11554

Освоить численный метод, алгоритм и программу вычисления производной от таблично заданной функции

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Отчет по лабораторной работе №2 Численное дифференцирование 1. Цель работы. Освоить численный метод алгоритм и программу вычисления производной от таблично заданной функции. 2.Задание. Составить алгоритм программу вычисления остаточных членов R для форм

Русский

2013-04-08

86.5 KB

19 чел.

Отчет по лабораторной работе №2

“Численное дифференцирование”

1. Цель работы.

Освоить численный метод, алгоритм и программу вычисления производной от таблично заданной функции.

2.Задание.

Составить алгоритм, программу вычисления остаточных членов R для формул интегрирования методами левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона.

Для метода левых, правых и средних прямоугольников:

    (1)

Для формулы Симпсона:

    (2)

Таблица 1 Исходные данные.

Номер варианта

Подинтегральная функция

Пределы интегрирования

07

4*x^3*cosx+x^4*sinx

0 - П/4

Рисунок 1. График функции y= 4*x^3*cosx+x^4*sinx.

3. Программа.

var

mas: array [1..5000] of real;

d1: array [1..1000] of real;

d2: array [1..1000] of real;

d3: array [1..1000] of real;

d4: array [1..1000] of real;

F1,F2,F3,R1,R2, t, h, x, F, y, a, b : real;

i, N: integer;

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

for i:=1 to N-1 do

begin

d1[i]:=(mas[i+1]-mas[i])/h;

end;

for i:=1 to N-2 do

begin

d2[i]:=(d1[i+1]-d1[i])/h;

end;

for i:=1 to N-3 do

begin

d3[i]:=(d2[i+1]-d2[i])/h;

end;

for i:=1 to N-4 do

begin

d4[i]:=(d3[i+1]-d3[i])/h;

end;

F:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

R1:=((h*h*h)*d2[i])/24;

F:=F+t+R1;

end;

writeln ('F=',F,'R=',R1);

F1:=0;

for i:=2 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

R1:=((h*h*h)*d2[i])/24;

F1:=F1+t+R1;

end;

writeln ('F1=',F1,'R=',R1);

F2:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

R1:=((h*h*h)*d2[i])/24;

F2:=F2+t+R1;

end;

writeln ('F2=',F2,'R=',R1);

begin

F3:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=(h/6)*(mas[i]+2*(mas[i]+mas[i+1])+mas[i+1]);

R2:=((h*h*h*h*h)*d4[i])/180;

F3:=F3+t+R2;

end;

writeln ('F3=',F3,'R=',R2);

end;

end.

4. Результаты.

С помощью, приведенной выше программы, были рассчитаны значения интеграла от уравнения, указанного в таблице 1, четырьмя различными способами: методом левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона с вычислением остаточного члена R. Точность результатов, получаемая каждым методом различна. Кроме того она зависит от количества отрезков n на которые разбивается интервал интегрирования. Программа позволяет указывать вручную параметр n.  Данные, полученные разными методами, при различном значении n, без добавления остаточного члена R приведены на рисунке 2.

Рисунок 2. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Рисунок 3. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n, с добавлением R.

Таблица 2 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсо

на

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0,345

0,336

0,165

0,345

10

0.0015

0.002

0,005

0.000375

0,342

0,332

0,155

0,342

20

0

0.0015

0,0025

0

0,342

0,329

0,150

0,342

40

0.0005

0,0005

0,001

0.000125

0,341

0,328

0,148

0,341

80

0

0,0005

0,0005

0

0,341

0,327

0,147

0,341

160

0

0

0,0005

0

0,341

0,327

0,146

0,341

320

Таблица 3 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсона

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0.346

0.418

0.346

0.345

10

0.0015

0.021

0.0015

0.000375

0.343

0.376

0.343

0.342

20

0.0005

0.009

0.0005

0

0.342

0.358

0.342

0.342

40

0.0005

0.004

0.0005

0.000125

0.341

0.350

0.341

0.341

80

0

0.0025

0

0

0.341

0.345

0.341

0.341

160

0

0.001

0

0

0.341

0.343

0.341

0.341

320

При нахождении значения интеграла 4-мя различными методами была произведена оценка погрешности данных расчетов методом Рунге:

D=(Fh-Fh/2)/2k-1.

Полученные значения D приведены в таблице 1. Точность, полученная разными методами оказалась различной (таблица 3).

Таблица 4 Значение n при котором достигается необходимая точность, т.е. D<0.001

Метод

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсона

n

160

160

80

20

В таблице 4 приведены значения интегралов, вычисленные различными методами при значении n=80, с прибавлением R  и без прибавления.

5. Выводы.

Наиболее точные результаты были получены методам Симпсона и методом средних прямоугольников. Значения, полученные данными методами, уже при n=10 имеют точность до 2-го знака после запятой, а при n=80 погрешность вообще равна 0 (таблица 2 и 3). Значения интеграла от функции 4*x^3*cosx+x^4*sinx, полученные методом правых прямоугольников при различных значениях n, имеют тоже небольшую погрешность, но по сравнению с методом средних прямоугольников и методом Симпсона все-таки имеют худшую погрешность. Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы средних прямоугольников, а при использовании формулы правых, или левых прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n.    

Для расчета остаточного члена R был использован метод численного вычисления производной. После добавления R при вычислении значений интеграла, можно увидеть, что точность значений вычисленных методами левых и правых прямоугольников несколько снизилась. Значения, полученные методами Симпсона и средних прямоугольников при добавлении и без добавления R, отличаются слабо.   

Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы средних прямоугольников, а при использовании формулы правых, или левых прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n. Кроме того, прежде чем использовать ту или иную формулу, следует проанализировать графический вид исходной аналитической зависимости, и на основе такого анализа выбрать наиболее подходящий метод вычисления интеграла.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68221. ВИРОБНИЦТВА ПРОДУКЦІЇ ПТАХІВНИЦТВА В СІЛЬСЬКОГОСПОДАРСЬКИХ ПІДПРИЄМСТВАХ 278 KB
  Насамперед це підвищення ефективності функціонування на основі зниження собівартості продукції. Важливого значення набуває проведення функціонального аналізу тенденцій розвитку птахівництва за допомогою якого можна було б виявити резерви збільшення обсягів виробництва продукції й отримання...
68222. СОЦІАЛЬНА ПОЛІТИКА ТА МЕХАНІЗМИ ЇЇ РЕАЛІЗАЦІЇ В УКРАЇНІ (ПОЛІТОЛОГІЧНИЙ АНАЛІЗ) 179.5 KB
  Актуальність дисертаційного дослідження зумовлена значимістю соціальної політики для повноцінного функціонування суспільства загалом його політичної економічної гуманітарної складових для розвитку громадянського суспільства й політичної системи.
68223. ОСОБЛИВОСТІ Я-КОНЦЕПЦІЇ ОСІБ ЮНАЦЬКОГО ВІКУ З ВИСОКИМ РІВНЕМ НЕВРОТИЧНОСТІ 430 KB
  Соціально-психологічні умови в Україні та й в багатьох інших державах світу в останні роки стають все більш нестабільними, кризовими, породжують довготривалі внутрішні конфлікти, емоційну напругу, тривогу, що сприяє наростанню невротизації населення.
68224. Технології білково-вуглеводного концентрату і соусів з чорноморських мідій 685.5 KB
  Однією з найважливіших проблем суспільства є мінімізація негативного впливу довкілля на людину, що супроводжується зниженням резистентності до інфекції, виснаженням стрес-лімітованої антиоксидантної системи організму, збільшенням частки захворювань щитовидної залози...
68225. МЕТОДИ ВИЗНАЧЕННЯ ЧАСОВИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕПЛОВИХ ПОЖЕЖНИХ СПОВІЩУВАЧІВ ПРИ АВТОНОМНИХ ВИПРОБУВАННЯХ 415.5 KB
  Технічні характеристики теплових пожежних сповіщувачів а також методи й алгоритми їх визначення регламентуються євростандартом EN54. Цей стандарт передбачає нормування лише однієї часової характеристики пожежного сповіщувача – часу його спрацювання хоча для цієї мети використовується...
68226. УПРАВЛІННЯ ПРОЕКТАМИ РОЗВИТКУ ТЕРМІНАЛЬНИХ СИСТЕМ ДОСТАВКИ ВАНТАЖІВ АВТОМОБІЛЬНИМ ТРАНСПОРТОМ 1.55 MB
  Умовами підвищення результативності роботи організацій різної галузевої приналежності передбачається широке застосування методів стратегічного управління. В процесах стратегічного управління, розглядуваних за такі, що складаються з послідовності стадій формування...
68227. ВИХОВАННЯ ШАНОБЛИВОГО СТАВЛЕННЯ ДО МАТЕРІ У СТАРШИХ ДОШКІЛЬНИКІВ 147 KB
  Незважаючи на численність наукових напрацювань із проблеми морального виховання дитини залишаються недостатньо вивченими особливості й основні напрями діяльності дошкільних навчальних закладів щодо виховання в дітей старшого дошкільного віку шанобливого ставлення до матері як важливого складника...
68228. Діагностична значимість показників окисного стресу та нітроксидергічного дисбалансу в легеневих експіратах у новонароджених з дихальною недостатністю 356 KB
  Дихальні розлади в новонароджених є досить поширеними в практиці відділень інтенсивної терапії будьякого профілю представляють серйозну проблему та часто є причиною смерті хворих Шунько Є. Актуальність діагностики причин респіраторних розладів у новонароджених...
68229. ФОРМУВАННЯ ОПТИМАЛЬНОГО ВОДНО-СОЛЬОВОГО РЕЖИМУ ТЕМНО-КАШТАНОВИХ ҐРУНТІВ НА ФОНІ ВЕРТИКАЛЬНОГО ДРЕНАЖУ В УМОВАХ КРАСНОЗНАМ’ЯНСЬКОЇ ЗРОШУВАЛЬНОЇ СИСТЕМИ 10.63 MB
  Зрошення на фоні діючого дренажу на таких безстокових та слабодренованих територіях є обов’язковою умовою для збереження родючості ґрунтів. Тому дослідження водносольового режиму темнокаштанових ґрунтів при вирощуванні пшениці озимої як основної культури сівозмін сухої Степової зони в різних...