11553

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Отчет по лабораторной работе №5 Численное интегрирование 1. Цель работы. Освоить численные методы алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций. 2. Задание. Составить алгоритм программу вычисления интеграла методами...

Русский

2013-04-08

51 KB

14 чел.

Отчет по лабораторной работе №5

“Численное интегрирование”

1. Цель работы.

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций.

2. Задание.

Составить алгоритм, программу вычисления интеграла методами левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона.

Таблица 1 Исходные данные.

Номер варианта

Подинтегральная функция

Пределы интегрирования

7

4x3cosx+x4sinx

0 – π/4

3. Программа.

var

mas: array [1..5000] of real;

F1,F2,F3, t, h, x, F, y, a, b : real;

i, N: integer;

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F:=F+t;

end;

writeln ('F=',F);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=b;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F1:=0;

for i:=2 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F1:=F1+t;

end;

writeln ('F1=',F1);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=(a+b)/2;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F2:=0;

for i:=1 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F2:=F2+t;

end;

writeln ('F2=',F2);

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F3:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=(h/6)*(mas[i]+2*(mas[i]+mas[i+1])+mas[i+1]);

F3:=F3+t;

end;

writeln ('F3=',F3);

end;

end.

4. Результаты.

С помощью, приведенной выше программы, были рассчитаны значения интеграла от уравнения, указанного в таблице 1, четырьмя различными способами: методом левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона. Точность результатов, получаемая каждым методом различна. Кроме того, она зависит от количества отрезков n, на которые разбивается интервал интегрирования. Программа позволяет указывать вручную параметр n.  Данные, полученные разными методами, при различном значении n приведены на рисунке 1.

Рис. 1. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Таблица 2 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсо

на

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0,345

0,336

0,165

0,345

10

0.0015

0.002

0,005

0.000375

0,342

0,332

0,155

0,342

20

0

0.0015

0,0025

0

0,342

0,329

0,150

0,342

40

0.0005

0,0005

0,001

0.000125

0,341

0,328

0,148

0,341

80

0

0,0005

0,0005

0

0,341

0,327

0,147

0,341

160

0

0

0,0005

0

0,341

0,327

0,146

0,341

320

При использовании всех методов численного интегрирования возникает вопрос о правильности выбора шага интегрирования h, т.к. точное значение интеграла неизвестно. На практике оценку погрешности проводят по правилу Рунге.

,

Где F – точное значение интеграла, Fh, Fh/2 – значения интегралов, вычисленные по квадратурной формуле при шаге h и h/2, k – порядок точности квадратурной формулы (k=2 для формул методов прямоугольников и трапеций и k=4 для метода Симпсона).

 Правило Рунге используется в стандартных программах на ЭВМ для «автоматического» выбора шага по заданной погрешности интегрирования ε. Для этого вычисляют интегралы при шагах h и h/2 и находится оценка Рунге.

Что и было мной вычислено и записано в Таблицу 2. По данным, которые получились, можно сделать вывод.

5. Выводы.

Наиболее точные результаты были получены методом Симпсона и методом левых прямоугольников. Значения интеграла от функции     4x3sinx+x4cosx, полученные методом средних и правых прямоугольников при различных значениях n, имеют тоже небольшую погрешность, но по сравнению с методом левых прямоугольников и методом Симпсона все-таки имеют худшую погрешность. Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы левых прямоугольников, а при использовании формулы правых, или средних прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42540. Концепция общества. Общество как система 15.77 KB
  Социальная система - структурный элемент социальной реальности, определенное целостное образование, основными элементами которого являются люди, их связи и взаимодействия.
42541. Принципы типологии общества. Типы общества 16.21 KB
  Традиционное общество — это общество с аграрным укладом, малоподвижными структурами и способом социокультурной регуляции, основанном на традициях (традиционное общество). Поведение индивидов в нем строго контролируется, регламентируется обычаями и нормами традиционного поведения, устоявшимися социальными институтами
42542. Первині засоби пожежегасіння та дослідження якості вогнегасних речовин 37 KB
  В комплексі заходів спрямованих на ліквідацію пожежі що використовуються в системі протипожежного захисту важливе значення має вибір найбільш раціональних способів та засобів припинення горіння згідно зі СниП 2. Існують такі основні способи припинення горіння : Охолодження зони горіння або речовини що горять нижче певних температур. Ізоляція вогнища горіння від повітря. Хімічне гальмування інгібування швидкості реакцій окислення горіння у полумї.
42543. Імітаційна модель CALL-центру 29 KB
  Вихідні дані Кп кількість букв у Вашому прізвищі 5. Кг кількість голосних букв в Вашому прізвищі 2. Кприг кількість приголосних букв в Вашому прізвищі 3. Кількість операторів = Кп = 5 Обробка викликів надання відповіді користувачеві розподіляється за законом Паретто.
42544. КОНТРОЛЬ ПАРТИИ ИЗДЕЛИЙ, ВЫБОР ОРГАНИЗАЦИОННОЙ СТРУКТУРЫ 893.5 KB
  Бригады получают конкретное задание детально знакомятся с постановкой задачи разбивают ее на простейшие выясняют тип распределения контролируемого параметра и определяют его числовые вероятностные характеристики.
42545. Разработать Windows Forms приложение - программу-калькулятор дробей 44 KB
  не имеют общих делителей то дробь называется несократимой; любая дробь может быть представлена к несократимой если её числитель сократить на их наибольший общий делитель Hog наибольшее натуральное число на которое они оба делятся без остатка; две любые дроби b и c b считаются равными если d=bc; две несократимые дроби считаются равными если равны их числители и знаменатели =c и b=d. Умножение: W W'={U U'V V'} W=U d1V d2 и W'=U' d2V' d1 где d1=HogUV' и d2=HogU' V. Деление: W W'={U U' V...
42546. Утилиты ТСР/IP. Методические указания к лабораторной работе 139 KB
  Получение списка серверов имен для домена yndex. C: nslookup type=ns yndex.35 Nonuthorittive nswer: yndex.ru yndex.
42547. Субъекты и объекты права на защиту собственности. Практика Европейского Суда по правам человека в праве собственности 62.35 KB
  С учетом расширения экономических связей между государствами, развитием миграционных процессов, возрастающей ролью привлечения иностранных инвестиций создание единых наднациональных стандартов защиты права собственности как фундаментального права человека и основной экономической категории, становится как никогда актуальным.
42548. Сортування методом вставок 29.5 KB
  Завдання: розробити програму, що забезпечує сортування вхідного файлу методом вставок. Вхідний файл містить в собі двовимірний масив чисел цілого типу, всі елементи якого слід відсортувати за зростанням, причому зробити це окремо в кожному стовпці.