции на почке и мочеточнике. Показания, техника выполнения 54.18 KB
  Доступ к почечной артерии. Доступ позволяет подойти к мочеточнику на всём его протяжении и к общей подвздошной артерии. Доступ к почечной артерии На почечной артерии выполняют следующие оперативные вмешательства: эндартерэктомию резекцию суженного сегмента почечной артерии обходное постоянное шунтирование почечной артерии дистальнее места окклюзии с помощью сосудистых протезов. Наиболее рационально при осуществлении доступа к почечной артерии использовать срединную лапаротомию и торакофренолюмботомию.
83911. Паранефральная блокада. Показания, техника выполнения. Нефроптоз 50.22 KB
  Осложнения: повреждение паренхимы почки и введение новокаина под собственную капсулу; повреждение сосудов почки; проникновение иглы в просвет восходящей или нисходящей ободочной кишок. Нефроптоз Нефроптоз – патологическая подвижность почки проявляющаяся смещением органа за пределы своего анатомического ложа. При нефроптозе IIIII степени осложненном нарушением гемодинамики уродинамики хроническим болевым синдромом пиелонефритом нефролитиазом гипертензией гидронефрозом требуется хирургическая тактика – проведение нефропексии...
83912. Современные технологии в хирургии 49.88 KB
  С конца 80х годов 20 века эти операции выполняют под контролем видеомонитора. В первую очередь эндохирургия охватывает операции на органах брюшной и грудной полостей лапароскопические и торакоскопические вмешательства. Минимально инвазивная хирургия область хирургии позволяющая проводить радикальные операции с минимальным повреждением структуры здоровых тканей и минимальным нарушением их функций. К минимально инвазивной хирургии относят эндоскопические операции выполняемые через естественные физиологические отверстия удаление полипов...
83913. Основы трансплантологии 52.47 KB
  Пути преодоления peкции отторжения Подбор наиболее совместимого по антигенным свойствам донора. Подавление реакиии отторжения. Подавление реакции отторжения возможно также с помощью антилимфоцитарного глобулина который оказывает супрессивное действие на лимфоциты играющие ключевую роль в реакции отторжения. Пациенты с пересаженными органами вынуждены принимать препараты пожизненно Хирургический путь борьбы с реакцией отторжения.
83914. Известные отечественные хирурги: Шевкуненко, Оппель, Греков и другие. Их вклад в развитие хирургии 53.31 KB
  Их вклад в развитие хирургии. Автор 50 научных трудов в том числе первого отечественного капитального руководства по оперативной хирургии в трех томах и руководства по топографической анатомии. Под его редакцией вышел Краткий курс оперативной хирургии с топографической анатомией 1951 переведённый на многие иностранные языки. Греков добился благодаря своим научным работам в области абдоминальной хирургии.
83915. Известные зарубежные хирурги: Бильрот, Кохер и другие. Развитие хирургии путём совершенствования оперативной хирургии 50.61 KB
  Развитие хирургии путём совершенствования оперативной хирургии. Бильрота связан ряд важных достижений хирургии в частности: первая эзофагэктомия первая ларингэктомия и что особо значимо первая успешная гастрэктомия по поводу рака желудка. Кроме того разработал ряд хирургических инструментов применяемых в хирургии в наши дни. Им опубликованы работы посвященные вопросам клинической хирургии в том числе костному туберкулезу и другим заболеваниям костей разработаны новые методы хирургических операций артротомия по Фолькману клиновидная...
83916. Н.И. Пирогов - вклад в развитие хирургии и топографической анатомии 46.6 KB
  Пирогов вклад в развитие хирургии и топографической анатомии. Пирогов – основоположник топографической анатомии. Пирогов занял место профессора госпитальной хирургической клиники Медико – хирургической академии СПб где с первых же дней стал читать знаменитый курс лекций по топографической анатомии он организовал анатомический институт в котором объединил практическую описательную и патологическую анатомию. Пирогов оформил все основные положения созданной им науки – топографической анатомии – в монументальном труде Полный курс анатомии...