11127

Теории прочности. Чистый сдвиг

Реферат

Математика и математический анализ

Теории прочности. Чистый сдвиг Теории прочности. Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности элемента конструкции по известному напряженному состоянию. Для простых видов деформаций в частности для одноосных напряженных состояний определение з...

Русский

2013-04-04

786 KB

75 чел.

Теории прочности. Чистый сдвиг


Теории прочности.

Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности элемента конструкции по известному напряженному состоянию. Для простых видов деформаций, в частности для одноосных напряженных состояний, определение значений опасных напряжений не представляет особых трудностей. Вспомним, что под опасными напряжениями понимают напряжения, соответствующие началу разрушения (при хрупком состоянии материала) или появлению остаточных деформаций (в случае пластического состояния материала):

или

По опасным напряжениям устанавливают допускаемые напряжения, обеспечивающие определенный запас против наступления предельного состояния.

При сложном напряженном состоянии, как показывают опыты, опасное состояние может иметь место при различных значениях главных напряжений , ,  в зависимости от соотношений между ними. В этом случае вводят гипотезу о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора. Предельное значение фактора, определяющего прочность, находят на основании простых опытов (на растяжение, сжатие, кручение).

Выбранная указанным образом гипотеза называется механической теорией прочности.

Рассмотрим классические теории прочности.

Первая теория прочности (критерий наибольших нормальных напряжений).

Согласно этой теории, преимущественное влияние на прочность оказывает величина наибольшего нормального напряжения.

Критерий наибольших нормальных напряжений из трех главных напряжений учитывает только одно – наибольшее, полагая, что два других не влияют на прочность.

Условие прочности согласно первой теории прочности следующее:

или , (4.1)

где  - допускаемое напряжение при растяжении,  - допускаемое напряжение при сжатии.

Данная теория дает удовлетворительные результаты лишь для весьма хрупких материалов (камень, керамика, инструментальные стали и т. п.).

Вторая теория прочности (критерий наибольших линейных деформаций).

Данная теория предполагает, что нарушение прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшая линейная деформация  достигает своего максимального значения.

Условие прочности согласно второй теории прочности принимает следующий вид:

,

или

(4.2)

Опытная проверка этой теории указывает на удовлетворительные результаты лишь для хрупкого состояния материала (легированный чугун, высокопрочные стали после низкого отпуска).

Третья теория прочности (критерий наибольших касательных напряжений).

Согласно этой теории предполагается, что предельное состояние в общем случае наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение  достигает опасного значения

Условие прочности согласно третьей теории прочности принимает следующий вид:                                          

Третья теория прочности хорошо подтверждается опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и на сжатие.

Четвертая теория прочности (критерий удельной потенциальной энергии формоизменения).

Согласно этой теории, опасное состояние (текучесть) в общем случае наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного значения.

Условие прочности согласно четвертой теории прочности принимает следующий вид:                               

(4.4)

Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию прочности для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и на сжатие.

Сдвиг

Если на брус действуют две равные силы , весьма близко расположенные друг к другу, перпендикулярные к оси бруса и направленные в противоположные стороны, как это бывает при разрезании прутков ножницами (рис. 4.1, а), то при достаточной величине сил происходит срез.

Рис. .

Левая часть тела отделяется от правой по некоторому сечению . Деформация, предшествующая срезу, которая заключается в перекашивании прямых углов элементарного параллелепипеда, называется сдвигом. На рис. 4.1, б показан сдвиг, происходящий в параллелепипеде до среза; прямоугольник  превращается в параллелограмм . Величина , на которую сечение  сдвинулось относительно соседнего сечения , называется абсолютным сдвигом. Угол , на который изменяются прямые углы параллелепипеда, называется относительным сдвигом.

С учетом малости деформаций угол  можно определить следующим образом:

(4.5)

Очевидно, что в сечении  из шести внутренних силовых факторов будет возникать только поперечная сила , равная силе

(4.6)

Принимая, что касательные напряжения равномерно распределены по площади поперечного сечения , их значения можно определить по формуле

(4.7)

Допущение о равномерности распределения касательных напряжений по сечению весьма условно. Однако это допущение во многих случаях себя оправдывает и поэтому в инженерной практике им широко пользуются при расчете болтов, заклепочных соединений, шпонок, сварных соединений и других деталей.

При расчете ряда элементов конструкций встречается частный случай плоского напряженного состояния, когда на четырех гранях прямоугольного элемента действуют только касательные напряжения (рис 4.2). Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом.

Воспользуемся построением круга напряжений для определения величины и направления главных напряжений.

Рис. .

Поскольку в данном случае

, а ,

находим, что главные площадки в данном случае наклонены к граням элемента под углом 45°, а главные напряжения равны

; ; . (4.8)

Проверим прочность элемента, испытывающего деформацию чистого сдвига.

Условие прочности составим по второй, третьей и четвертой теориям прочности:

а) по второй теории:

Подставляя значения главных напряжений, находим

(4.9)

Правая часть выражения представляет собой допускаемое напряжение при чистом сдвиге:

(4.10)

Для металлов . Следовательно, по второй теории прочности

; (4.11)

б) по третьей теории:

Подставляя значения главных напряжений, находим

. (4.12)

Т.е допускаемое напряжение при сдвиге по третьей теории

. (4.13)

б) по четвертой теории:

Подставляя значения главных напряжений, находим

. (4.14)

Следовательно, по четвертой теории прочности

(4.15)

Полученные величины допускаемых напряжений применяют также при расчетах на прочность деталей, испытывающих деформацию среза. Для пластичных материалов наиболее подходит формула (4.15). Например, для стали марки Ст3 допускаемое напряжение на растяжение и сжатие МПа. Тогда

.

Условие прочности на сдвиг (срез) может быть записано в обычном виде:

. (4.16)

В качестве примера рассмотрим расчет болтового соединения, приведенного на рис. 4.3.

Рис. .

Силы  стремятся сдвинуть листы относительно друг друга. Этому препятствует болт, на который со стороны каждого листа передаются распределенные по контактной поверхности силы, равнодействующие которых равны . Усилия стремятся срезать болт в плоскости раздела листов , так как в этом сечении действует максимальная поперечная сила . Считая, что касательные напряжения распределены равномерно, получим

(4.17)

Таким образом, условие прочности болта на срез принимает вид

(4.18)

Отсюда можно найти диаметр болта:

(4.19)

При расчете болтовых, заклепочных и других соединений следует учитывать, что нагрузки, приложенные к элементам соединений, помимо среза вызывают смятие контактирующих поверхностей. Под смятием понимают пластическую деформацию, возникающую на поверхностях контакта

Максимальное напряжение смятия на цилиндрических поверхностях

,

где  представляет собой площадь проекции поверхности контакта на диаметральную плоскость (рис.4.3)

(4.20)

Условие прочности на смятие имеет вид:

(4.21)

Допускаемые напряжения на смятие устанавливают опытным путем и принимают равным .

На основании зависимости (4.21) получим

(4.22)

Чтобы были удовлетворены условия прочности на срез и на смятие, из двух найденных диаметров следует взять больший, округлив его до стандартного значения.

На срез принято рассчитывать и некоторые сварные соединения.

Рис. .

Если не учитывать наплывы, то в разрезе угловой шов имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 4.4, а). Разрушение шва будет происходить по его минимальному сечению (рис. 4.4, б), высота которого

Для нахлесточного соединения в расчет вводят оба шва. Запишем условие прочности шва:

, (4.23)

где  - расчетная длина торцевого шва;

- допускаемое напряжение для сварных соединений.

Поскольку в начале и в конце шва из-за непровара качество ухудшается, действительную его длину увеличивают по сравнению с расчетной на 10 см. ,

где  - действительная длина шва (на рис. 4.4, б )

Закон Гука при сдвиге.

Для определения зависимости между нагрузкой и деформацией при сдвиге проводят испытания материала на кручение. При данном испытании строится диаграмма сдвига  (график зависимости между касательным напряжением и относительным сдвигом). Более подробное описание испытания на кручение образцов цилиндрической формы приведено в методических указаниях к лабораторным работам [1]

Для пластичных материалов диаграмма сдвига аналогична диаграмме растяжения (рис. 4.5).

Рис. .

При рассмотрении деформации образца в пределах упругости видна линейная зависимость между относительным сдвигом  и касательным напряжением.

(4.24)

где  - коэффициент пропорциональности, который называется модулем упругости при сдвиге или модулем упругости второго рода.

Зависимость (4.24) выражает закон Гука при сдвиге.

Между величинами модуля продольной упругости  и модуля упругости при сдвиге  для одного и того же материала существует зависимость

(4.25)

При значении коэффициента Пуассона  получим, что

Запишем выражение для перемещения одной грани относительно другой (абсолютного сдвига (рис. 4.1)) при чистом сдвиге. Обозначая площадь грани , равнодействующую сдвигающую силу  и расстояние между сдвигаемыми гранями  (рис. 4.1), получим

(4.26)

Формула (4.26) выражает закон Гука для абсолютного сдвига.

1 Методичні вказівки до виконання лабораторних робіт з дисципліни «Опір матеріалів» перша частина.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

384. Процесс внедрения CRM-системы, как источник увеличения финансово-ресурсной базы коммерческой организации 571 KB
  Рассмотреть прибыль, как основной источник финансовых ресурсов. Дать организационно-эконмическую характеристику ООО Консультант Самара. Разработать программу мероприятий по внедрению CRM-системы.
385. Насосные агрегаты нефтеперекачивающих станций 560 KB
  Проведение диагностирования и прогнозирования общего технического состояния насосных агрегатов нефтеперекачивающих станций. Формирование и реализация планов капитального ремонта магистральных нефтепроводов.
386. Реконструкция лесопильного цеха на базе станка Лаймет-120 588 KB
  Полное рациональное комплексное использование древесины. Техическое перевооружение лесопильно-деревообрабатывающих предприятий с полной механизацией и полной или частичной автоматизацией технологических и транспортных процессов. Коренное улучшение хранения сырья и лесопродукции.
387. Пристрій відображення символів на семи сегментному індикаторі 1.69 MB
  Відображення символів у вигляді семи сегментного індикатору. Розробка таблиці істинності. Отримання МДНФ функцій сегментів семи сегментного індикатора та побудова комбінаційних схем, що реалізують ці функції, в заданому елементному базисі.
388. Технологическая часть промышленного приборостроения. Характеристика типов производства 431 KB
  Характеристика типов производства бывает следующих видов. Сборка и монтаж печатной платы на непрерывно–поточной линии. Численность рабочих на поточной линии. Расчет стоимости основных производственных фондов.
389. Смоленские Евреи в период Великой Отечественной войне 2.79 MB
  Политика антисемитизма в советское время. Освящение массового уничтожения еврейской нации на территории Смоленской. Причины и последствия тактики замалчивания Холокоста и участия евреев в Великой Отечественной войне.
390. За что я люблю машины. История создания автомобиля 427 KB
  РАССКАЗАТЬ О СВОЕЙ ЛЮБВИ К АВТОМОБИЛЯМ. ПОДРОБНЕЕ УЗНАТЬ ИСТОРИЮ СОЗДАНИЯ АВТОМОБИЛЯ. ПОДТВЕРДИТЬ МЫСЛЬ О ТОМ, В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ ЖИЗНЬ БЕЗ АВТОМОБИЛЕЙ УЖЕ НЕВОЗМОЖНА. ЧТО ПРИВОДИТ АВТОМОБИЛЬ В ДВИЖЕНИЕ.
391. Проблемы экономической безопасности России 128 KB
  Ключевые тенденции проблематики экономической безопасности. Прикладные аспекты экономической безопасности. Глобализация как угроза экономическому суверенитету государства. Методика определения ключевых проблем экономической безопасности.
392. Объекты промышленной интеллектуальной собственности 62.5 KB
  Объект интеллектуальной собственности, цели и задачи, на решение которых направлен объект. Сравненительный анализ разработанного объекта и прототипа. Разработка объекта промышленной собственности.