11553

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Отчет по лабораторной работе №5 Численное интегрирование 1. Цель работы. Освоить численные методы алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций. 2. Задание. Составить алгоритм программу вычисления интеграла методами...

Русский

2013-04-08

51 KB

14 чел.

Отчет по лабораторной работе №5

“Численное интегрирование”

1. Цель работы.

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций.

2. Задание.

Составить алгоритм, программу вычисления интеграла методами левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона.

Таблица 1 Исходные данные.

Номер варианта

Подинтегральная функция

Пределы интегрирования

7

4x3cosx+x4sinx

0 – π/4

3. Программа.

var

mas: array [1..5000] of real;

F1,F2,F3, t, h, x, F, y, a, b : real;

i, N: integer;

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F:=F+t;

end;

writeln ('F=',F);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=b;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F1:=0;

for i:=2 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F1:=F1+t;

end;

writeln ('F1=',F1);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=(a+b)/2;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F2:=0;

for i:=1 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F2:=F2+t;

end;

writeln ('F2=',F2);

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F3:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=(h/6)*(mas[i]+2*(mas[i]+mas[i+1])+mas[i+1]);

F3:=F3+t;

end;

writeln ('F3=',F3);

end;

end.

4. Результаты.

С помощью, приведенной выше программы, были рассчитаны значения интеграла от уравнения, указанного в таблице 1, четырьмя различными способами: методом левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона. Точность результатов, получаемая каждым методом различна. Кроме того, она зависит от количества отрезков n, на которые разбивается интервал интегрирования. Программа позволяет указывать вручную параметр n.  Данные, полученные разными методами, при различном значении n приведены на рисунке 1.

Рис. 1. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Таблица 2 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсо

на

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0,345

0,336

0,165

0,345

10

0.0015

0.002

0,005

0.000375

0,342

0,332

0,155

0,342

20

0

0.0015

0,0025

0

0,342

0,329

0,150

0,342

40

0.0005

0,0005

0,001

0.000125

0,341

0,328

0,148

0,341

80

0

0,0005

0,0005

0

0,341

0,327

0,147

0,341

160

0

0

0,0005

0

0,341

0,327

0,146

0,341

320

При использовании всех методов численного интегрирования возникает вопрос о правильности выбора шага интегрирования h, т.к. точное значение интеграла неизвестно. На практике оценку погрешности проводят по правилу Рунге.

,

Где F – точное значение интеграла, Fh, Fh/2 – значения интегралов, вычисленные по квадратурной формуле при шаге h и h/2, k – порядок точности квадратурной формулы (k=2 для формул методов прямоугольников и трапеций и k=4 для метода Симпсона).

 Правило Рунге используется в стандартных программах на ЭВМ для «автоматического» выбора шага по заданной погрешности интегрирования ε. Для этого вычисляют интегралы при шагах h и h/2 и находится оценка Рунге.

Что и было мной вычислено и записано в Таблицу 2. По данным, которые получились, можно сделать вывод.

5. Выводы.

Наиболее точные результаты были получены методом Симпсона и методом левых прямоугольников. Значения интеграла от функции     4x3sinx+x4cosx, полученные методом средних и правых прямоугольников при различных значениях n, имеют тоже небольшую погрешность, но по сравнению с методом левых прямоугольников и методом Симпсона все-таки имеют худшую погрешность. Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы левых прямоугольников, а при использовании формулы правых, или средних прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65338. ДОСЛІДЖЕННЯ ПРОЦЕСУ ТА РОЗРОБКА ТЕХНОЛОГІЇ ЕЛЕКТРОШЛАКОВОГО ЛИТТЯ КОРПУСІВ ФЛАНЦЕВОЇ АРМАТУРИ ВИСОКОГО ТИСКУ 7.98 MB
  Метою роботи було розв’язання важливої народногосподарської задачі що полягає в створенні в Україні ефективного промислового виробництва високоякісних заготовок корпусів фланцевих засувок для видобутку нафти і природного газу з великих глибин методами електрошлакової технології.
65339. Оптимізація керування рухом судна в штормових умовах 556 KB
  Незважаючи на певні досягнення в теорії та практиці управління судном, погодні умови, як і раніше, залишаються одним з найбільш значущих факторів, що безпосередньо впливають на економічну ефективність та безпеку судноплавства.
65340. Формування субмікрокристалічної структури і властивостей металів методами комбінованої пластичної деформації 8.16 MB
  Аналіз стану питання показує, що одним із перспективних напрямків досліджень є вивчення впливу комбінованої пластичної деформації зі зсувом на формування структури і комплексу механічних властивостей металевих матеріалів.
65341. Розрахунок плитних фундаментів на в’язкопружній основі під впливом статичних і динамічних навантажень 440 KB
  Таким чином проблема побудови необхідних для визначення напруженодеформованого стану стінчастих фундаментів аналітичних розв’язків є актуальною і потребує вирішення. Методи дослідження: застосування та розвинення аналітичних методів розрахунку основну роль...
65342. ВПЛИВ ГУМОРАЛЬНИХ ФАКТОРІВ Т-ЛІМФОЦИТІВ НА ОСОБЛИВОСТІ ФУНКЦІОНУВАННЯ КЛІТИН РАКУ МОЛОЧНОЇ ЗАЛОЗИ ЗА УМОВ СФЕРОЇДНОГО ТА МОНОШАРОВОГО РОСТУ 208.5 KB
  Розуміння особливостей клітинної взаємодії при пухлинному процесі залишається актуальною медико-біологічною проблемою. З огляду на це, розроблення та впровадження простих та доступних клітинних систем для діагностики та дослідження...
65343. Удосконалення динамічної діагностики структурно-неоднорідних деталей ДТЗ 940.5 KB
  Інтересом до розробки достовірної методики динамічних розрахунків деталей нової техніки об’єднаних в загальний клас структурно– неоднорідних об’єктів в міцністних розрахунках яких необхідно враховувати як природу...
65344. Адміністративно-правові засади формування системи та правового статусу антимонопольних органів в Україні 178 KB
  В останні десятиріччя дедалі більшого значення в Україні набуває захист і підтримка добросовісної економічної конкуренції, яка є головним рушієм розвитку ринку. Ефективність такого захисту залежить, у першу чергу, від діяльності компетентних...
65345. ПІДВИЩЕННЯ ТЕХНІКО-ЕКСПЛУАТАЦІЙНИХ ПОКАЗНИКІВ СТРІЛОВИХ САМОХІДНИХ КРАНІВ ЗАСТОСУВАННЯМ ГІДРАВЛІЧНИХ ГАСИТЕЛІВ КОЛИВАНЬ 2.1 MB
  Одним з напрямків вирішення цієї задачі є динамічне гасіння коливань суть якого полягає в приєднанні до силових ланцюгів механізмів допоміжних гасителів коливань з метою зниження коливального стану крана.
65346. КОНСТИТУЦІЙНЕ ПРАВО ГРОМАДЯН БРАТИ УЧАСТЬ У ВСЕУКРАЇНСЬКИХ ТА МІСЦЕВИХ РЕФЕРЕНДУМАХ І ЙОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ В УКРАЇНІ 157.5 KB
  Процес становлення громадянського суспільства в Україні та розбудова української демократичної правової держави передбачає перетворення українського народу з об’єкта державного управління в пріоритетний суб’єкт влади.