11269

Исследование собственных колебаний струны методом резонанса

Лабораторная работа

Физика

Исследование собственных колебаний струны методом резонанса Указания содержат краткую теорию по стоячим волнам и колебаниям струны и порядок выполнения лабораторной работы. Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы студентами всех фо

Русский

2013-04-05

369.5 KB

91 чел.

Исследование собственных колебаний струны методом резонанса

Указания содержат краткую теорию по стоячим волнам и колебаниям струны и порядок выполнения лабораторной работы.

Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы студентами всех форм обучения в лабораторном практикуме по физике (раздел «Механика»).

Печатается по решению методической комиссии факультета
«Н и КМ»

Научный редактор  проф., д.т.н.  В.С. Кунаков

 

   © С.М. Максимов, А.Я. Шполянский, Н.В. Пруцакова, 2010

©  Издательский центр ДГТУ, 2010 

Лабораторная работа № 7

Цели работы: получение на вертикальной струне стоячих волн, наблюдение картины распределения амплитуд и количественная проверка формулы для частот собственных колебаний струны.

Стоячие волны

Две когерентные и одинаковые по интенсивности волны, распространяющиеся навстречу друг другу, при определенных условиях могут создавать особого вида интерференционную картину, получившую название стоячих волн.

Интерференция – сложение в пространстве двух (или нескольких) волн, при котором в разных точках пространства происходит усиление или ослабление амплитуды результирующей волны. Интерференция возможна только для когерентных волн.

Когерентность – согласованное во времени и пространстве протекание колебательных или волновых процессов.

Стоячая волна представляет собой периодическое колебание с характерным пространственным распределением амплитуды – чередованием пучностей (максимумов амплитуды) и узлов (нулей амплитуды). Такая картина может возникать всякий раз, когда волна падает на хорошо отражающую преграду. Когерентность обеспечивается тем, что обе волны представляют собой раннюю и позднюю части одной и той же волны. Стоячие волны могут устанавливаться только при отсутствии затухания в среде и при полном отражении от границ.

Найдем уравнение стоячей волны, а также координаты ее узлов и пучностей. Пусть стоячая волна возникла при наложении двух встречных бегущих волн с одинаковыми скоростями , циклическими частотами  и амплитудам  Уравнения волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х, и волны, распространяющейся ей навстречу, имеют вид:

здесь и - смещения точки среды с координатой х в момент времени t, вызванные соответственно падающей и встречной волной.

Сложив уравнения и учитывая, что волновое число k связано с длиной волны : , получим уравнение стоячей волны:

.                    (1)

Из (1) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания с той же частотой , что и у встречных волн,
но с амплит
удой, зависящей от координаты х рассматриваемой точки.

В пучностях амплитуда стоячей волны максимальна и равна сумме амплитуд складываемых колебаний , поэтому координаты пучностей определим из условия:

.  (2)

В узлах амплитуда стоячей волны равна нулю, и координаты узлов определим из условия:

(3)

То есть в стоячей волне некоторые точки среды (пучности) колеблются с максимальной амплитудой, а некоторые точки (узлы) остаются неподвижными в течение всего колебательного процесса; остальные точки среды совершают колебания с некоторыми промежуточными амплитудами.

Можно видеть, что расстояние между соседними пучностями, как и расстояние между соседними узлами, равно . Расстояние между соседними пучностью и узлом равно   (рис.1).

Множитель в уравнении стоячей волны при переходе через узел меняет знак, поэтому между двумя соседними узлами все точки среды  колеблются синфазно, при переходе же через узел фаза изменяется на , то есть колебания по разные стороны от узла (в пределах полуволны) происходят в противофазе (рис.1).

Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения возникает пучность (рис.1,а), если более  плотная – узел  (рис.1,б).

Отражаясь от более плотной среды, волна меняет свою фазу на противоположную и результат сложения этих колебаний дает узел (пример: в месте закрепления колеблющейся веревки получается узел). Этот факт принято называть «потерей полуволны».

Рис. 1. График стоячей волны. На рисунке: – амплитуда стоячей волны, - длина волны, х – направление распространения.

Отражаясь от менее плотной среды, волна не меняет фазы в месте отражения, поэтому потери полуволны не происходит; фазы падающей и отраженной волн одинаковы. В этом случае в результате сложения колебаний одинаковых фаз получается пучность (пример: свободный конец колеблющейся веревки образует пучность).

Как известно, бегущая волна в направлении ее движения переносит энергию колебательного движения. Стоячая волна энергию не переносит, поскольку падающая и отраженная волны, имея одинаковые амплитуды, несут одинаковую энергию, но в противоположных направлениях. Поэтому полная энергия результирующей стоячей волны, заключенной между узловыми точками, с течением  времени  остается неизменной. Только в пределах расстояний, равных половине длины волны, происходят взаимные превращения кинетической энергии в потенциальную и наоборот.

Колебания струны

     В натянутой струне, закрепленной с обоих концов, при возбуждении произвольного поперечного возмущения может возникать стоячая волна. При этом на закрепленных концах струны должны выполняться определенные граничные условия: концы струны должны быть узлами стоячей волны. Это означает, что на длине струны  укладывается целое число  полуволн (рис. 2). Отсюда вытекает условие:

                       или      

Этим длинам волн соответствуют частоты

где -  фазовая  скорость  распространения  бегущей волны в струне, которая может быть вычислена как

                        .                                        (6)

Здесь  - сила натяжения струны; - линейная плотность струны, то есть масса единицы длины струны, вычисляется через
объемную
 плотность струны  по формуле:;
- площадь поперечного сечения струны. Таким образом, фазовая скорость бегущей волны вычисляется по формуле

                (7)

и выражение для частоты стоячей волны приобретает вид

        .                             (8)

Частоты  называются собственными частотами струны,
а соответствующие им гармонические колебания –
собственными колебаниями, или гармониками. Частота называется основной частотой,  а остальные частоты обертонами. 

Рис. 2. Распределение амплитуд отдельных точек струны при собственных колебаниях струны для различных значений .

В общем случае колебания струны представляют собой суперпозицию (наложение) различных гармоник. В струне можно возбудить колебания, соответствующие одной из собственных частот.
В этом случае мы будем иметь условие
резонанса струны.

Приборы и принадлежности: вертикальная стойка со струной, электромагнитный вибратор, источник напряжения, разновесы.

В работе исследуются колебания натянутой медной струны (гибкой однородной нити). Схема экспериментальной установки представлена на рис. 3. Внешнее периодическое воздействие на струну 1 осуществляется в верхней ее точке, где конец струны прикреплен к якорю электромагнитного вибратора 2. Электромагнитный вибратор питается от сети переменным током частотой 50 Гц. К нижнему концу струны прикреплена чашка весов 4,
а сама струна пропущена через отверстие малого диаметра в пластинке 3, которая может перемещат
ься вверх-вниз вдоль стойки.

Если нагрузить чашку весов гирьками и включить в сеть электромагнитный вибратор, то якорь электромагнита начнет совершать колебания с частотой тока сети, и по струне будут распространяться поперечные волны, которые, отражаясь от пластинки 3, образуют встречные волны. При наложении прямой и обратной волны образуются стоячие волны, если выполняется условие:

Подбирая длину струны и степень ее натяжения, можно наблюдать образование стоячей волны в струне. Длину струны с установившейся стоячей волной изменяют перемещением вверх-вниз пластинки 3. Силу натяжения F струны изменяют, меняя гирьки в чашке весов 4 (рис. 3).  

Рис. 3. Схема экспериментальной установки: 1 – струна, 2 – электро-магнитный вибратор, 3 – отражающая пластина, 4 - чашка весов.

Как видно из рисунка 3, в данной работе сила натяжения струны равна силе тяжести, действующей на чашку весов с грузом.
То есть в формуле (8)  , где  - масса чашки грузом; , - масса чашки,
- масса груза.

Таким образом, окончательно расчетная формула для частоты стоячей волны приобретает вид

        .                             (9)

Измерения

  1.  Включить питание электромагнитного вибратора.
  2.  Нагрузить струну () и, изменяя длину струны, добиться устойчивых стоячих волн.
  3.  Изменяя длину струны, измерить координаты первого, второго
    и третьего узлов стоячей волны  -  ,  и  .
  4.  Повторить эти измерения для четырех других значений , увеличивая  через 50 г.
  5.  Для каждой серии опытов по формуле (4) найти длины волн , а также среднюю длину волны , ее среднюю абсолютную погрешностьи относительную погрешность , где 

 .                        (10)   

  1.  Для каждой серии опытов, используя среднее значение длины волны , определить частоту колебаний  по формуле (9).
  2.  По формулам (11) и (12) для каждой из этих частот  вычислить относительные и абсолютные погрешности:

         (11)

              .                              (12)

 

 

m

l1

λ1

l2

λ2

l3

λ3

ν

Δν

-

м2

кг

м

м

м

м

м

м

м

м

м

м

м

%

с-1

%

с-1

1

2

3

4

5

Таблица

* Значения  S и  указаны на установке.

Контрольные вопросы

  1.  Что такое интерференция волн?
  2.  Как возникают стоячие волны?
  3.  Какие точки стоячей волны называют узлами? Пучностями?
  4.  Каковы координаты узлов и пучностей стоячей волны?
  5.  Переносят ли стоячие волны энергию?
  6.  По какой формуле находят собственные частоты колебаний струны?
  7.  Как получить условие резонанса струны?

Рекомендуемая литература

  1.  Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высш. школа, 2001.
  2.  Савельев И.В. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – СПб.: Лань, 2006.
  3.  Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Академия, 2008.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75560. Об’єднане Королівство Великобританії та Північної Ірландії. Географічне положення 59.5 KB
  Explin how you understnd these syings Wht is the min sense of them б Т: Listening to joke Fthers nd sons . Wht is the resemblnce between Kyiv Ottw nd London They re the cpitls of the countries. Blck Red White Yellow wht word not colour cn be dded to ech of these to put them ll in the sme group Se Wht countries mke up Gret Britin Englnd Scotlnd nd Wles. Wht nother nme does the English Chnnel hve L Mnche Is the UK n Europen country Yes it is.
75561. Економічний розвиток Великобританії, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 61 KB
  Tody we re going to tlk bout the economicl development of Gret Britin. Jigsw sentences: The crds re mixed Gret Britin in the world one of the leding countries is fmous Gret Britin for its woolen industry hs got highly developed industry Gret Britin II. Активізація ЛО теми The industry of Gret Britin nd Northern Irelnd .T: Gret Britin is fmous for.
75562. Україна та Великобританія, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 61.5 KB
  Обладнання: підручник географічні карти Великобританії та України Odd One Out на дошці Red the questions bout Ukrine HO1 Fill in the missing informtion H02 Pick up the sentences Ho3. Т: Tody we re going to tlk bout the geogrphicl position nd the climte of Ukrine nd Gret Britin. By the end of the lesson you should be ble: to understnd the gist nd detils of the text for listening; to give comprtive chrcteristics of the geogrphicl position nd climte of Ukrine nd Gret Britin; to discuss Tsk 4 of your Home Reding. Аудіювання тексту...
75563. Великобританія. Осінь в Англії. Минулий доконаний час 65.5 KB
  Обладнання: підручник граматична таблиця Pst Perfect Tense Exmple Sitution HO1 висловлювання P. We hve to revise the grmmr mteril the Pst Perfect Tense. Drw on the bord Noughts nd crosses grid with nine ctegories like this: Pst Perfect I hd done. Повторення та активізація граматичного матеріалу: Pst Perfect Tense.
75564. Великобританія. Уельс, Контроль позакласного читання 76 KB
  Обладнання: підручник текст для аудіювання rthur Conn Doyle HO1 True or Flse H02 H04 Put the events in the order H03 Interesting fcts bout Wles H05. Wles. Предявлення тексту для читання Wles вир.Т: Wht do you think Why do the English like to spend their holidys in Wles Wles is known s lnd of songs why 2 WhileReding ctivities.
75565. Лондон — столиця Великобританії 74.5 KB
  Ввести та активізувати у мові учнів ЛО теми «Лондон — столиця Великобританії». Практикувати учнів у читанні тексту з метою отримання загального уявлення (skimming) та максимально повного й точного розуміння всієї інформації, що міститься в тексті (scanning). Підготувати учнів до самостійного висловлювання про Лондон на основі змісту прочитаного тексту,
75567. Життя молоді. Школа у Великобританії, План-конспект уроку з англійської мови для учнів 9-х класів 58.5 KB
  Обладнання: підручник психологічний тест Wht kind of pupil re you HO1 True or Flse H02 Fine the sentences H03 Questions for converstion with ntive spekers H04.Do you like to go to schoolWht kind of pupil re you Do you feel good t school When do lessons begin in your school Is it erly or not How mny lessons do you hve every dy Do you get tired fter lessons When do you hve the longest brek Do you hve snck during the longest brek Where do you hve lunch Do you hve lot of homework every dy You do your homework properly every...
75568. Транспорт у Лондоні та в твоєму місті 61.5 KB
  Students should guess from the context wht biggie mens in ech cse bus quick. Wht is the most relible mens of trnsport in your town Do you know the town you live in very well Cn you give some dvice s to getting round your town Wht number bus trolleybus trm shttle minibus do you tke when you go to the centrl squre centrl Prt etc Wht kind of trnsport do you like best Wht is the usul intervl between trins of the underground From wht time in the morning till wht time t night do trms nd buses run How long does it tke you to get to...