11553

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Отчет по лабораторной работе №5 Численное интегрирование 1. Цель работы. Освоить численные методы алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций. 2. Задание. Составить алгоритм программу вычисления интеграла методами...

Русский

2013-04-08

51 KB

14 чел.

Отчет по лабораторной работе №5

“Численное интегрирование”

1. Цель работы.

Освоить численные методы, алгоритм и программы вычисления интегралов от сложных или таблично заданных функций.

2. Задание.

Составить алгоритм, программу вычисления интеграла методами левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона.

Таблица 1 Исходные данные.

Номер варианта

Подинтегральная функция

Пределы интегрирования

7

4x3cosx+x4sinx

0 – π/4

3. Программа.

var

mas: array [1..5000] of real;

F1,F2,F3, t, h, x, F, y, a, b : real;

i, N: integer;

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F:=F+t;

end;

writeln ('F=',F);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=b;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F1:=0;

for i:=2 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F1:=F1+t;

end;

writeln ('F1=',F1);

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=(a+b)/2;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F2:=0;

for i:=1 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

F2:=F2+t;

end;

writeln ('F2=',F2);

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

F3:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=(h/6)*(mas[i]+2*(mas[i]+mas[i+1])+mas[i+1]);

F3:=F3+t;

end;

writeln ('F3=',F3);

end;

end.

4. Результаты.

С помощью, приведенной выше программы, были рассчитаны значения интеграла от уравнения, указанного в таблице 1, четырьмя различными способами: методом левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона. Точность результатов, получаемая каждым методом различна. Кроме того, она зависит от количества отрезков n, на которые разбивается интервал интегрирования. Программа позволяет указывать вручную параметр n.  Данные, полученные разными методами, при различном значении n приведены на рисунке 1.

Рис. 1. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Таблица 2 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсо

на

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0,345

0,336

0,165

0,345

10

0.0015

0.002

0,005

0.000375

0,342

0,332

0,155

0,342

20

0

0.0015

0,0025

0

0,342

0,329

0,150

0,342

40

0.0005

0,0005

0,001

0.000125

0,341

0,328

0,148

0,341

80

0

0,0005

0,0005

0

0,341

0,327

0,147

0,341

160

0

0

0,0005

0

0,341

0,327

0,146

0,341

320

При использовании всех методов численного интегрирования возникает вопрос о правильности выбора шага интегрирования h, т.к. точное значение интеграла неизвестно. На практике оценку погрешности проводят по правилу Рунге.

,

Где F – точное значение интеграла, Fh, Fh/2 – значения интегралов, вычисленные по квадратурной формуле при шаге h и h/2, k – порядок точности квадратурной формулы (k=2 для формул методов прямоугольников и трапеций и k=4 для метода Симпсона).

 Правило Рунге используется в стандартных программах на ЭВМ для «автоматического» выбора шага по заданной погрешности интегрирования ε. Для этого вычисляют интегралы при шагах h и h/2 и находится оценка Рунге.

Что и было мной вычислено и записано в Таблицу 2. По данным, которые получились, можно сделать вывод.

5. Выводы.

Наиболее точные результаты были получены методом Симпсона и методом левых прямоугольников. Значения интеграла от функции     4x3sinx+x4cosx, полученные методом средних и правых прямоугольников при различных значениях n, имеют тоже небольшую погрешность, но по сравнению с методом левых прямоугольников и методом Симпсона все-таки имеют худшую погрешность. Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы левых прямоугольников, а при использовании формулы правых, или средних прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n.    


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69346. Внески до фондів державного соціального страхування 88.5 KB
  В Україні створено кілька фондів залежно від напрямку страхування. Внески на обов’язкове державне пенсійне страхування Внески на пенсійне страхування охоплюють кілька видів платежів які нараховуються як на фонд оплати праці для найманих...
69347. Формування і розвиток податкової системи України 115.5 KB
  Історія становлення податкової системи України розпочалась у 1991 році із введенням податку на продажі та податку на прибуток підприємств. З 1992 по 1994 р. замість податку на прибуток стягувався податок на дохід підприємств, а з 1995 р. знову перейшли до оподаткування прибутку.
69348. Засади організації податкової системи України. Об’єктивні і суб’єктивні чинники становлення податкової системи 148 KB
  Ця категорія стала настільки звичною що існування податків не викликає будьяких сумнівів. Цікаво простежити в цьому відношенні як змінювалася точка зору платників податків на необхідність утримувати державу.
69349. Податок на додану вартість. Загальна характеристика ПДВ 341.5 KB
  Широка база оподаткування яка охоплює не тільки товари але й роботи та послуги забезпечує надійність і стабільність бюджетних надходжень оскільки зміна в уподобаннях споживачів не відображається на зменшенні доходів бюджету що є проблемою для податків на споживання...
69350. Акцизний збір. Загальна характеристика акцизного збору 110 KB
  Акцизний збір так само як і ПДВ включається до ціни товарів і сплачується в кінцевому рахунку покупцем а не виробником товарів. Повâ€язане це з різними чинниками: широким переліком об’€єктів оподаткування у ПДВ який включає більшість товарів робіт та послуг вироблених в країні...
69351. Загальна характеристика мита 123.5 KB
  Мито є непрямим податком що стягується з товарів які переміщуються через митний кордон України тобто ввозяться вивозяться чи прямують транзитом. Введення мита може переслідувати кілька цілей: фіскальні економічні захист вітчизняних товарів від конкуренції з імпортними політичні.
69352. Створення інформаційної системи аудиторської компанії 269.5 KB
  Об’єктом дослідження в даній роботі є інформаційні процеси в сфері аудиту що характеризують здійснення аудиторської діяльності в Україні. Теоретичне значення даної роботи полягає у проведенні аналізу проблем здійснення аудиторської діяльності в Україні аналізу...
69353. Інформаційна база систем обробки економічних даних 93 KB
  ІЗ системи має бути сумісним з ІЗ систем що взаємодіють з нею по змісту системі кодування форматам даних та формою подання інформації. В системі мають бути передбачені методи контролю і відновлення даних. Розробка інформаційного забезпечення є однією з найважливіших частин...
69354. Організаційно-методичні основи проектування інформаційних систем 83 KB
  Користувач повинний приймати участь при висуванні вимог до АІС при оцінки ефективності при розробці постановки задачі при проведенні пробної експлуатації АІС. наскільки автоматизація дозволить підвищити швидкість обробки даних при розробці постановки задачі...