1152

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывное и дискретное преобразование Хартли. Непрерывное преобразование Габора. Непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

Русский

2013-01-06

74 KB

95 чел.

ЛЕКЦИЯ №9

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

На лекции рассматриваются:

- непрерывное и дискретное преобразование Хартли;

- непрерывное преобразование Габора;

- непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

4.1. Преобразование Хартли

Преобразование Фурье отображает последовательность вещественных данных в комплексную область. Однако обработку вещественных данных желательно выполнять в вещественной области. Эту задачу решает преобразование Хартли.

Прямое и обратное непрерывное (аналоговое) преобразование Хартли определяются соотношениями:

 (4.1)

,  (4.2)

где

Прямое и обратное дискретное преобразование Хартли вещественной последовательности x(n) длины N определяются соотношениями:

 (4.3)

 (4.4)

Между ДПФ и ДПХ существует простая прямая связь:

 (4.5)

 (4.6)

С другой стороны, по известным составляющим  ДПФ можно получить ДПХ

 (4.7)

Быстрое преобразование Хартли (БПХ) предусматривает метод двоичной инверсии с последующим вычислением (4.8), которое аналогично БПФ с прореживанием по времени

 (4.8)

Симметричность формул прямого и обратного ДПХ, отсутствие комплексного представления данных и ряд других свойств ДПХ обеспечивают по сравнению с ДПФ более высокую вычислительную эффективность при обработке вещественных данных.

4.2. Преобразование Габора

Преобразование Габора представляет сигнал в виде синусоид, к которым применена гауссова функция (окно). Перейдем от прямого непрерывного преобразования Фурье к преобразованию Габора

,  (4.9)

- гауссова функция ,  (4.10)

локализует преобразование Фурье функции  в окрестности .

Центр окна по времени  определяется в виде

(4.11)

Ширина окна по времени определена по формуле

(4.12)

Тогда преобразование (4.9) локализует сигнал  во временном окне

,  (4.13)

т.е. имеет место временная локализация с центром окна в 0 и шириной

Преобразуем (4.9) к его частотному представлению (4.14),

 (4.14)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном в окрестности .

Для более удобного представления ширины частотного окна далее вместо  будем использовать

Центр окна по частоте  определяется по формуле

(4.15)

Ширина окна по частоте определена по формуле

(4.16)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном

,  (4.17)

т.е. имеет место частотная локализация с центром окна в 0 и шириной

Частотно-временное окно  представлено на рис.4.1.

В отличие от ДПФ, преобразование Габора позволяет локализовать сигнал в частотной и временной области. К недостаткам относится то, что ширина частотно-временного окна не меняется при рассмотрении спектра на разных частотах (это особенное плохо для очень высоких и низких частот)

                                                   

Рис. 4.1. Частотно-временные окна

4.3. Косинусное преобразование

Перейдем от прямого непрерывного (аналогового) преобразования Фурье к прямому непрерывному косинусному преобразованию

 (4.18)

Обратное непрерывное косинусное преобразование

 (4.19)

Обычно используются 4 типа ортогональных дискретных косинусных преобразований (ДКП) - DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4. Ограничимся рассмотрением  DCT-2 и DCT-4, реализованных в пакете Mathcad.

Прямое ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.20)

где   - масштабирующий коэффициент.

Прямое ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.21)

Обратное ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.22)

Обратное ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.23)

ДКП дает результат ошибку приближения меньшую, чем ДПФ, но его вычислительная сложность больше, чем ДПФ. Как и ДПФ, ДКП имеет плохую частотную локализацию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76728. Трудовые ресурсы, персонал и трудовой потенциал организации 95 KB
  Современный трудовой коллектив представляет собой сложную социальную систему, где отдельные личности и группы людей взаимодействуют на принципах, весьма далеких от формально предписанных.
76729. Техника плавания способом кроль на спине 59.64 KB
  Славяне со свойственной им смекалкой с целью обмануть противника ложатся на дно реки навзничь и дышат держа во рту длинные нарочно для этого просверленные внутри камыши концы которых выходят на поверхность воды. Плечевой пояс расположен немного выше таза таз и бедра у поверхности воды.
76730. Брачно-семейные отношения 74.5 KB
  Личные и имущественные отношения супругов. Свойство отношения между людьми возникающие вследствие брачного союза: отношения между супругом и родственниками другого супруга а также между родственниками супругов. Семейного Кодекса РФ: государственная защита семьи материнства отцовства; недопустимость произвольного вмешательства в дела семьи; беспрепятственное осуществление членами семьи своих прав; возможность судебной защиты этих прав; признание брака заключенного только в органах записи актов гражданского состояния; ...
76731. Прикладное программирование 27.68 KB
  Представление информатики как научной дисциплины связано с рассмотрением проблем организации вычислений и обработки информации с помощью ЭВМ и внутри ЭВМ а также принципов организации и работы машинных интеллектуальных систем систем искусственного интеллекта на ЭВМ.
76733. Проведение занятий физкультуры для детей с нарушениями опорно-двигательного аппарата 106.21 KB
  Заболевания опорно-двигательного аппарата у детей могут носить врожденный или приобретенный характер. Улучшить состояние организма можно за счет назначения определенного курса лечения, дополнительного эффекта достигает проведение занятий лечебной физкультуры.
76734. Определение износных характеристик при тепловых режимах трения 842.95 KB
  Триботехника - наука о контактном взаимодействии твердых тел при их относительном движении охватывающая весь комплекс вопросов трения изнашивания и смазки машин. Смазка - действие смазочного материала в результате которого между двумя...
76736. Анатомия ягодичной области 182.33 KB
  Характерный овал области формируется ягодичными мышцами покрытыми хорошо выраженной собственной фасцией и обеспечивающими человеку не только вертикальное положение тела но и передвижение на двух конечностях и сидение. Поверхностный ягодичный слой Большая ягодичная мышца крупнопучковая мощная сильно развита изза прямохождения и сидения. Мышца разгибает бедро поворачивает его кнаружи; напрягает подвздошноберцовый тракт что удерживает колено разогнутым. Срединный ягодичный мышечный слой Средняя ягодичная мышца с началом от...