11144

Контактні напруження

Реферат

Математика и математический анализ

Контактні напруження. Основні поняття Деформації і напруження що виникають при взаємному натисканні двох стичних тіл обмежених криволінійними поверхнями називають контактними. Внаслідок деформацій у місцях зіткнення елементів конструкцій передача тиску відбуває...

Русский

2013-04-05

324.5 KB

8 чел.

Контактні напруження.


Основні поняття

Деформації і напруження, що виникають при взаємному натисканні двох стичних тіл, обмежених криволінійними поверхнями, називають контактними. Внаслідок деформацій у місцях зіткнення елементів конструкцій передача тиску відбувається по дуже малих площадках. Матеріал поблизу такої площадки, не маючи змоги вільно деформуватися, зазнає об'ємного напруженого стану (рис. 2.14.1). Як показують розрахунки, контактні напруження мають явно місцевий характер і дуже швидко зменшуються в міру віддаляння від місця контакту. Незважаючи на це, досліджувати контактні напруження і деформації потрібно для вирішення питань міцності багатьох важливих деталей. До таких деталей належать, наприклад, шарикові й роликові підшипники, зубчасті колеса, елементи кулачкових механізмів, колеса рухомого складу, рейки, кульові й циліндричні катки тощо.

2.14.

Уперше правильний розв'язок основних випадків стискання пружних тіл дано методами теорії пружності в працях німецького фізика Г. Герца 1881—1882 pp.

Нижче наведено деякі результати, здобуті методами теорії пружності при таких припущеннях:

1) навантаження спричинюють в зоні контакту тільки пружні деформації, що відповідають закону Гука;

2) площадки контакту малі порівняно з поверхнями стичних тіл;

3) сили тиску, розподілені по поверхнях контакту, нормальні до цих поверхонь.

Формули для визначення контактних напружень

Стискання куль. При взаємному стисканні силами Р двох куль, радіуси яких  і  (рис. 2.14.2), утворюється кругла площадка контакту, радіус якої визначається за формулою

(2.14.1)

де і  — модулі пружності матеріалів куль.

2.14.

Нормальні (стискальні) напруження на площадці контакту розподілені по півсфері. Найбільше напруження діє в центрі площадки контакту:

(2.14.2)

два інших головних напруження в центрі площадки

Отже, в найбільш напруженій точці площадки контакту матеріал зазнає напруженого стану, близького до рівномірного стискання. Завдяки цьому в зоні контакту матеріал може витримати без появи залишкових деформацій вельми великий тиск.

Обчислимо, наприклад, напруження в центрі площадки контакту, при якому вперше виникають залишкові деформації. Скористаємося для цього IV теорією міцності:

Підставивши значення головних напружень, знайдемо

, або .

Для загартованої хромистої сталі, з якої виготовляють шарикові підшипники, замість границі текучості візьмемо границю пропорційності , отже .

Найбільш небезпечна точка лежить на осі z на глибині, що приблизно дорівнює половині радіуса площадки контакту. Головні напруження в цій точці

;  (2.14.3)

Де  — найбільше напруження в центрі площадки контакту, що визначається за формулою (2.14.2).

Найбільше дотичне напруження в небезпечній точці

. (2.14.4)

Змінивши у формулі (2.14.2) знак при  на обернений, дістанемо значення  у випадку тиску кулі на угнуту сферичну поверхню (рис. 2.14.3, а):

(2.14.5)

2.14.

При взаємному натисканні кулі й площі (рис. 2.14.3, б), взявши , знаходимо

(2.14.6)

Стискання циліндрів. При взаємному натисканні двох циліндрів з паралельними твірними рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивністю , Н/м (рис. 2.14.4), площадка контакту має вигляд вузького прямокутника, ширина якого визначається за формулою

(2.14.7)

Найбільше напруження стискання, що діє в точках осі площадки контакту,

(2.14.8)

Аналіз напруженого стану свідчить, що небезпечна точка лежить на осі z на глибині, що дорівнює 0,4 ширини площадки контакту. Головні напруження в цій точці мають такі значення:

;  (2.14.9)

Найбільше дотичне напруження в небезпечній точці

(2.14.10)

Змінюючи у формулі (2.14.8) знак при R2 на обернений, знайдемо напруження у випадку тиску циліндра на деталь з угнутою циліндричною поверхнею. Такі напруження діють у місцях контакту циліндричного шарніра та балансирів.

При взаємному тиску циліндра і площини, взявши у формулі (2.14.8) , знаходимо

(2.14.11)

Наведені вище формули здобуті при . Однак для практичних розрахунків ними можна користуватись і при інших значеннях коефіцієнта Пуассона.

Загальний випадок контакту двох тіл. Наведемо формули для загального випадку контакту двох тіл з однакового матеріалу.

Припускається, що обидва тіла в точці дотику мають загальну дотичну площину А В і загальну нормаль z, уздовж якої напрямлені сили Р. Позначимо радіуси кривини в точці дотику першого тіла і , другого тіла —  і , причому, . Нагадаємо, що головними кривинами називають найбільшу і найменшу кривини, розміщені в двох взаємно перпендикулярних площинах, що проходять через центр кривини. Радіуси кривини вважаються додатними, якщо центри кривини розміщені усередині тіла. Позначимо через  кут між головними площинами кривини тіл, в яких лежать менші радіуси  і .

У загальному випадку площадка контакту становить еліпс з півосями:

; (2.14.12)

; (2.14.13)

де— коефіцієнт Пуассона.

Значення коефіцієнтів  і наведено в табл. 2.14.1 як функції допоміжного кута , що визначається за формулою

(2.14.14)

При цьому знак чисельника у формулі (23.14) вибирають так, щоб  був додатним.

Найбільше напруження стискання в центрі площадки контакту

(2.14.15)

Таблиця 2.14.

ψ,°

α

β

ψ,°

α

β

20

3,778

0,408

60

1,486

0,717

30

2,731

0,493

65

1,378

0,759

35

2,397

0,530

70

1,284

0,802

40

2,136

0,567

75

1,202

0,846

45

1,926

0,604

80

1,128

0,893

50

1,754

0,641

85

1.061

0,944

55

1,611

0,678

90

1,000

1,000

Найбільш небезпечна точка лежить на осі z на деякій глибині, яка залежить від відношення  півосей еліптичної площадки контакту. Однак найбільше дотичне напруження в небезпечній точці майже не залежить від зазначеного відношення розмірів площадки, і можна взяти

(2.14.16)

З наведених формул випливає, що контактні напруження залежать від пружних властивостей матеріалів і не є нелінійною функцією навантаження. Зі збільшенням навантаження швидкість наростання напружень зменшується. Це обумовлено тим, що зі збільшенням навантаження збільшуються і розміри площадки контакту.

Перевірка міцності при контактних напруженнях

Ураховуючи «м'якість» напруженого стану в небезпечних точках (всі три головні напруження стискальні), перевіряти міцність при контактних напруженнях слід за ІІІ або IV теорією міцності:

;

Підставляючи в ці формули значення головних напружень у небезпечній точці, виражені через найбільше напруження  у центрі площадки контакту, умови міцності можна записати в такому вигляді:

(2.14.17)

Таблиця 2.14.

1(коло)

0,620

0,620

0,75

0,625

0,617

0,50

0,649

0,611

0,25

0,646

0,587

О(смуга)

0,600

0,557

звідки

(2.14.18)

Тут  - допустиме значення найбільшого напруження в місці контакту.

Значення коефіцієнта  залежно від відношення півосей еліптичної площадки контакту і вибраної теорії міцності наведено в табл. 2.14.2.

Пропонується така послідовність розрахунку на міцність елементів конструкції в місці контакту.

1. Визначити головні радіуси кривини контактуючих тіл (,,,) і кут між головними площинами кривини одного та іншого тіла.

2. Обчислити за формулами (2.14.12) і (2.14.13), враховуючи формулу (2.14.14), розміри півосей еліптичної площадки контакту.

3. Визначити за формулою (2.14.15) найбільше напруження стискання  у центрі площадки контакту. У випадку круглої та прямокутної площадок контакту  визначають безпосередньо з формули (2.14.2) або (2.14.8), не обчислюючи розмірів площадки.

4.Розраховують на міцність за формулою (2.14.18). Значення коефіцієнта  беруть з табл. 214.2. При цьому рекомендується виходити з IV теорії міцності.

Допустимі максимальні напруження в місці контакту  для роликових і шарикових підшипників з хромистої сталі вибирають до 3500...5000 МПа, для рейкової сталі — до 800... 1000 МПа.

У табл. 2.14.3 наведено значення допустимих максимальних тисків на площадці контакту при первісному контакті по лінії ( і статичній дії навантаження. У випадку первісного контакту в точці значення  треба збільшити в 1,3…1,4 рази.

Таблиця 2.14.

Марка металу

Тимчасовий опір , МПа

Твердість за Брінеллем НВ

Допустимий найбільший тиск на площадці контакту

, МПа

Сталь:

ЗО

480...600

180

850...1050

40

570...700

200

1000...1350

50

630...800

230

1050.„1400

50Г

650...850

240

1100...1450

15Х

620...750

240

1050...1600

20Х

700...850

240

1200...1450

15ХФ

1600...1800

240

1350...1600

ЩХ15

3800

Чавун:

СЧ21

960

180...207

800...900

СЧ24

1000

187...217

900...1000

СЧ28

1100

170...241

1000...1100

СЧ32

1200

170...241

1100...1200

СЧ35

1300

197...255

1200...1300

СЧ38

1400

197...255

1300... 1400


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6816. Предложение SELECT в SQL Oracle. Основные возможности 283 KB
  Предложение SELECT в SQL Oracle. Основные возможности Цели лабораторной работы Изучить основные возможности SQL Oracle по поиску данных в таблицах базы данных. Приобрести практический опыт по поиску данных в таблицах базы данных с...
6817. The SELECT statement in SQL Oracle. Basic features 287 KB
  The SELECT statement in SQL Oracle. Basic features Purpose of the lab To study general SQL Oracle possibilities in searching data in database tables. To acquire practical skills in searching data in database tables by using SQL*Plu...
6818. Базова VTP конфігурація 200 KB
  Базова VTP конфігурація Мета роботи Після виконання цієї лабораторної роботи ви зможете: Створити мережу відповідно до діаграми топології Видалити стартову конфігурацію і перезавантажити комутатор у режим по замовчуванню Налаштуват...
6819. Вивчення роботи протокольного стеку ТСР/ІР 162.5 KB
  Вивчення роботи протокольного стеку ТСР/ІР. Мета роботи: ознайомитись з роботою протокольного стеку ТСР/ІР. Навчитись здійснювати конфігурування ТСР/ІР протоколу. Порядок виконання роботи. Ознайомитись з короткими теоретичними відомостями...
6820. Контроль целостности файловой системы Linux с помощью утилиты Tripwire 122.5 KB
  Контроль целостности файловой системы Linux с помощью утилиты Tripwire Путем вычисления контрольной суммы можно не только определить подлинность дистрибутива перед установкой, но и регулярно проверять целостность системных файлов в процессе работы в...
6821. SQL Oracle functions. Additional clauses of SELECT statement 272 KB
  SQL Oracle functions. Additional clauses of SELECT statement Purpose of the lab To study SQL Oracle functions and SGROUPBY, HAVING, ORDERBY clauses of SELECT statement. To acquire practical skills in SQL Oracle function...
6822. Исследование организации переходов в программе 213.5 KB
  Исследование организации переходов в программе Контрольные вопросы Назовите три типа команды безусловного перехода. JMP - переход безусловный: переход типа short (короткий переход) - если адрес перехода находится в пределах от...
6823. Базовий Spanning Tree Protocol 266 KB
  Базовий Spanning Tree Protocol Мета роботи Після виконання цієї лабораторної роботи ви зможете: Створити мережу відповідно до діаграми топології Видалити стартову конфігурацію і перезавантажити комутатор у режим по замовчуванню...
6824. Функции SQL Oracle. Дополнительные фразы предложения SELECT 370 KB
  Функции SQL Oracle. Дополнительные фразы предложения SELECT Цели лабораторной работы Изучить функции SQL Oracle, а также фразы GROUPBY, HAVING, ORDERBY предложения SELECT. Приобрести практический опыт по использованию ф...