1152

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывное и дискретное преобразование Хартли. Непрерывное преобразование Габора. Непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

Русский

2013-01-06

74 KB

97 чел.

ЛЕКЦИЯ №9

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

На лекции рассматриваются:

- непрерывное и дискретное преобразование Хартли;

- непрерывное преобразование Габора;

- непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

4.1. Преобразование Хартли

Преобразование Фурье отображает последовательность вещественных данных в комплексную область. Однако обработку вещественных данных желательно выполнять в вещественной области. Эту задачу решает преобразование Хартли.

Прямое и обратное непрерывное (аналоговое) преобразование Хартли определяются соотношениями:

 (4.1)

,  (4.2)

где

Прямое и обратное дискретное преобразование Хартли вещественной последовательности x(n) длины N определяются соотношениями:

 (4.3)

 (4.4)

Между ДПФ и ДПХ существует простая прямая связь:

 (4.5)

 (4.6)

С другой стороны, по известным составляющим  ДПФ можно получить ДПХ

 (4.7)

Быстрое преобразование Хартли (БПХ) предусматривает метод двоичной инверсии с последующим вычислением (4.8), которое аналогично БПФ с прореживанием по времени

 (4.8)

Симметричность формул прямого и обратного ДПХ, отсутствие комплексного представления данных и ряд других свойств ДПХ обеспечивают по сравнению с ДПФ более высокую вычислительную эффективность при обработке вещественных данных.

4.2. Преобразование Габора

Преобразование Габора представляет сигнал в виде синусоид, к которым применена гауссова функция (окно). Перейдем от прямого непрерывного преобразования Фурье к преобразованию Габора

,  (4.9)

- гауссова функция ,  (4.10)

локализует преобразование Фурье функции  в окрестности .

Центр окна по времени  определяется в виде

(4.11)

Ширина окна по времени определена по формуле

(4.12)

Тогда преобразование (4.9) локализует сигнал  во временном окне

,  (4.13)

т.е. имеет место временная локализация с центром окна в 0 и шириной

Преобразуем (4.9) к его частотному представлению (4.14),

 (4.14)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном в окрестности .

Для более удобного представления ширины частотного окна далее вместо  будем использовать

Центр окна по частоте  определяется по формуле

(4.15)

Ширина окна по частоте определена по формуле

(4.16)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном

,  (4.17)

т.е. имеет место частотная локализация с центром окна в 0 и шириной

Частотно-временное окно  представлено на рис.4.1.

В отличие от ДПФ, преобразование Габора позволяет локализовать сигнал в частотной и временной области. К недостаткам относится то, что ширина частотно-временного окна не меняется при рассмотрении спектра на разных частотах (это особенное плохо для очень высоких и низких частот)

                                                   

Рис. 4.1. Частотно-временные окна

4.3. Косинусное преобразование

Перейдем от прямого непрерывного (аналогового) преобразования Фурье к прямому непрерывному косинусному преобразованию

 (4.18)

Обратное непрерывное косинусное преобразование

 (4.19)

Обычно используются 4 типа ортогональных дискретных косинусных преобразований (ДКП) - DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4. Ограничимся рассмотрением  DCT-2 и DCT-4, реализованных в пакете Mathcad.

Прямое ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.20)

где   - масштабирующий коэффициент.

Прямое ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.21)

Обратное ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.22)

Обратное ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.23)

ДКП дает результат ошибку приближения меньшую, чем ДПФ, но его вычислительная сложность больше, чем ДПФ. Как и ДПФ, ДКП имеет плохую частотную локализацию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28215. Развитие мышления в онтогенезе: сравнительный анализ эмпирических характеристик допонятийного и понятийного мышления 43.5 KB
  Мышление высший психический процесс обобщенного и опосредованного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза при обязательном участии языка речи. В онтогенезе мышление развивается по пути все большей генерализации признаков и объединения их в более крупные классы.Допонятийное мышление нагляднодейственное через практическое действие с объектом нагляднообразное с помощью образных представлений 2.Понятийное мышление словеснологическое с помощью логических понятий и знаков Допонятийное мышление мышление при...
28216. Понятия «эгоцентризм» и «децентрация» в стадиальной концепции интеллекта Жана Пиаже 36.5 KB
  Пиаже показал что ребенок на определенной ступени развития в большинстве случаев рассматривает предметы такими какими их дает непосредственное восприятие то есть он не видит вещи в их внутренних отношениях. Ребенок думает например что луна следует за ним во время его прогулок останавливается когда он останавливается бежит за ним когда он убегает. Свое мгновенное восприятие ребенок считает абсолютно истинным. Вербальный эгоцентризм ребенка определяется тем что ребенок говорит не пытаясь воздействовать на собеседника и не осознает...
28217. Стадии формирования понятия (по Выготскому). Методы исследования и диагностики понятийного мышления 42 KB
  Методы исследования и диагностики понятийного мышления. Понятийное мышление ведущий вид мышления характеризуется использованием понятий логических конструкций которые существуют на базе языка и языковых средств. Понятийное мышление осознанное вербальное мышление. С ее помощью было установлено что формирование понятий у детей проходит через 3 основные ступени: Образование неоформленного неупорядоченного множества отдельных предметов их синкретического сцепления обозначаемого одним словом.
28218. Отношение мышления и речи. Роль внутренней речи в процессе мышления (по А.Н.Соколову). Методы исследования внутренней речи 37 KB
  Отношение мышления и речи. Роль внутренней речи в процессе мышления по А. Методы исследования внутренней речи. Внутренняя речь производная форма внешней звуковой речи специально приспособленная к выполнению мыслительных операций в уме.
28219. Язык и речь: виды речи и ее функции 38.5 KB
  Язык и речь: виды речи и ее функции. Речь конкретный продукт использования носителем языка системы вербальных знаков проявляющийся в различных процессах речи. Речь форма общения опосредствованная языком. Речь процесс использования языка.
28220. Память как сквозной психический процесс: ее функции, виды и процессы 48.5 KB
  При выделении процессов памяти в качестве основания рассматривают различные функции выполняемые памятью в жизни и деятельности. Основные процессы памяти: запоминание сохранение воспроизведение Есть еще один процесс памяти забывание. Деятельность памяти начинается с запоминания т. Таким образом запоминание можно определить как процесс памяти в результате которого происходит закрепление нового путем связывания его с приобретенным ранее.
28221. Основные характеристики памяти и методы их исследования 37 KB
  У нормального человека в процессе запоминания впечатления внешнего мира подвергаются классификации отбору переработке. Опосредствованный осмысленный характер запоминания. Отбирая нужное существенное подлежащее сохранению человек пользуется для лучшего удержания этого материала какимлибо обозначением чаще всего словом Опосредствованное запоминание осмысленного материала это высший уровень запоминания. Если в раннем детстве ребенок многое запоминает механически то впоследствии он все более широко пользуется опосредствованными...
28222. Факторы и способы повышения эффективности запоминания 38 KB
  Факторы влияющие на извлечение информации из памяти: Осмысленность информации. Неожиданностъ информации. В задаче запоминания и последующего воспроизведения уход из сознания неожиданных знаков будет осуществляться медленнее все мнемотехники стараются использовать самые невероятные и странные комбинации предметов Близостъ информации по смыслу или по форме. Время между предъявлением информации и извлечением ее из памяти.
28223. Внимание, его характеристики и методы диагностики 49.5 KB
  Функции внимания: 1функция отбора значимых воздействий которые соответствуют потребностям данной деятельности; 2функция игнорирования других несущественных контролирующих воздействий; 3функция удержания сохранения выполняемой деятельности пока не будет достигнута цель т. Виды внимания: непроизвольное непреднамеренное произвольное преднамеренное. Поддержание устойчивого произвольного внимания зависит от ряда условий. Свойства внимания: сосредоточенность удержание внимания на одном объекте или одной деятельности при отвлечении...