11553

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Отчет по лабораторной работе №5 Численное интегрирование 1. Цель работы. Освоить численные методы алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций. 2. Задание. Составить алгоритм программу вычисления интеграла методами...

Русский

2013-04-08

51 KB

14 чел.

Отчет по лабораторной работе №5

“Численное интегрирование”

1. Цель работы.

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций.

2. Задание.

Составить алгоритм, программу вычисления интеграла методами левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона.

Таблица 1 Исходные данные.

Номер варианта

Подинтегральная функция

Пределы интегрирования

7

4x3cosx+x4sinx

0 – π/4

3. Программа.

var

mas: array [1..5000] of real;

F1,F2,F3, t, h, x, F, y, a, b : real;

i, N: integer;

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F:=F+t;

end;

writeln ('F=',F);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=b;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F1:=0;

for i:=2 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F1:=F1+t;

end;

writeln ('F1=',F1);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=(a+b)/2;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F2:=0;

for i:=1 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F2:=F2+t;

end;

writeln ('F2=',F2);

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F3:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=(h/6)*(mas[i]+2*(mas[i]+mas[i+1])+mas[i+1]);

F3:=F3+t;

end;

writeln ('F3=',F3);

end;

end.

4. Результаты.

С помощью, приведенной выше программы, были рассчитаны значения интеграла от уравнения, указанного в таблице 1, четырьмя различными способами: методом левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона. Точность результатов, получаемая каждым методом различна. Кроме того, она зависит от количества отрезков n, на которые разбивается интервал интегрирования. Программа позволяет указывать вручную параметр n.  Данные, полученные разными методами, при различном значении n приведены на рисунке 1.

Рис. 1. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Таблица 2 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсо

на

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0,345

0,336

0,165

0,345

10

0.0015

0.002

0,005

0.000375

0,342

0,332

0,155

0,342

20

0

0.0015

0,0025

0

0,342

0,329

0,150

0,342

40

0.0005

0,0005

0,001

0.000125

0,341

0,328

0,148

0,341

80

0

0,0005

0,0005

0

0,341

0,327

0,147

0,341

160

0

0

0,0005

0

0,341

0,327

0,146

0,341

320

При использовании всех методов численного интегрирования возникает вопрос о правильности выбора шага интегрирования h, т.к. точное значение интеграла неизвестно. На практике оценку погрешности проводят по правилу Рунге.

,

Где F – точное значение интеграла, Fh, Fh/2 – значения интегралов, вычисленные по квадратурной формуле при шаге h и h/2, k – порядок точности квадратурной формулы (k=2 для формул методов прямоугольников и трапеций и k=4 для метода Симпсона).

 Правило Рунге используется в стандартных программах на ЭВМ для «автоматического» выбора шага по заданной погрешности интегрирования ε. Для этого вычисляют интегралы при шагах h и h/2 и находится оценка Рунге.

Что и было мной вычислено и записано в Таблицу 2. По данным, которые получились, можно сделать вывод.

5. Выводы.

Наиболее точные результаты были получены методом Симпсона и методом левых прямоугольников. Значения интеграла от функции     4x3sinx+x4cosx, полученные методом средних и правых прямоугольников при различных значениях n, имеют тоже небольшую погрешность, но по сравнению с методом левых прямоугольников и методом Симпсона все-таки имеют худшую погрешность. Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы левых прямоугольников, а при использовании формулы правых, или средних прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8730. Духовное производство и духовное потребление 36.5 KB
  Духовное производство и духовное потребление Вариант 1 Духовное производство - деятельность сознания в особой общественной форме, осуществляемое специализированными группами людей, которые профессионально заняты квалифицированным умственным тру...
8731. Трудовая деятельность 40 KB
  Трудовая деятельность Вариант 1 Трудовая деятельность людей (процесс материального производства) - это одна из форм человеческой деятельности, направленная на преобразование природного мира и создание материальных благ. В структуре т...
8732. Свобода в деятельности людей 36.5 KB
  Свобода в деятельности людей Вариант 1 Свобода - это самостоятельность социальных и политических субъектов (в том числе и личности), выражающаяся в их способности и возможности делать собственный выбор и действовать в соответствии со своими инт...
8733. Исторический процесс и его участники 45 KB
  Исторический процесс и его участники Вариант 1 Исторический процесс - временная последовательность сменяющих друг друга событий, которые явились результатом деятельности многих поколений людей. Основу исторического процесса составляют исторические ф...
8734. Политика как деятельность, ее объекты, субъекты, цели и средства 54.5 KB
  Политика как деятельность, ее объекты, субъекты, цели и средства Вариант 1 Слово политика произошло от греческого слова politike, что означает в переводе на русский язык государственные дела. Среди причин - поляризация общества, появление соц...
8735. Политическая идеология 32.5 KB
  Политическая идеология Вариант 1 Политическая идеология - система идей и взглядов, выражающая коренные интересы, мировоззрение, какого-либо субъекта политики (класса, нации, общества, партии, общественного движения). Политическая идеология - те...
8736. Политическая система общества, ее структура 62.5 KB
  Политическая система общества, ее структура. Вариант 1 . Под политической системой общества понимают совокупность различных политических институтов, социально-политических общностей, форм взаимодействий и взаимоотношени...
8737. Политические партии. Многопартийность 58.5 KB
  Вариант 1 Политические партии. Многопартийность Политическая партия - это специализированная, организационно упорядоченная группа, объединяющая активных приверженцев тех или иных целей, идей, лидеров, служащая для борьбы за политическую власть....
8738. Общественный прогресс. Критерии прогресса 46.5 KB
  Общественный прогресс. Критерии прогресса 1 вариант. Прогресс - направление развития, для которого характерно поступательное движение общества от низших и простых форм общественной организации к более высоким и сложным. Регресс - обратное движение...