11128

Кручение. Кручение бруса некруглого сечения

Реферат

Математика и математический анализ

Кручение. Кручение бруса некруглого сечения. Кручение прямого круглого бруса. Деформация кручения вызывается парами сил плоскости действия которых перпендикулярны к оси стержня. Поэтому при кручении в произвольном поперечном сечении стержня из шести внутренних сил

Русский

2013-04-04

911.5 KB

65 чел.

Кручение. Кручение бруса некруглого сечения.


Кручение прямого круглого бруса.

Деформация кручения вызывается парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к оси стержня. Поэтому при кручении в произвольном поперечном сечении стержня из шести внутренних силовых факторов возникает только один – крутящий момент . Как показывают опыты, поперечные сечения при кручении поворачиваются одно относительно другого вокруг оси стержня, при этом длина не меняется.

Стержни, работающие на кручение, обычно называют валами.

Рассматривая кручение вала, легко установить, что под действием скручивающего момента любое сечение на расстоянии  от заделки поворачивается относительно закрепленного сечения на некоторый угол  - угол закручивания (Рис. 5.1). При этом чем больше скручивающий момент , тем больше и угол закручивания. Зависимости , называемые диаграммами кручения, полученные для образца из пластичного материала, до некоторой степени подобны диаграммам растяжения (Рис. 5.2). В дальнейшем при выводе формул для напряжений и угла закручивания нас будет интересовать участок диаграммы кручения, соответствующий работе материала в пределах пропорциональности.

Рис. .

Рис. .

Рассмотрим геометрическую картину деформации вала при кручении.

Если до деформации на поверхность вала нанести сетку, состоящую из линий, параллельных оси, и линий, представляющие собой параллельные круги, то после закручивания вала скручивающим моментом  можно заметить следующее: образующие цилиндра превращаются в винтовые линии, параллельные круги не искривляются и расстояние между ними остается неизменным, радиусы, проведенные в торцевых сечениях остаются прямыми (Рис. 5.3). Полагая, что картина, наблюдаемая на поверхности вала, сохраняется и внутри, сформулируем гипотезы, взятые в основу теории кручения круглых стержней:

  1.  Поперечные сечения, плоские и нормальные к оси вала до деформации, остаются плоскими и нормальными к той же оси и после деформации.

Рис. .

  1.  Прямолинейная ось вала остается прямолинейной и после деформации, а все поперечные сечения поворачиваются вокруг этой оси по отношению друг к другу на какой то угол .
  2.  Радиусы поперечных сечений при деформации не искривляются.
  3.  Расстояния между сечениями вала в процессе деформации не изменяются, следовательно, и вся длина вала остается прежней.

На основании принятых гипотез кручение круглого вала можно представить как результат сдвигов, вызванных взаимным поворотом поперечных сечений относительно друг друга. Вследствие этого в поперечных сечениях возникают только касательные напряжения, а нормальные напряжения равны нулю.

Выделим из закручиваемого вала диск радиуса  на расстоянии  от закрепленного конца, ограниченный двумя смежными сечениями  и , находящимися друг от друга на расстоянии (Рис. 5.1) и рассмотрим его отдельно (Рис. 5.4)

Рис. .

Если сечение , лежащее на расстоянии  от защемленного конца вала, повернулось относительно последнего на угол , то сечение , находящееся на расстоянии , повернется относительно закрепленного конца на угол .

Точки  и  до деформации лежащие на одной образующей, после деформации расположатся на винтовой линии и займут новое положение  и .

Проведем от точки  прямую , параллельную и соединим центр сечения  с точкой . Тогда угол , равный , будет углом поворота сечения  относительно сечения . У элемента  до поворота сечения  относительно сечения  верхняя и нижняя стороны были расположены горизонтально. После поворота стороны наклонились и приняли положение  и . Следовательно, элемент претерпел абсолютный сдвиг, равный длине дуги:

Относительный сдвиг будет равен:

Отношение  представляет относительный угол закручивания  (угол закручивания на единицу длины бруса). Тогда

(5.1)

Из этой формулы видно, что относительный сдвиг пропорционален радиусу закручиваемого цилиндрического тела.

На основании закона Гука для сдвига

(5.2)

Можно определить касательное напряжение для элементов лежащих на поверхности вала

(5.3)

Учитывая предположение, что деформация элементов на поверхности вала подобна деформации элементов внутри вала, для произвольного элемента, находящегося на расстоянии  от центра поперечного сечения (рис 5.5)

Рис. .

                                 (5.4)

                           (5.5)

Касательная элементарная сила на площадке  расположенной на расстоянии  от оси вала

Момент элементарной силы относительно оси бруса будет:

(5.6)

Сумма таких элементарных моментов, распределенных по всему поперечному сечению , при равновесии, наступающем после деформации, должна быть равна крутящему моменту:

(5.7)

Вынесем постоянные за знак интеграла, получим

(5.8)

Интеграл  является полярным моментом инерции  (лекция 2, выражение (2.9)). Тогда

(5.9)

Откуда относительный угол закручивания

(5.10)

Подставляя в выражение (5.5) выражение относительного угла закручивания получим

(5.11)

Это уравнение показывает, что напряжения в площадках сечения прямо пропорциональны их расстояниям до центра сечения.

При расчете на прочность при кручении необходимо знать максимальные напряжения для сравнения их с допускаемыми напряжениями. Очевидно, что максимальные напряжения при кручении круглого вала будут иметь точки максимально удаленные от оси вала. Т. е. точки с полярной координатой, равной радиусу сечения вала

Отношение полярного момента инерции к наибольшему радиусу сечения  называется полярным моментом сопротивления

(5.12)

Тогда условие прочности при кручении будет иметь следующий вид

(5.13)

Для сплошного круглого сечения

(5.14)

(5.15)

Помимо расчета на прочность валы рассчитывают и на жесткость, ограничивая относительный угол закручивания некоторой допускаемой величиной :

(5.16)

Определение крутящего момента и построение эпюр крутящих моментов.

Для определения напряжений и деформаций произвольного вала необходимо знать величину крутящих моментов на его отдельных участках.

Крутящий момент  в произвольном сечении вала равен сумме внешних моментов , расположенных по одну сторону сечения.

Крутящий момент  считается положительным, если при наблюдении с торца вдоль оси рассматриваемой части он стремится вращать сечение по часовой стрелке (рис. 5.6).

Рассмотрим в качестве примера построение эпюры крутящих моментов для трансмиссионного вала (рис. 5.7)

Рис. .

Рис. .

Разбиваем вал на участки , , .

Проведя произвольное сечение на первом участке:

, Н·м.

Для второго участка:

, Н·м.

На третьем участке рассматриваем правую часть от сечения, в котором определяем :

, Н·м.

Построенная эпюра показывает, что хотя к валу и приложен момент  Н·м, наибольший крутящий момент в сечении равен лишь  Н·м. Эту величину и следует использовать при расчете на прочность и жесткость.

На практике часто бывают заданы не моменты, приложенные к дискам (шкивам или зубчатым колесам), а передаваемые мощности , Вт, и частота вращения вала . Запишем зависимость между этими величинами.

В старой технической литературе использовалась единица мощности – лошадиная сила (1 л. с. ≈ 736 Вт). Если передаваемая мощность равна , л. с., то

Расчет винтовых цилиндрических пружин с небольшим шагом

Пусть имеется винтовая цилиндрическая пружина с небольшим шагом витков, изготовленная из круглой проволоки и растягиваемая осевыми силами  (рис. 5.8). Вследствие малости шага витков будем считать, что плоскости отдельных витков пружины перпендикулярны к оси пружины. Рассечем виток пружины плоскостью, проходящей через ось пружины. Удалим одну часть пружины и рассмотрим равновесие оставшейся части (рис. 5.8, б). Для равновесия необходимо приложить в центре сечения силу , параллельную оси пружины и направленную вниз, и момент , где  — средний радиус витка пружины. Так как момент  действует в плоскости сечения, то он вызывает в сечении напряжения кручения (рис. 5.8, в), максимальная величина которых на внешних волокнах равна:

, (5.17)

где  - диаметр поперечного сечения проволоки.

Рис. .

Сила , действующая в плоскости поперечного сечения, вызывает в нем напряжение сдвига, которое будем считать равномерно распределенным по сечению (рис. 5.8, г). Это напряжение будет равно:

(5.18)

Для определения суммарных напряжений на внешних волокнах проволоки пружины следует сложить геометрически напряжения  и . Максимальное напряжение в сечении будет в той точке периферии сечения, в которой направления напряжений  и  совпадут. Нетрудно видеть, что такой точкой будет точка А.

В этой точке напряжение будет равно:

(5.19)

Мы рассмотрели растяжение пружины; совершенно такой же результат получился бы при рассмотрении сжатия пружины. При расчете пружин, у которых средний радиус пружины R во много раз больше диаметра d проволоки, из которой она изготовлена, вторым слагаемым, стоящим в скобках, обычно пренебрегают. Для таких пружин формула (5.19) упрощается и принимает вид

(5.20)

При расчете пружины, помимо расчета на прочность, часто необходимо бывает определить удлинение или сжатие (осадку) пружины, т. е. ее деформацию. Эта деформация, если принимать во внимание только кручение витков, будет определяться по формуле:

(5.21)

где  - средний диаметр витка пружины;

- число витков;

Кручение стержней некруглого сечения

В инженерной практике довольно часто кручению подвергаются стержни, имеющие не круглое, а прямоугольное, треугольное, эллиптическое и другие сечения. В этих случаях гипотеза плоских сечений неприменима, так как сечения искривляются (депланируют). Точные расчеты стержней некруглого сечения можно получить методами теории упругости. Однако поскольку в настоящем курсе нет возможности их изложить, приведем здесь только некоторые окончательные результаты. Отметим при этом, что в стержнях произвольного сечения, как и в стержнях круглого сечения, касательные напряжения при кручении направлены по касательной к контуру.

Наибольшие касательные напряжения, погонные и полные углы закручивания по аналогии с кручением стержней круглого сечения принято определять по формулам

(5.22)

(5.23)

Здесь  и  — некоторые геометрические характеристики, которые условно называют моментом инерции при кручении и моментом сопротивления при кручении, см4 и см3 соответственно.

Наиболее часто встречается стержни прямоугольного сечения. В этом случае распределение касательных напряжений имеет вид, показанный на рис.5.9. Наибольшие напряжения возникают у поверхности посредине длинных сторон прямоугольного сечения (в точках С и D). Определяются они по формуле (5.22), где

. (5.24)

Здесь  - длинная сторона прямоугольного поперечного сечения;

- короткая ее сторона.

Напряжения, возникающие у поверхности сечения посредине коротких сторон (в точках А и В), меньше. Их можно выразить через  следующим образом:

(5.25)

Рис. .

Для определения относительного угла закручивания прямоугольного сечения в формуле (9.29) принимают

(5.26)

Коэффициенты ,  и , зависящие от отношения , даны в табл. 5.1.

Таблица 5.1

1

1,5

1,75

2,0

2,5

3,0

4,0

6,0

8,0

10,0

0,208

0,231

0,239

0,246

0,256

0,267

0,282

0,299

0,307

0,313

0,333

0,141

0,196

0,214

0,229

0,249

0,263

0,281

0,299

0,307

0,313

0,333

1

0,859

-

0,795

-

0,453

0,745

0,743

0,743

0,743

0,743

Запишем  условия  прочности  и  жесткости для  прямоугольного сечения:

; (5.26)

; (5.27)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28952. Возникновение советской государственности. Политика «военного коммунизма» 46.5 KB
  С приходом большевиков к власти возможность расширения правительства за счет вхождения в него других социалистических партий не была утеряна. В рядах партии имелась влиятельная группа большевиков которая отстаивала эту позицию. На заседании ЦК большевиков 1 ноября эта линия была расценена как капитулянтская переговоры были свернуты а Каменев снят с поста председателя ВЦИКа. в него было избрано 715 из800 депутатов: 370 эсеров 175 большевиков 40 левых эсеров 17 кадетов 15 меньшевиков 86 представителей национальных партий.
28953. Гражданская война и военная интервенция в России, причины и последствия 33.5 KB
  Предпосылки и причины гражданской войны После Октябрьской революции сложилась напряжённая социалполитическая ситуация Приступая к грандиозному преобразованию России большевики нуждались в спокойствии на внешних границах. Внутренняя обстановка в России была не менее напряжённой. Вводилось единое для всего населения России наименование гражданин Российской республики.
28954. Теория и практика национальной политики большевиков. Образование СССР 47 KB
  Неустойчивость международного положения молодых советских республик в условиях капиталистического окружения также диктовала потребность в объединении. Значение этого разделения возросло после окончания Гражданской войны когда встала задача восстановления разрушенного хозяйства и преодоления экономической отсталости советских республик. сложился военнополитический союз советских республик. был подписан декрет Об объединении советских республик России Украины Латвии Литвы Белоруссии для борьбы с мировым империализмом.
28955. Новая экономическая политика и ее сущность 34 KB
  Нэп допускал некоторое развитие капиталистических элементов при сохранении командных высот народного хозяйства в руках государства диктатуры пролетариата; обеспечивал подъём производительных сил на базе роста социалистических и вытеснения капиталистических элементов преобразование многоукладной экономики в единую социалистическую на основе индустриализации страны и кооперирования сельского хозяйства. Нарушение в этот период экономических связей промышленности с сельское хозяйством через торговлю сокращение товарооборота подрывали...
28956. Курс большевистской партии на строительство социализма в одной стране. Индустриализация и коллективизация сельского хозяйства и их последствия 43.5 KB
  Предпосылки индустриализации. Техникоэкономическая отсталость могла стать хронической и перейти в историческую  необходимость индустриализации. Необходимость индустриализации. Социальная без индустриализации невозможно развитие экономики а следовательно и социальной сферы: образования здравоохранения сферы отдыха социального обеспечения.
28957. Формирование тоталитарно-бюрократического режима в СССР. Становление режима личной власти Сталина 25.5 KB
  Становление режима личной власти Сталина Борьба за власть среди партийных олигархов во второй половине 20х начале 30х годов. Постепенно расправившись со внутрипартийной оппозицией новая оппозиция троцкистскозиновьевский блок правый уклон в ВКПб попытка отстранить Сталина от власти на XVII съезде последовательно устранив с политической арены Каменева Зиновьева Троцкого Бухарина Рыкова и Томского Сталин к середине 30х годов сосредоточивает в своих руках все властные полномочия и фактически устанавливает тоталитарную форму...
28958. Обострение международной обстановки во второй половине 30-х годов XX века. Противоречивый характер внешней политики ведущих стран Запада и СССР накануне II-ой мировой войны 30.5 KB
  Противоречивый характер внешней политики ведущих стран Запада и СССР накануне IIой мировой войны. СССР подписал подобные договора с Францией и Чехословакией. СССР осудил введение в Германии всеобщей воинской повинности и нападение Италии на Эфиопию. был подписан договор о взаимопомощи между СССР и Монголией.
28959. СССР в условиях начавшейся II-ой мировой войны. Военные события конца 1939-1940 гг. и их современная оценка 42 KB
  СССР в условиях начавшейся IIой мировой войны. СССР объявил о своём нейтралитете. СССР и Германия подписали договор о дружбе и границе. СССР потребовал перенести границу от Ленинграда на 70 км.
28960. Начальный этап Великой Отечественной войны: причины неудач 94.5 KB
  Внешняя политика СССР в годы второй мировой войны. немецким военным командованием был разработан план молниеносной войны против СССР план Барбаросса . Захват Польши позволил фашистской армии создать плацдарм для нападения на Советский Союз на западных границах СССР оккупация Норвегии на северных Балканских стран на южных. Немецкой армии вторжения в приграничных военных округах СССР противостояли 170 дивизий насчитывавших 29 млн.