1152

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывное и дискретное преобразование Хартли. Непрерывное преобразование Габора. Непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

Русский

2013-01-06

74 KB

98 чел.

ЛЕКЦИЯ №9

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

На лекции рассматриваются:

- непрерывное и дискретное преобразование Хартли;

- непрерывное преобразование Габора;

- непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

4.1. Преобразование Хартли

Преобразование Фурье отображает последовательность вещественных данных в комплексную область. Однако обработку вещественных данных желательно выполнять в вещественной области. Эту задачу решает преобразование Хартли.

Прямое и обратное непрерывное (аналоговое) преобразование Хартли определяются соотношениями:

 (4.1)

,  (4.2)

где

Прямое и обратное дискретное преобразование Хартли вещественной последовательности x(n) длины N определяются соотношениями:

 (4.3)

 (4.4)

Между ДПФ и ДПХ существует простая прямая связь:

 (4.5)

 (4.6)

С другой стороны, по известным составляющим  ДПФ можно получить ДПХ

 (4.7)

Быстрое преобразование Хартли (БПХ) предусматривает метод двоичной инверсии с последующим вычислением (4.8), которое аналогично БПФ с прореживанием по времени

 (4.8)

Симметричность формул прямого и обратного ДПХ, отсутствие комплексного представления данных и ряд других свойств ДПХ обеспечивают по сравнению с ДПФ более высокую вычислительную эффективность при обработке вещественных данных.

4.2. Преобразование Габора

Преобразование Габора представляет сигнал в виде синусоид, к которым применена гауссова функция (окно). Перейдем от прямого непрерывного преобразования Фурье к преобразованию Габора

,  (4.9)

- гауссова функция ,  (4.10)

локализует преобразование Фурье функции  в окрестности .

Центр окна по времени  определяется в виде

(4.11)

Ширина окна по времени определена по формуле

(4.12)

Тогда преобразование (4.9) локализует сигнал  во временном окне

,  (4.13)

т.е. имеет место временная локализация с центром окна в 0 и шириной

Преобразуем (4.9) к его частотному представлению (4.14),

 (4.14)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном в окрестности .

Для более удобного представления ширины частотного окна далее вместо  будем использовать

Центр окна по частоте  определяется по формуле

(4.15)

Ширина окна по частоте определена по формуле

(4.16)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном

,  (4.17)

т.е. имеет место частотная локализация с центром окна в 0 и шириной

Частотно-временное окно  представлено на рис.4.1.

В отличие от ДПФ, преобразование Габора позволяет локализовать сигнал в частотной и временной области. К недостаткам относится то, что ширина частотно-временного окна не меняется при рассмотрении спектра на разных частотах (это особенное плохо для очень высоких и низких частот)

                                                   

Рис. 4.1. Частотно-временные окна

4.3. Косинусное преобразование

Перейдем от прямого непрерывного (аналогового) преобразования Фурье к прямому непрерывному косинусному преобразованию

 (4.18)

Обратное непрерывное косинусное преобразование

 (4.19)

Обычно используются 4 типа ортогональных дискретных косинусных преобразований (ДКП) - DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4. Ограничимся рассмотрением  DCT-2 и DCT-4, реализованных в пакете Mathcad.

Прямое ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.20)

где   - масштабирующий коэффициент.

Прямое ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.21)

Обратное ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.22)

Обратное ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.23)

ДКП дает результат ошибку приближения меньшую, чем ДПФ, но его вычислительная сложность больше, чем ДПФ. Как и ДПФ, ДКП имеет плохую частотную локализацию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11423. РАСШИРЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ИЗМЕРЕНИЯ ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ 963 KB
  Лабораторная работа № 8 РАСШИРЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ИЗМЕРЕНИЯ ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Овладеть методом расчета шунтов и добавочных сопротивлений. Подобрать шунт и добавочное сопротивление к предложенным приборам. ПРИБОРЫ: 1.Миллиампе
11424. РЕГУЛИРОВКА ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ 942.5 KB
  Лабораторная работа № 9 РЕГУЛИРОВКА ТОКА И НАПРЯЖЕНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Овладеть навыками подбора реостатов для регулировки тока и напряжения в электрических цепях. ПРИБОРЫ: 1. Источник питания РНШ для I части работы. 2. Источник питани...
11425. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКА ВЕЛИЧИНЫ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА 972.5 KB
  Лабораторная работа №11 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОРЯДКА ВЕЛИЧИНЫ УДЕЛЬНОГО ЗАРЯДА ЭЛЕКТРОНА ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Научиться определять порядок величины удельного заряда электрона по отклонению электронного пучка в магнитном поле. ПРИБОРЫ: 1. Лампа 6Е5С 2. Катушка индуктивности о
11426. ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА 1.95 MB
  Лабораторная работа № 12 ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ СОЛЕНОИДА ЦЕЛЬ РАБОТЫ: 1. Освоение двух методов измерения магнитной индукции: а измерение магнитной индукции с помощью датчика Холла т.е. с использованием одного из гальваномагнитных явлений; б измерение ...
11427. ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ГИСТЕРЕЗИСА 1.3 MB
  Лабораторная работа № 15 ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ГИСТЕРЕЗИСА ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Изучить физическую природу намагничивания диа пара и ферромагнетиков и ферритов. Исследовать зависимость величины индукции магнитного поля и величины относительной магнитной ...
11428. ИЗУЧЕНИЕ ВОЛЬАМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ДИОДА 46.5 KB
  Лабораторная работа № 16 ИЗУЧЕНИЕ ВОЛЬАМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОЛУПРОВОДНИКОВОГО ДИОДА ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Исследовать униполярную проводимость полупроводникового диода. ПРИБОРЫ: 1. Осциллограф школьный. 2. Выпрямитель ВУП. 3. Вольтметр АСТВ 300 В 4. Вольтметр М 105...
11429. ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ ПАРАМАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ КВИНКЕ 623 KB
  Лабораторная работа №17 ИЗМЕРЕНИЕ МАГНИТНОЙ ВОСПРИИМЧИВОСТИ ПАРАМАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ КВИНКЕ ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Овладеть методом Квинке для определения магнитной восприимчивости парамагнитной жидкости. Определить удельную магнитную восприимчивость раст...
11430. ЗАКОН ОМА В ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 329.5 KB
  Лабораторная работа №18 Часть I ЗАКОН ОМА В ЦЕПЯХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ЦЕЛЬ: 1. Овладеть методикой измерения L и С убедиться в выполнимости закона Ома для цепи переменного тока. ПРИБОРЫ: 1. Регулятор напряжения школьный РНШ 55. 2. Вольтметр Э 515 75 600 B. 3. Ампермет...
11431. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА 257.5 KB
  Часть II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОЩНОСТИ В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Цель задания: 1 Овладеть методикой измерения мощности в цепи переменного тока. 2 Определить угол сдвига фаз в цепи переменного тока используя ваттметр. Оборудование: к перечню приборов необходимых для выполн...