11586

ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа Векторы и матрицы Общие сведения Задачи линейной алгебры решаемые в MathCAD можно условно разделить на два класса. Первый это простейшие матричные операции которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реал...

Русский

2013-04-10

39.75 KB

17 чел.

Лабораторная работа  Векторы и матрицы

Общие сведения

Задачи линейной алгебры, решаемые в MathCAD, можно условно разделить на два класса. Первый  это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реализованы в виде операторов и нескольких специфических функций, предназначенных для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. д. Второй класс  это более сложные действия, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как вычисление определителей и обращение матриц, вычисление собственных векторов и собственных значений, решение систем линейных алгебраических уравнений и различные матричные разложения.

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCAD в виде операторов, причем их запись максимально приближена к математическому значению. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Некоторые операции применимы только к квадратным матрицам N  N, некоторые допускаются только для векторов (например, скалярное произведение), а другие, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

Создание матриц

Имеется два способа создать матрицу.

1-й способ. Использование команды создания массивов:

  1.  Воспользоваться командой Вставка  Матрица;
  2.  нажатие клавиш Ctrl+M;
  3.  выбор пиктограммы с изображением шаблона матрицы на панели инструментов Матрицы.

В диалоговом окне указать размерность матрицы, т. е. количество ее строк m (Rows) и столбцов n (Columns).

Для векторов один из этих параметров должен быть равен 1. При m = 1 получим вектор-столбец, а при n = 1- вектор-строку.

Далее на экране появится шаблон  , в который нужно  ввести значения элементов массива.

Обращаться к отдельным элементам вектора или матрицы можно используя нижний  индекс. Для элемента матрицы указываются два индекса, один  для номера строки, другой  для номера столбца.

Чтобы ввести нижний индекс, нужно нажать клавишу [ после имени вектора или матрицы или выбрать команду на панели Матрицы.

2-й способ. Использование ранжированной переменной. 

Ранжированная переменная используется для определения индекса (номера) элемента массива.

Например:

1) Создать матрицу В, состоящую из 2 строк и 3 столбцов.

2) Создать вектор S, состоящий из 3 элементов

Команды панели инструментов Матрицы

Кнопка

Назначение

Создание матрицы

Обратная матрица

Определитель матрицы

Транспонирование матрицы

Выделение столбца матрицы

Операторы для работы с массивами

Обозначения: для векторов  V, для матриц  М и для скалярных величин  z.

Оператор

Ввод

Назначение оператора

V1+V2

V1+V2

Сложение двух векторов V1 и V2

V1-V2

V1-V2

Вычитание двух векторов V1 и V2

Смена знака у элементов матрицы M

V-z

V-z

Вычитание из вектора V скаляра z

z*V, V*z

z*V, V*z

Умножение вектора V на скаляр z

z*M, M*z

z*M, M*z

Умножение матрицы М на скаляр z

V1*V2

VI*V2

Умножение двух векторов V1 и V2

M*V

M*V

Умножение матрицы М на вектор V

М1*М2

М1*М2

Умножение двух матриц М1 и М2

V/z

Деление вектора V на скаляр z

M/z

Деление матрицы М на скаляр z

М^n

Возведение матрицы М в степень п

Фрагмент документа MathCAD:

Функции для работы с векторами и матрицами.

Некоторые из них (V должен быть вектором, A может быть вектором либо матрицей):

length(V) возвращает число элементов в векторе v;

last(V)  возвращает индекс последнего элемента;

max(A)  возвращает максимальный по значению элемент;

min(A)  возвращает минимальный по значению элемент.

 Матричные функции 

Для работы с матрицами также существует ряд встроенных функций:

augment(M1, М2)  объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число строк;

identity(n)  создает единичную квадратную матрицу размером , (n – размер матрицы(число));

stack(MI, M2)  объединяет две матрицы М1 и M2, имеющие одинаковое число столбцов, сажая M1 над M2;

diag(V)  создает диагональную матрицу, элемент главной диагонали которой  вектор V;

cols(M)  возвращает число столбцов матрицы М;

rows(M)  возвращает число строк матрицы М;

rank(M) возвращает ранг матрицы М;

tr(M)  возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы М;

mean(M)  возвращает среднее значение элементов массива М;

median(M)  возвращает медиану элементов массива М;

eigenvals(M)  возвращает вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы M (M должна быть квадратной матрицей.);

submatrix(M,ir,jr,ic,jc)  возвращает подмассив, состоящий из всех элементов, которые содержатся в строках с ir по jr и столбцах с ic по jc массива М.

Символьные вычисления

Все матричные и векторные операторы допустимо использовать как в численных, так и в символьных расчетах. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными.

Фрагмент документа MathCAD:

Задания к лабораторной работе

  1.  Ввести в документ название лабораторной работы, вариант задания и фамилию студента
  2.  Создать квадратные матрицы А, В, D, размером (5,5,4 соответственно) первым способом
  3.  Исследовать следующие свойства матриц на примере преобразования заданных массивов:
  4.  транспонированная матрица суммы двух матриц равна сумме транспонированных матриц (A+B)T=AT+BT ;
  5.  транспонированная матрица произведения двух матриц равна сумме произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (A*B)T=BT*AT ;
  6.  при транспонировании квадратной матрицы определитель не меняется : |D|=|DT|;
  7.  произведение квадратной матрицы на соответствующую ей квадратную дает единичную матрицу (элементы главной диагонали единичной матрицы равны 1, а все остальные – 0)   D*D-1=E.
  8.  Для матриц A,B найти обратные матрицы.
  9.  Найти определители матриц A,B.
  10.  Для матрицы А увеличить значения элементов в № раз, где №  номер варианта.
  11.  Для матрицы В увеличить значения элементов на №.
  12.  Создать вектор C вторым способом, количество элементов которого равно 6.
  13.  Применить к матрицам А, В, D встроенные матричные функции (всевозможные) из приведенных в пункте “Функции для работы…..”
  14.  Применить к вектору С встроенные векторные функции.
  15.  Применить ко всем матрицам и вектору общие встроенные функции.
  16.  Сохранить документ.

Контрольные вопросы

  1.  Как создать матрицу, вектор  строку, вектор  столбец?
  2.  Какие операторы есть для работы с матрицами?
  3.  Перечислите команды панели инструментов Матрицы.
  4.  Как вставить матричные функции?
  5.  Как выполнять вычисления, если матрица задана в символьном виде?

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19647. Первые Киевские князья 14.56 KB
  Первые Киевские князья В 879 г. Рюрика на новгородском престоле сменил Олег Вещий.В 882г. Олег совершил поход на Киев и убил правящих там князей Дира и Аскольда а затем провозгласил себя правителем единого киевсконовгородского государства. Позднее в XIX веке оно получит н
19648. Причины феодальной раздробленности на Руси 14.66 KB
  Причины феодальной раздробленности на Руси: Господство натурального хозяйства и как следствие слабые экономические связи между районами государства. Усиление отдельных княжеств правители которых уже не желают подчиняться киевскому князю. Постоянные усобиц...
19649. Значение Батыева нашествия и установления монгольского ига 15.09 KB
  31 мая 1223 г. на реке Калке монголы разгромили лишенное единства русское войско. Это поражение имело большое моральное значение для будущего завоевания Руси – возник миф о непобедимости монголов. В 1237 г. началось нашествие монголов на Русь. Были разорены Рязань Москва Сузд...
19650. Причины образования единого Российского государства 16.25 KB
  В XIII-XIV веках сложились предпосылки образования русского централизованного государства экономические и политические. Причины образования единого Российского государства: Потребность в сплочении сил Руси для освобождения от ордынского ига Необходимость по
19651. Иван Грозный 14.34 KB
  Вопрос № 11. 3 февраля 1565 г. Иван Грозный учредил опричнину. Опричнина – период в истории России с 1565 года до самой смерти Ивана Грозного обозначившийся государственным террором и системой чрезвычайных мер. Также это система управления по которой территория делится на д...
19652. Реформы Избранной Рады 14.53 KB
  1533-1584 правление Ивана Грозного. Для подготовки проекта преобразований Иван создает неформальный кружок единомышленников – Избранную Раду. Реформы Избранной Рады: 1550 г. – принят новый Судебник основой для которого послужил Судебник 1497 г. Помещики именуются го
19653. Причины Смутного времени 13.79 KB
  Причины Смутного времени: Династический кризис. Завершение династии Рюриковичей. Намечающееся отставание России от Запада приводит к появлению большого числа сторонников развития по западному пути. Растущее недовольство общества властью. Началом С
19654. 1613 – 1645 правление Михаила Романова 14.54 KB
  1613 – 1645 правление Михаила Романова На престол его поставили в 13летнем возрасте. Естественно невозможно быть руководителем разрушенной страны так рано. Ему помогал править отец Филарет. Будучи Патриархом Руси и наставником сына он принес много пользы. Была восстановле...
19655. Государственные реформы Петра 1 12.12 KB
  Государственные реформы Петра 1: 17081719 – Областная реформа Введение новых административнотерриториальных единиц – губерний провинций дистриктов. Страна делилась на губернии губернии – на провинции провинции – на дистрикты. 1711 – Создание Правительствующего Сенат