11048

Кинематика манипулятора. Прямая и обратная задача. Геометрия рабочего пространства

Лекция

Физика

Кинематика манипулятора. Прямая и обратная задача. Геометрия рабочего пространства. 7.1 Общие сведения о кинематике манипуляторов. В процессе изучения кинематических свойств многозвенных механизмов возникает необходимость описания движения их звеньев без уче...

Русский

2013-04-03

179.5 KB

349 чел.

Кинематика манипулятора. Прямая и обратная задача. Геометрия рабочего пространства.

 7.1 Общие сведения о кинематике манипуляторов.

В процессе изучения кинематических свойств многозвенных механизмов возникает необходимость описания движения их звеньев без учета их масс и действующих на них сил. На практике конструкция манипуляторов чаще всего представляет собой сочетание N звеньев, объединенных в кинематическую цепь посредством кинематических пар 5-го класса, которые характеризуются одной степенью свободы. Тогда положение  6-го звена относительно ( I - 1)-ого звена манипулятора может быть описано через обобщенный параметр:

где σi - показатель i-й кинематической пары; для вращательной пары  σi =1 и для поступательной пары  σi =0.

αi - угол поворота  i - го звена манипулятора относительно ( i -1)-го звена при наличии вращательной кинематической пары;

Si- относительное поступательное перемещение i-го звена
относительно (
i-1)-го звена при наличии поступательной кинема-
тической пары.

  В процессе анализа кинематической цепи манипулятора определение взаимного положения его звеньев сводится к задаче преобразования одной системы координат в другую. Такое преобразование удобно выполнять с помощью одной или произведения нескольких специальных матриц размерностью 4x4, которые носят наименование матриц винтовых смещений:

где    B - условное обозначение матрицы винтового смещения, основными параметрами которой являются угловое и линейное перемещения;

- углы поворота звена относительно одной из осей X, Y или Z соответствующей системы координат;

Sx , Sy , Sz - линейные смещения вдоль осей X , Y или Z.

Одной из важнейших особенностей этих матриц является их универсальность, т.к. каждая из них предполагает наличие вращения на определенный угол вокруг соответствующей оси (X , Y или Z) и поступательный перенос вдоль одной ив осей системы координат. При наличии только одного параметра, например, углового перемещения α  вокруг оси X первая матрица винтового смещения  преобразуется к виду (  Sx =0):

При наличии только поступательного перемещения вдоль оси эта

же матрица преобразуется к виду:

Результирующая матрица перехода  Ai(qi) между системами координат двух соседних звеньев общем виде может быть записана в виде:

Ai(qi) = B(αi, 0) · B(0, Si),

при этом следует отметить, что вращательное и поступательное движения могут быть связаны с различными осями координат.

Представленные матрицы ( I) есть матрицы перехода от i- й системы координат, связанной с  i-м звеном, к ( i-1)- й системе координат  ( i-I)-гo звена:   

где   - радиус-вектор точки пространства в системе координат (i-1) и  i соответственно.

Обратный переход от (i-1)-й системы координат к i- й системе координат записывается в виде:   

где   - обратная результирующая матрица, которая определяется с помощью обратных матриц   :

Представленные матрицы перехода являются одним из вариантом матриц перехода с использованием однородных систем координат.

Предложенный вариант прост, универсален и не требует соблюдения
специальных правил при выборе осей координат (при рассмотрении однородных систем координат выбор осей координат осуществляется в
строгом соответствии с правилами. •

Прямая задача кинематики многозвенных механизмов состоит в следующем: необходимо найти матрицу  (радиус-вектор), которая определяет координаты захватного устройства манипуляторе в пространстве относительно некоторой неподвижной системы координат (чаще всего она связана с неподвижной базой манипулятора), зная конструктивные параметры манипулятора и значения обобщенных параметров qi для всех его кинематических пар. Кроме координат захватного устройства манипулятора необходимо определить его пространственную ориентацию.

       Решением прямой задачи кинематики манипулятора с N звеньями являются выражения:

                  

где  Аi- связь  i-й системы координат звена с ( i -1)-й системой координат с учетом наличия либо вращательной, либо поступательной пары, либо их комбинации.

7.2  Геометрия рабочего пространства манипулятора

Решение прямой задачи о положении позволяет определить положение и ориентацию в пространстве схвата манипулятора, удерживаемого им инструмента или транспортируемого объекта при условии, что известны значения обобщенных координат манипулятора qi, i = 1, . . . , N. Эти значения могут изменяться в определенных пределах, которые обусловлены конструкцией механизма, или их специально назначают из соображений безопасности работы манипулятора:

qimin<qi<qimax, i = l,...,N.

Совокупность этих условий определяет область Sq  изменения[обобщенных координат. Поскольку каждому сочетанию обобщенных [координат соответствует некоторое положение схвата (объекта манипулирования), области Sq изменения обобщенных координат соответствует некоторая область Sr в пространстве рабочей сцены, в которой может находиться схват. Эту область называют рабочим пространством манипулятора (а также рабочей зоной, зоной достижимости).

Свяжем со схватом манипулятора некоторую характерную точку, например, точку, симметрично расположенную между губками схвата.

Введем в рабочем пространстве робота неподвижную систему  координат OXYZ. Эту систему удобно связать со стойкой (основанием) манипулятора, расположив оси X и Y в горизонтальной плоскости, а ось Z направив вдоль оси первой кинематической пары, которая, как правило, вертикальна (рис. 7.1, а, б, в).

Обозначим через r радиус-вектор характерной точки в системе координат OXYZ. Положение этой точки зависит от текущего значения относительных углов поворота в шарнирах и относительных перемещений в поступательных кинематических парах, т.е. от обобщенныхх координат qi, i = 1, ..., N.

Рис. 7.1. Конфигурация рабочего пространства: а - декартова система координат; 6 - цилиндрическая система координат; в - сферическая система координат

Решая прямую кинематическую задачу для манипуляционного механизма, получаем зависимость

r = r(ql,q2,...,qli),

определяющую  положение  схвата  или  рабочего  инструмента как функцию обобщенных координат манипулятора.

Значения qi могут изменяться в пределах заданных ограничений, определяющих область Sq обобщенных координат. Каждой точке  можно поставить в соответствие характерную точку в пространстве рабочей сцены. Другими словами, каждому вектору обобщенных   координат   q   из   области    Sq    соответствует   некоторое положение манипулятора и его схвата. При этом области допустимых зачений обобщенных координат Sq будет соответствовать область Sr допустимых значений декартовых координат схвата в пространстве рабочей сцены, которая характеризует рабочее пространство манипулятора.

Граница рабочего пространства Sr определяется кинематической схемой манипулятора. Так, для манипулятора, работающего в декартовой системе координат (рис. 7.1, а), это параллелепипед, грани которого параллельны осям координат. Для манипулятора, работающего в цилиндрической системе координат (рис. 7.1, б) рабочее пространство представляет собой часть цилиндрического объема. Для манипулятора, сконструированного в сферической системе координат (рис. 7.1, в), часть сферы. Более сложную конфигурацию имеет рабочее пространство манипулятора антропоморфного типа.

Во всех рассмотренных случаях рабочее пространство обладает определенной симметрией, следовательно, оно характеризуется одним его сечений, т.е. плоской рабочей зоной. На рис. 7.1а эта симметрия обусловлена наличием поступательной кинематической пары, смещающей построенную зону вдоль оси OZ, на рис. 7.1, б, в - наличием вращательной кинематической пары, которая эту зону поворачивает относительно вертикальной оси OZ.

Отображение допустимой области обобщенных координат в про-странство рабочей сцены однозначно, но не взаимнооднозначно, так одному и тому же положению характерной точки С могут соответствовать, вообще говоря, различные положения манипулятора (рис. 7.2).

            Рисунок 7.2.- Два возможных положения манипулятора

Если кинематическая схема манипулятора не имеет избыточности, то существует конечное множество конфигураций кинематической схемы манипулятора, соответствующее одному и тому же положению схвата. Это утверждение следует из того, что при неподвижном схвате число степеней подвижности механизма равно нулю, т.е. он представляет собой ферму.

Для манипуляционных механизмов, обладающих избыточными степенями подвижности, движение звеньев может осуществляться при    неподвижном схвате, что позволяет преодолевать внешние препятствия или проводить работы во внутренних объемах (рис. 7.3).

Рисунок 7.3. – Манипулятор с избыточными степенями подвижности

Такое свойство называется маневренностью манипулятора. Характеристикой маневренности может служить разность между числом степеней подвижности манипулятора  и числом степеней свободы схвата. Эта характеристика позволяет определить то число степеней подвижности механизма, которое остается после наложения внешних связей на движение схвата.

В общем случае построение границы рабочей зоны связано с решением прямой кинематической задачи. Однако часто границу рабочей зоны Sr проще определить непосредственно из геометрических соотношений, следующих из описания кинематической схемы манипулятора. Пример такого решения рассмотрен в лабораторной работе 4.

Важными характеристиками манипулятора являются объем его рабочего пространства и предел досягаемости схвата  (по длине или по каждой координате).

7.3 Обратная задача о положении манипулятора

Обратная задача кинематики состоит в следующем: по известной матрице   захватного устройства манипулятора в пространстве необходимо определить значения обобщенных координат qi. Анализ уравнений рассмотренных примеров (см. лаб. работу 1) показывает, что поиск координат qi при известных значениях X , Y и Z не является простым и однозначным, т.к. уравнения нелинейные. Например, для трехзвенного манипулятора (см. лаб. Занятие 3)

                                  (7.1)

Решение обратной задачи о положении сводится к решению нелинейной тригонометрической системы шести уравнений (по числу координат схвата в пространстве) с N неизвестными. Известно, что такие системы могут:

- не иметь ни одного решения; это означает, что заданное положение и ориентация схвата не могут быть достигнуты никаким выбором углов (перемещений) в сочленениях;

- иметь единственное решение;

- иметь более одного решения; это означает что существует несколько (или безконечно много ) конфигураций механизма, обеспечивающих заданное положение схвата.

Умение решать обратную задачу о положении чрезвычайно важно для управления манипулятором. Если программное движение задано в виде траектории его схвата, то для управления сочленениями необходимо обеспечит такие законы изменения координат, чтобы в каждый момент времени в режиме on-line схват находился на заданной траектории. Однако не существует общего метода решения этой задачи в явном виде.

В общем случае для решения поставленной задачи вынуждены прибегать к итерационным методам вычислений. Например, согласно методу Ньютона последовательные приближения трех  искомых корней α, β, γ   системы 3 нелинейных уравнений      

  

вычисляются по формулам:

                                              (7.2)

где    - начальные (k=1) значения корней , определяемые приближенно ( графически, прикидкой и т.п.);

- уточненные значения корней;

 J - якобиан рассматриваемой системы уравнений, представляющий собой определитель:

Δ1 , Δ2 , Δ3  - величины, вычисляемые следующим образом

Вычисление корней (2) происходит до момента, когда поправки  окажутся меньше принятой точности вычислений.


7.4
Прямая  и обратная задачи о скорости манипулятора

Прямая задача о скорости состоит в определении вектора скорости рабочего органа в декартовой системе координат по заданным обобщенным координатам звеньев.

Для решения поставленной задачи необходимо продифференцировать по времени систему уравнений, являющуюся решением прямой задачи о положении. Например, для двухзвенного манипулятора:

                                  (7.3)

Полученную систему представим в матричной форме:

                                                (7.4)

где      - вектор-столбец декартовых скоростей рабочего органа;   

- вектор-столбец обобщенных скоростей манипулятора;

          J - матрица Якоби размерности (2 x 2).

Элементами матрицы Якоби являются соответствующие частные производные, входящие в выражения (7.3): пример на лаб. работе 3.

Элементы матрицы Якоби зависят от длин звеньев и значений обобщенных координат, определяющих текущее положение манипулятора.

Обратная задача о скорости сводится к нахождению скоростей в подвижных сочленения, при которых обеспечивается движение схвата с заданной линейной и угловой скоростью.   Как и обратная задача о положении,  решение в явном виде в общем случае не существует. При числе степеней свободы меньше 6

решение сводится к определению обратной матрицы Якоби.

Процедура поиска решения часто является одной из компонент алгоритма управления манипулятором, причем вычислительная сложность процедуры обращения матрицы Якоби определяет эффективность управления в целом.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34518. Тема строительства нового общества в литературе ГДР 19.54 KB
  Эти предпосылки были полностью реализованы на территории будущей ГДР. Образование ГДР было закономерным итогом антифашистскодемократического переворота ответом прогрессивных сил немецкого народа на раскол Германии западными державами и западногерманской реакцией. С возникновением ГДР в ней наряду с укреплением антифашистскодемократического порядка начался процесс создания основ социализма.
34519. Духовно-нравственная проблематика и ее художетсвенное воплощение в произведениях писателей ГДР 17.54 KB
  1900; роман Мёртвые остаются молодыми 1949 повесть Человек и его имя 1952 Л. Бределя 190164; романыСыновья 1949 Внуки 1953 Г. Мархвицы 18901965; роман Возвращение Кумяков 1952 в поэзии Э. 1912; роман Чудодей 1957 Б.
34520. Тема неопределенного прошлого в произведениях западногерманских писателей (Г. Белль, Г. Грасс) 22.83 KB
  Грасс Генрих Бёлль 19171985 Входил в Группа 47 объединение писателей не желавш.Тематика: Тема Бунтарства в романе описана в образе причастности к фашистскому движению причастие буйвола большинство окружения Генриха Фемеля прильнули к этим течениям он оставался равнодушным однако еще в юным дал обет не принимать их сторону. А помощница Генриха напротив хотела сбежать от опостылевшей ей правильности и вежливости хозяина. Тема порядка: Фемель был как часы как слаженный механизм он делал все с немецкой дотошностью и...
34521. Мотив клоунады в произведениях писателей ФРГ 17.7 KB
  Широкая известность почти молниеносно распространившаяся за пределами Германии пришла к Грассу с его первым романом Жестяной барабан 1959 и укрепилась после повести Кошкимышки 1961 и романа Собачья жизнь 1963 составивших своеобразный эпический триптих об истории Германии XX в. истории грассовского поколения немцев. Как и Бёлль Грасс отчетливо ощущает роковую преемственность в этой истории неслучайность историческую обусловленность прихода фашистского варварства. И все же творчество Грасса принципиально новый этап в...
34522. Рабочая тема в послевоенной литературе (английский «рабочий» роман, «Группа 61» и творчество М. Грюна) 18.55 KB
  Грюна Значительным явлением в литературной жизни послевоенной Англии стали романы о рабочих. критически освещающих проблемы жизни рабочих. Острокритический роман Светляки и пламя 1963 Два письма Поспишилу 1968 Местами гололед 1973 Жар под золой 1979 о жизни рабочих в ФРГ; политический роман Лавина 1986. В романе фон дер Грюна Местами гололед 1973 критика социального угнетения рабочих на современном капиталистическом предприятии перерастает в критику политического режима.
34523. Пути развития послевоенной американской драматургии 19.82 KB
  Н а убогую окраину огромного города в дом к Стэнли Ковальскому приезжает сестра его жены Бланш Дюбуа. Бланш осталась в поместье и боролась за его существоавние. Позади неудачное замужество муж оказался гомосексуалистом покончил с собой узнав что Бланш раскрыла его тайну; потеря честного имени; в отчаянии Бланш приезжает к сестре. Когда она уезжает в родильный дом Стэнли насилует Бланш и Бланш сходит с ума.
34524. Американский антивоенный роман 15.26 KB
  Его первый роман Пункт 22 1962 роман о войне но одновременно романметафора по словам автора об Америке 50х и 60х и 70х. Главный герой романа капитан Йоссариан вынужден жить в одной палатке с мертвецом: солдат давно погиб но его не признают погибшим ибо отсутствует соответствующий документ. В языке и в композиции романа не случайно преобладает прием навязчивого повтора dej vu.
34525. Личностная пробле6матика в американском романе 60-70х гг. Поиск героя (Д.Апдайк, С.Белооу, У.Стайрон, Д.Гарднер и др) 20.93 KB
  Гарднер и др Проза Апдайка относится к числу самой популярной в послевоенное десятилетие. Апдайка Кентавр принадлежит одновременно к мифологическому и вместе с тем растущему из земли искусству. Но упорядочивать роман Апдайка таким способом нельзя:. Но книга Апдайка не ребус рассчитанный лишь на изощренную сообразительность и специальные знания.
34526. «Черный юмор» в литературе США (Д.Хеллер, К.Воннегут, Д,Барт, Данливи и др.) 18.72 KB
  1н из них Билли Пилигрим становится процветающим оптометристом в провинц. Билли совершает путь пилигрима наоборот от главного самого страшного в жизни события все глубже в духовное небытие и дальше на фантастическую планету Тральфамадор где культивируется философия нивочтоневмешательства. Такова структура данного момента отвечают Тральфамадорцы на все почему Билли. Билли в общемто и сам всегда жил по тральфамадорским правилам.