11139

Продольный изгиб

Реферат

Математика и математический анализ

Продольный изгиб. Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие До 2й половины 19 века единственным критерием прочности инженерных сооружений принималась величина действующих напряжений т. е. считалось что если напряжения не превосходят некоторого предела зависяще

Русский

2013-04-05

1.33 MB

31 чел.

Продольный изгиб.


Устойчивое и неустойчивое упругое равновесие

До 2-й половины 19 века единственным критерием прочности инженерных сооружений принималась величина действующих напряжений, т. е. считалось, что если напряжения не превосходят некоторого предела, зависящего от механических свойств материала, то сооружению не грозит опасность. С появлением конструкций, в состав которых входят длинные сжатые стержни, последовал ряд аварий, заставивших пересмотреть укоренившуюся точку зрения. Оказалось, что они произошли вследствие недостаточной устойчивости конструкции. Так, например, в результате потери устойчивости под воздействием порывов ветра в 1940 г. в США рухнул Такомский висячий мост (рис 2.9.1). Тогда погибли 250 человек.

Рис. 2.9.

Физическим признаком устойчивости или неустойчивости формы равновесия служит поведение нагруженной упругой системы при её отклонении от рассматриваемого положения равновесия на некоторую малую величину. Если система, отклоненная от положения равновесия, возвращается в первоначальное положение после устранения причины, вызвавшей отклонение, то равновесие устойчиво. Если отклонение не исчезает, а продолжает расти, то равновесие неустойчиво. Нагрузка, при которой устойчивое равновесие переходит в неустойчивое, называется критической нагрузкой, а состояние системы – критическим состоянием.

Эти три формы равновесия можно проиллюстрировать примером из механики твердого тела (рис. 2.9.2). Будем вкатывать цилиндр на наклонную плоскость ab, которая потом переходит в короткую горизонтальную площадку bc и наклонную плоскость обратного направления cd.

Рис. 2.9.

Пока мы поднимаем цилиндр по плоскости ab, поддерживая его при помощи упора, цилиндр будет находиться в состоянии устойчивого равновесия. При малых отклонениях цилиндра от положения 1, он будет стремиться вернуться в первоначальное положение. Стоит нам поместить цилиндр в точку С (положение 2), как его равновесие станет неустойчивым – при малейшем отклонении вправо цилиндр начнет двигаться вниз (положение 3); отклонение не исчезает, а продолжает расти.

Между устойчивым  и неустойчивым равновесием существует переходное состояние – безразличное (площадка bc). При любом малом отклонении от равновесного состояния 4 цилиндр принимает новое равновесное состояние 5.

Опасность потери устойчивости наглядно можно представить на примере продольного сжатия деревянной линейки. При приложении определенной осевой сжимающей нагрузки, которая при расчете на чистое сжатие не должна привести к разрушению, в действительности происходит разрушение линейки. Причиной разрушения линейки стало то, что при определенной нагрузке линейка потеряла возможность сохранять прямолинейную форму и искривилась, что вызвало появление в поперечном сечении изгибающих моментов, и как следствие, добавочные напряжения от изгиба; линейка потеряла устойчивость.

Поэтому для надежной конструкции мало выполнения рассмотренных ранее условий прочности; так же необходимо, что бы все ее элементы были устойчивы.

Ознакомимся с условиями, при которых устойчивость прямолинейной формы сжатого стержня нарушается. Для этого возьмем достаточно длинный по сравнению с его поперечными сечениями стержень, шарнирно прикрепленный к опорам (рис. 2.9.3, а) и нагрузим его центральной осевой силой Р.

Рис. 2.9.

При попытках отклонить стержень в сторону, например, кратковременным приложением поперечной силы (рис.2.9.3, б), он после удаления добавочной силы будет возвращаться к первоначальной прямолинейной форме (рис.2.9.3, в).

При возрастании силы Р стержень все медленней будет возвращаться к первоначальной прямолинейной форме.

Рис. 2.9.

При некотором значении нагрузки Ркр, называемом критическим, стержень после небольшого отклонения его в сторону (рис.2.9.4, б) уже не выпрямиться, а сохранит вновь приданную форму (рис. 2.9.4, в).

Таким образом, при критическом значении сжимающей силы стержень будет находиться в безразличном состоянии.

Превышение критической силы, очевидно, произведет к неустойчивому равновесию прямолинейной формы.

Потерю устойчивости прямолинейной формы сжатого стержня иногда называют «продольным изгибом», так как она влечет за собой значительное искривление стержня под действием продольных сил. Для проверки на устойчивость до сих пор сохранился термин «проверка на продольный изгиб», но здесь речь идет не о проверке на изгиб, а о проверке на устойчивость прямолинейной формы стержня.

Формула Эйлера.

Впервые проблема устойчивости сжатых стержней была поставлена и решена академиком Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером в 1744 году. Научные интересы Эйлера относились ко всем основным областям естествознания, к которым можно было применить математические методы. Он впервые ввел понятие сил инерции, дал вывод формулы для критической нагрузки сжатого стержня. Труды Эйлера оказали большое влияние на развитие математики и механики второй половины XVIII и начала XIX века.

Рис. 2.9. Леонард Эйлер (1707-1783)

Идея метода Эйлера при решении вопросов устойчивости сжатого стержня заключалась в установлении условий, при которых кроме прямолинейной возможна и криволинейная форма равновесия стержня при постоянной нагрузке.

Рассмотрим стержень, сжатый критической силой Ркр и выведенный из состояния прямолинейного равновесия (рис. 2.9.6). После устранения воздействия, которое вывело стержень из состояния прямолинейного равновесия, стержень остается быть изогнутым.

Рис. 2.9.

Предположим, что напряжения, возникающие в материале стержня, не превышают предела пропорциональности. При условии малости деформаций мы можем воспользоваться основным дифференциальным уравнением упругой линии

(2.9.1)

где  - наименьший осевой момент инерции сечения стержня.

В расчет принимается наименьшая жесткость, так как очевидно, что изгиб произойдет перпендикулярно к оси наименьшей жесткости.

Для произвольного сечения с координатой

(2.9.2)

Подставим (2.9.2) в (2.9.1)

,

или

,

обозначая  через , получаем однородное дифференциальное уравнение

. (2.9.3)

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

(2.9.4)

Для определения констант интегрирования запишем начальные условия

(2.9.5)

Из первого условия

(2.9.6)

Из второго условия, учитывая, что

(2.9.7)

Константа , представляющая собой наибольший прогиб стержня, не может быть равна нулю, в противном случае прогиб по всей длине балки будет равен нулю, что противоречит исходным условиям формы равновесия стержня. Следовательно,

или

, (2.9.8)

где  - произвольное целое число.

выражая  через , можно записать

или

(2.9.9)

Так как для нас представляет интерес наименьшее значение критической силы, то следует принять минимальное значение . Так как , поскольку в противном случае значение критической силы было бы равно нулю, то принимаем . Тогда

(2.9.10)

Полученное выражение и есть формула Эйлера для сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами, а значение усилия  носит название критической силы по Эйлеру.

Искривленную форму, которую принимает стержень в момент потери устойчивости (прямолинейной формы равновесия) называют эластикой Эйлера. Для шарнирно закрепленного стержня она представляет собой полуволну синусоиды

(2.9.11)

Влияние условий закрепления на величину критической силы

Мы рассмотрели так называемый основной случай нагружения и закрепления концов сжатого стержня – стержень с шарнирно опертыми концами. Рассмотрим другие случаи закрепления концов стержня.

Рис. 2.9.

На рисунке 2.9.7,а показан стержень, длиной , жестко защемленный одним концом и нагруженный сжимающей силой на другом конце. Изогнутая ось данного стержня будет находиться в тех же условиях, что и правая часть стержня двойной длины с шарнирно-закрепленными концами (рис. 2.9.7, б). Значит, критическая сила для стойки  с одним защемленным, а другим свободным концами будет та же, что для стойки с шарнирно-опертыми концами при длине :

(2.9.12)

Аналогично можно определить значение критической силы для стержня, у которого оба конца жестко заделаны (рис.2.9.8, а)

Рис. 2.9.

После потери устойчивости стержня вследствие симметрии средняя его часть длиной  работает в тех же условиях, что и стержень при шарнирно опертых концах (рис.2.9.8, б)

(2.9.13)

Анализируя выражения (2.9.10), (2.9.12) и (2.9.13), формулу для критической силы можно представить в виде

(2.9.14)

где  - коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня.

Понятие коэффициента приведения длины впервые было введено известным русским ученым Феликсом Станиславовичем Ясинским, который столкнулся с проблемой устойчивости стержней при составлении проектов усилений металлических мостов. Он так же исследовал точное решение дифференциального уравнения продольного изгиба и ввел понятие приведенной длины .

Рис. 2.9. Ясинский Феликс Станиславович (1856-1899)

Пределы применимости формулы Эйлера

Получив значение критической силы, мы можем найти и значение критического напряжения , разделив критическую силу  на площадь сечения

.

Учитывая, что отношение  равно квадрату минимального радиуса инерции поперечного сечения , получим

,

Вводя безразмерную величину

, (2.9.15)

которую назвали гибкостью стержня, окончательно получим

(2.9.16)

Полученная зависимость представляет собой гиперболическую кривую, называемую гиперболой Эйлера

Рис. 2.9. Гипербола Эйлера

В качестве примера на рисунке 2.9.10 приведена гипербола Эйлера для стали марки Ст3, для которой модуль упругости . Из графика видно, что при возрастании гибкости стержня критическое напряжение стремиться к нулю и, наоборот, по мере приближения гибкости к нулю критическое напряжение увеличивается.

Однако вывод формулы Эйлера был построен на предположении, что напряжения в стержне не превышают предела пропорциональности

, откуда предельное значение гибкости

(2.9.17)

Значит формула Эйлера непригодна для стержней с гибкостью меньшей . Например, для стали марки Ст3 формула Эйлера становится непригодной, если

То же значение можно получить, рассматривая график гиперболы Эйлера (рис.2.9.10).

Потеря устойчивости может происходить и при напряжениях, превышающих предел пропорциональности. Опытным путем было установлено, что для стержней с гибкостью меньше  действительные критические напряжения ниже критических напряжений, определенных по формуле Эйлера. Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределом пропорциональности, не только принципиально неправильно, но и крайне опасно.

Что бы определить значения критических напряжений для стержней с гибкостью меньше  проводились многочисленные испытания. Особенно обширный опытный материал собрал проф. Ф. Ясинский, составивший таблицу критических («ломающих») напряжений в. зависимости от гибкости для целого ряда материалов и положивший начало современным методам расчета сжатых стержней на устойчивость. На основании результатов экспериментальных исследований предложены различные эмпирические формулы, показывающие, что критические напряжения при таких гибкостях меняются по закону, близкому к линейному:

, (2.9.18)

где  и  - величины, зависящие от материала; их значения приводятся в справочниках.

Например, для стали марки Ст3 значения данных коэффициентов составляют

;  (2.9.19)

На рис. 2.9.11 пунктиром показана прямая, уравнение которой соответствует выражению (2.9.18). Очевидно, что с правой стороны данная прямая ограничивается гиперболой Эйлера.

При некотором значении гибкости (обозначим его ) величина  становиться равной предельному напряжению при сжатии:  - для пластичных материалов или  - для хрупких материалов. Стержни, у которых , называют стержни малой гибкости. Их рассчитывают только на прочность.

Таким образом, для стали марки Ст3 график  состоит из трех частей: гиперболы Эйлера при , наклонной прямой при  и горизонтальной прямой при . Горизонтальная прямая соответствует пределу текучести.

Рис. 2.9.

Расчеты устойчивость при помощи коэффициентов уменьшения основного допускаемого напряжения.

Очевидно, что при практических расчетах на устойчивость стержня нельзя допускать возникновения в нем критического напряжения, а следует принять соответствующий запас устойчивости. Если принять определенное значение коэффициента запаса на устойчивость , то допускаемое напряжение на устойчивость  можно определить следующим образом

(2.9.20)

Коэффициент запаса на устойчивость для сталей выбирают в пределах 1,7 – 3,0; для чугуна – в пределах 5,0 – 5,5; для дерева – 2,8 – 3,2. Причем, меньшие значения  принимают при большей гибкости.

Попробуем связать допускаемое напряжение на устойчивость  с допускаемым напряжением на прочность при сжатии

, (2.9.21)

где  - для пластичных материалов;

- для хрупких материалов;

- коэффициент запаса прочности;

Введя обозначение, получим

(2.9.22)

Здесь  - коэффициент уменьшения допускаемого напряжения при расчете на устойчивость. Этот коэффициент для каждого материала можно вычислить при всех значениях гибкости  и представить в виде графика зависимости  от .

Например, на рис. 2.9.12 показан график зависимости  от  для стали марки Ст3.

В большинстве учебной литературы данная зависимость представлена в виде таблицы.

Составим условие прочности для сжатых стержней

(2.9.23)

Учитывая что , а , можно записать

(2.9.24)

Рис. 2.9.

При проверочном расчете, исходя из известных размеров поперечного сечения и приведенной длины, определяется гибкость стержня, определяется по таблице или графика коэффициент  и выполняется проверка условия устойчивости (2.9.24).

В проектировочном расчете изначально имеются две неизвестные величины: коэффициент  и искомая площадь

. (2.9.25)

Поэтому при подборе сечений приходиться пользоваться методом последовательных приближений. Обычно в первой попытке берут коэффициент . Определяя требуемую площадь и подбирая сечение, устанавливают фактическое значение коэффициента . Если  значительно отличается от , следует повторить расчет, принимая для следующего приближения

. (2.9.26)

В результате второй попытки устанавливают . Если требуется третья попытка, то

и т. д.

Если невыполнение условия устойчивости допускается до 5%, то очевидно, что и отличие значения принимаемого коэффициента  не должно отличаться от значения установленного коэффициента  на большую величину. Обычно приближения повторяют, пока разность коэффициентов  и  превышает 0,01.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60850. Описание типологии MBTI 88.5 KB
  ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА Основой тестирования служит классификация Карла Юнга разделившего в 1920 г различные группы людей по основным архетипам совокупности инстинктов. Отличия между людьми можно в очень обобщенном виде свести к следующим противопоставлениям: экстраверты интроверты: первые черпают энергию в общении с людьми могут поддержать любую беседу воспринимают информацию по мере поступления контактны; вторые нуждаются в уединении для обработки информации хотя чисто внешне они могут не иметь видимых проблем в общении;...
60851. Быт и традиции древних греков 34.5 KB
  Для решения учебных задач урока для усвоения новой темы применяется метод опережающего обучения и работа в группах. Метод применяемый на данном этапе объяснительно иллюстративный. Для закрепления теоретического материала учащиеся получают творческое задание: Считаете ли Вы спартанское воспитание образцовым Используется модельный метод обучения в группах что позволяет трансформировать полученные теоретические знания на получение практических навыков.
60852. Описания типов по Тайгеру 173.5 KB
  Первое место среди их приоритетов занимают взаимоотношения с людьми забота о других. Их интересуют не только очевидные явления но и их возможные последствия а также то в какой мере эти последствия могут отразиться на других людях. Чрезвычайно организованные по натуре ENFJ предпочитают жить в упорядоченном мире и ожидают того же от других. Они хорошо разбираются в людях отличаются чувством ответственности и заботы о других.
60853. Складывание рыбки в технике оригами 63.5 KB
  Кто знает откуда к нам пришло искусство оригами из Японии Что такое оригами искусство складывания бумаги А кто уже умеет складывать какие-нибудь фигурки из оригами самостоятельно Какие III.
60855. Осенний бал 42.5 KB
  Я буду читать сценарий называть персонажей у кого в открытке указана эта роль пожалуйте на сцену Итак: камера мотор начали Буффонада: Снимается кино Читает вызывая по одному участников постановки и заставляя их входить в образ...
60856. Эпоха Екатерины II 65.5 KB
  ЦЕЛЬ: охарактеризовать внутреннее и внешнее развитие Российской империи в период правления Екатерины II рассмотреть причины ход и последствия восстания Пугачёва; развивать умение работать с учебником историческими документами...