11140

Продольно-поперечный изгиб

Реферат

Математика и математический анализ

Продольнопоперечный изгиб. Если в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты как от продольных так и от поперечных такой изгиб называют продольнопоперечным. При расчете стержней на продольнопоперечный изгиб изгибающие моменты в поперечном сечении вычис...

Русский

2013-04-05

333 KB

96 чел.

Продольно-поперечный изгиб.


Если в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты как от продольных, так и от поперечных, такой изгиб называют
продольно-поперечным. При расчете стержней на продольно-поперечный изгиб изгибающие моменты в поперечном сечении вычисляют с учетом прогиба оси бруса ():

(2. 10. )

где  - полный изгибающий момент;

- момент от поперечной нагрузки;

- дополнительный изгибающий момент от действия осевой силы .

Рис. 2.10.

Вычисление изгибающего момента  осложняется тем, что в данном случае принцип независимости действия сил неприменим. Полный прогиб  можно рассматривать состоящим из прогиба , возникающего от действия одной только поперечной нагрузки, и дополнительного изгиба , вызванного силой .

Точный способ расчета

Рассмотрим точный метод определения величины изгибающего момента . Пусть на консольную балку действует сжимающая сила  и поперечные нагрузки: момент  и сила , приложенные на свободном конце, совпадающем с началом координат ().

В этом случае дифференциальное уравнение упругой линии запишется так:

(2. 10. )

где  - полный изгибающий момент в произвольном сечении балки.

Рис. 2.10.

При составлении выражения  для изгибающих моментов, вызванных поперечными нагрузками, сохраняется обычное правило знаков, а момент от сжимающей силы  записывается со знаком «минус», так как кривизна  и прогиб  всегда имеют противоположные знаки. Для нашего случая

(2. 10. )

Продифференцируем выражение  по x дважды, получим

(2. 10. )

Равенство ) с учетом выражения ) можно записать так

(2. 10. )

Введем обозначение

, (2. 10. )

получим дифференциальное уравнение для изгибающих моментов

(2. 10. )

Общий интеграл полученного уравнения будет следующий

(2. 10. )

Продифференцировав уравнение ) по x, получим уравнение для поперечных сил:

(2. 10. )

Рассмотрим начальные условия: при

(2. 10. )

 (2. 10. )

Эти начальные значения  и  назовем начальными параметрами и обозначим через  и  соответственно. Тогда уравнение изгибающих моментов при продольно-поперечном изгибе примет вид

(2. 10. )

Рассматривая произвольно нагруженную консольную балку (), можно составить универсальное уравнение для моментов при продольно-поперечном изгибе:

(2. 10. )

Рис. 2.10.

Продифференцировав это уравнение по x, получим уравнение для поперечных сил:

(2. 10. )

Порядок применения этих уравнений тот же, что и в случаях применения метода начальных параметров. Начальные параметры определяются из краевых условий балки:

а) для шарнирно опертой балки

(2. 10. )

; (2. 10. )

б) для консольной балки с левым защемленным концом

(2. 10. )

; (2. 10. )

в) для консольной балки с защемлением справа

(2. 10. )

(2. 10. )

После определения полных изгибающих моментов, можем вычислить наибольшее нормальное напряжение:

(2. 10. )

Для определения прогибов воспользуемся уравнением , откуда получим

(2. 10. )

Для примера рассмотрим консольную балку, показанную на . Определим наибольшее нормальное напряжение, если: ; ; ; ; . Поперечное сечение квадратное площадью ; ; .

Составим уравнение моментов и поперечных сил:

Граничные условия рассматриваются следующие:

; .

Из первого граничного условия находим :

.

Второе граничное условие дает

,

Откуда

.

Теперь запишем окончательное выражение для :

Определим некоторые величины, входящие в последнее выражение:

;

Наибольшие напряжения вычисляем по формуле :

Приближенный расчет

В практических расчетах широко распространены приближенные способы решения, основанные на допущении, что изогнутая ось балки при поперечной нагрузке принимает форму синусоиды, т.е.

(2. 10. )

При наличии продольной силы также принимают, что

(2. 10. )

Это предположение позволяет получить достаточно точные результаты для шарнирно опертых балок при действии поперечных нагрузок, направленных в одну сторону, особенно если деформация балки оказывается симметричной относительно ее середины, где .

Дифференциальное уравнение упругой линии

(2. 10. )

При продольно-поперечном изгибе балки с учетом выражения  запишется так

. (2. 10. )

Вычтем   из  и, учитывая допущения  и , запишем:

(2. 10. )

После дифференцирования

(2. 10. )

Введем обозначение

(2. 10. )

и назовем  эйлеровой силой. Эта сила численно равна , определяемой по формуле Эйлера, но в отличие от нее вычисляется при любой гибкости балки (даже меньше предельной).

С учетом ,  можно записать так

(2. 10. )

Полученное выражение применяют и при других видах закрепления сжато-изогнутых балок. В этом случае эйлерова сила должна вычисляться с учетом коэффициента приведения длины

Выражение  дает удовлетворительные результаты, когда сжимающая сила не превышает .

Предполагая, что изгибающие моменты пропорциональны прогибам, получим простую формулу для приближенного определения величины наибольшего момента при продольно-поперечном изгибе:

(2. 10. )

Тогда для вычисления наибольших напряжений получим формулу

(2. 10. )

Для примера вычислим максимальный момент и наибольшее нормальное напряжение в балке, показанной на . Поперечное сечение балки – двутавр № 10; для него ; ; . На балку действуют нагрузки: ; . Длина балки .

Рис. 2.10.

Вычисляем  по формуле :

Изгибающий момент посредине пролета от поперечной нагрузки

,

По формуле  находим наибольший момент при продольно-поперечном изгибе:

Наибольшее напряжение вычисляем по формуле :


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67147. Язык и речь. Речевая деятельность 110.5 KB
  Различение языка и речи было намечено выдающимся немецким теоретиком языкознания Вильгельмом фон Гумбольдтом (1767–1835). Позже, в отечественном языкознании эту мысль развивал Иван Александрович Бодуэн де Куртенэ (1845–1929). Более детально и последовательно идею о противопоставлении языка и речи разработал...
67148. ДИАГРАММЫ СОСТОЯНИЯ СПЛАВОВ. ПРАВИЛО ФАЗ 35.5 KB
  В сплавах: фазами могут быть чистые металлы жидкие или твердые растворы химические соединения. Число степеней свободы Степень свободы определяется числом независимых переменных например температура концентрация сплава давление которые можно изменять в определенных пределах не нарушая равновесия.
67149. Споживчий ринок товарів. Товарні ресурси 27.87 KB
  Поняття товарних ресурсів класифікація джерела їх створення Баланс ресурсів товарів народного споживання їх роль у прогнозуванні та плануванні внутрішнього ринку товарів народного споживання. За рахунок товарної продукції промисловості сільського господарства а також імпорту товарів формуються товарні ресурси держави.
67150. Геоинформатика и геоинформационные системы 88.5 KB
  Геоинформационная система (ГИС) это система направленная на хранение исходных данных и (или) решение задач связанных с получением конечных данных необходимых для пользователя данной системы.
67151. Последовательностные ИМС 324 KB
  Если выходные сигналы логических элементов и комбинационных микросхем однозначно определяются их текущими входными сигналами то выходные сигналы микросхем с внутренней памятью зависят также еще и от того какие входные сигналы и в какой последовательности поступали...
67152. Технико-экономическое обоснование проектов программных средств 230 KB
  Номенклатура работ их трудоемкость длительность и другие экономические характеристики на этих этапах ЖЦ существенно зависят от характеристик объекта технологии и инструментальной среды разработки. Сокращение этой потребности в ресурсах часто возможно только за счет принципиального изменения...
67154. ПЕРЕЛИВАНИЕ КРОВИ И ЕЕ КОМПОНЕНТОВ 273 KB
  Знать: противопоказания к донорству; антигенные системы крови АВО и Rh; показания противопоказания осложнения технику гемотрансфузий. Уметь: Определять группы крови по системе АВО прямым способом ставить пробы на совместимость при гемтрансфузии оказывать первую...
67155. Становлення української національної культури у першій половині XIX століття 190 KB
  Українське національне відродження розпочалося на східноукраїнських землях на межі ХVІІІ – ХІХ ст. Воно стимулювалося, з одного боку, природними процесами загальнокультурного розвитку, з іншого – необхідністю протидії упосліджувальній політиці російського царизму.