1152

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывное и дискретное преобразование Хартли. Непрерывное преобразование Габора. Непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

Русский

2013-01-06

74 KB

92 чел.

ЛЕКЦИЯ №9

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

На лекции рассматриваются:

- непрерывное и дискретное преобразование Хартли;

- непрерывное преобразование Габора;

- непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

4.1. Преобразование Хартли

Преобразование Фурье отображает последовательность вещественных данных в комплексную область. Однако обработку вещественных данных желательно выполнять в вещественной области. Эту задачу решает преобразование Хартли.

Прямое и обратное непрерывное (аналоговое) преобразование Хартли определяются соотношениями:

 (4.1)

,  (4.2)

где

Прямое и обратное дискретное преобразование Хартли вещественной последовательности x(n) длины N определяются соотношениями:

 (4.3)

 (4.4)

Между ДПФ и ДПХ существует простая прямая связь:

 (4.5)

 (4.6)

С другой стороны, по известным составляющим  ДПФ можно получить ДПХ

 (4.7)

Быстрое преобразование Хартли (БПХ) предусматривает метод двоичной инверсии с последующим вычислением (4.8), которое аналогично БПФ с прореживанием по времени

 (4.8)

Симметричность формул прямого и обратного ДПХ, отсутствие комплексного представления данных и ряд других свойств ДПХ обеспечивают по сравнению с ДПФ более высокую вычислительную эффективность при обработке вещественных данных.

4.2. Преобразование Габора

Преобразование Габора представляет сигнал в виде синусоид, к которым применена гауссова функция (окно). Перейдем от прямого непрерывного преобразования Фурье к преобразованию Габора

,  (4.9)

- гауссова функция ,  (4.10)

локализует преобразование Фурье функции  в окрестности .

Центр окна по времени  определяется в виде

(4.11)

Ширина окна по времени определена по формуле

(4.12)

Тогда преобразование (4.9) локализует сигнал  во временном окне

,  (4.13)

т.е. имеет место временная локализация с центром окна в 0 и шириной

Преобразуем (4.9) к его частотному представлению (4.14),

 (4.14)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном в окрестности .

Для более удобного представления ширины частотного окна далее вместо  будем использовать

Центр окна по частоте  определяется по формуле

(4.15)

Ширина окна по частоте определена по формуле

(4.16)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном

,  (4.17)

т.е. имеет место частотная локализация с центром окна в 0 и шириной

Частотно-временное окно  представлено на рис.4.1.

В отличие от ДПФ, преобразование Габора позволяет локализовать сигнал в частотной и временной области. К недостаткам относится то, что ширина частотно-временного окна не меняется при рассмотрении спектра на разных частотах (это особенное плохо для очень высоких и низких частот)

                                                   

Рис. 4.1. Частотно-временные окна

4.3. Косинусное преобразование

Перейдем от прямого непрерывного (аналогового) преобразования Фурье к прямому непрерывному косинусному преобразованию

 (4.18)

Обратное непрерывное косинусное преобразование

 (4.19)

Обычно используются 4 типа ортогональных дискретных косинусных преобразований (ДКП) - DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4. Ограничимся рассмотрением  DCT-2 и DCT-4, реализованных в пакете Mathcad.

Прямое ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.20)

где   - масштабирующий коэффициент.

Прямое ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.21)

Обратное ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.22)

Обратное ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.23)

ДКП дает результат ошибку приближения меньшую, чем ДПФ, но его вычислительная сложность больше, чем ДПФ. Как и ДПФ, ДКП имеет плохую частотную локализацию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79014. Проблема классификации наук 54.5 KB
  Проблема классификации наук. Науки: гуманитарные естественные точные математические экономические макроэкономика логика психология. В конечном счете все проблемы по классификации наук проявляются как невозможность совершить упомянутую классификацию без нарушения логических правил: требования одного основания и правило запрещающее членам деления иметь общий элемент. проблемы в качестве своего источника имеют трудность отыскания такого единого основания деления которое было бы существенным признаком для любой науки Наука как целостное...
79015. Основные закономерности развития науки 37.5 KB
  Основные закономерности развития науки. Необходимо выделять внешнее и внутреннее развитие любой системы и рассматривать специфику того и другого видов развития в том числе и науки. Сам процесс развития науки также понимается далеко неоднозначно. cumultio увеличение накопление по сути дела сводит на нет и даже игнорирует качественные изменения которые происходят в структуре научного знания и вызываются изменением основных понятий и принципов науки особенно в ходе научных революций.
79016. Исторические типы рациональности: классическая, неклассическая, постклассическая науки 31.5 KB
  Исторические типы рациональности: классическая неклассическая постклассическая науки. Исторические типы научной рациональности. Три крупных стадии исторического развития науки каждую из которых открывает глобальная научная революция можно охарактеризовать как три исторических типа научной рациональности сменявшие друг друга в истории техногенной цивилизации. Причем появление каждого нового типа рациональности не отбрасывало предшествующего а только ограничивало сферу его действия определяя его применимость только к определенным типам...
79017. Саморазвивающиеся синергетические системы и стратегия научного поиска 57 KB
  Саморазвивающиеся синергетические системы и стратегия научного поиска. Между тем подлинная самоорганизация по самому смыслу этого термина означает именно изменение прежней организации порядка или структуры и появление нового порядка и структуры в результате изменения взаимодействия между элементами системы. Точнее говоря причины такого изменения поведения элементов системы их самоорганизации следует искать в процессе взаимодействия элементов системы с внешней средой. Как признается он сам в то время он решал частную проблему и не...
79018. Глобальный эволюционизм и современная научная картина мира 36 KB
  Глобальный эволюционизм и современная научная картина мира. Научная картина мира основа рационалистического мировоззрения опирающаяся на совокупный потенциал науки той или иной эпохи. В научной картине мира систематизируются научные знания полученные в различных дисциплинарных областях. Есть частная картина мира и общая картина мира.
79020. Проблема смысла и сущности техники 43 KB
  Проблема смысла и сущности техники. Сущность техники техника призвана усиливать органы и потенции человека в том числе и интеллектуальные. Узкий смысл понятия техники: под техникой понимается техническое устройство артефакт созданное человеком из элементов природы для решения конкретных культурных задач. Широкий смысл понятия техники: искусственный или организованный прием усиливающий улучшающий или облегчающий действие техника письма техника плавания техника вопросов и т.
79021. Роль техники в становлении классического математизированного и экспериментального естествознания 33.5 KB
  Роль техники в становлении классического математизированного и экспериментального естествознания. Дальнейшее усовершенствование техники упиралось в главное противоречие эпохи – противоречие между сравнительно высоким уровнем достигнутых к этому времени технологических знаний и резким отставанием теоретического естествознания. Развитие философии и естествознания в эпоху Возрождения привело к глубокому кризису аристотелевской картины мира и поставило задачу выработки отражающей реальные свойства действительности физической концепции а...
79022. Проблема гуманизации и экологизации современной техники 34 KB
  Проблема гуманизации и экологизации современной техники. Узкий смысл понятия техники: под техникой понимается техническое устройство артефакт созданное человеком из элементов природы для решения конкретных культурных задач. Широкий смысл понятия техники: искусственный или организованный прием усиливающий улучшающий или облегчающий действие техника письма техника плавания техника вопросов и т. При изучении вопроса о последствия техники и технологии следует иметь в виду двойственный характер техники.