11143

Тонкостенные осесимметричные оболочки и толстостенные цилиндры

Реферат

Математика и математический анализ

Тонкостенные осесимметричные оболочки и толстостенные цилиндры. Тонкостенные осесимметричные оболочки Тонкостенной осесимметричной называется оболочка имеющая форму тела вращения т. е. оболочка полярно симметричная относительно некоторой оси толщина которой в

Русский

2013-04-05

487.5 KB

62 чел.

Тонкостенные осесимметричные оболочки и толстостенные цилиндры.


Тонкостенные осесимметричные оболочки

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая форму тела вращения (т. е. оболочка, полярно симметричная относительно некоторой оси), толщина которой весьма мала по сравнению с радиусами кривизны  ее поверхности.

На рис. 2.13.1,а изображена срединная поверхность осесимметричной оболочки. Выделим из нее бесконечно малый элемент двумя меридиональными плоскостями тт1т2 и тт3т2 (т. е. плоскостями, проходящими через ось симметрии оболочки) с углом dφ между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки, одна из которых пересекает срединную поверхность оболочки по линии ВС, а другая — по линии AD.

Рис. 2. 13.

Радиусы 02А и 02В кривизны срединной поверхности элемента ABCD в меридиональной плоскости обозначим рm, а радиусы 01В и О1С ее кривизны в плоскости, перпендикулярной меридиану,— ρθ (рис.2.13, б).

Расчеты тонкостенных осесимметричных оболочек выполняют при проектировании различных резервуаров, газгольдеров, котлов и т. д. Нагрузки, действующие на внутреннюю поверхность такой оболочки, перпендикулярны этой поверхности и симметричны относительно  оси  симметрии  оболочки.

Если оболочка достаточно тонкая, при расчете можно пренебречь изгибом поверхности оболочки и считать, что напряжения по толщине стенки оболочки распределены равномерно. Такой расчет называется расчетом по безмоментной теории.

Если оболочка недостаточно тонкая, имеет резкие переломы в очертании, жесткие закрепления и нагружена сосредоточенными силами или моментами, то в зонах, прилегающих к местам переломов, закреплений, приложения нагрузки, а также у краев оболочки возникает изгиб. Однако по мере удаления от этих мест изгибающие моменты быстро затухают; поэтому расчет удаленных зон таких оболочек может производиться по безмоментной теории.

Рис. 2. 13.

Элемент ABCD оболочки в ортогональных проекциях показан на рис. 2.13.2, а. По боковым граням элемента АВ и CD, совпадающим с меридиональными плоскостями, в силу симметрии оболочки и нагрузки касательные напряжения равны нулю; по этим граням действуют лишь нормальные напряжения σθ (окружные  напряжения).

Из закона парности касательных напряжений следует, что касательные напряжения по боковым граням ВС и AD также равны нулю; по этим граням действуют лишь нормальные напряжения σm (меридиональные напряжения). Кроме напряжений σθ и σm на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления р, перпендикулярного поверхности ABCD.

Составим условие равновесия бесконечно малого элемента оболочки в виде суммы проекций приложенных к нему сил на ось v, совпадающую с нормалью к поверхности ABCD:

где δ — толщина элемента ABCD оболочки.

В этом уравнении величина  представляет собой силу, действующую на каждую из боковых граней АВ и CD элемента оболочки, a  —на каждую из боковых граней ВС и AD (рис. 2.13.2, б). Величина  равна проекции обеих сил , а  — проекции сил  на ось v. Углы d1, и d2/2 показаны на рис. 2.13.1,б и 2.13.2, а. Произведение представляет собой проекцию нагрузки, приложенной к элементу A BCD на ось v.

Вследствие малости углов d1, и d2/2 их синусы равны значениям углов, а потому

 и 

Подставив эти значения синусов в выражение (а), после сокращения на dsl, ds2 получим

(2.13.1)

Формула (2.13.1) носит название уравнения Лапласа. Она используется для определения напряжений в стенке тонкостенной оболочки. Конечно, определить из одного уравнения две неизвестные величины и  невозможно; поэтому определить напряжения в стенке оболочки можно лишь на основе совместного решения уравнения Лапласа и уравнения равновесия части оболочки, отсеченной конической поверхностью, перпендикулярной меридианам. Исключением является сферическая (шаровая) оболочка, находящаяся  под действием газового давления; для нее

где D — диаметр сферы и  вследствие центральной симметрии оболочки и действующей на нее нагрузки, а потому из уравнения (2.13.1)

(2.13.2)

Для оболочки, имеющей форму цилиндра или конуса, из уравнения Лапласа можно определить , даже если  еще неизвестно. Это следует из того, что в указанных случаях  (меридиан оболочки представляет собой прямую линию) и, значит, , поэтому

В случае газового давления величина р постоянна во всех точках поверхности оболочки; для резервуаров, наполненных жидкостью, значение р по их высоте переменно.

Расчет толстостенных цилиндров

Толстостенным называется такой цилиндр, для которого отношение толщины стенки к внутреннему диаметру не менее 1/20; при меньшем отношении цилиндр можно рассчитывать как тонкостенную оболочку.

Рассмотрим задачу о расчете толстостенного цилиндра, подвергающегося действию равномерно распределенных наружного давления рн и внутреннего давления рв (рис. 2.13.3, а). Такая нагрузка не может вызывать деформации изгиба цилиндра.

При расчете толстостенных цилиндров нормальные напряжения  в сечениях плоскостями, проходящими через ось О симметрии (рис. 13.3, а), нельзя считать равномерно распределенными по толщине стенки, как это делается при расчете тонкостенных цилиндров. Нормальные напряжения , действующие по цилиндрической поверхности с радиусом  (рис. 2.13.3, а) могут быть того же порядка и даже превышать напряжения , что при тонкостенных цилиндрах невозможно. Поэтому расчет толстостенных цилиндров нельзя производить по формуле (2.13.1), применяемой при расчете тонкостенных осесимметричных оболочек.

Рис. 2. 13.

В связи с полярной симметрией цилиндра и нагрузки нормальные напряжения  и  являются главными напряжениями; в площадках, по которым они действуют, касательные напряжения равны нулю.

Третьим главным напряжением в каждой точке толстосенного цилиндра является напряжение , действующее по площадке, совпадающей с поперечным сечением цилиндра, т. е. с сечением плоскостью, перпендикулярной его оси симметрии.

При выводе расчетных формул рассмотрим открытые цилиндры, т. е. цилиндры, не имеющие днищ. Напряжения  в таких цилиндрах равны нулю.

Точное решение, выполненное методами теории упругости, показывает, что поперечные сечения цилиндра, плоские до его нагружения, остаются плоскими и после нагружения и что, следовательно, относительная деформация  в направлении оси симметрии одинакова во всех точках поперечного сечения. На основании закона Гука при

при  

откуда

(2.13.3)

Из полученного выражения следует, что сумма напряжений

и  одинакова для всех точек цилиндра.

На рисунке 2.13.3, б изображен элемент, выделенный из толстостенного цилиндра двумя цилиндрическими поверхностями радиусами  и , двумя плоскостями, проходящими через ось симметрии цилиндра и образующими друг с другом угол , и двумя поперечными сечениями, отстающими друг от друга на расстоянии, равном единице. Все грани элемента совпадают с главными площадками.

Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций действующих на элемент сил на нормаль к цилиндрическим поверхностям, проведенную через их центры:

Сокращая это выражение на  и отбрасывая величины второго порядка, находим

Заменим в этом уравнении  на

или, учитывая, что

,

получаем

Проинтегрировав последнее уравнение, найдем

, (2.13.4)

где С – постоянная интегрирования.

постоянные А и С определим из граничных уловий на поверхности цилиндра:

а) на внутренней поверхности цилиндра: ,  и следовательно,

; (2.13.5)

б) на наружной поверхности цилиндра: ,  и, следовательно,

(2.13.6)

Решив совместно уравнения (2.13.5) и (2.13.6), найдем

;

Подставляя константы в уравнение (2.13.4). После преобразований

(2.13.7)

Из уравнения 2.13.3

(2.13.8)

Равенства (2.13.7) и (2.13.8) носят название формул Ламе. В этих формулах расстояние  от точки до оси цилиндра учитывается отношениями  и

Из формул (2.13.7) и (2.13.8) следует, что при действии только внутреннего давления напряжения  в любых точках цилиндра положительны и по абсолютной величине больше напряжений . Наибольшего значения напряжения  достигают у точек внутренней поверхности цилиндра.

Эпюры напряжений от действия только наружного и только внутреннего давления показаны на рис. 2.13.4

Рис. 2. 13.

Наибольшее значение напряжения  можно уменьшить путем применения составных толстостенных цилиндров, состоящих из нескольких более тонких труб, надетых друг на друга (рис. 2.13.5).

Рис. 2. 13.

Вторая труба изготовляется с внутренним диаметром, несколько меньшим наружного диаметра первой трубы. а третья – с внутренним диаметром, меньшим наружного диаметра второй трубы, и т. д.

Перед надеванием второй трубы на первую, ее нагревают настолько, чтобы внутренний диаметр, увеличившись от нагрева, стал несколько больше наружного диаметра первой трубы. В процессе остывания вторая труба сжимает первую. Аналогично на вторую трубу надевают третью и т. д.

Способ уменьшения напряжений путем замены сплошного цилиндра составным предложен в середине 19 века академиком А. В. Гадолиным, который дал и метод расчета составных цилиндров.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15332. Основы работ со статическими изображениями в программе трехмерной графики 3ds max 4.96 MB
  Тема 5: Основы работ со статическими изображениями в программе трехмерной графики 3ds max. Этапы создания трехмерных сцен Проект Создадим уголок части комнаты в которой располагается стол. На столе стоит бокал со льдом. Для указанно...
15333. Процессы включения и отключения цепи с конденсатором 1.71 MB
  Рассчитать докоммутационные t = 0 начальные t = 0 и установившиеся t → ∞ значения токов и напряжения на конденсаторе в цепи Рис. 1. в двух случаях: 1. ключ размыкается; 2. ключ замыкается. R1= 330 Ом; R2=220 Ом; U= 15 В; С= 10 мкФ Рису...
15334. Процессы включения и отключения цепи с катушкой индуктивности 75 KB
  Общие сведения Цепь с одной катушкой индуктивности так же как и цепь с одним конденсатором описывается дифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому все токи и напряжения в переходном режиме изменяются по экспоненциальному закону с одной и той же постоянной вр
15335. Исследование переходных процессов в линейных электрических цепях 94 KB
  Подготовка к работе В замкнутом контуре рис.1 после отключении его от источника постоянного или переменного напряжения могут возникнуть затухающие синусоидальные колебания обусловленные начальным запасом энергии в электрическом поле конденсатора и в магнитном
15336. Изучение алгоритма Дейкстры и реализация его для заданного графа на языке программирования С++ 344.5 KB
  Лабораторная работа №1 по дисциплине Структуры и алгоритмы обработки данных Цель работы: Изучение алгоритма Дейкстры и реализация его для заданного графа на языке программирования С. Алгоритм Дейкстры англ. Dijkstras algorithm алгоритм на графах изобретённый н
15337. Изучение алгоритма пирамидальной сортировки и реализация его на языке программирования С++ 49 KB
  Лабораторная работа №2 по дисциплине Структуры и алгоритмы обработки данных Цель работы: Изучение алгоритма пирамидальной сортировки и реализация его на языке программирования С. Задание на работу Написать программу генерирующую числовой массив ра
15338. Изучение алгоритма поиска в глубину и реализация его на языке программирования С++ 150 KB
  Лабораторная работа №3 по дисциплине Структуры и алгоритмы обработки данных Цель работы: Изучение алгоритма поиска в глубину и реализация его на языке программирования С. Задание на работу Реализовать алгоритм поиска в глубину. Оценить временн...
15339. Основы ООП в Java 45.5 KB
  Лабораторная работа Java4 Тема: Основы ООП в Java. Цель изучить основы программирования классов и методов в Java. Задания лабораторной работы. Разработать класс набор методов конструктор и минимум два метода для программной модели заданного объекта. Описание объекта ...