11133

Определение перемещений в упругих системах. Метод мора. Способ верещагина

Реферат

Математика и математический анализ

Определение перемещений в упругих системах. Метод мора. Способ верещагина. Метод Мора Рассмотрим произвольную плоскую стержневую систему нагруженную заданными силами рис. 2.3.1. Усилия в произвольном сечении обозначим через . Пусть требуется определить перемещени

Русский

2013-04-04

518 KB

66 чел.

Определение перемещений в упругих системах. Метод мора. Способ верещагина.


Метод Мора

Рассмотрим произвольную плоскую стержневую систему, нагруженную заданными силами  (рис. 2.3.1). Усилия в произвольном сечении обозначим через , , . Пусть требуется определить перемещение любой точки  системы по направлению .

Рис.2.3.

Введем вспомогательное состояние, представляющее собой заданную систему, нагруженную лишь одной единичной силой , приложенной в той же точке  и по тому же направлению, по которому надлежит разыскать перемещение . Усилия в произвольном сечении вспомогательного состояния, вызванные действием единичной силы , обозначим через , , .

Применим начало возможных перемещений для вспомогательного состояния, принимая в качестве возможных действительные перемещения заданной системы.

(2.3.1)

или

(2.3.2)

Полученное выражение является общей формулой для упругого перемещения плоской стержневой системы.

В общем действии сил формула для перемещения содержит шесть слагаемых:

(2.3.3)

Формулы (2.3.2) и (2.3.3) впервые были получены Мором. Определение перемещение по этим формулам часто называют методом Мора.

В большинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах и арках можно пренебречь влиянием продольных деформаций сдвига, учитывая лишь перемещения, которые вызываются изгибом и кручением. Тогда формула (2.3.2) для плоской системы принимает вид

. (2.3.4)

При пространственном нагружении, согласно (2.3.3),

(2.3.5)

Если рассчитываются шарнирные фермы, образованные прямыми стержнями, то в формуле Мора сохраняется только слагаемое, содержащее продольную силу:

(2.3.6)

Формула (2.3.6) носит название формулы Максвелла.

Рассмотрим пример определения перемещений по методу Мора. Пусть требуется определить прогиб посредине пролета и угол поворота на опоре шарнирно опертой балки постоянного поперечного сечения (рис 2.3.2, а), нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью . При определении перемещений придерживаются следующего порядка:

  1.  Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Определяя линейные перемещения, в заданном направлении прикладывают единичную силу, определяя угловые перемещения, - единичный момент.

В нашем случае, для определения прогиба посредине балки строим вспомогательную систему (рис. 2.3.2, б) с сосредоточенной силой , приложенной посредине балки, а для определения угла поворота опорного сечения - вспомогательную систему (рис. 2.3.2, в) с моментом , приложенным в опорном сечении.

Рис. 2.3.

  1.  Для каждого участка системы выписывают выражения силовых факторов в произвольном сечении заданной (, , ) и вспомогательной (, , ) систем.

В произвольном сечении первого участка балки:

В произвольном сечении второго участка

  1.  Вычисляют интегралы Мора (по участкам в пределах всей системы).

Прогиб посредине балки

Угол поворота опорного сечения

  1.  Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичной силы.

Поскольку  и  получились положительными, их направления соответствуют единичным нагрузкам.

Вычисление интегралов Мора по способу Верещагина.

Вычисление интегралов Мора существенно можно упростить, если одна из эпюр прямолинейна. Такое условие всегда выполняется для систем, состоящих из прямых брусьев, так как при этом от единичной нагрузки всегда ограничены прямыми линиями.

Вычислим интеграл  для случая, когда эпюра от заданной нагрузки имеет произвольное очертание, а от единичной нагрузки – прямолинейна (рис. 2.3.3).

Рис. 2.3.

Обозначим через  площадь эпюры ;  - ее центр тяжести,  - ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры . Очевидно, что  представляет собой дифференциал площади эпюры , а

.

Тогда искомый интеграл

. (2.3.7)

Интеграл в правой части равенства (2.3.7) представляет собой статический момент площади эпюры  относительно оси

,

где  - абсцисса центра тяжести эпюры .

С учетом того, что

получим

(2.3.8)

Следовательно, интеграл Мора равен произведению площади эпюры от внешней нагрузки на ординату прямолинейной эпюры от единичной нагрузки, расположенную под центром тяжести эпюры от заданной нагрузки.

Общая формула перемещений для систем из прямолинейных элементов принимает вид

(2.3.9)

Описанный графоаналитический способ вычисления интеграла Мора впервые был предложен студентом А. Н. Верещагиным и носит название способа Верещагина.

Вычисление интеграла Мора способом Верещагина проводят по участкам, на каждом из которых эпюра от единичной нагрузки должна быть прямолинейной (рис. 2.3.4).

Рис. 2.2.

Если эпюра  имеет сложный вид, то ее нужно разбить на простые фигуры (рис. 2.3.5), для которых легко определить площадь и положение центра тяжести. При этом каждую из площадей умножают на ординату единичной эпюры под центром тяжести соответствующей площади. Ординаты в этом случае удобно обозначать вместо  буквами .

Рис. 2.3.

Таким образом

(2.3.10)

При учете крутящих моментов в общем случае нагружения знаменатель формулы (2.3.9) в соответствующем члене содержит жесткость на кручение .

Если эпюры противоположны по знаку, то результат умножения эпюр имеет знак «минус».

Рис. 2.3.

Определим прогиб и угол поворота свободного конца консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой .

На рис. 2.2.6 показаны эпюры  от внешней нагрузки,  от единичной нагрузки , приложенной в месте определения прогиба,  от единичной нагрузки  приложенной в месте определения угла поворота сечения.

Площадь параболы под участком с распределенной нагрузкой

Центр тяжести этой площади находится на расстоянии  от начала распределенной нагрузки.

Ордината вспомогательной эпюры, расположенная под центром тяжести эпюры  от внешней нагрузки .

Прогиб свободного конца балки

Ордината вспомогательной эпюры

Угол поворота крайнего правого сечения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25556. Аристотель о душе и ее способностях 30.5 KB
  Форма – придает материи качественную определенность составляет сущность вещей. Материя не может быть бесформенной форма не может не иметь материальной основы. Душа – форма живой материи. Душа и тело связаны как материя и форма т.
25557. Неоплатонизм и томизм в философии и психологии Средневекового периода 30.5 KB
  Развитие мира – постоянное восхождение или нисхождение божественного Ступени: Божественное первоначало Божественный ум Божественная душа Природа По мере нисхождения верховного начала оно передается во множество умов и душ. Первично божественное материя – последняя стадия дробления первоначала Душа человека происходит из мировой души она нематериальна непространственна едина. Уровни или части души: Умопостигаемая душа Чувственная душа Тело Деятельность души функции Обращение к мировому разуму Обращение к чувственному миру и...
25558. Развитие средневековой психологии на востоке. Авиценна, Альгазен, Аверроэс 26.5 KB
  Авиценн согласен с Аристотелем в том что душа это форма тела и о трех способностях души растительной рост животной ощущения аффекты движения и разумной воображение память разум. Авиценн выделил чистые разумные акты независимые от тела. Причины выделения индивидуального разума – 1. чувства и разум разобщены самостоятельны по отношению друг к другу независимы.
25559. Психология в эпоху Возрождения: основные тенденции в развитии философо-психологических взглядов 27.5 KB
  Поскольку человек есть часть природы то и душа его есть лишь проявление природы. Стремления и удовольствия – требования природы человек должен их удовлетворять. Помпонацци 1462–1524 О бессмертии души Бог в делах природы участия не принимает. Человек есть результат развития природы причем у него как и у всего живого появляется психическое душевное названное термином дух захваченное из окружающей среды наиболее совершенное материальное вещество.
25560. Общие черты в развитии психологии Нового времени 26 KB
  : Рост производства Переход к капитализму Мануфактуры Тенденции характерные для философов: Отделение науки от религии: отказ от веры светский характер науки для того чтобы ускорить прогресс Источник познания: Сенсуализм родоначальник – Ф.Бэкон Источник познания – чувственный опыт. Источник познания – мышление разум. Способы научного познания: Индуктивный: от частногоопыта к общему правилу Дедуктивный: от общего теории к частному частным ситуациям Что первично: психика или телесный мир Сенсуализм: сначала...
25561. Ф. Бэкон и оформление эмпирического принципа в философии и психологии 41.5 KB
  Бэкон и оформление эмпирического принципа в философии и психологии Ф. Бэкон 1561 1626 английский философ историк политический деятель основоположник эмпиризма. Бэкон – родоначальник английского материализма и эмпирического направления в философии и психологии. Человек: Чувственная часть души проявляется в теле – занимается наука Разум божественный – занимается теология Суть основной философской идеи Френсиса Бэкона – эмпиризма – в том что в основе познания лежит исключительно опыт.
25562. Р. Декарт о «страстях души» 34 KB
  Декарт о страстях души Рене Декарт 15961650 лат. В трактате Страсти души 1649 представлена вся система философскопсихологических взглядов Декарта Картезианский дуализм: существует 2 субстанции: Протяженная телесная физика – материализм в учении Мыслящая духовная – метафизика – светский идеализм в учении осн. Страсти – тип или уровень деятельности который является продуктом взаимодействия тела и души. Состояния души кот.
25563. Детерминистическое учение Б. Спинозы о психике 31.5 KB
  Учение о единой субстанции ее атрибутах и модусах Стремился объяснить природу из самой себя. Ее сущность раскрывается в атрибутах Атрибуты – такие существенные и всеобщие аспекты субстанции которые ей не тождественны и по отношению к которой они вторичные и производные. конкретные фундаментальные свойства субстанции Человеку доступны только 2 атрибута: мышления и протяжения Кстати Декарт Модусы – частные состояния и видоизменения субстанции все многообразие мира различные явления и события По отношению к атрибуту протяжения каждый...
25564. Г. Лейбниц и его монадология 29 KB
  Монады – истинные атомы природы душеподобные единицы. Они просты неделимы вечны автономны не влияют друг на друга Свойства монад: Активность стремление Изначально заданное содержание врожденные представления Жизнь монады – стремление и переход от смутных представлений Перцепций к более ясным представлениям апперцепции Иерархия монад: Земные: Чистые монады есть активность нет представлений – неживая вечно движущаяся материя Монадыдуши смутные представления низкая степень стремления к ясности – растения животные...