11679

Ітераційні методи розвязання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №2 Ітераційні методи розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації. Мета роботи: познайомитися з ітераційними методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у серед...

Украинкский

2013-04-10

40.97 KB

32 чел.

Лабораторна робота №2

Ітераційні методи розв’язання систем

лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації.

Мета роботи: познайомитися з ітераційними методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі MATLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему MATLAB файлом, що реалізує метод Зейделя чи метод релаксації для розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

Ітераційні методи дозволяють наближено знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, як границю послідовних наближень, що обчислюються по однаковому алгоритму. До ітераційних методів належать: метод Зейделя, метод простої ітерації, метод релаксації, градієнтні методи та їх модифікації. Застосовуються ітераційні методи для розв’язання систем ЛАР з числами порядку 106.

Забезпечення збіжності ітераційного процесу

Непрямі (ітераційні, неточні) методи дозволяють наближено знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, як границю послідовних наближень, що обчислюються за певним алгоритмом.

До ітераційних методів належать: метод Зейделя, метод простої ітерації, метод релаксації, градієнтні методи та їх модифікації. Застосовуються ітераційні методи для розв’язання СЛАР з коефіцієнтами порядку 106.

Ознакою ітераційного методу розв‘язання системи ЛАР є наявність початкового наближення х0 чи (х01, х02, х03, …) і потрібної точності отримання розв‘язків .

Для успішного застосування ітераційних методів до початку ітерацій потрібно напевне знати, що ітераційний процес буде збігатися до конкретного розв‘язку. Для цього початкову систему приводять до нормалізованого вигляду таким чином:

 (1)

Після заміни початкової системи лінійних рівнянь еквівалентною їй – нормалізованою системою – застосуємо ітераційні чисельні методи розв‘язання СЛАР, забезпечивши, таким чином, збіжність до розв‘язку.

Метод релаксації для розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Для початку обчислень вибираємо початкове наближення (х10, х20, …, хn) і точність обчислень . На першому етапі обчислюємо, так звані, нев‘язки, тобто відхилення від нуля параметрів :

,                        (4)

які при канонічному представленні системи рівнянь повинні дорівнювати нулю.

В системі знаходимо рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою: , і, обнулюючи ( = 0), обчислюємо значення за формулою:

              (5)

де і – номер рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою. На наступному кроці підраховуємо нев‘язки за оновленим вектором наближень (х11, х20, …, хn0 ) і вибираємо рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою :

,                         (6)

після чого розраховуємо , що задовольняє рівності:

                      (7)

При знаходженні чергового значення  не забувайте обнулювати ! 

Розрахунки продовжуємо до знаходження всіх значень , після цього перевіряємо умову припинення ітерацій, яка записується у вигляді: .

Якщо умова не виконується розпочинаємо наступний цикл ітерацій, який проводиться так, як і попередній, але в якості початкових значень невідомих виступають значення, обчислені у попередньому циклі ітерацій, наприклад: (х31, х21, …, хn1).

Цикли ітерацій продовжуємо до отримання необхідної точності  , яка визначається за простою умовою , саме тому даний метод називається методом релаксації.

При реалізації методу релаксації рівняння намагаються вибирати в такому порядку, щоб за найменшу кількість кроків знайти розв‘язок із заданою точністю. Оскільки такий вибір є невизначеним даний метод називають нестаціонарним.

Завдання для виконання лабораторної роботи.

Створити програму на внутрішній мові середовища МatLAB, що реалізує метод простої ітерації (варіанти 1, 4, 7, 10), метод релаксації (варіанти 3, 6, 9) та метод Зейделя (варіант 2, 5, 8). Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом лабораторної роботи № 1.

6 варіант.

Реалізація в Matlab

function result = relax(A, B, X, e, maxiter)

 A=[-2 -3 11;1 12 -5;-1 1 -1]

B=[-15 40 35 ]

X=[1;1;1]

e=0.001

maxiter=1000

B = A*B';

 A = A'*A;

 B = A'*B;

 D = A*X - B;

 [value, imax] = absmax(D);

 j = 1;

 while (abs(value) >= e) & (maxiter > 0)

       X(j) = X(j) - value/A(j,imax);

       D = A*X - B;

       [value,imax] = absmax(D);

       if j == length(B)

          j = 1;

          else 

          j = j + 1;

          end

       maxiter = maxiter - 1;

 end

 result = X;

D

A'

function [val, i] = absmax(A)

 val = A(1);

 i = 1;

 for j = 2 : length(A)

     if abs(val) < abs(A(j))

         val = A(j);

         i = j;

     end

 end

Реалізація

A =

   -2    -3    11

    1    12    -5

   -1     1    -1

B =

  -15    40    35

X =

    1

    1

    1

e =

 1.0000e-003

maxiter =

       1000

D =

 1.0e+016 *

  -0.5667

  -1.7124

   0.0000

ans =

    6    17   -26

   17   154   -94

  -26   -94   147

ans =

 1.0e+015 *

  -3.9993

  -0.1664

  -0.8138

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я познайомився з ітераційними методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь, реалізував заданий за варіантом метод у середовищі MATLAB.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29499. «СРЕДНИЙ ЧЕЛОВЕК»: ФИКЦИЯ ИЛИ РЕАЛЬНОСТЬ 102 KB
  В соответствии с такой исследовательской ориентацией предметом рассмотрения прежде всего становится человек как респондент массового исследования а лишь затем возникает проблема социальногрупповой типологии. в рамках исследовательской программы Советский человек. Средний показатель I высшая 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 1 1 1 1 1 III 3 4 3 2 3 3 3 IV 6 5 6 4 7 6 5 V 21 20 24 21 19 19 20 VI 17 11 15 14 13 13 12 VII 18 13 14 16 16 15 15 VIII 12 16 15 15 16 18 15 IX 9 11 10 10 10 10 9 X низшая 8 17 13 16 15 14 14 Средний статус 626 697 675...
29500. ИНДИКАТОРЫ И ПАРАДИГМЫ КУЛЬТУРЫ В ОБЩЕСТВЕННОМ МНЕНИИ 109 KB
  Нужен какойто переход к теоретическому уровню анализа построению работоспособных гипотез и моделей культуры или как было предложено Т. Исходное предположение состоит в том что получаемые исследователями в массовых опросах глубоких интервью статистике данные относятся к состоянию видимых терминалов скрытого от невооруженного глаза сложного и в определенном смысле целостного механизма культуры. Перемены социальные и культурные: разные шкалы времени Понятно что все феномены и процессы культуры могут существовать реально только в...
29501. ФЕНОМЕН ВЛАСТИ В ОБЩЕСТВЕННОМ МНЕНИИ: ПАРАДОКСЫ И СТЕРЕОТИПЫ ВОСПРИЯТИЯ 123.5 KB
  При этом за пределами внимания остаются особенности представлений о природе и функциях власти присущие массовому сознанию современного общества. Необходимые разграничения В нашем общественном мнении обычно слабо различаются механизмы и функции власти структура властных институтов роли и действия конкретных лиц наделенных властью. Многочисленные опросные данные относительно доверия к социальным институтам регулярно публикуемые в журнале Мониторинг показывают существенные различия в отношении населения к власти федерального центра и...
29502. ИНДЕКСЫ СОЦИАЛЬНЫХ НАСТРОЕНИЙ В «НОРМЕ» И В КРИЗИСЕ 164 KB
  В последнее время большую международную известность приобрел индекс потребительских настроений который в нашей стране разрабатывается группой ИПНРоссия на основе регулярных мониторинговых исследований ВЦИОМ; его результаты широко освещаются в периодической печати в том числе в журнале Мониторинге общественного мнения2. По аналогичным методикам могут быть построены как частные так и сводный индексы социальных настроений и установок. По своей методологической природе любой сконструированный индекс величина искусственно полученная в...
29503. ПРОБЛЕМА ЭМОЦИОНАЛЬНОГО БАЛАНСА ОБЩЕСТВА 182.5 KB
  Высказанные им соображения о методологической слабости психологической трактовки распространенных в исследованиях общественного мнения в том числе и проведенных ВЦИОМ перечней различных страхов представляются вполне правомерными. Представляется полезным обсудить особенности природы и функций социальных страхов различных типов в их соотношении с другими компонентами эмоционального поля общества например интересами радостями позитивными оценками и переживаниями. Первое и важнейшее различение с которым приходится сталкиваться при...
29504. «ЧЕЛОВЕК СОВЕТСКИЙ» ПЯТЬ ЛЕТ СПУСТЯ: 1989-1994 (Предварительные итоги сравнительного исследования) 86 KB
  ВЦИОМ провел обширное исследование Советский человек результаты которого составили основу коллективной монографии2. было осуществлено новое исследование направленное на выявление изменений в установках ценностях нормативных структурах поведения человека в условиях социальных перемен и потрясений прошедшего периода. В первом исследовании было опрошено 2700 человек в нескольких республиках СССР в том числе 1325 человек в России во втором 3000 человек в различных регионах России.
29505. ВОЗВРАЩАЯСЬ К ФЕНОМЕНУ «ЧЕЛОВЕКА СОВЕТСКОГО»: проблемы методологии анализа 89 KB
  Все это совершенно новые типы ориентаций не имеющие аналогов и корней в советской реальности или в традиционных характеристиках человека советского. В условиях продолжающегося кризиса государственно-политических институтов общества не только важнейшими показателями его состояния но в значительной мере и условием социального выживания являются именно те нормативные и ценностные структуры которые действуют на уровне социального человека то есть те которые интериоризированы в структуре усвоенных им ориентаций и рамок восприятия...
29506. ЧЕЛОВЕК В ПОИСКАХ ИДЕНТИЧНОСТИ: проблема социальных критериев 97 KB
  С мыслью о своем народе опрошенные по программе Советский человек в 1989 и 1994 гг. Место где я родился и вырос 40 41 Наше прошлое наша история 24 37 Территория на которой мы живем 10 25 Язык моего народа 22 19 Родная природа 16 18 Государство в котором я живу 28 17 Исследования по программе Советский человек 1989 г. N = 1325 человек и 1994 г. N = 3000 человек.
29507. Сексуальні девіації, їх причини і форми 106.5 KB
  Вона характеризується значним підвищенням цінності сексуального життя для людини і витискання інших цінностей. При девіантній гіперсексуальності – людина використовує статевий контакт не тільки для отримання сексуального задоволення а скоріше для себе – здійснюється сексуальний контакт без урахування згоди партнера – за кількістю тривалістю часом місцем та формою реалізації. При цьому можуть використовуватись засоби сексуального контакту з приниженням партнера залякуванням його тощо. Асексуальна поведінка – людина знижує значимість і...