10990

Spline Interpolation

Лекция

Математика и математический анализ

Spline Interpolation In the previous sections n – 1th – order polynomials were used to interpolate between n date points. For example for eight points we can derive a perfect seventh – order polynomial. This curve would capture all the meanderings at least up to and including seventh derivatives suggested by the points. However there are cases where these functions can lead to erroneous results because of roundoff error and overshoot. An alternative approach is to apply low...

Английский

2013-04-03

87.5 KB

1 чел.

Spline Interpolation

In the previous sections, (n – 1)-thorder polynomials were used to interpolate between n date points. For example, for eight points, we can derive a perfect seventh – order polynomial. This curve would capture all the meanderings (at least up to and including seventh derivatives) suggested by the points. However, there are cases where these functions can lead to erroneous results because of round-off error and overshoot. An alternative approach is to apply lower-order polynomials to a subset of date points. Such connecting polynomials are called spline functions.

A spline function is a function consisting of polynomial pieces joined together with certain smoothness conditions. Suppose we are given the following table that needs to be interpolated with splines.

t

t1

t2

t3

...

tn

f(t)

f1

f2

f3

...

fn

In this case is t1 < t2 < t3 < ... < tn. They need not be uniformly spaced and are called knots.

The linear spline is defined by

(6.13)

where Si(x) = ai (xti) + bi. (6.14)

Since each Si(x) is linear, S(x) is piece-wise linear. Let t1 = a and
tn = b, then the domain of S(x) is [a, b]. Moreover, we require that S(x) is continuous on [a, b]. For extrapolating purpose we assume:

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

The constants ai and bi are chosen such that S(x) is continuous on [a, b]:

. (6.15)

To ensure that m-th derivatives are continuous at the knots, a spline at least of (m + 1)-th order must be used. We have decided to first illustrate the concept of spline interpolation using second – order polynomials.

These quadratic splines have continuous first derivatives at the knots. Although quadratic splines do not ensure equal second derivatives at the knots, they serve nicely to demonstrate the general procedure for developing higher – order splines.

The objective in quadratic splines is to derive a second – order polynomial for each interval between date points. The polynomial for each interval can be represented generally as

. (6.16)

For n date points (i = 1, 2, ...n), there are n – 1 intervals and consequently, 3(n – 1) unknown constants (the a's, b's, and c's) to evaluate. Therefore, 3(n – 1) equations or conditions are required to evaluate the unknowns. These are:

1. The function values of adjacent polynomials must be equal at the interior knots. These conditions can be represented as:

  (6.17)

Because only interior knots are used in (6.17), each provides n – 2 for a total of 2n – 4 conditions.

2. The first and last functions must pass through the end points. This adds two additional equations:

(6.18)

3. The first derivatives at the interior knots must be equal. The first derivative of (6.16) is

Therefore, the condition can be represented generally as

, (6.19)

for i = 2 to n – 1. This provides another n – 2 conditions for a total of 2n – 2 + n – 2 = 3n – 4. Because we have 3(n – 1) unknowns, we are one condition short.

4. Assume that the second derivative is zero at the first point. Because the second derivative of (6.16) is 2ai, this condition can be expressed mathematically as

a1 = 0. (6.20)

The visual interpretation of this condition is that the first two points will be connected by a straight line.

5. For extrapolating purpose we assume,

S(x) is defined to be equal to S1(x) when x < a;

 S(x) is defined to be equal to Sn-1(x) when x > b.

Constructing a Quadratic Spline

Let us denote the derivative of S(x) at ti as zi. Consider the quadratic polynomials,

. (6.21)

It is obvious that .

Also,      and,

.

.

Hence S'(x) is continuous at the interior knots. For S(x) to be continuous, we must have, . So,

.

That is,

.

.

.

Hence,  for . (6.22)

Starting with an assumption for z1, generate z2, z3, z4, ... zn. The polynomials are obtained from equation (6.21).

Example 2

Fit the data in the table below with a) first-order splines, b) quadratic splines, c) use the results to estimate the value at x = 3.3, d) compute percent relative errors for the numerical results.

x

0

1

2

3

4

5

f(x)

0

0.5

0.8

0.9

0.941176

0.961538

Note that the values in the table were generated with the function .

Solution.

a) The slopes for all intervals can be computed (see Table 6.2), and the resulting first-order splines are:

b) Now fit quadratic splines to the same data using formulas:

;

Select , then:

Hence,

  1.  The correct value of the function at x = 3.3 is f(x) = 0.915896.
  2.  The result of first-order splines at x = 3.3 is f(x) = 0.93. The percent relative error is εt = 1.5%. The result of quadratic splines at x = 3.3 is f(x) = 1.029706. The percent relative error is
    εt = 12.4%.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24404. Деловое общение 42 KB
  Дейл Карнеги еще в 30е годы заметил что успехи того или иного человека в его финансовых делах даже в технической сфере или инженерном деле процентов на пятнадцать зависят от его профессиональных знаний и процентов на восемьдесят пять от его умения общаться с людьми в этом контексте легко объяснимы попытки многих исследователей сформулировать и обосновать основные принципы этики делового общения или как их чаще называют на Западе заповеди personal public relation весьма приближенно можно перевести как деловой этикет. Только поведение...
24405. Системы этического знания: теоретическая и нормативная этика 102 KB
  Системы этического знания: теоретическая и нормативная этика. Этика – наука изучающая феномен морали. Слово этика от греч. В целом же слова этика мораль нравственность продолжают употребляться как взаимозаменяемые.
24406. Система этического знания 30 KB
  Этика обычай нрав характер это совокупность принципов и норм поведения принятых в данной эпохе и в данной социальной среде. Этика зарождается в обществе как результат осознания роли и сущности моральных отношений и в развитом состоянии представляет собой науку о морали содержащую две составляющих: теоретические исследования теоретическая этика и нормативные разработки нормативная этика. Теоретическая этика исследует происхождение и сущность морали ее роль и место в обществе функции механизм действия ее...
24407. Профессиональная этика. Этика управления. Взаимоотношения руководителя и подчиненных 32.5 KB
  Профессиональная этика. Этика управления. Профессиональная этика – это совокупность определенных обязанностей и норм поведения поддерживающих моральный престиж профессиональных групп в обществе. Профессиональная этика вырабатывает нормы стандарты требования характерные для определенных видов деятельности.
24408. Этика делового общения 34 KB
  Этика делового общения Умение вести себя с людьми надлежащим образом является одним из важнейших если не важнейшим фактором определяющим шансы добиться успеха в бизнесе служебной или предпринимательской деятельности. В этом контексте легко объяснимы попытки многих исследователей сформулировать и обосновать основные принципы этики делового общения Джен Ягер выделяет шесть следующих основных принципов: 1. Во втором случае оно проходит с помощью переписки или технических средств а первом при непосредственном контакте субъектов общения....
24409. Деловой этикет - это установленный порядок поведения в сфере бизнеса и деловых контактов 34.5 KB
  Деловой этикет это установленный порядок поведения в сфере бизнеса и деловых контактов. Деловой этикет включает в себя следующие разделы: Технологии невербального общения: жесты хорошего тона походка как правильно сидеть вход и выход из автомобиля рукопожатие и пр. Этикет если понимать его как установленный порядок поведения помогает избегать промахов или сгладить их доступными общепринятыми способами. Поэтому основную функцию или смысл этикета делового человека можно определить как формирование таких правил поведения в обществе...
24410. Имидж и его свойства 41 KB
  Имидж складывается в ходе личных контактов человека на основе мнений высказываемых о нем окружающими. Многие индивиды от природы обладают привлекательным имиджем наделены обаянием. Однако отсутствие внешней привлекательности не должно мешать созданию благоприятного имиджа.
24411. Архитектура безопасности. Модели безопасности ее оценки. Общие критерии 44.5 KB
  Данные файла занимают весь первый кластер и только один байт второго остальная же часть второго кластера ничем не заполнена однако недоступна для других файлов эта незанятая область поанглийски называется slack. В следующем доступном кластере могут размещаться данные другого файла. Если под данные этого файла не хватит второго кластера файл будет продолжен в следующем доступном кластере. DOS использует FAT для хранения информации необходимой для доступа к файлам записанным на диске.
24412. Типы процессов, развитие процесса в системе (ОС) 662.5 KB
  Каждый вычислительный процесс характеризуется набором действий набором информационных объектов последовательностью обработки и начальными состояниями говорят о наличии полного процесса в системе. Состояние системы определяется действиями производимыми процессами которые могут затребовать захватить или освободить ресурсы. В этом случае типы отношений предшествования которые возможны между процессами можно представить в следующем виде: Развитие процесса P представляется направленной дугой графа.