11554

Освоить численный метод, алгоритм и программу вычисления производной от таблично заданной функции

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Отчет по лабораторной работе №2 Численное дифференцирование 1. Цель работы. Освоить численный метод алгоритм и программу вычисления производной от таблично заданной функции. 2.Задание. Составить алгоритм программу вычисления остаточных членов R для форм

Русский

2013-04-08

86.5 KB

19 чел.

Отчет по лабораторной работе №2

“Численное дифференцирование”

1. Цель работы.

Освоить численный метод, алгоритм и программу вычисления производной от таблично заданной функции.

2.Задание.

Составить алгоритм, программу вычисления остаточных членов R для формул интегрирования методами левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона.

Для метода левых, правых и средних прямоугольников:

    (1)

Для формулы Симпсона:

    (2)

Таблица 1 Исходные данные.

Номер варианта

Подинтегральная функция

Пределы интегрирования

07

4*x^3*cosx+x^4*sinx

0 - П/4

Рисунок 1. График функции y= 4*x^3*cosx+x^4*sinx.

3. Программа.

var

mas: array [1..5000] of real;

d1: array [1..1000] of real;

d2: array [1..1000] of real;

d3: array [1..1000] of real;

d4: array [1..1000] of real;

F1,F2,F3,R1,R2, t, h, x, F, y, a, b : real;

i, N: integer;

begin

writeln('vvedite chislo intervalov');

readln (N);

a:=0.0001;

b:=Pi/4;

h:=(b-a)/(N-1);

x:=a;

for i:=1 to N do

begin

y:=4*(x*x*x)*cos(x)+(x*x*x*x)*sin(x);

mas[i]:=y;

x:=x+h;

end;

for i:=1 to N-1 do

begin

d1[i]:=(mas[i+1]-mas[i])/h;

end;

for i:=1 to N-2 do

begin

d2[i]:=(d1[i+1]-d1[i])/h;

end;

for i:=1 to N-3 do

begin

d3[i]:=(d2[i+1]-d2[i])/h;

end;

for i:=1 to N-4 do

begin

d4[i]:=(d3[i+1]-d3[i])/h;

end;

F:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

R1:=((h*h*h)*d2[i])/24;

F:=F+t+R1;

end;

writeln ('F=',F,'R=',R1);

F1:=0;

for i:=2 to N do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

R1:=((h*h*h)*d2[i])/24;

F1:=F1+t+R1;

end;

writeln ('F1=',F1,'R=',R1);

F2:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=h*(mas[i]+mas[i+1])/2;

R1:=((h*h*h)*d2[i])/24;

F2:=F2+t+R1;

end;

writeln ('F2=',F2,'R=',R1);

begin

F3:=0;

for i:=1 to N-1 do

begin

t:=(h/6)*(mas[i]+2*(mas[i]+mas[i+1])+mas[i+1]);

R2:=((h*h*h*h*h)*d4[i])/180;

F3:=F3+t+R2;

end;

writeln ('F3=',F3,'R=',R2);

end;

end.

4. Результаты.

С помощью, приведенной выше программы, были рассчитаны значения интеграла от уравнения, указанного в таблице 1, четырьмя различными способами: методом левых, правых и средних прямоугольников, и методом Симпсона с вычислением остаточного члена R. Точность результатов, получаемая каждым методом различна. Кроме того она зависит от количества отрезков n на которые разбивается интервал интегрирования. Программа позволяет указывать вручную параметр n.  Данные, полученные разными методами, при различном значении n, без добавления остаточного члена R приведены на рисунке 2.

Рисунок 2. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Рисунок 3. Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n, с добавлением R.

Таблица 2 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсо

на

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0,345

0,336

0,165

0,345

10

0.0015

0.002

0,005

0.000375

0,342

0,332

0,155

0,342

20

0

0.0015

0,0025

0

0,342

0,329

0,150

0,342

40

0.0005

0,0005

0,001

0.000125

0,341

0,328

0,148

0,341

80

0

0,0005

0,0005

0

0,341

0,327

0,147

0,341

160

0

0

0,0005

0

0,341

0,327

0,146

0,341

320

Таблица 3 Значения интеграла в зависимости от метода и числа отрезков n.

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсона

n

Δ1

Δ2

Δ3

Δ4

0.346

0.418

0.346

0.345

10

0.0015

0.021

0.0015

0.000375

0.343

0.376

0.343

0.342

20

0.0005

0.009

0.0005

0

0.342

0.358

0.342

0.342

40

0.0005

0.004

0.0005

0.000125

0.341

0.350

0.341

0.341

80

0

0.0025

0

0

0.341

0.345

0.341

0.341

160

0

0.001

0

0

0.341

0.343

0.341

0.341

320

При нахождении значения интеграла 4-мя различными методами была произведена оценка погрешности данных расчетов методом Рунге:

D=(Fh-Fh/2)/2k-1.

Полученные значения D приведены в таблице 1. Точность, полученная разными методами оказалась различной (таблица 3).

Таблица 4 Значение n при котором достигается необходимая точность, т.е. D<0.001

Метод

Метод левых

прямоугольников

Метод правых

прямоугольников

Метод средних

прямоугольников

Метод Симпсона

n

160

160

80

20

В таблице 4 приведены значения интегралов, вычисленные различными методами при значении n=80, с прибавлением R  и без прибавления.

5. Выводы.

Наиболее точные результаты были получены методам Симпсона и методом средних прямоугольников. Значения, полученные данными методами, уже при n=10 имеют точность до 2-го знака после запятой, а при n=80 погрешность вообще равна 0 (таблица 2 и 3). Значения интеграла от функции 4*x^3*cosx+x^4*sinx, полученные методом правых прямоугольников при различных значениях n, имеют тоже небольшую погрешность, но по сравнению с методом средних прямоугольников и методом Симпсона все-таки имеют худшую погрешность. Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы средних прямоугольников, а при использовании формулы правых, или левых прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n.    

Для расчета остаточного члена R был использован метод численного вычисления производной. После добавления R при вычислении значений интеграла, можно увидеть, что точность значений вычисленных методами левых и правых прямоугольников несколько снизилась. Значения, полученные методами Симпсона и средних прямоугольников при добавлении и без добавления R, отличаются слабо.   

Таким образом, можно сделать вывод о целесообразности использования на практике формулы Симпсона, либо формулы средних прямоугольников, а при использовании формулы правых, или левых прямоугольников следует помнить о необходимости  задания большого числа отрезков n. Кроме того, прежде чем использовать ту или иную формулу, следует проанализировать графический вид исходной аналитической зависимости, и на основе такого анализа выбрать наиболее подходящий метод вычисления интеграла.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45889. Самоцентрирующие устройства 66.2 KB
  Самоцентрирующие устройства применяются для базирования отверстий и нар. В самоцентрирующих устройствах опорные поверхности подвижны и связаны между собой так что могут одновременно и с равным перемещением сближаться к оси устройства или удаляться от нее. По конструкции различают следующие самоцентрирующие зажимные устройства: призматические; плунжерные; цанговые; гидропластмассовые; мембранные; с тарельчатыми пружинами; 2х и 3х кулачковые патроны; рычажные.
45891. Базирование заготовки 20.76 KB
  Базирование заготовки основывается на правиле 6 точек: чтобы предать заготовке вполне определенное положение в приспособлении надо и достаточно иметь 6 опорных точек лишающих заготовку всех 6 степеней свободы. Больше 6 точек использовать не допустимо изза лишних опрных точек заготовку не удаётся установить в приспособлении или после закрепления положение при базировании нарушится. Количество опорных точек определяется условием выполнения операции и в первую очередь числом выдерживаемых на ней исходных параметров и схемой их расположения по...
45892. Приспособления для агрегатных станков и автоматических линий 28 KB
  Приспособления для агрегатных станков и автоматических линий В связи с широким внедрением в промышленность прогрессивного металлорежущего оборудования – станков с ЧПУ а также агрегатных станков и автоматических линий значительно возросли требования к технологической оснастке. Правильное решение вопросов оснащения станков с ЧПУ прогрессивными приспособлениями и другой оснасткой позволяет получить максимальный эффект от внедрения этих станков.
45893. Особенности конструкций приспособлений для сверлильных станков 27.63 KB
  Для устранения этого недостатка применяют многошпиндельные сверлильные головки. Головки могут быть специальными и универсальными. В крупносерийном и массовом производстве в основном применяются специальные многошпиндельные головки т. головки с неизменным расположением шпинделей.
45894. Система допусков и посадок для подшипников качения 14.37 KB
  Выбор посадок подшипников качения Весьма важным в обеспечении высокой работоспособности подшипников является выбор посадок колец подшипника с присоединяемыми поверхностями деталей изделия. Основными факторами определяющими выбор посадок являются: вид нагружения колец подшипника; величина нагрузки интенсивность нагружения; частота вращения; условия монтажа. Главным фактором при выборе посадок является вид нагружения наружного и внутреннего колец подшипника. Если Fr Fc то нагружение колец может быть местным или циркуляционным в...
45895. Допуски и посадки шлицевых соединений 47.67 KB
  Шлицевые соединения предназначены для передачи крутящих моментов в соединениях шкивов муфт зубчатых колес и других деталей с валами.Шлицевые соединения кроме передачи крутящих моментов осуществляют еще и центрирование сопрягаемых деталей. Шлицевые соединения могут передавать большие крутящие моменты чем шпоночные и имеют меньшие перекосы и смещения пазов и зубьев.В зависимости от профиля зубьев шлицевые соединения делят на соединения с прямобочным эвольвентным и треугольным профилем зубьев.
45896. Категории и виды стандартов. Стандарт. Стандартизация 17.75 KB
  Категории и виды стандартов Стандарты в РФ являются обязательными в пределах установленной сферы их действия и подразделяются на следующие категории: государственные стандарты – ГОСТ; отраслевые стандарты – ОСТ; республиканские стандарты союзных республик – РСТ; стандарты предприятий – СТП. Государственные стандарты обязательны к применению всеми предприятиями организациями и учреждениями во всех отраслях народного хозяйства. Государственные стандарты утверждает Государственный комитет по стандартам. Отраслевые стандарты обязательны...
45897. Определение основных понятий менеджмента. Цели менеджмента 12.53 KB
  Термин менеджмент применяется только в отношении управления соцэкономическими процессами производственнохозяйственной деятельности на уровне организации предприятия или фирмы. Менеджер должностное лицо занятое руководством в организации осуществляющий процессы планирования координации регулирования организации и контроля всех видов ресурсов включая трудовые. Конечная цель менеджмента это обеспечение деятельности фирмы путем рациональной организации производственного процессауправления производством развития технологической и...