11662

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лабораторная работа № 9 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Цель работы теоретический расчет и экспериментальное изучение спектров периодических сигналов. 9.1. Краткая теория Периодическим называется сигнал для которого где посто...

Русский

2013-04-10

225 KB

68 чел.

Лабораторная работа № 9

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Цель работы — теоретический расчет и экспериментальное изучение спектров периодических сигналов.

9.1. Краткая теория

Периодическим называется сигнал , для которого

,

где  — постоянная величина — период функции,  - любое целое число, положительное или отрицательное.

Всякая периодическая функция, ограниченная, кусочно-непрерывная и имеющая на протяжении периода конечное число экстремальных значений, может быть представлена рядом Фурье по тригонометрическим функциям в виде:

,                                   (9.1)

т. е. в виде суммы гармонических колебаний с амплитудами  и начальными фазами . Отдельные гармонические составляющие носят название гармоник; их частоты кратны основной частоте  (первой гармонике). Целое число   - номер гармоники.

Выражение (9.1) можно переписать в другой, очень употребительной форме:

,

где ; ; ; . Коэффициенты  и  определяются формулами:

;   .

Величина   определяет среднее значение функции за период и часто называется постоянной составляющей

.

Для четной функции  коэффициенты ряда Фурье , , то есть коэффициенты амплитудного спектра , а фазового , (n=0,1,…). Для нечетной функции  соответственно , , коэффициенты амплитудного спектра , фазового —, (n=0,1,…).

Если функция  является суммой двух функций, то ее коэффициенты Фурье представляют собой сумму коэффициентов Фурье этих функций: , , , что следует из свойства аддитивности интеграла.

Ряд Фурье может быть также записан в комплексной форме следующим образом:

,                                            (9.2)

где ;   ;   . Величина  есть комплексная амплитуда

.                                     (9.3)

Ряд Фурье дает разложение периодических функций по тригонометрическим функциям. В табл. 9.1 приведены примеры некоторых разложений.

Таблица 9.1

Разложение некоторых периодических функций

Вид функции

Коэффициенты разложения Фурье

Последовательность прямоугольных импульсов

;

;  ;

Пилообразное колебание

;  ;

, n=0,1,…

Синусоида со сдвинутой фазой

;  ;

;  ;

, n=0,1,…

Последовательность трапецеидальных импульсов

;  ;

Разложение Фурье периодических функций может быть обобщено и на случай непериодических процессов. Нестрогий, но наглядный путь к получению разложения Фурье непериодической функции состоит в применении предельного перехода  . Подставим в (9.2) значения  из (9.3):

.

Перейдем к пределу при . Вместо  введем основную круговую частоту . Эта величина есть частотный интервал между соседними гармониками, частоты которых равны . При предельном переходе сделаем замену по следующей схеме:

,   ,   ,

где  — текущая частота, изменяющаяся непрерывно,  — ее приращение. Сумма перейдет в интеграл:

или

,                                            (9.4)

где

.                                               (9.5)

Формулы (9.4) и (9.5) являются основными формулами теории гармонического анализа временных сигналов. Они представляют собой пару преобразований Фурье, связывающих между собой две функции: вещественную функцию времени  и комплексную функцию частоты . Формула (9.4) представляет собой интеграл Фурье в комплексной форме. Смысл ее в том, что непериодическая функция  представлена суммой бесконечно большого числа бесконечно малых колебаний, бесконечно близких по частоте. Комплексная амплитуда каждого отдельного колебания бесконечно мала, она равна

.

Частотный интервал между соседними колебаниями  также бесконечно мал, т. е. спектр непериодической функции является сплошным.

Величина  есть так называемая спектральная плотность. Часто  называют комплексным спектром непериодической функции, а модуль этой величины  просто спектром. По существу, спектральная плотность есть амплитуда сигнала, приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, включающей в себя рассматриваемую частоту .

На основании записанных формул нетрудно установить соотношение между спектрами одиночного импульса и последовательности импульсов.

Пусть задан спектр  одиночного импульса  и задан период повторения . Как легко видеть из формул (9.3) и (9.5), спектральная плотность  отличается от коэффициента ряда Фурье только множителем . Отсюда следует, что при повторении импульса  с периодом  коэффициенты  ряда Фурье  для полученной периодической последовательности равны

,

т. е.

;     ,

причем аргумент спектральной плотности  должен быть приравнен частоте   соответствующей гармоники.

Таким образом,

.

То есть модель спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом.

9.2. Аппаратурный спектральный анализ

Аппаратурный спектральный анализ осуществляется с помощью анализаторов спектра —  приборов, позволяющих измерять амплитуду и частоту каждого из синусоидальных колебаний, входящих в состав сложного анализируемого колебания.

Основной частью любого анализатора спектра является частотно-избирательный элемент (резонатор), в простейшем случае — колебательный контур.

Анализ сложного колебания посредством резонаторов может быть осуществлен двумя различными способами. Первый способ состоит в применении набора резонаторов, настроенных на различные частоты и подвергающихся одновременному воздействию исследуемого колебания. Такой способ называется одновременным анализом. При втором способе применяется один резонатор с переменной настройкой; это последовательный анализ. Примером подобного анализатора может служить обычный частотомер.

В данной работе в качестве анализатора спектра последовательного типа используется спектроанализатор СК4-56.

Работа анализатора спектра основана на методе последовательного анализа сигнала. Прибор представляет собой автоматически или вручную перестраиваемый супергетеродинный приемник с индикацией выходных сигналов на электронно-лучевой трубке (ЭЛТ). Изображение на экране ЭЛТ будет представлять собой график зависимости амплитуды входного сигнала от частоты в прямоугольной системе координат.

Используемая в индикаторе запоминающая ЭЛТ позволяет записать и  сохранять изображение спектра на ее экране. Память ЭЛТ используется в двух режимах наблюдения спектра — в режиме периодической памяти  и в режиме длительного хранения. В первом случае индикатор производит запись спектра во время прямого хода развертки и автоматически стирает его за время обратного хода. В режиме длительной памяти импульс стирания вырабатывается схемой стирания при нажатии кнопки        .

9.3. Меры безопасности

  1.  К работе с прибором допускаются лица, прошедшие инструктаж по технике безопасности при работе с электрорадиоизмерительными приборами.
  2.  Перед включением прибора и до присоединения его к другим приборам необходимо зажим защитного заземления      соеднить с зануленным зажимом питающей сети, а отсоединение зажима       допускается только после всех отсоединений и выключения прибора.
  3.  При подготовке прибора к проведению измерений, при техническом обслуживании и ремонте, в случае использования прибора совместно с другими приборами или включения его в состав установок необходимо выравнивать потенциалы корпусов, соединив их между собой, при этом зажим защитного заземления каждого из используемых приборов соединить с зануленным зажимом питающей сети.
  4.  В индикаторе имеется высоковольтный блок питания, в котором находятся источник минус 3,2 кВ, минус 3 кВ, плюс 3 кВ. На крышке этого блока нанесен предупредительный знак      . Этот блок обеспечивает цепи питания ЭЛТ. Под потенциалом 3 кВ относительно корпуса находятся катод и накал ЭЛТ, модулятор ЭЛТ, экран ЭЛТ. В блоке питания имеется также напряжение постоянного тока 300 В, для питания платы усилителя горизонтального отклонения и платы усилителя вертикального отклонения. На контактах сетевого разъема, фильтра  питания, тумблера СЕТЬ и первичных обмотках силового трансформатора и трансформатора в высоковольтном блоке имеется напряжение переменного тока 220 В.

9.4. Описание лабораторной установки

В качестве источника периодической последовательности импульсов используется генератор сигналов специальной формы.

Параметры импульсов устанавливаются с помощью переключателей на верхней панели формирующего устройства. Вход внешней синхронизации на задней стороне макета не используется, поэтому выключатель должен находиться в положении "Внутр.".

Для синхронизации осциллографа можно использовать выход синхронизации на лицевой панели "Синхр.".

9.5. Порядок выполнения работы

1. Установить на генераторе требуемую форму сигнала (синусоида, меандр, последовательность трапецеидальных импульсов). Подать с выхода генератора сигнал на осциллограф. Снять параметры импульсов в соответствии с таблицей 1 (амплитуда , длительность импульса , период ). Не забывайте про ручку "Скважность" на генераторе. Понятие "скважность" неприменимо к синусоидальному сигналу. Для других последовательностей начните со скважности, равной нулю.

2. Исследовать спектры последовательностей прямоугольных, трапецеидальных импульсов и синусоидального сигнала на ПК. Из директории c:\lab запустите программу sp.exe. Зарисовать спектры и снять их параметры  для импульсов, полученных в п. 1.

3. Подготовка к проведению измерений

  1.  Ручку ЯРКОСТЬ установить в крайнее левое положение!

Включить тумблер СЕТЬ и, убедившись, что горит сигнальная лампочка СЕТЬ на индикаторном блоке Я40-0830 и индицируются показания на цифровом индикаторе блока Я4С-68, прогреть прибор в течение 1 часа.

  1.  Органы управления установить в следующее положение:

ручка РУЧНАЯ — в среднее положение;

ручка РАЗВЕРТКА — АВТ;

тумблер ЛИНЕЙН.ЛОГ. — ЛИНЕЙН.;

тумблер КАЛИБР. АМПЛ. - выкл;

ручка ПОЛОСА Hz — "30";

кнопка ПАМЯТЬ — откл.;

ручка ВИДЕОФИЛЬТР - выкл.;

ручка ОБЗОР kHz/ДЕЛЕН. — "5";

ручка НОМИН. УРОВЕНЬ — 80 mV, 0.1 (внешний диск в крайнем правом положении, внутренний диск — в крайнем левом положении);

ручка S/ДЕЛЕНИЕ — "01".

  1.  Установить минимальную яркость и оптимальный фокус. Кнопка ПАМЯТЬ — период.

4. Установить минимальный уровень выходного сигнала  генератора. Подать сигнал с выхода генератора на вход 60 кГц анализатора спектра. Наблюдать на экране индикаторного блока спектр исследуемого сигнала  Ручку РАЗВЕРТКА установить в положение РУЧ и перейти к измерениям. Вращая ручку РУЧНАЯ, наблюдать совпадение метки с вершиной отклика, одновременно фиксируя амплитуду по масштабной сетке электронно-лучевой трубки и частоту по показаниям частотомера. Повторить изменения для спектров всех сигналов. Занести результаты в таблицы и построить графики.

5. Посмотрите, как будет меняться спектр последовательности прямоугольных импульсов в зависимости от скважности. Сделайте качественную оценку в режиме "Автомат.".

6. Произвести сравнение расчетных и экспериментально полученных спектров.

9.6. Контрольные вопросы

  1.  Различные формы записи ряда Фурье. Связь между коэффициентами разложения.
  2.  Как влияет изменение длительности импульса и периода повторения на спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов?
  3.  Как отразится на спектре периодического сигнала изменение положения начала отсчета времени?
  4.  Как изменится спектр периодического сигнала, если период повторения устремить в бесконечность?
  5.  Какая связь существует между сплошным спектром непериодического сигнала и линейчатым спектром соответствующего периодического сигнала?
  6.  Запишите выражение для спектральной плотности периодического сигнала.

9.7. Литература

  1.  Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1994.
  2.  Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высш. шк., 1988.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47416. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ ФИНАНСАМИ МУНИЦИПАЛЬНОГО ДОШКОЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ № 481 Г. ЧЕЛЯБИНСКА 662 KB
  Распорядители и получатели бюджетных средств на муниципальном уровне. Особую актуальность им придают хроническая нехватка средств местных бюджетов а также переход на казначейское исполнение бюджета в результате которых перед администрациями городов и районов остро стоят задачи оптимизации управления финансовыми ресурсами территории усиления контроля за целевым использованием бюджетных средств их получателями. Рассматриваются распорядители и получатели бюджетных средств на муниципальном уровне а также содержание...
47417. Опыт развития малых городов как туристских центров 1.44 MB
  Для сравнения будут взяты следующие населенные пункты: города Светлогорск Калининградской области Торжок Тверской области и Углич Ярославской области. Это объясняется тем что в Липецкой области Постановлением администрации Липецкой области №195 от 29. была создана Особая экономическая зона регионального уровня туристскорекреационного типа ОЭЗ РУ и согласно этому постановлению туристскорекреационный вид деятельности является одним из стратегических направлений развития области в целом и перспективным видом хозяйственного освоения её...
47418. Особенности государственной поддержки малого бизнеса в Республике Мордовия 578.5 KB
  Место и роль малого предпринимательства в рыночной экономики 1.1 Правовое регулирование малого бизнеса в России.2 Проблемы развития малого бизнеса в России 1.3 Методы и инструменты государственного регулирования малого бизнеса 2 Формы государственной поддержки малого бизнеса в России.
47419. Измельчительное оборудование 475.5 KB
  Применение современного измельчительного оборудования позволяет повысить производительность труда, сократить затраты и облегчить труд работников предприятий массового питания, улучшить качество изделий и сократить время обслуживания клиентов.
47420. Разработка дидактических средств развития пространственных представлений младшего школьника 1.6 MB
  Однако несмотря на то что необходимость изучения геометрического материала в курсе математики начальных классов и формирования на его основе пространственных представлений и пространственного мышления младших школьников не представляется спорной ни в одной из сегодняшних методических систем обучения математике в начальных классах структурный анализ содержания наиболее популярных сегодня учебных пособий по математике показывает крайне недостаточную содержательную разработанность этого вопроса в курсе математики начальных классов. Проблемами...
47421. Особенности методики развития скоростно-силовых способностей у школьников 5-х классов в процессе занятий физическими упражнениями 359 KB
  Большой вклад в теорию игры внесли Е.Ушинский считал что значение игры в развитии и воспитании личности уникально так как игра позволяет каждому ребенку ощутить себя субъектом проявить и развить свою личность. Одна из причин тому недостаточное внимание к разработке теории игры школьников. Сущность игры заключается в том что в ней важен не результат а сам процесс процесс переживаний связанных с игровыми действиями.
47422. Разработка системы приёмов организации и развития внимания детей 5 – 6 классов 367.5 KB
  Основные свойства внимания. Возрастные особенности внимания школьников. Организация внимания школьника. Наглядность как основной компонент развития внимания на уроках немецкого языка.
47423. Процесс формирования и развития организационной культуры предприятия «СТОМГРУПП» 777 KB
  Предложения по развитию и укреплению культуры организации СТОМГРУПП. Одним из важнейших мотивов для исследования организационной культуры является то что традиционные методы управления организациями построенные на функциональной специализации работников и подразделений разделении труда обособленности отдельных структур организации друг от друга основанные на линейности и равновесности процессов не отвечают сложившимся в настоящем условиям. Таким образом современным организациям требуется новая идеология...
47424. ОСОБЕННОСТИ КОРРЕКЦИОННОЙ РАБОТЫ ПО РАЗВИТИЮ РЕЧИ У ДЕТЕЙ С ОНР 1.32 MB
  Исследование состояния связной речи детей старшего дошкольного возраста с общим речевым недоразвитием. Формирование связной речи у детей Библиография Введение Проблемой нашего исследования является уровень связной речи детей с общим недоразвитием речи.