11520

Теорема Котельникова

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1 Тема: теорема Котельникова Цель работы: Изучить теорему Котельникова. Разобраться в механизмах квантования сигналов по уровню и времени. Теоретические сведения Теорема Котельникова. Функция времени с

Русский

2013-04-08

259 KB

48 чел.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Тема: теорема Котельникова

Цель работы: Изучить теорему Котельникова. Разобраться в механизмах

                         квантования сигналов по уровню и времени.

Теоретические сведения

 Теорема Котельникова. Функция времени с резко ограниченным спектром полностью определяется своим значениям (отсчетами), взятыми через интервал времени :

,                                           (1.1)

где - граничная частота спектра передаваемой функции.

 Доказательство теоремы. Пусть непрерывная функция времени u(t) имеет спектр, ограниченный частотой .

Используя обратное преобразование Фурье, представим эту функцию в виде

.                                                       (1.2)

Спектр U(f) продолжим периодически на всю ось частот с периодом 2. Тогда для частоты f, лежащей в пределах от -до , функцию U(f) можно представить в виде ряда Фурье:

,

причем

.

Используя (1.2), убеждаемся, что

,

поэтому

.

Подставляя это соотношение в (1.2), получаем

.

Изменяя порядок выполнения операций интегрирования и суммирования, имеем

,

откуда и следует (1.1).

Формула Котельникова дает точную сумму для любой функции u(t), спектр которой ограничен частотой , можно представить в виде суммы единичных импульсов (дельта-функций), соответствующих моментам времени и умноженных на значения функции u(t) в эти моменты и пропущенных через идеальный фильтр нижних частот с граничной частотой .

Отклик идеального фильтра нижних частот

.

С точностью до последнего множителя 2функция является реакцией фильтра нижних частот на единичный импульс .

Представим себе, что сигнал передается в виде последовательности прямоугольных импульсов длительностью с интервалом между импульсами , причем площадь каждого импульса равна (рис. 1.1).

рис. 1.1

При прохождении этой последовательности через идеальный фильтр нижних частот напряжение на выходе от k-го импульса

.

Напряжение на выходе от всех импульсов

.

Сравнивая данное выражение с формулой Котельникова, видим, что напряжение на выходе фильтра нижних частот отличается от первоначального напряжения лишь постоянным множителем 2. Следовательно,

.

Отсюда делаем заключение, что первоначальный в виде указанной последовательности прямоугольных импульсов, можно восстановить на приемном конце линии связи, пропуская эту последовательность через фильтр нижних частот с граничной частотой и усиливая в  раз.

Такая схема передачи показана на рис. 1.2 реальные сигналы не имеют строго ограниченного частотного спектра и, следовательно, могут быть переданы по линии связи лишь с известной погрешностью.

рис. 1.2

Практическое ограничение и их преодоление. Теорема Котельникова предполагает ограниченность спектра частотой . При восстановления сигнала по отсчетам предполагалось применение идеального фильтра, имеющего строго ограниченную полосу пропускания.

На практике не существует сигналов с ограниченным спектром, так как все сигналы, ограниченные во времени, имеют бесконечную ширину спектра. Не существует также идеальных фильтров, имеющих строго ограниченную полосу пропускания.

Рассмотрим влияние этих практических ограничений и способы уменьшения их влияния. Для этого рассмотрим, как изменяется функция u(t), когда берутся ее отсчеты.

В результате взятия отсчетов получаем из функции u(t) новую функцию.

,

где s(t) - периодическая последовательность прямоугольных импульсов единичной амплитуды, имеющих длительность и период повторения , где - частота отсчетов.

На рис. 18.15 показаны спектры U(f) и . Коэффициенты  убывают с увеличением n. Следовательно, <, поэтому левый и правый спектры на рис. 18.15 должны быть меньше центрального. Однако при малой длительности отсчета и <<1 очень мало отличается от . Поэтому на рис. 1.3 амплитуды спектров показаны одинаковыми.

Нетрудно заметить, что при <2спектры перекрываются. Очевидно, что сигнал u(t) можно восстановить по спектру с помощью фильтра нижних частот, если спектры не перекрываются, т.е. только при 2.

Минимальная частота отсчетов =2называется скоростью Найквиста. Так как реальные сигналы не имеют строго ограниченной частоты , за пределами которой спектральная плотность равна нулю, то всегда имеет место перекрытие спектров. Уменьшить влияние перекрытия спектров можно, увеличив частоту отсчетов по сравнению с 2(отсчитывается на достаточно малом уровне).

рис. 1.3

Влияние неидеальности фильтра нижних частот, применяемого для восстановления сигнала по его отсчетам, проявляется в том, что фильтр пропустит не только центральную часть спектра  (см. рис. 1.3), но и частично сигналы соседних спектров, даже когда они не перекрываются. Очевидно, что и в этом случае повышение частоты отсчетов позволяет лучше разнести спектры и уменьшить нежелательное проникновение составляющих частот соседних спектров. Очевидно также, что чем ближе к идеальным характеристики фильтра нижних частот в схеме рис. 1.2, тем меньше влияние рассмотренных выше практических ограничений.

Квантование сигнала по уровню. В соответствии с теоремой Котельникова сигнал с ограниченным спектром можно передавать по линии связи в виде последовательности импульсов, следующих через равные промежутки времени, с амплитудными, равными значениям сигнала в моменты передачи импульсов.

Обычно передаваемый сигнал имеет конечный диапазон амплитуд, но внутри этого диапазона значение амплитуды может быть произвольным. Точно передавать любое значение из этого множества нет необходимости. Например, весь диапазон громкостей, которые воспринимает ухо человека, укладывается в 130 дБ и при этом различаются уровни, отличающиеся по интенсивности не менее чем на 1 дБ. В этом случае достаточно передавать 130 уровней громкости.

Аналогично этому хорошее качество передачи изображения получается при числе уровней яркости порядка 30. Заметим, что в телевизионной испытательной таблице имеется всего 10 уровней яркости. Следовательно, в случае применения, например, АИМ вместо импульсов с непрерывным множеством значений амплитуд можно передавать импульсы с дискретными значениями амплитуды. Весь диапазон амплитуд разбивается на s уровней, и каждый раз передается ближайшее дискретное значение амплитуды. На рис. 1.4 в качестве примера показана передача сигнала при наличии четырех уровней. (s=4).

рис. 1.4

Дискретизация сигнала по амплитуде называется квантованием по уровню. Максимальная ошибка квантования не превышает половины шага квантования. Если амплитуда сигнала может с равной вероятностью принимать любые значения в пределах шага , то, заменяя ее ближайшим дискретным значением, мы допускаем ошибку х, среднее значение которой равно нулю, а дисперсия

,

где p(x)=1/ - плотность распределения вероятностей для ошибки х в пределах шага шкалы квантования. Величину можно трактовать как характеристику мощности шума квантования, добавление которого к сигналу вызывает такие же искажения, как те, которые возникают при квантовании сигнала по амплитуде.

Среднеквадратическая ошибка квантования

.

Мощность шума квантования

.

Если сигнал имеет s градаций и принимает с равной вероятностью любое значение в промежутке от 0 до s, то его мощность . Мощность первоначального сигнала .

Следовательно, мощность квантованного сигнала

.

Отношение мощности квантованного сигнала к мощности шума квантования

.

Для того чтобы шум квантования не вносил больших искажений, число s берут достаточно большим.

Ход работы

  1.  Изучить принцип квантования сигнала по уровню и времени.
  2.  На примере amроod.ac4, qvacted.ac4. изучить особенности схем подключения.
  3.  В соответствии с вариантом собрать схему, произвести квантование сигнала с заданной погрешностью.

Результат работы: собрать действующую схему для квантования сигнала по времени с параметрами в соответствии с вариантом.

Таблица 11

Варианты лабораторных заданий

1

2

3

Примечание: значения величин выдаются преподавателем на лабораторных работах.

Контрольные вопросы

  1.  Формулировка т. Котельникова, квантование по времени.
  2.  Схема получения квантования по времени.
  3.  Квантования по уровню.
  4.  Схема получения квантования по уровню.
  5.  Обратное преобразование проквантованных сигналов.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62403. OUR CLASSES 26.38 KB
  Becoming a doctor is a dream for millions of students around the world. Studying medicine can lead to a career as a doctor of course, but it doesnt have to be this cut and dry.
62405. Работа с разными видами глин: лепка по гипсовой форме 583.76 KB
  Из поколения в поколение переходят традиции ремесла и искусства игрушки передаются в народе представления о жизни труде красоте. Древнейшие глиняные игрушки найденные археологами на территории нашей страны относятся к эпохе бронзы ко II тысячелетию до Рождества Христова.