11569

Определение коэффициента внутреннего трения и длины свободного пробега молекул воздуха

Лабораторная работа

Физика

Лабораторная работа № 1 Определение коэффициента внутреннего трения и длины свободного пробега молекул воздуха Оборудование: аспиратор на штативе вставка с капилляром жидкостный манометр мерный цилиндр секундомер. Общие представления Внутреннее тр...

Русский

2013-04-08

170.5 KB

40 чел.

Лабораторная работа № 1

Определение коэффициента внутреннего трения

и длины свободного пробега молекул воздуха

Оборудование: аспиратор на штативе,  вставка с капилляром, жидкостный манометр, мерный цилиндр, секундомер.

Общие представления

Внутреннее трение (вязкость) в газах обусловлено переносом импульса упорядоченного (макроскопического) движения, который возникает благодаря хаотическому (тепловому) движению молекул.

Этот механизм обычно поясняют на примере двух соприкасающихся слоев газа (рис. 1),  имеющих различные макроскопические скорости u1 < u2, но одну и ту же температуру. За счёт поперечной составляющей vz случайного вектора скорости  теплового движения отдельные молекулы газа будут пересекать границу раздела слоёв снизу вверх, а другие - сверху вниз. Поскольку скорость движения нижнего слоя на рис. 1 меньше,  чем верхнего, то молекулы первой группы в среднем будут переносить вверх меньший импульс mu1,  чем молекулы второй группы,  переносящие вниз  импульс mu2. (Здесь m – масса молекулы). Так появляется поток импульса, направленный в общем случае в сторону убывания скорости макроскопического движения. Рассчитаем приближенно его величину (см. для сравнения [1]).

Рис. 1. К расчету потока импульса, переносимого молекулами через площадку S между двумя движущимися слоями газа.

Потоки частиц, пересекающих выделенную площадку S на границе раздела слоёв за единицу времени, определяются выражениями

,   ,

где n – объемная плотность частиц (концентрация), а значки + и – относятся к молекулам первой и второй групп соответственно. Результирующий поток импульса     по второму закону Ньютона определяет силу F взаимодействия слоев на выделенной площадке S.

При тепловом равновесии газа потоки  одинаковы, поскольку

,         ,  (1)

где n - полная концентрация, v – абсолютное значение скорости теплового движения. Таким образом, для силы взаимодействия получаем

,  где  .

В действительности скорость макроскопического движения меняется в поперечном направлении непрерывно, и мы имеем функцию u(z). При этом обмен импульсами происходит как бы между слоями, расположенными друг от друга на расстоянии средней длины свободного пробега молекул λ. Поэтому разность скоростей u1, u2 в предыдущем выражении для силы F следует представить в виде

 

        .    (2)

В результате для силы внутреннего трения на площадке получаем

                   ,

где ρ = mn - плотность газа.

При более аккуратном рассмотрении процесса переноса импульса макроскопического движения, которое было выполнено в 1860 году Дж. Максвеллом, оказалось, что вместо λ/2 в формуле (2) должно стоять среднее расстояние от места последнего столкновения молекул до площадки S перед тем, как они её пересекают [2]. Это расстояние равно 2λ/3. В итоге в законе вязкости

для газов должен стоять коэффициент .

Из последней формулы видно, что длину свободного пробега λ можно найти, измеряя на опыте коэффициент вязкости газа η. Потребуется ещё использовать выражение для средней скорости  и уравнение состояния идеального газа, чтобы получить окончательную формулу

,     (3)

где R - универсальная газовая постоянная, Т - абсолютная температура, μ - молярная масса газа, P - его давление.

Основы метода измерения коэффициента вязкости

Наиболее простой способ экспериментального определения коэффициента вязкости основан на изучении ламинарного течения газа в тонкой трубке (капилляре) круглого поперечного сечения. Если перепад давления ΔP на концах трубки, вызывающий течение, мал по сравнению с самим давлением P, то сжимаемостью газа можно пренебречь и выразить объемный расход  по формуле Пуазейля [3]

.     (4)

Здесь V – объем газа, проходящий за время t через поперечное сечение трубки, L – длина трубки, a – ее внутренний радиус. Очевидно, что коэффициент вязкости η будет легко определяться из данной формулы по измеренным на опыте величинам Q и ΔP.

Формула (4) справедлива лишь при спокойном слоистом (ламинарном) течении, которое реализуется при условии Re < 1000. Определяющее характер течения в трубке число Рейнольдса

                                          (5)

зависит от средней по сечению скорости газа . С ее нарастанием при Re > 1200 – 1400 в потоке газа возникают местные пульсации скорости и давления. Течение становится турбулентным. Макроскопические частицы газа помимо основного продольного движения начинают беспорядочно перемещаться в поперечном направлении, обеспечивая более эффективный перенос импульса по сравнению с молекулами. В результате изменяется профиль скорости (осредненной по времени) – ее зависимость от радиальной координаты r. Он становится более уплощённый, нежели характерный параболический профиль скорости ламинарного течения

,

показанный на рис. 2 в средней и задней (правой) части трубки.

Рис. 2. Профиль скорости ламинарного течения газа в разных поперечных сечениях трубки.

Наконец, еще одно обстоятельство может внести заметную систематическую погрешность в искомую величину η – непараболичность профиля скорости в передней (левой) части трубки (см. рис. 2). В её входном сечении профиль скорости, вообще, плоский: . Далее вдоль трубки, по мере все большего проникновения тормозящего влияния стенки (внутренней поверхности трубки) внутрь потока, профиль скорости вытягивается и на некотором расстоянии b от входного сечения переходит в параболический.

Длину b участка установления ламинарного потока можно рассчитать согласно [4] с помощью выражения

,       (6)

где постоянная c = 0.2, если использовать полученные на опыте значения η и . При условии    влиянием начального участка потока газа в капилляре на окончательный результат измерений можно будет пренебречь.

Однако гораздо полезнее самостоятельно исследовать эффект, производимый участком установления ламинарного потока, и проверить формулу (5). Получим необходимые для этого выражения.

Поскольку тормозящее влияние стенки на газ в передней части трубки больше, чем в области установившегося ламинарного потока, то там соответственно и больше продольный градиент давления. Его величина хорошо описывается выражением

       .

При x > b справедлива формула Пуазейля и градиент давления выражается в виде

       .

Интегрируя величину  по всей длине трубки L, нетрудно получить формулу

          ,     откуда следует    .

Запишем еще нужное нам выражение .

Согласно изложенному график зависимости величины Q от ΔP, построенный по опытным данным для относительно короткой трубки, в своей дальней части будет загибаться к оси ΔP. График зависимости величины b от произведения , построенный для той же части данных, должен быть линейным. Коэффициент его наклона дает постоянную c.

Описание лабораторной установки

Лабораторная установка для определения коэффициента вязкости воздуха изображена на рис. 3. На её штативе Ш крепится заполненный водой аспиратор А - цилиндрический сосуд с выпускным краном К для создания разрежения воздуха. В его верхней части находится стеклянная вставка с исследуемым капилляром, которая соединена резиновым шлангом с жидкостным манометром М.

При выпуске воды из аспиратора на концах капилляра образуется разность давлений, замеряемая манометром. Возникающее при этом течение воздуха через капилляр может иметь различную скорость в зависимости от поворота головки крана К и высоты столба воды в аспираторе. Средняя скорость воздуха в капилляре может быть найдена по величине объёмного расхода, который измеряется объёмом воды, вытекающей в мерный цилиндр С за единицу времени.

Рис. 3. Схема установки для определения коэффициента вязкости воздуха.

Используемый в работе строенный дифференциальный микроманометр ЛТА – 4 имеет два независимых резервуара (бачка) для рабочей жидкости – спирта. В их верхней части расположены трехходовые краны (на рисунке не показаны), обеспечивающие многофункциональное применение манометра. Стеклянные измерительные трубки смонтированы в общей металлической оправе (стойке), которая может фиксироваться в одном из четырех положений. Синусы углов наклона стойки в этих положениях имеют значения 0.25, 0.5, 0.8 и 1.0. Меньшим значениям отвечает большая чувствительность прибора. Каждая трубка снабжена миллиметровой шкалой длиной 300 мм, что позволяет при заправке манометра спиртом измерять перепады давления до 24 см водного столба.

Бачки манометра снабжены заливочными отверстиями с герметичными пробками и краниками для слива жидкости. У каждого бачка сверху имеется регулировочный винт В, соединенный с внутренним цилиндром, частично погруженным в спирт. Они служат для установки мениска жидкости в измерительных трубках на нулевую отметку шкалы. На основании прибора закреплён круглый уровень, по которому оно может быть выставлено в горизонтальной плоскости с помощью регулировочных ножек (на рисунке не показаны).

В данной работе задействован только один бачок и одна измерительная трубка. Трехходовые и прочие краны зафиксированы в рабочих положениях. Прибор используется во всасывающем режиме. Ввиду небольшой величины измеряемых перепадов давления и высокого положения вставки с капилляром выплескивание спирта в аспиратор исключается.

Порядок измерений

1. Проверив крепление аспиратора в лапке штатива и её самой на вертикальной стойке, заполните аспиратор водой почти до его верха. Для этого осторожно выньте широкую пробку из горловины аспиратора и положите вставку в безопасное место, чтобы не сломать капилляр. Возвращая вставку с капилляром в рабочее положение, смочите поверхность пробки и уплотните её в горловине аспиратора плавными вращательными движениями.

2. Проверьте готовность манометра, установите мениск спирта в его измерительной трубке на нуль или на другое  деление шкалы. Открыв кран аспиратора на полный выпуск воды, убедитесь в том, что столбик спирта в манометре поднимается достаточно высоко, но не зашкаливает. В противном случае измените наклон стойки манометра. Имейте в виду, что недостаточный подъём спирта в измерительной  трубке может быть связан и с негерметичностью лабораторной установки в целом.

3. Поставив мензурку под выпускной кран так, чтобы вода из аспиратора текла по её стенке и поверхность жидкости не дрожала, потренируйтесь в замерах объёмного расхода . Необходимо засекать по секундомеру время t натекания в мензурку определённого объёма V воды (20, 40 или более мл). Его величину следует выбирать соответственно скорости натекания.

4. Поскольку аспиратор не очень широк, мениск спирта в манометре за время опыта (натекания определённого объёма воды) будет несколько опускаться. Поэтому при его проведении показания манометра требуется снять дважды - в моменты пуска и останова секундомера. Результирующий (искомый) перепад давления  следует находить, пользуясь формулами

,   ,

где  - плотность спирта, k - коэффициент наклона стойки манометра,  - соответственно начальная, конечная и нулевая длина спиртового столбика.

5. Освоив изложенную выше методику измерений величин  и , проведите несколько опытов при наибольшей скорости истечения воды из аспиратора. Если полученные значения  будут близки, то результаты можно осреднить и рассчитать среднеквадратичную ошибку измерений.

6. Восстановив уровень воды в аспираторе, проведите дополнительно серию из 4 – 6 опытов при разной длине l спиртового столбика в манометре. Её значения должны по возможности равномерно накрывать диапазон от  до . Изменение длины спиртового столбика и соответственно скорости истечения воды из аспиратора можно производить грубо путём частичного перекрывания отверстия выпускного крана. Более плавная регулировка достигается за счёт понижения уровня воды в аспираторе.

7. Результаты измерений представьте на графике зависимости величины  от . Расчёты выполняйте в системе СГС, единицы которой соответствуют пространственно-временным масштабам явления. На том же графике интервалами у экспериментальных точек покажите ошибки измерений  и .

8. По начальной части графика проведите наилучшую прямую и определите её наклон. По известным размерам a, L отверстия капилляра (они даются лаборантом) рассчитайте коэффициент вязкости воздуха . Сравните его величину с табличным значением.

9. При максимальной величине объёмного расхода  рассчитайте среднюю скорость  потока газа в капилляре. По формулам (5), (6) рассчитайте максимальные значения величин  и b. Оцените возможность применения формулы Пуазейля к данному случаю.

 

Дополнительные задания и контрольные вопросы

1. С помощью функции распределения Максвелла φ(vz) получите выражения (1) для средних значений компоненты скорости vz в группах молекул, движущихся соответственно в положительном и отрицательном направлениях оси z.

2. Проективным пробегом называют расстояние, которое пролетает молекула в данном направлении между её двумя последовательными столкновениями. Рассчитайте среднюю длину проективного пробега молекул в газе.

3. По формуле (3) и найденному коэффициенту вязкости η рассчитайте среднюю длину свободного пробега λ молекул воздуха. При каком давлении эта длина сравняется с диаметром капилляра? Каким будет характер движения газа в капилляре при столь низком давлении?

4. Насколько оправдано пренебрежение сжимаемостью газа в условиях лабораторного опыта?

5. Какой характер будет иметь зависимость величины  от  с учетом влияния начального участка потока газа в капилляре?

6. По данным измерений в опыте с коротким и широким капилляром постройте график зависимости величины b от произведения . Убедившись в его линейности, найдите значение постоянной c.

Литература

1. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. 1. - М.: 1982. - § 132.

2. Матвеев А. Н. Молекулярная физика. М.: Высшая школа, 1981. - §§ 51, 52.

3. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. - М.: 1989. - § 97.

4. Руководство к лабораторным занятиям по физике. Под ред. Л. Л. Гольдина. М.: Наука, 1973. - Р 21.

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25109. Ранняя история славянских народов; выделение восточного славянства 335.5 KB
  говорится о том что киевский князь Владимир Святославич захватив Киев и начав в нём княжить ещё до крещения Руси поставил на Горе недалеко от княжеского дворца деревянные идолы богов: Перуна Хорса Дажьбога Стрибога Симергла и Макоши. Языческая религия постепенно переставала быть связующим звеном между различными социальными группами в Киевской Руси Рано или поздно она должна была уступить место другой религии которая могла бы в той или иной мере удовлетворить интересы всех социальных прослоек. Всю культуру Киевской Руси...
25110. Эпоха царя Ивана Грозного. Россия в XVI–начале XVII в. 372.5 KB
  в России было 160 городов. Обмен продуктами в России совершался на основе географического разделения труда. С Востока в России поступали китайские ткани фарфор драгоценности. в России уже было 25 000 стрельцов.
25111. Пётр I и политическая борьба 80-х годов XVII в. 424.5 KB
  Возглавлял правительство фаворит Софьи князь Василий Голицын широко образованный человек полиглот книжник сторонник сближения России с Западом. Есть сведения что князь хотел отменить крепостное право в России. Голицын предпринял два Крымских похода которые окончились неудачно и стоили России людских потерь и огромных затрат. или время петровских реформ это переломная эпоха в истории России.
25112. Экономическое, социальное и политическое развитие России в начале XIX в. 642 KB
  Социальносословный и национальный состав населения России К началу XIX в. При Екатерине Великой к России отошли Правобережная Украина Белоруссия Литва часть Польши Новороссия земли по Кубани и Тереку Камчатка Приморье Аляска чуть позже Восточная Грузия. Быстро росло население России.
25113. Свойства алгоритма 34 KB
  Выполнение алгоритма разбивается на последовательность законченных действийшагов. Это свойство алгоритма называется дискретностью. Произвести каждое отдельное действие исполнителю предписывает специальное указание в записи алгоритма называемое командой.
25114. Способы описания алгоритм 36 KB
  Табличный – служит для представления алгоритма в форме таблицы и расчётных формул. С другой строны в псевдокоде используются некоторые формальные конструкции и математическая символика что приближает запись алгоритма к общепринятой математической записи. В псевдокоде не приняты строгие синтаксические правила для записи команд присущие формальным языкам что облегчает запись алгоритма на стадии его проектирования и дает возможность использовать более широкий набор команд рассчитанный на абстрактного исполнителя.
25115. Изображение алгоритма с помощью блок-схемы 53.5 KB
  Изображение алгоритма с помощью блоксхемы. При графическом представлении алгоритм изображается в виде последовательности связанных между собой функциональных блоков каждый из которых соответствует выполнению одного или нескольких действий. Блоки соединены стрелками указывающими направление выполнения команд.
25116. Основные алгоритмические конструкции 48.5 KB
  Обеспечивает многократное выполнение некоторой совокупности действий которая называется телом цикла. Предписывает выполнять тело цикла до тех пор пока выполняется условие записанное после слова пока. Предписывает выполнять тело цикла для всех значений некоторой переменной параметра цикла в заданном диапазоне. Предписывает выполнять тело цикла до тех пор пока не выполнится условие записанное после тела цикла.
25117. Линейный алгоритм 29.5 KB
  Конструкция в которой алгоритмические шаги выполняются в той же последовательности как они записаны то это конструкция следования линейный алгоритм.