11554

Освоить численный метод, алгоритм и программу вычисления производной от таблично заданной функции

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Отчет по лабораторной работе №2 Численное дифференцирование 1. Цель работы. Освоить численный метод алгоритм и программу вычисления производной от таблично заданной функции. 2.Задание. Составить алгоритм программу вычисления остаточных членов R для форм

Русский

2013-04-08

86.5 KB

19 чел.

Отчет по лабораторной работе №2

“Численное дифференцирование”

1. Цель работы.

Освоить численный метод, алгоритм и программу вычисления производной от таблично заданной функции.

2.Задание.

Составить алгоритм, программу вычисления остаточных членов R для формул интегрирования методами левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона.

Для метода левых, правых и средних прямоугольников:

    (1)

Для формулы Симпсона:

    (2)

Таблица 1 Исходные данные.

Номер варианта

Подинтегральная функция

Пределы интегрирования

07

4*x^3*cosx+x^4*sinx

0 - П/4

Рисунок 1. График функции y= 4*x^3*cosx+x^4*sinx.

3. Программа.

var

mas: array [1..5000] of real;

d1: array [1..1000] of real;

d2: array [1..1000] of real;

d3: array [1..1000] of real;

d4: array [1..1000] of real;

F1,F2,F3,R1,R2, t, h, x, F, y, a, b : real;

i, N: integer;

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

for i:=1 to N-1 do

begin

d1[i]:=(mas[i+1]-mas[i])/h;

end;

for i:=1 to N-2 do

begin

d2[i]:=(d1[i+1]-d1[i])/h;

end;

for i:=1 to N-3 do

begin

d3[i]:=(d2[i+1]-d2[i])/h;

end;

for i:=1 to N-4 do

begin

d4[i]:=(d3[i+1]-d3[i])/h;

end;

F:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

R1:=((h*h*h)*d2[i])/24;

F:=F+t+R1;

end;

writeln ('F=',F,'R=',R1);

F1:=0;

for i:=2 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

R1:=((h*h*h)*d2[i])/24;

F1:=F1+t+R1;

end;

writeln ('F1=',F1,'R=',R1);

F2:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

R1:=((h*h*h)*d2[i])/24;

F2:=F2+t+R1;

end;

writeln ('F2=',F2,'R=',R1);

begin

F3:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=(h/6)*(mas[i]+2*(mas[i]+mas[i+1])+mas[i+1]);

R2:=((h*h*h*h*h)*d4[i])/180;

F3:=F3+t+R2;

end;

writeln ('F3=',F3,'R=',R2);

end;

end.

4. Результаты.

С помощью, приведенной выше программы, были рассчитаны значения интеграла от уравнения, указанного в таблице 1, четырьмя различными способами: методом левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона с вычислением остаточного члена R. Точность результатов, получаемая каждым методом различна. Кроме того она зависит от количества отрезков n на которые разбивается интервал интегрирования. Программа позволяет указывать вручную параметр n.  Данные, полученные разными методами, при различном значении n, без добавления остаточного члена R приведены на рисунке 2.

Рисунок 2. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Рисунок 3. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n, с добавлением R.

Таблица 2 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсо

на

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0,345

0,336

0,165

0,345

10

0.0015

0.002

0,005

0.000375

0,342

0,332

0,155

0,342

20

0

0.0015

0,0025

0

0,342

0,329

0,150

0,342

40

0.0005

0,0005

0,001

0.000125

0,341

0,328

0,148

0,341

80

0

0,0005

0,0005

0

0,341

0,327

0,147

0,341

160

0

0

0,0005

0

0,341

0,327

0,146

0,341

320

Таблица 3 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсона

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0.346

0.418

0.346

0.345

10

0.0015

0.021

0.0015

0.000375

0.343

0.376

0.343

0.342

20

0.0005

0.009

0.0005

0

0.342

0.358

0.342

0.342

40

0.0005

0.004

0.0005

0.000125

0.341

0.350

0.341

0.341

80

0

0.0025

0

0

0.341

0.345

0.341

0.341

160

0

0.001

0

0

0.341

0.343

0.341

0.341

320

При нахождении значения интеграла 4-мя различными методами была произведена оценка погрешности данных расчетов методом Рунге:

D=(Fh-Fh/2)/2k-1.

Полученные значения D приведены в таблице 1. Точность, полученная разными методами оказалась различной (таблица 3).

Таблица 4 Значение n при котором достигается необходимая точность, т.е. D<0.001

Метод

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсона

n

160

160

80

20

В таблице 4 приведены значения интегралов, вычисленные различными методами при значении n=80, с прибавлением R  и без прибавления.

5. Выводы.

Наиболее точные результаты были получены методам Симпсона и методом средних прямоугольников. Значения, полученные данными методами, уже при n=10 имеют точность до 2-го знака после запятой, а при n=80 погрешность вообще равна 0 (таблица 2 и 3). Значения интеграла от функции 4*x^3*cosx+x^4*sinx, полученные методом правых прямоугольников при различных значениях n, имеют тоже небольшую погрешность, но по сравнению с методом средних прямоугольников и методом Симпсона все-таки имеют худшую погрешность. Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы средних прямоугольников, а при использовании формулы правых, или левых прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n.    

Для расчета остаточного члена R был использован метод численного вычисления производной. После добавления R при вычислении значений интеграла, можно увидеть, что точность значений вычисленных методами левых и правых прямоугольников несколько снизилась. Значения, полученные методами Симпсона и средних прямоугольников при добавлении и без добавления R, отличаются слабо.   

Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы средних прямоугольников, а при использовании формулы правых, или левых прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n. Кроме того, прежде чем использовать ту или иную формулу, следует проанализировать графический вид исходной аналитической зависимости, и на основе такого анализа выбрать наиболее подходящий метод вычисления интеграла.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42961. Расчет оптимальной схемы электроснабжения 686.14 KB
  Подпись Дата Лист 3 Содержание Введение3 Расчет оптимальной схемы электроснабжения потребителей. В области электроснабжения потребителей эти задачи предусматривают повышение уровня проектноконструкторских разработок внедрение и рациональную эксплуатацию высоконадежного электрооборудования снижение непроизводительных расходов электроэнергии при ее передаче распределении и потреблении. Развитие и усложнение структуры систем электроснабжения возрастающие требования к экономичности и надежности их работы в...
42962. Демпфер тангажа 4.18 MB
  Демпфери й автомати стійкості, як окремі (автономні) прилади, використовуються тільки на літаках другого покоління. На сучасних літаках вони або поєднуються в окремі комплексні системи керованості й стійкості, або входять до складу систем автоматичного керування й включаються в роботу при переході САУ в режим демпфірування (режим спільного штурвального керування).
42963. Технологический процесс ремонта и испытания тормозной рычажной передачи грузового вагона 547.88 KB
  Назначение и конструкция тормозной рычажной передачи грузового вагона.20 Реферат Данная курсовая работа посвящена изучению технологического процесса ремонта тормозной рычажной передачи грузового вагона. 1 Назначение и конструкция тормозной рычажной передачи грузового вагона Рычажной тормозной передачей называется система тяг и рычагов посредством которых усилие человека при ручном торможении или усилие развиваемое сжатым воздухом по штоку тормозного цилиндра при...
42964. Исчисления экономических показателей работы предприятия и его подразделений 72.38 KB
  Введение Во введении студент должен охарактеризовать значение электроустановок в трубных и других цехах. Таблица Сметная стоимость оборудования Наименование электрооборудования Мощность кВт Количество шт Сметная стоимость руб.5 Определяем транспортные расходы: Тр = 01 · Ссм где Тр транспортные расходы руб.6 Определяем заготовительноскладские...
42965. Разработка информационной системы по предметной области спортивный комплекс 505.53 KB
  Информационнопоисковая система это система обеспечивающая поиск и отбор необходимых данных в специальной базе с описаниями источников информации индексе на основе информационнопоискового языка и соответствующих правил поиска.0 располагающей широкими возможностями по созданию приложений баз данных необходимым набором драйверов для доступа к самым известным форматам баз данных удобными и развитыми средствами для доступа к информации расположенной как на локальном диске так и на удаленном сервере а также большим коллекцией...
42966. Цифровая радиолиния КИМ-ЧМнФМ 4.95 MB
  Рязань 2012 Содержание Общая характеристика системы управления Расчет и выбор основных технических характеристик системы 2.5 Расчет энергетического потенциала 3Контур управления и его анализ 4Разработка функциональной схемы радиолинии Спектр сигнала КИМЧМнФМ Описание функциональной схемы передатчика Описание функциональной схемы приемника Конструкция бортового приемника Заключение Литература 1. Общая характеристика системы управления сигнал дискретизация квантование кодирование приемник Командное радиоуправление...
42967. КОМПЬЮТЕРНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ МИКРОВОЛНОВОГО ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ НА ОСНОВЕ МИКРОПОЛОСКОВОЙ ЛИНИИ 107.64 KB
  Целью работы является проектирование фильтра нижних частот на основе микрополосковой линии определение продольных и поперечных величин всех его элементов. Основной задачей будет нахождение наиболее оптимальной модели фильтра...
42968. Расчет оборудования для вакуум-кристаллизации галургического хлорида калия на БКПРУ- 1.03 MB
  Для охлаждения осветленного насыщенного щелока от 90 до 18–°C используется принцип самоиспарения, при котором испарение части растворителя – воды и охлаждение щелока достигается в результате кипения щелока под вакуумом. При этом растворный пар образуется за счет тепла самого щелока, температура которого понижается.