11679

Ітераційні методи розвязання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №2 Ітераційні методи розвязання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації. Мета роботи: познайомитися з ітераційними методами розвязання систем алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у серед...

Украинкский

2013-04-10

40.97 KB

33 чел.

Лабораторна робота №2

Ітераційні методи розв’язання систем

лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації.

Мета роботи: познайомитися з ітераційними методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі MATLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему MATLAB файлом, що реалізує метод Зейделя чи метод релаксації для розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

Ітераційні методи дозволяють наближено знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, як границю послідовних наближень, що обчислюються по однаковому алгоритму. До ітераційних методів належать: метод Зейделя, метод простої ітерації, метод релаксації, градієнтні методи та їх модифікації. Застосовуються ітераційні методи для розв’язання систем ЛАР з числами порядку 106.

Забезпечення збіжності ітераційного процесу

Непрямі (ітераційні, неточні) методи дозволяють наближено знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, як границю послідовних наближень, що обчислюються за певним алгоритмом.

До ітераційних методів належать: метод Зейделя, метод простої ітерації, метод релаксації, градієнтні методи та їх модифікації. Застосовуються ітераційні методи для розв’язання СЛАР з коефіцієнтами порядку 106.

Ознакою ітераційного методу розв‘язання системи ЛАР є наявність початкового наближення х0 чи (х01, х02, х03, …) і потрібної точності отримання розв‘язків .

Для успішного застосування ітераційних методів до початку ітерацій потрібно напевне знати, що ітераційний процес буде збігатися до конкретного розв‘язку. Для цього початкову систему приводять до нормалізованого вигляду таким чином:

 (1)

Після заміни початкової системи лінійних рівнянь еквівалентною їй – нормалізованою системою – застосуємо ітераційні чисельні методи розв‘язання СЛАР, забезпечивши, таким чином, збіжність до розв‘язку.

Метод релаксації для розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Для початку обчислень вибираємо початкове наближення (х10, х20, …, хn) і точність обчислень . На першому етапі обчислюємо, так звані, нев‘язки, тобто відхилення від нуля параметрів :

,                        (4)

які при канонічному представленні системи рівнянь повинні дорівнювати нулю.

В системі знаходимо рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою: , і, обнулюючи ( = 0), обчислюємо значення за формулою:

              (5)

де і – номер рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою. На наступному кроці підраховуємо нев‘язки за оновленим вектором наближень (х11, х20, …, хn0 ) і вибираємо рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою :

,                         (6)

після чого розраховуємо , що задовольняє рівності:

                      (7)

При знаходженні чергового значення  не забувайте обнулювати ! 

Розрахунки продовжуємо до знаходження всіх значень , після цього перевіряємо умову припинення ітерацій, яка записується у вигляді: .

Якщо умова не виконується розпочинаємо наступний цикл ітерацій, який проводиться так, як і попередній, але в якості початкових значень невідомих виступають значення, обчислені у попередньому циклі ітерацій, наприклад: (х31, х21, …, хn1).

Цикли ітерацій продовжуємо до отримання необхідної точності  , яка визначається за простою умовою , саме тому даний метод називається методом релаксації.

При реалізації методу релаксації рівняння намагаються вибирати в такому порядку, щоб за найменшу кількість кроків знайти розв‘язок із заданою точністю. Оскільки такий вибір є невизначеним даний метод називають нестаціонарним.

Завдання для виконання лабораторної роботи.

Створити програму на внутрішній мові середовища МatLAB, що реалізує метод простої ітерації (варіанти 1, 4, 7, 10), метод релаксації (варіанти 3, 6, 9) та метод Зейделя (варіант 2, 5, 8). Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом лабораторної роботи № 1.

6 варіант.

Реалізація в Matlab

function result = relax(A, B, X, e, maxiter)

 A=[-2 -3 11;1 12 -5;-1 1 -1]

B=[-15 40 35 ]

X=[1;1;1]

e=0.001

maxiter=1000

B = A*B';

 A = A'*A;

 B = A'*B;

 D = A*X - B;

 [value, imax] = absmax(D);

 j = 1;

 while (abs(value) >= e) & (maxiter > 0)

       X(j) = X(j) - value/A(j,imax);

       D = A*X - B;

       [value,imax] = absmax(D);

       if j == length(B)

          j = 1;

          else 

          j = j + 1;

          end

       maxiter = maxiter - 1;

 end

 result = X;

D

A'

function [val, i] = absmax(A)

 val = A(1);

 i = 1;

 for j = 2 : length(A)

     if abs(val) < abs(A(j))

         val = A(j);

         i = j;

     end

 end

Реалізація

A =

   -2    -3    11

    1    12    -5

   -1     1    -1

B =

  -15    40    35

X =

    1

    1

    1

e =

 1.0000e-003

maxiter =

       1000

D =

 1.0e+016 *

  -0.5667

  -1.7124

   0.0000

ans =

    6    17   -26

   17   154   -94

  -26   -94   147

ans =

 1.0e+015 *

  -3.9993

  -0.1664

  -0.8138

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я познайомився з ітераційними методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь, реалізував заданий за варіантом метод у середовищі MATLAB.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45154. Попытки реорганизации советской системы управления во второй половине 1980-х гг 12.34 KB
  Попытки реорганизации советской системы управления во второй половине 1980х гг. Начало перемен в области управления осуществленных М. Возникло своеобразное двоевластие союзного и республиканского российского центра со своими органами управления и самое главное с разными идейно-политическими ориентирами.
45155. Распад СССР и кризисы постсоветского государственного управления 17.72 KB
  Распад СССР процессы системной дезинтеграции происходившие в экономике народном хозяйстве социальной структуре общественной и политической сфере Советского Союза приведшие к прекращению существования СССР в конце 1991 г. 25 декабря 1991 Президент СССР М. Горбачев объявил о прекращении своей деятельности на посту Президента СССР по принципиальным соображениям; 26 декабря Верховный Совет СССР принял декларацию о прекращении существования СССР.
45157. Синодальная система управления Церковью 87.5 KB
  Тем не менее процесс развития капитализма в России набирал силу.Внешняя политика Александра III Миротворца В области внешней политики период царствования Александра III характеризуется почти полным отсутствием войн: только небольшие боевые действия в Туркмении на этом завершилось присоединение Средней Азии к России. Тройственного союза в составе: Германия АвстроВенгрия и Италия стало ясно что естественным союзником России при таком раскладе сил должна быть Франция.Итак патриархальное правление Александра III в общем смогло лишь...
45158. Учредительное собрание 15.7 KB
  ВСЕРОССИЙСКОЕ УЧРЕДИТЕЛЬНОЕ СОБРАНИЕ. Выборы в Учредительное собрание состоялись в конце 1917. На Втором съезде Советов большевики пообещали созвать Учредительное собрание и признать его властью от которой зависит решение всех основных вопросов но это обещание не собирались выполнять. Большевики считали Учредительное собрание главным своим соперником в борьбе за власть.
45159. Лествичная система и княжое право периода раздробленности 13.13 KB
  Княжили в таком порядке: старший братмладшие братья по порядкусыновья старшего брата по старшинствусыновья следующих братьев по старшинствувнуки правнуки в той же последовательности и т. По мере смены главного князя все прочие переезжали по старшинству из города в город.
45160. Столыпинская модель ГУ. Реформа органов государственного управления 23.69 KB
  Об образовании из восточных частей Люблинской и Седлецкой губерний особой Холмской губернии с изъятием ее из управления варшавского генералгубернатора Столыпин и Государственная Дума это особый вопрос. К его чести Столыпин наверное единственный из министров царского правительства кто не боялся выступать в Думе с ответами по самым разным депутатским запросам. Между тем иногда аудитория была настроена к нему настолько враждебно что изза шума в зале Столыпин не мог начать выступление в течение 10 15 минут. Например выступая в Думе по...
45161. Кризис государственной власти и начало конца дворянской управленческой элиты 23.61 KB
  Кризис государственной власти и начало конца дворянской управленческой элиты Почему же относительно легко был сокрушен монархический строй в России Среди главных причин нужно назвать десакрализацию верховной власти потерю ею своего авторитета. В период кризиса власти негативную роль сыграло отсутствие у монарха качеств государственного лидера. Продвижение к власти осуществлялось по критерию личной преданности царю. Назреванию кризиса самодержавной власти способствовала мировая война кровавый воз которой Россия тянула с августа 1914 г.
45162. Двоевластие и его сущность. Кризисы Временного правительства: причины и последствия 16.38 KB
  Кризисы Временного правительства: причины и последствия 27 февраля был образован Петроградский совет рабочих депутатов в количестве 250 человек избравший свой исполнительный комитет. 1 марта между Исполнительным комитетом Совета и Временным комитетом Государственной Думы начались переговоры об образовании Временного правительства....