11553

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Отчет по лабораторной работе №5 Численное интегрирование 1. Цель работы. Освоить численные методы алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций. 2. Задание. Составить алгоритм программу вычисления интеграла методами...

Русский

2013-04-08

51 KB

14 чел.

Отчет по лабораторной работе №5

“Численное интегрирование”

1. Цель работы.

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций.

2. Задание.

Составить алгоритм, программу вычисления интеграла методами левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона.

Таблица 1 Исходные данные.

Номер варианта

Подинтегральная функция

Пределы интегрирования

7

4x3cosx+x4sinx

0 – π/4

3. Программа.

var

mas: array [1..5000] of real;

F1,F2,F3, t, h, x, F, y, a, b : real;

i, N: integer;

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F:=F+t;

end;

writeln ('F=',F);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=b;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F1:=0;

for i:=2 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F1:=F1+t;

end;

writeln ('F1=',F1);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=(a+b)/2;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F2:=0;

for i:=1 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F2:=F2+t;

end;

writeln ('F2=',F2);

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F3:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=(h/6)*(mas[i]+2*(mas[i]+mas[i+1])+mas[i+1]);

F3:=F3+t;

end;

writeln ('F3=',F3);

end;

end.

4. Результаты.

С помощью, приведенной выше программы, были рассчитаны значения интеграла от уравнения, указанного в таблице 1, четырьмя различными способами: методом левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона. Точность результатов, получаемая каждым методом различна. Кроме того, она зависит от количества отрезков n, на которые разбивается интервал интегрирования. Программа позволяет указывать вручную параметр n.  Данные, полученные разными методами, при различном значении n приведены на рисунке 1.

Рис. 1. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Таблица 2 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсо

на

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0,345

0,336

0,165

0,345

10

0.0015

0.002

0,005

0.000375

0,342

0,332

0,155

0,342

20

0

0.0015

0,0025

0

0,342

0,329

0,150

0,342

40

0.0005

0,0005

0,001

0.000125

0,341

0,328

0,148

0,341

80

0

0,0005

0,0005

0

0,341

0,327

0,147

0,341

160

0

0

0,0005

0

0,341

0,327

0,146

0,341

320

При использовании всех методов численного интегрирования возникает вопрос о правильности выбора шага интегрирования h, т.к. точное значение интеграла неизвестно. На практике оценку погрешности проводят по правилу Рунге.

,

Где F – точное значение интеграла, Fh, Fh/2 – значения интегралов, вычисленные по квадратурной формуле при шаге h и h/2, k – порядок точности квадратурной формулы (k=2 для формул методов прямоугольников и трапеций и k=4 для метода Симпсона).

 Правило Рунге используется в стандартных программах на ЭВМ для «автоматического» выбора шага по заданной погрешности интегрирования ε. Для этого вычисляют интегралы при шагах h и h/2 и находится оценка Рунге.

Что и было мной вычислено и записано в Таблицу 2. По данным, которые получились, можно сделать вывод.

5. Выводы.

Наиболее точные результаты были получены методом Симпсона и методом левых прямоугольников. Значения интеграла от функции     4x3sinx+x4cosx, полученные методом средних и правых прямоугольников при различных значениях n, имеют тоже небольшую погрешность, но по сравнению с методом левых прямоугольников и методом Симпсона все-таки имеют худшую погрешность. Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы левых прямоугольников, а при использовании формулы правых, или средних прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83592. Сучасна система міжнародних економічних організацій 39.05 KB
  На універсальному рівні основними організаціями є ООН її спеціалізовані установи і СОТ. Незважаючи на важливу роль ООН в регулюванні міжнародних економічних відносиносновну роботу з розробки універсальних стандартів в галузі МЕП сьогодні здійснюють МВФ Група Світового банку та СОТ. СОТ була створена в 1994 р. Установчим документом СОТ є Марракешська угода про заснування СОТ 1994 р.
83593. Система і право Світової організації торгівлі. Угода про заснування СОТ. Функції, компетенція, структура СОТ. Багатосторонні угоди системи СОТ 42.96 KB
  Угода про заснування СОТ. Функції компетенція структура СОТ. Багатосторонні угоди системи СОТ. Світова організація торгівлі СОТ єдина міжнародна організація що опікується глобальними правилами торгівлі між країнами.
83594. Міжнародний валютний фонд 43.71 KB
  Міжнаро́дний валю́тний фонд МВФ англійською IMF спеціальне агентство Організації Об\'єднаних Націй ООН засноване 29ма державами[1][2] з метою регулювання валютнокредитних відносин країнчленів і надання їм допомоги при дефіциті платіжного балансу шляхом надання коротко і середньострокових кредитів в іноземній валюті. Штабквартира МВФ знаходиться в м. МВФ було створено 27 грудня 1945 року після підписання 29ма державами угоди розробленої на Конференції ООН з валютнофінансових питань 22 липня 1944 року. МВФ є інституційною основою...
83595. Поняття та джерела міжнародного екологічного права 37.32 KB
  Міжнародне екологічне право - галузь міжнародного права, принципи і норми якої регулюють відносини між його суб\'єктами в сфері охорони навколишнього середовища та раціонального використання природних ресурсів. Правове регулювання міжнародного екологічного права спрямоване на обмеження шкідливого антропогенного впливу на навколишнє середовище
83596. Принципи міжнародного екологічного права 37.97 KB
  Спеціальні (галузеві) принципи міжнародного права навколишнього середовища найбільш повно зафіксовані у Стокгольмській декларації з навколишнього середовища (26 принципів) і Декларації Ріо-де-Жанейро з навколишнього середовища і розвитку
83597. Міжнародна співпраця у області охорони навколишнього середовища 42.91 KB
  Тому проблема гармонізації відносин суспільства і природи охорони навколишнього середовища набула глобального значення. У межах міжнародного співробітництва в галузі охорони навколишнього природного середовища вирішуються найбільш складні проблеми і конкретні проекти. Особливу групу проектів складають наукові дослідження впливу діяльності людини на клімат передбачення землетрусів і цунамі роботи в галузі біологічних та генетичних наслідків забруднення оточуючого середовища.
83598. Охорона певних видів навколишнього середовища. Міжнародно-правова охорона атмосфери і озонового шару. Міжнародно-правова охорона флори і фауни 40.67 KB
  Особлива увага надається боротьбі з забрудненням нафтою Лондонська конвенція про запобігання забрудненню моря нафтою 1954 р. Конвенцією про запобігання забруднення моря викидами відходів ї інших матеріалів 1972 р. У Конвенції про запобігання забруднення моря з суден 1973 р. Охороні морських просторів присвячено і угодиукладені на регіональному рівні напри клад Гельсінська конвенція про захист морського середовища району Балтійського моря 1974 р.
83599. Поняття міжнародного права. Особливості міжнародного права 36.67 KB
  Міжнародне право - це самостійна система права, що складається з юридично обов\'язкових принципів і норм, які регулюють відносини між державами та іншими суб\'єктами міжнародного права з метою забезпечення мирного співіснування та міжнародної співпраці.
83600. Юридично сила норм міжнародного права 33.76 KB
  Питання юридичної сили міжнародного права виникає через відсутність примусу до виконання норм міжнародного права. З\'являються навіть точки зору щодо виключно моральної сили цієї системи права