10990

Spline Interpolation

Лекция

Математика и математический анализ

Spline Interpolation In the previous sections n 1th order polynomials were used to interpolate between n date points. For example for eight points we can derive a perfect seventh order polynomial. This curve would capture all the meanderings at least up to and including seventh derivatives suggested by the points. However there are cases where these functions can lead to erroneous results because of roundoff error and overshoot. An alternative approach is to apply low...

Английский

2013-04-03

87.5 KB

1 чел.

Spline Interpolation

In the previous sections, (n – 1)-thorder polynomials were used to interpolate between n date points. For example, for eight points, we can derive a perfect seventh – order polynomial. This curve would capture all the meanderings (at least up to and including seventh derivatives) suggested by the points. However, there are cases where these functions can lead to erroneous results because of round-off error and overshoot. An alternative approach is to apply lower-order polynomials to a subset of date points. Such connecting polynomials are called spline functions.

A spline function is a function consisting of polynomial pieces joined together with certain smoothness conditions. Suppose we are given the following table that needs to be interpolated with splines.

t

t1

t2

t3

...

tn

f(t)

f1

f2

f3

...

fn

In this case is t1 < t2 < t3 < ... < tn. They need not be uniformly spaced and are called knots.

The linear spline is defined by

(6.13)

where Si(x) = ai (xti) + bi. (6.14)

Since each Si(x) is linear, S(x) is piece-wise linear. Let t1 = a and
tn = b, then the domain of S(x) is [a, b]. Moreover, we require that S(x) is continuous on [a, b]. For extrapolating purpose we assume:

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

The constants ai and bi are chosen such that S(x) is continuous on [a, b]:

. (6.15)

To ensure that m-th derivatives are continuous at the knots, a spline at least of (m + 1)-th order must be used. We have decided to first illustrate the concept of spline interpolation using second – order polynomials.

These quadratic splines have continuous first derivatives at the knots. Although quadratic splines do not ensure equal second derivatives at the knots, they serve nicely to demonstrate the general procedure for developing higher – order splines.

The objective in quadratic splines is to derive a second – order polynomial for each interval between date points. The polynomial for each interval can be represented generally as

. (6.16)

For n date points (i = 1, 2, ...n), there are n – 1 intervals and consequently, 3(n – 1) unknown constants (the a's, b's, and c's) to evaluate. Therefore, 3(n – 1) equations or conditions are required to evaluate the unknowns. These are:

1. The function values of adjacent polynomials must be equal at the interior knots. These conditions can be represented as:

  (6.17)

Because only interior knots are used in (6.17), each provides n – 2 for a total of 2n – 4 conditions.

2. The first and last functions must pass through the end points. This adds two additional equations:

(6.18)

3. The first derivatives at the interior knots must be equal. The first derivative of (6.16) is

Therefore, the condition can be represented generally as

, (6.19)

for i = 2 to n – 1. This provides another n – 2 conditions for a total of 2n – 2 + n – 2 = 3n – 4. Because we have 3(n – 1) unknowns, we are one condition short.

4. Assume that the second derivative is zero at the first point. Because the second derivative of (6.16) is 2ai, this condition can be expressed mathematically as

a1 = 0. (6.20)

The visual interpretation of this condition is that the first two points will be connected by a straight line.

5. For extrapolating purpose we assume,

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

 S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

Constructing a Quadratic Spline

Let us denote the derivative of S(x) at ti as zi. Consider the quadratic polynomials,

. (6.21)

It is obvious that .

Also,      and,

.

.

Hence S'(x) is continuous at the interior knots. For S(x) to be continuous, we must have, . So,

.

That is,

.

.

.

Hence,  for . (6.22)

Starting with an assumption for z1, generate z2, z3, z4, ... zn. The polynomials are obtained from equation (6.21).

Example 2

Fit the data in the table below with a) first-order splines, b) quadratic splines, c) use the results to estimate the value at x = 3.3, d) compute percent relative errors for the numerical results.

x

0

1

2

3

4

5

f(x)

0

0.5

0.8

0.9

0.941176

0.961538

Note that the values in the table were generated with the function .

Solution.

a) The slopes for all intervals can be computed (see Table 6.2), and the resulting first-order splines are:

b) Now fit quadratic splines to the same data using formulas:

;

Select , then:

Hence,

  1.  The correct value of the function at x = 3.3 is f(x) = 0.915896.
  2.  The result of first-order splines at x = 3.3 is f(x) = 0.93. The percent relative error is εt = 1.5%. The result of quadratic splines at x = 3.3 is f(x) = 1.029706. The percent relative error is
    εt = 12.4%.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59892. На порозі вибору 98.5 KB
  Мета: поглибити і систематизувати знання учнів про професії; активізувати професійне самовизначення учнів; формувати навички спілкування проектування та аналіз професійної перспективи...
59894. «Ти – тихе сяйво над моєю долею» (жінки в долі Тараса Шевченка). Вистава 107.5 KB
  Виходить Шевченко Т. Шевченко Т. Ведуча Оксана йог люба; мила щира вродлива і ніжна Оксанка її імя Шевченко згадує в багатьох своїх творах змінюючи часом на Маряну або на якусь безіменну дівчину. Ласочкою зорею пташкою такими ніжними лагідними словами називає Шевченко свою Оксану.
59895. Проблема формування в учнів історичного мислення 141 KB
  Допомагає їм на першому етапі памятка Як працювати з текстом історичного джерела додаток 1. На завершення роботи пропоную учням скласти усну розповідь Подорож у країну козаків додаток 2. Розмаїття підручників з історії стародавнього світу...
59896. Дневной дозор 67.5 KB
  Из года в год увеличивается поток автомобилей на дорогах, что создаёт объективную реальность возникновения дорожно-транспортных происшествий. И, к сожалению, самой частой причиной возникновения ДТП являются дети.
59897. Профільна освіта як ефективний засіб диференціації навчально-виховного процесу учнів 32 KB
  Допрофільну підготовку можна умовно розділити на два етапи: професійне орієнтування учнів; професійне консультування учнів. Професійне орієнтування учнів характеризується тим що на цьому етапі вчителі стають помічниками і консультантами для кожного учня.
59898. ОСОБИСТІСТЬ УЧНЯ 102.5 KB
  Належність особистості до певного суспільства до певної системи суспільних відносин визначає її психологічну та соціальну сутність. Характерними ознаками особистості є наявність у неї свідомості виконувані нею суспільні ролі суспільно корисна спрямованість її діяльності.
59899. Visual Basic 6. Руководство разработчика 7.18 MB
  Основные элементы управления ctiveX. Усовершенствованные элементы Visul Bsic. Усовершенствованные элементы управления ctiveX. Дополнительные элементы управления ctiveX. Специальные темы. Конструирование элементов управления ctiveX Часть V Программирование баз данных на Visul Bsic.
59900. Розв’язування задач за допомогою пропорції 251 KB
  Окрім овочів і фруктів багато вітаміну С міститься в хвої сосни приблизно в 7 разів більше ніж в лимонах. У 100 грамах чорної смородини міститься приблизно 250 міліграм вітаміну С 1мг = 0001 грама. Визначте вміст вітаміну С в грамах на 1 кг чорної смородини.