11140

Продольно-поперечный изгиб

Реферат

Математика и математический анализ

Продольнопоперечный изгиб. Если в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты как от продольных так и от поперечных такой изгиб называют продольнопоперечным. При расчете стержней на продольнопоперечный изгиб изгибающие моменты в поперечном сечении вычис...

Русский

2013-04-05

333 KB

97 чел.

Продольно-поперечный изгиб.


Если в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты как от продольных, так и от поперечных, такой изгиб называют
продольно-поперечным. При расчете стержней на продольно-поперечный изгиб изгибающие моменты в поперечном сечении вычисляют с учетом прогиба оси бруса ():

(2. 10. )

где  - полный изгибающий момент;

- момент от поперечной нагрузки;

- дополнительный изгибающий момент от действия осевой силы .

Рис. 2.10.

Вычисление изгибающего момента  осложняется тем, что в данном случае принцип независимости действия сил неприменим. Полный прогиб  можно рассматривать состоящим из прогиба , возникающего от действия одной только поперечной нагрузки, и дополнительного изгиба , вызванного силой .

Точный способ расчета

Рассмотрим точный метод определения величины изгибающего момента . Пусть на консольную балку действует сжимающая сила  и поперечные нагрузки: момент  и сила , приложенные на свободном конце, совпадающем с началом координат ().

В этом случае дифференциальное уравнение упругой линии запишется так:

(2. 10. )

где  - полный изгибающий момент в произвольном сечении балки.

Рис. 2.10.

При составлении выражения  для изгибающих моментов, вызванных поперечными нагрузками, сохраняется обычное правило знаков, а момент от сжимающей силы  записывается со знаком «минус», так как кривизна  и прогиб  всегда имеют противоположные знаки. Для нашего случая

(2. 10. )

Продифференцируем выражение  по x дважды, получим

(2. 10. )

Равенство ) с учетом выражения ) можно записать так

(2. 10. )

Введем обозначение

, (2. 10. )

получим дифференциальное уравнение для изгибающих моментов

(2. 10. )

Общий интеграл полученного уравнения будет следующий

(2. 10. )

Продифференцировав уравнение ) по x, получим уравнение для поперечных сил:

(2. 10. )

Рассмотрим начальные условия: при

(2. 10. )

 (2. 10. )

Эти начальные значения  и  назовем начальными параметрами и обозначим через  и  соответственно. Тогда уравнение изгибающих моментов при продольно-поперечном изгибе примет вид

(2. 10. )

Рассматривая произвольно нагруженную консольную балку (), можно составить универсальное уравнение для моментов при продольно-поперечном изгибе:

(2. 10. )

Рис. 2.10.

Продифференцировав это уравнение по x, получим уравнение для поперечных сил:

(2. 10. )

Порядок применения этих уравнений тот же, что и в случаях применения метода начальных параметров. Начальные параметры определяются из краевых условий балки:

а) для шарнирно опертой балки

(2. 10. )

; (2. 10. )

б) для консольной балки с левым защемленным концом

(2. 10. )

; (2. 10. )

в) для консольной балки с защемлением справа

(2. 10. )

(2. 10. )

После определения полных изгибающих моментов, можем вычислить наибольшее нормальное напряжение:

(2. 10. )

Для определения прогибов воспользуемся уравнением , откуда получим

(2. 10. )

Для примера рассмотрим консольную балку, показанную на . Определим наибольшее нормальное напряжение, если: ; ; ; ; . Поперечное сечение квадратное площадью ; ; .

Составим уравнение моментов и поперечных сил:

Граничные условия рассматриваются следующие:

; .

Из первого граничного условия находим :

.

Второе граничное условие дает

,

Откуда

.

Теперь запишем окончательное выражение для :

Определим некоторые величины, входящие в последнее выражение:

;

Наибольшие напряжения вычисляем по формуле :

Приближенный расчет

В практических расчетах широко распространены приближенные способы решения, основанные на допущении, что изогнутая ось балки при поперечной нагрузке принимает форму синусоиды, т.е.

(2. 10. )

При наличии продольной силы также принимают, что

(2. 10. )

Это предположение позволяет получить достаточно точные результаты для шарнирно опертых балок при действии поперечных нагрузок, направленных в одну сторону, особенно если деформация балки оказывается симметричной относительно ее середины, где .

Дифференциальное уравнение упругой линии

(2. 10. )

При продольно-поперечном изгибе балки с учетом выражения  запишется так

. (2. 10. )

Вычтем   из  и, учитывая допущения  и , запишем:

(2. 10. )

После дифференцирования

(2. 10. )

Введем обозначение

(2. 10. )

и назовем  эйлеровой силой. Эта сила численно равна , определяемой по формуле Эйлера, но в отличие от нее вычисляется при любой гибкости балки (даже меньше предельной).

С учетом ,  можно записать так

(2. 10. )

Полученное выражение применяют и при других видах закрепления сжато-изогнутых балок. В этом случае эйлерова сила должна вычисляться с учетом коэффициента приведения длины

Выражение  дает удовлетворительные результаты, когда сжимающая сила не превышает .

Предполагая, что изгибающие моменты пропорциональны прогибам, получим простую формулу для приближенного определения величины наибольшего момента при продольно-поперечном изгибе:

(2. 10. )

Тогда для вычисления наибольших напряжений получим формулу

(2. 10. )

Для примера вычислим максимальный момент и наибольшее нормальное напряжение в балке, показанной на . Поперечное сечение балки – двутавр № 10; для него ; ; . На балку действуют нагрузки: ; . Длина балки .

Рис. 2.10.

Вычисляем  по формуле :

Изгибающий момент посредине пролета от поперечной нагрузки

,

По формуле  находим наибольший момент при продольно-поперечном изгибе:

Наибольшее напряжение вычисляем по формуле :


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73688. Формування самодержавста в Росії в 16 столітті 15.47 KB
  Перша реформа: відбулося уточнення норм матреіального зацікавленності служивих людей; мали місце обмеження податкового і судового обмеження церкві; урядпочав здійснбвати управління на місцях
73690. Дипломатический прокол как основа делового протокола 1.88 MB
  Многовековой опыт развития международных отношений позволил выработать важнейшие основные правила общения между представителями различных стран.
73692. Особенности анализа радиосигналов в избирательных цепях 118.5 KB
  При решении задач о прохождении сигналов через электрические цепи основное внимание уделяют изменениям информационных параметров сигналов поскольку это связано с проблемой сохранения информации переносимой сигналами. В случаях когда информация заложена непосредственно в форме сигнала случай простых сигналов задача сохранения информации сводится к задаче сохранения формы или спектра сигнала. В общем случае резонансная частота...
73693. Линейные радиоэлектронные цепи с постоянными параметрами 230.5 KB
  Кроме методов, основанных на определении импульсных и переходных характеристик, для анализа свойств линейных цепей широко применяют матричный метод. Его использование основывается на том, что для описания свойств сколь угодно сложной цепи достаточно знать зависимость между ее внешними напряжениями и токами.том входе ; Z21 сопротивление передачи от выхода к входу при разомкнутом выходе. Если в качестве...
73694. Предмет теорії міжнародних відносин 19.59 KB
  Перший завідувач кафедри міжнародних відносин м. Після другої свотової війни сформувалося два напрямки у розумінні міжнародних відносин: Традиционалістський Г.Найбільш яскравий приклад праця оціолог Мерль в своїй праці Соціологія міжнародних відносин.