11662

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лабораторная работа № 9 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Цель работы теоретический расчет и экспериментальное изучение спектров периодических сигналов. 9.1. Краткая теория Периодическим называется сигнал для которого где посто...

Русский

2013-04-10

225 KB

64 чел.

Лабораторная работа № 9

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Цель работы — теоретический расчет и экспериментальное изучение спектров периодических сигналов.

9.1. Краткая теория

Периодическим называется сигнал , для которого

,

где  — постоянная величина — период функции,  - любое целое число, положительное или отрицательное.

Всякая периодическая функция, ограниченная, кусочно-непрерывная и имеющая на протяжении периода конечное число экстремальных значений, может быть представлена рядом Фурье по тригонометрическим функциям в виде:

,                                   (9.1)

т. е. в виде суммы гармонических колебаний с амплитудами  и начальными фазами . Отдельные гармонические составляющие носят название гармоник; их частоты кратны основной частоте  (первой гармонике). Целое число   - номер гармоники.

Выражение (9.1) можно переписать в другой, очень употребительной форме:

,

где ; ; ; . Коэффициенты  и  определяются формулами:

;   .

Величина   определяет среднее значение функции за период и часто называется постоянной составляющей

.

Для четной функции  коэффициенты ряда Фурье , , то есть коэффициенты амплитудного спектра , а фазового , (n=0,1,…). Для нечетной функции  соответственно , , коэффициенты амплитудного спектра , фазового —, (n=0,1,…).

Если функция  является суммой двух функций, то ее коэффициенты Фурье представляют собой сумму коэффициентов Фурье этих функций: , , , что следует из свойства аддитивности интеграла.

Ряд Фурье может быть также записан в комплексной форме следующим образом:

,                                            (9.2)

где ;   ;   . Величина  есть комплексная амплитуда

.                                     (9.3)

Ряд Фурье дает разложение периодических функций по тригонометрическим функциям. В табл. 9.1 приведены примеры некоторых разложений.

Таблица 9.1

Разложение некоторых периодических функций

Вид функции

Коэффициенты разложения Фурье

Последовательность прямоугольных импульсов

;

;  ;

Пилообразное колебание

;  ;

, n=0,1,…

Синусоида со сдвинутой фазой

;  ;

;  ;

, n=0,1,…

Последовательность трапецеидальных импульсов

;  ;

Разложение Фурье периодических функций может быть обобщено и на случай непериодических процессов. Нестрогий, но наглядный путь к получению разложения Фурье непериодической функции состоит в применении предельного перехода  . Подставим в (9.2) значения  из (9.3):

.

Перейдем к пределу при . Вместо  введем основную круговую частоту . Эта величина есть частотный интервал между соседними гармониками, частоты которых равны . При предельном переходе сделаем замену по следующей схеме:

,   ,   ,

где  — текущая частота, изменяющаяся непрерывно,  — ее приращение. Сумма перейдет в интеграл:

или

,                                            (9.4)

где

.                                               (9.5)

Формулы (9.4) и (9.5) являются основными формулами теории гармонического анализа временных сигналов. Они представляют собой пару преобразований Фурье, связывающих между собой две функции: вещественную функцию времени  и комплексную функцию частоты . Формула (9.4) представляет собой интеграл Фурье в комплексной форме. Смысл ее в том, что непериодическая функция  представлена суммой бесконечно большого числа бесконечно малых колебаний, бесконечно близких по частоте. Комплексная амплитуда каждого отдельного колебания бесконечно мала, она равна

.

Частотный интервал между соседними колебаниями  также бесконечно мал, т. е. спектр непериодической функции является сплошным.

Величина  есть так называемая спектральная плотность. Часто  называют комплексным спектром непериодической функции, а модуль этой величины  просто спектром. По существу, спектральная плотность есть амплитуда сигнала, приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, включающей в себя рассматриваемую частоту .

На основании записанных формул нетрудно установить соотношение между спектрами одиночного импульса и последовательности импульсов.

Пусть задан спектр  одиночного импульса  и задан период повторения . Как легко видеть из формул (9.3) и (9.5), спектральная плотность  отличается от коэффициента ряда Фурье только множителем . Отсюда следует, что при повторении импульса  с периодом  коэффициенты  ряда Фурье  для полученной периодической последовательности равны

,

т. е.

;     ,

причем аргумент спектральной плотности  должен быть приравнен частоте   соответствующей гармоники.

Таким образом,

.

То есть модель спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом.

9.2. Аппаратурный спектральный анализ

Аппаратурный спектральный анализ осуществляется с помощью анализаторов спектра —  приборов, позволяющих измерять амплитуду и частоту каждого из синусоидальных колебаний, входящих в состав сложного анализируемого колебания.

Основной частью любого анализатора спектра является частотно-избирательный элемент (резонатор), в простейшем случае — колебательный контур.

Анализ сложного колебания посредством резонаторов может быть осуществлен двумя различными способами. Первый способ состоит в применении набора резонаторов, настроенных на различные частоты и подвергающихся одновременному воздействию исследуемого колебания. Такой способ называется одновременным анализом. При втором способе применяется один резонатор с переменной настройкой; это последовательный анализ. Примером подобного анализатора может служить обычный частотомер.

В данной работе в качестве анализатора спектра последовательного типа используется спектроанализатор СК4-56.

Работа анализатора спектра основана на методе последовательного анализа сигнала. Прибор представляет собой автоматически или вручную перестраиваемый супергетеродинный приемник с индикацией выходных сигналов на электронно-лучевой трубке (ЭЛТ). Изображение на экране ЭЛТ будет представлять собой график зависимости амплитуды входного сигнала от частоты в прямоугольной системе координат.

Используемая в индикаторе запоминающая ЭЛТ позволяет записать и  сохранять изображение спектра на ее экране. Память ЭЛТ используется в двух режимах наблюдения спектра — в режиме периодической памяти  и в режиме длительного хранения. В первом случае индикатор производит запись спектра во время прямого хода развертки и автоматически стирает его за время обратного хода. В режиме длительной памяти импульс стирания вырабатывается схемой стирания при нажатии кнопки        .

9.3. Меры безопасности

  1.  К работе с прибором допускаются лица, прошедшие инструктаж по технике безопасности при работе с электрорадиоизмерительными приборами.
  2.  Перед включением прибора и до присоединения его к другим приборам необходимо зажим защитного заземления      соеднить с зануленным зажимом питающей сети, а отсоединение зажима       допускается только после всех отсоединений и выключения прибора.
  3.  При подготовке прибора к проведению измерений, при техническом обслуживании и ремонте, в случае использования прибора совместно с другими приборами или включения его в состав установок необходимо выравнивать потенциалы корпусов, соединив их между собой, при этом зажим защитного заземления каждого из используемых приборов соединить с зануленным зажимом питающей сети.
  4.  В индикаторе имеется высоковольтный блок питания, в котором находятся источник минус 3,2 кВ, минус 3 кВ, плюс 3 кВ. На крышке этого блока нанесен предупредительный знак      . Этот блок обеспечивает цепи питания ЭЛТ. Под потенциалом 3 кВ относительно корпуса находятся катод и накал ЭЛТ, модулятор ЭЛТ, экран ЭЛТ. В блоке питания имеется также напряжение постоянного тока 300 В, для питания платы усилителя горизонтального отклонения и платы усилителя вертикального отклонения. На контактах сетевого разъема, фильтра  питания, тумблера СЕТЬ и первичных обмотках силового трансформатора и трансформатора в высоковольтном блоке имеется напряжение переменного тока 220 В.

9.4. Описание лабораторной установки

В качестве источника периодической последовательности импульсов используется генератор сигналов специальной формы.

Параметры импульсов устанавливаются с помощью переключателей на верхней панели формирующего устройства. Вход внешней синхронизации на задней стороне макета не используется, поэтому выключатель должен находиться в положении "Внутр.".

Для синхронизации осциллографа можно использовать выход синхронизации на лицевой панели "Синхр.".

9.5. Порядок выполнения работы

1. Установить на генераторе требуемую форму сигнала (синусоида, меандр, последовательность трапецеидальных импульсов). Подать с выхода генератора сигнал на осциллограф. Снять параметры импульсов в соответствии с таблицей 1 (амплитуда , длительность импульса , период ). Не забывайте про ручку "Скважность" на генераторе. Понятие "скважность" неприменимо к синусоидальному сигналу. Для других последовательностей начните со скважности, равной нулю.

2. Исследовать спектры последовательностей прямоугольных, трапецеидальных импульсов и синусоидального сигнала на ПК. Из директории c:\lab запустите программу sp.exe. Зарисовать спектры и снять их параметры  для импульсов, полученных в п. 1.

3. Подготовка к проведению измерений

  1.  Ручку ЯРКОСТЬ установить в крайнее левое положение!

Включить тумблер СЕТЬ и, убедившись, что горит сигнальная лампочка СЕТЬ на индикаторном блоке Я40-0830 и индицируются показания на цифровом индикаторе блока Я4С-68, прогреть прибор в течение 1 часа.

  1.  Органы управления установить в следующее положение:

ручка РУЧНАЯ — в среднее положение;

ручка РАЗВЕРТКА — АВТ;

тумблер ЛИНЕЙН.ЛОГ. — ЛИНЕЙН.;

тумблер КАЛИБР. АМПЛ. - выкл;

ручка ПОЛОСА Hz — "30";

кнопка ПАМЯТЬ — откл.;

ручка ВИДЕОФИЛЬТР - выкл.;

ручка ОБЗОР kHz/ДЕЛЕН. — "5";

ручка НОМИН. УРОВЕНЬ — 80 mV, 0.1 (внешний диск в крайнем правом положении, внутренний диск — в крайнем левом положении);

ручка S/ДЕЛЕНИЕ — "01".

  1.  Установить минимальную яркость и оптимальный фокус. Кнопка ПАМЯТЬ — период.

4. Установить минимальный уровень выходного сигнала  генератора. Подать сигнал с выхода генератора на вход 60 кГц анализатора спектра. Наблюдать на экране индикаторного блока спектр исследуемого сигнала  Ручку РАЗВЕРТКА установить в положение РУЧ и перейти к измерениям. Вращая ручку РУЧНАЯ, наблюдать совпадение метки с вершиной отклика, одновременно фиксируя амплитуду по масштабной сетке электронно-лучевой трубки и частоту по показаниям частотомера. Повторить изменения для спектров всех сигналов. Занести результаты в таблицы и построить графики.

5. Посмотрите, как будет меняться спектр последовательности прямоугольных импульсов в зависимости от скважности. Сделайте качественную оценку в режиме "Автомат.".

6. Произвести сравнение расчетных и экспериментально полученных спектров.

9.6. Контрольные вопросы

  1.  Различные формы записи ряда Фурье. Связь между коэффициентами разложения.
  2.  Как влияет изменение длительности импульса и периода повторения на спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов?
  3.  Как отразится на спектре периодического сигнала изменение положения начала отсчета времени?
  4.  Как изменится спектр периодического сигнала, если период повторения устремить в бесконечность?
  5.  Какая связь существует между сплошным спектром непериодического сигнала и линейчатым спектром соответствующего периодического сигнала?
  6.  Запишите выражение для спектральной плотности периодического сигнала.

9.7. Литература

  1.  Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1994.
  2.  Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высш. шк., 1988.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29326. Технологические преимущества и недостатки сканеров различных типов 44 KB
  Высокая разрешающая способность которая может быть осуществлена на этих сканерах. Необходимость использования выносных барабанов и их прицензионности сильно увеличивает стоимость сканера. Это главный недостаток сканера. Если разрешение сканера RCK равно 5 тысяч ppi а число элементов в линейке N равно 8 тысяч p то: Планшетные сканеры требуют правильного размещения информации на оригиналодержателе.
29327. Технологическая настройка сканера по оригиналу процесса 59.5 KB
  Если необходимо сканировать штриховые изображения то в этом случае RC выбирают по следующим законам. Это значит что при такой частоте изображения функции передачи модуляции объекта приходят практически к нулевому значению. Это приводит к более грубому квантованию оригинала что может стать заметным в процессе дальнейшей обработки изображения то есть возможно проявление эффекта пастеризации появление следов квантования. Для этого предварительно строят гистограммы изображения по ним находят черную и белую точки и к этим точкам привязывают...
29328. Классификация по организации светового пучка 68 KB
  В принципе световым пучком можно управлять путем импульсного управления – попиксельная запись и возможно осуществлять запись методом строчной записи когда не каждый пиксель пишется отдельно. Поскольку в этих системах осуществляется сканирование то соответственно в этих системах записи формируются строки с помощью записывающего пятна следовательно используется кадровая развертка. Чтобы обеспечить сплошность записи строки должны частично перекрываться диметр пятна должен быть больше периметра записи на 20 то есть диметр пятна...
29329. Лекция 11 Формирование углов поворота растра при электронном растрировании В качестве стандартных угло 61.5 KB
  Проблем совмещения пиксельной и растровой сетки нет только для желтой краски потому что угол поворота растра для нее равен 0. Что бы получить рациональный угол линия растровой решетки должна проходить через вершины ячеек пиксельной сетки. Использование рациональных углов растрирования а также идея необходимости совмещения узлов растровой и пиксельной сетки приводит к тому что растровая структура отличается от традиционной ранее применяемой по углам поворота и линиатуре. Первая идея заключается в том что чем больше разность между...
29330. Химико-фотографическая обработка 56 KB
  Для современных ФВУ используются пленки с контрастностью не менее 6. Технологическая настройка ФВУ Технологическая настройка ФВУ в себя включает: настройку фокусировки экспонирующей головки подбор оптимальной экспозиции для обеспечения необходимой оптической плотности фона процесс линеаризации ФВУ Необходимость фокусировки экспонирующей головки может возникнуть в связи со сменой сорта пленки если при этом меняется толщина этой пленки. При этой операции обеспечиваются условия экспонирования при которых будет обеспечена необходимая...
29331. Формула Юлла-Нильсена 38.5 KB
  Чем больше линиатура растра тем ближе расположены точки тем хуже функция размытия. ∆S получила название растискивания точки. На самом деле в этом значении растискивания точки значительную долю вносит рассеивание света в процессе визуального рассмотрения оттиска. Конечно в это ∆S удобно внести все искажения которые возникают не только в процессе визуального восприятия рассеивания света а также реальное растискивание в процессе печати и изменение размера растровой точки в копировальноформном процессе.
29332. Технологическая настройка системы обработки под реальный технологический процесс 54 KB
  Имеется специальный тестобъект который по сути дела представляет собой шкалу цветового охвата которая доступна в виртуальном виде то есть в виде информации записанной на магнитный носитель. Однако в некоторых случаях получение такой информации не оправдано изза разовых тиражей или если часть информации не доступна. Второй метод основан на использовании некоторой стандартной информации которая включается в состав программного обеспечения обработки изобразительной информации фирмой изготовителем. Эта информации по сути своей позволяет...
29333. Цветовые системы, используемые в обрабатывающей станции 58 KB
  Недостатки такого выражения: неоднозначность системы координат RGB и аппаратная зависимость неясное представление о цвете на основе соотношения этих сигналов Воздействие на один из каналов приводит к изменению цвета которое трудно предсказать. Если хотим получить насыщенные цвета должны работать в пределах 50 светлоты По координате а цвет меняется от Зеленого до Пурпурного. У нас имеются две группы основных цветов: цвета аддитивного синтеза однозональные цвета: Красный Зеленый Синий двузональные цвета субтрактивного синтеза:...
29334. Калибровка монитора без использования специальных аппаратных средств (по разработкам фирмы Gretag) 56 KB
  Однако для более точной коррекции цвета на экране монитора и корректного представления его в колориметрических координатах необходимо провести стадию технологической калибровки монитора. Это приводит к тому что если не принять специальных мер коррекции голубая краска выделится на синефильтровой и зеленофильтровой фотоформе будет запечатываться соответственно желтой и пурпурной краской. По сути дела при правильной настройки системы и правильной работе в соответствующих цветовых пространствах задача базовой коррекции решается автоматически...