11520

Теорема Котельникова

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 Тема: теорема Котельникова Цель работы: Изучить теорему Котельникова. Разобраться в механизмах квантования сигналов по уровню и времени. Теоретические сведения Теорема Котельникова. Функция времени с

Русский

2013-04-08

259 KB

50 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Тема: теорема Котельникова

Цель работы: Изучить теорему Котельникова. Разобраться в механизмах

                         квантования сигналов по уровню и времени.

Теоретические сведения

 Теорема Котельникова. Функция времени с резко ограниченным спектром полностью определяется своим значениям (отсчетами), взятыми через интервал времени :

,                                           (1.1)

где - граничная частота спектра передаваемой функции.

 Доказательство теоремы. Пусть непрерывная функция времени u(t) имеет спектр, ограниченный частотой .

Используя обратное преобразование Фурье, представим эту функцию в виде

.                                                       (1.2)

Спектр U(f) продолжим периодически на всю ось частот с периодом 2. Тогда для частоты f, лежащей в пределах от -до , функцию U(f) можно представить в виде ряда Фурье:

,

причем

.

Используя (1.2), убеждаемся, что

,

поэтому

.

Подставляя это соотношение в (1.2), получаем

.

Изменяя порядок выполнения операций интегрирования и суммирования, имеем

,

откуда и следует (1.1).

Формула Котельникова дает точную сумму для любой функции u(t), спектр которой ограничен частотой , можно представить в виде суммы единичных импульсов (дельта-функций), соответствующих моментам времени и умноженных на значения функции u(t) в эти моменты и пропущенных через идеальный фильтр нижних частот с граничной частотой .

Отклик идеального фильтра нижних частот

.

С точностью до последнего множителя 2функция является реакцией фильтра нижних частот на единичный импульс .

Представим себе, что сигнал передается в виде последовательности прямоугольных импульсов длительностью с интервалом между импульсами , причем площадь каждого импульса равна (рис. 1.1).

рис. 1.1

При прохождении этой последовательности через идеальный фильтр нижних частот напряжение на выходе от k-го импульса

.

Напряжение на выходе от всех импульсов

.

Сравнивая данное выражение с формулой Котельникова, видим, что напряжение на выходе фильтра нижних частот отличается от первоначального напряжения лишь постоянным множителем 2. Следовательно,

.

Отсюда делаем заключение, что первоначальный в виде указанной последовательности прямоугольных импульсов, можно восстановить на приемном конце линии связи, пропуская эту последовательность через фильтр нижних частот с граничной частотой и усиливая в  раз.

Такая схема передачи показана на рис. 1.2 реальные сигналы не имеют строго ограниченного частотного спектра и, следовательно, могут быть переданы по линии связи лишь с известной погрешностью.

рис. 1.2

Практическое ограничение и их преодоление. Теорема Котельникова предполагает ограниченность спектра частотой . При восстановления сигнала по отсчетам предполагалось применение идеального фильтра, имеющего строго ограниченную полосу пропускания.

На практике не существует сигналов с ограниченным спектром, так как все сигналы, ограниченные во времени, имеют бесконечную ширину спектра. Не существует также идеальных фильтров, имеющих строго ограниченную полосу пропускания.

Рассмотрим влияние этих практических ограничений и способы уменьшения их влияния. Для этого рассмотрим, как изменяется функция u(t), когда берутся ее отсчеты.

В результате взятия отсчетов получаем из функции u(t) новую функцию.

,

где s(t) - периодическая последовательность прямоугольных импульсов единичной амплитуды, имеющих длительность и период повторения , где - частота отсчетов.

На рис. 18.15 показаны спектры U(f) и . Коэффициенты  убывают с увеличением n. Следовательно, <, поэтому левый и правый спектры на рис. 18.15 должны быть меньше центрального. Однако при малой длительности отсчета и <<1 очень мало отличается от . Поэтому на рис. 1.3 амплитуды спектров показаны одинаковыми.

Нетрудно заметить, что при <2спектры перекрываются. Очевидно, что сигнал u(t) можно восстановить по спектру с помощью фильтра нижних частот, если спектры не перекрываются, т.е. только при 2.

Минимальная частота отсчетов =2называется скоростью Найквиста. Так как реальные сигналы не имеют строго ограниченной частоты , за пределами которой спектральная плотность равна нулю, то всегда имеет место перекрытие спектров. Уменьшить влияние перекрытия спектров можно, увеличив частоту отсчетов по сравнению с 2(отсчитывается на достаточно малом уровне).

рис. 1.3

Влияние неидеальности фильтра нижних частот, применяемого для восстановления сигнала по его отсчетам, проявляется в том, что фильтр пропустит не только центральную часть спектра  (см. рис. 1.3), но и частично сигналы соседних спектров, даже когда они не перекрываются. Очевидно, что и в этом случае повышение частоты отсчетов позволяет лучше разнести спектры и уменьшить нежелательное проникновение составляющих частот соседних спектров. Очевидно также, что чем ближе к идеальным характеристики фильтра нижних частот в схеме рис. 1.2, тем меньше влияние рассмотренных выше практических ограничений.

Квантование сигнала по уровню. В соответствии с теоремой Котельникова сигнал с ограниченным спектром можно передавать по линии связи в виде последовательности импульсов, следующих через равные промежутки времени, с амплитудными, равными значениям сигнала в моменты передачи импульсов.

Обычно передаваемый сигнал имеет конечный диапазон амплитуд, но внутри этого диапазона значение амплитуды может быть произвольным. Точно передавать любое значение из этого множества нет необходимости. Например, весь диапазон громкостей, которые воспринимает ухо человека, укладывается в 130 дБ и при этом различаются уровни, отличающиеся по интенсивности не менее чем на 1 дБ. В этом случае достаточно передавать 130 уровней громкости.

Аналогично этому хорошее качество передачи изображения получается при числе уровней яркости порядка 30. Заметим, что в телевизионной испытательной таблице имеется всего 10 уровней яркости. Следовательно, в случае применения, например, АИМ вместо импульсов с непрерывным множеством значений амплитуд можно передавать импульсы с дискретными значениями амплитуды. Весь диапазон амплитуд разбивается на s уровней, и каждый раз передается ближайшее дискретное значение амплитуды. На рис. 1.4 в качестве примера показана передача сигнала при наличии четырех уровней. (s=4).

рис. 1.4

Дискретизация сигнала по амплитуде называется квантованием по уровню. Максимальная ошибка квантования не превышает половины шага квантования. Если амплитуда сигнала может с равной вероятностью принимать любые значения в пределах шага , то, заменяя ее ближайшим дискретным значением, мы допускаем ошибку х, среднее значение которой равно нулю, а дисперсия

,

где p(x)=1/ - плотность распределения вероятностей для ошибки х в пределах шага шкалы квантования. Величину можно трактовать как характеристику мощности шума квантования, добавление которого к сигналу вызывает такие же искажения, как те, которые возникают при квантовании сигнала по амплитуде.

Среднеквадратическая ошибка квантования

.

Мощность шума квантования

.

Если сигнал имеет s градаций и принимает с равной вероятностью любое значение в промежутке от 0 до s, то его мощность . Мощность первоначального сигнала .

Следовательно, мощность квантованного сигнала

.

Отношение мощности квантованного сигнала к мощности шума квантования

.

Для того чтобы шум квантования не вносил больших искажений, число s берут достаточно большим.

Ход работы

  1.  Изучить принцип квантования сигнала по уровню и времени.
  2.  На примере amроod.ac4, qvacted.ac4. изучить особенности схем подключения.
  3.  В соответствии с вариантом собрать схему, произвести квантование сигнала с заданной погрешностью.

Результат работы: собрать действующую схему для квантования сигнала по времени с параметрами в соответствии с вариантом.

Таблица 11

Варианты лабораторных заданий

1

2

3

Примечание: значения величин выдаются преподавателем на лабораторных работах.

Контрольные вопросы

  1.  Формулировка т. Котельникова, квантование по времени.
  2.  Схема получения квантования по времени.
  3.  Квантования по уровню.
  4.  Схема получения квантования по уровню.
  5.  Обратное преобразование проквантованных сигналов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22661. Основні закони випромінювання. Ф-ла Планка 381 KB
  Основні закони випромінювання. Закон СтефанаБольцмана для ачт : M=σT4 де М – енергетична густина випромінення σконстанта Стеф. Закон зміщення Віна: Tλmax=b де bconst яка не залежить від темпер. Класичній підхід: ймовірність що енергія моди лежить в проміжку тоді отримуємо формулу РелеяДжинса: ; Планк: тоді: формула Планка З формули Планка можна отримати закон зміщення Віна і М Т4 при Закон Кіргофа: спектральна випромінююча здатність поглинаюча здатність Це відношення не залежить від природи...
22662. Квантування енергії лінійного гармонічного осцилятора 75 KB
  Модель гармонічного осцилятора : частинка коливається навколо положення рівноваги тоді ми можемо розкласти наш потенціал в ряд поблизу положення рівноваги x0=0. Тоді гамільтоніан для такої системи буде Щоб перейти від класичної системи до квантової необхідно від фізичних величин перейти до операторів тоді . Щоб його розв’язати необхідно перейти до безрозмірних змінних тоді Розглянемо асимтотики цього рівняння: отримуєм при . Тоді підставляючи цей вираз у рівняння для U і роблячи деякі перетворення можна отримати вираз для...
22663. Явище радіоактивності. Види радіактивного розпаду 27.5 KB
  Види радіактивного розпаду. Ядра що підлягають такому розпаду наз. В процессі розпаду у ядра може змінюватись як атомний номер Z так і масове число A. Фізичною характеристикою розпаду є середній час життя ядер.
22664. γ – випромінювання та ефект Месбауера 46 KB
  γ – випромінювання та ефект Месбауера Явище γ – випромінювання ядер полягає в тому що ядро випромінює γ – квант без зміни А кількість нуклонів та Z кількість протонів. Гама – випромінювання виникає за рахунок енергії збудження ядра. Спектр γ – випромінювання завжди дискретний через дискретність ядерних рівнів. Особливо інтенсивне γ – випромінювання з’являється коли β – розпад у високій степені заборонений в основний стан кінцевого ядра і дозволений в один із збуджених станів.
22665. Класифікація ядерних реакцій. Реакція термоядерного синтезу 69 KB
  Ядерна реакція типу: де а А частинки до реакції;b В частинки після реакції;Q – енергія що виділилась після реакції екзотермічна реакція вид енерг ендотермічна реакція погл енерг пружне розсіяння . Реакції описуються за даними диференціального перерізу розсіяння в елемент тілесного кута : і інтегрального перерізу : . Можна виділити пружні і непружні реакції Складне compound ядро коли реакція йде у дві стадії: спочатку утворюється складне ядро С – воно повинно жити досить довго по ядерним масштабам – і яке потім...
22666. Ланцюгова реакція поділу ядер. Принцип роботи ядерних реакторів 161 KB
  Ланцюгова реакція ділення відбувається в середовищі в якій відбувається розмноження нейтронів також відбувається сповільнення дифузія поглинання таке середовище має назву – активна зона. Важливою фізичною величиною характеризуючою інтенсивність розмноження нейтронів являється коефіцієнт К розмноження нейтронів в середовищі. Кчисло утворившихся в одному акті поділу нейтронів що потім беруть участь в наступних реакціях поділу ядер. Він залежить від процесу уповільнення нейтронів та процесу дифузії які визначають пройденний шлях...
22667. Загальні принципи систематики субядерних частинок і їх взаємодії 28 KB
  В природі існує чотири фундаментальні взаємодії: сильна електромагнітна слабка та гравітаційна найслабша. Кожна взаємодія має свій квант який є переносчиком взаємодії. На даний момент відкритим лишається питання про квант передачі гравітаційної взаємодії так звану гіпотетичну частинку гравітон.
22668. Методи визначення числа Авогадро (досліди Перрена) 38 KB
  Методи визначення числа Авогадро досліди Перрена 1ий метод Перрена: досліджував броунівський рух частинок усі частинки зважені в рідині знаходяться в постійному хаотичному русі. В неї не входить миттєва швидкість броунівської частинки яку поміряти неможливо. Замість неї входить довжина прямолінійного відрізка що з’єднує положення частинки у два різні моменти часу: x2 = 2kTBt де k – стала Больцмана В – рухливість частинки де η – коефіцієнт внутрішнього тертя а α – радіус частинки частинка має форму кульки наближено. Перрен...
22669. Совершенствование процедуры аттестации госслужащих МКУ ЦБ МУО Орджоникидзевского района город Уфа 1.59 MB
  Аттестация государственных служащих декларируется современным законодательством в качестве обязательной нормы для определения уровня профессиональной подготовки и соответствия государственного служащего занимаемой должности государственной службы, а также для решения вопроса о присвоении ему квалификационного разряда.