11130

Полный расчет балок на прочность при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси

Реферат

Математика и математический анализ

Полный расчет балок на прочность при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси Касательные напряжения при изгибе. Присутствие поперечных сил при поперечном изгибе свидетельствует о наличии в поперечном сечении касательных напряжений. ...

Русский

2013-04-04

704 KB

85 чел.

Полный расчет балок на прочность при изгибе. Дифференциальное уравнение изогнутой оси


Касательные напряжения при изгибе.

Присутствие поперечных сил при поперечном изгибе свидетельствует о наличии в поперечном сечении касательных напряжений.

В существовании касательных напряжений легко убедиться на следующем простом опыте. Рассмотрим балку, состоящую из двух брусьев, свободно уложенных друг на друга (рис. 7.1, а). Нагрузив ее поперечной силой , увидим, что концы верхнего бруса сдвинутся по нижнему брусу и примут ступенчатый вид (рис. 7.1, б). Если эти брусья соединить между собой шпонками, то сдвига между брусьями не произойдет (рис. 7.1, в). Если же эти шпонки окажутся недостаточно прочными, то они могут сколоться, и тогда брусья сдвинутся друг по другу (рис. 7.1, г).

В сплошной балке упругие силы, возникающие в продольных слоях балки, противодействуют продольному сдвигу.

Рис. .

Вследствие сдвигов гипотеза плоских сечений при поперечном изгибе нарушается, плоские до деформации сечения слегка искривляются. Влияние указанного эффекта на величину нормальных напряжений невелико и поэтому влиянием сдвигов на закон распределения нормальных напряжений пренебрегают. Поэтому допускаем использование гипотезы плоских сечений и для случая поперечного изгиба.

Рассмотрим консольную балку прямоугольного поперечного сечения, нагруженную сосредоточенной силой  (рис. 7.2, а).

Двумя близкими поперечными сечениями  и  выделим элемент балки длиной  (рис. 7.2, б). Как видно из эпюр, в обоих сечениях  и  положительны, причем для сечения

; ,

а в сечении

; ,

Нормальные напряжения на левом и правом торцах выделенного элемента (рис. 7.2, в)

 (7.1)

Отсечем часть элемента балки, проведя горизонтальную плоскость на расстоянии  от нейтральной линии (рис. 7.2, в-д).

Рис. .

Равнодействующая нормальных напряжений , распределенных по грани  с площадью

Так как  представляет собой статический момент площади

(7.2)

Аналогично в грани  с площадью  равнодействующая нормальных напряжений

(7.3)

Предположим, что касательные напряжения  в поперечном сечении параллельны поперечной силе  и имеют постоянное значение по ширине сечения на данном уровне (). Согласно парности касательных напряжений на грани  также возникнут касательные напряжения (рис. 7.2, д)

Равнодействующая касательных напряжений

Запишем теперь условие равновесия параллелепипеда

(7.4)

Выведенная зависимость впервые была получена русским ученым Дмитрием Ивановичем Журавским и носит его имя.

Для произвольного сечения (рис. 7.3) величины, входящие в формулу (7.4), имеют следующие значения:

- абсолютная величина поперечной силы в том сечении, где вычисляются касательные напряжения;

- момент инерции этого сечения относительно его нейтральной линии;

- ширина сечения на уровне, где определяют ;

- абсолютная величина статического момента относительно нейтральной линии той

Рис. .

части площади , которая заключена между линией , где определяют , и краем сечения.

Сделаем общие заключения о распределении касательных напряжений в сечении при поперечном изгибе:

  1.  вид эпюры  зависит от формы поперечного сечения балки;
  2.  в крайних наиболее удаленных от нейтральной линии точках  всегда равны нулю;
  3.  наибольшей величины касательные напряжения для большинства видов сечений достигают на нейтральной линии сечения, причем

, (7.5)

где -  - статический момент половины площади сечения.

Формулу (7.5) можно представить в виде

. (7.6)

Здесь  - коэффициент, зависящий от формы сечения. Для прямоугольника ; для круглого сечения ;

  1.  Формулой Журавского можно пользоваться для вычисления касательных напряжений в любых точках массивных профилей.

Полный расчет на прочность при изгибе.

При поперечном изгибе балки материал ее находится в неоднородном напряженном состоянии. Условие должно быть записано для так называемой опасной точки, т. е. той точки, где материал находится в наиболее напряженном состоянии.

Опасной будет одна из следующих трех точек:

а) точка, где нормальное напряжение достигает максимальной величины;

б) точка, где касательное напряжение достигает максимальной величины;

в) точка, где нормальное и касательное напряжения, хотя и не принимают наибольших значений, но в своей комбинации создают наиболее невыгодное сочетание, т. е. наибольшее эквивалентное напряжение по принятой теории прочности. При этом точек может оказаться несколько.

Для первой точки условие запишется в виде

. (7.7)

Для второй точки

(7.8)

Для третьей точки условие прочности будет зависеть от выбранной теории прочности.

(7.9)

(7.10)

(7.11)

(7.12)

Для расчета балок из пластичных материалов рекомендуется пользоваться условиями прочности, полученными по III и IV теориям (формулы (7.10) и (7.11)).

Практика применения и расчета балок показала, что в подавляющем большинстве реальных случаев опасной является крайняя точка того сечения, где . Поэтому практически расчет балок на прочность состоит в следующем:

  1.  находят опасное сечение (в котором действует наибольший по величине изгибающий момент;
  2.  по таблице или вычислением определяют момент сопротивления сечения  относительно нейтральной оси , применяя основное условие прочности

(7.13)

  1.  Определив необходимый момент сопротивления балки и приняв определенный профиль поперечного сечения, определяют его размеры;
  2.  Если балка имеет тонкостенное сечение (двутавр, швеллер) и к ней приложена значительная поперечная нагрузка, то производят проверку по всем условиям прочности ((7.7), (7.8), (7.9) - (7.12).

Дифференциальное уравнение изогнутой оси

Ранее были рассмотрены вопросы, относящиеся к расчету балок на прочность. В большинстве случаев практического расчета деталей, работающих на изгиб, необходимо также производить расчет их на жесткость.

Под расчетом на жесткость подразумевается оценка упругой податливости балки под действием приложенных нагрузок и подбор таких размеров поперечного сечения, при которых перемещения не будут превышать установленных нормами пределов.

Рассмотрим деформацию балки при плоском изгибе (рис. 7.4). Ось балки под действием нагрузки, расположенной в одной из главных плоскостей инерции (плоскость ), искривляется в той же плоскости, а поперечные сечения поворачиваются и одновременно получают поступательное перемещение. Искривленная ось балки называется упругой линией.

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к оси балки (), называется прогибом балки в данном сечении.

Рис. .

Наибольший прогиб называется стрелой прогиба ().

Угол θ, на который каждое сечение поворачивается по отношению к своему первоначальному положению, называется углом поворота сечения.

Условимся, оси координат всегда располагать следующим образом: начало координат помещать на левом конце балки, ось  направлять по оси балки вправо, а ось  - вверх.

Прогиб будем считать положительным, если перемещение соответствующей точки происходит вверх. Угол поворота будем считать положительным при повороте сечения против часовой стрелки.

Для определения прогибов балки воспользуемся уравнением, связывающим кривизну оси балки с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки.

(7.1)

Из курса высшей математики известна следующая формула для кривизны линии

, (7.2)

где ; .

Подставляя (7.2) в (7.1) получим

(7.3)

Выражение (7.3) представляет точное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки (упругой линии). Интегрирование данного уравнения представляет большие трудности. Однако для большинства практических задач величиной  ввиду малости деформаций по сравнению с единицей можно пренебречь. Тогда получим упрощенное уравнение упругой линии:

(7.4)

В дальнейшем уравнение (7.4) будем называть основным дифференциальным уравнением упругой линии (для малых деформаций).

Решая задачу аналитическим способом, углы поворота  и прогибы  вычисляют последовательным интегрированием основного дифференциального уравнения (7.4). Проинтегрировав уравнение первый раз, получим выражение для угла поворота :

, (7.5)

содержащее одну произвольную постоянную . Интегрируя второй раз, находим выражение для погиба :

, (7.6)

содержащее две произвольные постоянные  и .

Значения  и  определяют из условий закрепления балки. Так для балки.

Пример. Определим максимальные значения прогиба и угла поворота сечения для консоли постоянного поперечного сечения с сосредоточенной силой на свободном конце.

Изгибающий момент в сечении  будем вычислять как результат действия сил, расположенных справа от сечения:

.

Подставляя выражение для  в уравнение (7.4), получаем

Интегрируем дважды:

.

Для определения постоянных  и  имеем граничные условия:

  1.  при   ;
  2.  при   ;

Рис. .

Из второго условия

,

Откуда

Из первого условия

Откуда

Окончательные уравнения прогиба и угла поворота следующие:

Упругая линия представляет собой параболу третьей степени.

Легко убедиться, что  и  имеют место на свободном конце балки в точке  (при) .

Отрицательное значение  показывает, что прогиб происходит в направлении, противоположном направлению оси  (т. е. вниз). Положительный угол поворота  показывает, что поворот сечения происходит против часовой стрелки.

Сравнивая выражения  и  с выражениями для констант  и , убеждаемся, что  равно углу поворота крайнего левого сечения, а  равно прогибу крайнего левого сечения консоли.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65485. ФІНАНСОВА ПОЛІТИКА РОЗВИТКУ СІЛЬСЬКОГО ГОСПОДАРСТВА УКРАЇНИ: ТЕОРІЯ, МЕТОДОЛОГІЯ, ПРАКТИКА 432 KB
  Фінансова політика держави у сучасних умовах ринкових перетворень виступає визначальною для розвитку національної економіки. Ускладнення процесів економічних трансформацій, посилення їх динамізму, фінансова криза та її негативні наслідки виявили...
65486. БЕЛЬГІЯ ТА КОЛОНІАЛЬНИЙ ПОДІЛ АФРИКИ 172 KB
  ХХ століття стало свідком краху колоніальних імперій, проте інтерес дослідників до різних аспектів історії колоніальної політики не слабшає. У сучасному світі в істориків з'являються все нові можливості для вивчення історичних явищ і розширення проблематики своїх досліджень...
65487. Метод розрахунку довговічності елементів авіаційних конструкцій, навантажених розтягом-стиском та згином 3.54 MB
  Метод розрахунку довговічності конструкцій за номінальними напруженнями ґрунтується на використанні понять ефективного коефіцієнта концентрації напружень і коефіцієнта якості конструкції. Такий підхід дозволяє на етапі проектування уникнути значної частини тривалих і коштовних втомних...
65488. Окупаційний режим та єврейське населення Дніпропетровщини 1941-1943 роки 218.5 KB
  Трагедія єврейського населення Дніпропетровській області не знайшла ще повномасштабного відпрацьовування хоча її фактична сторона може являти собою вагомий додаток до характеристики окупаційної політики нацистів стосовно представників даної національності.
65489. ТЕРМОЕЛЕКТРИЧНИЙ ПЕРЕТВОРЮВАЧ З КЕРОВАНИМ ПРОФІЛЕМ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ 648 KB
  Тому підвищення точності вимірювання температури – актуальна та важлива наукова і практична задача вирішення якої може дати значний економічний ефект. Аналіз показує що точність приладів вимірювання температури росте однак похибка вимірювання температури зменшується мало бо у вимірювальному...
65490. Вплив бобово-злакових травосумішей на родючість та протиерозійну стійкість дерново-підзолистого еродованого ґрунту західного Передкарпаття 305 KB
  Для досягнення цієї мети передбачалось вирішити наступні завдання: встановити ґрунтозахисну ефективність багаторічних бобовозлакових травостоїв та їх вплив на стік і змив ґрунту; виявити зміни агрохімічних і воднофізичних показників родючості ґрунту в процесі залуження...
65491. МАТЕМАТИЧНЕ ТА ПРОГРАМНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ІЄРАРХІЧНОЇ ДЕКОМПОЗИЦІЇ, ІНДЕКСУВАННЯ, КЛАСИФІКАЦІЇ ТА АНАЛІЗУ ВІЗУАЛЬНИХ ОБРАЗІВ 280 KB
  Широке використання різних інформаційних технологій зумовлює актуальність проблеми розпізнавання образів. Задачі індексування та пошуку зображень на основі їх вмісту (Content-based image retrieval − CBIR) у графічних базах даних із мільйонами образів є актуальними в інформаційних системах.
65492. Математичне та програмне забезпечення обчислювальних машин і систем 363.5 KB
  Одним із основних напрямків розвитку інформаційних технологій є територіально розподілене опрацювання даних в комп’ютерній мережі що пов’язано з необхідністю інтеграції розподілених...
65493. ВЗАЄМОВІДНОСИНИ УКРАЇНСЬКОЇ НАРОДНОЇ РЕСПУБЛІКИ Й ЗАХІДНО-УКРАЇНСЬКОЇ НАРОДНОЇ РЕСПУБЛІКИ (ЛИСТОПАД 1918 – КВІТЕНЬ 1920 рр.) 173.5 KB
  Предметом дослідження є основні напрямки та форми двосторонніх відносин УНР і ЗУНР у політичній економічній і військовій сферах. Нижня межа обумовлена утворенням ЗУНР і початком протигетьманського повстання під проводом Директорії в Наддніпрянській Україні.