11553

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Отчет по лабораторной работе №5 Численное интегрирование 1. Цель работы. Освоить численные методы алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций. 2. Задание. Составить алгоритм программу вычисления интеграла методами...

Русский

2013-04-08

51 KB

14 чел.

Отчет по лабораторной работе №5

“Численное интегрирование”

1. Цель работы.

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций.

2. Задание.

Составить алгоритм, программу вычисления интеграла методами левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона.

Таблица 1 Исходные данные.

Номер варианта

Подинтегральная функция

Пределы интегрирования

7

4x3cosx+x4sinx

0 – π/4

3. Программа.

var

mas: array [1..5000] of real;

F1,F2,F3, t, h, x, F, y, a, b : real;

i, N: integer;

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F:=F+t;

end;

writeln ('F=',F);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=b;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F1:=0;

for i:=2 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F1:=F1+t;

end;

writeln ('F1=',F1);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=(a+b)/2;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F2:=0;

for i:=1 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F2:=F2+t;

end;

writeln ('F2=',F2);

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F3:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=(h/6)*(mas[i]+2*(mas[i]+mas[i+1])+mas[i+1]);

F3:=F3+t;

end;

writeln ('F3=',F3);

end;

end.

4. Результаты.

С помощью, приведенной выше программы, были рассчитаны значения интеграла от уравнения, указанного в таблице 1, четырьмя различными способами: методом левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона. Точность результатов, получаемая каждым методом различна. Кроме того, она зависит от количества отрезков n, на которые разбивается интервал интегрирования. Программа позволяет указывать вручную параметр n.  Данные, полученные разными методами, при различном значении n приведены на рисунке 1.

Рис. 1. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Таблица 2 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсо

на

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0,345

0,336

0,165

0,345

10

0.0015

0.002

0,005

0.000375

0,342

0,332

0,155

0,342

20

0

0.0015

0,0025

0

0,342

0,329

0,150

0,342

40

0.0005

0,0005

0,001

0.000125

0,341

0,328

0,148

0,341

80

0

0,0005

0,0005

0

0,341

0,327

0,147

0,341

160

0

0

0,0005

0

0,341

0,327

0,146

0,341

320

При использовании всех методов численного интегрирования возникает вопрос о правильности выбора шага интегрирования h, т.к. точное значение интеграла неизвестно. На практике оценку погрешности проводят по правилу Рунге.

,

Где F – точное значение интеграла, Fh, Fh/2 – значения интегралов, вычисленные по квадратурной формуле при шаге h и h/2, k – порядок точности квадратурной формулы (k=2 для формул методов прямоугольников и трапеций и k=4 для метода Симпсона).

 Правило Рунге используется в стандартных программах на ЭВМ для «автоматического» выбора шага по заданной погрешности интегрирования ε. Для этого вычисляют интегралы при шагах h и h/2 и находится оценка Рунге.

Что и было мной вычислено и записано в Таблицу 2. По данным, которые получились, можно сделать вывод.

5. Выводы.

Наиболее точные результаты были получены методом Симпсона и методом левых прямоугольников. Значения интеграла от функции     4x3sinx+x4cosx, полученные методом средних и правых прямоугольников при различных значениях n, имеют тоже небольшую погрешность, но по сравнению с методом левых прямоугольников и методом Симпсона все-таки имеют худшую погрешность. Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы левых прямоугольников, а при использовании формулы правых, или средних прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52003. Групи слів за значенням: омоніми, синоніми, антоніми (загальне ознайомлення). 57.5 KB
  Групи слів за значенням: омоніми синоніми антоніми загальне ознайомлення. Мета уроку: поглибити знання учнів про групи слів за значенням; ознайомити їх з омонімами синонімами антонімами навчити школярів правильно застосовувати їх у текстах знаходити у реченнях доречно використовувати у мовленні; виховувати інтерес до усної народної творчості. Групи слів за значенням Групи слів Звукова форма Значення Приклади Омоніми Однакова зовсім різні Ласка тварина ласка матері Синоніми різна однакові або хуртовина близькі заметіль Антоніми...