11312

Логические основы цифровой техники

Лекция

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

9 Тема №1 Логические основы цифровой техники Занятие 1. Алгебра логических высказываний Учебные методические и воспитательные цели: ...

Русский

2013-04-07

107.5 KB

100 чел.

9

                                                                                                

Тема №1

Логические основы цифровой техники

Занятие 1.  Алгебра  логических  высказываний

Учебные, методические и воспитательные цели:

1. Изучить основы алгебры Буля и способы задания булевых функций.

2. Совершенствовать умение выделять главное для качественного конспектирования учебного материала.

3. Прививать любовь к профессии офицера-связиста.

Время: 2 часа.

План  лекции

п/п

Учебные  вопросы

Время

мин.

1.

2.

3.

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Логические операции и теоремы алгебры Буля. Основные логические элементы.

2.Логические функции и способы их задания.

3.Общие сведения о комбинационных и последователь - ностных устройствах.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ  ЧАСТЬ

5

80

30

30

10

5

Материальное обеспечение:

1. Плакат "Основы алгебры Буля".

2. Демонстрационный комплекс, набор слайдов.

Литература:

1. Калабеков Б.А. Цифровые устройства и микропроцессорные системы.- М.Горячая линия – Телеком, 2000г., с.4-11, 19-29.

ВВОДНАЯ  ЧАСТЬ

Специалисту в области импульсной и цифровой техники на практике приходится решать два вида задач:  анализа и синтеза цифровых устройств. Большинство задач анализа  сводится к тому, что специалист получает цифровой блок (чаще всего неисправный) и перед ним возникает задача:  прежде всего, понять, как работает устройство. Задачи синтеза цифровых устройств сводятся к разработке схемы цифрового автомата, который должен решить поставленные перед ним задачи. Применение математического аппарата - алгебры Буля или булевой алгебры значительно облегчает работу специалиста, поэтому в  ходе  данной  лекции будут подробно рассмотрены основные положения булевой алгебры.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1. Логические операции и теоремы алгебры Буля. Основные логические элементы

Для создания любой алгебры необходимо определить переменные и операции, которые над ними будут выполняться. В булевой алгебре все переменные являются двоичными, т.е. могут принимать только два значения, которые обозначают 0 и 1.

Алгебра Буля строится на основе трех логических операций:

- операции логического сложения,

- операции логического умножения,

- операции логического отрицания.

Логическое сложение, называемое также дизъюнкцией либо операцией ИЛИ обозначается знаком обычного  сложения  "+". Данная операция символически записывается в виде F = A + B + C + D и читается: "F есть А или В или С или  D."  Логические  элементы,  выполняющие операцию «ИЛИ»,  называются элементами «ИЛИ» либо дизъюнкторами и обозначаются на функциональных схемах, как показано на рис.1

                                                                  Таблица 1

                                                              

A

B

F

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

Правила выполнения операции для представленного случая двух входных сигналов приведены в таблице 1.

Логическое умножение, называемое также конъюнкцией либо операцией И обозначается как обычное умножение "" или просто написанием переменных рядом без всякого знака. Операция символически записывается в виде F= ABCD и читается "F есть A и B и C и D". Логические элементы, реализующие операцию «И» называются конъюнкторами,  либо элементами «И» и обозначаются, как показано на рис.2. Правила выполнения операции И в таблице 2.

                                                                  Таблица 2

                                                              

A

B

F

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Логическое отрицание, называемое также инверсией либо операцией НЕ, обозначается  чертой над переменной F =  и читается:  "F есть не А".  Операция «НЕ» выполняется логическим  элементом,  называемым инвертором, обозначаемым, как показано на рис.3.

                                                                                                            Таблица 3

A

F

0

1

1

0

Правила выполнения операции НЕ  представлены в таблице 3.

Помимо указанных выше трех типов элементов на практике широкое применение получили комбинированные элементы, реализующие последовательно не одну,  а  две  и более логических операций, например элементы «ИЛИ-НЕ» и «И-НЕ». Условные обозначения таких элементов приведены на рис.4

Логические функции, реализуемые этими элементами, могут быть записаны символически в следующем виде:

;                    .

Необходимо отметить, что последние два элемента являются универсальными. На элементах только одного типа можно построить любую логическую схему.

В цифровой технике работа отдельных узлов и устройств в целом отображается алгебраическими формулами. При составлении таких алгебраических выражений и их упрощении необходимо пользоваться рядом теорем, доказательство которых в большинстве случаев очевидно.


Теоремы для одной переменной

1.  А + 0 = А

 4.  А + = 1

7.  А А = А

2.  А + 1 = 1

5.  А  0 = 0

8.  А  = 0

3.  А + А = А

6.  А  1 = А

9.  = А

Теоремы для двух и более переменных

10. А + В = В + А, АВ = ВА - переместительный закон.

11. А + В + С = А +(В + С)=(А +В)+С - сочетательный закон.

12. А(В + С) = АВ + АС - распределительный закон.

13. А + АВ = А, А(А + В) = А - закон поглощения.

14. (А +)В = АВ, АВ + В = В - закон склеивания.

15.  = ,  =  + - Теорема де Моргана.

Итак, алгебра Буля представляет собой алгебру, переменные котрой – двоичные числа, а основные операции – логическое сложение, логическое умножение и логическое отрицание.

2. Логическике функции и способы их задания

Логической или Булевой функцией называют алгебраическое выражение, устанавливающее связь  между  входными и выходными переменными цифрового устройства. Задать булеву функцию -  значит указать комбинации входных переменных (аргументов), при которых значения выходной переменной равно 1.

Каждую конкретную комбинацию называют набором. При k аргументах существует 2 k наборов. Так, если некоторое устройство имеет три входа, то для него существует 23 = 8 наборов, а при четырех - 16 и т.д.

Существует несколько способов заданий булевых функций:

а) на словах;

б) таблицей;

в) алгебраическим выражением;

г) числовым способом.

Покажем, в чем состоит суть каждого способа на конкретном примере для цифрового устройства с тремя входами и одним выходом, изображенного на рис.5.

а) Представление булевой функции на словах

Булева функция устройства с тремя входами принимает значение 1, если на два любых входа или на все три одновременно подается сигнал 1. Во всех других случаях функция равна 0.

б) Табличный способ

При этом функция представляется в виде таблицы (табл.4),  в которой записываются все возможные наборы входных переменных в порядке возрастания их номеров и для  каждого  набора устанавливается значение выходной переменной. Как видно из таблицы F = 1 на 3,5,6 и 7 наборах, на остальных  F = 0.

Таблица 4

А

В

С

F

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

2

0

1

0

0

3

0

1

1

1

4

1

1

0

0

5

1

0

1

1

6

1

1

0

1

7

1

1

1

1

в) Алгебраический способ

От таблицы можно перейти к алгебраической форме. Существуют две формы функций в алгебраическом виде. На практике чаще встречается первая форма, которая также называется дизъюнктивной нормальной формой и представляет собой сумму логических произведений, в каждое из которых входная переменная или ее отрицание входит один раз. Переход от таблицы к первой стандартной форме осуществляется следующим образом.  Для каждого набора, на котором функция равна 1, записывается произведение всех аргументов, причем, если переменная в этом наборе принимает значение 0, то пишется его отрицание. В результате такой процедуры для нашего примера (табл.4) получаем

F = BC + AC + AB + ABC.

г) Числовой способ

Для числового представления булевой функции в первой стандартной форме под знаком суммы перечисляются (обычно в возрастающем порядке), номера наборов, на которых функция равна единице. При этом подразумевается, что на остальных наборах она равна нулю.  Для нашего примера эта запись имеет вид:

F = (3, 5, 6, 7).

Для перехода от цифровой к алгебраической форме запишем номера наборов в двоичном коде

F = 011 + 101 + 110 + 111.

С учетом, что А соответствует старший разряд, а С - младший можно записать

F = BC + AC + AB + ABC,

что совпадает с алгебраической формой, полученной ранее.

Таким образом, основополагающим понятием булевой алгебры является булева функция, которая устанавливает связь между входными и выходными переменными цифрового устройства.

3. Общие сведения о комбинационных и последовательных устройствах

В общем случае цифровое устройство может иметь несколько входов и несколько выходов. В зависимости от способа формирования выходных сигналов все устройства можно разделить на два класса:

- комбинационные;

- последовательностные.

В комбинационных устройствах выходные сигналы в любой момент времени определяются входными сигналами, поступающими на входы в тот же момент времени, т.е. выходные сигналы зависят от комбинации входных.

Последовательностные устройства или цифровые автоматы содержат в своем составе элементы памяти. Выходные сигналы на выходе таких устройств зависят не только от комбинации входных, действующих в данный момент, но и от состояния элементов памяти, в которых хранятся сигналы, записанные в предыдущие моменты времени.

При изменении заданных входных сигналов одновременно или через определенный промежуток времени изменяются и значения выходных сигналов, и эта новая совокупность выходных сигналов не зависит от того, какие комбинации на входе данной схемы действовали раньше.

Введенная классификация показывает, что последовательностные устройства – это наиболее общий вид цифровых устройств. К ним относится большинство известных устройств, которые будут рассматриваться в следующей теме.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ

Рассмотренные на данной лекции вопросы создают прочный фундамент для анализа и синтеза цифровых устройств. Аппарат алгебры Буля будет использоваться при рассмотрении принципов построения комбинационных цифровых узлов, в выполнении курсовой работы по дисциплине, а также выпускных квалификационных работ.

Задание на самостоятельную работу

  1.  Изучить материал по учебнику [Л1] страницы 4-11, 19-29.
  2.  Решить задачу: записать булеву функцию устройства с двумя входами и одним выходом в табличной, алгебраической и  числовой  форме,  если  на выходе 1 появляется только в том случае, когда на входах противоположные сигналы.

Доцент кафедры                                     Б.Степанов

Рецензент   начальник кафедры                                             

                                  полковник            Г.Журбин


1

А

В

F

F = A + B

ис.1

ИЛИ

&

А

В

F

F = A B

Рис.2

И

F =

1

А

F

НЕ

Рис.3

1

А

В

F

Рис.4

ИЛИ-НЕ

&

А

В

F

И-НЕ

А

В

С

F

Рис.5


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76084. Организация производственно-хозяйственной деятельности дистанции сигнализации, централизации и блокировки 192.54 KB
  По рассчитанному штату работников аппарата управления и производственно-технического штата рассчитывается фонд зарплаты работников дистанции сигнализации. В фонд зарплаты включают также премии работникам дистанции, доплату за работу в праздничные дни и ночные часы.
76085. Электрооборудование ленточного конвейера 1.81 MB
  Энергетика является для экономики России ключевой отраслью. Это определяется приоритетным развитием отраслей энергетики, испытавшим по сравнению с другими отраслями наименьший спад производства в период проведения экономической реформы, их высоким ресурсным потенциалом...
76086. Проект аудиодомофона 295 KB
  Домофон - это устройство, предназначенное для связи входящего в помещение и лица находящегося в помещении. Домофон является своеобразным устройством контроля и управления входной двери. Устанавливаются они, как правило, на входе в помещение, на частную территорию.
76091. РАО «ЕЭС России» и его роль в экономике 255 KB
  Целью данной курсовой работы является анализ РАО «ЕЭС России» и его роль и место в экономике России. Для достижения поставленной цели необходимо решить задачи: рассмотреть электроэнергетику и рынок; проблемы информационного обеспечения диспетчерского управления в условиях функционирования ФОРЭМ...