11140

Продольно-поперечный изгиб

Реферат

Математика и математический анализ

Продольнопоперечный изгиб. Если в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты как от продольных так и от поперечных такой изгиб называют продольнопоперечным. При расчете стержней на продольнопоперечный изгиб изгибающие моменты в поперечном сечении вычис...

Русский

2013-04-05

333 KB

94 чел.

Продольно-поперечный изгиб.


Если в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты как от продольных, так и от поперечных, такой изгиб называют
продольно-поперечным. При расчете стержней на продольно-поперечный изгиб изгибающие моменты в поперечном сечении вычисляют с учетом прогиба оси бруса ():

(2. 10. )

где  - полный изгибающий момент;

- момент от поперечной нагрузки;

- дополнительный изгибающий момент от действия осевой силы .

Рис. 2.10.

Вычисление изгибающего момента  осложняется тем, что в данном случае принцип независимости действия сил неприменим. Полный прогиб  можно рассматривать состоящим из прогиба , возникающего от действия одной только поперечной нагрузки, и дополнительного изгиба , вызванного силой .

Точный способ расчета

Рассмотрим точный метод определения величины изгибающего момента . Пусть на консольную балку действует сжимающая сила  и поперечные нагрузки: момент  и сила , приложенные на свободном конце, совпадающем с началом координат ().

В этом случае дифференциальное уравнение упругой линии запишется так:

(2. 10. )

где  - полный изгибающий момент в произвольном сечении балки.

Рис. 2.10.

При составлении выражения  для изгибающих моментов, вызванных поперечными нагрузками, сохраняется обычное правило знаков, а момент от сжимающей силы  записывается со знаком «минус», так как кривизна  и прогиб  всегда имеют противоположные знаки. Для нашего случая

(2. 10. )

Продифференцируем выражение  по x дважды, получим

(2. 10. )

Равенство ) с учетом выражения ) можно записать так

(2. 10. )

Введем обозначение

, (2. 10. )

получим дифференциальное уравнение для изгибающих моментов

(2. 10. )

Общий интеграл полученного уравнения будет следующий

(2. 10. )

Продифференцировав уравнение ) по x, получим уравнение для поперечных сил:

(2. 10. )

Рассмотрим начальные условия: при

(2. 10. )

 (2. 10. )

Эти начальные значения  и  назовем начальными параметрами и обозначим через  и  соответственно. Тогда уравнение изгибающих моментов при продольно-поперечном изгибе примет вид

(2. 10. )

Рассматривая произвольно нагруженную консольную балку (), можно составить универсальное уравнение для моментов при продольно-поперечном изгибе:

(2. 10. )

Рис. 2.10.

Продифференцировав это уравнение по x, получим уравнение для поперечных сил:

(2. 10. )

Порядок применения этих уравнений тот же, что и в случаях применения метода начальных параметров. Начальные параметры определяются из краевых условий балки:

а) для шарнирно опертой балки

(2. 10. )

; (2. 10. )

б) для консольной балки с левым защемленным концом

(2. 10. )

; (2. 10. )

в) для консольной балки с защемлением справа

(2. 10. )

(2. 10. )

После определения полных изгибающих моментов, можем вычислить наибольшее нормальное напряжение:

(2. 10. )

Для определения прогибов воспользуемся уравнением , откуда получим

(2. 10. )

Для примера рассмотрим консольную балку, показанную на . Определим наибольшее нормальное напряжение, если: ; ; ; ; . Поперечное сечение квадратное площадью ; ; .

Составим уравнение моментов и поперечных сил:

Граничные условия рассматриваются следующие:

; .

Из первого граничного условия находим :

.

Второе граничное условие дает

,

Откуда

.

Теперь запишем окончательное выражение для :

Определим некоторые величины, входящие в последнее выражение:

;

Наибольшие напряжения вычисляем по формуле :

Приближенный расчет

В практических расчетах широко распространены приближенные способы решения, основанные на допущении, что изогнутая ось балки при поперечной нагрузке принимает форму синусоиды, т.е.

(2. 10. )

При наличии продольной силы также принимают, что

(2. 10. )

Это предположение позволяет получить достаточно точные результаты для шарнирно опертых балок при действии поперечных нагрузок, направленных в одну сторону, особенно если деформация балки оказывается симметричной относительно ее середины, где .

Дифференциальное уравнение упругой линии

(2. 10. )

При продольно-поперечном изгибе балки с учетом выражения  запишется так

. (2. 10. )

Вычтем   из  и, учитывая допущения  и , запишем:

(2. 10. )

После дифференцирования

(2. 10. )

Введем обозначение

(2. 10. )

и назовем  эйлеровой силой. Эта сила численно равна , определяемой по формуле Эйлера, но в отличие от нее вычисляется при любой гибкости балки (даже меньше предельной).

С учетом ,  можно записать так

(2. 10. )

Полученное выражение применяют и при других видах закрепления сжато-изогнутых балок. В этом случае эйлерова сила должна вычисляться с учетом коэффициента приведения длины

Выражение  дает удовлетворительные результаты, когда сжимающая сила не превышает .

Предполагая, что изгибающие моменты пропорциональны прогибам, получим простую формулу для приближенного определения величины наибольшего момента при продольно-поперечном изгибе:

(2. 10. )

Тогда для вычисления наибольших напряжений получим формулу

(2. 10. )

Для примера вычислим максимальный момент и наибольшее нормальное напряжение в балке, показанной на . Поперечное сечение балки – двутавр № 10; для него ; ; . На балку действуют нагрузки: ; . Длина балки .

Рис. 2.10.

Вычисляем  по формуле :

Изгибающий момент посредине пролета от поперечной нагрузки

,

По формуле  находим наибольший момент при продольно-поперечном изгибе:

Наибольшее напряжение вычисляем по формуле :


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54938. ХИМИЧЕСКИЙ СОСТАВ РАСТЕНИЙ 109.5 KB
  Задачи урока: познакомиться с процессом поглощения веществ из почвы минеральным или почвенным питанием растения ролью корневых волосков в этом процессе.
54939. Издержки производства и прибыль 24 KB
  Тип урока: обобщение и систематизация знаний Цели урока: Создать условия для: обобщения и систематизации ЗУН по теме Издержки производства деятельности учащихся по самостоятельному применению знаний и...
54940. Основы сельского хозяйства. Почвы 91 KB
  Главнейшее качество почвы плодородие то есть способность удовлетворять потребность растений в элементах минерального питания воде обеспечивать их корневые системы достаточным количеством воздуха и тепла. Плодородие почвы обусловлено запасом элемента питания их формами содержанием гумуса его составом мощностью гумусовых горизонтов механическим составом интенсивностью...
54942. Формирование игровых навыков, ловкости, целеустремленности и потребности к систематическим занятиям физической культурой 33 KB
  5 повторов Лицом друг к другу на расстоянии 89 метров передачи в парах стоя на месте изза головы без удара об пол. 5 повторов Лицом друг к другу на расстоянии 89 метров передачи в парах стоя на месте одной рукой с ударом об пол. 5 повторов Обучение и закрепления броска с 2х шагов с правой стороны. 5 повторов Обучение и закрепления броска с 2х шагов с левой стороны.
54943. Семь чудес света 26 KB
  Строительство пирамиды продолжалось около 20 лет и было закончено в 2560 году до нашей эры. Жители Каира сняли облицовку с пирамиды для того чтобы построить новые дома. Внутри пирамиды Хеопса расположены три палаты усыпальницы.
54944. Техническое обслуживание сцепления. Возможные неисправности в сцеплении и методы их устранения 156 KB
  Образовательная: узнать какие виды работ проводятся при техническом обслуживании и ремонте сцепления. Развивающая: научиться ремонтировать механизмы сцепления. Объявить тему практического занятия: Техническое обслуживание сцепления.
54945. Морфология и физиология вирусов. Классификация вирусов, формы и размеры вирусов, архитектура вириона, вирусные включения, культивирование вирусов 31.48 KB
  Содержание: Изучение морфологии и физиологии вирусов. Классификация вирусов формы и размеры вирусов архитектура вириона вирусные включения культивирование вирусов.
54946. «Музей одной картины». Иван Иванович Шишкин, «Рожь» 40.5 KB
  Иван Иванович Шишкин Рожь. Сегодня мы поговорим о картине Ивана Ивановича Шишкина которая называется Рожь. Рожь является блестящей попыткой решить эту задачу.