11048

Кинематика манипулятора. Прямая и обратная задача. Геометрия рабочего пространства

Лекция

Физика

Кинематика манипулятора. Прямая и обратная задача. Геометрия рабочего пространства. 7.1 Общие сведения о кинематике манипуляторов. В процессе изучения кинематических свойств многозвенных механизмов возникает необходимость описания движения их звеньев без уче...

Русский

2013-04-03

179.5 KB

285 чел.

Кинематика манипулятора. Прямая и обратная задача. Геометрия рабочего пространства.

 7.1 Общие сведения о кинематике манипуляторов.

В процессе изучения кинематических свойств многозвенных механизмов возникает необходимость описания движения их звеньев без учета их масс и действующих на них сил. На практике конструкция манипуляторов чаще всего представляет собой сочетание N звеньев, объединенных в кинематическую цепь посредством кинематических пар 5-го класса, которые характеризуются одной степенью свободы. Тогда положение  6-го звена относительно ( I - 1)-ого звена манипулятора может быть описано через обобщенный параметр:

где σi - показатель i-й кинематической пары; для вращательной пары  σi =1 и для поступательной пары  σi =0.

αi - угол поворота  i - го звена манипулятора относительно ( i -1)-го звена при наличии вращательной кинематической пары;

Si- относительное поступательное перемещение i-го звена
относительно (
i-1)-го звена при наличии поступательной кинема-
тической пары.

  В процессе анализа кинематической цепи манипулятора определение взаимного положения его звеньев сводится к задаче преобразования одной системы координат в другую. Такое преобразование удобно выполнять с помощью одной или произведения нескольких специальных матриц размерностью 4x4, которые носят наименование матриц винтовых смещений:

где    B - условное обозначение матрицы винтового смещения, основными параметрами которой являются угловое и линейное перемещения;

- углы поворота звена относительно одной из осей X, Y или Z соответствующей системы координат;

Sx , Sy , Sz - линейные смещения вдоль осей X , Y или Z.

Одной из важнейших особенностей этих матриц является их универсальность, т.к. каждая из них предполагает наличие вращения на определенный угол вокруг соответствующей оси (X , Y или Z) и поступательный перенос вдоль одной ив осей системы координат. При наличии только одного параметра, например, углового перемещения α  вокруг оси X первая матрица винтового смещения  преобразуется к виду (  Sx =0):

При наличии только поступательного перемещения вдоль оси эта

же матрица преобразуется к виду:

Результирующая матрица перехода  Ai(qi) между системами координат двух соседних звеньев общем виде может быть записана в виде:

Ai(qi) = B(αi, 0) · B(0, Si),

при этом следует отметить, что вращательное и поступательное движения могут быть связаны с различными осями координат.

Представленные матрицы ( I) есть матрицы перехода от i- й системы координат, связанной с  i-м звеном, к ( i-1)- й системе координат  ( i-I)-гo звена:   

где   - радиус-вектор точки пространства в системе координат (i-1) и  i соответственно.

Обратный переход от (i-1)-й системы координат к i- й системе координат записывается в виде:   

где   - обратная результирующая матрица, которая определяется с помощью обратных матриц   :

Представленные матрицы перехода являются одним из вариантом матриц перехода с использованием однородных систем координат.

Предложенный вариант прост, универсален и не требует соблюдения
специальных правил при выборе осей координат (при рассмотрении однородных систем координат выбор осей координат осуществляется в
строгом соответствии с правилами. •

Прямая задача кинематики многозвенных механизмов состоит в следующем: необходимо найти матрицу  (радиус-вектор), которая определяет координаты захватного устройства манипуляторе в пространстве относительно некоторой неподвижной системы координат (чаще всего она связана с неподвижной базой манипулятора), зная конструктивные параметры манипулятора и значения обобщенных параметров qi для всех его кинематических пар. Кроме координат захватного устройства манипулятора необходимо определить его пространственную ориентацию.

       Решением прямой задачи кинематики манипулятора с N звеньями являются выражения:

                  

где  Аi- связь  i-й системы координат звена с ( i -1)-й системой координат с учетом наличия либо вращательной, либо поступательной пары, либо их комбинации.

7.2  Геометрия рабочего пространства манипулятора

Решение прямой задачи о положении позволяет определить положение и ориентацию в пространстве схвата манипулятора, удерживаемого им инструмента или транспортируемого объекта при условии, что известны значения обобщенных координат манипулятора qi, i = 1, . . . , N. Эти значения могут изменяться в определенных пределах, которые обусловлены конструкцией механизма, или их специально назначают из соображений безопасности работы манипулятора:

qimin<qi<qimax, i = l,...,N.

Совокупность этих условий определяет область Sq  изменения[обобщенных координат. Поскольку каждому сочетанию обобщенных [координат соответствует некоторое положение схвата (объекта манипулирования), области Sq изменения обобщенных координат соответствует некоторая область Sr в пространстве рабочей сцены, в которой может находиться схват. Эту область называют рабочим пространством манипулятора (а также рабочей зоной, зоной достижимости).

Свяжем со схватом манипулятора некоторую характерную точку, например, точку, симметрично расположенную между губками схвата.

Введем в рабочем пространстве робота неподвижную систему  координат OXYZ. Эту систему удобно связать со стойкой (основанием) манипулятора, расположив оси X и Y в горизонтальной плоскости, а ось Z направив вдоль оси первой кинематической пары, которая, как правило, вертикальна (рис. 7.1, а, б, в).

Обозначим через r радиус-вектор характерной точки в системе координат OXYZ. Положение этой точки зависит от текущего значения относительных углов поворота в шарнирах и относительных перемещений в поступательных кинематических парах, т.е. от обобщенныхх координат qi, i = 1, ..., N.

Рис. 7.1. Конфигурация рабочего пространства: а - декартова система координат; 6 - цилиндрическая система координат; в - сферическая система координат

Решая прямую кинематическую задачу для манипуляционного механизма, получаем зависимость

r = r(ql,q2,...,qli),

определяющую  положение  схвата  или  рабочего  инструмента как функцию обобщенных координат манипулятора.

Значения qi могут изменяться в пределах заданных ограничений, определяющих область Sq обобщенных координат. Каждой точке  можно поставить в соответствие характерную точку в пространстве рабочей сцены. Другими словами, каждому вектору обобщенных   координат   q   из   области    Sq    соответствует   некоторое положение манипулятора и его схвата. При этом области допустимых зачений обобщенных координат Sq будет соответствовать область Sr допустимых значений декартовых координат схвата в пространстве рабочей сцены, которая характеризует рабочее пространство манипулятора.

Граница рабочего пространства Sr определяется кинематической схемой манипулятора. Так, для манипулятора, работающего в декартовой системе координат (рис. 7.1, а), это параллелепипед, грани которого параллельны осям координат. Для манипулятора, работающего в цилиндрической системе координат (рис. 7.1, б) рабочее пространство представляет собой часть цилиндрического объема. Для манипулятора, сконструированного в сферической системе координат (рис. 7.1, в), часть сферы. Более сложную конфигурацию имеет рабочее пространство манипулятора антропоморфного типа.

Во всех рассмотренных случаях рабочее пространство обладает определенной симметрией, следовательно, оно характеризуется одним его сечений, т.е. плоской рабочей зоной. На рис. 7.1а эта симметрия обусловлена наличием поступательной кинематической пары, смещающей построенную зону вдоль оси OZ, на рис. 7.1, б, в - наличием вращательной кинематической пары, которая эту зону поворачивает относительно вертикальной оси OZ.

Отображение допустимой области обобщенных координат в про-странство рабочей сцены однозначно, но не взаимнооднозначно, так одному и тому же положению характерной точки С могут соответствовать, вообще говоря, различные положения манипулятора (рис. 7.2).

            Рисунок 7.2.- Два возможных положения манипулятора

Если кинематическая схема манипулятора не имеет избыточности, то существует конечное множество конфигураций кинематической схемы манипулятора, соответствующее одному и тому же положению схвата. Это утверждение следует из того, что при неподвижном схвате число степеней подвижности механизма равно нулю, т.е. он представляет собой ферму.

Для манипуляционных механизмов, обладающих избыточными степенями подвижности, движение звеньев может осуществляться при    неподвижном схвате, что позволяет преодолевать внешние препятствия или проводить работы во внутренних объемах (рис. 7.3).

Рисунок 7.3. – Манипулятор с избыточными степенями подвижности

Такое свойство называется маневренностью манипулятора. Характеристикой маневренности может служить разность между числом степеней подвижности манипулятора  и числом степеней свободы схвата. Эта характеристика позволяет определить то число степеней подвижности механизма, которое остается после наложения внешних связей на движение схвата.

В общем случае построение границы рабочей зоны связано с решением прямой кинематической задачи. Однако часто границу рабочей зоны Sr проще определить непосредственно из геометрических соотношений, следующих из описания кинематической схемы манипулятора. Пример такого решения рассмотрен в лабораторной работе 4.

Важными характеристиками манипулятора являются объем его рабочего пространства и предел досягаемости схвата  (по длине или по каждой координате).

7.3 Обратная задача о положении манипулятора

Обратная задача кинематики состоит в следующем: по известной матрице   захватного устройства манипулятора в пространстве необходимо определить значения обобщенных координат qi. Анализ уравнений рассмотренных примеров (см. лаб. работу 1) показывает, что поиск координат qi при известных значениях X , Y и Z не является простым и однозначным, т.к. уравнения нелинейные. Например, для трехзвенного манипулятора (см. лаб. Занятие 3)

                                  (7.1)

Решение обратной задачи о положении сводится к решению нелинейной тригонометрической системы шести уравнений (по числу координат схвата в пространстве) с N неизвестными. Известно, что такие системы могут:

- не иметь ни одного решения; это означает, что заданное положение и ориентация схвата не могут быть достигнуты никаким выбором углов (перемещений) в сочленениях;

- иметь единственное решение;

- иметь более одного решения; это означает что существует несколько (или безконечно много ) конфигураций механизма, обеспечивающих заданное положение схвата.

Умение решать обратную задачу о положении чрезвычайно важно для управления манипулятором. Если программное движение задано в виде траектории его схвата, то для управления сочленениями необходимо обеспечит такие законы изменения координат, чтобы в каждый момент времени в режиме on-line схват находился на заданной траектории. Однако не существует общего метода решения этой задачи в явном виде.

В общем случае для решения поставленной задачи вынуждены прибегать к итерационным методам вычислений. Например, согласно методу Ньютона последовательные приближения трех  искомых корней α, β, γ   системы 3 нелинейных уравнений      

  

вычисляются по формулам:

                                              (7.2)

где    - начальные (k=1) значения корней , определяемые приближенно ( графически, прикидкой и т.п.);

- уточненные значения корней;

 J - якобиан рассматриваемой системы уравнений, представляющий собой определитель:

Δ1 , Δ2 , Δ3  - величины, вычисляемые следующим образом

Вычисление корней (2) происходит до момента, когда поправки  окажутся меньше принятой точности вычислений.


7.4
Прямая  и обратная задачи о скорости манипулятора

Прямая задача о скорости состоит в определении вектора скорости рабочего органа в декартовой системе координат по заданным обобщенным координатам звеньев.

Для решения поставленной задачи необходимо продифференцировать по времени систему уравнений, являющуюся решением прямой задачи о положении. Например, для двухзвенного манипулятора:

                                  (7.3)

Полученную систему представим в матричной форме:

                                                (7.4)

где      - вектор-столбец декартовых скоростей рабочего органа;   

- вектор-столбец обобщенных скоростей манипулятора;

          J - матрица Якоби размерности (2 x 2).

Элементами матрицы Якоби являются соответствующие частные производные, входящие в выражения (7.3): пример на лаб. работе 3.

Элементы матрицы Якоби зависят от длин звеньев и значений обобщенных координат, определяющих текущее положение манипулятора.

Обратная задача о скорости сводится к нахождению скоростей в подвижных сочленения, при которых обеспечивается движение схвата с заданной линейной и угловой скоростью.   Как и обратная задача о положении,  решение в явном виде в общем случае не существует. При числе степеней свободы меньше 6

решение сводится к определению обратной матрицы Якоби.

Процедура поиска решения часто является одной из компонент алгоритма управления манипулятором, причем вычислительная сложность процедуры обращения матрицы Якоби определяет эффективность управления в целом.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46738. Разностные схемы: явная и неявная схемы 28.1 KB
  Решение разностной схемы называется приближенным решением дифференциальной задачи. Характеристика неявной разностной схемы Рассмотрим одномерное дифференциальное уравнение параболического типа с начальным и граничными условиями: 4.7 записана на n 1ом шаге по времени для удобства последующего изложения метода и алгоритма решения неявной разностной схемы 4. В разделе Порядок аппроксимации разностной схемы было отмечено что разностная схема 4.
46739. Современное состояние, особенности и перспективы экономики России 30.25 KB
  В итоге из неизвестности результатов поведения фирмы которому она может решить следовать может возникнуть ограниченность информации. Однако она не может оценить стратегию которую выберет конкурент изза ограниченности информации. Вообще это равновесие в условиях ограниченности информации может определяться как неоптимальное неэффективное или как провал рынка. Особый тип ограниченности информации ее асимметрия т.
46740. Тюменская область в экономике России 29.64 KB
  Одна из последних тенденций в сфере производства состоит в стремлении к выпуску разнообразных товаров на базе использования однотипных комплектующих. Часто такие структуры напоминают картель поскольку объединяются предприятия заключающие соглашения о цене объеме производимого товара разделе рынка сбыта стремящиеся монополизировать рынок отдельных товаров. К ним прежде всего относятся: поддержание цен при перепродаже товаров или поддержание розничных цен resle price mintennce RPM договор франчайзинга {frnchise greement ...
46742. Страховой рынок: экономическая природа. Современное состояние отечественного страхового рынка 30.39 KB
  Тренд - направление преимущественного движения показателей. Чарльз Доу даёт следующее определение тренда: при восходящем тренде каждый последующий пик на графике должен быть выше предыдущего, при нисходящем тренде каждый последующий спад на графике должен быть ниже предыдущего (Теория Доу).
46743. Статистика занятости и безработицы 29.77 KB
  Все это предопределяет направления деятельности страховых компаний по сбору обширной соответствующей информации ее накоплению группировке классификации и обобщению с целью разработки адекватного механизма страховой защиты. Эдвард Ллойд основывает газету Новости Ллойда в которой помещаются полные сведения об отправлениях и прибытиях судов во всех портах мира о страховых случаях объемах риска и финансовых убытках. Классификация страховых отношений означает научную их систематизацию исходя из множества страховых рисков объектов...