1152

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

Лекция

Математика и математический анализ

Непрерывное и дискретное преобразование Хартли. Непрерывное преобразование Габора. Непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

Русский

2013-01-06

74 KB

98 чел.

ЛЕКЦИЯ №9

Преобразование Хартли и Габора, косинусное преобразование

На лекции рассматриваются:

- непрерывное и дискретное преобразование Хартли;

- непрерывное преобразование Габора;

- непрерывное и дискретное косинусное преобразование.

4.1. Преобразование Хартли

Преобразование Фурье отображает последовательность вещественных данных в комплексную область. Однако обработку вещественных данных желательно выполнять в вещественной области. Эту задачу решает преобразование Хартли.

Прямое и обратное непрерывное (аналоговое) преобразование Хартли определяются соотношениями:

 (4.1)

,  (4.2)

где

Прямое и обратное дискретное преобразование Хартли вещественной последовательности x(n) длины N определяются соотношениями:

 (4.3)

 (4.4)

Между ДПФ и ДПХ существует простая прямая связь:

 (4.5)

 (4.6)

С другой стороны, по известным составляющим  ДПФ можно получить ДПХ

 (4.7)

Быстрое преобразование Хартли (БПХ) предусматривает метод двоичной инверсии с последующим вычислением (4.8), которое аналогично БПФ с прореживанием по времени

 (4.8)

Симметричность формул прямого и обратного ДПХ, отсутствие комплексного представления данных и ряд других свойств ДПХ обеспечивают по сравнению с ДПФ более высокую вычислительную эффективность при обработке вещественных данных.

4.2. Преобразование Габора

Преобразование Габора представляет сигнал в виде синусоид, к которым применена гауссова функция (окно). Перейдем от прямого непрерывного преобразования Фурье к преобразованию Габора

,  (4.9)

- гауссова функция ,  (4.10)

локализует преобразование Фурье функции  в окрестности .

Центр окна по времени  определяется в виде

(4.11)

Ширина окна по времени определена по формуле

(4.12)

Тогда преобразование (4.9) локализует сигнал  во временном окне

,  (4.13)

т.е. имеет место временная локализация с центром окна в 0 и шириной

Преобразуем (4.9) к его частотному представлению (4.14),

 (4.14)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном в окрестности .

Для более удобного представления ширины частотного окна далее вместо  будем использовать

Центр окна по частоте  определяется по формуле

(4.15)

Ширина окна по частоте определена по формуле

(4.16)

Тогда преобразование (4.14) ограничено частотным окном

,  (4.17)

т.е. имеет место частотная локализация с центром окна в 0 и шириной

Частотно-временное окно  представлено на рис.4.1.

В отличие от ДПФ, преобразование Габора позволяет локализовать сигнал в частотной и временной области. К недостаткам относится то, что ширина частотно-временного окна не меняется при рассмотрении спектра на разных частотах (это особенное плохо для очень высоких и низких частот)

                                                   

Рис. 4.1. Частотно-временные окна

4.3. Косинусное преобразование

Перейдем от прямого непрерывного (аналогового) преобразования Фурье к прямому непрерывному косинусному преобразованию

 (4.18)

Обратное непрерывное косинусное преобразование

 (4.19)

Обычно используются 4 типа ортогональных дискретных косинусных преобразований (ДКП) - DCT-1, DCT-2, DCT-3, DCT-4. Ограничимся рассмотрением  DCT-2 и DCT-4, реализованных в пакете Mathcad.

Прямое ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.20)

где   - масштабирующий коэффициент.

Прямое ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.21)

Обратное ДКП типа DCT-2 представлено в виде

, ,  (4.22)

Обратное ДКП типа DCT-4 представлено в виде

,   (4.23)

ДКП дает результат ошибку приближения меньшую, чем ДПФ, но его вычислительная сложность больше, чем ДПФ. Как и ДПФ, ДКП имеет плохую частотную локализацию.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14774. Жамал Омарова 190 KB
  Жамал Омарова Омарова Жамал 19121976 әнші контральто. Қазақстанның халық артисі. Өзбек ССРнің Янгиюль қаласында туған. Ташкент педагогикалық училищесінде оқу бітірген. Ж. Омарова қазақ ұлттық операсымен ән мәдениетін дамытуға үлкен үлес қосты. Ол 19341936 жж....
14775. Жаппас Қаламбаев (1909-1970) мектебінің қобызда ойнау әдіс-тәсілдері, әуендік құрлыс өзгешілігі 46.75 KB
  Жаппас Қаламбаев 1909-1970 мектебінің қобызда ойнау әдістәсілдері әуендік құрлыс өзгешілігі. Қаратау күйшілік мектебі дегенде домбырашылық пен қобызшылық өнер қатар қанат жайған Созақ жері бірден ауызға оралады. Күйшілік дәстүрге келсек Қаратау күйлері Арқа...
14776. Жүсіпбек Елебеков 109.5 KB
  Жүсіпбек Елебеков Елебеков Жүсіпбек 1904-1977 әнші тенор. Қазақстанның халық артисі. Қарағанды облысында туған. Елебеков бес жасынан ән айтуды бастаған. Ән өнеріне оны ағасы Ж. Балғабайұлы баулиды. Кейін Ғ. Айтбаевтан Қ. Байжановтан Ә. Қашаубаевтан дәріс алады. Е
14777. Күләш Бәйсейітова 149 KB
  Күләш Бәйсейітова Байсеітова Күләш әнші лирико колоратуралық сопрано. СССР халық артисі ССРО Мемлекеттік сыйлығының лауреаты. Алматыда дүниеге келген. 1925-1928 жж. Алматы педагогикалық техникумында және қазақ драма театры жанындағы музыкалық драмалық студ
14779. Қазақ халық аспаптар оркестрін шығармашылық жетілдіруді инновациялық технологиялық өркендету арқылы дамыту 51.5 KB
  Қазақ халық аспаптар оркестрін шығармашылық жетілдіруді инновациялық технологиялық өркендету арқылы дамыту Мектебіміздің қазіргі таңдағы алға қойып отырған басты да түпкілікті мақсаты оқушылардың білім білік іскерлік дағдыларын дамытумен қатар олардың бойында
14780. Қазақстан опера өнерінің негізін салушы сахна жұлдыздары 36.5 KB
  Қазақстан опера өнерінің негізін салушы сахна жұлдыздары 2004 жылы Абай атындағы Мемлекеттік Академиялық опера және балет театрының құрылғанына 70 жыл толады. Осы айтулы мереке қарсаңында Асыл мұра жобасы Қазақстан опера өнерінің негізін салушы сахна жұлдызда...
14781. Қазақтың ұлттық аспаптары 127 KB
  Қазақтың ұлттық аспаптары. Адырна Адырна қазақ халқының өте ерте заманнан келе жатқан көп ішекті музыка аспабының бірі. Ежелгі заманда бұл аспапты аңшылар ұстаған. Садақ атып жебе тартып аң құстарды аулаған. Әуелде адырна садақ пішінді болды. Кейін бұл аспапты бұ
14782. Қазанғап күйші 63.5 KB
  Қазанғап күйші Тілепбергенұлы Қазанғап 1854-1927 қазақтың әйгілі күйшікомпозиторы. Туыпөскен жері арал көлінің жағасы Құланды түбегінің Ақбауыр деген жері. Топырақ бұйырған жері сол Ақбауыр маңы Айшуақ ауылының іргесі. Шыққан тегі Ұлы жүз құрамындағы байырғ