11553

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Отчет по лабораторной работе №5 Численное интегрирование 1. Цель работы. Освоить численные методы алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций. 2. Задание. Составить алгоритм программу вычисления интеграла методами...

Русский

2013-04-08

51 KB

14 чел.

Отчет по лабораторной работе №5

“Численное интегрирование”

1. Цель работы.

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций.

2. Задание.

Составить алгоритм, программу вычисления интеграла методами левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона.

Таблица 1 Исходные данные.

Номер варианта

Подинтегральная функция

Пределы интегрирования

7

4x3cosx+x4sinx

0 – π/4

3. Программа.

var

mas: array [1..5000] of real;

F1,F2,F3, t, h, x, F, y, a, b : real;

i, N: integer;

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F:=F+t;

end;

writeln ('F=',F);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=b;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F1:=0;

for i:=2 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F1:=F1+t;

end;

writeln ('F1=',F1);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=(a+b)/2;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F2:=0;

for i:=1 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F2:=F2+t;

end;

writeln ('F2=',F2);

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F3:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=(h/6)*(mas[i]+2*(mas[i]+mas[i+1])+mas[i+1]);

F3:=F3+t;

end;

writeln ('F3=',F3);

end;

end.

4. Результаты.

С помощью, приведенной выше программы, были рассчитаны значения интеграла от уравнения, указанного в таблице 1, четырьмя различными способами: методом левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона. Точность результатов, получаемая каждым методом различна. Кроме того, она зависит от количества отрезков n, на которые разбивается интервал интегрирования. Программа позволяет указывать вручную параметр n.  Данные, полученные разными методами, при различном значении n приведены на рисунке 1.

Рис. 1. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Таблица 2 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсо

на

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0,345

0,336

0,165

0,345

10

0.0015

0.002

0,005

0.000375

0,342

0,332

0,155

0,342

20

0

0.0015

0,0025

0

0,342

0,329

0,150

0,342

40

0.0005

0,0005

0,001

0.000125

0,341

0,328

0,148

0,341

80

0

0,0005

0,0005

0

0,341

0,327

0,147

0,341

160

0

0

0,0005

0

0,341

0,327

0,146

0,341

320

При использовании всех методов численного интегрирования возникает вопрос о правильности выбора шага интегрирования h, т.к. точное значение интеграла неизвестно. На практике оценку погрешности проводят по правилу Рунге.

,

Где F – точное значение интеграла, Fh, Fh/2 – значения интегралов, вычисленные по квадратурной формуле при шаге h и h/2, k – порядок точности квадратурной формулы (k=2 для формул методов прямоугольников и трапеций и k=4 для метода Симпсона).

 Правило Рунге используется в стандартных программах на ЭВМ для «автоматического» выбора шага по заданной погрешности интегрирования ε. Для этого вычисляют интегралы при шагах h и h/2 и находится оценка Рунге.

Что и было мной вычислено и записано в Таблицу 2. По данным, которые получились, можно сделать вывод.

5. Выводы.

Наиболее точные результаты были получены методом Симпсона и методом левых прямоугольников. Значения интеграла от функции     4x3sinx+x4cosx, полученные методом средних и правых прямоугольников при различных значениях n, имеют тоже небольшую погрешность, но по сравнению с методом левых прямоугольников и методом Симпсона все-таки имеют худшую погрешность. Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы левых прямоугольников, а при использовании формулы правых, или средних прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73320. Проблемы омонимии японского языка и пути её решения 136.5 KB
  Проблема омонимии при устном общении является весьма существенной для японского языка, так как омонимы – серьезное препятствие при передаче информации. Основной целью работы является рассмотрение основных проблем омонимии в японском языке и методах их решений.
73322. Розрізнення дієслів неозначеної форми за питаннями що робити? що зробити? 729.73 KB
  Сьогодні у нас незвичайний урок. На нас чекає різноманітна і цікава робота. Тому ви повинні бути уважні, працювати активно. Ви вже непогано знаєте мову. Отож ми з вами зараз відправимося у велику чарівну країну Грам
73323. Преобразование целых выражений с помощью формул сокращённого умножения 391.59 KB
  Разработка урока проверки и коррекции знаний по теме Преобразование целых выражений с помощью формул сокращённого умножения 7 класс Из опыта работы Кисель Галины Васильевны: учитель математики; высшая категория; звание учитель-методист; педагогический стаж 25 лет Город Донецк УРОК тема: Преобразование целых выражений с помощью формул сокращенного умножения Дидактические цели урока: Проверка глубины усвоения знаний и умений преобразо Воспитательная цель: выватьвыражения с помощью формуя сокращенного умножения;...
73325. Дискусія: «Дон Кіхот: «за» і «проти» 136.58 KB
  Маршака та інших присвячених Дон Кіхоту. Мозковий штурм Хто такий Дон Кіхот: благородний лицар чи божевільний написати свої ідеї Оголошення теми та мети уроку. Три погляди на образ Дон Кіхота.
73326. Правописание приставок на з-, с 195.2 KB
  Правописание какой части слова мы сейчас изучаем В самом слове приставка тоже есть приставка как объяснить ее написание присоединение. В раздаточном: Какие приставки живут в этих домах Что общего
73328. Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками 1.06 MB
  Познайомитися з правилом додавання і віднімання звичайних дробів з різними знаменниками, формувати навички застосування правила при вирішенні типових вправ ; удосконалювати вміння приводити дроби до НСЗ, скорочувати їх, виділяти цілу частину з неправильного дробу;