11140

Продольно-поперечный изгиб

Реферат

Математика и математический анализ

Продольнопоперечный изгиб. Если в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты как от продольных так и от поперечных такой изгиб называют продольнопоперечным. При расчете стержней на продольнопоперечный изгиб изгибающие моменты в поперечном сечении вычис...

Русский

2013-04-05

333 KB

97 чел.

Продольно-поперечный изгиб.


Если в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты как от продольных, так и от поперечных, такой изгиб называют
продольно-поперечным. При расчете стержней на продольно-поперечный изгиб изгибающие моменты в поперечном сечении вычисляют с учетом прогиба оси бруса ():

(2. 10. )

где  - полный изгибающий момент;

- момент от поперечной нагрузки;

- дополнительный изгибающий момент от действия осевой силы .

Рис. 2.10.

Вычисление изгибающего момента  осложняется тем, что в данном случае принцип независимости действия сил неприменим. Полный прогиб  можно рассматривать состоящим из прогиба , возникающего от действия одной только поперечной нагрузки, и дополнительного изгиба , вызванного силой .

Точный способ расчета

Рассмотрим точный метод определения величины изгибающего момента . Пусть на консольную балку действует сжимающая сила  и поперечные нагрузки: момент  и сила , приложенные на свободном конце, совпадающем с началом координат ().

В этом случае дифференциальное уравнение упругой линии запишется так:

(2. 10. )

где  - полный изгибающий момент в произвольном сечении балки.

Рис. 2.10.

При составлении выражения  для изгибающих моментов, вызванных поперечными нагрузками, сохраняется обычное правило знаков, а момент от сжимающей силы  записывается со знаком «минус», так как кривизна  и прогиб  всегда имеют противоположные знаки. Для нашего случая

(2. 10. )

Продифференцируем выражение  по x дважды, получим

(2. 10. )

Равенство ) с учетом выражения ) можно записать так

(2. 10. )

Введем обозначение

, (2. 10. )

получим дифференциальное уравнение для изгибающих моментов

(2. 10. )

Общий интеграл полученного уравнения будет следующий

(2. 10. )

Продифференцировав уравнение ) по x, получим уравнение для поперечных сил:

(2. 10. )

Рассмотрим начальные условия: при

(2. 10. )

 (2. 10. )

Эти начальные значения  и  назовем начальными параметрами и обозначим через  и  соответственно. Тогда уравнение изгибающих моментов при продольно-поперечном изгибе примет вид

(2. 10. )

Рассматривая произвольно нагруженную консольную балку (), можно составить универсальное уравнение для моментов при продольно-поперечном изгибе:

(2. 10. )

Рис. 2.10.

Продифференцировав это уравнение по x, получим уравнение для поперечных сил:

(2. 10. )

Порядок применения этих уравнений тот же, что и в случаях применения метода начальных параметров. Начальные параметры определяются из краевых условий балки:

а) для шарнирно опертой балки

(2. 10. )

; (2. 10. )

б) для консольной балки с левым защемленным концом

(2. 10. )

; (2. 10. )

в) для консольной балки с защемлением справа

(2. 10. )

(2. 10. )

После определения полных изгибающих моментов, можем вычислить наибольшее нормальное напряжение:

(2. 10. )

Для определения прогибов воспользуемся уравнением , откуда получим

(2. 10. )

Для примера рассмотрим консольную балку, показанную на . Определим наибольшее нормальное напряжение, если: ; ; ; ; . Поперечное сечение квадратное площадью ; ; .

Составим уравнение моментов и поперечных сил:

Граничные условия рассматриваются следующие:

; .

Из первого граничного условия находим :

.

Второе граничное условие дает

,

Откуда

.

Теперь запишем окончательное выражение для :

Определим некоторые величины, входящие в последнее выражение:

;

Наибольшие напряжения вычисляем по формуле :

Приближенный расчет

В практических расчетах широко распространены приближенные способы решения, основанные на допущении, что изогнутая ось балки при поперечной нагрузке принимает форму синусоиды, т.е.

(2. 10. )

При наличии продольной силы также принимают, что

(2. 10. )

Это предположение позволяет получить достаточно точные результаты для шарнирно опертых балок при действии поперечных нагрузок, направленных в одну сторону, особенно если деформация балки оказывается симметричной относительно ее середины, где .

Дифференциальное уравнение упругой линии

(2. 10. )

При продольно-поперечном изгибе балки с учетом выражения  запишется так

. (2. 10. )

Вычтем   из  и, учитывая допущения  и , запишем:

(2. 10. )

После дифференцирования

(2. 10. )

Введем обозначение

(2. 10. )

и назовем  эйлеровой силой. Эта сила численно равна , определяемой по формуле Эйлера, но в отличие от нее вычисляется при любой гибкости балки (даже меньше предельной).

С учетом ,  можно записать так

(2. 10. )

Полученное выражение применяют и при других видах закрепления сжато-изогнутых балок. В этом случае эйлерова сила должна вычисляться с учетом коэффициента приведения длины

Выражение  дает удовлетворительные результаты, когда сжимающая сила не превышает .

Предполагая, что изгибающие моменты пропорциональны прогибам, получим простую формулу для приближенного определения величины наибольшего момента при продольно-поперечном изгибе:

(2. 10. )

Тогда для вычисления наибольших напряжений получим формулу

(2. 10. )

Для примера вычислим максимальный момент и наибольшее нормальное напряжение в балке, показанной на . Поперечное сечение балки – двутавр № 10; для него ; ; . На балку действуют нагрузки: ; . Длина балки .

Рис. 2.10.

Вычисляем  по формуле :

Изгибающий момент посредине пролета от поперечной нагрузки

,

По формуле  находим наибольший момент при продольно-поперечном изгибе:

Наибольшее напряжение вычисляем по формуле :


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38372. Постійні представництва держав при міжнародних організаціях структура, персонал та особливості діяльності 40.5 KB
  Постійні представництва держав при міжнародних організаціях структура персонал та особливості діяльності Для міждержавної організації характерними ознаками єчленство держав; наявність міжнародного договору на підставі якого засновано організацію; постійно діючі органивизнання суверенітету державчленів. Отже так само як і посольства постійні представництва при міжнародних організаціях входять до системи зарубіжних органів зовнішніх зносин і є складовою частиною дипломатичної служби держави. Головна з них полягає в тому що посольства...
38375. Товарна інноваційна політика 1.73 MB
  Працівники маркетингових служб нині забовязані вміти опрацьовувати функціональноекономічне обґрунтування інноваційного продукту давати кваліфіковані рекомендації щодо дизайну та стилю нового товару використовувати сучасні методи та прийоми генерування ідей. Функціональновартісне обґрунтування інноваційного товару. Дизайн нового товару. Роль служби маркетингу при розробці нового товару.
38377. Транспортний маркетинг 414.5 KB
  Якщо державний залізничний транспорт природний монополіст у сфері перевезень по сталевих коліях не задовольняє вимог замовників то вони звертаються до автомобільного чи водного транспорту. Згідно з законодавством залізничний транспорт України віднесено до природних монополій тобто послуги з перевезень вантажів та пасажирів по сталевих коліях надаються єдиною організацією. Так як âУкрзалізницяâ здійснює управління цілою галуззю то до її структури входять різнопрофільні підприємства: власне залізниці статутні територіальногалузеві...
38378. Трансформаційна економіка 448.5 KB
  Мета викладання дисципліни: вивчення закономірностей трансформації національних систем, основних типів та етапів трансформаційних циклів, можливостей постіндустріальної трансформації у постсоціалістичному світі.
38379. Трудове право 298.5 KB
  Конституційні основи права на працю. Предметом правового регулювання такої галузі права як трудове є насамперед трудові відносини тобто суспільні відносини що виникають у процесі застосування людиною своїх здібностей у виконанні певної трудової функції. Предметом правового регулювання норм трудового права є також відносини що тісно пов'язані з трудовими. Трудове право окрема галузь права України яка регулює відносини що виникають у процесі реалізації особою права на працю.
38380. Римское частное право 650 KB
  Понятие предмет римского частного права. Римское государство являлось крупнейшим государством древности которое наряду с Древней Грецией оказало значительное влияние на формирование европейской цивилизации культуры и права. В основу деления публичного и частного заложены прежде всего те интересы которые защищаются нормами права. В сферу правового регулирования частного права входят право собственности обязательства договор семейные отношения наследственное право.