1152

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывное и дискретное преобразование Хартли. Непрерывное преобразование Габора. Непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

Русский

2013-01-06

74 KB

94 чел.

ЛЕКЦИЯ №9

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

На лекции рассматриваются:

- непрерывное и дискретное преобразование Хартли;

- непрерывное преобразование Габора;

- непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

4.1. Преобразование Хартли

Преобразование Фурье отображает последовательность вещественных данных в комплексную область. Однако обработку вещественных данных желательно выполнять в вещественной области. Эту задачу решает преобразование Хартли.

Прямое и обратное непрерывное (аналоговое) преобразование Хартли определяются соотношениями:

 (4.1)

,  (4.2)

где

Прямое и обратное дискретное преобразование Хартли вещественной последовательности x(n) длины N определяются соотношениями:

 (4.3)

 (4.4)

Между ДПФ и ДПХ существует простая прямая связь:

 (4.5)

 (4.6)

С другой стороны, по известным составляющим  ДПФ можно получить ДПХ

 (4.7)

Быстрое преобразование Хартли (БПХ) предусматривает метод двоичной инверсии с последующим вычислением (4.8), которое аналогично БПФ с прореживанием по времени

 (4.8)

Симметричность формул прямого и обратного ДПХ, отсутствие комплексного представления данных и ряд других свойств ДПХ обеспечивают по сравнению с ДПФ более высокую вычислительную эффективность при обработке вещественных данных.

4.2. Преобразование Габора

Преобразование Габора представляет сигнал в виде синусоид, к которым применена гауссова функция (окно). Перейдем от прямого непрерывного преобразования Фурье к преобразованию Габора

,  (4.9)

- гауссова функция ,  (4.10)

локализует преобразование Фурье функции  в окрестности .

Центр окна по времени  определяется в виде

(4.11)

Ширина окна по времени определена по формуле

(4.12)

Тогда преобразование (4.9) локализует сигнал  во временном окне

,  (4.13)

т.е. имеет место временная локализация с центром окна в 0 и шириной

Преобразуем (4.9) к его частотному представлению (4.14),

 (4.14)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном в окрестности .

Для более удобного представления ширины частотного окна далее вместо  будем использовать

Центр окна по частоте  определяется по формуле

(4.15)

Ширина окна по частоте определена по формуле

(4.16)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном

,  (4.17)

т.е. имеет место частотная локализация с центром окна в 0 и шириной

Частотно-временное окно  представлено на рис.4.1.

В отличие от ДПФ, преобразование Габора позволяет локализовать сигнал в частотной и временной области. К недостаткам относится то, что ширина частотно-временного окна не меняется при рассмотрении спектра на разных частотах (это особенное плохо для очень высоких и низких частот)

                                                   

Рис. 4.1. Частотно-временные окна

4.3. Косинусное преобразование

Перейдем от прямого непрерывного (аналогового) преобразования Фурье к прямому непрерывному косинусному преобразованию

 (4.18)

Обратное непрерывное косинусное преобразование

 (4.19)

Обычно используются 4 типа ортогональных дискретных косинусных преобразований (ДКП) - DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4. Ограничимся рассмотрением  DCT-2 и DCT-4, реализованных в пакете Mathcad.

Прямое ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.20)

где   - масштабирующий коэффициент.

Прямое ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.21)

Обратное ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.22)

Обратное ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.23)

ДКП дает результат ошибку приближения меньшую, чем ДПФ, но его вычислительная сложность больше, чем ДПФ. Как и ДПФ, ДКП имеет плохую частотную локализацию.