10990

Spline Interpolation

Лекция

Математика и математический анализ

Spline Interpolation In the previous sections n 1th order polynomials were used to interpolate between n date points. For example for eight points we can derive a perfect seventh order polynomial. This curve would capture all the meanderings at least up to and including seventh derivatives suggested by the points. However there are cases where these functions can lead to erroneous results because of roundoff error and overshoot. An alternative approach is to apply low...

Английский

2013-04-03

87.5 KB

1 чел.

Spline Interpolation

In the previous sections, (n – 1)-thorder polynomials were used to interpolate between n date points. For example, for eight points, we can derive a perfect seventh – order polynomial. This curve would capture all the meanderings (at least up to and including seventh derivatives) suggested by the points. However, there are cases where these functions can lead to erroneous results because of round-off error and overshoot. An alternative approach is to apply lower-order polynomials to a subset of date points. Such connecting polynomials are called spline functions.

A spline function is a function consisting of polynomial pieces joined together with certain smoothness conditions. Suppose we are given the following table that needs to be interpolated with splines.

t

t1

t2

t3

...

tn

f(t)

f1

f2

f3

...

fn

In this case is t1 < t2 < t3 < ... < tn. They need not be uniformly spaced and are called knots.

The linear spline is defined by

(6.13)

where Si(x) = ai (xti) + bi. (6.14)

Since each Si(x) is linear, S(x) is piece-wise linear. Let t1 = a and
tn = b, then the domain of S(x) is [a, b]. Moreover, we require that S(x) is continuous on [a, b]. For extrapolating purpose we assume:

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

The constants ai and bi are chosen such that S(x) is continuous on [a, b]:

. (6.15)

To ensure that m-th derivatives are continuous at the knots, a spline at least of (m + 1)-th order must be used. We have decided to first illustrate the concept of spline interpolation using second – order polynomials.

These quadratic splines have continuous first derivatives at the knots. Although quadratic splines do not ensure equal second derivatives at the knots, they serve nicely to demonstrate the general procedure for developing higher – order splines.

The objective in quadratic splines is to derive a second – order polynomial for each interval between date points. The polynomial for each interval can be represented generally as

. (6.16)

For n date points (i = 1, 2, ...n), there are n – 1 intervals and consequently, 3(n – 1) unknown constants (the a's, b's, and c's) to evaluate. Therefore, 3(n – 1) equations or conditions are required to evaluate the unknowns. These are:

1. The function values of adjacent polynomials must be equal at the interior knots. These conditions can be represented as:

  (6.17)

Because only interior knots are used in (6.17), each provides n – 2 for a total of 2n – 4 conditions.

2. The first and last functions must pass through the end points. This adds two additional equations:

(6.18)

3. The first derivatives at the interior knots must be equal. The first derivative of (6.16) is

Therefore, the condition can be represented generally as

, (6.19)

for i = 2 to n – 1. This provides another n – 2 conditions for a total of 2n – 2 + n – 2 = 3n – 4. Because we have 3(n – 1) unknowns, we are one condition short.

4. Assume that the second derivative is zero at the first point. Because the second derivative of (6.16) is 2ai, this condition can be expressed mathematically as

a1 = 0. (6.20)

The visual interpretation of this condition is that the first two points will be connected by a straight line.

5. For extrapolating purpose we assume,

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

 S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

Constructing a Quadratic Spline

Let us denote the derivative of S(x) at ti as zi. Consider the quadratic polynomials,

. (6.21)

It is obvious that .

Also,      and,

.

.

Hence S'(x) is continuous at the interior knots. For S(x) to be continuous, we must have, . So,

.

That is,

.

.

.

Hence,  for . (6.22)

Starting with an assumption for z1, generate z2, z3, z4, ... zn. The polynomials are obtained from equation (6.21).

Example 2

Fit the data in the table below with a) first-order splines, b) quadratic splines, c) use the results to estimate the value at x = 3.3, d) compute percent relative errors for the numerical results.

x

0

1

2

3

4

5

f(x)

0

0.5

0.8

0.9

0.941176

0.961538

Note that the values in the table were generated with the function .

Solution.

a) The slopes for all intervals can be computed (see Table 6.2), and the resulting first-order splines are:

b) Now fit quadratic splines to the same data using formulas:

;

Select , then:

Hence,

  1.  The correct value of the function at x = 3.3 is f(x) = 0.915896.
  2.  The result of first-order splines at x = 3.3 is f(x) = 0.93. The percent relative error is εt = 1.5%. The result of quadratic splines at x = 3.3 is f(x) = 1.029706. The percent relative error is
    εt = 12.4%.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19101. Устойчивость дискретных систем 199 KB
  Лекция № 13. Устойчивость дискретных систем. Линейная дискретная система с постоянными параметрами стационарный фильтр называется устойчивой если при любых начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале выходной сигнал также остается ограниченным то е...
19102. Реализация алгоритмов цифровой фильтрации 281 KB
  Лекция № 14. Реализация алгоритмов цифровой фильтрации. Графическим представлением алгоритмов цифровой фильтрации являются структурные схемы. Структурную схему дискретной системы можно составить либо по разностному уравнению либо с помощью системной передаточн...
19103. Проектирование (синтез) линейных цифровых фильтров 144 KB
  Лекция № 15. Проектирование синтез линейных цифровых фильтров. Под проектированием синтезом цифрового фильтра понимают выбор таких коэффициентов системной передаточной функции при которых характеристики получающегося фильтра удовлетворяют заданным требовани...
19104. Проектирование фильтров с импульсной характеристикой бесконечной длины 174 KB
  Лекция № 16. Проектирование фильтров с импульсной характеристикой бесконечной длины. Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой БИХфильтры коренным образом отличаются от КИХфильтров изза наличия обратной связи. Во первых они требуют проверки на устойчив
19105. Основные определения информационной теории измерений 115 KB
  Лекция №1. Введение. Основные определения информационной теории измерений. Цели и задачи курса: данный курс предназначен для освоения базовых понятий теории измерений и базовых принципов построения средств измерения физических величин. Курс знакомит с общими вопр...
19106. Структуры измерительных систем и их характеристики 225 KB
  Лекция № 2. Структуры измерительных систем и их характеристики. Для описания измерительных систем применяются структурные схемы состоящие из функциональных элементов функциональных блоков ФБ измерительных преобразователей ИП связанных между собой входными и вых
19107. Математические модели сигналов 288.5 KB
  Лекция № 3. Математические модели сигналов. Сигнал процесс изменения во времени физического состояния какогото объекта служащий для отображения регистрации и передачи сообщений. Сигналы электрические акустические оптические и т.д. Классификация сигналов. Сиг...
19108. Спектральные характеристики непериодических сигналов 191.5 KB
  Лекция № 4. Спектральные характеристики непериодических сигналов. Теория спектрального представления непериодических импульсных сигналов основанная на прямом и обратном интегральных преобразованиях Фурье позволяет осуществлять анализ прохождения сигналов чер
19109. Спектральный анализ непериодических сигналов 246 KB
  Лекция № 5. Спектральный анализ непериодических сигналов Для практических приложений является важным установление связи между преобразованием сигнала и соответствующим этому преобразованию изменением спектральных характеристик. Спектральная плотность сигнала...