10993

Solution of Linear Algebraic Equations

Лекция

Математика и математический анализ

Lesson 6 3. Solution of Linear Algebraic Equations 3.1. Introduction A set of linear algebraic equations looks like this: 3.1 Here the n unknowns xj j = 1 2 n are related by m equations. The coefficients aij with i = 1 2 m and j = 1 2 n are known numbers as are the righthand side quantities bi i = 1 2 m. If n = m then there are as many equations as unknowns and there is a good chance of solving for a unique solution...

Английский

2013-04-03

132.5 KB

1 чел.

Lesson 6

3. Solution of Linear Algebraic Equations

3.1. Introduction

A set of linear algebraic equations looks like this:

  (3.1)

Here the n unknowns xj, j = 1; 2;; n are related by m equations. The coefficients aij with i = 1; 2;…; m and j = 1; 2;; n are known numbers, as are the right-hand side quantities bi , i = 1; 2;; m.

If n = m then there are as many equations as unknowns, and there is a good chance of solving for a unique solution set of xj’s. Analytically, there can fail to be a unique solution if one or more of the m equations is a linear combination of the others, a condition called row degeneracy, or if all equations contain certain variables only in exactly the same linear combination, called column degeneracy. (For square matrices, row degeneracy implies column degeneracy, and vice versa.)

Equations (3.1) can be written in matrix form as

     (3.2)

Here the raised dot denotes matrix multiplication, A is the matrix of coefficients, and b is the right-hand side written as a column vector,

 (3.3)

By convention, the first index on an element aij denotes its row, the second index its column.

If in matrix equation (3.2)

  (3.4)

then we have:

   (3.5)

Example 1

Consider the linear system:

Solve this system by formula (3.5):

This system may be solved by another direct method of linear algebra by Cramer’s Rule:

    (3.6)

In this case  is is determinant of a square matrix A in which
i - column is changed by a column vector b.

Example 2

This is Cramer's Rule applied to the above linear system:

We will consider the following tasks of computational linear algebra:

Solution of the matrix equation  for an unknown vector x, where A is a square matrix of coefficients, raised dot denotes matrix multiplication, and b is a known right-hand side vector.

Calculation of the matrix A-1 which is the matrix inverse of a square matrix A, i.e., A  A-1 = A-1· A = E, where E is the identity matrix (all zeros except for ones on the diagonal). This task is equivalent, for an matrix A, to the previous task with N different bj ’s (j = 1, 2,…, N), namely the unit vectors  (bj = all zero elements except for 1 in the j’th component). The corresponding x’s are then the columns of the matrix inverse of A.

Calculation of the determinant of a square matrix A.

There is also a great watershed dividing routines that are direct (i.e., execute in a predictable number of operations) from routines that are iterative (i.e., attempt to converge to the desired answer in however many steps are necessary). Iterative methods become preferable when the battle against loss of significance is in danger of being lost, either due to large N. We will treat iterative methods only incompletely in this book. These methods are important, but mostly beyond our scope. We will, however, discuss in detail a technique, which is on the borderline between direct and iterative methods, namely the iterative improvement of a solution that has been obtained by direct methods.

3.2. Gaussian Elimination with Backsubstitution

The usefulness of Gaussian elimination with backsubstitution is primarily pedagogical. It stands between full elimination schemes such as Gauss-Jordan, and triangular decomposition schemes. Gaussian elimination reduces a matrix not all the way to the identity matrix, but only halfway, to a matrix whose components on the diagonal and above (say) remain nontrivial. Let us now see what advantages accrues.

In Gaussian elimination, zeros are introduced below the diagonal element. Solve the following system of linear equations using Gauss elimination. For clarity, we will write out equations only for the case of four equations and four unknowns:

  (3.7)

The pivot element is a11 (a11 ≠ 0). The first equation is divided by the element a11 (a11 ≠ 0). This being a trivial linear combination of the first equation:

  (3.8)

where  .

We need to multiply the first equation (3.8) by a21, a31 and a41 and subtract from 2nd, 3rd and 4th equations so those zeros are introduced in the first position everywhere except the first equation. The modified system of linear equations is:

 (3.9)

In this system (3.9) the as do not have their original numerical values, but have been modified by all the equation operations in the elimination to this point:

 (3.10)

Now the pivot element is , then the first equation in (3.9) is divided by the pivot element:

 (3.11)

 (j =3, 4, 5).

Now we need to multiply the first equation (3.11) by  and  and subtract from 2nd and 3rd equations (3.9) so those zeros are introduced in the second position. The new linear system consists of the two equations:

 (3.12)

The pivot element of the new system is  If , the first equation (3.12) is divided by :

, (3.13)

,   (j = 4, 5).

Now multiply equation (3.13) by  and subtract from 2nd equation of system (3.12):

 (3.14)

 (j = 4, 5).

Then, when we have done this for all the pivots, we will be left with a reduced system of equations that looks like this:

 (3.15)

The procedure up to this point is termed Gaussian elimination.

But how do we solve for the xs? The last x (x4 in this example) is already isolated, namely

(3.16)

With the last x known we can move to the penultimate x,

(3.17)

and then proceed with the x before that one. The typical step is

(3.18)

The procedure defined by equation (3.18) is called backsubstitution. The combination of Gaussian elimination and backsubstitution yields a solution to the set of equations.

Example

Solve the following system of linear equations using Gaussian elimination and backsubstitution:

The pivot element is . Now divide the first equation by 2.0 to introduce 1 in the pivot position. We need to multiply the first equation by 0.4, 0.3 and 1.0 and subtract from 2nd, 3rd and 4th equations so those zeros are introduced in the first column everywhere except the first equation. The augmented matrix becomes:

.

The pivot element is . Hence we can use this element to introduce zeros in the 2nd column below 2nd row. Now divide the second row by 0.3 to introduce 1 in the pivot position. After that we multiply the second row by –1.15, and –0.3 and subtract from 3rd and 4th rows so those zeros are introduced in the second column everywhere except the first and second rows:

At the 3rd step the pivot element is . And after calculations the augmented matrix becomes:

Now divide the 4th row by 1.1199786 and begin backsubstitution:

6


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34556. О Нил основоположник американской национальной драмы. Трагедия «Страсти под вязами» 16.7 KB
  Как художник О Нил сложился в атмосфере ширившегося в начале 20 в. Именовавший себя анархистом О Нил отошел затем от политического движения но крайне негативное отношение к государству как орудию подавления личности и буржуазному обществу которое презрев духовные ценности обольстилось ценностями материальными сохранял всю жизнь. Выступив в двойной роли родоначальника и реформатора отечественной драмы О Нил не замкнулся в рамках чистого искусства для задуманных им преобразований такой масштаб был тесен.
34557. Основные этапы и общие тенденции развития литературы Зап.Европы и Америки после ВМВ 18.09 KB
  Так формируется ситуация постмодернизма. С точки зрения постмодернизма модернизм характеризуется стремлением познать начало начал. Отличительная черта постмодернизма концептуальность. Характерные черты постмодернизма 1интертекстуальность 2 многоуровневая организация текста 3неопределенность культ неясностей ошибок пропусков фрагментарность и принцип монтажа принцип ризомы 4жанровый и стилевой синкретизм соединение нерасчлененность различных видов культурного творчества 5театральность работа на публику использование...
34558. Молодежная проблематика в современной литературе (Д. Селинджер, Д. Осборн, Р. Мерль и др.) 18.16 KB
  стал неоднозанчный образ главного героя Холдена Колфилда. Возраст героя выбран С. В образе героя причудливо переплетаются жизненная мудрость и инфантилизм. Окружающую действительность он воспринимает через соотнесение с идеалом которым для героя является свобода.
34559. Проза французского Сопротивления 19.28 KB
  Арагона сбки Нож в сердце 1941 Глаза Эльзы 1942 Паноптикум 1943 Французская заря 1945 в стихах других поэтовкоммунистов Л. Арагон Ф. За порчу сукна штраф 200 франков 1945 Арагона К. Луи Арагон 18971982 начинает свою литературную деятельность в 1917 году а после возвращения с фронта примыкает к дадаистам сборник стихов Фейерверк 1920.
34560. Экзистенциализм во французской литературе. Его влияние на литературный процесс. Спор Сартра и Камю 15.46 KB
  Спор Сартра и Камю. Хотите философствовать пишите романы рекомендовал соотечественникам Альбер Камю. Спор Камю с Сартром не менее важен. В отличие от Сартра изображающего человеческую сущность чистой возможностью Камю считает что бытие человека изначально определено человеческой природой и содержит в себе набор возможностей ограничивающих человеческую свободу.
34561. Драматургия французского экзистенциализма, ее идейные и стилевые особенности (Ж. Ануй, Ж. П. Сартр, А. Камю) 19.51 KB
  Камю. Все дозволено Ивана Карамазова единственное выражение свободы писал Альбер Камю 1913 1960. С юности Камю зачитывался Достоевским Ницше Мальро. Мысли об абсурде абсурд царит о всевластии смерти познание себя познание смерти ощущение одиночества и отчуждения от омерзительного внешнего мира все мне чуждо постоянны и неизменны в эссеистике прозе и драматургии Камю.
34562. Сюжет и герой романа А. Камю («Посторонний», «Чума») 18.47 KB
  Мерсо взрывается выкрикивает что всю жизнь ощущал дыхание мрака смерти. Гораздо больше Мерсо любит природу особенно море. Суд над Мерсо. Те кто судят Мерсо продолжают верить что бытие изначально имеет высший позитивный смысл.
34563. Конфликт в романе Сартра «Тошнота» 18.68 KB
  И он решает что будет описывать и исследовать состояния мира разумеется как они даны преобразованы его Рокантена сознанием а еще более сами эти состояния сознания. Но если Гуссерль выделяет описывает феномены сознания чтобы зафиксировать их безличные всеобщие структуры то Сартр в духе Ясперса Хайдеггера Марселя использует описание феноменов сознания для анализа таких экзистенциальных состояний как одиночество страх отчаяние отвращение и других поистине трагических мироощущений личности. Существовать значит сознавать...
34564. «Театр абсурда»(С.Беккет , Э.Ионеско) 18.84 KB
  Наиболее полно принципы абсурдизма были воплощены в драмах Лысая певица L cnttrice chuve 1950 драматурга Эжена Ионеско и В ожидании Годо Сэмюэла Беккета. Эжен Ионеско зачинатель абсурдизма во французской драматургии. Сюрреализм пьес Ионеско ведет свое происхождение от цирковой клоунады фильмов Ч. Ионеско отвергает но пьесы были вызваны к жизни глубокой тревогой за судьбы языка и его носителей.