1152

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывное и дискретное преобразование Хартли. Непрерывное преобразование Габора. Непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

Русский

2013-01-06

74 KB

91 чел.

ЛЕКЦИЯ №9

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

На лекции рассматриваются:

- непрерывное и дискретное преобразование Хартли;

- непрерывное преобразование Габора;

- непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

4.1. Преобразование Хартли

Преобразование Фурье отображает последовательность вещественных данных в комплексную область. Однако обработку вещественных данных желательно выполнять в вещественной области. Эту задачу решает преобразование Хартли.

Прямое и обратное непрерывное (аналоговое) преобразование Хартли определяются соотношениями:

 (4.1)

,  (4.2)

где

Прямое и обратное дискретное преобразование Хартли вещественной последовательности x(n) длины N определяются соотношениями:

 (4.3)

 (4.4)

Между ДПФ и ДПХ существует простая прямая связь:

 (4.5)

 (4.6)

С другой стороны, по известным составляющим  ДПФ можно получить ДПХ

 (4.7)

Быстрое преобразование Хартли (БПХ) предусматривает метод двоичной инверсии с последующим вычислением (4.8), которое аналогично БПФ с прореживанием по времени

 (4.8)

Симметричность формул прямого и обратного ДПХ, отсутствие комплексного представления данных и ряд других свойств ДПХ обеспечивают по сравнению с ДПФ более высокую вычислительную эффективность при обработке вещественных данных.

4.2. Преобразование Габора

Преобразование Габора представляет сигнал в виде синусоид, к которым применена гауссова функция (окно). Перейдем от прямого непрерывного преобразования Фурье к преобразованию Габора

,  (4.9)

- гауссова функция ,  (4.10)

локализует преобразование Фурье функции  в окрестности .

Центр окна по времени  определяется в виде

(4.11)

Ширина окна по времени определена по формуле

(4.12)

Тогда преобразование (4.9) локализует сигнал  во временном окне

,  (4.13)

т.е. имеет место временная локализация с центром окна в 0 и шириной

Преобразуем (4.9) к его частотному представлению (4.14),

 (4.14)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном в окрестности .

Для более удобного представления ширины частотного окна далее вместо  будем использовать

Центр окна по частоте  определяется по формуле

(4.15)

Ширина окна по частоте определена по формуле

(4.16)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном

,  (4.17)

т.е. имеет место частотная локализация с центром окна в 0 и шириной

Частотно-временное окно  представлено на рис.4.1.

В отличие от ДПФ, преобразование Габора позволяет локализовать сигнал в частотной и временной области. К недостаткам относится то, что ширина частотно-временного окна не меняется при рассмотрении спектра на разных частотах (это особенное плохо для очень высоких и низких частот)

                                                   

Рис. 4.1. Частотно-временные окна

4.3. Косинусное преобразование

Перейдем от прямого непрерывного (аналогового) преобразования Фурье к прямому непрерывному косинусному преобразованию

 (4.18)

Обратное непрерывное косинусное преобразование

 (4.19)

Обычно используются 4 типа ортогональных дискретных косинусных преобразований (ДКП) - DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4. Ограничимся рассмотрением  DCT-2 и DCT-4, реализованных в пакете Mathcad.

Прямое ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.20)

где   - масштабирующий коэффициент.

Прямое ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.21)

Обратное ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.22)

Обратное ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.23)

ДКП дает результат ошибку приближения меньшую, чем ДПФ, но его вычислительная сложность больше, чем ДПФ. Как и ДПФ, ДКП имеет плохую частотную локализацию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34590. МЕСТО РОССИИ СРЕДИ МИРОВЫХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ 24 KB
  МЕСТО РОССИИ СРЕДИ МИРОВЫХ ЦИВИЛИЗАЦИЙ Составитель: С. Соответственно и место России во всемирной истории определялось с точки зрения принадлежности ее к одной из общественноэкономических формаций.К какому же типу отнести Россию В какой мере самобытна цивилизация России Ответы на эти вопросы давались историками публицистами общественными деятелями с высоты своего времени с учетом всего предшествующего развития России а также в соответствии со своими идейнополитическими установками. Абсолютное большинство населения России исповедует...
34591. ВОСТОЧНЫЕ СЛАВЯНЕ В ДОФЕОДАЛЬНЫЙ ПЕРИОД 22.91 KB
  ВОСТОЧНЫЕ СЛАВЯНЕ В ДОФЕОДАЛЬНЫЙ ПЕРИОД Составитель: Л. Степанова Появление славян как самостоятельного этноса согласно археологическим материалам произошло еще в первое тысячелетие до н. славяне известны под именем антов и венедов. в источниках появляется имя славяне.
34592. ДРЕВНЕРУССКОЕ ГОСУДАРСТВО: ЗАКОНОМЕРНОСТИ И ОСОБЕННОСТИ ОБРАЗОВАНИЯ, СОЦИАЛЬНЫЙ И ПОЛИТИЧЕСКИЙ СТРОЙ (IX – начало XII вв.) 21.55 KB
  Но произошло это объединение в результате похода князя Олега датируемого летописью 882 годом при активном участии его Руси – варяжской дружины вместе с другими племенами Поильменья. Рассматривая особенности политического устройства Киевской Руси следует выделить такой родоплеменной пережиток как наследование великого княжения по старшинству. Это заставляло всю многочисленную родню Рюриковичей время от времени менять свое пребывание в одном из княжеств и перебираться в другое что не способствовало ни укреплению центральной власти в Киеве...
34593. США во Второй мировой войне 14.25 KB
  Когда УВП не удалось взять под свой контроль добычу и поставки сырья Рузвельт создал сначала управление экономической стабилизации а затем управление военной мобилизации наделенное чуть ли не диктаторскими полномочиями. Комиссия по справедливому найму которую Рузвельт был вынужден создать под угрозой негритянского марша на Вашингтон во главе с Филипом Рэндолфом председателем профсоюза железнодорожных проводников помогла афроамериканцам бороться с дискриминацией в военной промышленности особенно после того как в 1943 Рузвельт наделил...
34594. США в конце XX – начале XXI вв 15.84 KB
  Укрепление политического экономического военного лидерства в мире стало ведущей идеей политики США во второй половине XX начале XXI в. Этому способствовало с одной стороны ключевое положение США в ООН в составе 5 государств членов Совета Безопасности а с другой активное участие в создании НАТО сети других военнополитических блоков. Была развернута сеть военных баз и объектов США в Европе в государствах участниках НАТО на Дальнем Востоке и в бассейне Тихого океана в Латинской Америке и зоне Карибского бассейна на Ближнем...
34595. Соединенное Королевство: географическое положение, рельеф, природные условия, флора и фауна. Символы 40.5 KB
  Официально же она именуется Соединенное Королевство Великобритании и Северной Ирландии. В целом на их долю приходится приблизительно 1 3 площади Великобритании и бoльшая часть Северной Ирландии. В Северной Ирландии змей нет. Символы: Флаг Соединенного Королевства Великобритании и Северной Ирландии или как его принято называть Юнион Джек Union Jck является сочетанием трех крестов святых покровителей Англии прямой красный крест на белом поле крест Св.
34596. Столетняя война 17.15 KB
  Столетняя война наименование длительного военного конфликта между Англией и Францией 13371453 вызванного стремлением Англии вернуть принадлежавшие ей на континенте Нормандию Мен Анжу и др. а также династическими притязаниями английских королей на французский престол. война между Англией и Францией. причины войны: стремление Франции вытеснить Англию с югозапада страны провинция Гиень и ликвидировать этот последний оплот английской власти на франц.
34597. Династия Тюдоров. Генрих VII 19.17 KB
  Генрих VII Генрих VII Тюдор 28 января 1457 – 21 апреля 1509 – король Англии и государь Ирландии 1485 – 1509. Родители: Эдмунд Тюдор 1й граф Ричмонд; единоутробный брак короля Генриха VI Маргарита Бофорт. 1471 – гибель Генриха VI и принца Уэльского Генрих – почти единственный родственник Ланкастеров. Генрих поклялся в Ренне в случае захвата власти жениться на дочери Эдуарда IV Елизавете Йоркской.
34598. Реформация, противостояние католиков и протестантов 12.42 KB
  Первоначально Генрих VIII был противником Реформации книга против Лютера В защиту 7 таинств 1521 г. Генрих был женат на Екатерина Арагонской единственный ребенок – девочка Мария Тюдор. Поняв что мальчиков не будет Генрих решил добиться развода однако Папа Римский Климент VII на это не согласился. Генрих обвинил английское духовенство в неповиновении статуту статут запрещал признавать любое лицо назначенное Папой без утверждения королем заставил духовенство признать себя главой церкви Англии.