11131

Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров. Определение перемещений в балках переменного сечения

Реферат

Математика и математический анализ

Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров. Определение перемещений в балках переменного сечения Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциаль...

Русский

2013-04-04

396 KB

126 чел.

Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров. Определение перемещений в балках переменного сечения

Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров

Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии в случае балок с большим количеством участков сопряжено со значительными трудностями в определении большого количества постоянных интегрирования.

Для уменьшения большой вычислительной работы в настоящее время разработан ряд методик. К ним относится и метод начального интегрирования.

Рис. 2.1.

Рассмотрим некоторую часть балки длиной  (рис. 2.1.1,а), проведя сечения в точках  и . На рис. 2.1.1,б изображен этот отрезок, нагруженный следующими наиболее часто встречающимися нагрузками:

а) сосредоточенным моментом М в сечении с абсциссой ;

б) сосредоточенной силой  в сечении с абсциссой ;

в) равномерно распределенной нагрузкой  от сечения с абсциссой  до сечения с абсциссой .

г) кроме того, по концам рассматриваемой части балки приложены поперечные силы и изгибающие моменты, заменяющие действие мысленно отброшенных частей балки.

Начало координат выбираем в крайней левой точке рассматриваемой балки и делаем его общим для всех участков балки.

Возьмем произвольное сечение на расстоянии  от начала координат.

При выводе уравнений направления всех нагрузок выбраны так, чтобы они вызывали положительные изгибающие моменты.

Выражения для изгибающих моментов будем составлять, рассматривая нагрузки слева от сечения с координатой . При включении в уравнения внешнего сосредоточенного момента  умножим его на множитель , равный единице. В случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца рассматриваемого сечения, а для восстановления действительных грузовых условий вводят «компенсирующую» нагрузку».

Интегрирование будем производить, не раскрывая скобок.

Составляем выражение изгибающего момента для сечения с координатой

Составим дифференциальное уравнение упругой линии

Интегрируем обе части равенства, не раскрывая скобок

Очевидно, что для

;

Следовательно, константы интегрирования  и  при подстановке начальных условий будут равны углу поворота и прогибу в начале координат. Прогиб  и угол поворота  являются начальными параметрами.

Для случая нескольких моментов и сил, а также нескольких участков распределенной нагрузки уравнение записывают в следующей форме:

Данное уравнение обычно называют универсальным уравнением упругой линии.

Дифференцируя универсальное уравнение прогибов, получаем уравнение углов поворота сечений

В универсальные уравнения подставляются только те нагрузки, которые расположены слева от рассматриваемого сечения. Началом координат  принимается крайнее левое сечение балки.

Таким образом, определение перемещений по методу начальных параметров сводится в первую очередь к определению величин начальных параметров  и , которые определяются из условий закрепления балки.

Определим прогиб и угол поворота сечения свободного конца консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой  (Рис. 2.1.2).

Рис. 2.1.

В защемлении при заданной нагрузке будет возникать реакция  и реакционный момент .

Очевидно, что при данном виде закрепления

;  

Подставляем нагрузки в универсальные уравнения.

Для

Для

Расчет балок переменного сечения на прочность и жесткость.

До сих пор мы рассматривали расчет на изгиб стержней, сечение которых оставалось постоянным по длине. По конструктивным соображениям стержни, работающие на изгиб, часто имеют конусность, отверстия, выточки, ступеньки и т. д.

С точки зрения расчета на прочность и жесткость все такие стержни можно разделить на три основные группы:

а) стержни, имеющие местные изменения формы и размеров сечений (рис. 2.1.3, а).

Рис. 2.1.

б) стержни ступенчато-переменного сечения (Рис. 2.1.3, б);

в) стержни, имеющие непрерывно изменяющиеся по длине размеры сечений.

Разумеется, есть много деталей, в которых сочетаются различные виды нарушения размеров.

Перейдем к рассмотрению каждой группы в отдельности.

Местные изменения формы и размеров сечений вызывают резкое и значительное изменение картины распределения напряжений и деформаций. Однако это изменение носит местный характер и на напряженное состояние и деформированное состояние стержня в целом влияет незначительно.

Для высокопластичных материалов (малоуглеродистые стали, алюминий, медь) и хрупких неоднородных материалов (чугунов) концентрацию напряжений можно не учитывать и условие прочности запишется в обычном виде:

;

Для однородных хрупких материалов (высокопрочные закаленные стали)

,

где  - теоретический коэффициент концентрации, определяемый по справочным таблицам.

В обеих формулах  - это момент сопротивления ослабленного сечения.

Ступенчатые стержни будут иметь концентраторы напряжений в местах сопряжения участков с различными размерами поперечного сечения. При чувствительности материала к концентрации напряжений необходимо проверять условие прочности для соответствующих сечений с учетом коэффициента .

Для определения перемещений в ступенчатом стержне можно пользоваться видоизмененным методом начальных параметров. Рассмотрим на примере использование данного метода.

Балка на Рис. 2.1.4. имеет два участка постоянного поперечного сечения. Преобразуем заданную ступенчатую балку в эквивалентную балку постоянного сечения с моментом инерции , равным моменту инерции одного из участков балки, например первого.

Разрезаем балку в местах изменения размеров поперечного сечения и прикладываем в местах разрезов соответствующие внутренние силовые факторы -  и .

Умножаем нагрузку на каждом участке на коэффициент приведения

Соединяем отдельные части, получаем эквивалентную балку постоянного сечения. Эта балка будет нагружена приведенными внешними нагрузками и дополнительными силами  и моментами  в местах сопряжения участков. Для определения перемещений в полученной эквивалентной балке можно использовать универсальное уравнение упругой линии.

Стержни с непрерывно меняющимися по длине размерами поперечного сечения при незначительном угле наклона образующей к оси стержня (до 15 – 20 °) рассчитывают с использованием обычного условия прочности

и дифференциального уравнения упругой линии

Расчет на прочность и жесткость осложняется тем, что момент сопротивления и момент инерции сечения являются функциями абсциссы  сечения.

Частным случаем балок с непрерывно меняющимися по длине размерами являются балки равного сопротивления изгибу, во всех сечениях которого максимальное напряжение равно допускаемому

.

Отсюда получают уравнение для определения размеров балки равного сопротивления:

Для прямоугольного поперечного сечения с постоянной шириной сечения  и переменной высотой сечения  балка равного сопротивления показана на рис. 2.1.5.

Балка равного сопротивления параболического очертания наиболее рациональна с точки зрения экономии материала, однако из-за сложности формы не удовлетворяет техническим требованиям. Поэтому на практике применяют не балки равного сопротивления, а близкие к ним ступенчатые стержни.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28575. Примеры хеш-функций sha 12.54 KB
  Для входного сообщения длина которого меньше 264 бит алгоритм SHA1 выдаёт 160битовый результат. Предназначен SHA1 для использования вместе с алгоритмом цифровой подписи DSA. Цифровая подпись формируется на основе дайджеста SHA1 от сообщения что повышает эффективность процесса подписания.
28578. Сертификаты открытых ключей. Аннулирование сертификатов 20.88 KB
  Сертификаты открытых ключей. Механизмы контроля использования ключей. Подтверждение подлинности ключей Сертификат открытого ключа сертификат ЭЦП сертификат ключа подписи сертификат ключа проверки электронной подписи согласно ст. Предположим что Алиса желая получать зашифрованные сообщения генерирует пару ключей один из которых открытый она публикует какимлибо образом.
28579. Требования к качеству ключевой информации и источники ключей 16.09 KB
  Не все ключи и таблицы замен обеспечивают максимальную стойкость шифра. Исчерпывающий ответ на вопрос о критериях качества ключей и таблиц замен ГОСТа если и можно получить то только у разработчиков алгоритма. Очевидно что нулевой ключ и тривиальная таблица замен по которой любое значение заменяется но него самого являются слабыми. Таблица замен является долговременным ключевым элементом т.
28580. Криптоанализ 12.62 KB
  В частности полнораундовый алгоритм ГОСТ 2814789 может быть вскрыт с помощью дифференциального криптоанализа на связанных ключах но только в случае использования слабых таблиц замен. 24раундовый вариант алгоритма в котором отсутствуют первые 8 раундов вскрывается аналогичным образом при любых таблицах замен однако сильные таблицы замен делают такую атаку абсолютно непрактичной. [править] Критика ГОСТа Основные проблемы ГОСТа связаны с неполнотой стандарта в части генерации ключей и таблиц замен. Тривиально доказывается что у ГОСТа...
28581. Проблемы генерации и распространения ключей. Конфигурации сетей связи 14.3 KB
  Можно выделить несколько этапов жизни ключевой информации: n Изготовление n Доставка потребителям n Утилизация n Уничтожение Мы рассматривали в основном утилизацию ключей то есть их использование в алгоритмах шифрования. Рассмотрим теперь процедуры изготовления и доставки ключей абонентам они называются генерацией и распространением соответственно. Правила генерации распространения утилизации и уничтожения ключей называются ключевой системой.
28582. Требования к системе с симметричными ключами – при генерации и распространении ключей 16 KB
  Правила генерации распространения утилизации и уничтожения ключей называются ключевой системой. Процедура генерации ключей должна производить только ключи специфицированные для данного алгоритма 2. Процедура генерации должна быть максимально приближена к модели случайного равновероятного выбора ключа из множества всех ключей специфицированных для данного алгоритма.
28583. Генерация случайных чисел., использование типовых узлов в качестве ДСПЧ 33.58 KB
  Хорошие датчики имеют весьма качественные характеристики и могут использоваться непосредственно для получения ключей однако они сложны и имеют высокую стоимость и поэтому не находят массового применения. Их стоимость существенно ниже они более надежны но использовать выход с них в качестве ключа в чистом виде не рекомендуется частично о том почему их можно использовать мы поговорим в когда будем говорить о системах с открытым ключом. В качестве ДСПЧ можно использовать один из следующих узлов. Использовать его можно несколькими...