11586

ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа Векторы и матрицы Общие сведения Задачи линейной алгебры решаемые в MathCAD можно условно разделить на два класса. Первый это простейшие матричные операции которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реал...

Русский

2013-04-10

39.75 KB

20 чел.

Лабораторная работа  Векторы и матрицы

Общие сведения

Задачи линейной алгебры, решаемые в MathCAD, можно условно разделить на два класса. Первый  это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реализованы в виде операторов и нескольких специфических функций, предназначенных для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. д. Второй класс  это более сложные действия, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как вычисление определителей и обращение матриц, вычисление собственных векторов и собственных значений, решение систем линейных алгебраических уравнений и различные матричные разложения.

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCAD в виде операторов, причем их запись максимально приближена к математическому значению. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Некоторые операции применимы только к квадратным матрицам N  N, некоторые допускаются только для векторов (например, скалярное произведение), а другие, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

Создание матриц

Имеется два способа создать матрицу.

1-й способ. Использование команды создания массивов:

  1.  Воспользоваться командой Вставка  Матрица;
  2.  нажатие клавиш Ctrl+M;
  3.  выбор пиктограммы с изображением шаблона матрицы на панели инструментов Матрицы.

В диалоговом окне указать размерность матрицы, т. е. количество ее строк m (Rows) и столбцов n (Columns).

Для векторов один из этих параметров должен быть равен 1. При m = 1 получим вектор-столбец, а при n = 1- вектор-строку.

Далее на экране появится шаблон  , в который нужно  ввести значения элементов массива.

Обращаться к отдельным элементам вектора или матрицы можно используя нижний  индекс. Для элемента матрицы указываются два индекса, один  для номера строки, другой  для номера столбца.

Чтобы ввести нижний индекс, нужно нажать клавишу [ после имени вектора или матрицы или выбрать команду на панели Матрицы.

2-й способ. Использование ранжированной переменной. 

Ранжированная переменная используется для определения индекса (номера) элемента массива.

Например:

1) Создать матрицу В, состоящую из 2 строк и 3 столбцов.

2) Создать вектор S, состоящий из 3 элементов

Команды панели инструментов Матрицы

Кнопка

Назначение

Создание матрицы

Обратная матрица

Определитель матрицы

Транспонирование матрицы

Выделение столбца матрицы

Операторы для работы с массивами

Обозначения: для векторов  V, для матриц  М и для скалярных величин  z.

Оператор

Ввод

Назначение оператора

V1+V2

V1+V2

Сложение двух векторов V1 и V2

V1-V2

V1-V2

Вычитание двух векторов V1 и V2

Смена знака у элементов матрицы M

V-z

V-z

Вычитание из вектора V скаляра z

z*V, V*z

z*V, V*z

Умножение вектора V на скаляр z

z*M, M*z

z*M, M*z

Умножение матрицы М на скаляр z

V1*V2

VI*V2

Умножение двух векторов V1 и V2

M*V

M*V

Умножение матрицы М на вектор V

М1*М2

М1*М2

Умножение двух матриц М1 и М2

V/z

Деление вектора V на скаляр z

M/z

Деление матрицы М на скаляр z

М^n

Возведение матрицы М в степень п

Фрагмент документа MathCAD:

Функции для работы с векторами и матрицами.

Некоторые из них (V должен быть вектором, A может быть вектором либо матрицей):

length(V) возвращает число элементов в векторе v;

last(V)  возвращает индекс последнего элемента;

max(A)  возвращает максимальный по значению элемент;

min(A)  возвращает минимальный по значению элемент.

 Матричные функции 

Для работы с матрицами также существует ряд встроенных функций:

augment(M1, М2)  объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число строк;

identity(n)  создает единичную квадратную матрицу размером , (n – размер матрицы(число));

stack(MI, M2)  объединяет две матрицы М1 и M2, имеющие одинаковое число столбцов, сажая M1 над M2;

diag(V)  создает диагональную матрицу, элемент главной диагонали которой  вектор V;

cols(M)  возвращает число столбцов матрицы М;

rows(M)  возвращает число строк матрицы М;

rank(M) возвращает ранг матрицы М;

tr(M)  возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы М;

mean(M)  возвращает среднее значение элементов массива М;

median(M)  возвращает медиану элементов массива М;

eigenvals(M)  возвращает вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы M (M должна быть квадратной матрицей.);

submatrix(M,ir,jr,ic,jc)  возвращает подмассив, состоящий из всех элементов, которые содержатся в строках с ir по jr и столбцах с ic по jc массива М.

Символьные вычисления

Все матричные и векторные операторы допустимо использовать как в численных, так и в символьных расчетах. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными.

Фрагмент документа MathCAD:

Задания к лабораторной работе

  1.  Ввести в документ название лабораторной работы, вариант задания и фамилию студента
  2.  Создать квадратные матрицы А, В, D, размером (5,5,4 соответственно) первым способом
  3.  Исследовать следующие свойства матриц на примере преобразования заданных массивов:
  4.  транспонированная матрица суммы двух матриц равна сумме транспонированных матриц (A+B)T=AT+BT ;
  5.  транспонированная матрица произведения двух матриц равна сумме произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (A*B)T=BT*AT ;
  6.  при транспонировании квадратной матрицы определитель не меняется : |D|=|DT|;
  7.  произведение квадратной матрицы на соответствующую ей квадратную дает единичную матрицу (элементы главной диагонали единичной матрицы равны 1, а все остальные – 0)   D*D-1=E.
  8.  Для матриц A,B найти обратные матрицы.
  9.  Найти определители матриц A,B.
  10.  Для матрицы А увеличить значения элементов в № раз, где №  номер варианта.
  11.  Для матрицы В увеличить значения элементов на №.
  12.  Создать вектор C вторым способом, количество элементов которого равно 6.
  13.  Применить к матрицам А, В, D встроенные матричные функции (всевозможные) из приведенных в пункте “Функции для работы…..”
  14.  Применить к вектору С встроенные векторные функции.
  15.  Применить ко всем матрицам и вектору общие встроенные функции.
  16.  Сохранить документ.

Контрольные вопросы

  1.  Как создать матрицу, вектор  строку, вектор  столбец?
  2.  Какие операторы есть для работы с матрицами?
  3.  Перечислите команды панели инструментов Матрицы.
  4.  Как вставить матричные функции?
  5.  Как выполнять вычисления, если матрица задана в символьном виде?

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

639. Использование станка-качалки в процессе добычи нефти и газа 182 KB
  Процесс бурения включает крепление стенок скважин (как правило, глубоких) обсадными трубами с закачкой цементного раствора в кольцевой зазор между трубами и стенками скважин. Способы добычи нефти и газа
640. Организационное проектирование, оценка эффективности организационных систем 135 KB
  Основные методологические принципы построения организационных структур. Понятие экспертного метода, метода структуризации целей, метода организационного моделирования, метода аналогий. Этапы проектирования, эффективность организационных изменений.
641. Анализ использования трудовых ресурсов на предприятии 118 KB
  Анализ использования трудовых ресурсов ООО Каравай. Анализ использования трудовых ресурсов, направления анализа численности и состава рабочей силы. Мероприятия, направленные на улучшение использования трудовых ресурсов в ООО Каравай на 2012.
642. Виды отчетов и способы их составления программными средствами 124 KB
  В практике маркетинговых исследований существует три основных вида отчета: устный, письменный краткий и письменный подробный. Как правило, контракты предусматривают устный и один из видов письменных отчетов.
643. Тяговый расчет автомобиля ЗиЛ-133Г1 1017 KB
  Построение внешней скоростной характеристики двигателя Камаз-7401. Графики силы сопротивления качению колес автомобиля по дорожному покрытию. Определение силы сопротивления качению колес автомобиля по дорожному покрытию. Значения силы тяги на колесах и скорости автомобиля Зил-133Г1.
644. Теоретические основы налогового права 128 KB
  Дайте определение понятию налоговое право. Руководствуясь ст. 2 НК РФ, охарактеризуйте его предмет. Каким образом законодательство о налогах и сборах (ст. 45 НК РФ) определяет момент исполнения налогоплательщиком обязанности по уплате налогов и сборов. Каковы правовые последствия подачи налогоплательщиком жалобы.
645. Совместная работа основания и сооружения 155 KB
  Формы деформаций сооружений. Чувствительность конструкций к неравномерным осадкам. Меры по уменьшению чувствительности зданий к неравномерным осадкам. Комплексная взаимозависимость факторов для решения задачи по устройству фундаментов.
646. Вдосконалення системи автоматизації відділення випарної станції 92 KB
  Умови праці. Наявність шкідливих та небезпечних факторів на робочому місці. Санітарно-гігієнічні вимоги до виробничих приміщень та розміщення технологічного обладнання. Розрахунок звукопоглинаючої конструкції операторського пункту.
647. Использование языка AHDL при проектировании цифровых устройств 159.5 KB
  Описание комбинационного устройства на языке AHDL. Реализация комбинационного устройства в CPLD и FLEX (выбор микросхемы, полная компиляция, моделирование, анализ, быстродействия и временных задержек). Функциональная компиляция и моделирование устройств.