11553

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Отчет по лабораторной работе №5 Численное интегрирование 1. Цель работы. Освоить численные методы алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций. 2. Задание. Составить алгоритм программу вычисления интеграла методами...

Русский

2013-04-08

51 KB

14 чел.

Отчет по лабораторной работе №5

“Численное интегрирование”

1. Цель работы.

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций.

2. Задание.

Составить алгоритм, программу вычисления интеграла методами левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона.

Таблица 1 Исходные данные.

Номер варианта

Подинтегральная функция

Пределы интегрирования

7

4x3cosx+x4sinx

0 – π/4

3. Программа.

var

mas: array [1..5000] of real;

F1,F2,F3, t, h, x, F, y, a, b : real;

i, N: integer;

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F:=F+t;

end;

writeln ('F=',F);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=b;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F1:=0;

for i:=2 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F1:=F1+t;

end;

writeln ('F1=',F1);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=(a+b)/2;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F2:=0;

for i:=1 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F2:=F2+t;

end;

writeln ('F2=',F2);

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F3:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=(h/6)*(mas[i]+2*(mas[i]+mas[i+1])+mas[i+1]);

F3:=F3+t;

end;

writeln ('F3=',F3);

end;

end.

4. Результаты.

С помощью, приведенной выше программы, были рассчитаны значения интеграла от уравнения, указанного в таблице 1, четырьмя различными способами: методом левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона. Точность результатов, получаемая каждым методом различна. Кроме того, она зависит от количества отрезков n, на которые разбивается интервал интегрирования. Программа позволяет указывать вручную параметр n.  Данные, полученные разными методами, при различном значении n приведены на рисунке 1.

Рис. 1. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Таблица 2 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсо

на

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0,345

0,336

0,165

0,345

10

0.0015

0.002

0,005

0.000375

0,342

0,332

0,155

0,342

20

0

0.0015

0,0025

0

0,342

0,329

0,150

0,342

40

0.0005

0,0005

0,001

0.000125

0,341

0,328

0,148

0,341

80

0

0,0005

0,0005

0

0,341

0,327

0,147

0,341

160

0

0

0,0005

0

0,341

0,327

0,146

0,341

320

При использовании всех методов численного интегрирования возникает вопрос о правильности выбора шага интегрирования h, т.к. точное значение интеграла неизвестно. На практике оценку погрешности проводят по правилу Рунге.

,

Где F – точное значение интеграла, Fh, Fh/2 – значения интегралов, вычисленные по квадратурной формуле при шаге h и h/2, k – порядок точности квадратурной формулы (k=2 для формул методов прямоугольников и трапеций и k=4 для метода Симпсона).

 Правило Рунге используется в стандартных программах на ЭВМ для «автоматического» выбора шага по заданной погрешности интегрирования ε. Для этого вычисляют интегралы при шагах h и h/2 и находится оценка Рунге.

Что и было мной вычислено и записано в Таблицу 2. По данным, которые получились, можно сделать вывод.

5. Выводы.

Наиболее точные результаты были получены методом Симпсона и методом левых прямоугольников. Значения интеграла от функции     4x3sinx+x4cosx, полученные методом средних и правых прямоугольников при различных значениях n, имеют тоже небольшую погрешность, но по сравнению с методом левых прямоугольников и методом Симпсона все-таки имеют худшую погрешность. Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы левых прямоугольников, а при использовании формулы правых, или средних прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85538. Закувала та сива зозуля (козацька пісня) 92.5 KB
  Як розумієте вираз сива давнина У які ігри любив гратися в дитинстві письменник Які співав пісні дід письменника Що вони викликали Прочитайте згадки автора про козацькі пісні. Козачі пісні думи. а Читання пісні вчителем. Проблемне питання: Про що мріяли невільники козаки б Словникова робота...
85539. Від усмішки йде до всіх тепло. В.О.Сухомлинський «Усмішка» 66 KB
  Актуалізувати і розширити знання дітей про життя і творчість видатного українського педагога і письменника; розвивати уміння аналізувати і структурувати текст (знаходити описи, міркування, зачин, основну частину, кінцівку).
85540. Підсумок за темою: «З любов’ю до рідної землі» 37 KB
  Мета: викликати інтерес до читання творів, удосконалювати навички свідомого читання, розуміння прочитаного, оволодівати лексикою і фразеологією української мови; розвивати спостережливість; вчити логічно мислити, аналізувати...
85541. Урок Доброти за творами В.О. Сухомлинського 53.5 KB
  Обладнання: Крилаті вислови прислівя про доброту твори В. Творити повсякчас добро для інших це велике покликання людини. Тож хочу наш урок позакласного читання розпочати такими словами: Живи добро звершай Та нагород за це не вимагай Хай оживає істина стара: Людина починається з добра Саме цей вислів Людина починається з добра є темою нашого уроку ДОБРОТИ.
85542. Життя і творчість М. Рильського М. Рильський. Не кидайсь хлібом 69.5 KB
  Мета: Продовжити знайомити дітей із творчістю українського письменника М. Виховувати почуття поваги до праці хлібороба бережне ставлення до хліба. Давайте розшифруємо що ж хотіли хлопчаки нам сказати НЕ кидайсь хлібом IV Повідомлення теми та мети уроку Цими словами розпочинається ще один вірш...
85543. З думкою про канікули. Правила поведінки під час масових заходів 63.5 KB
  Мета: Навчати учнів бачити, відчувати створені словами образи природи; удосконалювати техніку читання віршованих та прозових творів, насичених діалогами. Вчити свідомо сприймати художні тексти, визначати головну думку в прочитаному творі.
85544. Як по-різному звучать мелодії природи... С. Жупанин «Мелодії природи». О. Олесь «В небі жайворонки в’ються» 81.5 KB
  Вправи для підвищення швидкості читання і розвитку мовлення Творче завдання Розвиток звязного мовлення. Співи яких птахів ви чуєте Який настрій викликає у вас щебетання пташок 2 Самостійне читання учнями тексту на с. Читання слів знизу вгору. Читання слів у парі римовані слова.
85545. Т.Г.Шевченко – поет, художник, патріот 144.5 KB
  Шевченка вчити сприймати зміст поезії на слух відображати його в малюнках викликати бажання розповідати вивчені вірші й слухати нові показати барвистість красу рідної мови її мелодійність; розвивати память увагу спостережливість поповнювати словниковий запас учнів; виховувати милосердя доброту любов...
85546. Уроку позакласного читання «Людина починається з добра» 88 KB
  Розширити знання дітей про життя і творчість В.Сухомлинського; формувати оцінні судження щодо ознак добра і зла; збагачувати словник учнів; формувати читацький інтерес; розвивати вміння колективно обговорювати прочитане, уважно і зацікавлено слухати товариша і доповнювати його відповідь у ході бесіди...