1152

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывное и дискретное преобразование Хартли. Непрерывное преобразование Габора. Непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

Русский

2013-01-06

74 KB

98 чел.

ЛЕКЦИЯ №9

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

На лекции рассматриваются:

- непрерывное и дискретное преобразование Хартли;

- непрерывное преобразование Габора;

- непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

4.1. Преобразование Хартли

Преобразование Фурье отображает последовательность вещественных данных в комплексную область. Однако обработку вещественных данных желательно выполнять в вещественной области. Эту задачу решает преобразование Хартли.

Прямое и обратное непрерывное (аналоговое) преобразование Хартли определяются соотношениями:

 (4.1)

,  (4.2)

где

Прямое и обратное дискретное преобразование Хартли вещественной последовательности x(n) длины N определяются соотношениями:

 (4.3)

 (4.4)

Между ДПФ и ДПХ существует простая прямая связь:

 (4.5)

 (4.6)

С другой стороны, по известным составляющим  ДПФ можно получить ДПХ

 (4.7)

Быстрое преобразование Хартли (БПХ) предусматривает метод двоичной инверсии с последующим вычислением (4.8), которое аналогично БПФ с прореживанием по времени

 (4.8)

Симметричность формул прямого и обратного ДПХ, отсутствие комплексного представления данных и ряд других свойств ДПХ обеспечивают по сравнению с ДПФ более высокую вычислительную эффективность при обработке вещественных данных.

4.2. Преобразование Габора

Преобразование Габора представляет сигнал в виде синусоид, к которым применена гауссова функция (окно). Перейдем от прямого непрерывного преобразования Фурье к преобразованию Габора

,  (4.9)

- гауссова функция ,  (4.10)

локализует преобразование Фурье функции  в окрестности .

Центр окна по времени  определяется в виде

(4.11)

Ширина окна по времени определена по формуле

(4.12)

Тогда преобразование (4.9) локализует сигнал  во временном окне

,  (4.13)

т.е. имеет место временная локализация с центром окна в 0 и шириной

Преобразуем (4.9) к его частотному представлению (4.14),

 (4.14)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном в окрестности .

Для более удобного представления ширины частотного окна далее вместо  будем использовать

Центр окна по частоте  определяется по формуле

(4.15)

Ширина окна по частоте определена по формуле

(4.16)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном

,  (4.17)

т.е. имеет место частотная локализация с центром окна в 0 и шириной

Частотно-временное окно  представлено на рис.4.1.

В отличие от ДПФ, преобразование Габора позволяет локализовать сигнал в частотной и временной области. К недостаткам относится то, что ширина частотно-временного окна не меняется при рассмотрении спектра на разных частотах (это особенное плохо для очень высоких и низких частот)

                                                   

Рис. 4.1. Частотно-временные окна

4.3. Косинусное преобразование

Перейдем от прямого непрерывного (аналогового) преобразования Фурье к прямому непрерывному косинусному преобразованию

 (4.18)

Обратное непрерывное косинусное преобразование

 (4.19)

Обычно используются 4 типа ортогональных дискретных косинусных преобразований (ДКП) - DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4. Ограничимся рассмотрением  DCT-2 и DCT-4, реализованных в пакете Mathcad.

Прямое ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.20)

где   - масштабирующий коэффициент.

Прямое ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.21)

Обратное ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.22)

Обратное ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.23)

ДКП дает результат ошибку приближения меньшую, чем ДПФ, но его вычислительная сложность больше, чем ДПФ. Как и ДПФ, ДКП имеет плохую частотную локализацию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1394. Математика управления капиталом Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров 2.36 MB
  Некоторые распространенные ложные концепции. Измерение степени пригодности системы для реинвестирования посредством. Характеристики торговли фиксированной долей и полезные методы. Параметрическое оптимальное f при нормальном распределении.
1395. Общая физика 2.36 MB
  Вектора углового перемещения, угловой скорости и ускорения. Производная единичного вектора (при его повороте). Нормальное и касательное ускорения. Центр инерции системы тел. Теорема о движении центра инерции. Закон сохранения импульса. Работа. Кинетическая энергия. Закон сохранения кинетической энергии. Мощность. Следствия из преобразований Лоренца: длины тел и промежутки времени.
1396. Advanced Animation with DirectX 2.43 MB
  Simulating Cloth and Soft Body Mesh Animation. Using Particles in Animation. Blending Morphing Animations. Timing in Animation and Movement. The source filter uses a single interface to represent a collage of filter objects.
1397. Маркетинговое исследование Компании the Сoca-Сola company 286.03 KB
  Получившийся напиток был запатентован как лекарственное средство «от любых нервных расстройств» и начал продаваться через автомат в крупнейшей городской аптеке Джекоба в Атланте. Интересно, что производство «Кока-Колы» в первый год было убыточным, но постепенно популярность «Кока-Колы»
1398. Технологии разработки Windows–приложений в системе Microsoft Visual C++ 2005. Использование Windows Forms 544.17 KB
  Общие сведения о Windows Forms. Программный код приложения, созданного на основе Windows Forms. Создание обработчиков событий. Добавление новой формы в проект. Получение навыков разработки Windows–приложений в системе Microsoft Visual C++ 2005 (VC++) с использованием классов Windows Forms из библиотек.
1399. Разработка приложений на основе Windows Forms с использованием кнопочных элементов управления и графических объектов 656.3 KB
  Получить навыки разработки на основе классов Windows Forms приложений, реализующих пользовательский интерфейс с помощью кнопок и графических объектов. Построение графиков в клиентской области. Алгоритм построения графика функции.
1400. Разработка приложений с применением элементов управления Windows Forms, обеспечивающих взаимодействие с пользователем 438.98 KB
  Ознакомление с возможностями элементов управления Windows Forms и получить навыки разработки приложений, реализующих пользовательский интерфейс с применением этих элементов. Компонент GroupBox (группа элементов управления). Элементы управления с поддержкой редактирования текста. Формирование элемента меню MenuItem.
1401. Исследование особенностей назначения пенсии за выслугу лет федеральным государственным гражданским служащим 134 KB
  Назначения пенсии за выслугу лет федеральным государственным гражданским служащим в Российской Федерации. Правовой статус федерального государственного гражданского служащего по российскому законодательству. Порядок рассмотрения заявления о назначении пенсии за выслугу лет федеральным государственным гражданским служащим
1402. Календарне планування. 673.5 KB
  Календарне планування – використання мережевої моделі для визначення моментів початку і кінця операцій програми. Виявляються критичні операції, які впливають на тривалість програми, і некритичні операції, які мають резерви часу. Резерви часу можна використати для оптимізації потреб в ресурсах.