11662

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Лабораторная работа

Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Лабораторная работа № 9 ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Цель работы теоретический расчет и экспериментальное изучение спектров периодических сигналов. 9.1. Краткая теория Периодическим называется сигнал для которого где посто...

Русский

2013-04-10

225 KB

65 чел.

Лабораторная работа № 9

ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Цель работы — теоретический расчет и экспериментальное изучение спектров периодических сигналов.

9.1. Краткая теория

Периодическим называется сигнал , для которого

,

где  — постоянная величина — период функции,  - любое целое число, положительное или отрицательное.

Всякая периодическая функция, ограниченная, кусочно-непрерывная и имеющая на протяжении периода конечное число экстремальных значений, может быть представлена рядом Фурье по тригонометрическим функциям в виде:

,                                   (9.1)

т. е. в виде суммы гармонических колебаний с амплитудами  и начальными фазами . Отдельные гармонические составляющие носят название гармоник; их частоты кратны основной частоте  (первой гармонике). Целое число   - номер гармоники.

Выражение (9.1) можно переписать в другой, очень употребительной форме:

,

где ; ; ; . Коэффициенты  и  определяются формулами:

;   .

Величина   определяет среднее значение функции за период и часто называется постоянной составляющей

.

Для четной функции  коэффициенты ряда Фурье , , то есть коэффициенты амплитудного спектра , а фазового , (n=0,1,…). Для нечетной функции  соответственно , , коэффициенты амплитудного спектра , фазового —, (n=0,1,…).

Если функция  является суммой двух функций, то ее коэффициенты Фурье представляют собой сумму коэффициентов Фурье этих функций: , , , что следует из свойства аддитивности интеграла.

Ряд Фурье может быть также записан в комплексной форме следующим образом:

,                                            (9.2)

где ;   ;   . Величина  есть комплексная амплитуда

.                                     (9.3)

Ряд Фурье дает разложение периодических функций по тригонометрическим функциям. В табл. 9.1 приведены примеры некоторых разложений.

Таблица 9.1

Разложение некоторых периодических функций

Вид функции

Коэффициенты разложения Фурье

Последовательность прямоугольных импульсов

;

;  ;

Пилообразное колебание

;  ;

, n=0,1,…

Синусоида со сдвинутой фазой

;  ;

;  ;

, n=0,1,…

Последовательность трапецеидальных импульсов

;  ;

Разложение Фурье периодических функций может быть обобщено и на случай непериодических процессов. Нестрогий, но наглядный путь к получению разложения Фурье непериодической функции состоит в применении предельного перехода  . Подставим в (9.2) значения  из (9.3):

.

Перейдем к пределу при . Вместо  введем основную круговую частоту . Эта величина есть частотный интервал между соседними гармониками, частоты которых равны . При предельном переходе сделаем замену по следующей схеме:

,   ,   ,

где  — текущая частота, изменяющаяся непрерывно,  — ее приращение. Сумма перейдет в интеграл:

или

,                                            (9.4)

где

.                                               (9.5)

Формулы (9.4) и (9.5) являются основными формулами теории гармонического анализа временных сигналов. Они представляют собой пару преобразований Фурье, связывающих между собой две функции: вещественную функцию времени  и комплексную функцию частоты . Формула (9.4) представляет собой интеграл Фурье в комплексной форме. Смысл ее в том, что непериодическая функция  представлена суммой бесконечно большого числа бесконечно малых колебаний, бесконечно близких по частоте. Комплексная амплитуда каждого отдельного колебания бесконечно мала, она равна

.

Частотный интервал между соседними колебаниями  также бесконечно мал, т. е. спектр непериодической функции является сплошным.

Величина  есть так называемая спектральная плотность. Часто  называют комплексным спектром непериодической функции, а модуль этой величины  просто спектром. По существу, спектральная плотность есть амплитуда сигнала, приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, включающей в себя рассматриваемую частоту .

На основании записанных формул нетрудно установить соотношение между спектрами одиночного импульса и последовательности импульсов.

Пусть задан спектр  одиночного импульса  и задан период повторения . Как легко видеть из формул (9.3) и (9.5), спектральная плотность  отличается от коэффициента ряда Фурье только множителем . Отсюда следует, что при повторении импульса  с периодом  коэффициенты  ряда Фурье  для полученной периодической последовательности равны

,

т. е.

;     ,

причем аргумент спектральной плотности  должен быть приравнен частоте   соответствующей гармоники.

Таким образом,

.

То есть модель спектральной плотности одиночного импульса и огибающая линейчатого спектра последовательности, полученной путем повторения заданного импульса, совпадают по форме и отличаются только масштабом.

9.2. Аппаратурный спектральный анализ

Аппаратурный спектральный анализ осуществляется с помощью анализаторов спектра —  приборов, позволяющих измерять амплитуду и частоту каждого из синусоидальных колебаний, входящих в состав сложного анализируемого колебания.

Основной частью любого анализатора спектра является частотно-избирательный элемент (резонатор), в простейшем случае — колебательный контур.

Анализ сложного колебания посредством резонаторов может быть осуществлен двумя различными способами. Первый способ состоит в применении набора резонаторов, настроенных на различные частоты и подвергающихся одновременному воздействию исследуемого колебания. Такой способ называется одновременным анализом. При втором способе применяется один резонатор с переменной настройкой; это последовательный анализ. Примером подобного анализатора может служить обычный частотомер.

В данной работе в качестве анализатора спектра последовательного типа используется спектроанализатор СК4-56.

Работа анализатора спектра основана на методе последовательного анализа сигнала. Прибор представляет собой автоматически или вручную перестраиваемый супергетеродинный приемник с индикацией выходных сигналов на электронно-лучевой трубке (ЭЛТ). Изображение на экране ЭЛТ будет представлять собой график зависимости амплитуды входного сигнала от частоты в прямоугольной системе координат.

Используемая в индикаторе запоминающая ЭЛТ позволяет записать и  сохранять изображение спектра на ее экране. Память ЭЛТ используется в двух режимах наблюдения спектра — в режиме периодической памяти  и в режиме длительного хранения. В первом случае индикатор производит запись спектра во время прямого хода развертки и автоматически стирает его за время обратного хода. В режиме длительной памяти импульс стирания вырабатывается схемой стирания при нажатии кнопки        .

9.3. Меры безопасности

  1.  К работе с прибором допускаются лица, прошедшие инструктаж по технике безопасности при работе с электрорадиоизмерительными приборами.
  2.  Перед включением прибора и до присоединения его к другим приборам необходимо зажим защитного заземления      соеднить с зануленным зажимом питающей сети, а отсоединение зажима       допускается только после всех отсоединений и выключения прибора.
  3.  При подготовке прибора к проведению измерений, при техническом обслуживании и ремонте, в случае использования прибора совместно с другими приборами или включения его в состав установок необходимо выравнивать потенциалы корпусов, соединив их между собой, при этом зажим защитного заземления каждого из используемых приборов соединить с зануленным зажимом питающей сети.
  4.  В индикаторе имеется высоковольтный блок питания, в котором находятся источник минус 3,2 кВ, минус 3 кВ, плюс 3 кВ. На крышке этого блока нанесен предупредительный знак      . Этот блок обеспечивает цепи питания ЭЛТ. Под потенциалом 3 кВ относительно корпуса находятся катод и накал ЭЛТ, модулятор ЭЛТ, экран ЭЛТ. В блоке питания имеется также напряжение постоянного тока 300 В, для питания платы усилителя горизонтального отклонения и платы усилителя вертикального отклонения. На контактах сетевого разъема, фильтра  питания, тумблера СЕТЬ и первичных обмотках силового трансформатора и трансформатора в высоковольтном блоке имеется напряжение переменного тока 220 В.

9.4. Описание лабораторной установки

В качестве источника периодической последовательности импульсов используется генератор сигналов специальной формы.

Параметры импульсов устанавливаются с помощью переключателей на верхней панели формирующего устройства. Вход внешней синхронизации на задней стороне макета не используется, поэтому выключатель должен находиться в положении "Внутр.".

Для синхронизации осциллографа можно использовать выход синхронизации на лицевой панели "Синхр.".

9.5. Порядок выполнения работы

1. Установить на генераторе требуемую форму сигнала (синусоида, меандр, последовательность трапецеидальных импульсов). Подать с выхода генератора сигнал на осциллограф. Снять параметры импульсов в соответствии с таблицей 1 (амплитуда , длительность импульса , период ). Не забывайте про ручку "Скважность" на генераторе. Понятие "скважность" неприменимо к синусоидальному сигналу. Для других последовательностей начните со скважности, равной нулю.

2. Исследовать спектры последовательностей прямоугольных, трапецеидальных импульсов и синусоидального сигнала на ПК. Из директории c:\lab запустите программу sp.exe. Зарисовать спектры и снять их параметры  для импульсов, полученных в п. 1.

3. Подготовка к проведению измерений

  1.  Ручку ЯРКОСТЬ установить в крайнее левое положение!

Включить тумблер СЕТЬ и, убедившись, что горит сигнальная лампочка СЕТЬ на индикаторном блоке Я40-0830 и индицируются показания на цифровом индикаторе блока Я4С-68, прогреть прибор в течение 1 часа.

  1.  Органы управления установить в следующее положение:

ручка РУЧНАЯ — в среднее положение;

ручка РАЗВЕРТКА — АВТ;

тумблер ЛИНЕЙН.ЛОГ. — ЛИНЕЙН.;

тумблер КАЛИБР. АМПЛ. - выкл;

ручка ПОЛОСА Hz — "30";

кнопка ПАМЯТЬ — откл.;

ручка ВИДЕОФИЛЬТР - выкл.;

ручка ОБЗОР kHz/ДЕЛЕН. — "5";

ручка НОМИН. УРОВЕНЬ — 80 mV, 0.1 (внешний диск в крайнем правом положении, внутренний диск — в крайнем левом положении);

ручка S/ДЕЛЕНИЕ — "01".

  1.  Установить минимальную яркость и оптимальный фокус. Кнопка ПАМЯТЬ — период.

4. Установить минимальный уровень выходного сигнала  генератора. Подать сигнал с выхода генератора на вход 60 кГц анализатора спектра. Наблюдать на экране индикаторного блока спектр исследуемого сигнала  Ручку РАЗВЕРТКА установить в положение РУЧ и перейти к измерениям. Вращая ручку РУЧНАЯ, наблюдать совпадение метки с вершиной отклика, одновременно фиксируя амплитуду по масштабной сетке электронно-лучевой трубки и частоту по показаниям частотомера. Повторить изменения для спектров всех сигналов. Занести результаты в таблицы и построить графики.

5. Посмотрите, как будет меняться спектр последовательности прямоугольных импульсов в зависимости от скважности. Сделайте качественную оценку в режиме "Автомат.".

6. Произвести сравнение расчетных и экспериментально полученных спектров.

9.6. Контрольные вопросы

  1.  Различные формы записи ряда Фурье. Связь между коэффициентами разложения.
  2.  Как влияет изменение длительности импульса и периода повторения на спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов?
  3.  Как отразится на спектре периодического сигнала изменение положения начала отсчета времени?
  4.  Как изменится спектр периодического сигнала, если период повторения устремить в бесконечность?
  5.  Какая связь существует между сплошным спектром непериодического сигнала и линейчатым спектром соответствующего периодического сигнала?
  6.  Запишите выражение для спектральной плотности периодического сигнала.

9.7. Литература

  1.  Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Радио и связь, 1994.
  2.  Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высш. шк., 1988.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80468. «Вісімка запрошує друзів». (Число і цифра 8. Склад числа 8.) 187.5 KB
  Мета: формування вмінь, навичок та норм діяльності, застосування знань у ситуаціях, наближених до життя; розвиток уміння самооцінювати набуті знання, логічно мислити та висловлювати свої думки; виховувати дружні стосунки та повагу до однокласників.
80469. Склад числа 7. Дні тижня 149 KB
  Задачі уроку: ознайомити учнів зі складом числа 7, розглянути всі варіанти складу числа 7; вправляти в написанні цифр; вчити складати, розв’язувати і записувати приклади на додавання в межах 7; закріплювати знання назв днів тижня; вдосконалювати обчислювальні навички...
80470. Складання таблиць додавання й віднімання числа 6. Робота з геометричним матеріалом 382.5 KB
  Продовжити формування навичок швидкого додавання й віднімання; скласти таблицю додавання й віднімання числа 6; закріпити розширити математичні знання учнів; вправляти в побудові відрізків; розвивати логічне мислення увагу кмітливість; виховувати інтерес до математики.
80471. Додавання і віднімання в межах 100. Складання та розв’язування задач за коротким записом. Одиниця вимірювання місткості – 1 літр 186.5 KB
  Мета: Вдосконалювати обчислювальні навички учнів, закріплювати вміння складати і розв?язувати задачі за коротким записом, повторити одиницю вимірювання місткості – 1 літр, показати практичну значимість одиниці місткості, розвивати логічне мислення, пам?ять, математичну мову, виховувати пізнавальний інтерес.
80473. Додавання двоцифрових чисел виду 24+36 38 KB
  Розглянути різні прийомидодавання двоцифрових чисел даного виду, розвивати вміння розв’язувати задачі, вдосконалювати обчислювальні навички. Мультимедійна презентація, картки-підказки для самостійної роботи
80474. Властивості множення 132.5 KB
  Вивести і запровадити сполучну властивість множення, вчити її використовувати для раціоналізації обчислення. Повторити формулу знаходження об’єму прямокутного паралелепіпеда, знаходити об’єм прямокутного паралелепіпеда. Закріплювати знання таблиці множення, розв’язувати задачі і рівняння.
80475. Квадрат. Застосування різних прийомів знаходження суми двоцифрових чисел 128 KB
  Мета: закріпити поняття «геометричні фігури», формувати поняття« квадрат», вчити знаходити різницю між квадратом та прямокутником, вдосконалювати навички знаходження периметра фігури, розв’язування складених задач, закріплювати вміння обчислювати різними прийомами суму двоцифрових чисел...
80476. Упражнения на усвоение таблицы умножения и деления на число 8 (закрепление). Задачи 258.5 KB
  Цель: закреплять у детей знание таблицы умножения и деления на число 8; формировать умение выполнять задания на применение табличного деления и нахождение части числа; отрабатывать умение решать задачи на способ сведения к единице; развивать логическое мышление, внимание, интерес к математике.