11143

Тонкостенные осесимметричные оболочки и толстостенные цилиндры

Реферат

Математика и математический анализ

Тонкостенные осесимметричные оболочки и толстостенные цилиндры. Тонкостенные осесимметричные оболочки Тонкостенной осесимметричной называется оболочка имеющая форму тела вращения т. е. оболочка полярно симметричная относительно некоторой оси толщина которой в

Русский

2013-04-05

487.5 KB

56 чел.

Тонкостенные осесимметричные оболочки и толстостенные цилиндры.


Тонкостенные осесимметричные оболочки

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая форму тела вращения (т. е. оболочка, полярно симметричная относительно некоторой оси), толщина которой весьма мала по сравнению с радиусами кривизны  ее поверхности.

На рис. 2.13.1,а изображена срединная поверхность осесимметричной оболочки. Выделим из нее бесконечно малый элемент двумя меридиональными плоскостями тт1т2 и тт3т2 (т. е. плоскостями, проходящими через ось симметрии оболочки) с углом dφ между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки, одна из которых пересекает срединную поверхность оболочки по линии ВС, а другая — по линии AD.

Рис. 2. 13.

Радиусы 02А и 02В кривизны срединной поверхности элемента ABCD в меридиональной плоскости обозначим рm, а радиусы 01В и О1С ее кривизны в плоскости, перпендикулярной меридиану,— ρθ (рис.2.13, б).

Расчеты тонкостенных осесимметричных оболочек выполняют при проектировании различных резервуаров, газгольдеров, котлов и т. д. Нагрузки, действующие на внутреннюю поверхность такой оболочки, перпендикулярны этой поверхности и симметричны относительно  оси  симметрии  оболочки.

Если оболочка достаточно тонкая, при расчете можно пренебречь изгибом поверхности оболочки и считать, что напряжения по толщине стенки оболочки распределены равномерно. Такой расчет называется расчетом по безмоментной теории.

Если оболочка недостаточно тонкая, имеет резкие переломы в очертании, жесткие закрепления и нагружена сосредоточенными силами или моментами, то в зонах, прилегающих к местам переломов, закреплений, приложения нагрузки, а также у краев оболочки возникает изгиб. Однако по мере удаления от этих мест изгибающие моменты быстро затухают; поэтому расчет удаленных зон таких оболочек может производиться по безмоментной теории.

Рис. 2. 13.

Элемент ABCD оболочки в ортогональных проекциях показан на рис. 2.13.2, а. По боковым граням элемента АВ и CD, совпадающим с меридиональными плоскостями, в силу симметрии оболочки и нагрузки касательные напряжения равны нулю; по этим граням действуют лишь нормальные напряжения σθ (окружные  напряжения).

Из закона парности касательных напряжений следует, что касательные напряжения по боковым граням ВС и AD также равны нулю; по этим граням действуют лишь нормальные напряжения σm (меридиональные напряжения). Кроме напряжений σθ и σm на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления р, перпендикулярного поверхности ABCD.

Составим условие равновесия бесконечно малого элемента оболочки в виде суммы проекций приложенных к нему сил на ось v, совпадающую с нормалью к поверхности ABCD:

где δ — толщина элемента ABCD оболочки.

В этом уравнении величина  представляет собой силу, действующую на каждую из боковых граней АВ и CD элемента оболочки, a  —на каждую из боковых граней ВС и AD (рис. 2.13.2, б). Величина  равна проекции обеих сил , а  — проекции сил  на ось v. Углы d1, и d2/2 показаны на рис. 2.13.1,б и 2.13.2, а. Произведение представляет собой проекцию нагрузки, приложенной к элементу A BCD на ось v.

Вследствие малости углов d1, и d2/2 их синусы равны значениям углов, а потому

 и 

Подставив эти значения синусов в выражение (а), после сокращения на dsl, ds2 получим

(2.13.1)

Формула (2.13.1) носит название уравнения Лапласа. Она используется для определения напряжений в стенке тонкостенной оболочки. Конечно, определить из одного уравнения две неизвестные величины и  невозможно; поэтому определить напряжения в стенке оболочки можно лишь на основе совместного решения уравнения Лапласа и уравнения равновесия части оболочки, отсеченной конической поверхностью, перпендикулярной меридианам. Исключением является сферическая (шаровая) оболочка, находящаяся  под действием газового давления; для нее

где D — диаметр сферы и  вследствие центральной симметрии оболочки и действующей на нее нагрузки, а потому из уравнения (2.13.1)

(2.13.2)

Для оболочки, имеющей форму цилиндра или конуса, из уравнения Лапласа можно определить , даже если  еще неизвестно. Это следует из того, что в указанных случаях  (меридиан оболочки представляет собой прямую линию) и, значит, , поэтому

В случае газового давления величина р постоянна во всех точках поверхности оболочки; для резервуаров, наполненных жидкостью, значение р по их высоте переменно.

Расчет толстостенных цилиндров

Толстостенным называется такой цилиндр, для которого отношение толщины стенки к внутреннему диаметру не менее 1/20; при меньшем отношении цилиндр можно рассчитывать как тонкостенную оболочку.

Рассмотрим задачу о расчете толстостенного цилиндра, подвергающегося действию равномерно распределенных наружного давления рн и внутреннего давления рв (рис. 2.13.3, а). Такая нагрузка не может вызывать деформации изгиба цилиндра.

При расчете толстостенных цилиндров нормальные напряжения  в сечениях плоскостями, проходящими через ось О симметрии (рис. 13.3, а), нельзя считать равномерно распределенными по толщине стенки, как это делается при расчете тонкостенных цилиндров. Нормальные напряжения , действующие по цилиндрической поверхности с радиусом  (рис. 2.13.3, а) могут быть того же порядка и даже превышать напряжения , что при тонкостенных цилиндрах невозможно. Поэтому расчет толстостенных цилиндров нельзя производить по формуле (2.13.1), применяемой при расчете тонкостенных осесимметричных оболочек.

Рис. 2. 13.

В связи с полярной симметрией цилиндра и нагрузки нормальные напряжения  и  являются главными напряжениями; в площадках, по которым они действуют, касательные напряжения равны нулю.

Третьим главным напряжением в каждой точке толстосенного цилиндра является напряжение , действующее по площадке, совпадающей с поперечным сечением цилиндра, т. е. с сечением плоскостью, перпендикулярной его оси симметрии.

При выводе расчетных формул рассмотрим открытые цилиндры, т. е. цилиндры, не имеющие днищ. Напряжения  в таких цилиндрах равны нулю.

Точное решение, выполненное методами теории упругости, показывает, что поперечные сечения цилиндра, плоские до его нагружения, остаются плоскими и после нагружения и что, следовательно, относительная деформация  в направлении оси симметрии одинакова во всех точках поперечного сечения. На основании закона Гука при

при  

откуда

(2.13.3)

Из полученного выражения следует, что сумма напряжений

и  одинакова для всех точек цилиндра.

На рисунке 2.13.3, б изображен элемент, выделенный из толстостенного цилиндра двумя цилиндрическими поверхностями радиусами  и , двумя плоскостями, проходящими через ось симметрии цилиндра и образующими друг с другом угол , и двумя поперечными сечениями, отстающими друг от друга на расстоянии, равном единице. Все грани элемента совпадают с главными площадками.

Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций действующих на элемент сил на нормаль к цилиндрическим поверхностям, проведенную через их центры:

Сокращая это выражение на  и отбрасывая величины второго порядка, находим

Заменим в этом уравнении  на

или, учитывая, что

,

получаем

Проинтегрировав последнее уравнение, найдем

, (2.13.4)

где С – постоянная интегрирования.

постоянные А и С определим из граничных уловий на поверхности цилиндра:

а) на внутренней поверхности цилиндра: ,  и следовательно,

; (2.13.5)

б) на наружной поверхности цилиндра: ,  и, следовательно,

(2.13.6)

Решив совместно уравнения (2.13.5) и (2.13.6), найдем

;

Подставляя константы в уравнение (2.13.4). После преобразований

(2.13.7)

Из уравнения 2.13.3

(2.13.8)

Равенства (2.13.7) и (2.13.8) носят название формул Ламе. В этих формулах расстояние  от точки до оси цилиндра учитывается отношениями  и

Из формул (2.13.7) и (2.13.8) следует, что при действии только внутреннего давления напряжения  в любых точках цилиндра положительны и по абсолютной величине больше напряжений . Наибольшего значения напряжения  достигают у точек внутренней поверхности цилиндра.

Эпюры напряжений от действия только наружного и только внутреннего давления показаны на рис. 2.13.4

Рис. 2. 13.

Наибольшее значение напряжения  можно уменьшить путем применения составных толстостенных цилиндров, состоящих из нескольких более тонких труб, надетых друг на друга (рис. 2.13.5).

Рис. 2. 13.

Вторая труба изготовляется с внутренним диаметром, несколько меньшим наружного диаметра первой трубы. а третья – с внутренним диаметром, меньшим наружного диаметра второй трубы, и т. д.

Перед надеванием второй трубы на первую, ее нагревают настолько, чтобы внутренний диаметр, увеличившись от нагрева, стал несколько больше наружного диаметра первой трубы. В процессе остывания вторая труба сжимает первую. Аналогично на вторую трубу надевают третью и т. д.

Способ уменьшения напряжений путем замены сплошного цилиндра составным предложен в середине 19 века академиком А. В. Гадолиным, который дал и метод расчета составных цилиндров.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42065. Изучение работы измерительной цепи для измерения температуры термометром сопротивления в комплекте с нормирующим преобразователем и вторичным прибором 51.5 KB
  В процессе выполнения лабораторной работы закрепить знания по разделу Измерение температуры и Дистанционная передача сигнала измерительной информации теоретического курса Автоматизация производственных процессов Системы управления химикотехнологических процессов. Нормирующие промежуточные преобразователи предназначены для преобразования выходного сигнала первичных преобразователей не имеющих унифицированного сигнала и выходного сигнала переменного тока в унифицированный сигнал постоянного тока. Введение нормирующих...
42067. Решение задачи о назначениях 3.01 MB
  В ячейках B21:H21 находятся суммы значений соответствующих столбцов изменяемых ячеек. в B21 находится сумма ячеек B14:B20; в С21 находится сумма ячеек С14:С20; в D21 находится сумма ячеек D14:D20; в E21 находится сумма ячеек E14:E20; в F21 находится сумма ячеек F14:F20. в G21 находится сумма ячеек G14:G20; в H21 находится сумма ячеек H14:H20. В ячейках I14:I20 находятся суммы значений соответствующих строк изменяемых ячеек.
42068. Определение кратчайшего пути между вершинами ориентированного графа с циклами 2.43 MB
  Длины дуг могут определять различные характеристики: расстояние стоимость время пропускную способность и т. Определить наикратчайший путь между вершиной 1 и вершиной 7 на графе с циклами представленном на рис. Рис. Матрица транспортных расходов соответствующая данному графу представлена на рис.
42069. Изучение работы жидкостного U-образного манометра и комплекта приборов для измерения давления пневматической ветви ГСП 764 KB
  В процессе выполнения лабораторной работы закрепить знания по разделу Измерение давления и Дистанционная передача сигнала измерительной информации теоретического курса Технические измерения и приборы. Ознакомиться с принципом действия устройством преобразователя измерительного разности давления пневматического 13ДД11 в комплекте с вторичным прибором ПКР. Присоединив оба свободных конца трубки прибора к двум полостям с разными давлениями можно по разности уровней жидкости в приборе определить разность давлений.
42070. Решение задачи динамического программирования 659.5 KB
  Требуется перевезти груз из пункта 1 в пункт 10 с минимальными затратами на перевозку. Сетевой график дорог Стоимость перевозки груза из пункта s s=129 в пункт j j=2310 представлена в таблице Маршрут Расстояние Маршрут Расстояние 12 4 27 13 11 37 14 3 47 4 25 3 58 9 35 1 68 45 4 78 7 26 4 59 8 36 6 69 5 46 6 79 12 810 5 910 3 Все множество вершин пунктов разбивается на подмножества: . На первом этапе принимается решение через какой пункт принадлежащий второму подмножеству везти груз из пункта 1. На...
42071. Решение задачи о распределении ресурсов методом динамического программирования 610.5 KB
  Средства X выделенные kому предприятию приносит в конце года прибыль . Функции заданы таблично: X f1X f2X f3X f4X 1 8 6 3 4 2 10 9 4 6 3 11 11 7 8 4 12 13 11 13 5 18 15 18 16 Определить какое количество средств нужно выделить каждому предприятию чтобы суммарная прибыль равная сумме прибылей полученных от каждого предприятия была наибольшей. Пусть количество средств выделенных kому предприятию. Уравнения на м шаге удовлетворяют условию: либо kому предприятию ничего не выделяем: либо не больше того что...
42072. Изучение работы приборов для измерения давления электрической ветви ГСП 101.5 KB
  Ознакомиться с принципом действия устройством преобразователя измерительного Метран43 в комплекте с вторичным прибором и приобретают навыки в определении давления при помощи измерительных преобразователей типа Метран43. Снять статическую характеристику измерительного преобразователя Метран43.1 Преобразователи давления типа Метран43 Преобразователи разности давления типа Метран43 предназначены для промышленных систем автоматического контроля и систем в составе АСУ ТП на базе микропроцессорной техники работающих со...
42073. Нахождение оптимального решения по векторному критерию 362.5 KB
  Метод ведущего критерия – все критерии кроме самого важного заносятся в систему ограничений. Метод равных и наименьших относительных отклонений – оптимизируемые критерии включают в число неизвестных задачи а систему ограничений дополняют требованием равных относительных отклонений значений критериев в компромиссном решении от их экстремальных значений. Найти решение следующей трехкритериальной задачи Система ограничений: 1 Применим информационные технологии Excel для решения задачи. Для нахождения компромиссного...