11133

Определение перемещений в упругих системах. Метод мора. Способ верещагина

Реферат

Математика и математический анализ

Определение перемещений в упругих системах. Метод мора. Способ верещагина. Метод Мора Рассмотрим произвольную плоскую стержневую систему нагруженную заданными силами рис. 2.3.1. Усилия в произвольном сечении обозначим через . Пусть требуется определить перемещени

Русский

2013-04-04

518 KB

69 чел.

Определение перемещений в упругих системах. Метод мора. Способ верещагина.


Метод Мора

Рассмотрим произвольную плоскую стержневую систему, нагруженную заданными силами  (рис. 2.3.1). Усилия в произвольном сечении обозначим через , , . Пусть требуется определить перемещение любой точки  системы по направлению .

Рис.2.3.

Введем вспомогательное состояние, представляющее собой заданную систему, нагруженную лишь одной единичной силой , приложенной в той же точке  и по тому же направлению, по которому надлежит разыскать перемещение . Усилия в произвольном сечении вспомогательного состояния, вызванные действием единичной силы , обозначим через , , .

Применим начало возможных перемещений для вспомогательного состояния, принимая в качестве возможных действительные перемещения заданной системы.

(2.3.1)

или

(2.3.2)

Полученное выражение является общей формулой для упругого перемещения плоской стержневой системы.

В общем действии сил формула для перемещения содержит шесть слагаемых:

(2.3.3)

Формулы (2.3.2) и (2.3.3) впервые были получены Мором. Определение перемещение по этим формулам часто называют методом Мора.

В большинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах и арках можно пренебречь влиянием продольных деформаций сдвига, учитывая лишь перемещения, которые вызываются изгибом и кручением. Тогда формула (2.3.2) для плоской системы принимает вид

. (2.3.4)

При пространственном нагружении, согласно (2.3.3),

(2.3.5)

Если рассчитываются шарнирные фермы, образованные прямыми стержнями, то в формуле Мора сохраняется только слагаемое, содержащее продольную силу:

(2.3.6)

Формула (2.3.6) носит название формулы Максвелла.

Рассмотрим пример определения перемещений по методу Мора. Пусть требуется определить прогиб посредине пролета и угол поворота на опоре шарнирно опертой балки постоянного поперечного сечения (рис 2.3.2, а), нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью . При определении перемещений придерживаются следующего порядка:

  1.  Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Определяя линейные перемещения, в заданном направлении прикладывают единичную силу, определяя угловые перемещения, - единичный момент.

В нашем случае, для определения прогиба посредине балки строим вспомогательную систему (рис. 2.3.2, б) с сосредоточенной силой , приложенной посредине балки, а для определения угла поворота опорного сечения - вспомогательную систему (рис. 2.3.2, в) с моментом , приложенным в опорном сечении.

Рис. 2.3.

  1.  Для каждого участка системы выписывают выражения силовых факторов в произвольном сечении заданной (, , ) и вспомогательной (, , ) систем.

В произвольном сечении первого участка балки:

В произвольном сечении второго участка

  1.  Вычисляют интегралы Мора (по участкам в пределах всей системы).

Прогиб посредине балки

Угол поворота опорного сечения

  1.  Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичной силы.

Поскольку  и  получились положительными, их направления соответствуют единичным нагрузкам.

Вычисление интегралов Мора по способу Верещагина.

Вычисление интегралов Мора существенно можно упростить, если одна из эпюр прямолинейна. Такое условие всегда выполняется для систем, состоящих из прямых брусьев, так как при этом от единичной нагрузки всегда ограничены прямыми линиями.

Вычислим интеграл  для случая, когда эпюра от заданной нагрузки имеет произвольное очертание, а от единичной нагрузки – прямолинейна (рис. 2.3.3).

Рис. 2.3.

Обозначим через  площадь эпюры ;  - ее центр тяжести,  - ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры . Очевидно, что  представляет собой дифференциал площади эпюры , а

.

Тогда искомый интеграл

. (2.3.7)

Интеграл в правой части равенства (2.3.7) представляет собой статический момент площади эпюры  относительно оси

,

где  - абсцисса центра тяжести эпюры .

С учетом того, что

получим

(2.3.8)

Следовательно, интеграл Мора равен произведению площади эпюры от внешней нагрузки на ординату прямолинейной эпюры от единичной нагрузки, расположенную под центром тяжести эпюры от заданной нагрузки.

Общая формула перемещений для систем из прямолинейных элементов принимает вид

(2.3.9)

Описанный графоаналитический способ вычисления интеграла Мора впервые был предложен студентом А. Н. Верещагиным и носит название способа Верещагина.

Вычисление интеграла Мора способом Верещагина проводят по участкам, на каждом из которых эпюра от единичной нагрузки должна быть прямолинейной (рис. 2.3.4).

Рис. 2.2.

Если эпюра  имеет сложный вид, то ее нужно разбить на простые фигуры (рис. 2.3.5), для которых легко определить площадь и положение центра тяжести. При этом каждую из площадей умножают на ординату единичной эпюры под центром тяжести соответствующей площади. Ординаты в этом случае удобно обозначать вместо  буквами .

Рис. 2.3.

Таким образом

(2.3.10)

При учете крутящих моментов в общем случае нагружения знаменатель формулы (2.3.9) в соответствующем члене содержит жесткость на кручение .

Если эпюры противоположны по знаку, то результат умножения эпюр имеет знак «минус».

Рис. 2.3.

Определим прогиб и угол поворота свободного конца консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой .

На рис. 2.2.6 показаны эпюры  от внешней нагрузки,  от единичной нагрузки , приложенной в месте определения прогиба,  от единичной нагрузки  приложенной в месте определения угла поворота сечения.

Площадь параболы под участком с распределенной нагрузкой

Центр тяжести этой площади находится на расстоянии  от начала распределенной нагрузки.

Ордината вспомогательной эпюры, расположенная под центром тяжести эпюры  от внешней нагрузки .

Прогиб свободного конца балки

Ордината вспомогательной эпюры

Угол поворота крайнего правого сечения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

74833. Моление Даниила Заточника: своеобразие памятника, его обличительный пафос, антибоярская и антиклерикальная направленность 16.22 KB
  Моление Даниила Заточника адресовано князю Ярославу Всеволодовичу Переяславскому княжившему с 1213 по 1236 г. Сам же Даниил выступает сторонником сохранения холопства. Бояр Даниил относит к злым господам которые попирают человеческое достоинство своих слуг.
74834. Повести о татарском нашествии. «Повесть о битве на реке Калке» (1223 г.), «Повесть о приходе Батыя на Рязань» (1237 г.) – воинские повести 20.59 KB
  Повесть о битве на реке Калке. Первое столкновение русских войск с кочевниками произошло в 1223 г. на реке Калке (Кальмиус). Летописная повесть об этой битве дошла до нас в двух редакциях. Повесть обстоятельно излагает ход событий. Весть о появлении языка незнаемого (неизвестного народа) принесли в Киев половцы, с которыми первыми столкнулись отряды степных кочевников, шедшие с Кавказа под руководством нойонов (воевод) Чингиза Джебе и Сабутэ
74835. Слово о погибели Русской земли. Гражданский патриотический пафос памятника. Народно-поэтическая стилистика 16.22 KB
  Событиями монголотатарского нашествия очевидно порождено и такое выдающееся поэтическое произведение как Слово о погибели Русской земли впервые обнаруженное только в конце 70х годов прошлого века К. Слово о погибели Русской земли исполнено высокого гражданского патриотического звучания. В центре образ Русской земли светлосветлой и украсноукрашеной.
74836. Житие Александра Невского. Идея защиты родины. Образ Александра Невского – полководца и государственного деятеля 17.73 KB
  Образ Александра Невского – полководца и государственного деятеля. Житие Александра Невского написанное вскоре после смерти князя ум. Основу жития Александра Невского составляют две воинские повести о битве на Неве и на Чудском озере.
74837. Летописные повести о Куликовской битве: «Задонщина», «Сказание о Мамаевом побоище», общность идейной направленности повестей 18.15 KB
  Большинством исследователей это объясняется зависимостью Сказания. Текстуальные же совпадения между пространной летописной повестью и Сказанием ο Мамаевом побоище столь малочисленны и имеют такой характер что у нас отнюдь не меньше оснований предполагать обратную зависимость а именно зависимость пространной летописной повести от Сказания. Стремясь нарисовать идеальный образ великого князя московского автор Сказания. Для того чтобы подчеркнуть силу и общерусское значение великого князя московского автор Сказания.
74838. Житие Сергия Радонежского. Общая характеристика агиографического творчества Пахомия Лагофета 16.33 KB
  Епифаний создал Житие Сергия Радонежского. Епифаний хорошо передает факты биографии Сергия с лирической теплотой говорит о его деятельности связанной с борьбой против ненавистной розни за укрепление централизованного Русского государства. О роли Сергия Радонежского и Стефана Пермского в политическом и нравственном возрождении Русской земли говорил В.
74839. Повесть о взятии Царьграда Нестора – Искандера. Историко-философское осмысление событий в повести 15.23 KB
  Повесть содержит описание истории Константинополя с момента его основания, но особенно подробно рассказывается об осаде византийской столицы турками и ее взятии. Хотя в “Повести” содержится немало достоверных сведений, в целом она все же чисто литературное произведение, а не документальная хроника. Некоторые эффектные сюжетные коллизии оказываются вымыслом: так, в Константинополе во время осады не было патриарха
74840. Хождение за три моря тверского купца Афанасия Никитина 17.94 KB
  Хождение за три моря Афанасия Никитина. является Хождение за три моря тверского купца Афанасия Никитина помещенное под 1475 г. Да станет Русская земля благоустроенной и да будет в ней справедливость Православная вера является для Никитина символом родины.
74841. Памятник Муромо-Рязанской литературы – «Повесть о Петре и Февронии» Поэтичность, демократизм повести. Образ крестьянки Февронии 17.58 KB
  Герои повести — исторические лица: Петр и Феврония княжили в Муроме в начале XIII века, они умерли в 1228 г. Однако в повести историчны только имена, вокруг которых был создан ряд народных легенд, составивших основу сюжета повести. Как указывает М. О. Скрипиль, в повести объединены два народнопоэтических сюжета: волшебной сказки об огненном змее и сказки о мудрой деве.