11520

Теорема Котельникова

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 Тема: теорема Котельникова Цель работы: Изучить теорему Котельникова. Разобраться в механизмах квантования сигналов по уровню и времени. Теоретические сведения Теорема Котельникова. Функция времени с

Русский

2013-04-08

259 KB

51 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Тема: теорема Котельникова

Цель работы: Изучить теорему Котельникова. Разобраться в механизмах

                         квантования сигналов по уровню и времени.

Теоретические сведения

 Теорема Котельникова. Функция времени с резко ограниченным спектром полностью определяется своим значениям (отсчетами), взятыми через интервал времени :

,                                           (1.1)

где - граничная частота спектра передаваемой функции.

 Доказательство теоремы. Пусть непрерывная функция времени u(t) имеет спектр, ограниченный частотой .

Используя обратное преобразование Фурье, представим эту функцию в виде

.                                                       (1.2)

Спектр U(f) продолжим периодически на всю ось частот с периодом 2. Тогда для частоты f, лежащей в пределах от -до , функцию U(f) можно представить в виде ряда Фурье:

,

причем

.

Используя (1.2), убеждаемся, что

,

поэтому

.

Подставляя это соотношение в (1.2), получаем

.

Изменяя порядок выполнения операций интегрирования и суммирования, имеем

,

откуда и следует (1.1).

Формула Котельникова дает точную сумму для любой функции u(t), спектр которой ограничен частотой , можно представить в виде суммы единичных импульсов (дельта-функций), соответствующих моментам времени и умноженных на значения функции u(t) в эти моменты и пропущенных через идеальный фильтр нижних частот с граничной частотой .

Отклик идеального фильтра нижних частот

.

С точностью до последнего множителя 2функция является реакцией фильтра нижних частот на единичный импульс .

Представим себе, что сигнал передается в виде последовательности прямоугольных импульсов длительностью с интервалом между импульсами , причем площадь каждого импульса равна (рис. 1.1).

рис. 1.1

При прохождении этой последовательности через идеальный фильтр нижних частот напряжение на выходе от k-го импульса

.

Напряжение на выходе от всех импульсов

.

Сравнивая данное выражение с формулой Котельникова, видим, что напряжение на выходе фильтра нижних частот отличается от первоначального напряжения лишь постоянным множителем 2. Следовательно,

.

Отсюда делаем заключение, что первоначальный в виде указанной последовательности прямоугольных импульсов, можно восстановить на приемном конце линии связи, пропуская эту последовательность через фильтр нижних частот с граничной частотой и усиливая в  раз.

Такая схема передачи показана на рис. 1.2 реальные сигналы не имеют строго ограниченного частотного спектра и, следовательно, могут быть переданы по линии связи лишь с известной погрешностью.

рис. 1.2

Практическое ограничение и их преодоление. Теорема Котельникова предполагает ограниченность спектра частотой . При восстановления сигнала по отсчетам предполагалось применение идеального фильтра, имеющего строго ограниченную полосу пропускания.

На практике не существует сигналов с ограниченным спектром, так как все сигналы, ограниченные во времени, имеют бесконечную ширину спектра. Не существует также идеальных фильтров, имеющих строго ограниченную полосу пропускания.

Рассмотрим влияние этих практических ограничений и способы уменьшения их влияния. Для этого рассмотрим, как изменяется функция u(t), когда берутся ее отсчеты.

В результате взятия отсчетов получаем из функции u(t) новую функцию.

,

где s(t) - периодическая последовательность прямоугольных импульсов единичной амплитуды, имеющих длительность и период повторения , где - частота отсчетов.

На рис. 18.15 показаны спектры U(f) и . Коэффициенты  убывают с увеличением n. Следовательно, <, поэтому левый и правый спектры на рис. 18.15 должны быть меньше центрального. Однако при малой длительности отсчета и <<1 очень мало отличается от . Поэтому на рис. 1.3 амплитуды спектров показаны одинаковыми.

Нетрудно заметить, что при <2спектры перекрываются. Очевидно, что сигнал u(t) можно восстановить по спектру с помощью фильтра нижних частот, если спектры не перекрываются, т.е. только при 2.

Минимальная частота отсчетов =2называется скоростью Найквиста. Так как реальные сигналы не имеют строго ограниченной частоты , за пределами которой спектральная плотность равна нулю, то всегда имеет место перекрытие спектров. Уменьшить влияние перекрытия спектров можно, увеличив частоту отсчетов по сравнению с 2(отсчитывается на достаточно малом уровне).

рис. 1.3

Влияние неидеальности фильтра нижних частот, применяемого для восстановления сигнала по его отсчетам, проявляется в том, что фильтр пропустит не только центральную часть спектра  (см. рис. 1.3), но и частично сигналы соседних спектров, даже когда они не перекрываются. Очевидно, что и в этом случае повышение частоты отсчетов позволяет лучше разнести спектры и уменьшить нежелательное проникновение составляющих частот соседних спектров. Очевидно также, что чем ближе к идеальным характеристики фильтра нижних частот в схеме рис. 1.2, тем меньше влияние рассмотренных выше практических ограничений.

Квантование сигнала по уровню. В соответствии с теоремой Котельникова сигнал с ограниченным спектром можно передавать по линии связи в виде последовательности импульсов, следующих через равные промежутки времени, с амплитудными, равными значениям сигнала в моменты передачи импульсов.

Обычно передаваемый сигнал имеет конечный диапазон амплитуд, но внутри этого диапазона значение амплитуды может быть произвольным. Точно передавать любое значение из этого множества нет необходимости. Например, весь диапазон громкостей, которые воспринимает ухо человека, укладывается в 130 дБ и при этом различаются уровни, отличающиеся по интенсивности не менее чем на 1 дБ. В этом случае достаточно передавать 130 уровней громкости.

Аналогично этому хорошее качество передачи изображения получается при числе уровней яркости порядка 30. Заметим, что в телевизионной испытательной таблице имеется всего 10 уровней яркости. Следовательно, в случае применения, например, АИМ вместо импульсов с непрерывным множеством значений амплитуд можно передавать импульсы с дискретными значениями амплитуды. Весь диапазон амплитуд разбивается на s уровней, и каждый раз передается ближайшее дискретное значение амплитуды. На рис. 1.4 в качестве примера показана передача сигнала при наличии четырех уровней. (s=4).

рис. 1.4

Дискретизация сигнала по амплитуде называется квантованием по уровню. Максимальная ошибка квантования не превышает половины шага квантования. Если амплитуда сигнала может с равной вероятностью принимать любые значения в пределах шага , то, заменяя ее ближайшим дискретным значением, мы допускаем ошибку х, среднее значение которой равно нулю, а дисперсия

,

где p(x)=1/ - плотность распределения вероятностей для ошибки х в пределах шага шкалы квантования. Величину можно трактовать как характеристику мощности шума квантования, добавление которого к сигналу вызывает такие же искажения, как те, которые возникают при квантовании сигнала по амплитуде.

Среднеквадратическая ошибка квантования

.

Мощность шума квантования

.

Если сигнал имеет s градаций и принимает с равной вероятностью любое значение в промежутке от 0 до s, то его мощность . Мощность первоначального сигнала .

Следовательно, мощность квантованного сигнала

.

Отношение мощности квантованного сигнала к мощности шума квантования

.

Для того чтобы шум квантования не вносил больших искажений, число s берут достаточно большим.

Ход работы

  1.  Изучить принцип квантования сигнала по уровню и времени.
  2.  На примере amроod.ac4, qvacted.ac4. изучить особенности схем подключения.
  3.  В соответствии с вариантом собрать схему, произвести квантование сигнала с заданной погрешностью.

Результат работы: собрать действующую схему для квантования сигнала по времени с параметрами в соответствии с вариантом.

Таблица 11

Варианты лабораторных заданий

1

2

3

Примечание: значения величин выдаются преподавателем на лабораторных работах.

Контрольные вопросы

  1.  Формулировка т. Котельникова, квантование по времени.
  2.  Схема получения квантования по времени.
  3.  Квантования по уровню.
  4.  Схема получения квантования по уровню.
  5.  Обратное преобразование проквантованных сигналов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20657. Мировоззрение – понятие, структура и формы. Мировоззрение и философия 82 KB
  В более развёрнутом виде мировоззрение можно рассматривать как целостную самостоятельную социально детерминированную систему в которой сложно отражены и взаимосвязаны наиболее общие взгляды образы оценки принципы чувственные и рациональные представления индивида и коллектива о действительности в объективном природном общественном и субъективном индивидуальном состоянии и отношении к ним человека в его духовной деятельности. Основной проблемой мировоззрения выступает вопрос о специфики отношений связующих человека и мир. Раскрытие...
20658. Предмет, структура, функции философии. Философия и культура. Философия и наука 100 KB
  Определение философии. Подобное понимание лишает философское знание научной специфики создаёт ложное представление о философии как чистом мышлении способном существовать вне связей с объективной реальностью размывает уникальность её предмета целей задач и методов исследования а также ограничивает рамками личностного субъективного видения мира. Поэтому для определения философии можно использовать такой этимологический перевод как любовь к истине.
20659. Философия Древней Индии и Китая 88 KB
  Небо выступает в роли судьбы рока Дао дословно путь в данном случае божественный небесный путь или правильный жизненный путь человека и народа полностью соответствующий небесной воле. Как таковой культ прошлого поклонение предкам и древней мудрости является характерной чертой всей древнекитайской культуры что находит своё отражение и в конфуцианстве считавшем прошлые поколения более нравственным наполненными благоговением перед небесным владыкой и стремящимися максимально соответствовать Дао. Даосизм. В качестве основной...
20660. Происхождение античной философии. Первые досократические философские школы 160.5 KB
  Закономерность приравнивалась к законности а упорядоченность мира представлялась как легитимность. То есть уже на ранних шагах античной мысли представление о картине мира выстраивалась на взглядах содержащих первые рациональные представления пытающиеся преодолеть ограниченность мифологических вымыслов и рассмотреть человека общество в качестве центра Вселенной что и приводило к определённому антропоморфизму в понимании процессов объективной реальности. Eidos образ вид; подразумевалось идея понятие или метафизическая сущность...
20661. Философские идеи Сократа 41.5 KB
  Философ считал что письмена делают знания отстранёнными внешними для человека и мешают глубокому пониманию истины и воспитанию личности. Поэтому считая что истина содержится внутри самого человека предпочитал живой диалог спор как единственно правильное средство получения достоверных знаний о мире. Второй зрелый этап сосредоточен на раскрытие природы человека. Философия должна открывать человека исследовать его так как именно в нас заключено то познавательное начало которое способно изучать и аккумулировать знания как о себе...
20662. Философское учение Платона 70.5 KB
  Платон настоящее имя Аристокл Платон от греческого platys широкоплечий полный 427 347 год до н. Платон был основателем собственной философской школы занятия слушателей которой проходили в роще посвящённой античному герою Академу что непосредственно повлияло на её название Академия. Философская Академия Платона просуществовала 915 лет.
20663. Философия Аристотеля, Критика платоновского учения об идеях 72.5 KB
  Аристотель 384 322 год до н. Аристотель проучившись в платоновской академии 20 лет вплоть до смерти Платона развивал философские положения своего учителя придерживаясь объективного идеализма и смог привнести в это течение новые неоспоримо значимые идеи. Аристотель предпочитал проводить занятия со своими учениками прогуливаясь по саду вблизи школы. Для обозначения философской школы Аристотеля используется и такое название как перипатетика от греческого peripatio крытая галерея занятия Аристотель проводил не только прогуливаясь...
20664. Философские школы поздней античности (эллинистическая эпоха) 186.5 KB
  Если ранее у греков существовало представление о своём духовном превосходстве над варварами не способных к культуре и к свободной деятельности что запечатлевалось даже в работах Платона и Аристотеля то в новую эпоху взаимовлияния культур формируется представление о едином бытие человека. Под влиянием восточных культур например астрологических и мистических течений Вавилона происходит эклектическое соединение рационального и сверхъестественного в понимание мира что пагубно отражается и на морали где вера в судьбу в определённость...
20665. Специфика философской мысли в эпоху средневековья 76 KB
  Этот период патристика сталкивается с внутренним противоречием которое выражено в том что стремление посредством рациональной аргументации доказать бытие Бога бессмертие души и прочих сакральных компонентов христианской догматики идёт в разрез с краеугольным положением религии о непостижимости при помощи разума божественных таинств доступных только исключительно в вере. Обсуждаются проблемы: а тринитальный вопрос о единстве и троичности Бога; б христологический вопрос о сочетание в Христе двух начал природного и божественного; в...