11586

ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа Векторы и матрицы Общие сведения Задачи линейной алгебры решаемые в MathCAD можно условно разделить на два класса. Первый это простейшие матричные операции которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реал...

Русский

2013-04-10

39.75 KB

18 чел.

Лабораторная работа  Векторы и матрицы

Общие сведения

Задачи линейной алгебры, решаемые в MathCAD, можно условно разделить на два класса. Первый  это простейшие матричные операции, которые сводятся к определенным арифметическим действиям над элементами матрицы. Они реализованы в виде операторов и нескольких специфических функций, предназначенных для создания, объединения, сортировки, получения основных свойств матриц и т. д. Второй класс  это более сложные действия, которые реализуют алгоритмы вычислительной линейной алгебры, такие как вычисление определителей и обращение матриц, вычисление собственных векторов и собственных значений, решение систем линейных алгебраических уравнений и различные матричные разложения.

Простейшие операции матричной алгебры реализованы в MathCAD в виде операторов, причем их запись максимально приближена к математическому значению. Каждый оператор выражается соответствующим символом. Некоторые операции применимы только к квадратным матрицам N  N, некоторые допускаются только для векторов (например, скалярное произведение), а другие, несмотря на одинаковое написание, по-разному действуют на векторы и матрицы.

Создание матриц

Имеется два способа создать матрицу.

1-й способ. Использование команды создания массивов:

  1.  Воспользоваться командой Вставка  Матрица;
  2.  нажатие клавиш Ctrl+M;
  3.  выбор пиктограммы с изображением шаблона матрицы на панели инструментов Матрицы.

В диалоговом окне указать размерность матрицы, т. е. количество ее строк m (Rows) и столбцов n (Columns).

Для векторов один из этих параметров должен быть равен 1. При m = 1 получим вектор-столбец, а при n = 1- вектор-строку.

Далее на экране появится шаблон  , в который нужно  ввести значения элементов массива.

Обращаться к отдельным элементам вектора или матрицы можно используя нижний  индекс. Для элемента матрицы указываются два индекса, один  для номера строки, другой  для номера столбца.

Чтобы ввести нижний индекс, нужно нажать клавишу [ после имени вектора или матрицы или выбрать команду на панели Матрицы.

2-й способ. Использование ранжированной переменной. 

Ранжированная переменная используется для определения индекса (номера) элемента массива.

Например:

1) Создать матрицу В, состоящую из 2 строк и 3 столбцов.

2) Создать вектор S, состоящий из 3 элементов

Команды панели инструментов Матрицы

Кнопка

Назначение

Создание матрицы

Обратная матрица

Определитель матрицы

Транспонирование матрицы

Выделение столбца матрицы

Операторы для работы с массивами

Обозначения: для векторов  V, для матриц  М и для скалярных величин  z.

Оператор

Ввод

Назначение оператора

V1+V2

V1+V2

Сложение двух векторов V1 и V2

V1-V2

V1-V2

Вычитание двух векторов V1 и V2

Смена знака у элементов матрицы M

V-z

V-z

Вычитание из вектора V скаляра z

z*V, V*z

z*V, V*z

Умножение вектора V на скаляр z

z*M, M*z

z*M, M*z

Умножение матрицы М на скаляр z

V1*V2

VI*V2

Умножение двух векторов V1 и V2

M*V

M*V

Умножение матрицы М на вектор V

М1*М2

М1*М2

Умножение двух матриц М1 и М2

V/z

Деление вектора V на скаляр z

M/z

Деление матрицы М на скаляр z

М^n

Возведение матрицы М в степень п

Фрагмент документа MathCAD:

Функции для работы с векторами и матрицами.

Некоторые из них (V должен быть вектором, A может быть вектором либо матрицей):

length(V) возвращает число элементов в векторе v;

last(V)  возвращает индекс последнего элемента;

max(A)  возвращает максимальный по значению элемент;

min(A)  возвращает минимальный по значению элемент.

 Матричные функции 

Для работы с матрицами также существует ряд встроенных функций:

augment(M1, М2)  объединяет в одну матрицы М1 и М2, имеющие одинаковое число строк;

identity(n)  создает единичную квадратную матрицу размером , (n – размер матрицы(число));

stack(MI, M2)  объединяет две матрицы М1 и M2, имеющие одинаковое число столбцов, сажая M1 над M2;

diag(V)  создает диагональную матрицу, элемент главной диагонали которой  вектор V;

cols(M)  возвращает число столбцов матрицы М;

rows(M)  возвращает число строк матрицы М;

rank(M) возвращает ранг матрицы М;

tr(M)  возвращает след (сумму диагональных элементов) квадратной матрицы М;

mean(M)  возвращает среднее значение элементов массива М;

median(M)  возвращает медиану элементов массива М;

eigenvals(M)  возвращает вектор, элементами которого являются собственные значения матрицы M (M должна быть квадратной матрицей.);

submatrix(M,ir,jr,ic,jc)  возвращает подмассив, состоящий из всех элементов, которые содержатся в строках с ir по jr и столбцах с ic по jc массива М.

Символьные вычисления

Все матричные и векторные операторы допустимо использовать как в численных, так и в символьных расчетах. Мощь символьных операций заключается в возможности проводить их не только над конкретными числами, но и над переменными.

Фрагмент документа MathCAD:

Задания к лабораторной работе

  1.  Ввести в документ название лабораторной работы, вариант задания и фамилию студента
  2.  Создать квадратные матрицы А, В, D, размером (5,5,4 соответственно) первым способом
  3.  Исследовать следующие свойства матриц на примере преобразования заданных массивов:
  4.  транспонированная матрица суммы двух матриц равна сумме транспонированных матриц (A+B)T=AT+BT ;
  5.  транспонированная матрица произведения двух матриц равна сумме произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке: (A*B)T=BT*AT ;
  6.  при транспонировании квадратной матрицы определитель не меняется : |D|=|DT|;
  7.  произведение квадратной матрицы на соответствующую ей квадратную дает единичную матрицу (элементы главной диагонали единичной матрицы равны 1, а все остальные – 0)   D*D-1=E.
  8.  Для матриц A,B найти обратные матрицы.
  9.  Найти определители матриц A,B.
  10.  Для матрицы А увеличить значения элементов в № раз, где №  номер варианта.
  11.  Для матрицы В увеличить значения элементов на №.
  12.  Создать вектор C вторым способом, количество элементов которого равно 6.
  13.  Применить к матрицам А, В, D встроенные матричные функции (всевозможные) из приведенных в пункте “Функции для работы…..”
  14.  Применить к вектору С встроенные векторные функции.
  15.  Применить ко всем матрицам и вектору общие встроенные функции.
  16.  Сохранить документ.

Контрольные вопросы

  1.  Как создать матрицу, вектор  строку, вектор  столбец?
  2.  Какие операторы есть для работы с матрицами?
  3.  Перечислите команды панели инструментов Матрицы.
  4.  Как вставить матричные функции?
  5.  Как выполнять вычисления, если матрица задана в символьном виде?

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46726. Литература 18 века 28 KB
  С последовательностью и разносторонностью ученого Радищев рассмотрел и подверг уничтожающей критике в Путешествии всю самодержавнокрепостническую общественную систему несущую народу горе. С присуще ему аналитической глубиной Радищев осветил связь таких явлений как падение нравственности народа и разврат верхов нижние заражаются от верхних а от них язва разврата достает и до деревень как взаимная зависимость самодержавия и церкви. Наблюдая вакханалию угнетения крестьянства видя моральную деградацию верхов Радищев находил...
46729. Exclamatory sentences 28 KB
  The main distinctive feature of this communicative type of sentence is a specific intonation; structurally it is variable
46730. Основні правила наголошування в українській мові. Засоби милозвучності української мови 28 KB
  Основні правила наголошування в українській мові. Система наголошування в українській мові досить складна проте є певні основні правила: Віддієслівні іменники середнього роду на ання у яких більше двох складів мають наголос як правило на суфіксі. Українській мові властиве уникання як збігу голосних так і збігу приголосних.
46731. ХАРАКТЕРИСТИКА КРИЗИСА НОВОРОЖДЕННОСТИ 28 KB
  ХАРАКТЕРИСТИКА КРИЗИСА НОВОРОЖДЕННОСТИ Первый критический период развития ребенка – период новорожденности. С одной стороны это полная биологическая беспомощность ребенка он не в состоянии удовлетворить ни одной жизненной потребности без взрослого. В противоречии между максимальной социальностью и минимальными средствами общения заложена основа всего развития ребенка в младенческом возрасте. Основное новообразование – возникновение индивидуальной психической жизни ребенка.
46732. Система стимулювання збуту в діяльності підприємства на зовнішніх ринках 1.02 MB
  Рoзглянутo наукові погляди вчених на маркетингові комунікації загалом та систему стимулювання збуту зокрема, основні складові засобів маркетингових комунікацій нa міжнародному ринку. Досліджено сучасний стан маркетингової комунікативної політики вітчизняного підприємства та проаналізовано його систему стимулювання збуту
46733. Экономическое обоснование ремонтопригодности функционального генератора 281 KB
  Функциональные генераторы относятся к измерительным приборам, вырабатывающим сигналы различных форм, т. е. различные «функции»: синусоидальную, треугольную, прямоугольную, пилообразную, ступенчатую, экспоненциальную, трапецеидальную и другие.
46734. The United States of America 28 KB
  The United States of America is a federal union of 50 states plus one independent district – the District of Columbia. Forty-nine states are situated on the continent but the 50th state is the state of Hawaii – a group of islands situated in the mid Pacific Ocean