11271

Определение скорости снаряда методом крутильных колебаний

Лабораторная работа

Физика

Определение скорости снаряда методом крутильных колебаний Указания содержат краткое изложение устройства и принципа действия крутильного баллистического маятника. Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы студентами все

Русский

2013-04-05

1.37 MB

13 чел.

Определение скорости снаряда методом крутильных колебаний

Указания содержат краткое изложение устройства и принципа действия крутильного баллистического маятника.

           Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы студентами всех форм обучения в лабораторном практикуме по физике (раздел механика).

Печатается по решению методической комиссии факультета «Автоматизация и информатика»

Научный редактор  проф., д.т.н.  В.С. Кунаков

Рецензент  доц., к.ф.-м.н.  Р.И. Смирнова

 

   © С.М. Максимов, В.Л. Литвищенко, Н.В. Пруцакова, 2008

©  Издательский центр ДГТУ, 2008

Лабораторная работа № 6

Определение скорости снаряда методом крутильных колебаний

Цель работы: Определить скорость поступательного движения снаряда в момент попадания его в мишень крутильного баллистического маятника.

Краткая теория: основы кинематики и динамики вращательного движения твердого тела. Законы сохранения

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси отдельные точки тела описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R и за бесконечно малый промежуток времени dt совершает поворот на угол  (малый поворот рассматривается как вектор, модуль которого равен углу поворота , а направление подчиняется правилу правого винта (рис. 1)).  

 Угловой скоростью  называется векторная физическая величина, определяемая первой производной угла поворота по времени:

.

Вектор , как и вектор , направлен вдоль оси вращения по правилу правого винта (рис. 1).                                                                               

 Угловым ускорением  называется векторная физическая величина, определяемая первой производной угловой скорости по времени:

.

При ускоренном движении вектор  по направлению совпадает с  (рис.2, а), а при замедленном -  и направлены противоположно друг другу (рис. 2,б).

  

                   а

  

                        б

Рис. 2

Моментом инерции  I  материальной точки называется скалярная физическая величина, определяемая произведением ее массы  m  на квадрат радиуса окружности r, по которой она может двигаться относительно некоторой произвольно выбранной оси ОО' (рис. 3,а).

Если твердое тело, вращающееся относительно некоторой произвольно выбранной оси ОО', представить в виде системы материальных точек массой dm, и
просуммировать моменты инерции этих, так называемых, элементарных масс, то получим   

момент инерции всего тела

,

где ri – радиус вращения i – той элементарной массы, а интеграл берется по всему объему тела (рис. 3,б). Для однородных тел, для которых плотность  (где m – масса тела, а V – его объем, т.е. плотность определяется массой, заключенной в единице объема), момент инерции будет вычисляться по формуле

 .

Теорема Штейнера

Если известен момент инерции тела  относительно оси ОО', проходящей через центр масс тела (обозначим его Io), то момент инерции   тела   относительно   любой   параллельной   ей   оси   ZZ'

(обозначим его I )  равен

,

где m  масса тела, d  расстояние между осями (рис. 4).

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведенного из точки О в точку А  приложения силы, на силу (рис. 5):   .                                                                                           

Модуль момента силы равен  , где α – угол между  и , - плечо силы (l - длина перпендикуляра, опущенного из точки О на направление действия силы (рис. 5)).

 Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: , то есть направление   совпадает с направлением  (рис. 4).  Моментом силы Mz относительно неподвижной оси ZZ'  называется проекция этого момента на данную ось.

Моментом импульса  материальной точки относительно произвольной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора  этой материальной точки, проведенного из точки О, на величину ее импульса  (m - масса материальной точки, – ее скорость при поступательном движении или линейная скорость ее при вращательном движении), то есть  . Вектор  направлен так же, как и вектор угловой скорости , т. е. вдоль оси вращения, согласно правилу правого винта (рис. 6).

Если твердое тело, вращающееся вокруг некоторой неподвижной оси ZZ', представить в виде совокупности элементарных масс, и спроектировать моменты импульсов всех этих элементарных масс на это направление, получим момент импульса тела Lz относительно этой оси. Суммирование производим по всем элементарным массам mi, на которые разбивается тело.

,

так как , где ω - угловая скорость вращения тела, I – момент инерции твердого тела.   В общем случае   .

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел не меняется со временем, причем это утверждение справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Кинетическая энергия измеряется работой, которую тело может произвести благодаря инерции при затормаживании тела до полной остановки. Кинетическая энергия материальной точки массы m при поступательном движении со скоростью V определяется фор-мулой Ек = . При вращательном движении роль массы m выпол-няет момент инерции I, а вместо скорости V выступает угловая скорость ω, и формула кинетической энергии при вращательном движении материальной точки приобретает вид: Eк вращ .

Потенциальная энергия измеряется работой, которую тело может совершить при перемещении его из одного простран-ственного положения в другое. Так, потенциальная энергия тела массы m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли Eпот = mgh. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины Епот =, где k  коэффициент упругости, х  деформация пружины. Потенциаль-ная энергия при закручивании стержня Епот =, где D – константа, зависящая от упругих свойств стержня при его кручении (так называ-мый модуль кручения), αо – угол деформации при закручивании.

 Закон сохранения механической энергии гласит: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной, возможны лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Напомним, что консервативными называют силы, работа которых по замкнутой траектории равна нулю. Так, при закручивании упругого стержня (нити) закон сохранения энергии может быть записан как .

Описание экспериментальной установки

Используемый в данной работе крутильный баллистический маятник, внешний вид которого показан на рис. 7, представляет собой горизонтально расположенный стержень, подвешенный на упругой нити. С одной стороны стержня (см. рис. 8) находится мишень, а с другой стороны – ее противовес.

Рис. 7. Внешний вид установки для измерения скорости снаряда методом  крутильных  колебаний

     1 – снаряд

     2 – упругая нить

     3 – рамка

   4 – съемные грузы (m1)

5       5 – мишень

6       6 – противовес

Рис. 8. Схематическое устройство крутильного баллистического маятника

На стержне закреплена рамка с двумя съемными грузами m1, что позволяет изменять момент инерции колебательной системы. После попадания снаряда в мишень, система начинает совершать колебательное движение вокруг вертикальной оси ОО'.

Теория метода измерения

Запишем законы сохранения момента импульса и энергии, пренебрегая, ввиду малости его значения, моментом сил трения, в следующем виде:

 mV  = (I1 + m2)  (1)          , (2)

где  m - масса снаряда,

V - скорость снаряда в момент попадания его в мишень,

- расстояние от оси вращения ОО' до точки попадания снаряда в мишень,

I1 - момент инерции маятника,

- угловая скорость маятника в момент попадания снаряда в мишень,

0 - наибольший угол отклонения стержня от положения равновесия,

D  - модуль кручения.

 Выразим 2  из уравнений (1) и (2)

   ω2 =       (3)                    ω2 =   .     (4)

Приравняв правые части (3) и (4), получаем выражение для  V2 в виде

.

Для данной конкретной установки ml2 « I1, и формула для определения скорости снаряда принимает вид:

 .     (5)

Для исключения величины D воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела

,

где М - момент сил упругости, ε – угловое ускорение мишени со снарядом.

В свою очередь, M = – Dα. Знак (-) указывает на то, что этот момент возвращает систему в состояние устойчивого положения равновесия. Тогда

I1ε = –Dα .     (6)

Здесь α – угол поворота стержня с закрепленной на нем мишенью. Учитывая,  что угловое ускорение  ε = , перепишем уравнение (6) в виде

.

Введя обозначение , приходим к уравнению

      .

А это - дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решением    является   уравнение    вида:  α = α0 sin ωt.   Поскольку   период колебаний: T = , то формула для определения периода колебаний крутильного баллистического маятника с грузами  m1 запишется в виде:

T1 = ,     (7)   откуда   . (7а)

Уменьшим момент инерции системы на величину I, сняв оба груза m1. Согласно теореме Штейнера, можно найти изменение момента инерции системы ∆I = 2(I0 + m1d2), где – момент инерции грузов - дисков (массой m1 и радиусом r) относительно собственной оси симметрии, через d обозначено расстояние от оси ОО' до оси грузов, получим значение нового периода колебаний системы Т2 для системы со снятыми грузами m1:

T2 = ,       (8) откуда  .        (8а)

Совместное рассмотрение (7а) и (8а) позволяет получить значение I1:

.

Для используемой нами установки m1r 2 « 2 m1d 2, поэтому

.       (9)

Подставляя значения D и I1 в формулу (5), получаем рабочую формулу для определения скорости снаряда:

.               (10)

Здесь T1 и T2 – периоды колебаний нагруженного и ненагруженного баллистического крутильного маятника соответственно; m1 - масса съемных грузиков, m – масса снаряда; l – расстояние от оси вращения системы до следа снаряда на мишени; d – расстояние от съемных грузов m1  до оси вращения ОО', α0 – максимальный угол поворота стержня.

Измерения

Они сводятся к определению периодов колебания T1 и T2 нагруженного и ненагруженного (со снятыми грузами m1) баллистического колебательного маятника, а также определению угла максимального отклонения α0 стержня с мишенью после попадания в нее снаряда. Расстояние l от оси вращения рамки ОО' до центра отпечатка снаряда, залипшего в мишени, измеряется миллиметровой линейкой. Значения m1, m и d, необходимые для расчета скорости, указаны на рабочем месте.

Порядок выполнения

  1.  Закрепить на рамке грузы m1.
  2.  Установить снаряд на направляющий стержень спускового устройства, сжать пружину и, повернув вокруг оси спусковое устройство, зарядить  снаряд.
  3.  Заметить нулевое положение флажка отсчетного устройства угла поворота рамки.
  4.  Произвести выстрел.
  5.  Визуально определить максимальный угол отклонения флажка с учетом нулевого положения.
  6.  Измерить миллиметровой линейкой  – расстояние от оси ОО' до центра отпечатка снаряда на мишени.
  7.  Произвести три выстрела и взять среднее значение α0 и .

Дальнейший ход выполнения работы со снарядом уже никак не связан, поэтому его необходимо снять с установки. Определяем Т1 - период колебаний нагруженного маятника. Включаем в сеть электронный блок для отсчета времени и определения числа колебаний, нажимаем кнопку «сброс», осторожно поворачиваем рамку с мишенью до захвата ее электромагнитом установки. После этого нажимаем кнопку «пуск», отсчитываем  n = 10 ÷ 12 периодов колебаний и нажимаем «стоп». Записываем время t1, за которое совершилось n колебаний. Определяем период колебаний . Измерения проводим три раза и определяем среднее значение периода колебаний T1.

Для определения T2 - периода колебаний ненагруженного маятника - снимаем оба груза m1, нажимаем «сброс», поворачиваем мишень до захвата ее электромагнитом, нажимаем «пуск» и после n = 10 ÷ 12 колебаний нажимаем «стоп». Записываем время t2. Определяем период колебаний . Измерения проводим три раза и определяем среднее значение периода колебаний T2.

Скорость снаряда вычисляем по формуле  (10)

,        

где , αо , Т1, Т2 – средние значения измеренных величин.

Относительная погрешность определения скорости снаряда  вычисляется по алгоритму расчета погрешностей для косвенных измерений

;

;

      .      (11)

Так как , то , и доверительный интервал ΔT для периодов T1 и Т2 определяется как .  Доверительные интервалы для величин  m, m1, d, , αо  и t1  приведены в таблице измерений.

Абсолютная погрешность скорости снаряда вычисляется по формуле

 .                 (12)

Записать окончательный результат измерения скорости снаряда в виде:

                 .                   (13)

 N

d

Δd

m1

m

Δm,

Δm1 

αо

Δαо

 l

Δl

n

с грузами

m1

без

грузов m1

V

εV 

ΔV

t1

Т1

Δt1,

Δt2

ΔT1

 t2

Т2

ΔT2

-

м

м

кг

кг

  кг

рад    

рад

 м

 м

-

c

 c

 c

с

с

с

 с

м/с

-

м/с

1

 0,0005

 0,0001

 0,0027π

 0,0005

 0,01

2

3

cр

-

-

Таблица прямых и косвенных измерений

Контрольные вопросы

  1.   Объясните устройство крутильного баллистического маятника.
  2.   Что называют моментом инерции материальной точки? Твердого тела?
  3.   Сформулируйте теорему Штейнера.
  4.   Дайте определение момента силы. Как определяется направление момента силы?
  5.   Как определяется направление угловой скорости, момента импульса?
  6.   Сформулируйте закон сохранения момента импульса системы материальных точек.
  7.   Запишите формулу для определения периода колебаний крутильного баллистического маятника.
  8.   Назовите единицы измерения в «СИ» величин, входящих в рабочую формулу для определения скорости снаряда.

Рекомендуемая литература

  1.  Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высш. школа, 2001.§4, 12, 13, 16 - 19.
  2.  Иродов И.Е. Механика. Основные законы. - М. – СПб.: Физматлит, 2001. § 1.2, 4.2, 4.3, 4.5, 5.1, 5.2, 5.4, 6.1.
  3.  Савельев И.В. Курс общей физики. В 5 кн. Кн.1. Механика: учеб. пособие для втузов. - М.: Астрель, 2002. § 1.5, 3.12, 5.4, 5.6, 8.4.

PAGE  11


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72277. Банковская и казначейская система исполнения бюджета. Сравнительный анализ 120.5 KB
  Федеральный бюджет является одним из главных инструментов государственного регулирования экономики, стимулирования производственных и социальных процессов. Его доходы служат финансовой базой деятельности государства, а расходы - удовлетворению общегосударственных потребностей.
72278. Корпоративные финансы: сущность, особенности и проблемы их формирования 41.44 KB
  Корпоративные группы в форме ФПГ представляют собой такие добровольные объединения предприятий которые позволяют строить партнерские отношения между государством и фирмами; крупным и мелким средним бизнесом; предприятиями и регионами в лице исполнительных...
72279. ЭПИЛЕПСИЯ 95.5 KB
  Наиболее часто эпилептические приступы встречаются в детском возрасте. Приступы у детей характеризуются не только высокой частотой но и большей степенью выраженности. Именно в период когда идет интенсивное развитие мозга приступы могут привести к вторичным изменениям со стороны психики ребенка.
72280. ЗАЩИТА ОТ ОШИБОК И ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПОТЕРЬ ПАКЕТОВ В НИЗКОСКОРОСТНЫХ РЕЧЕВЫХ КОДЕКАХ. ТЕХНОЛОГИЯ MIMO В СИСТЕМАХ LTE 3.51 MB
  Типовой вокодер состоит из кодера (анализатора) и декодера (синтезатора) речевого сигнала. В реальной системе ЦРС декодер разделен с кодером цифровым каналом связи, в котором могут возникать ошибки. Обработка речи ведется, как правило, по кадрам фиксированной длительности с формированием...
72281. Основные требования системы качества - QoS 34.13 KB
  Все более актуальным становится корпоративное использование Интернета для удаленного доступа к данным, информационного поиска, обмена электронными сообщениями и других применений. Сервис-провайдеры отмечают огромный потенциал Интернета при работе с корпоративными клиентами, который еще не реализован.
72282. Синдром эмоционального выгорания 374.22 KB
  В современном обществе меняется отношение людей к работе. Люди теряют уверенность в стабильности своего социального и материального положения, в гарантированности рабочего места. Обостряется конкуренция за престижную и высокооплачиваемую работу.
72283. Генетична соціологія М.Грушевського 79.5 KB
  На особливу увагу заслуговують соціологічні погляди Грушевського щодо питання виникнення і розвитку української та російської народностей становлення державності в Україні та Росії. В даній контрольній роботі спробуємо розкрити найважливіше значення в розробці української ідей тих положень...
72284. СУЩНОСТЬ, ФУНКЦИИ И ИСТОЧНИКИ ФОРМИРОВАНИЯ ПРИБЫЛИ 128 KB
  Прибыль создает определенные гарантии для дальнейшего существования и развития предприятия. Каждое предприятие прежде чем начать производство продукции определяет каждую прибыль какой доход оно сможет получить.
72285. Полупроводниковые диоды 94 KB
  Выпрямительные диоды классифицируются по мощности. В зависимости от максимально допустимого среднего значения прямого тока различают выпрямительные диоды малой средней и большой мощности. Диоды малой мощности предназначены для выпрямления токов до 300мА диоды средней и большой...