10992

Extended Formulas (Closed)

Лекция

Математика и математический анализ

Extended Formulas Closed If we use equation 2.5 N 1 times to do the integration in the intervals x1; x2; x2; x3; xN 1; xN and then add the results we obtain an extendedr or compositer formula for the integral from x1 to xN. Extended trapezoidal rule: In this method the area under the curve is approximated by sums of trapezoids areas under the curve see Fig. 2.3.. Figure 2.3. Extended trapezoidal rule. Trapezoid formul...

Английский

2013-04-03

145 KB

0 чел.

Extended Formulas (Closed)

If we use equation (2.5) N – 1 times to do the integration in the intervals (x1; x2); (x2; x3); … (xN - 1; xN), and then add the results, we obtain an “extended” or “composite” formula for the integral from x1 to xN.

Extended trapezoidal rule:

In this method the area under the curve is approximated by sums of trapezoids areas under the curve (see Fig. 2.3.).

Figure 2.3. Extended trapezoidal rule.

Trapezoid formula is

  (2.9)

Here we have written the error estimate in terms of the interval b – a and the number of points N instead of in terms of h.  This is clearer, since one is usually holding a and b fixed and wanting to know (e.g.) how much the error will be decreased by taking twice as many steps (in this case, it is by a factor of 4). In subsequent equations we will show only the scaling of the error term with the number of steps.

If we apply equation (2.5) to successive, nonoverlapping pairs of intervals, we get the extended Simpson’s rule:

 (2.10)

Notice that the 2/3, 4/3 alternations continues throughout the interior of the evaluation. Many people believe that the wobbling alternation somehow contains deep information about the integral of their function that is not apparent to mortal eyes. In fact, the alternation is an artifact of using the building block (2.6).

The trapezoidal rule is two orders lower than Simpson’s rule, however, its contribution to the integral goes down as an additional power of N (since it is used only twice, not N times). This makes the resulting formula of degree one less than Simpson.

We can construct open and semi-open extended formulas by adding the closed formulas, evaluated for the second and subsequent steps, to the extrapolative open formulas for the first step. The resulting formula for an interval open at both ends is as follows. This one is known as the extended midpoint rule

(2.11)

This rule is shown in Figure 2.4.

Figure 2.4. Midpoint extended formula with equally spaced abscissas compute the integral of a function y = x3.

Example

Suppose we want to evaluate the integral  The definite integral is the area under the curve y = ex, above the x-axis and between the lines x = 1 and
x = 2.

It is obvious the above approximation is an underestimate for the actual value. The actual value can be easily obtained as follows

We can find an approximation by Left Sum Approximation formula:

(2.12)

Figure 2.5. Left Sum Approximation.

In this rule we divide the interval [a, b] into subintervals with same length (h). Construct rectangle over each subinterval, the height of the rectangle being the function value at the left end point of the subintervals. The sum of the areas of these rectangles will provide an approximation to the area under the curve on the interval (see Fig 2.5).

Right Sum Approximation

We can find another approximation to the area under the graph. Divide the interval [a, b] into subintervals and construct rectangle over each subinterval, the height of the rectangle being the function value at the right end point of the subinterval.

The sum of the areas of these rectangles will provide an approximation to the area under the curve and is shown in Fig. 2.6.


Figure 2.6. Right Sum Approximation.

Right Sum Approximation formula is:

(2.13)

The following table gives the number of subintervals and the corresponding approximations.

Number of subintervals

Approximate value of integral

Left Sum Approximation

Midpoint Approximation

Right Sum Approximation

Trapezoidal

Approximation

Simpson’s Approximation

10

4.44112722

4.66882868

4.90820465

4.25683746

4.67077443

100

4.64745932

4.67075481

4.69416706

4.62903035

4.67077427

In this table we can compare accuracy of different approximation formulas and see how the increase in the number of subintervals affects the approximation.

As the number of subintervals increases, the approximations gets better.

2.6. Simple Monte Carlo Integration

Suppose that we pick N random points, uniformly distributed in an interval [a, b]. Call them x1, x2, ... xN. Then the basic theorem of Monte Carlo integration estimates the integral of a function f over the interval
[a, b],

. (2.14)

In formula (2.14) we note that each random point xi is actually a random variable which is uniformly distributed on [a, b]

. (2.15)

Uniform deviates  are just random numbers that lie within a specified range [0, 1], with any one number in the range just as likely as any other. Then f(xi) is also a random variable as a function of random point xi.

There is an another advanced technique of Monte Carlo integration (see Fig. 2.7).

Figure 2.7. Monte Carlo integration.

Random points are chosen within the area A. The integral of the function f is estimated as the area of A multiplied by the fraction of random points that fall below the curve f:

. (2.16)

Where S(A) is the area of A;  n is the number of random points that lies below the curve f; N is the total number of random points.

The Monte Carlo method thus becomes a deterministic quadrature scheme — albeit a simple one — whose fractional error O(.) decreases at least as fast as .

2.7. Questions

1. What is a problem of a numerical integration?

2. What is possible to say about error of left sum, right sum and midpoint approximation formulas?

3. How to increase an accuracy of calculations in the problem of numerical integration?

4. Compare both advantages and defects of trapezoidal and Monte Carlo integration formulas.

PAGE  1


EMBED PBrush  

EMBED Word.Picture.8  

EMBED Word.Picture.8  

EMBED Word.Picture.8  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23744. Делимость произведения 48.5 KB
  Делится ли на 37 число 555 555 555 555 − Сформулируйте в общем виде свойство делимости которое вы наблюдаете. Если первое число делится на второе число второе число делится на третье число то первое число делится на третье число. Докажите используя введение обозначений что если первое число делится на второе а второе делится на третье то и первое число делится на третье. Первое число a второе число b третье число c.
23745. Делимость произведения 48.5 KB
  Что означает что число а делится на число b Это означает что существует такое число с которое при умножении на b дает а. И что Можно заменить число 16 произведением 4 и 4 и получится произведение 4 4 а. Если ктолибо из учащихся по аналогии с предыдущим заданием верно найдет ответ последнего примера число 555 то учитель просит его обосновать как выполнены действия. А как можно разделить произведение на число Разделить один множитель а потом полученный результат умножить на второй множитель.
23746. Делимость произведения 85.5 KB
  Делится ли: на 13 на 5 на 2 на10 На 13 делится так как 39 делится на 13; на 5 не делится так как ни один из множителей не делится на 5; на 2 делится так как 356 кратно 2; на 10 не делится так как ни один из множителей не делится на 10. Делится ли 225 на 3 если известно что 225 делится на 15 Да делится т. 15 делится на3. Известно что: а 686 делится на 49.
23747. Делимость суммы и разности 45.5 KB
  Преобразуйте второе выражение используя распределительное свойство умножения. Для ответа на этот вопрос и для обоснования этого ответа учащиеся могут либо вычислить значения данных выражений либо воспользоваться распределительным свойством умножения. Всегда ли сумма и разность чисел кратных двум будут кратны двум А сумма и разность чисел кратных трем четырем пяти будут соответственно кратны трем четырем пяти Затем учитель предлагает учащимся обобщить наблюдаемое свойство: Сформулируйте гипотезу. Скажите с помощью...
23748. Делимость суммы и разности 33.5 KB
  Сумма 50 и 11 не будет кратна 5 так как значением данной суммы является число 61 а оно не кратно 5 Что можно сказать о слагаемых 50 и 11 Слагаемое 50 делится на 5 а слагаемое 11 не делится. Если одно из двух чисел делится на некоторое число а другое не делится на это число то их сумма и разность не делятся на это число. Данные числа обозначим буквами a и b третье число буквой c Что нам известно Что одно из двух чисел делится на третье число а другое не делится Пусть например что a делится на c...
23749. Делимость суммы и разности 49 KB
  Если одно из двух чисел делится на некоторое число а другое не делится на это число то их сумма и разность не делятся на это число Формулировка свойства С 2 вывешивается на доску. 5620 не делится на 8 так как число 56 делится на 8 а число 20 не делится на 8 записываю во второй столбик; 160 16 80 делится на 8 так как каждое из чисел делится на 8 записываю в первый столбик; 3200 72 ´ 9 делится на 8 так как число 3200 делится на 8 и произведение 72 и 9 тоже делится на 8 записываю в первый столбик. Как определила что...
23750. Делители и кратные 59 KB
  Основные цели: формировать способность нового понятия на примере введения понятий делителя числа НОД чисел; формировать способность построения нового алгоритма на примере нахождения делителей чисел общих делителей НОД; тренировать способность нахождения парных делителей общих делителей разными способами НОД разными способами. 1 № 385 аб Чем является числа 60 16 и т. Какая разница между числами являющимися делителями в первой группе примеров и во второй Возникает затруднение при ответе на поставленный вопрос. Как...
23751. Рефлексия 56 KB
  первое число делится на 29. каждое число делится на 5: первое оканчивается 5 а второе оканчивается 0. сумма цифр делится на 3 12 значит и всё число делится на 3. оно чётное и сумма цифр делится на 9 27.