11679

Ітераційні методи розвязання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №2 Ітераційні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації. Мета роботи: познайомитися з ітераційними методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у серед...

Украинкский

2013-04-10

40.97 KB

32 чел.

Лабораторна робота №2

Ітераційні методи розв’язання систем

лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації.

Мета роботи: познайомитися з ітераційними методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі MATLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему MATLAB файлом, що реалізує метод Зейделя чи метод релаксації для розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

Ітераційні методи дозволяють наближено знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, як границю послідовних наближень, що обчислюються по однаковому алгоритму. До ітераційних методів належать: метод Зейделя, метод простої ітерації, метод релаксації, градієнтні методи та їх модифікації. Застосовуються ітераційні методи для розв’язання систем ЛАР з числами порядку 106.

Забезпечення збіжності ітераційного процесу

Непрямі (ітераційні, неточні) методи дозволяють наближено знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, як границю послідовних наближень, що обчислюються за певним алгоритмом.

До ітераційних методів належать: метод Зейделя, метод простої ітерації, метод релаксації, градієнтні методи та їх модифікації. Застосовуються ітераційні методи для розв’язання СЛАР з коефіцієнтами порядку 106.

Ознакою ітераційного методу розв‘язання системи ЛАР є наявність початкового наближення х0 чи (х01, х02, х03, …) і потрібної точності отримання розв‘язків .

Для успішного застосування ітераційних методів до початку ітерацій потрібно напевне знати, що ітераційний процес буде збігатися до конкретного розв‘язку. Для цього початкову систему приводять до нормалізованого вигляду таким чином:

 (1)

Після заміни початкової системи лінійних рівнянь еквівалентною їй – нормалізованою системою – застосуємо ітераційні чисельні методи розв‘язання СЛАР, забезпечивши, таким чином, збіжність до розв‘язку.

Метод релаксації для розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Для початку обчислень вибираємо початкове наближення (х10, х20, …, хn) і точність обчислень . На першому етапі обчислюємо, так звані, нев‘язки, тобто відхилення від нуля параметрів :

,                        (4)

які при канонічному представленні системи рівнянь повинні дорівнювати нулю.

В системі знаходимо рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою: , і, обнулюючи ( = 0), обчислюємо значення за формулою:

              (5)

де і – номер рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою. На наступному кроці підраховуємо нев‘язки за оновленим вектором наближень (х11, х20, …, хn0 ) і вибираємо рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою :

,                         (6)

після чого розраховуємо , що задовольняє рівності:

                      (7)

При знаходженні чергового значення  не забувайте обнулювати ! 

Розрахунки продовжуємо до знаходження всіх значень , після цього перевіряємо умову припинення ітерацій, яка записується у вигляді: .

Якщо умова не виконується розпочинаємо наступний цикл ітерацій, який проводиться так, як і попередній, але в якості початкових значень невідомих виступають значення, обчислені у попередньому циклі ітерацій, наприклад: (х31, х21, …, хn1).

Цикли ітерацій продовжуємо до отримання необхідної точності  , яка визначається за простою умовою , саме тому даний метод називається методом релаксації.

При реалізації методу релаксації рівняння намагаються вибирати в такому порядку, щоб за найменшу кількість кроків знайти розв‘язок із заданою точністю. Оскільки такий вибір є невизначеним даний метод називають нестаціонарним.

Завдання для виконання лабораторної роботи.

Створити програму на внутрішній мові середовища МatLAB, що реалізує метод простої ітерації (варіанти 1, 4, 7, 10), метод релаксації (варіанти 3, 6, 9) та метод Зейделя (варіант 2, 5, 8). Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом лабораторної роботи № 1.

6 варіант.

Реалізація в Matlab

function result = relax(A, B, X, e, maxiter)

 A=[-2 -3 11;1 12 -5;-1 1 -1]

B=[-15 40 35 ]

X=[1;1;1]

e=0.001

maxiter=1000

B = A*B';

 A = A'*A;

 B = A'*B;

 D = A*X - B;

 [value, imax] = absmax(D);

 j = 1;

 while (abs(value) >= e) & (maxiter > 0)

       X(j) = X(j) - value/A(j,imax);

       D = A*X - B;

       [value,imax] = absmax(D);

       if j == length(B)

          j = 1;

          else 

          j = j + 1;

          end

       maxiter = maxiter - 1;

 end

 result = X;

D

A'

function [val, i] = absmax(A)

 val = A(1);

 i = 1;

 for j = 2 : length(A)

     if abs(val) < abs(A(j))

         val = A(j);

         i = j;

     end

 end

Реалізація

A =

   -2    -3    11

    1    12    -5

   -1     1    -1

B =

  -15    40    35

X =

    1

    1

    1

e =

 1.0000e-003

maxiter =

       1000

D =

 1.0e+016 *

  -0.5667

  -1.7124

   0.0000

ans =

    6    17   -26

   17   154   -94

  -26   -94   147

ans =

 1.0e+015 *

  -3.9993

  -0.1664

  -0.8138

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я познайомився з ітераційними методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь, реалізував заданий за варіантом метод у середовищі MATLAB.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38568. Автоматизированная система коммерческого учета топлива для автозаправочной станции с.Заречный 11.54 MB
  В задании на проектирование АЗС указывают: район или пункт строительства, количество заправок в сутки, число и продолжительность рабочих смен, способ доставки горюче-смазочных материалов на станцию, источники тепло-, энерго- и водоснабжения, канализацию, связь и радиофикацию, наименование типового проекта
38569. Анализ природоохранной деятельности ООО «ХЛЕБОКОМБИНАТ РИАТ Г. КИНЕШМА» 1.17 MB
  Сравнение приведенных данных с масштабами природоохранных капитальных затрат в зарубежных странах где они составляют 24 от ВВП свидетельствует о том что нужно существенно увеличивать вложения в природоохранные мероприятия.i – базовый норматив платы за выброс 1 т iго загрязняющего вещества в размерах не превышающих предельно допустимые нормативы выбросов руб.i – базовый норматив платы за выброс 1 т iго загрязняющего вещества в пределах установленного лимита руб.
38570. Анализ сортамента и марки сталей прокатываемых на стане 1200 на ООО «ВИЗ-Сталь» 832.5 KB
  Назначение: обработка полосы анизотропной трансформаторной стали с целью улучшения электромагнитных характеристик материала. при остановке обработки рулона вызванной технологической необходимостью удаление дефектов выравнивание полосы и т. при выполнении операций допускается наличие участков полосы с двойной лазерной обработкой. Заправка полосы должна производиться путем протяжки ее от разматывателя через механизмы и системы роликов на толчковом режиме и заправочной скорости только клещами.
38571. Роль античных аллюзий в произведениях Хильды Дулиттл 375.5 KB
  Творчество Хильды Дулиттл. Роль и функции античных аллюзий в поэзии Хильды Дулиттл. Античные мотивы в сборнике стихов Хильды Дулиттл Морской сад . Дулиттл.
38573. Разработка брендбука новой организации (на примере кофейни «Coffee Shop») 348 KB
  Понятия брендбука и фирменного стиля.2 Разработка фирменного стиля кофейни Coffee Shop.3 Оценка эффективности разработанного фирменного стиля и брендбука. Однако мало просто разработать фирменный стиль для достижения максимального взаимодействия между рекламистами маркетологами дизайнерами и прочими сотрудниками необходимо создать документ содержащий в себе основные константы фирменного стиля макеты рекламной и сувенирной продукции а так же объектов документооборота.
38574. РАЗРАБОТКА ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ ПО ОБСЛУЖИВАНИЮ КЛИЕНТОВ СОЛ «РОВЕСНИК» 2.8 MB
  Язык программирования Object Pscl Среда разработки Delhi 7 СУБД SQL Нормативно-техническая документация Перечень вопросов подлежащих разработке Анализ требований Изучение и анализ предметной области задачи Разработка функциональной модели Как есть Разработка функциональной модели Как надо Обзор существующих решений Разработка технического задания Проектирование системы Построение логической модели БД Построение физической модели БД Разработка проекта системы...
38575. Исследование зрительной памяти дошкольников с интеллектуальной недостаточностью 10.18 MB
  ГЕРЦЕНА факультет коррекционной педагогики кафедра олигофренопедагогики Иванова Алёна Анатольевна Исследование зрительной памяти дошкольников с интеллектуальной недостаточностью. Литературный обзор проблемы формирования зрительной памяти у детей с интеллектуальной недостаточностью в психологопедагогической литературе 730 1.Вопросы изучения зрительной памяти в специальной литературе.Особенности нарушений зрительной памяти у детей дошкольного возраста с интеллектуальной недостаточностью .
38576. УДОСКОНАЛЕННЯ ГОСПОДАРСЬКОЇ ДІЯЛЬНОСТІ НА ДП «САРНЕНСЬКЕ ЛІСОВЕ ГОСПОДАРСТВО» 1.81 MB
  Комплексний аналіз діяльності підприємства.46 Аналіз фінансового стану підприємства.46 Аналіз персоналу підприємства58 Аналіз виробничого процесу на ДП Сарненське лісове господарство. Ринкова економіка формує нові вимоги до підприємства і його працівників.