11126

Основы теории напряженного состояния

Реферат

Математика и математический анализ

Основы теории напряженного состояния. Напряжения в точке. Если мысленно вырезать вокруг какойнибудь точки тела элемент в виде бесконечного малого кубика то по его граням в общем случае будут действовать напряжения представленные на рис. 3.1. Совокупность нормальных...

Русский

2013-04-04

1.08 MB

54 чел.

Основы теории напряженного состояния.


Напряжения в точке.

Если мысленно вырезать вокруг какой-нибудь точки тела элемент в виде бесконечного малого кубика, то по его граням в общем случае будут действовать напряжения, представленные на рис. 3.1.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам (сечениям), содержащим какую-либо точку называют напряженным состоянием тела в данной точке 

Рис. .

Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки нагруженного тела, действуют девять компонентов напряжения. Запишем их в виде следующей квадратной матрицы:

,

где в первой, второй и третьей строках расположены составляющие напряжений соответственно на площадках, перпендикулярных к осям , , . Эта совокупность напряжений называется тензором напряжений.

Закон парности касательных напряжений. Главные площадки и главные напряжения.

Составим уравнение моментов всех сил, приложенных к элементарному параллелепипеду относительно оси . (рис. 3.1.).

Силы, параллельные этой оси и пересекающие ее, в уравнение не войдут. Моменты сил  на двух гранях, перпендикулярных оси , уравновешиваются, равно как и моменты сил  на верхней и нижней гранях элемента. Таким образом, получаем:

Отсюда следует, что .

Аналогично из двух других уравнений находим:

 

Итак, имеем равенства

 , (3.1)

называемые законом парности касательных напряжений 

Закон парности касательных напряжений – касательные напряжения на двух любых, но взаимно перпендикулярных площадках, направленные перпендикулярно к линии пересечения площадок, равны по величине. При этом они стремятся повернуть элемент в разные стороны.

При изменении ориентации граней выделенного элемента меняются также действующие на его гранях напряжения. Можно провести такие площадки, на которых касательные напряжения равны нулю. Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными площадками, а нормальные напряжения на этих площадках – главными напряжениями.

Можно доказать, что в каждой точке напряженного тела существует три главные взаимно перпендикулярные площадки.

Главные напряжения обозначают , , . При этом индексы следует расставлять так, чтобы выполнялось неравенство

>>.

Если отличны от нуля все три главных напряжения, то напряженное состояние называется трехосным или объемным (рис.3.2, а).

Если равно нулю одно из главных напряжения, то напряженное состояние называется двухосным или плоским (рис.3.2, б).

Если равно нулю два главных напряжения, то напряженное состояние называется одноосным или линейным (рис.3.2, в).

Рис. .

Плоское напряженное состояние.

При исследовании напряженного состояния элементов конструкций наиболее часто приходится иметь дело с плоским напряженным состоянием. Оно встречается при кручении, изгибе и сложном сопротивлении. Поэтому на нем мы остановимся несколько подробнее.

Рассмотрим элемент, грани которого являются главными площадками.

Рис. .

По ним действуют положительные напряжения  и , а третье главное напряжение  (направление  перпендикулярно к плоскости чертежа).

Проведем сечение II, которое определит площадку (), характеризуемую положительным углом . Напряжения  и  по этой площадке будут определяться по формулам:

(3.2)

(3.3)

Сжимающие главные напряжения подставляют в эти формулы со знаком «минус», а угол  отсчитывают от алгебраически большего главного напряжения.

Проведем сечение IIII, которое определит площадку , перпендикулярную площадке . Нормаль  к ней образует с направлением  угол

.

Подставив в формулы (3.2) и (3.3) значения угла , будем иметь

; (3.4)

. (3.5)

Совокупность формул (3.2) - (3.5) дает возможность находить напряжения по любым взаимно перпендикулярным наклонным площадкам, если известны главные напряжения.

Складывая равенства (3.2) и (3.4), обнаруживаем, что

, (3.6)

т. е. сумма нормальных напряжений по двум взаимно перпендикулярным площадкам не зависит от угла наклона этих площадок и равна сумме главных напряжений.

Из формул (3.3) и (3.5) видим, что касательные напряжения достигают наибольшей величины при , т. е. по площадкам, наклоненным к главным площадкам под углом , причем

. (3.7)

Сравнивая формулы (3.3) и (3.5), находим, что

(3.8)

Это равенство выражает закон парности касательных напряжений.

Проведем теперь еще два сечения (рис. 3.3): Сечение ІІІ – ІІІ, параллельное І – І, и сечение ІV – ІV, параллельное ІІ – ІІ. Элемент , выделенный четырьмя сечениями из элемента  (рис. 3.4, а), будет иметь вид, показанный на рис 3.4, б. Оба элемента определяют одно и то же напряженное состояние, но элемент  представляет его главными напряжениями, а элемент  - напряжениями на наклонных площадках.

Рис. .

В теории напряженного состояния можно разграничить две основные задачи.

Прямая задача. В точке известны положения главных площадок и соответствующие им главные напряжения; требуется найти нормальные и касательные напряжения по площадкам, наклоненным под заданным углом  к главным.

Обратная задача. В точке известны нормальные и касательные напряжения, действующие в двух взаимно перпендикулярных площадках; требуется найти главные направления и главные напряжения. Обе задачи можно решать как аналитически, так и графически.

Прямая задача в плоском напряженном состоянии. Круг напряжений (круг Мора).

Аналитическое решение прямой задачи дается формулами (3.2) – (3.5).

Проанализируем напряженное состояние, воспользовавшись простым графическим построением. Для этого введем в рассмотрение геометрическую плоскость и отнесем ее к прямоугольным координатным осям  и . Порядок расчета опишем на примере напряженного состояния, изображенного на рис. 3.5, а.

Выбрав для напряжений некоторый масштаб, откладываем на оси абсцисс (рис 3.5, б) отрезки

 

На  как на диаметре строим окружность с центром в точке . Построенный круг носит название круга напряжений или круга Мора.

Рис. .

Координаты точек круга соответствуют нормальным и касательным напряжениям на различных площадках. Так, для определения напряжения на площадке, проведенной под углом  (рис. 3.5, а) из центра круга  (рис 3.5, б) проводим луч под углом  до пересечения с окружностью в точке  (положительные углы откладываем против часовой стрелки). Абсцисса точки (отрезок ) равна нормальному напряжению , а ордината ее (отрезок ) – касательному напряжению .

Напряжение на площадке, перпендикулярной к рассмотренной, найдем, проведя луч под углом  и получив в пересечении с окружностью точку . Очевидно, ордината точки  соответствует касательному напряжению , а абсцисса точки  - нормальному напряжению .

Проведя из точки  линию, параллельную  (в нашем случае горизонталь), до пересечения с кругом, найдем полюс – точку . Линия, соединяющая полюс с любой точкой круга, параллельна направлению нормального напряжения на площадке, которой эта точка соответствует. Так, например, линия  параллельна главному напряжению . Очевидно, что линия  параллельна направлению главного напряжения .

Обратная задача в плоском напряженном состоянии.

При практических расчетах обычно определяют нормальные и касательные напряжения на некоторых двух взаимно перпендикулярных площадках. Пусть, например, известны напряжения , , ,  (рис. 3.6, а). По этим данным требуется определить величины главных напряжений и положение главных площадок.

Сначала решим эту задачу графически. Примем, что >, а >.

В геометрической плоскости в системе координат  нанесем точку , с координатами ,  и точку  с координатами ,(рис. 3.6, б). Соединив точки  и , находим центр круга – точку  - и радиусом  проводим окружность. Абсциссы точек ее пересечения с осью  - отрезки  и  - дадут соответственно величины главных напряжений  и .

Для определения положения главных площадок найдем полюс и воспользуемся его свойством. Проведем из точки  линию параллельно линии действия напряжения , т. е. горизонталь. Точка  пересечения этой линии с окружностью и является полюсом. Соединяя полюс  с точками  и , получим направления главных напряжений. Главные площадки перпендикулярны к найденным направлениям главных напряжений.

Рис. .

Используем построенный круг для получения аналитических выражений главных напряжений  и :

(3.9)

(3.10)

Формула (3.10) определяет единственное значение угла , на который нужно повернуть нормаль , чтобы получить направление алгебраически большего главного напряжения. Отрицательному значению  соответствует поворот по часовой стрелке.

Если одно из главных напряжений окажется отрицательным, а другое положительным, то их следует обозначать  и . Если оба главных напряжения окажутся отрицательными, то их следует обозначать  и .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32364. Психологические основы воспитания. Организация воспитания с учетом специфики различных категорий детей 13.68 KB
  Психология воспитания научает внутренние механизмы становления и развития личности в целом а также отдельные ее свойства. Воспитание – социальное целенаправленное создание условий материальных духовных организованных для развития человека это целенаправленная деятельность призванная формировать у детей систему качеств личности взглядов и убеждений. Цели воспитания: Воспитание всесторонне и гармонично развитой личности сочетающей в себе духовное богатство моральную чистоту и физическое совершенство. Воспитание социально компетентной...
32365. Методы исследования в психологии 14.05 KB
  Метод – это способ посредством которого познается предмет науки это способ получения фактов о проявлениях психологических особенностей человека. Являясь средством изучения фактов и закономерностей психики человека той или иной метод опирается на основные закономерности ее развития и функционирования и основан на методологии той науки в рамках которой он используется а методология – это совокупность принципов. Психика человека представляет собой сложную психологическую систему в которой все процессы и функции тесно взаимосвязаны. а есть...
32366. Семья как малая социальная группа. Функции семьи. Конфликты в семье, их профилактика и разрешение 13.51 KB
  Функции семьи. Функции семьи – деятельность членов семьи направленная на удовлетворение потребностей. Генеративная продолжение рода первичной социализации экономическая накопление богатства гедонистическая здоровый секс рекреационная совместный отдых рождение и воспитание детей; сохранение развитие передача последующим поколениям ценностей и традиций общества; удовлетворение потребностей в психологическом конфликте эмоциональной поддержке чувство безопасности значимости собственного Я; создание условий для развития личности...
32367. Классификация методов психологического исследования 14.31 KB
  Этапы психологического исследования: Постановка цели психологического исследования определение предмета исследования выработка рабочей гипотезы: Выявление проблемы Уточнение проблемы и характера затруднений сбор необходимой для этого информации беседа с учителями и родителями наблюдение за ребенком в проблемной и непроблемной ситуации Выявление социальных и биологических условий развития формальные характеристики – состав семьи возраст образование и профессия родителей; физическое развитие и состояние здоровья ребенка – группа...
32368. Понятие группы. Структура группы. Дифференциация в группах детей и подростков. Динамика развития группы. Метод социометрии 16.83 KB
  Структура группы. Динамика развития группы. Признаки группы: Наличие интегральный психических характеристик общественное мнение психологический климат групповые нормы и ценности интересы Существование основных параметров группы как единого целого: композиция численность возраст пол национальность соцположение; структура функциональная формальная групповые процессы сплоченность лидерство конформизм взаимодействие групповые нормы и ценности правила осуществления эффективной совместной деятельности групповые...
32369. Метод наблюдения 13.94 KB
  Достоинства наблюдения: Позволяет охватить и зафиксировать психические состояния или акты поведения. Недостатки наблюдения: Выявление настроения предупреждения положения наблюдателя на результаты Многочисленность мешающих факторов Невозможность обобщений при однократном наблюдении. Большие ресурсные затраты Виды наблюдения: По характеру объекта: Внутреннее наблюдение объектом наблюдения является сам наблюдатель Внешнее наблюдение – объект исследования наблюдается извне со стороны.
32370. Метод беседы (интервью) 13.89 KB
  Отличительной особенностью беседы непосредственный характер общения исследователя с испытуемым. Может проводится заметно для субъекта с соблюдением норм профэтики Программа и содержание могут быть гибкими изменяться психологом в соответствии с целями Недостатки: Субъективность результатов эффект двойной субъективности Сильное влияние психолога на результаты исследования эффект ореола особенности внимания и памяти психолога Позиция психолога: Обязан создать доверительную спокойную доброжелательную атмосферу в ходе исследования без...
32371. Взаимодействие детей со взрослыми на различных возрастных этапах 14.64 KB
  Основа – органические нужды ребенка которые заставляют первоначально выделить взрослого в окружающем мире. Взаимодействие с членами расширенной семьи бабушки дедушки дяди тети – обогащает внутренний мир ребенка и вписывает новые соц. в психике ребенка формируется новообразование – самооценка учится оценивать свою деятельность.
32372. Социальное развитие личности. Социализация. Направления социализации и ее задачи на разных этапах развития личности 14.9 KB
  Стилизованный субкультура Межличностный Психолгический подражание идентификация рефлексия Периодизация развития личности: В младенчестве главную роль в жизни ребенка играет мать она кормит ухаживает дает ласку заботу в результате чего у ребенка формируется базовое доверие к миру. Базовое доверие проявляется в легкости кормления хорошем сне ребенка нормальной работе кишечника умение ребенка спокойно ждать мать не кричит не зовет ребенок как бы уверен что мать придет и сделает то что нужно. Сильно выраженный дефицит...