11131

Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров. Определение перемещений в балках переменного сечения

Реферат

Математика и математический анализ

Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров. Определение перемещений в балках переменного сечения Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциаль...

Русский

2013-04-04

396 KB

121 чел.

Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров. Определение перемещений в балках переменного сечения

Определение перемещений при изгибе методом начальных параметров

Определение перемещений методом непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии в случае балок с большим количеством участков сопряжено со значительными трудностями в определении большого количества постоянных интегрирования.

Для уменьшения большой вычислительной работы в настоящее время разработан ряд методик. К ним относится и метод начального интегрирования.

Рис. 2.1.

Рассмотрим некоторую часть балки длиной  (рис. 2.1.1,а), проведя сечения в точках  и . На рис. 2.1.1,б изображен этот отрезок, нагруженный следующими наиболее часто встречающимися нагрузками:

а) сосредоточенным моментом М в сечении с абсциссой ;

б) сосредоточенной силой  в сечении с абсциссой ;

в) равномерно распределенной нагрузкой  от сечения с абсциссой  до сечения с абсциссой .

г) кроме того, по концам рассматриваемой части балки приложены поперечные силы и изгибающие моменты, заменяющие действие мысленно отброшенных частей балки.

Начало координат выбираем в крайней левой точке рассматриваемой балки и делаем его общим для всех участков балки.

Возьмем произвольное сечение на расстоянии  от начала координат.

При выводе уравнений направления всех нагрузок выбраны так, чтобы они вызывали положительные изгибающие моменты.

Выражения для изгибающих моментов будем составлять, рассматривая нагрузки слева от сечения с координатой . При включении в уравнения внешнего сосредоточенного момента  умножим его на множитель , равный единице. В случае обрыва распределенной нагрузки ее продлевают до конца рассматриваемого сечения, а для восстановления действительных грузовых условий вводят «компенсирующую» нагрузку».

Интегрирование будем производить, не раскрывая скобок.

Составляем выражение изгибающего момента для сечения с координатой

Составим дифференциальное уравнение упругой линии

Интегрируем обе части равенства, не раскрывая скобок

Очевидно, что для

;

Следовательно, константы интегрирования  и  при подстановке начальных условий будут равны углу поворота и прогибу в начале координат. Прогиб  и угол поворота  являются начальными параметрами.

Для случая нескольких моментов и сил, а также нескольких участков распределенной нагрузки уравнение записывают в следующей форме:

Данное уравнение обычно называют универсальным уравнением упругой линии.

Дифференцируя универсальное уравнение прогибов, получаем уравнение углов поворота сечений

В универсальные уравнения подставляются только те нагрузки, которые расположены слева от рассматриваемого сечения. Началом координат  принимается крайнее левое сечение балки.

Таким образом, определение перемещений по методу начальных параметров сводится в первую очередь к определению величин начальных параметров  и , которые определяются из условий закрепления балки.

Определим прогиб и угол поворота сечения свободного конца консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой  (Рис. 2.1.2).

Рис. 2.1.

В защемлении при заданной нагрузке будет возникать реакция  и реакционный момент .

Очевидно, что при данном виде закрепления

;  

Подставляем нагрузки в универсальные уравнения.

Для

Для

Расчет балок переменного сечения на прочность и жесткость.

До сих пор мы рассматривали расчет на изгиб стержней, сечение которых оставалось постоянным по длине. По конструктивным соображениям стержни, работающие на изгиб, часто имеют конусность, отверстия, выточки, ступеньки и т. д.

С точки зрения расчета на прочность и жесткость все такие стержни можно разделить на три основные группы:

а) стержни, имеющие местные изменения формы и размеров сечений (рис. 2.1.3, а).

Рис. 2.1.

б) стержни ступенчато-переменного сечения (Рис. 2.1.3, б);

в) стержни, имеющие непрерывно изменяющиеся по длине размеры сечений.

Разумеется, есть много деталей, в которых сочетаются различные виды нарушения размеров.

Перейдем к рассмотрению каждой группы в отдельности.

Местные изменения формы и размеров сечений вызывают резкое и значительное изменение картины распределения напряжений и деформаций. Однако это изменение носит местный характер и на напряженное состояние и деформированное состояние стержня в целом влияет незначительно.

Для высокопластичных материалов (малоуглеродистые стали, алюминий, медь) и хрупких неоднородных материалов (чугунов) концентрацию напряжений можно не учитывать и условие прочности запишется в обычном виде:

;

Для однородных хрупких материалов (высокопрочные закаленные стали)

,

где  - теоретический коэффициент концентрации, определяемый по справочным таблицам.

В обеих формулах  - это момент сопротивления ослабленного сечения.

Ступенчатые стержни будут иметь концентраторы напряжений в местах сопряжения участков с различными размерами поперечного сечения. При чувствительности материала к концентрации напряжений необходимо проверять условие прочности для соответствующих сечений с учетом коэффициента .

Для определения перемещений в ступенчатом стержне можно пользоваться видоизмененным методом начальных параметров. Рассмотрим на примере использование данного метода.

Балка на Рис. 2.1.4. имеет два участка постоянного поперечного сечения. Преобразуем заданную ступенчатую балку в эквивалентную балку постоянного сечения с моментом инерции , равным моменту инерции одного из участков балки, например первого.

Разрезаем балку в местах изменения размеров поперечного сечения и прикладываем в местах разрезов соответствующие внутренние силовые факторы -  и .

Умножаем нагрузку на каждом участке на коэффициент приведения

Соединяем отдельные части, получаем эквивалентную балку постоянного сечения. Эта балка будет нагружена приведенными внешними нагрузками и дополнительными силами  и моментами  в местах сопряжения участков. Для определения перемещений в полученной эквивалентной балке можно использовать универсальное уравнение упругой линии.

Стержни с непрерывно меняющимися по длине размерами поперечного сечения при незначительном угле наклона образующей к оси стержня (до 15 – 20 °) рассчитывают с использованием обычного условия прочности

и дифференциального уравнения упругой линии

Расчет на прочность и жесткость осложняется тем, что момент сопротивления и момент инерции сечения являются функциями абсциссы  сечения.

Частным случаем балок с непрерывно меняющимися по длине размерами являются балки равного сопротивления изгибу, во всех сечениях которого максимальное напряжение равно допускаемому

.

Отсюда получают уравнение для определения размеров балки равного сопротивления:

Для прямоугольного поперечного сечения с постоянной шириной сечения  и переменной высотой сечения  балка равного сопротивления показана на рис. 2.1.5.

Балка равного сопротивления параболического очертания наиболее рациональна с точки зрения экономии материала, однако из-за сложности формы не удовлетворяет техническим требованиям. Поэтому на практике применяют не балки равного сопротивления, а близкие к ним ступенчатые стержни.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48322. Здания и сооружения 152.5 KB
  Здания это наземные постройки с помещениями для жизнедеятельности человека жилые дома школы театры коровники теплицы и т. По назначению здания бывают гражданские жилые дошкольные спортивные торговые и т. По этажности здания делятся на малоэтажные.
48323. Алгебра с элементами логического анализа 18.95 MB
  Триггеры Триггеры – спусковые или релаксационные устройства с двумя или более устойчивыми состояниями в которые они могут переключаться внешним информационным сигналом. По способу записи информации триггеры подразделяются на: 1 асинхронные; 2 синхронные тактируемые. В синхронных триггерах момент переключения определяется моментом смены кодовой комбинации на информационных входах. В синхронных триггерах смена состояний осуществляется в строго определенные моменты времени действуя специальным тактирующим...
48324. Статистика и ее основные понятия 440 KB
  Общей чертой сведений составляющих статистику служит то что в каждом конкретном случае объектом статистического изучения является статистическая совокупность состоящая из качественно однородных единиц но отличающихся по какимто другим признакам. Второй особенностью наблюдений является математический характер соответствующего признака в частности тип множества допустимых значений который принимает признак в процессе наблюдения. К таким признакам относятся например возраст рост и вес человека. В порядковой шкале соответствующие...
48325. ОСНОВИ ПРОВЕДЕННЯ ТА ОРГАНІЗАЦІЇ БУХГАЛТЕРСЬКОГО ОБЛІКУ ОПЕРАЦІЙ ПІДПРИЄМСТВА В ІНОЗЕМНІЙ ВАЛЮТІ 832 KB
  Відображення операцій в іноземній валюті – одне з складних питань бухгалтерського обліку. Операціями в іноземній валюті вважаються господарські операції вартість яких виражена в іноземній валюті чи господарські операції що вимагають розрахунків в інвалюті. Для цілей відображення в бухгалтерському обліку і фінансовій звітності суму виражену в інвалюті за такими операціями необхідно перевести в гривневий еквівалент використовуючи валютний курс.
48327. Сущность, принципы и функции бюджетного учета в Украине 284 KB
  Через бюджет государство аккумулирует денежные средства для финансирования приоритетных направлений производства социального развития активизирует мероприятия по увеличению поступлений в бюджеты всех уровней. Для обеспечения своевременного и полного поступления доходов бюджета своевременного ассигнования мероприятий предусмотренных в бюджете целевого направления и эффективного использования средств бюджета как в сфере материального производства так и непроизводственной сфере требуется правильная организация учета исполнения бюджета и...
48328. ОХОРОНА ПРАЦІ 1018 KB
  Охорона праці - це система правових соціальноекономічних організаційно-технічних санітарно-гігієнічних і лікувально-профілактичних заходів і засобів спрямованих на збереження здоровя і працездатності людини в процесі праці. Предметом охорони праці як науки є вивчення умов праці спрямоване на забезпечення не тільки повної безпеки працюючих але і на створення оптимальних комфортних умов для підвищення їх працездатності. До предмету праці також відносяться: працююча людина виробничі колективи процес праці виробниче середовище...
48329. Аудит. Конспект лекцій 2.71 MB
  Реформування системи бухгалтерського обліку, розвиток податкового обліку, впровадження в практику Міжнародних стандартів фінансової звітності визначили значні зміни вимог до аудиту
48330. Воспалительные заболевания гортани, причины, последствия, профилактика 14.67 KB
  Ларингит - воспаление гортани, связанное, как правило, с простудным заболеванием либо с такими инфекционными заболеваниями, как корь, скарлатина, коклюш. Развитию заболевания способствуют переохлаждение, дыхание через рот, запылённый воздух, перенапряжение гортани.