11140

Продольно-поперечный изгиб

Реферат

Математика и математический анализ

Продольнопоперечный изгиб. Если в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты как от продольных так и от поперечных такой изгиб называют продольнопоперечным. При расчете стержней на продольнопоперечный изгиб изгибающие моменты в поперечном сечении вычис...

Русский

2013-04-05

333 KB

96 чел.

Продольно-поперечный изгиб.


Если в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты как от продольных, так и от поперечных, такой изгиб называют
продольно-поперечным. При расчете стержней на продольно-поперечный изгиб изгибающие моменты в поперечном сечении вычисляют с учетом прогиба оси бруса ():

(2. 10. )

где  - полный изгибающий момент;

- момент от поперечной нагрузки;

- дополнительный изгибающий момент от действия осевой силы .

Рис. 2.10.

Вычисление изгибающего момента  осложняется тем, что в данном случае принцип независимости действия сил неприменим. Полный прогиб  можно рассматривать состоящим из прогиба , возникающего от действия одной только поперечной нагрузки, и дополнительного изгиба , вызванного силой .

Точный способ расчета

Рассмотрим точный метод определения величины изгибающего момента . Пусть на консольную балку действует сжимающая сила  и поперечные нагрузки: момент  и сила , приложенные на свободном конце, совпадающем с началом координат ().

В этом случае дифференциальное уравнение упругой линии запишется так:

(2. 10. )

где  - полный изгибающий момент в произвольном сечении балки.

Рис. 2.10.

При составлении выражения  для изгибающих моментов, вызванных поперечными нагрузками, сохраняется обычное правило знаков, а момент от сжимающей силы  записывается со знаком «минус», так как кривизна  и прогиб  всегда имеют противоположные знаки. Для нашего случая

(2. 10. )

Продифференцируем выражение  по x дважды, получим

(2. 10. )

Равенство ) с учетом выражения ) можно записать так

(2. 10. )

Введем обозначение

, (2. 10. )

получим дифференциальное уравнение для изгибающих моментов

(2. 10. )

Общий интеграл полученного уравнения будет следующий

(2. 10. )

Продифференцировав уравнение ) по x, получим уравнение для поперечных сил:

(2. 10. )

Рассмотрим начальные условия: при

(2. 10. )

 (2. 10. )

Эти начальные значения  и  назовем начальными параметрами и обозначим через  и  соответственно. Тогда уравнение изгибающих моментов при продольно-поперечном изгибе примет вид

(2. 10. )

Рассматривая произвольно нагруженную консольную балку (), можно составить универсальное уравнение для моментов при продольно-поперечном изгибе:

(2. 10. )

Рис. 2.10.

Продифференцировав это уравнение по x, получим уравнение для поперечных сил:

(2. 10. )

Порядок применения этих уравнений тот же, что и в случаях применения метода начальных параметров. Начальные параметры определяются из краевых условий балки:

а) для шарнирно опертой балки

(2. 10. )

; (2. 10. )

б) для консольной балки с левым защемленным концом

(2. 10. )

; (2. 10. )

в) для консольной балки с защемлением справа

(2. 10. )

(2. 10. )

После определения полных изгибающих моментов, можем вычислить наибольшее нормальное напряжение:

(2. 10. )

Для определения прогибов воспользуемся уравнением , откуда получим

(2. 10. )

Для примера рассмотрим консольную балку, показанную на . Определим наибольшее нормальное напряжение, если: ; ; ; ; . Поперечное сечение квадратное площадью ; ; .

Составим уравнение моментов и поперечных сил:

Граничные условия рассматриваются следующие:

; .

Из первого граничного условия находим :

.

Второе граничное условие дает

,

Откуда

.

Теперь запишем окончательное выражение для :

Определим некоторые величины, входящие в последнее выражение:

;

Наибольшие напряжения вычисляем по формуле :

Приближенный расчет

В практических расчетах широко распространены приближенные способы решения, основанные на допущении, что изогнутая ось балки при поперечной нагрузке принимает форму синусоиды, т.е.

(2. 10. )

При наличии продольной силы также принимают, что

(2. 10. )

Это предположение позволяет получить достаточно точные результаты для шарнирно опертых балок при действии поперечных нагрузок, направленных в одну сторону, особенно если деформация балки оказывается симметричной относительно ее середины, где .

Дифференциальное уравнение упругой линии

(2. 10. )

При продольно-поперечном изгибе балки с учетом выражения  запишется так

. (2. 10. )

Вычтем   из  и, учитывая допущения  и , запишем:

(2. 10. )

После дифференцирования

(2. 10. )

Введем обозначение

(2. 10. )

и назовем  эйлеровой силой. Эта сила численно равна , определяемой по формуле Эйлера, но в отличие от нее вычисляется при любой гибкости балки (даже меньше предельной).

С учетом ,  можно записать так

(2. 10. )

Полученное выражение применяют и при других видах закрепления сжато-изогнутых балок. В этом случае эйлерова сила должна вычисляться с учетом коэффициента приведения длины

Выражение  дает удовлетворительные результаты, когда сжимающая сила не превышает .

Предполагая, что изгибающие моменты пропорциональны прогибам, получим простую формулу для приближенного определения величины наибольшего момента при продольно-поперечном изгибе:

(2. 10. )

Тогда для вычисления наибольших напряжений получим формулу

(2. 10. )

Для примера вычислим максимальный момент и наибольшее нормальное напряжение в балке, показанной на . Поперечное сечение балки – двутавр № 10; для него ; ; . На балку действуют нагрузки: ; . Длина балки .

Рис. 2.10.

Вычисляем  по формуле :

Изгибающий момент посредине пролета от поперечной нагрузки

,

По формуле  находим наибольший момент при продольно-поперечном изгибе:

Наибольшее напряжение вычисляем по формуле :


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6375. Організація навчального процесу у вищому навчальному закладі 108.5 KB
  Організація навчального процесу у вищому навчальному закладі 1.Європейська кредитно-трансферна та системанакопичення - ECTS У положенні використано терміни, що надані у Законах України Про вищу освіту від 17.01.2002 р. № 298...
6376. Дидактика вищої школи. Зміст освіти у ВНЗ 63.5 KB
  Дидактика вищої школи.Зміст освіти у ВНЗ План Сутність поняття дидактика вищої школи, іі мета, функції та завдання. Зміст освіти у вищій школі. Поняття про зміст освіти вищої школи та його проектування. Характеристика н...
6377. Графічна репрезентація даних статистичних досліджень 45.5 KB
  Тема 3. Графічна репрезентація даних статистичних досліджень. ПРИКЛАД 1. Спостерігали за 35 підлітками (а згодом - молодими людьми) у віці від 10 до 18 років, щороку фіксуючи, на скільки кожний з них виріс. Після цього визначили вік, протягом я...
6378. Захисник при перегляді судових рішень в порядку виключного провадження 77.5 KB
  Захисник при перегляді судових рішень в порядку виключного провадження План: Загальна характеристика та підстави перегляду судових рішень в порядкувиключного провадження. Поняття нововиявлених обставин та їххарактеристика. Захис...
6379. Бізнес-план в умовах ринкової системи господарювання 33.15 KB
  Бізнес-план в умовах ринкової системи господарювання Цілі: Особливості господарювання виноробних підприємств З'ясувати сутність і призначення бізнес-плану Визначити цілі розробки бізнес-плану Визначити види та о...
6380. Структура, послідовність розробки та оформлення бізнес-пл 25.77 KB
  Структура, послідовність розробки та оформлення бізнес-плану Цілі лекції: Ідентифікувати чинник, що впливають на зміст бізнес-плану. Визначити логіку опрацювання бізнес-плану. Засвоїти основні правила оформлення бізнес-плану. ...
6383. Продукт та ринок 101 KB
  Продукт та ринок З'ясувати цілі складання і визначити структуру розділу Галузь, підприємство та його продукція. Охарактеризувати зміст параграфів розділу Галузь, підприємство та його ...