11144

Контактні напруження

Реферат

Математика и математический анализ

Контактні напруження. Основні поняття Деформації і напруження що виникають при взаємному натисканні двох стичних тіл обмежених криволінійними поверхнями називають контактними. Внаслідок деформацій у місцях зіткнення елементів конструкцій передача тиску відбуває...

Русский

2013-04-05

324.5 KB

10 чел.

Контактні напруження.


Основні поняття

Деформації і напруження, що виникають при взаємному натисканні двох стичних тіл, обмежених криволінійними поверхнями, називають контактними. Внаслідок деформацій у місцях зіткнення елементів конструкцій передача тиску відбувається по дуже малих площадках. Матеріал поблизу такої площадки, не маючи змоги вільно деформуватися, зазнає об'ємного напруженого стану (рис. 2.14.1). Як показують розрахунки, контактні напруження мають явно місцевий характер і дуже швидко зменшуються в міру віддаляння від місця контакту. Незважаючи на це, досліджувати контактні напруження і деформації потрібно для вирішення питань міцності багатьох важливих деталей. До таких деталей належать, наприклад, шарикові й роликові підшипники, зубчасті колеса, елементи кулачкових механізмів, колеса рухомого складу, рейки, кульові й циліндричні катки тощо.

2.14.

Уперше правильний розв'язок основних випадків стискання пружних тіл дано методами теорії пружності в працях німецького фізика Г. Герца 1881—1882 pp.

Нижче наведено деякі результати, здобуті методами теорії пружності при таких припущеннях:

1) навантаження спричинюють в зоні контакту тільки пружні деформації, що відповідають закону Гука;

2) площадки контакту малі порівняно з поверхнями стичних тіл;

3) сили тиску, розподілені по поверхнях контакту, нормальні до цих поверхонь.

Формули для визначення контактних напружень

Стискання куль. При взаємному стисканні силами Р двох куль, радіуси яких  і  (рис. 2.14.2), утворюється кругла площадка контакту, радіус якої визначається за формулою

(2.14.1)

де і  — модулі пружності матеріалів куль.

2.14.

Нормальні (стискальні) напруження на площадці контакту розподілені по півсфері. Найбільше напруження діє в центрі площадки контакту:

(2.14.2)

два інших головних напруження в центрі площадки

Отже, в найбільш напруженій точці площадки контакту матеріал зазнає напруженого стану, близького до рівномірного стискання. Завдяки цьому в зоні контакту матеріал може витримати без появи залишкових деформацій вельми великий тиск.

Обчислимо, наприклад, напруження в центрі площадки контакту, при якому вперше виникають залишкові деформації. Скористаємося для цього IV теорією міцності:

Підставивши значення головних напружень, знайдемо

, або .

Для загартованої хромистої сталі, з якої виготовляють шарикові підшипники, замість границі текучості візьмемо границю пропорційності , отже .

Найбільш небезпечна точка лежить на осі z на глибині, що приблизно дорівнює половині радіуса площадки контакту. Головні напруження в цій точці

;  (2.14.3)

Де  — найбільше напруження в центрі площадки контакту, що визначається за формулою (2.14.2).

Найбільше дотичне напруження в небезпечній точці

. (2.14.4)

Змінивши у формулі (2.14.2) знак при  на обернений, дістанемо значення  у випадку тиску кулі на угнуту сферичну поверхню (рис. 2.14.3, а):

(2.14.5)

2.14.

При взаємному натисканні кулі й площі (рис. 2.14.3, б), взявши , знаходимо

(2.14.6)

Стискання циліндрів. При взаємному натисканні двох циліндрів з паралельними твірними рівномірно розподіленим навантаженням інтенсивністю , Н/м (рис. 2.14.4), площадка контакту має вигляд вузького прямокутника, ширина якого визначається за формулою

(2.14.7)

Найбільше напруження стискання, що діє в точках осі площадки контакту,

(2.14.8)

Аналіз напруженого стану свідчить, що небезпечна точка лежить на осі z на глибині, що дорівнює 0,4 ширини площадки контакту. Головні напруження в цій точці мають такі значення:

;  (2.14.9)

Найбільше дотичне напруження в небезпечній точці

(2.14.10)

Змінюючи у формулі (2.14.8) знак при R2 на обернений, знайдемо напруження у випадку тиску циліндра на деталь з угнутою циліндричною поверхнею. Такі напруження діють у місцях контакту циліндричного шарніра та балансирів.

При взаємному тиску циліндра і площини, взявши у формулі (2.14.8) , знаходимо

(2.14.11)

Наведені вище формули здобуті при . Однак для практичних розрахунків ними можна користуватись і при інших значеннях коефіцієнта Пуассона.

Загальний випадок контакту двох тіл. Наведемо формули для загального випадку контакту двох тіл з однакового матеріалу.

Припускається, що обидва тіла в точці дотику мають загальну дотичну площину А В і загальну нормаль z, уздовж якої напрямлені сили Р. Позначимо радіуси кривини в точці дотику першого тіла і , другого тіла —  і , причому, . Нагадаємо, що головними кривинами називають найбільшу і найменшу кривини, розміщені в двох взаємно перпендикулярних площинах, що проходять через центр кривини. Радіуси кривини вважаються додатними, якщо центри кривини розміщені усередині тіла. Позначимо через  кут між головними площинами кривини тіл, в яких лежать менші радіуси  і .

У загальному випадку площадка контакту становить еліпс з півосями:

; (2.14.12)

; (2.14.13)

де— коефіцієнт Пуассона.

Значення коефіцієнтів  і наведено в табл. 2.14.1 як функції допоміжного кута , що визначається за формулою

(2.14.14)

При цьому знак чисельника у формулі (23.14) вибирають так, щоб  був додатним.

Найбільше напруження стискання в центрі площадки контакту

(2.14.15)

Таблиця 2.14.

ψ,°

α

β

ψ,°

α

β

20

3,778

0,408

60

1,486

0,717

30

2,731

0,493

65

1,378

0,759

35

2,397

0,530

70

1,284

0,802

40

2,136

0,567

75

1,202

0,846

45

1,926

0,604

80

1,128

0,893

50

1,754

0,641

85

1.061

0,944

55

1,611

0,678

90

1,000

1,000

Найбільш небезпечна точка лежить на осі z на деякій глибині, яка залежить від відношення  півосей еліптичної площадки контакту. Однак найбільше дотичне напруження в небезпечній точці майже не залежить від зазначеного відношення розмірів площадки, і можна взяти

(2.14.16)

З наведених формул випливає, що контактні напруження залежать від пружних властивостей матеріалів і не є нелінійною функцією навантаження. Зі збільшенням навантаження швидкість наростання напружень зменшується. Це обумовлено тим, що зі збільшенням навантаження збільшуються і розміри площадки контакту.

Перевірка міцності при контактних напруженнях

Ураховуючи «м'якість» напруженого стану в небезпечних точках (всі три головні напруження стискальні), перевіряти міцність при контактних напруженнях слід за ІІІ або IV теорією міцності:

;

Підставляючи в ці формули значення головних напружень у небезпечній точці, виражені через найбільше напруження  у центрі площадки контакту, умови міцності можна записати в такому вигляді:

(2.14.17)

Таблиця 2.14.

1(коло)

0,620

0,620

0,75

0,625

0,617

0,50

0,649

0,611

0,25

0,646

0,587

О(смуга)

0,600

0,557

звідки

(2.14.18)

Тут  - допустиме значення найбільшого напруження в місці контакту.

Значення коефіцієнта  залежно від відношення півосей еліптичної площадки контакту і вибраної теорії міцності наведено в табл. 2.14.2.

Пропонується така послідовність розрахунку на міцність елементів конструкції в місці контакту.

1. Визначити головні радіуси кривини контактуючих тіл (,,,) і кут між головними площинами кривини одного та іншого тіла.

2. Обчислити за формулами (2.14.12) і (2.14.13), враховуючи формулу (2.14.14), розміри півосей еліптичної площадки контакту.

3. Визначити за формулою (2.14.15) найбільше напруження стискання  у центрі площадки контакту. У випадку круглої та прямокутної площадок контакту  визначають безпосередньо з формули (2.14.2) або (2.14.8), не обчислюючи розмірів площадки.

4.Розраховують на міцність за формулою (2.14.18). Значення коефіцієнта  беруть з табл. 214.2. При цьому рекомендується виходити з IV теорії міцності.

Допустимі максимальні напруження в місці контакту  для роликових і шарикових підшипників з хромистої сталі вибирають до 3500...5000 МПа, для рейкової сталі — до 800... 1000 МПа.

У табл. 2.14.3 наведено значення допустимих максимальних тисків на площадці контакту при первісному контакті по лінії ( і статичній дії навантаження. У випадку первісного контакту в точці значення  треба збільшити в 1,3…1,4 рази.

Таблиця 2.14.

Марка металу

Тимчасовий опір , МПа

Твердість за Брінеллем НВ

Допустимий найбільший тиск на площадці контакту

, МПа

Сталь:

ЗО

480...600

180

850...1050

40

570...700

200

1000...1350

50

630...800

230

1050.„1400

50Г

650...850

240

1100...1450

15Х

620...750

240

1050...1600

20Х

700...850

240

1200...1450

15ХФ

1600...1800

240

1350...1600

ЩХ15

3800

Чавун:

СЧ21

960

180...207

800...900

СЧ24

1000

187...217

900...1000

СЧ28

1100

170...241

1000...1100

СЧ32

1200

170...241

1100...1200

СЧ35

1300

197...255

1200...1300

СЧ38

1400

197...255

1300... 1400


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75588. Театр. Вільний час, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 71.5 KB
  Активізувати вживання ЛО теми «Вільний час», «Відвідування театру естради». Практикувати учнів у читанні тексту з метою отримання загального уявлення (skimming) та максимально повного й точного розуміння усієї інформації, що в ньому міститься (scanning) Підготувати до самостійного усного висловлювання про відвідування театру.
75589. Відвідування театру естради, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 65.5 KB
  Активізувати в мові учнів вживання ЛО теми «Відвідування театру». Підготувати учнів до самостійного висловлювання про відвідування театру естради на основі плану. Практикувати у діалогічному мовленні: конструюванні діалогів за заданою ситуацією та з урахуванням міжрольових взаємодій комунікативних партнерів...
75590. Музичні захоплення, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 90.5 KB
  Обладнання: підручник вікторина Pop Music Quiz НО1 текст для читання My fvourite singer Elvis Presley king of rock nd roll HO2 Fill in the tble HO3 Write biogrphy of your own fvourite pop strrdquo;HO4 тексти 1 2 для позакласного читання з серії Pop rt з молодіжних журналів НO5 НO6. Т: We re going to tlk bout your fvourite music musicins singers nd pop groups By the end of the lesson you should be ble: to tlk bout your fvourite music musicins singers nd pop groups; to conduct your own dilogues using the given one s n...
75591. Музичні захоплення. Мій улюблений співак 63.5 KB
  Обладнання: підручник текст і запис пісні Yesterdy групи Betles НО1 текст цієї пісні з пропускамНO2 текст для аудіювання The Betles НО3 True or Flse HO4 HO5. Предявлення тексту для аудіювання The Betles. Т: Wht do you think Do you know the fmous group The Betles Wht hits of the Betles do you like re the Betles still populr in Englnd Why 2 WhileListening ctivities. Н03: The Betles The Betles becme ntionlly fmous in Englnd in October 1962 when their first single record Love me do entered the Hit Prde t number 27.
75592. Музичні захплення, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 59.5 KB
  Практикувати учнів у читанні тексту з метою отримання загального уявлення (scanning) та з метою точного й повного розуміння усієї інформації, що в ньому міститься (skimming). Навчати висловлюванню за змістом прочитаного тексту.
75593. Шекспір — видатний англійський письменник 69 KB
  Обладнання: підручник автентичний текст для читання Shkespere HO1 True or Flse H02 nswer the questions H03 Strip story H04 текст для позакласного читання про англійських або американських акторів на вибір учителя. Т: The topic of our tody\'s lesson is Shkespere the gretest English writer...
75594. Відвідування кінотеатру 71 KB
  Активізувати у мові учнів ЛО теми «Відвідування кінотеатру». Практикувати учнів у читанні тексту з метою отримання загального уявлення (skimming) та з метою максимально повного й точного розуміння всієї інформації, що міститься в тексті (scanning).
75595. Відвідування кінотеатру в Англії, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 61.5 KB
  Активізувати у мові учнів ЛО теми «Відвідування кінотеатру», «Кіно». Практикувати в аудіюванні та читанні тексту з метою отримання загального уявлення (skimming) та з метою максимально повного й точного розуміння всієї інформації, що міститься в тексті (scanning). Практикувати учнів у спілкуванні в формі діалогу-розпитування, діалогу-обміну думками.