11133

Определение перемещений в упругих системах. Метод мора. Способ верещагина

Реферат

Математика и математический анализ

Определение перемещений в упругих системах. Метод мора. Способ верещагина. Метод Мора Рассмотрим произвольную плоскую стержневую систему нагруженную заданными силами рис. 2.3.1. Усилия в произвольном сечении обозначим через . Пусть требуется определить перемещени

Русский

2013-04-04

518 KB

66 чел.

Определение перемещений в упругих системах. Метод мора. Способ верещагина.


Метод Мора

Рассмотрим произвольную плоскую стержневую систему, нагруженную заданными силами  (рис. 2.3.1). Усилия в произвольном сечении обозначим через , , . Пусть требуется определить перемещение любой точки  системы по направлению .

Рис.2.3.

Введем вспомогательное состояние, представляющее собой заданную систему, нагруженную лишь одной единичной силой , приложенной в той же точке  и по тому же направлению, по которому надлежит разыскать перемещение . Усилия в произвольном сечении вспомогательного состояния, вызванные действием единичной силы , обозначим через , , .

Применим начало возможных перемещений для вспомогательного состояния, принимая в качестве возможных действительные перемещения заданной системы.

(2.3.1)

или

(2.3.2)

Полученное выражение является общей формулой для упругого перемещения плоской стержневой системы.

В общем действии сил формула для перемещения содержит шесть слагаемых:

(2.3.3)

Формулы (2.3.2) и (2.3.3) впервые были получены Мором. Определение перемещение по этим формулам часто называют методом Мора.

В большинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах и арках можно пренебречь влиянием продольных деформаций сдвига, учитывая лишь перемещения, которые вызываются изгибом и кручением. Тогда формула (2.3.2) для плоской системы принимает вид

. (2.3.4)

При пространственном нагружении, согласно (2.3.3),

(2.3.5)

Если рассчитываются шарнирные фермы, образованные прямыми стержнями, то в формуле Мора сохраняется только слагаемое, содержащее продольную силу:

(2.3.6)

Формула (2.3.6) носит название формулы Максвелла.

Рассмотрим пример определения перемещений по методу Мора. Пусть требуется определить прогиб посредине пролета и угол поворота на опоре шарнирно опертой балки постоянного поперечного сечения (рис 2.3.2, а), нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью . При определении перемещений придерживаются следующего порядка:

  1.  Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Определяя линейные перемещения, в заданном направлении прикладывают единичную силу, определяя угловые перемещения, - единичный момент.

В нашем случае, для определения прогиба посредине балки строим вспомогательную систему (рис. 2.3.2, б) с сосредоточенной силой , приложенной посредине балки, а для определения угла поворота опорного сечения - вспомогательную систему (рис. 2.3.2, в) с моментом , приложенным в опорном сечении.

Рис. 2.3.

  1.  Для каждого участка системы выписывают выражения силовых факторов в произвольном сечении заданной (, , ) и вспомогательной (, , ) систем.

В произвольном сечении первого участка балки:

В произвольном сечении второго участка

  1.  Вычисляют интегралы Мора (по участкам в пределах всей системы).

Прогиб посредине балки

Угол поворота опорного сечения

  1.  Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичной силы.

Поскольку  и  получились положительными, их направления соответствуют единичным нагрузкам.

Вычисление интегралов Мора по способу Верещагина.

Вычисление интегралов Мора существенно можно упростить, если одна из эпюр прямолинейна. Такое условие всегда выполняется для систем, состоящих из прямых брусьев, так как при этом от единичной нагрузки всегда ограничены прямыми линиями.

Вычислим интеграл  для случая, когда эпюра от заданной нагрузки имеет произвольное очертание, а от единичной нагрузки – прямолинейна (рис. 2.3.3).

Рис. 2.3.

Обозначим через  площадь эпюры ;  - ее центр тяжести,  - ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры . Очевидно, что  представляет собой дифференциал площади эпюры , а

.

Тогда искомый интеграл

. (2.3.7)

Интеграл в правой части равенства (2.3.7) представляет собой статический момент площади эпюры  относительно оси

,

где  - абсцисса центра тяжести эпюры .

С учетом того, что

получим

(2.3.8)

Следовательно, интеграл Мора равен произведению площади эпюры от внешней нагрузки на ординату прямолинейной эпюры от единичной нагрузки, расположенную под центром тяжести эпюры от заданной нагрузки.

Общая формула перемещений для систем из прямолинейных элементов принимает вид

(2.3.9)

Описанный графоаналитический способ вычисления интеграла Мора впервые был предложен студентом А. Н. Верещагиным и носит название способа Верещагина.

Вычисление интеграла Мора способом Верещагина проводят по участкам, на каждом из которых эпюра от единичной нагрузки должна быть прямолинейной (рис. 2.3.4).

Рис. 2.2.

Если эпюра  имеет сложный вид, то ее нужно разбить на простые фигуры (рис. 2.3.5), для которых легко определить площадь и положение центра тяжести. При этом каждую из площадей умножают на ординату единичной эпюры под центром тяжести соответствующей площади. Ординаты в этом случае удобно обозначать вместо  буквами .

Рис. 2.3.

Таким образом

(2.3.10)

При учете крутящих моментов в общем случае нагружения знаменатель формулы (2.3.9) в соответствующем члене содержит жесткость на кручение .

Если эпюры противоположны по знаку, то результат умножения эпюр имеет знак «минус».

Рис. 2.3.

Определим прогиб и угол поворота свободного конца консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой .

На рис. 2.2.6 показаны эпюры  от внешней нагрузки,  от единичной нагрузки , приложенной в месте определения прогиба,  от единичной нагрузки  приложенной в месте определения угла поворота сечения.

Площадь параболы под участком с распределенной нагрузкой

Центр тяжести этой площади находится на расстоянии  от начала распределенной нагрузки.

Ордината вспомогательной эпюры, расположенная под центром тяжести эпюры  от внешней нагрузки .

Прогиб свободного конца балки

Ордината вспомогательной эпюры

Угол поворота крайнего правого сечения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62772. Морфология. Местоимение. Относительные местоимения 22.5 KB
  Цель урока: сформировать понятие об относительных местоимениях знания об их основных морфологических и синтаксических особенностях. 2 Вступительная беседа Сегодня мы познакомимся с относительными местоимениями особенностями их склонения.
62773. МЯГКИЙ ЗНАК ПОКАЗАТЕЛЬ МЯГКОСТИ СОГЛАСНЫХ НА КОНЦЕ И В СЕРЕДИНЕ СЛОВА 14.84 KB
  Цели урока: наблюдение над мягким знаком-показателем мягкости согласных, его особенностями, развитие умения различать в речи и писать слова с мягким знаком для обозначения мягкости согласных на конце и в середине слова...
62774. Правописание проверяемых и непроверяемых непроизносимых согласных, безударных гласных и парных согласных в корне слова 31.08 KB
  Цели: обучающая: учащиеся должны уметь называть орфограмму Проверяемые и непроверяемые непроизносимые согласные Безударные гласные Парные согласные в корне слова и находить их; учащиеся должны уметь называть орфограммы; уметь самостоятельно подбирать проверочные слова.
62776. Причастный оборот 26.97 KB
  Цель урока: закрепление понятия о причастном обороте, его роли в предложении, знакомство с правилами выделения причастного оборота запятыми.
62777. Перенос слов 15.6 KB
  Совершенствование умения выполнять звуко-буквенный анализ слова 3. Развитие умения слышать и видеть в словах опасные места орфограмму. Назовите буквы алфавита с которых не начинаются слова Мягкий знак твердый знак ы.
62778. Правила переноса слов 14.71 KB
  Актуализация изученного Прочитайте слова на доске Сосна ванна майка объявил Объясните орфограммы объясняют О ком эта загадка читает загадку о собаке Это о собаке Напишу слово собака на строке продолжает запись.
62779. Второстепенные члены предложения. Обстоятельства и дополнения 23.58 KB
  Давайте запишем это слово проговаривая его по слогам а говори вслух. Давайте придумаем предложение с этим словом. Дети говорят свои варианты У: Давайте запишем такие предложения...
62780. Главные члены двусоставного предложения. Подлежащее 16.34 KB
  Целеполагание. Определяют учащиеся, опираясь на тему урока. Работа со словарным словом: рябина. Устная проверка домашнего задания. Прочесть вслух 2–3 сочинения-описания архитектурного памятника по желанию учащихся.