11586

ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа Векторы и матрицы Общие сведения Задачи линейной алгебры решаемые в MathCAD можно условно разделить на два класса. Первый это простейшие матричные операции которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реал...

Русский

2013-04-10

39.75 KB

17 чел.

Лабораторная работа  Векторы и матрицы

Общие сведения

Задачи линейной алгебры, решаемые в MathCAD, можно условно разделить на два класса. Первый  это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реализованы в виде операторов и нескольких специфических функций, предназначенных для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. д. Второй класс  это более сложные действия, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как вычисление определителей и обращение матриц, вычисление собственных векторов и собственных значений, решение систем линейных алгебраических уравнений и различные матричные разложения.

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCAD в виде операторов, причем их запись максимально приближена к математическому значению. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Некоторые операции применимы только к квадратным матрицам N  N, некоторые допускаются только для векторов (например, скалярное произведение), а другие, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

Создание матриц

Имеется два способа создать матрицу.

1-й способ. Использование команды создания массивов:

  1.  Воспользоваться командой Вставка  Матрица;
  2.  нажатие клавиш Ctrl+M;
  3.  выбор пиктограммы с изображением шаблона матрицы на панели инструментов Матрицы.

В диалоговом окне указать размерность матрицы, т. е. количество ее строк m (Rows) и столбцов n (Columns).

Для векторов один из этих параметров должен быть равен 1. При m = 1 получим вектор-столбец, а при n = 1- вектор-строку.

Далее на экране появится шаблон  , в который нужно  ввести значения элементов массива.

Обращаться к отдельным элементам вектора или матрицы можно используя нижний  индекс. Для элемента матрицы указываются два индекса, один  для номера строки, другой  для номера столбца.

Чтобы ввести нижний индекс, нужно нажать клавишу [ после имени вектора или матрицы или выбрать команду на панели Матрицы.

2-й способ. Использование ранжированной переменной. 

Ранжированная переменная используется для определения индекса (номера) элемента массива.

Например:

1) Создать матрицу В, состоящую из 2 строк и 3 столбцов.

2) Создать вектор S, состоящий из 3 элементов

Команды панели инструментов Матрицы

Кнопка

Назначение

Создание матрицы

Обратная матрица

Определитель матрицы

Транспонирование матрицы

Выделение столбца матрицы

Операторы для работы с массивами

Обозначения: для векторов  V, для матриц  М и для скалярных величин  z.

Оператор

Ввод

Назначение оператора

V1+V2

V1+V2

Сложение двух векторов V1 и V2

V1-V2

V1-V2

Вычитание двух векторов V1 и V2

Смена знака у элементов матрицы M

V-z

V-z

Вычитание из вектора V скаляра z

z*V, V*z

z*V, V*z

Умножение вектора V на скаляр z

z*M, M*z

z*M, M*z

Умножение матрицы М на скаляр z

V1*V2

VI*V2

Умножение двух векторов V1 и V2

M*V

M*V

Умножение матрицы М на вектор V

М1*М2

М1*М2

Умножение двух матриц М1 и М2

V/z

Деление вектора V на скаляр z

M/z

Деление матрицы М на скаляр z

М^n

Возведение матрицы М в степень п

Фрагмент документа MathCAD:

Функции для работы с векторами и матрицами.

Некоторые из них (V должен быть вектором, A может быть вектором либо матрицей):

length(V) возвращает число элементов в векторе v;

last(V)  возвращает индекс последнего элемента;

max(A)  возвращает максимальный по значению элемент;

min(A)  возвращает минимальный по значению элемент.

 Матричные функции 

Для работы с матрицами также существует ряд встроенных функций:

augment(M1, М2)  объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число строк;

identity(n)  создает единичную квадратную матрицу размером , (n – размер матрицы(число));

stack(MI, M2)  объединяет две матрицы М1 и M2, имеющие одинаковое число столбцов, сажая M1 над M2;

diag(V)  создает диагональную матрицу, элемент главной диагонали которой  вектор V;

cols(M)  возвращает число столбцов матрицы М;

rows(M)  возвращает число строк матрицы М;

rank(M) возвращает ранг матрицы М;

tr(M)  возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы М;

mean(M)  возвращает среднее значение элементов массива М;

median(M)  возвращает медиану элементов массива М;

eigenvals(M)  возвращает вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы M (M должна быть квадратной матрицей.);

submatrix(M,ir,jr,ic,jc)  возвращает подмассив, состоящий из всех элементов, которые содержатся в строках с ir по jr и столбцах с ic по jc массива М.

Символьные вычисления

Все матричные и векторные операторы допустимо использовать как в численных, так и в символьных расчетах. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными.

Фрагмент документа MathCAD:

Задания к лабораторной работе

  1.  Ввести в документ название лабораторной работы, вариант задания и фамилию студента
  2.  Создать квадратные матрицы А, В, D, размером (5,5,4 соответственно) первым способом
  3.  Исследовать следующие свойства матриц на примере преобразования заданных массивов:
  4.  транспонированная матрица суммы двух матриц равна сумме транспонированных матриц (A+B)T=AT+BT ;
  5.  транспонированная матрица произведения двух матриц равна сумме произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (A*B)T=BT*AT ;
  6.  при транспонировании квадратной матрицы определитель не меняется : |D|=|DT|;
  7.  произведение квадратной матрицы на соответствующую ей квадратную дает единичную матрицу (элементы главной диагонали единичной матрицы равны 1, а все остальные – 0)   D*D-1=E.
  8.  Для матриц A,B найти обратные матрицы.
  9.  Найти определители матриц A,B.
  10.  Для матрицы А увеличить значения элементов в № раз, где №  номер варианта.
  11.  Для матрицы В увеличить значения элементов на №.
  12.  Создать вектор C вторым способом, количество элементов которого равно 6.
  13.  Применить к матрицам А, В, D встроенные матричные функции (всевозможные) из приведенных в пункте “Функции для работы…..”
  14.  Применить к вектору С встроенные векторные функции.
  15.  Применить ко всем матрицам и вектору общие встроенные функции.
  16.  Сохранить документ.

Контрольные вопросы

  1.  Как создать матрицу, вектор  строку, вектор  столбец?
  2.  Какие операторы есть для работы с матрицами?
  3.  Перечислите команды панели инструментов Матрицы.
  4.  Как вставить матричные функции?
  5.  Как выполнять вычисления, если матрица задана в символьном виде?

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70990. Облік загальновиробничих витрат та порядок їх віднесення на собівартість продукції 963.5 KB
  Основою для розробки і реалізації управлінських рішень є відповідна інформація про стан справ в тій або іншій області діяльності організації в конкретний момент часу. Так, дані обліку витрат виробництва (обіг) і калькуляції собівартості продукції (робіт, послуг) є важливим засобом...
70991. Інженерно–технічний захист інформації та інформаційних систем 673 KB
  Основною метою кваліфікаційної роботи є вивчення і аналіз методів і засобів захисту інформації в мережі. Для досягнення вказаної мети необхідно вирішити ряд завдань: Розглянути погрози безпеці і їх класифікацію; Охарактеризувати методи і засоби захисту інформації в мережі...
70992. Основи організації обліку готівкового обігу на ТзОВ «Коломийська автобаза» 208.5 KB
  Метою написання даної роботи є дослідження роботи підприємства ТзОВ «Коломийська автобаза», та розкрити теоретичну частину обігу грошових коштів (а саме касових операцій) як в національній практиці так і з порівнянням досвіду зарубіжних країн.
70993. Визначення юридичних підстав кримінальної відповідальності за злочини проти власності 90.17 KB
  Одним із важливих напрямів розбудови України як незалежної демократичної держави є протидія злочинності. Успіх у цій діяльності значною мірою залежить від теоретичних розробок протидії окремим видам злочинності.
70994. ВДОСКОНАЛЕННЯ ОБЛІКУ ВИТРАТ ВИРОБНИЦТВА ТА КАЛЬКУЛЮВАННЯ СОБІВАРТОСТІ ВИГОТОВЛЕНОЇ ПРОДУКЦІЇ НА ТОВ «КАРПАТІЯ-БУК» 480.43 KB
  Собівартість продукції – це грошовий вираз витрат підприємства на виробництво і реалізацію продукції. Собівартість продукції характеризує ефективність всього процесу виробництва на підприємстві, оскільки в ній в ній відображаються рівень організації виробничого процесу...
70995. Моделювання систем масового обслуговування 726.8 KB
  Імітаційні моделі можуть бути як завгодно близькими до системи, яку моделюють, і простими у використанні. Це дає змогу застосовувати імітаційне моделювання як універсальний підхід для прийняття рішень в умовах невизначеності, враховуючи в моделях навіть ті чинники... По всем вопросам пишите на почту.
70996. Розробка навчальної програми для вивчення Delphi 887 KB
  Мета роботи: створити програму для вивчення Delphi з ілюстраціями та прикладами того, що можна робити з її компонентами. Завдання роботи: викласти навчальний матеріал про середовище програмування Delphi, його основні вікна та компоненти з можливістю наглядної демонстрації...