11570

Имитация броуновского движения, проверка закона Эйнштейна, термометрия в системе магнитных шариков

Лабораторная работа

Физика

Лабораторная работа № 2 Имитация броуновского движения проверка закона Эйнштейна термометрия в системе магнитных шариков Оборудование: соленоид на регулируемой по высоте подставке прозрачная плоская коробка с прямоугольной шкалой магнитные шарики н...

Русский

2013-04-08

214 KB

21 чел.

Лабораторная работа № 2

Имитация броуновского движения, проверка закона Эйнштейна, термометрия в системе магнитных шариков

Оборудование: соленоид   на  регулируемой  по высоте подставке, прозрачная плоская  коробка  с  прямоугольной шкалой,  магнитные шарики, немагнитный цилиндрик, лабораторный автотрансформатор, вольтметр.

Общие представления

Открытое в 1827 году ботаником Р. Броуном хаотическое движение мельчайших макроскопических частиц сыграло в истории науки выдающуюся  роль.  Именно  его в 1908 году использовал Ж. Перрен со своими помощниками, чтобы на опыте подтвердить закономерности флуктуационных явлений, полученные за три года до этого А. Эйнштейном и М. Смолуховским. Тем самым наука получила надежный метод нахождения фундаментальных констант молекулярно-кинетической теории, а она сама - свое прямое экспериментальное доказательство.

Заметим, что успех опытов Перрена с броуновскими частицами связан с их пограничным (промежуточным) размером между макро- и микромиром. С одной стороны,  эти частицы настолько малы, что их хаотическое  (тепловое) движение уже наблюдаемо, а его характеристики измеримы. С другой стороны, они все ещё велики настолько, что их окружение  ведет себя как сплошная вязкая среда, для которой можно использовать макроскопическое описание. Поэтому подобные эксперименты в высшей степени познавательны.

Но воспроизвести опыты Перрена и получить закономерности реального броуновского движения в общем физическом практикуме не представляется возможным. Однако нечто подобное можно с успехом проделать на  электромеханической модели с магнитными шариками, псевдотепловое движение которых поддерживается переменным магнитным полем соленоида с током. Броуновскую частицу в такой модели имитирует немагнитный цилиндрик (шайба), хаотическое движение которого подчиняется тем же закономерностям.

На описанной макроскопической модели нетрудно организовать визуальную съемку координат "броуновской" частицы в режиме непрерывного движения по методике Перрена. А затем проверить основной закон случайного блуждания (закон Эйнштейна), который в отсутствие внешнего силового поля выражается формулами [1]

,    (1)

где Δx - смещение броуновской частицы за время Δt по заданному направлению, D - коэффициент диффузии. Последний определяется из закона Фика , где J - плотность потока частиц, dn/dx - градиент их концентрации.

В отличие от Перрена в данной работы мы будем интересоваться не постоянной Больцмана  эрг/К, а эффективной температурой  в системе магнитных шариков. Эта система (в возбужденном состоянии) не находится в равновесии с окружающей средой, а потому их температуры  и  могут сильно различаться.

Подобно Перрену мы воспользуемся соотношением Эйнштейна

,       (2)

где B - коэффициент подвижности частицы, определяемый как B = u/F. Здесь u  - скорость упорядоченного движения частицы под действием сторонней силы F, которая уравновешивается силой сопротивления , приложенной со стороны окружающей среды.

Реальная броуновская частица по линейным размерам на три порядка превосходит молекулы окружающей жидкости, а скорость её теплового движения сравнительно невелика. Поэтому действующую на неё силу  можно находить по формуле Стокса.

На имитационной модели природа силы сопротивления , действующей на "броуновскую" частицу, иная, и рассчитать её теоретически, чтобы затем найти подвижность шайбы, затруднительно. Зато саму подвижность B можно найти экспериментально, измерив скорость сноса шайбы u при наклоне коробки на некоторый угол α по отношению к горизонту, например, в сторону оси x. В этом случае шайба будет испытывать действие составляющей силы тяжести .

Таким образом, перенося соотношение (2) на модель и используя найденные на опыте величины D и B, можно определить эффективную температуру системы . Заметим, что "броуновская" частица в данном случае выступает в качестве термометрического тела.

Напоследок обратимся к вопросу о природе силы сопротивления , действующей на шайбу.

Во-первых, система магнитных шариков в коробке подобна газу. При движении в нем большого тела среднее число ударов спереди  и сзади  неодинаково. Величина  в модели и возникающая по этой причине сила сопротивления  пропорциональны скорости шайбы u (попробуйте обосновать).

Во-вторых, на непрерывно движущуюся шайбу со стороны основания коробки действует сила трения скольжения. Ее среднее значение  также пропорционально скорости шайбы (следует обосновать).

Таким образом, мы получаем, что  ,  ,  где ,  - коэффициенты сопротивления соответственно со стороны магнитных шариков и основания коробки. Поскольку полная сила сопротивления , то для нахождения подвижности шайбы имеем  формулу  .

Вывести математические выражения для коэффициентов ,  на первый взгляд затруднительно. Но, если это сделать, то, по-видимому, станет возможным определение давления в системе магнитных шариков. Его можно и непосредственно измерить по методу [3], где использован пьезоэлектрический датчик, регистрирующий число ударов о площадку за единицу времени.

Описание лабораторной установки и методики эксперимента

Лабораторная установка для имитации броуновского движения показана на рис. 1. Основание (дно) и крышка коробки К для магнитных шариков вырезаны из толстого стекла, а ограничивающий их движение бортик – из плексигласа. К основанию коробки с внешней стороны крепится видимая сверху прямоугольная шкала. Коробка устанавливается на соленоид С соосно с ним. Соленоид запитывается током от лабораторного автотрансформатора (ЛАТР); подаваемое напряжение измеряется вольтметром V.

Для выравнивания коробки по горизонту служат регулировочные винты В подставки соленоида и большой металлический шар, который помещается в любом месте основания коробки, свободном от магнитных шариков. (Их нужно достать из коробки или сгрудить вдали от шара).

 

Рис. 1. Схема установки для имитации броуновского движения.

Заметим, что металлический шар с гладкой (неповреждённой) поверхностью весьма чувствителен к наклону коробки. Его неподвижность гарантирует высокую точность горизонтальности её основания. Очевидно, что при данной проверке шар надо поворачивать и помещать в разные места коробки. Если шар неподвижен в одном месте, но начинает катиться в другом, то это говорит о неплоском основании.

После выравнивания коробки по горизонту под ее левый край подкладывается линейка так, чтобы искусственно создать заданный наклон. Его величина определяется отношением толщины линейки h и расстояния l между точками опоры коробки на линейке и правом крае соленоида.

Для корректности измерений важно, чтобы прямая, проходящая через указанные точки, была параллельна оси x прямоугольной шкалы. Тогда снос шайбы под действием составляющей силы тяжести  будет происходить в определенном направлении.

Учитывая снос шайбы, перед началом опыта ее нужно положить ближе к левому краю коробки в произвольном месте. Далее следует вложить в коробку несколько десятков магнитных шариков (их число желательно записать) и установить крышку, которую во время опытане открывать. Напряжение, подаваемое с трансформатора на соленоид, выставляется по вольтметру так, чтобы магнитные шарики пришли в движение, не слипаясь в группы. Его величину (около 120 В) при повторении опыта следует воспроизвести.

Опыт повторяется, если серия полученных значений координаты , i = 0, 1, 2,…N, “броуновской” частицы окажется короткой (N < 100). Это происходит, когда шайба прибивается шариками к бортику коробки. Полученные серии данных в дальнейшем могут склеиваться адекватно движению шайбы по неограниченной плоскости.

Значения координаты  “броуновской” частицы определяются визуально, например, по ее левому краю через равные шаги по времени τ = 5 - 10 секунд. (Выбор предоставляется экспериментатору).

Заметим, что производство измерений в условиях непрерывного опыта представляет значительную трудность. Поэтому рекомендуется распределить работу по отсечке моментов времени, считыванию и записи значений координаты  между двумя студентами.

Метод статистической обработки результатов измерений

 

В опытах с наклонной коробкой к случайному смещению шайбы , которое происходит за некоторое время , из-за ее постоянного сноса добавляется смещение , причем по-прежнему

,    .

Поэтому для статистических характеристик полного смещения частицы  будут справедливы формулы

,            (3)

               ,        (4)

а также их следствия

     ,    (5)

     .    (6)

Все они могут быть использованы для отыскания параметров u, D случайного  блуждания частицы по графикам зависимости указанных характеристик от величины .

Осреднение в формулах (3) – (6) должно проводиться по большому (строго говоря, бесконечному) числу одинаковых броуновских частиц или, как говорят, по ансамблю. Но, в нашем распоряжении имеется лишь одна “броуновская” частица, так что осреднение по ансамблю мы будем заменять на осреднение по

времени. Предположение о правомерности такой замены в статистической физике получило название эргодической гипотезы [4].

Конкретно в работе такое осреднение будет проводиться для однотипных смещений , i = j,…N, совершенных частицей за равные промежутки времени , где  - временной шаг измерений, j - номер типа смещения. А именно, из полученного на опыте длинного ряда значений координаты , i = 0, 1, 2,…N, будут вычисляться разности:

первого типа           ,        i = 1, 2, 3, 4,…,   

второго типа           ,       i = 2, 3, 4,…,        

третьего типа          ,        i = 3, 4,…,           и т. д.

соответственно промежуткам времени  ,  ,    и т. д. Эти и

последующие расчеты будут выполняться автоматически с помощью описанной ниже компьютерной программы.

Поскольку средние значения в формулах (3) - (6) при заданной величине  будут вычисляться по ограниченной серии (выборке)  опытных данных , i=1,2...N, то им будет присуща некоторая ошибка. По теории вероятностей её следует рассчитывать как среднюю квадратичную с использованием коэффициента Стьюдента tα,N, соответствующего взятой доверительной вероятности α и числу N осредняемых значений i. Применяя упрощающие обозначения

,  ,  ,  ,

дадим выражения для интересующих нас ошибок

,    ,

,

вывод которых предоставляется читателю.

Данные ошибки  определяют интервалы у экспериментальных точек на графиках зависимости величин M,  и Q от промежутка времени , по которым должны проходить аппроксимирующие прямые (3), (5), (6). Если эти прямые действительно проходят по  указанным интервалам, то задаваемая ими закономерность признается подтвержденной на опыте с выбранной вероятностью . После чего графически могут быть определены искомые параметры u, D, а также (по разбросу экспериментальных точек около аппроксимирующей прямой) их  погрешности , . Методика должна быть известна читателю.

Для более точного определения средних значений параметров движения u, D и их погрешностей ,  предлагается произвести дополнительное осреднение найденных из опыта величин ,  по ряду взятых в работе промежутков времени , j = 1,2…n. Согласно формулам (3), (6) имеем выражения

,    ,                                 (7)

,    ,    (8)

которые рекомендуется получить самостоятельно.

Программа автоматической обработки данных

Описанный метод статистической обработки реализован в компьютерной программе, текст которой на языке Фортран представлен в Приложении 2. Она выполняет по выбору пользователя три рода действий:

во-первых, склеивает серии данных, полученные при одинаковом числе магнитных шариков и напряжении на соленоиде (без этого склейка теряет смысл);

во-вторых, моделирует случайное блуждание частицы, учитывая её постоянный снос;

в-третьих, производит обработку данных опыта или моделирования с выдачей таблицы значений величин M, Q и их ошибок , , рассчитанных для заданного числа  n определённых выше промежутков времени .

Проверка линейной зависимости величин M, Q от номера j взятого промежутка времени должна производиться графически (на миллиметровой бумаге или в компьютерных программах Grapher, Mathcad и др.) с учетом ошибок , . При графическом подтверждении указанной зависимости величин M, Q правомерно воспользоваться выданными в конце таблицы значениями скорости сноса u и коэффициента диффузии D с их погрешностями , , рассчитанными по формулам (7), (8).

Дополнительные задания

1. Пользуясь соотношением (2), найдите среднюю энергию  плоского движения частиц в системе магнитных шариков. Рассчитайте эффективную температуру . Будьте внимательны к размерностям используемых величин.

2. Рассчитайте в системе СГС среднюю квадратичную скорость хаотического движения шайбы. (Знать её массу для этого не обязательно). Соотнесите полученное значение со скоростью сноса u.

3. Найдите среднюю квадратичную скорость магнитных шариков. (Их массу надо найти взвешиванием). Оцените давление, оказываемое ими на бортик коробки.

Контрольные вопросы

1. Можно ли найти подвижность реальных броуновских частиц путем эксперимента?

2. Почему  жидкость по отношению к взвешенной в ней броуновской частице выступает как сплошная среда?

3. Для броуновской частицы диаметром d = 0.4 мкм, взвешенной в воде  при комнатной температуре, найдите среднюю квадратичную скорость теплового движения. Рассчитайте число Рейнольдса. Правомерно ли применение к данному случаю формулы Стокса?

4. Какие косвенные доказательства справедливости молекулярно-кинетической теории и способы нахождения её фундаментальных  констант вам известны?

Литература

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 2. - М.: Наука, 1990. - §§ 64, 91, 93.

2. Кассандрова О. Н., Лебедев В. В. Обработка результатов  наблюдений. М.: 1970. - § 3.

3. Булкин П. С., Попова И. И. Общий физический практикум. Молекулярная физика: Учеб. пособие. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1988. - Лаб. раб. 7.2, 7.3.

4. Матвеев А. Н. Молекулярная физика. Учеб. пособие для вузов. - М.: Высшая школа, 1981. - §§ 4, 13.

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1435. Уровневые фронтальные лабораторные работы 231.52 KB
  Составной частью исследуемой проблематики является уровневый подход к формированию практических умений и навыков школьников. Для реализации этой цели учителем разработаны уровневые фронтальные лабораторные работы, и примеры использования проектной технологии как возможности вариативной организации учебных занятий.
1436. Алгоритм решения задачи с использованием программ Microsoft Excel и MathCAD 265.69 KB
  Данная работа посвящена автоматизации процессов расчетов. Ее целью является закрепление знаний по всем разделам дисциплины Информатика, проверка навыков практической работы с программными средствами обработки информации.
1437. Основные модели данных 182.57 KB
  В зависимости от используемой модели СУБД называются соответственно: сетевыми, иерархическими и реляционными. Манипулирование данными. Сетевая база данных. Достоинства и недостатки иерархических и сетевых СУБД.
1438. Теоретическое и экспериментальное исследование процесса сушки абрикос с применением токов высокой частоты 3.32 MB
  Современные теоретические представления о тепло- массопереносе в процессах сушки. Электрофизические параметры абрикос и их влияние на объемное тепловыделение. Экспериментальное определение электрофизических параметров абрикос. Математическая модель динамики изменения электрофизических параметров абрикос.
1439. Использование распознавания образов для обработки и восстановления музыкальных сигналов 7.15 MB
  Определение полного перечня признаков, характеризующих объекты, преобразование информации при распознавании музыкального сигнала. Статический подход к распознаванию образов. Общая характеристика современной техники восстановления.
1440. Лингвопереводческие концепции американских переводоведов второй половины ХХ-начала ХХІ века 19.04 MB
  Перевод как один из древнейших видов человеческой деятельности, его роль в развитии социума, особая роль лингвопереводческих концепций Ю.А. Найды в развитии теории и практики межъязыковой коммуникации в США. Предпосылки развития генеративной лингвистики, формальная и динамическая эквивалентность, роль рецептора перевода.
1441. Методика складання розкладу занять 213.34 KB
  Важливим елементом організації роботи навчального закладу є науковий підхід до складання розкладу занять, розглянутий у роботі В.Пайкеса Методика складання розкладу занять у загальноосвітній установі. Раціонально складений розклад занять сприяє ефективності НВП, зниженню і ліквідації перевантажень учнів, підвищенню працездатності учнів і вчителів.
1442. Прогнозирование курсов валют на рынке Forex 196.69 KB
  Главная задача любого инвестора — купить дешевле и продать дороже. Чем выше изменчивость цен актива, тем больше имеется возможностей для проведения выигрышных стратегий торговли, но они сопряжены с высоким риском. Ключевым вопросом при этом является определение направления, величины и волатильности (изменчивости) будущих цен на основе прошлых данных. В статье дается пример прогноза курсов валют на рынке Forex, полученного с применением нейронных технологий.
1443. Основы экономического управления 170 KB
  Конечные производственные результаты (выручка от реализации всей продукции). Внешняя норма доходности. Жизненный цикл проекта. Разработка концепции проекта. Показатели бюджетной эффективности. Сальдо накопленных реальных денег.