11130

Полный расчет балок на прочность при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси

Реферат

Математика и математический анализ

Полный расчет балок на прочность при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси Касательные напряжения при изгибе. Присутствие поперечных сил при поперечном изгибе свидетельствует о наличии в поперечном сечении касательных напряжений. ...

Русский

2013-04-04

704 KB

88 чел.

Полный расчет балок на прочность при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси


Касательные напряжения при изгибе.

Присутствие поперечных сил при поперечном изгибе свидетельствует о наличии в поперечном сечении касательных напряжений.

В существовании касательных напряжений легко убедиться на следующем простом опыте. Рассмотрим балку, состоящую из двух брусьев, свободно уложенных друг на друга (рис. 7.1, а). Нагрузив ее поперечной силой , увидим, что концы верхнего бруса сдвинутся по нижнему брусу и примут ступенчатый вид (рис. 7.1, б). Если эти брусья соединить между собой шпонками, то сдвига между брусьями не произойдет (рис. 7.1, в). Если же эти шпонки окажутся недостаточно прочными, то они могут сколоться, и тогда брусья сдвинутся друг по другу (рис. 7.1, г).

В сплошной балке упругие силы, возникающие в продольных слоях балки, противодействуют продольному сдвигу.

Рис. .

Вследствие сдвигов гипотеза плоских сечений при поперечном изгибе нарушается, плоские до деформации сечения слегка искривляются. Влияние указанного эффекта на величину нормальных напряжений невелико и поэтому влиянием сдвигов на закон распределения нормальных напряжений пренебрегают. Поэтому допускаем использование гипотезы плоских сечений и для случая поперечного изгиба.

Рассмотрим консольную балку прямоугольного поперечного сечения, нагруженную сосредоточенной силой  (рис. 7.2, а).

Двумя близкими поперечными сечениями  и  выделим элемент балки длиной  (рис. 7.2, б). Как видно из эпюр, в обоих сечениях  и  положительны, причем для сечения

; ,

а в сечении

; ,

Нормальные напряжения на левом и правом торцах выделенного элемента (рис. 7.2, в)

 (7.1)

Отсечем часть элемента балки, проведя горизонтальную плоскость на расстоянии  от нейтральной линии (рис. 7.2, в-д).

Рис. .

Равнодействующая нормальных напряжений , распределенных по грани  с площадью

Так как  представляет собой статический момент площади

(7.2)

Аналогично в грани  с площадью  равнодействующая нормальных напряжений

(7.3)

Предположим, что касательные напряжения  в поперечном сечении параллельны поперечной силе  и имеют постоянное значение по ширине сечения на данном уровне (). Согласно парности касательных напряжений на грани  также возникнут касательные напряжения (рис. 7.2, д)

Равнодействующая касательных напряжений

Запишем теперь условие равновесия параллелепипеда

(7.4)

Выведенная зависимость впервые была получена русским ученым Дмитрием Ивановичем Журавским и носит его имя.

Для произвольного сечения (рис. 7.3) величины, входящие в формулу (7.4), имеют следующие значения:

- абсолютная величина поперечной силы в том сечении, где вычисляются касательные напряжения;

- момент инерции этого сечения относительно его нейтральной линии;

- ширина сечения на уровне, где определяют ;

- абсолютная величина статического момента относительно нейтральной линии той

Рис. .

части площади , которая заключена между линией , где определяют , и краем сечения.

Сделаем общие заключения о распределении касательных напряжений в сечении при поперечном изгибе:

  1.  вид эпюры  зависит от формы поперечного сечения балки;
  2.  в крайних наиболее удаленных от нейтральной линии точках  всегда равны нулю;
  3.  наибольшей величины касательные напряжения для большинства видов сечений достигают на нейтральной линии сечения, причем

, (7.5)

где -  - статический момент половины площади сечения.

Формулу (7.5) можно представить в виде

. (7.6)

Здесь  - коэффициент, зависящий от формы сечения. Для прямоугольника ; для круглого сечения ;

  1.  Формулой Журавского можно пользоваться для вычисления касательных напряжений в любых точках массивных профилей.

Полный расчет на прочность при изгибе.

При поперечном изгибе балки материал ее находится в неоднородном напряженном состоянии. Условие должно быть записано для так называемой опасной точки, т. е. той точки, где материал находится в наиболее напряженном состоянии.

Опасной будет одна из следующих трех точек:

а) точка, где нормальное напряжение достигает максимальной величины;

б) точка, где касательное напряжение достигает максимальной величины;

в) точка, где нормальное и касательное напряжения, хотя и не принимают наибольших значений, но в своей комбинации создают наиболее невыгодное сочетание, т. е. наибольшее эквивалентное напряжение по принятой теории прочности. При этом точек может оказаться несколько.

Для первой точки условие запишется в виде

. (7.7)

Для второй точки

(7.8)

Для третьей точки условие прочности будет зависеть от выбранной теории прочности.

(7.9)

(7.10)

(7.11)

(7.12)

Для расчета балок из пластичных материалов рекомендуется пользоваться условиями прочности, полученными по III и IV теориям (формулы (7.10) и (7.11)).

Практика применения и расчета балок показала, что в подавляющем большинстве реальных случаев опасной является крайняя точка того сечения, где . Поэтому практически расчет балок на прочность состоит в следующем:

  1.  находят опасное сечение (в котором действует наибольший по величине изгибающий момент;
  2.  по таблице или вычислением определяют момент сопротивления сечения  относительно нейтральной оси , применяя основное условие прочности

(7.13)

  1.  Определив необходимый момент сопротивления балки и приняв определенный профиль поперечного сечения, определяют его размеры;
  2.  Если балка имеет тонкостенное сечение (двутавр, швеллер) и к ней приложена значительная поперечная нагрузка, то производят проверку по всем условиям прочности ((7.7), (7.8), (7.9) - (7.12).

Дифференциальное уравнение изогнутой оси

Ранее были рассмотрены вопросы, относящиеся к расчету балок на прочность. В большинстве случаев практического расчета деталей, работающих на изгиб, необходимо также производить расчет их на жесткость.

Под расчетом на жесткость подразумевается оценка упругой податливости балки под действием приложенных нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать установленных нормами пределов.

Рассмотрим деформацию балки при плоском изгибе (рис. 7.4). Ось балки под действием нагрузки, расположенной в одной из главных плоскостей инерции (плоскость ), искривляется в той же плоскости, а поперечные сечения поворачиваются и одновременно получают поступательное перемещение. Искривленная ось балки называется упругой линией.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки (), называется прогибом балки в данном сечении.

Рис. .

Наибольший прогиб называется стрелой прогиба ().

Угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения.

Условимся, оси координат всегда располагать следующим образом: начало координат помещать на левом конце балки, ось  направлять по оси балки вправо, а ось  - вверх.

Прогиб будем считать положительным, если перемещение соответствующей точки происходит вверх. Угол поворота будем считать положительным при повороте сечения против часовой стрелки.

Для определения прогибов балки воспользуемся уравнением, связывающим кривизну оси балки с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки.

(7.1)

Из курса высшей математики известна следующая формула для кривизны линии

, (7.2)

где ; .

Подставляя (7.2) в (7.1) получим

(7.3)

Выражение (7.3) представляет точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии). Интегрирование данного уравнения представляет большие трудности. Однако для большинства практических задач величиной  ввиду малости деформаций по сравнению с единицей можно пренебречь. Тогда получим упрощенное уравнение упругой линии:

(7.4)

В дальнейшем уравнение (7.4) будем называть основным дифференциальным уравнением упругой линии (для малых деформаций).

Решая задачу аналитическим способом, углы поворота  и прогибы  вычисляют последовательным интегрированием основного дифференциального уравнения (7.4). Проинтегрировав уравнение первый раз, получим выражение для угла поворота :

, (7.5)

содержащее одну произвольную постоянную . Интегрируя второй раз, находим выражение для погиба :

, (7.6)

содержащее две произвольные постоянные  и .

Значения  и  определяют из условий закрепления балки. Так для балки.

Пример. Определим максимальные значения прогиба и угла поворота сечения для консоли постоянного поперечного сечения с сосредоточенной силой на свободном конце.

Изгибающий момент в сечении  будем вычислять как результат действия сил, расположенных справа от сечения:

.

Подставляя выражение для  в уравнение (7.4), получаем

Интегрируем дважды:

.

Для определения постоянных  и  имеем граничные условия:

  1.  при   ;
  2.  при   ;

Рис. .

Из второго условия

,

Откуда

Из первого условия

Откуда

Окончательные уравнения прогиба и угла поворота следующие:

Упругая линия представляет собой параболу третьей степени.

Легко убедиться, что  и  имеют место на свободном конце балки в точке  (при) .

Отрицательное значение  показывает, что прогиб происходит в направлении, противоположном направлению оси  (т. е. вниз). Положительный угол поворота  показывает, что поворот сечения происходит против часовой стрелки.

Сравнивая выражения  и  с выражениями для констант  и , убеждаемся, что  равно углу поворота крайнего левого сечения, а  равно прогибу крайнего левого сечения консоли.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83589. Правовий режим космічних обєктів і екіпажів 37.05 KB
  Згідно з Конвенцією про реєстрацію об\'єктів що запускаються В космічний простір 1975 р. держава що здійснює такий запуск реєструє космічний об\'єкт у національному реєстрі. Кожна запускаюча держава представляє Генеральному секретарю ООН у найкоротший строк необхідну інформацію про кожний космічний об\'єкт занесений в її реєстр.
83590. Відповідальність у міжнародному космічному праві 35.62 KB
  Держави несуть міжнародну відповідальність за національну діяльність у космічному просторі включаючи Місяць та інші небесні тіла незалежно від того чи здійснюється вона урядовими органами або неурядовими юридичними особами. У випадку діяльності в космічному просторі включаючи Місяць та інші небесні тіла міжнародної організації відповідальність за виконання Договору про космос несуть разом з міжнародною організацією також і держави що беруть у ній участь. Держава що здійснює або організує запуск об\\\'єкта в космос а також кожна...
83591. Поняття і принципи міжнародного економічного права. Джерела міжнародного економічного права 37.61 KB
  Сучасна практика свідчить, що основну частину МЕП складають норми, що регулюють міждержавні економічні відносини. Так, норми, спрямовані на регулювання правовідносин за участю фізичних та юридичних осіб, переважно регулюють відповідні...
83592. Сучасна система міжнародних економічних організацій 39.05 KB
  На універсальному рівні основними організаціями є ООН її спеціалізовані установи і СОТ. Незважаючи на важливу роль ООН в регулюванні міжнародних економічних відносиносновну роботу з розробки універсальних стандартів в галузі МЕП сьогодні здійснюють МВФ Група Світового банку та СОТ. СОТ була створена в 1994 р. Установчим документом СОТ є Марракешська угода про заснування СОТ 1994 р.
83593. Система і право Світової організації торгівлі. Угода про заснування СОТ. Функції, компетенція, структура СОТ. Багатосторонні угоди системи СОТ 42.96 KB
  Угода про заснування СОТ. Функції компетенція структура СОТ. Багатосторонні угоди системи СОТ. Світова організація торгівлі СОТ єдина міжнародна організація що опікується глобальними правилами торгівлі між країнами.
83594. Міжнародний валютний фонд 43.71 KB
  Міжнаро́дний валю́тний фонд МВФ англійською IMF спеціальне агентство Організації Об\'єднаних Націй ООН засноване 29ма державами[1][2] з метою регулювання валютнокредитних відносин країнчленів і надання їм допомоги при дефіциті платіжного балансу шляхом надання коротко і середньострокових кредитів в іноземній валюті. Штабквартира МВФ знаходиться в м. МВФ було створено 27 грудня 1945 року після підписання 29ма державами угоди розробленої на Конференції ООН з валютнофінансових питань 22 липня 1944 року. МВФ є інституційною основою...
83595. Поняття та джерела міжнародного екологічного права 37.32 KB
  Міжнародне екологічне право - галузь міжнародного права, принципи і норми якої регулюють відносини між його суб\'єктами в сфері охорони навколишнього середовища та раціонального використання природних ресурсів. Правове регулювання міжнародного екологічного права спрямоване на обмеження шкідливого антропогенного впливу на навколишнє середовище
83596. Принципи міжнародного екологічного права 37.97 KB
  Спеціальні (галузеві) принципи міжнародного права навколишнього середовища найбільш повно зафіксовані у Стокгольмській декларації з навколишнього середовища (26 принципів) і Декларації Ріо-де-Жанейро з навколишнього середовища і розвитку
83597. Міжнародна співпраця у області охорони навколишнього середовища 42.91 KB
  Тому проблема гармонізації відносин суспільства і природи охорони навколишнього середовища набула глобального значення. У межах міжнародного співробітництва в галузі охорони навколишнього природного середовища вирішуються найбільш складні проблеми і конкретні проекти. Особливу групу проектів складають наукові дослідження впливу діяльності людини на клімат передбачення землетрусів і цунамі роботи в галузі біологічних та генетичних наслідків забруднення оточуючого середовища.