11133

Определение перемещений в упругих системах. Метод мора. Способ верещагина

Реферат

Математика и математический анализ

Определение перемещений в упругих системах. Метод мора. Способ верещагина. Метод Мора Рассмотрим произвольную плоскую стержневую систему нагруженную заданными силами рис. 2.3.1. Усилия в произвольном сечении обозначим через . Пусть требуется определить перемещени

Русский

2013-04-04

518 KB

68 чел.

Определение перемещений в упругих системах. Метод мора. Способ верещагина.


Метод Мора

Рассмотрим произвольную плоскую стержневую систему, нагруженную заданными силами  (рис. 2.3.1). Усилия в произвольном сечении обозначим через , , . Пусть требуется определить перемещение любой точки  системы по направлению .

Рис.2.3.

Введем вспомогательное состояние, представляющее собой заданную систему, нагруженную лишь одной единичной силой , приложенной в той же точке  и по тому же направлению, по которому надлежит разыскать перемещение . Усилия в произвольном сечении вспомогательного состояния, вызванные действием единичной силы , обозначим через , , .

Применим начало возможных перемещений для вспомогательного состояния, принимая в качестве возможных действительные перемещения заданной системы.

(2.3.1)

или

(2.3.2)

Полученное выражение является общей формулой для упругого перемещения плоской стержневой системы.

В общем действии сил формула для перемещения содержит шесть слагаемых:

(2.3.3)

Формулы (2.3.2) и (2.3.3) впервые были получены Мором. Определение перемещение по этим формулам часто называют методом Мора.

В большинстве случаев при определении перемещений в балках, рамах и арках можно пренебречь влиянием продольных деформаций сдвига, учитывая лишь перемещения, которые вызываются изгибом и кручением. Тогда формула (2.3.2) для плоской системы принимает вид

. (2.3.4)

При пространственном нагружении, согласно (2.3.3),

(2.3.5)

Если рассчитываются шарнирные фермы, образованные прямыми стержнями, то в формуле Мора сохраняется только слагаемое, содержащее продольную силу:

(2.3.6)

Формула (2.3.6) носит название формулы Максвелла.

Рассмотрим пример определения перемещений по методу Мора. Пусть требуется определить прогиб посредине пролета и угол поворота на опоре шарнирно опертой балки постоянного поперечного сечения (рис 2.3.2, а), нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью . При определении перемещений придерживаются следующего порядка:

  1.  Строят вспомогательную систему, которую нагружают единичной нагрузкой в точке, где требуется определить перемещение. Определяя линейные перемещения, в заданном направлении прикладывают единичную силу, определяя угловые перемещения, - единичный момент.

В нашем случае, для определения прогиба посредине балки строим вспомогательную систему (рис. 2.3.2, б) с сосредоточенной силой , приложенной посредине балки, а для определения угла поворота опорного сечения - вспомогательную систему (рис. 2.3.2, в) с моментом , приложенным в опорном сечении.

Рис. 2.3.

  1.  Для каждого участка системы выписывают выражения силовых факторов в произвольном сечении заданной (, , ) и вспомогательной (, , ) систем.

В произвольном сечении первого участка балки:

В произвольном сечении второго участка

  1.  Вычисляют интегралы Мора (по участкам в пределах всей системы).

Прогиб посредине балки

Угол поворота опорного сечения

  1.  Если вычисленное перемещение имеет положительный знак, то это означает, что его направление совпадает с направлением единичной силы. Отрицательный знак указывает на то, что действительное направление искомого перемещения противоположно направлению единичной силы.

Поскольку  и  получились положительными, их направления соответствуют единичным нагрузкам.

Вычисление интегралов Мора по способу Верещагина.

Вычисление интегралов Мора существенно можно упростить, если одна из эпюр прямолинейна. Такое условие всегда выполняется для систем, состоящих из прямых брусьев, так как при этом от единичной нагрузки всегда ограничены прямыми линиями.

Вычислим интеграл  для случая, когда эпюра от заданной нагрузки имеет произвольное очертание, а от единичной нагрузки – прямолинейна (рис. 2.3.3).

Рис. 2.3.

Обозначим через  площадь эпюры ;  - ее центр тяжести,  - ордината эпюры от единичной нагрузки под центром тяжести эпюры . Очевидно, что  представляет собой дифференциал площади эпюры , а

.

Тогда искомый интеграл

. (2.3.7)

Интеграл в правой части равенства (2.3.7) представляет собой статический момент площади эпюры  относительно оси

,

где  - абсцисса центра тяжести эпюры .

С учетом того, что

получим

(2.3.8)

Следовательно, интеграл Мора равен произведению площади эпюры от внешней нагрузки на ординату прямолинейной эпюры от единичной нагрузки, расположенную под центром тяжести эпюры от заданной нагрузки.

Общая формула перемещений для систем из прямолинейных элементов принимает вид

(2.3.9)

Описанный графоаналитический способ вычисления интеграла Мора впервые был предложен студентом А. Н. Верещагиным и носит название способа Верещагина.

Вычисление интеграла Мора способом Верещагина проводят по участкам, на каждом из которых эпюра от единичной нагрузки должна быть прямолинейной (рис. 2.3.4).

Рис. 2.2.

Если эпюра  имеет сложный вид, то ее нужно разбить на простые фигуры (рис. 2.3.5), для которых легко определить площадь и положение центра тяжести. При этом каждую из площадей умножают на ординату единичной эпюры под центром тяжести соответствующей площади. Ординаты в этом случае удобно обозначать вместо  буквами .

Рис. 2.3.

Таким образом

(2.3.10)

При учете крутящих моментов в общем случае нагружения знаменатель формулы (2.3.9) в соответствующем члене содержит жесткость на кручение .

Если эпюры противоположны по знаку, то результат умножения эпюр имеет знак «минус».

Рис. 2.3.

Определим прогиб и угол поворота свободного конца консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой .

На рис. 2.2.6 показаны эпюры  от внешней нагрузки,  от единичной нагрузки , приложенной в месте определения прогиба,  от единичной нагрузки  приложенной в месте определения угла поворота сечения.

Площадь параболы под участком с распределенной нагрузкой

Центр тяжести этой площади находится на расстоянии  от начала распределенной нагрузки.

Ордината вспомогательной эпюры, расположенная под центром тяжести эпюры  от внешней нагрузки .

Прогиб свободного конца балки

Ордината вспомогательной эпюры

Угол поворота крайнего правого сечения


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84515. Механізми утворення слини, первинна та вторинна слина 41.82 KB
  В дольках ацинусах слинних залоз утворюється первинний секрет який є ізотонічним однаковим за йонним складом по відношенню до плазми крові і містить ферменти що секретуються ацинарними клітинами. Секреторний цикл – це послідовна зміна станів секреторних клітин які виділяють ферменти та слиз. Для клітин які виділяють ферменти можна визначити такі фази секреторного циклу: 1.
84516. Регуляція слинновиділення. Вплив властивостей подразника на кількість і якість слини 43.06 KB
  Слиновиділення має нервову та гуморальну регуляцію проте основну роль у регуляції виконує нервова система. Слиновиділення знаходиться під контролем як симпатичної так і парасимпатичної нервових систем. Індукують слиновиділення секреторні центри довгастого мозку аферентні активуючі імпульси до якого надходять від рецепторів язика ротової порожнини та піднебіння смакові та тактильні від носової порожнини нюхові рецептори та від вищих відділів мозку думка про їжу. Від всіх цих рецепторів інформація про характер їжі надходить до...
84517. Методи дослідження секреторної функції шлунку у людини. Склад і властивості шлункового соку. Механізми секреції хлористоводневої кислоти 43.63 KB
  На тваринах секреторну функцію шлунка досліджують такими методами: 1. Свищ fistul шлунка – трубка що вставляється в порожнину шлунка. Свищ шлунка можна комбінувати з езофаготомією операцією по вирізанню стравоходу. Добутий таким чином шлунковий сік відноситься до того який виділяється під час 1ої фази шлункової секреції бо їжа не подразнила слизову оболонку шлунка тому в даному соці буде менше ферментів і більше електролітів.
84518. Склад і властивості шлункового соку 45.22 KB
  Значення радіального градієнту заключається в тому що чим ближче до стінки тим pH нижчий висока кислотність а чим ближче до центру шлунка тим він вищий низька кислотність. Активуються вони тільки в порожнині шлунка за рахунок соляної кислоти. Ферменти виділяють залози всіх відділів шлунка. Соляна кислота що являється одним із найважливіших компонентів шлункового соку виділяється парієтальними клітинами яких багато в залозах тіла та дна шлунка та мало в залозах пілоричного відділу шлунка.
84519. Складно-рефлекторна (цефалічна) фаза регуляції шлункової секреції 42.2 KB
  Кількість та склад шлункового соку змінюється особливо після вживання їжі. В значній мірі кількість та склад соку залежить від характеру подразника кількість та склад їжі. Натще секретується невелика кількість шлункового соку до 10 мл на годину. Після прийому їжі виділення шлункового соку значно збільшується росте його кислотність та вміст ферментів.
84520. Нейро-гуморальна (шлункова і кишкова) фаза регуляції шлункової секреції. Ентеральні стимулятори і інґібітори шлункової секреції 43.73 KB
  Ентеральні стимулятори і інґібітори шлункової секреції. Хімічна стимуляція секреції здійснюється посередництвом гастрину що виділяється Gклітинами. Основні стимулятори секреції гастрину – продукти переварювання білків – пептиди олігопептиди амінокислоти – особливо триптофан і фенілаланін а також кальцій магній алклголь та кофеїн.
84521. Рухова функція шлунку та її регуляція. Механізми переходу хімуса із шлунку в дванадцятипалу кишку 41.86 KB
  Механізми переходу хімуса із шлунку в дванадцятипалу кишку. В регуляції моторики шлунку беруть участь нервові та гуморальні механізми. Деякі м’язові клітини внутрішнього шару м’язової оболонки шлунку мають пейсмейкерну активність тобто періодично генерують ПД – з частотою 32 на секунду що спричиняє періодичне підвищення внутрішньошлункового тиску.
84522. Методи дослідження зовнішньосекреторної функції підшлункової залози у людини. Склад і властивості підшлункового соку 44.04 KB
  Основні аніони підшлункового соку – Cl- та HCO3- , катіони – Na+ та K+. На відміну від слини, сік ізотонічний плазмі крові незалежно від ступеня стимуляції. Концентрація катіонів при стимуляції лишається сталою, аніонів – змінюється в протилежному напрямку. Карбонат утворюється в ацинусах у більш високій концентрації, а при проходженні через протоки частково обмінюється на хлор
84523. Фази регуляції секреторної функції підшлункової залози 44.07 KB
  Секреція підшлункового соку під час цієї фази пов’язана з реалізацією складнорефлекторних механізмів регуляції тобто умовних рефлексів вигляд запах їжі і з реалізацією безумовних рефлексів подразнення їжею рецепторів ротової порожнини.Об’єм соку невеликий 20 від загального об’єму соку який виділяється при їді; 3.Сік містить багато ферментів і має високу перетравлюючу силу. Він викликає виділення великої кількості підшлункового соку багатого бікарбонатами але бідного на ферменти так як основна його дія спрямована на протокові...