11127

Теории прочности. Чистый сдвиг

Реферат

Математика и математический анализ

Теории прочности. Чистый сдвиг Теории прочности. Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности элемента конструкции по известному напряженному состоянию. Для простых видов деформаций в частности для одноосных напряженных состояний определение з...

Русский

2013-04-04

786 KB

75 чел.

Теории прочности. Чистый сдвиг


Теории прочности.

Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности элемента конструкции по известному напряженному состоянию. Для простых видов деформаций, в частности для одноосных напряженных состояний, определение значений опасных напряжений не представляет особых трудностей. Вспомним, что под опасными напряжениями понимают напряжения, соответствующие началу разрушения (при хрупком состоянии материала) или появлению остаточных деформаций (в случае пластического состояния материала):

или

По опасным напряжениям устанавливают допускаемые напряжения, обеспечивающие определенный запас против наступления предельного состояния.

При сложном напряженном состоянии, как показывают опыты, опасное состояние может иметь место при различных значениях главных напряжений , ,  в зависимости от соотношений между ними. В этом случае вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора. Предельное значение фактора, определяющего прочность, находят на основании простых опытов (на растяжение, сжатие, кручение).

Выбранная указанным образом гипотеза называется механической теорией прочности.

Рассмотрим классические теории прочности.

Первая теория прочности (критерий наибольших нормальных напряжений).

Согласно этой теории, преимущественное влияние на прочность оказывает величина наибольшего нормального напряжения.

Критерий наибольших нормальных напряжений из трех главных напряжений учитывает только одно – наибольшее, полагая, что два других не влияют на прочность.

Условие прочности согласно первой теории прочности следующее:

или , (4.1)

где  - допускаемое напряжение при растяжении,  - допускаемое напряжение при сжатии.

Данная теория дает удовлетворительные результаты лишь для весьма хрупких материалов (камень, керамика, инструментальные стали и т. п.).

Вторая теория прочности (критерий наибольших линейных деформаций).

Данная теория предполагает, что нарушение прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшая линейная деформация  достигает своего максимального значения.

Условие прочности согласно второй теории прочности принимает следующий вид:

,

или

(4.2)

Опытная проверка этой теории указывает на удовлетворительные результаты лишь для хрупкого состояния материала (легированный чугун, высокопрочные стали после низкого отпуска).

Третья теория прочности (критерий наибольших касательных напряжений).

Согласно этой теории предполагается, что предельное состояние в общем случае наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение  достигает опасного значения

Условие прочности согласно третьей теории прочности принимает следующий вид:                                          

Третья теория прочности хорошо подтверждается опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и на сжатие.

Четвертая теория прочности (критерий удельной потенциальной энергии формоизменения).

Согласно этой теории, опасное состояние (текучесть) в общем случае наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного значения.

Условие прочности согласно четвертой теории прочности принимает следующий вид:                               

(4.4)

Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию прочности для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и на сжатие.

Сдвиг

Если на брус действуют две равные силы , весьма близко расположенные друг к другу, перпендикулярные к оси бруса и направленные в противоположные стороны, как это бывает при разрезании прутков ножницами (рис. 4.1, а), то при достаточной величине сил происходит срез.

Рис. .

Левая часть тела отделяется от правой по некоторому сечению . Деформация, предшествующая срезу, которая заключается в перекашивании прямых углов элементарного параллелепипеда, называется сдвигом. На рис. 4.1, б показан сдвиг, происходящий в параллелепипеде до среза; прямоугольник  превращается в параллелограмм . Величина , на которую сечение  сдвинулось относительно соседнего сечения , называется абсолютным сдвигом. Угол , на который изменяются прямые углы параллелепипеда, называется относительным сдвигом.

С учетом малости деформаций угол  можно определить следующим образом:

(4.5)

Очевидно, что в сечении  из шести внутренних силовых факторов будет возникать только поперечная сила , равная силе

(4.6)

Принимая, что касательные напряжения равномерно распределены по площади поперечного сечения , их значения можно определить по формуле

(4.7)

Допущение о равномерности распределения касательных напряжений по сечению весьма условно. Однако это допущение во многих случаях себя оправдывает и поэтому в инженерной практике им широко пользуются при расчете болтов, заклепочных соединений, шпонок, сварных соединений и других деталей.

При расчете ряда элементов конструкций встречается частный случай плоского напряженного состояния, когда на четырех гранях прямоугольного элемента действуют только касательные напряжения (рис 4.2). Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом.

Воспользуемся построением круга напряжений для определения величины и направления главных напряжений.

Рис. .

Поскольку в данном случае

, а ,

находим, что главные площадки в данном случае наклонены к граням элемента под углом 45°, а главные напряжения равны

; ; . (4.8)

Проверим прочность элемента, испытывающего деформацию чистого сдвига.

Условие прочности составим по второй, третьей и четвертой теориям прочности:

а) по второй теории:

Подставляя значения главных напряжений, находим

(4.9)

Правая часть выражения представляет собой допускаемое напряжение при чистом сдвиге:

(4.10)

Для металлов . Следовательно, по второй теории прочности

; (4.11)

б) по третьей теории:

Подставляя значения главных напряжений, находим

. (4.12)

Т.е допускаемое напряжение при сдвиге по третьей теории

. (4.13)

б) по четвертой теории:

Подставляя значения главных напряжений, находим

. (4.14)

Следовательно, по четвертой теории прочности

(4.15)

Полученные величины допускаемых напряжений применяют также при расчетах на прочность деталей, испытывающих деформацию среза. Для пластичных материалов наиболее подходит формула (4.15). Например, для стали марки Ст3 допускаемое напряжение на растяжение и сжатие МПа. Тогда

.

Условие прочности на сдвиг (срез) может быть записано в обычном виде:

. (4.16)

В качестве примера рассмотрим расчет болтового соединения, приведенного на рис. 4.3.

Рис. .

Силы  стремятся сдвинуть листы относительно друг друга. Этому препятствует болт, на который со стороны каждого листа передаются распределенные по контактной поверхности силы, равнодействующие которых равны . Усилия стремятся срезать болт в плоскости раздела листов , так как в этом сечении действует максимальная поперечная сила . Считая, что касательные напряжения распределены равномерно, получим

(4.17)

Таким образом, условие прочности болта на срез принимает вид

(4.18)

Отсюда можно найти диаметр болта:

(4.19)

При расчете болтовых, заклепочных и других соединений следует учитывать, что нагрузки, приложенные к элементам соединений, помимо среза вызывают смятие контактирующих поверхностей. Под смятием понимают пластическую деформацию, возникающую на поверхностях контакта

Максимальное напряжение смятия на цилиндрических поверхностях

,

где  представляет собой площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость (рис.4.3)

(4.20)

Условие прочности на смятие имеет вид:

(4.21)

Допускаемые напряжения на смятие устанавливают опытным путем и принимают равным .

На основании зависимости (4.21) получим

(4.22)

Чтобы были удовлетворены условия прочности на срез и на смятие, из двух найденных диаметров следует взять больший, округлив его до стандартного значения.

На срез принято рассчитывать и некоторые сварные соединения.

Рис. .

Если не учитывать наплывы, то в разрезе угловой шов имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 4.4, а). Разрушение шва будет происходить по его минимальному сечению (рис. 4.4, б), высота которого

Для нахлесточного соединения в расчет вводят оба шва. Запишем условие прочности шва:

, (4.23)

где  - расчетная длина торцевого шва;

- допускаемое напряжение для сварных соединений.

Поскольку в начале и в конце шва из-за непровара качество ухудшается, действительную его длину увеличивают по сравнению с расчетной на 10 см. ,

где  - действительная длина шва (на рис. 4.4, б )

Закон Гука при сдвиге.

Для определения зависимости между нагрузкой и деформацией при сдвиге проводят испытания материала на кручение. При данном испытании строится диаграмма сдвига  (график зависимости между касательным напряжением и относительным сдвигом). Более подробное описание испытания на кручение образцов цилиндрической формы приведено в методических указаниях к лабораторным работам [1]

Для пластичных материалов диаграмма сдвига аналогична диаграмме растяжения (рис. 4.5).

Рис. .

При рассмотрении деформации образца в пределах упругости видна линейная зависимость между относительным сдвигом  и касательным напряжением.

(4.24)

где  - коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости при сдвиге или модулем упругости второго рода.

Зависимость (4.24) выражает закон Гука при сдвиге.

Между величинами модуля продольной упругости  и модуля упругости при сдвиге  для одного и того же материала существует зависимость

(4.25)

При значении коэффициента Пуассона  получим, что

Запишем выражение для перемещения одной грани относительно другой (абсолютного сдвига (рис. 4.1)) при чистом сдвиге. Обозначая площадь грани , равнодействующую сдвигающую силу  и расстояние между сдвигаемыми гранями  (рис. 4.1), получим

(4.26)

Формула (4.26) выражает закон Гука для абсолютного сдвига.

1 Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни «Опір матеріалів» перша частина.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20775. Изучение назначения, кинематики и настройки универсальной делительной головки УДГ Д-200 113.62 KB
  Червячная передача позволяет передавать вращение от рукоятки к шпинделю и заготовке. Делительный лимб 12 служит для отсчета числа оборотов рукоятки. Для удобства отсчета числа оборотов рукоятки к делительному лимбу прикреплен сектор 16 линейки которого раздвигаются на требуемый угол. При делении окружности заготовки на части вращение рукоятки может производиться относительно как неподвижного так и подвижного лимбов.
20776. Устройство вертикально-сверлильного станка и его настройка на обработку отверстий 1.74 MB
  Станок 2Н135 рис. Стол 2 имеет Тобразные пазы для крепления тисков приспособлений или детали. Рис. Краткая техническая характеристика станка 2Н135 Размеры рабочей поверхности стола мм ширина х на длину 450x500 Наибольший диаметр сверления в стали мм 35 Конус Морзе шпинделя №4 Наибольшее вертикальное перемещение стола мм 300 Число ступеней частоты вращения шпинделя 12 Частота вращения шпинделя мин1 315; 45; 63; 90; 125; 180; 250; 355; 500; 710; 1000; 1400 Число ступеней подач шпинделя 9 Подачи шпинделя мм об 01; 014; 02;...
20777. Ряды Динамики. Установление вида ряда динамики 1.63 MB
  Установление вида ряда динамики. Основная цель статистического изучения динамики коммерческой деятельности состоит в выявлении и измерении закономерностей их развития во времени. Это достигается посредством построения и анализа статистических рядов динамики.
20778. Индексный метод. Статистические индексы 262.5 KB
  Статистические индексы. Индексы широко применяются в экономических разработках государственной и ведомственной статистики. Индивидуальные и общие индексы. В зависимости от степени охвата подвергнутых обобщению единиц изучаемой совокупности индексы подразделяются на индивидуальные элементарные и общие.
20779. Выборочное наблюдение 1.05 MB
  Проведение исследования социально экономических явлений выборочным методом складывается из ряда последовательных этапов: 1 обоснование в соответствии с задачами исследования целесообразности применения выборочного метода; 2 составление программы проведения статистического исследования выборочным методом; 3 решение организационных вопросов сбора и обработки исходной информации; 4 установление доли выборки т. части подлежащих обследованию единиц генеральной совокупности; 5 обоснование способов формирования выборочной совокупности; 6...
20780. Изучение статистической связи 666.23 KB
  N 130 ПОЛОЖЕНИЕ О ПОРЯДКЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОТЧЕТНОСТИ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ Настоящее Положение разработано в соответствии с Законом Российской Федерации Об ответственности за нарушение порядка представления государственной статистической отчетности Временным положением о Государственном комитете Российской Федерации утвержденным Постановлением Президиума Верховного Совета РСФСР от 27 апреля 1991 года N 11171 и во исполнение постановления Верховного Совета Российской Федерации от 13 мая...
20781. Общая теория статистики 199.97 KB
  Отдельные объекты или явления образующие статистическую совокупность называются единицами совокупности. Например при проведении переписи торгового оборудования единицей наблюдения является торговое предприятие а единицей совокупности их оборудование прилавки холодильные агрегаты и т. Вариация это многообразие изменяемость величины признака у отдельных единиц совокупности наблюдения. Любое статистическое наблюдение осуществляется с помощью оценки и регистрации признаков единиц совокупности в соответствующих учетных документах.
20782. Калорифер воздушный распылительной сушильной установки 1.05 MB
  Поверхностные теплообменные аппараты, в свою очередь, делятся на рекуперативные и регенеративные. В рекуперативных аппаратах теплообмен между различными теплоносителями происходит через разделительные стенки.
20783. ПСИХОМЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА МЕТОДИКИ ДИАГНОСТИКИ РАБОТОГОЛЬНОЙ ЗАВИСИМОСТИ Б.КИЛЛИНЖЕР 364 KB
  Диагностика работогольной зависимости с помощью альтернативных методик (метод экспертных оценок, опросник Б.Киллинжер), адаптация и создание психометрического паспорта опросника Б.Килинжер: определение валидности опросника Б.Киллинжер; проведение процедуры point analysis (выявление дифференциальной силы каждого из утверждений опросника Б.Киллинжер)...