11128

Кручение. Кручение бруса некруглого сечения

Реферат

Математика и математический анализ

Кручение. Кручение бруса некруглого сечения. Кручение прямого круглого бруса. Деформация кручения вызывается парами сил плоскости действия которых перпендикулярны к оси стержня. Поэтому при кручении в произвольном поперечном сечении стержня из шести внутренних сил

Русский

2013-04-04

911.5 KB

54 чел.

Кручение. Кручение бруса некруглого сечения.


Кручение прямого круглого бруса.

Деформация кручения вызывается парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к оси стержня. Поэтому при кручении в произвольном поперечном сечении стержня из шести внутренних силовых факторов возникает только один – крутящий момент . Как показывают опыты, поперечные сечения при кручении поворачиваются одно относительно другого вокруг оси стержня, при этом длина не меняется.

Стержни, работающие на кручение, обычно называют валами.

Рассматривая кручение вала, легко установить, что под действием скручивающего момента любое сечение на расстоянии  от заделки поворачивается относительно закрепленного сечения на некоторый угол  - угол закручивания (Рис. 5.1). При этом чем больше скручивающий момент , тем больше и угол закручивания. Зависимости , называемые диаграммами кручения, полученные для образца из пластичного материала, до некоторой степени подобны диаграммам растяжения (Рис. 5.2). В дальнейшем при выводе формул для напряжений и угла закручивания нас будет интересовать участок диаграммы кручения, соответствующий работе материала в пределах пропорциональности.

Рис. .

Рис. .

Рассмотрим геометрическую картину деформации вала при кручении.

Если до деформации на поверхность вала нанести сетку, состоящую из линий, параллельных оси, и линий, представляющие собой параллельные круги, то после закручивания вала скручивающим моментом  можно заметить следующее: образующие цилиндра превращаются в винтовые линии, параллельные круги не искривляются и расстояние между ними остается неизменным, радиусы, проведенные в торцевых сечениях остаются прямыми (Рис. 5.3). Полагая, что картина, наблюдаемая на поверхности вала, сохраняется и внутри, сформулируем гипотезы, взятые в основу теории кручения круглых стержней:

  1.  Поперечные сечения, плоские и нормальные к оси вала до деформации, остаются плоскими и нормальными к той же оси и после деформации.

Рис. .

  1.  Прямолинейная ось вала остается прямолинейной и после деформации, а все поперечные сечения поворачиваются вокруг этой оси по отношению друг к другу на какой то угол .
  2.  Радиусы поперечных сечений при деформации не искривляются.
  3.  Расстояния между сечениями вала в процессе деформации не изменяются, следовательно, и вся длина вала остается прежней.

На основании принятых гипотез кручение круглого вала можно представить как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом поперечных сечений относительно друг друга. Вследствие этого в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю.

Выделим из закручиваемого вала диск радиуса  на расстоянии  от закрепленного конца, ограниченный двумя смежными сечениями  и , находящимися друг от друга на расстоянии (Рис. 5.1) и рассмотрим его отдельно (Рис. 5.4)

Рис. .

Если сечение , лежащее на расстоянии  от защемленного конца вала, повернулось относительно последнего на угол , то сечение , находящееся на расстоянии , повернется относительно закрепленного конца на угол .

Точки  и  до деформации лежащие на одной образующей, после деформации расположатся на винтовой линии и займут новое положение  и .

Проведем от точки  прямую , параллельную и соединим центр сечения  с точкой . Тогда угол , равный , будет углом поворота сечения  относительно сечения . У элемента  до поворота сечения  относительно сечения  верхняя и нижняя стороны были расположены горизонтально. После поворота стороны наклонились и приняли положение  и . Следовательно, элемент претерпел абсолютный сдвиг, равный длине дуги:

Относительный сдвиг будет равен:

Отношение  представляет относительный угол закручивания  (угол закручивания на единицу длины бруса). Тогда

(5.1)

Из этой формулы видно, что относительный сдвиг пропорционален радиусу закручиваемого цилиндрического тела.

На основании закона Гука для сдвига

(5.2)

Можно определить касательное напряжение для элементов лежащих на поверхности вала

(5.3)

Учитывая предположение, что деформация элементов на поверхности вала подобна деформации элементов внутри вала, для произвольного элемента, находящегося на расстоянии  от центра поперечного сечения (рис 5.5)

Рис. .

                                 (5.4)

                           (5.5)

Касательная элементарная сила на площадке  расположенной на расстоянии  от оси вала

Момент элементарной силы относительно оси бруса будет:

(5.6)

Сумма таких элементарных моментов, распределенных по всему поперечному сечению , при равновесии, наступающем после деформации, должна быть равна крутящему моменту:

(5.7)

Вынесем постоянные за знак интеграла, получим

(5.8)

Интеграл  является полярным моментом инерции  (лекция 2, выражение (2.9)). Тогда

(5.9)

Откуда относительный угол закручивания

(5.10)

Подставляя в выражение (5.5) выражение относительного угла закручивания получим

(5.11)

Это уравнение показывает, что напряжения в площадках сечения прямо пропорциональны их расстояниям до центра сечения.

При расчете на прочность при кручении необходимо знать максимальные напряжения для сравнения их с допускаемыми напряжениями. Очевидно, что максимальные напряжения при кручении круглого вала будут иметь точки максимально удаленные от оси вала. Т. е. точки с полярной координатой, равной радиусу сечения вала

Отношение полярного момента инерции к наибольшему радиусу сечения  называется полярным моментом сопротивления

(5.12)

Тогда условие прочности при кручении будет иметь следующий вид

(5.13)

Для сплошного круглого сечения

(5.14)

(5.15)

Помимо расчета на прочность валы рассчитывают и на жесткость, ограничивая относительный угол закручивания некоторой допускаемой величиной :

(5.16)

Определение крутящего момента и построение эпюр крутящих моментов.

Для определения напряжений и деформаций произвольного вала необходимо знать величину крутящих моментов на его отдельных участках.

Крутящий момент  в произвольном сечении вала равен сумме внешних моментов , расположенных по одну сторону сечения.

Крутящий момент  считается положительным, если при наблюдении с торца вдоль оси рассматриваемой части он стремится вращать сечение по часовой стрелке (рис. 5.6).

Рассмотрим в качестве примера построение эпюры крутящих моментов для трансмиссионного вала (рис. 5.7)

Рис. .

Рис. .

Разбиваем вал на участки , , .

Проведя произвольное сечение на первом участке:

, Н·м.

Для второго участка:

, Н·м.

На третьем участке рассматриваем правую часть от сечения, в котором определяем :

, Н·м.

Построенная эпюра показывает, что хотя к валу и приложен момент  Н·м, наибольший крутящий момент в сечении равен лишь  Н·м. Эту величину и следует использовать при расчете на прочность и жесткость.

На практике часто бывают заданы не моменты, приложенные к дискам (шкивам или зубчатым колесам), а передаваемые мощности , Вт, и частота вращения вала . Запишем зависимость между этими величинами.

В старой технической литературе использовалась единица мощности – лошадиная сила (1 л. с. ≈ 736 Вт). Если передаваемая мощность равна , л. с., то

Расчет винтовых цилиндрических пружин с небольшим шагом

Пусть имеется винтовая цилиндрическая пружина с небольшим шагом витков, изготовленная из круглой проволоки и растягиваемая осевыми силами  (рис. 5.8). Вследствие малости шага витков будем считать, что плоскости отдельных витков пружины перпендикулярны к оси пружины. Рассечем виток пружины плоскостью, проходящей через ось пружины. Удалим одну часть пружины и рассмотрим равновесие оставшейся части (рис. 5.8, б). Для равновесия необходимо приложить в центре сечения силу , параллельную оси пружины и направленную вниз, и момент , где  — средний радиус витка пружины. Так как момент  действует в плоскости сечения, то он вызывает в сечении напряжения кручения (рис. 5.8, в), максимальная величина которых на внешних волокнах равна:

, (5.17)

где  - диаметр поперечного сечения проволоки.

Рис. .

Сила , действующая в плоскости поперечного сечения, вызывает в нем напряжение сдвига, которое будем считать равномерно распределенным по сечению (рис. 5.8, г). Это напряжение будет равно:

(5.18)

Для определения суммарных напряжений на внешних волокнах проволоки пружины следует сложить геометрически напряжения  и . Максимальное напряжение в сечении будет в той точке периферии сечения, в которой направления напряжений  и  совпадут. Нетрудно видеть, что такой точкой будет точка А.

В этой точке напряжение будет равно:

(5.19)

Мы рассмотрели растяжение пружины; совершенно такой же результат получился бы при рассмотрении сжатия пружины. При расчете пружин, у которых средний радиус пружины R во много раз больше диаметра d проволоки, из которой она изготовлена, вторым слагаемым, стоящим в скобках, обычно пренебрегают. Для таких пружин формула (5.19) упрощается и принимает вид

(5.20)

При расчете пружины, помимо расчета на прочность, часто необходимо бывает определить удлинение или сжатие (осадку) пружины, т. е. ее деформацию. Эта деформация, если принимать во внимание только кручение витков, будет определяться по формуле:

(5.21)

где  - средний диаметр витка пружины;

- число витков;

Кручение стержней некруглого сечения

В инженерной практике довольно часто кручению подвергаются стержни, имеющие не круглое, а прямоугольное, треугольное, эллиптическое и другие сечения. В этих случаях гипотеза плоских сечений неприменима, так как сечения искривляются (депланируют). Точные расчеты стержней некруглого сечения можно получить методами теории упругости. Однако поскольку в настоящем курсе нет возможности их изложить, приведем здесь только некоторые окончательные результаты. Отметим при этом, что в стержнях произвольного сечения, как и в стержнях круглого сечения, касательные напряжения при кручении направлены по касательной к контуру.

Наибольшие касательные напряжения, погонные и полные углы закручивания по аналогии с кручением стержней круглого сечения принято определять по формулам

(5.22)

(5.23)

Здесь  и  — некоторые геометрические характеристики, которые условно называют моментом инерции при кручении и моментом сопротивления при кручении, см4 и см3 соответственно.

Наиболее часто встречается стержни прямоугольного сечения. В этом случае распределение касательных напряжений имеет вид, показанный на рис.5.9. Наибольшие напряжения возникают у поверхности посредине длинных сторон прямоугольного сечения (в точках С и D). Определяются они по формуле (5.22), где

. (5.24)

Здесь  - длинная сторона прямоугольного поперечного сечения;

- короткая ее сторона.

Напряжения, возникающие у поверхности сечения посредине коротких сторон (в точках А и В), меньше. Их можно выразить через  следующим образом:

(5.25)

Рис. .

Для определения относительного угла закручивания прямоугольного сечения в формуле (9.29) принимают

(5.26)

Коэффициенты ,  и , зависящие от отношения , даны в табл. 5.1.

Таблица 5.1

1

1,5

1,75

2,0

2,5

3,0

4,0

6,0

8,0

10,0

0,208

0,231

0,239

0,246

0,256

0,267

0,282

0,299

0,307

0,313

0,333

0,141

0,196

0,214

0,229

0,249

0,263

0,281

0,299

0,307

0,313

0,333

1

0,859

-

0,795

-

0,453

0,745

0,743

0,743

0,743

0,743

Запишем  условия  прочности  и  жесткости для  прямоугольного сечения:

; (5.26)

; (5.27)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11075. Геометричні побудови на кресленнях. Спряження, їх види. Побудова овалів 35 KB
  Тема 5: Геометричні побудови на кресленнях. Спряження їх види. Побудова овалів. Мета: Навчальна: сформувати знання та навички креслення основних видів спряжень і оформлення креслень. Виховна: виховувати в учнів культуру праці та витримку в роботі. Розвиваюча: розв...
11076. Предмет безопасности жизнедеятельности. Основные понятия, термины и определения. Классификация опасных и чрезвычайных ситуаций 19.14 KB
  Предмет безопасности жизнедеятельности. Основные понятия термины и определения. Классификация опасных и чрезвычайных ситуаций Безопасность жизнедеятельности это область научных знаний изучающая общие опасности угрожающие человеку и разрабатывающая соответ
11077. Классификация основных форм деятельность человека 26.88 KB
  Труд целенаправленная деятельность человека на удовлетворение своих культурных и социально-экономических потребностей. Характер и организация трудовой деятельности человека оказывают существенное влияние на изменение функционального состояния организма человека. ...
11078. Понятие комфортных условий трудовой деятельности 21.75 KB
  Понятие комфортных условий трудовой деятельности Условия в которых трудится человек влияют на результаты производства – производительность труда качество и себестоимость выпускаемой продукции. Производительность труда повышается за счет сохранения здоровья чел...
11079. Загрязнение регионов техносферы токсическими веществами 29.54 KB
  Загрязнение регионов техносферы токсическими веществами Регионы техносферы и природные зоны примыкающие к очагам техносферы постоянно подвергаются активному загрязнению различными веществами и их соединениями. Атмосферный воздух всегда содержит некоторое кол
11080. Воздействие вредных веществ на человека и среду обитания 32.39 KB
  Воздействие вредных веществ на человека и среду обитания Для создания нормальных условий труда необходимо обеспечить не только комфортные метеорологические условия но и необходимую чистоту воздуха. Вследствие производственной деятельности в воздушную среду пом
11081. Общая классификация чрезвычайных ситуация. Общая характеристика чрезвычайных ситуаций природного характера, классификация 24.79 KB
  Общая классификация чрезвычайных ситуация. Общая характеристика чрезвычайных ситуаций природного характера классификация Всю совокупность возможных чрезвычайных ситуаций целесообразно первоначально разделить на конфликтные и бесконфликтные. К конфликтным пр...
11082. Геофизические и геологические чрезвычайные ситуации 18.25 KB
  Геофизические и геологические чрезвычайные ситуации Землетрясения Это подземные толчки и колебания поверхности Земли вызванные естественными причинами главным образом тектоническими процессами или иногда искусственными процессами взрывы заполнение водохра
11083. Метеорологические и агрометеорологические чрезвычайные ситуации 155.5 KB
  Метеорологические и агрометеорологические чрезвычайные ситуации Опасное метеорологическое явление – это природное явление возникающее в атмосфере под действием различных природных факторов или их совокупности могущее оказать поражающее воздействие на людей орга