11132

Определение перемещений в упругих системах. Общие понятия

Реферат

Математика и математический анализ

Определение перемещений в упругих системах. Общие понятия Обобщенные силы и перемещения Ранее нами были рассмотрены некоторые частные способы определения перемещений удобные при решении простейших задач. Начало возможных перемещений и закон сохранения энергии по...

Русский

2013-04-04

632 KB

21 чел.

Определение перемещений в упругих системах. Общие понятия


Обобщенные силы и перемещения

Ранее нами были рассмотрены некоторые частные способы определения перемещений, удобные при решении простейших задач.

Начало возможных перемещений и закон сохранения энергии позволили получить другие методы определения перемещений в стержневых системах.

Как известно из теоретической механики, работа постоянной силы  на перемещении  по ее направлению равна произведению величины силы на указанное перемещение:

В задачах сопротивления материалов и строительной механики внешняя нагрузка отличается большим разнообразием и обычно представляет собой группы сил. Выражение для работы группы постоянных сил также можно представить в виде произведения двух величин

, (2.2.1)
в котором множитель  зависит только от сил группы и называется обобщенной силой, а  зависит от перемещений и называется обобщенным перемещением.

Таким образом, под обобщенной силой будем понимать любую нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные пары, распределенную нагрузку), а под обобщенным перемещением — тот вид перемещения, на котором обобщенная сила производит работу.

Рассмотрим некоторые примеры часто встречающихся обобщенных сил и обобщенных перемещений.

1. На рис. 2.2.1 показана обобщенная сила, состоящая из двух равных по величине противоположных сил , приложенных в точках  и  и направленных по одной прямой. Предположим. Что точки приложения сил  и  переместились в направлении  на отрезки  и . Очевидно, работа системы постоянных сил на этих перемещениях

, (2.2.2)

где  - изменение расстояния  между точками приложения сил.

Рис. 2.2.

Следовательно,  в данном случае – обобщенная сила, а изменение  длины отрезка  - обобщенное перемещение.

2. Пусть группа сил состоит из двух пар сил, момент каждой из которых  (рис. 2.2.2). Допустим, что элемент  повернулся на угол , а элемент  на угол .

Рис. 2.2.

Легко убедиться, что обобщенной силой является момент пары , а обобщенным перемещением – изменение угла  между элементами  и :

Рассматривая достаточно жесткие конструкции, деформации которых следуют закону Гука, можно на основании принципа независимости действия сил определить полные перемещения точек как сумму перемещений, вызванных отдельными нагрузками.

Рис. 2.2.

Для показанной на рис. 2.2.3 балки прогиб и угол поворота сечения  можно записать в виде

(2.2.3)

где  - полное перемещение сечения  в направлении действия силы ;

- перемещение сечения  в направлении действия силы  от действия силы ;

- перемещение сечения  в направлении действия силы  от действия силы ;

- перемещение сечения  в направлении действия силы  от действия момента ;

- полное перемещение сечения  по направлению пары  (угол поворота).

- перемещение сечения  в направлении действия пары  от действия силы ;

- перемещение сечения  в направлении действия пары  от действия силы ;

- перемещение сечения  в направлении действия пары  от действия пары ;

Перемещение, вызванное единичной силой () или единичной парой (), будем обозначать буквой  и называть удельным. При этом условимся считать единичные силы и единичные пары, вызывающие перемещения , безразмерными.

Если единичная сила  вызвала удельное перемещение , то на основании принципа независимости действия сил полное перемещение, вызванное силой ,

(2.2.4)

Работа внешних сил.

При деформации конструкций происходит перемещение точек приложения внешних сил, при этом внешние силы на заданных перемещениях совершают работу.

Вычислим работу некоторой обобщенной силы  (рис. 2.2.4), которая возрастает от нуля до заданной величины достаточно медленно, чтобы можно было пренебречь силами инерции перемещаемых масс. Такую нагрузку принято называть статической.

Рис.2.2.

Пусть в произвольный момент деформации силе  соответствует обобщенное перемещение . Бесконечно малое приращение силы на величину  вызовет бесконечно малое приращение перемещения . Очевидно, что элементарная работа внешней силы, если пренебречь бесконечно малыми величинами второго порядка,

Полная работа, совершенная статически приложенной обобщенной силой , вызвавшей обобщенное перемещение ,

. (2.2.5)

Полученный интеграл представляет собой площадь диаграммы , которая для линейно деформированных систем является площадью треугольника с основанием окончательного значения перемещения  и высотой окончательного значения силы

(2.2.6)

Рис. 2.2.

Таким образом, действительная работа при статическом действии обобщенной силы на упругую систему равна половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение соответствующего ей обобщенного перемещения (теорема Клапейрона).

В случае статического действия на упругую систему нескольких обобщенных сил работа деформаций равна полусумме произведений окончательного значения каждой силы на окончательное значение соответствующего суммарного перемещения

(2.2.7)

и не зависит от порядка нагружения  системы.

Работа внутренних сил.

Внутренние силы, возникающие при деформировании упругих систем, также совершают работу.

Рассмотрим элемент стержня длиной  (рис. 2.2.6). В общем случае для плоского изгиба действие удаленных частей стержня на оставленный элемент выражается равнодействующими осевыми силами , поперечными силами  и изгибающими моментами . Эти усилия, показанные на рис 2.2.6 сплошными линиями, по отношению к выделенному элементу являются внешними.

Рис.2.2.

Внутренние силы, показанные штриховыми линиями, препятствуют деформации, вызываемой внешними силами, равны им по величине и обратны по направлению.

Вычислим работу, совершенную отдельно каждым внутренним силовым фактором.

Пусть элемент испытывает только действие осевых усилий, равномерно распределенных по сечению (рис. 2.2.6).

Рис. 2.2.

Удлинение элемента в результате этого

,

Работа, постепенно возрастающих от нуля до величины  внутренних сил на этом перемещении.

. (2.2.8)

Работа внутренних сил отрицательна, поэтому в полученной формуле стоит знак «минус».

Рассмотрим теперь элемент, находящийся под действием изгибающих моментов (рис. 2.2.8).

Взаимный угол поворота сечений элемента

.

Работа изгибающих моментов

. (2.2.9)

Рис. 2.2.

Работу постепенно возрастающих внутренних поперечных сил с учетом распределения касательных напряжений по поперечному сечению и на основании закона Гука можно записать в следующем виде

, (2.2.10)

где  - коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.

Если стержень подвергается кручению, элементарная работа постепенно возрастающих крутящих моментов

(2.2.11)

Наконец в общем случае действия на брус в сечениях имеем шесть внутренних силовых факторов, работу которых можно определить по формуле

(2.2.12)

Начало возможных перемещений

Начало возможных перемещений, являясь общим принципом механики, имеет важнейшее значение для теории упругих систем. Применительно к ним этот принцип можно сформулировать следующим образом: если система находится в равновесии под действием приложенной нагрузки, то сумма работ внешних и внутренних сил на возможных бесконечно малых перемещениях системы равна нулю.

, (2.2.13)

где  - внешние силы;  - возможные перемещения этих сил;  - работа внутренних сил.

Заметим, что в процессе совершения системой возможного перемещения величина и направление внешних и внутренних сил остаются неизменными. Поэтому при вычислении работ следует брать на половину, а полную величину произведения соответствующих сил и перемещений.

Рассмотрим два состояния какой-либо системы, находящейся в равновесии (рис. 2.2.9). В состоянии  система деформируется обобщенной силой  (рис. 2.2.9, а), в состоянии  - силой  (рис. 2.2.9, б).

Работа сил состояния  на перемещениях состояния , как и работа сил состояния  на перемещениях состояния , будет возможной.

(2.2.14)

Вычислим теперь возможную работу внутренних сил состояния  на перемещениях, вызванных нагрузкой состояния . Для этого рассмотрим произвольный элемент стержня длиной  в обоих случаях. Для плоского изгиба действие удаленных частей на элемент выражается системой усилий , ,  (рис. 2.2.10, а). Внутренние усилия имеют направления, противоположные внешним (показаны штриховыми линиями). На рис. 2.2.10, б показаны внешние усилия , , , действующие на элемент  в состоянии . Определим деформации, вызванные этими усилиями.

Очевидно удлинение элемента , вызванное силами

.

Работа внутренних осевых сил  на этом возможном перемещении

. (2.2.15)

Взаимный угол поворота граней элемента, вызванный парами ,

.

Работа внутренних изгибающих моментов  на этом перемещении

. (2.2.16)

Аналогично определяем работу поперечных сил  на перемещениях, вызванных силами

. (2.2.17)

Суммируя полученные работы, получаем возможную работу внутренних сил, приложенных к элементу  стержня, на перемещениях, вызванной другой, вполне произвольной нагрузкой, отмеченной индексом

(2.2.18)

Просуммировав элементарные работы в пределах стержня, получим полное значение возможной работы внутренних сил:

(2.2.19)

Применим начало возможных перемещений, суммируя работу внутренних и внешних сил на возможных перемещениях системы, и получим общее выражение начала возможных перемещений для плоской упругой стержневой системы:

(2.2.20)

Т. е., если упругая система находится в равновесии, то работа внешних и внутренних сил в состоянии  на возможных перемещениях, вызванных другой, вполне произвольной нагрузкой, отмеченной индексом , равна нулю.

Теоремы о взаимности работ и перемещений

Запишем выражения начала возможных перемещений для балки, показанной на рис. 2.2.9, приняв для состояния  в качестве возможных перемещения, вызванные состоянием , а для состояния  - перемещения, вызванные состоянием .

(2.2.21)

(2.2.22)

Так как выражения работ внутренних сил одинаковы, то очевидно, что

(2.2.23)

Полученное выражение носит название теоремы о взаимности работ (теоремы Бетти). Она формулируется следующим образом: возможная работа внешних (или внутренних) сил состояния  на перемещениях состояния  равна возможной работе внешних (или внутренних) сил состояния  на перемещениях состояния .

Применим теорему о взаимности работ к частному случаю нагружения, когда в обоих состояниях системы приложено по одной единичной обобщенной силе  и .

Рис. 2.2.11

На основании теоремы о взаимности работ получаем равенство

, (2.2.24)

которое носит название теоремы о взаимности перемещений (теоремы Максвелла). Формулируется она так: перемещение точки приложения первой силы по ее направлению, вызванное действием второй единичной силы, равно перемещению точки приложения второй силы по ее направлению, вызванному действием первой единичной силы.

Теоремы о взаимности работ и перемещений существенно упрощают решение многих задач при определении перемещений.

Пользуясь теоремой о взаимности работ, определим прогиб  балки посредине пролета при действии на опоре момента  (рис. 2.2.12, а).

Используем второе состояние балки – действие в точке 2 сосредоточенной силы . Угол поворота опорного сечения  определим из условия закрепления балки в точке В:

Рис. 2.2.12

Согласно теореме о взаимности работ

,

откуда

(2.2.25)


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

963. Разработка электропитающей установки 435.5 KB
  Выбор системы электропитания станционных устройств. Структурно-функциональный состав ЭПУ поста ЭЦ. Расчет преобразователя ппв-1 (полупроводниковый преобразователь выпрямитель). Расчет мощности рельсовых цепей и преобразовательных панелей ПП25-ЭЦК. Расчет вводной панели ПВ-ЭЦК, нагрузки на внешние сети переменного тока и выбор ДГА.
964. Разработка базы данных для книжного магазина 590 KB
  В магазине хранится огромное количество книг, услугами магазина пользуются довольно много людей. Для обеспечения оперативности ведения информации о книгах и клиентах необходима автоматизированная система, основанная на современной базе данных. Использование базы данных и автоматизированной системы для работы с базой данных существенно сократит время обслуживания клиентов и время работы с библиотекой по систематизации информации о книгах, по сбору информации о должниках и многие другие задачи.
965. Знакомство с предприятиями, специализирующихся на механической обработке древесины 177.5 KB
  ОАО Лесопильно - деревообрабатывающий комбинат №3. Завод клееной древесины ООО Кардинал. Архангельский фанерный завод. Новодвинская мебельная фабрика.
966. Разработка программы для гипотетического (иллюстрированного) микропроцессора 425 KB
  Задан массив из пяти элементов - целых положительных чисел. Необходимо написать программу для гипотетического (иллюстрированного) микропроцессора. Эта программа позволит выполнять различные манипуляции с элементами массива.
967. Изучение стандартных функций MS Excel, позволяющих автоматизировать процесс решения финансовых задач 873.5 KB
  Анализ предметной области финансовых задач. Описание средств электронной таблицы MS Excel для проведения экономических расчетов. Реализация технологии решения задачи с использованием электронного табличного процессора.
968. Определение с точностью площади криволинейной трапеции 585 KB
  Для поиска константы C будем пользоваться методом золотого сечения. Для определения площади криволинейной трапеции воспользуемся методом Симпсона. Для решения поставленного уравнения используем метод половинного деления.
969. Создание объектов разработанного класса (символьная строка) 323.5 KB
  Описание диаграммы классов. Блок-схема метода ExchangeWords. Динамический массив символов и операции над ним. Цикл while и оператор if. обработка строк стандартными функциями библиотеки string.
970. Проект реконструкции автомобильной дороги федерального значения 999 KB
  Характеристика основных условий реконструкции автомобильной дороги. Климатические параметры холодного периода года. Инженерно-геологические условия. Дорожно-строительные материалы. Обустройство дороги и безопасность движения. Расчет количества рабочих дней для устройства дорожной одежды. Строительство искусственных сооружений. Расчет транспортных средств на возведение земляного полотна.
971. Культура Індії 43 KB
  Індійська культура є однією з найстаріших і найрізноманітніших культур світу. Архітектура Індії в ісламський період. Важливий етап розвитку індійської музики. В індуїзмі, танці завжди відігравали важливу роль в побуті.