11679

Ітераційні методи розвязання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №2 Ітераційні методи розвязання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації. Мета роботи: познайомитися з ітераційними методами розвязання систем алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у серед...

Украинкский

2013-04-10

40.97 KB

33 чел.

Лабораторна робота №2

Ітераційні методи розв’язання систем

лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації.

Мета роботи: познайомитися з ітераційними методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі MATLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему MATLAB файлом, що реалізує метод Зейделя чи метод релаксації для розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

Ітераційні методи дозволяють наближено знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, як границю послідовних наближень, що обчислюються по однаковому алгоритму. До ітераційних методів належать: метод Зейделя, метод простої ітерації, метод релаксації, градієнтні методи та їх модифікації. Застосовуються ітераційні методи для розв’язання систем ЛАР з числами порядку 106.

Забезпечення збіжності ітераційного процесу

Непрямі (ітераційні, неточні) методи дозволяють наближено знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, як границю послідовних наближень, що обчислюються за певним алгоритмом.

До ітераційних методів належать: метод Зейделя, метод простої ітерації, метод релаксації, градієнтні методи та їх модифікації. Застосовуються ітераційні методи для розв’язання СЛАР з коефіцієнтами порядку 106.

Ознакою ітераційного методу розв‘язання системи ЛАР є наявність початкового наближення х0 чи (х01, х02, х03, …) і потрібної точності отримання розв‘язків .

Для успішного застосування ітераційних методів до початку ітерацій потрібно напевне знати, що ітераційний процес буде збігатися до конкретного розв‘язку. Для цього початкову систему приводять до нормалізованого вигляду таким чином:

 (1)

Після заміни початкової системи лінійних рівнянь еквівалентною їй – нормалізованою системою – застосуємо ітераційні чисельні методи розв‘язання СЛАР, забезпечивши, таким чином, збіжність до розв‘язку.

Метод релаксації для розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Для початку обчислень вибираємо початкове наближення (х10, х20, …, хn) і точність обчислень . На першому етапі обчислюємо, так звані, нев‘язки, тобто відхилення від нуля параметрів :

,                        (4)

які при канонічному представленні системи рівнянь повинні дорівнювати нулю.

В системі знаходимо рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою: , і, обнулюючи ( = 0), обчислюємо значення за формулою:

              (5)

де і – номер рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою. На наступному кроці підраховуємо нев‘язки за оновленим вектором наближень (х11, х20, …, хn0 ) і вибираємо рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою :

,                         (6)

після чого розраховуємо , що задовольняє рівності:

                      (7)

При знаходженні чергового значення  не забувайте обнулювати ! 

Розрахунки продовжуємо до знаходження всіх значень , після цього перевіряємо умову припинення ітерацій, яка записується у вигляді: .

Якщо умова не виконується розпочинаємо наступний цикл ітерацій, який проводиться так, як і попередній, але в якості початкових значень невідомих виступають значення, обчислені у попередньому циклі ітерацій, наприклад: (х31, х21, …, хn1).

Цикли ітерацій продовжуємо до отримання необхідної точності  , яка визначається за простою умовою , саме тому даний метод називається методом релаксації.

При реалізації методу релаксації рівняння намагаються вибирати в такому порядку, щоб за найменшу кількість кроків знайти розв‘язок із заданою точністю. Оскільки такий вибір є невизначеним даний метод називають нестаціонарним.

Завдання для виконання лабораторної роботи.

Створити програму на внутрішній мові середовища МatLAB, що реалізує метод простої ітерації (варіанти 1, 4, 7, 10), метод релаксації (варіанти 3, 6, 9) та метод Зейделя (варіант 2, 5, 8). Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом лабораторної роботи № 1.

6 варіант.

Реалізація в Matlab

function result = relax(A, B, X, e, maxiter)

 A=[-2 -3 11;1 12 -5;-1 1 -1]

B=[-15 40 35 ]

X=[1;1;1]

e=0.001

maxiter=1000

B = A*B';

 A = A'*A;

 B = A'*B;

 D = A*X - B;

 [value, imax] = absmax(D);

 j = 1;

 while (abs(value) >= e) & (maxiter > 0)

       X(j) = X(j) - value/A(j,imax);

       D = A*X - B;

       [value,imax] = absmax(D);

       if j == length(B)

          j = 1;

          else 

          j = j + 1;

          end

       maxiter = maxiter - 1;

 end

 result = X;

D

A'

function [val, i] = absmax(A)

 val = A(1);

 i = 1;

 for j = 2 : length(A)

     if abs(val) < abs(A(j))

         val = A(j);

         i = j;

     end

 end

Реалізація

A =

   -2    -3    11

    1    12    -5

   -1     1    -1

B =

  -15    40    35

X =

    1

    1

    1

e =

 1.0000e-003

maxiter =

       1000

D =

 1.0e+016 *

  -0.5667

  -1.7124

   0.0000

ans =

    6    17   -26

   17   154   -94

  -26   -94   147

ans =

 1.0e+015 *

  -3.9993

  -0.1664

  -0.8138

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я познайомився з ітераційними методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь, реалізував заданий за варіантом метод у середовищі MATLAB.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23654. Разработка графического интерфейса и базы данных каскадной системы регулирования температуры, расхода и концентрации в процессе ректификации стирола 3.53 MB
  Листинг программы unit Unit1; interface uses Windows Messages SysUtils Variants Classes Graphics Controls Forms Dialogs Grids ComCtrls ExtCtrls DBCtrls DBGrids StdCtrls Buttons DB DBTables ImgList ToolWin Mask TeEngine Series TeeProcs Chart DbChart Animate GIFCtrl; type TForm1 = classTForm PageControl1: TPageControl; TabSheet1: TTabSheet; TabSheet3: TTabSheet; PageControl2: TPageControl; TabSheet5: TTabSheet; DBNavigator1: TDBNavigator; DBGrid1: TDBGrid; BitBtn1: TBitBtn;...
23655. Управление качеством электронных средств 423 KB
  Непрерывной случайной величиной СВ называется величина которая при испытании может принять любое значение из заданного диапазона. Любое распределение характеризуется определенными характеристиками важнейшими из которых являются среднее значение и дисперсия. Несмещенной является оценка среднее значение которой совпадает со средним значением генерал ной совокупности. Здесь оценка истинное значение характеристики оператор усреднения.
23656. Семантические сети 170 KB
  Семантические сети Семантической сетью является структура данных имеющая определенный смысл как сеть. Стандартного определения семантической сети не существует но обычно под ней подразумевают следующее: Семантическая сеть это система знаний имеющая определенный смысл в виде целостного образа сети узлы которой соответствуют понятиям и объектам а дуги отношениям между объектами. Следовательно всевозможные сети можно рассматривать как сети входящие в состав семантической сети. Поэтому в контексте знакомства с СОЗ семантические сети...
23657. Продукционные модели. ЕСЛИ - ТО (явление - реакция) 166 KB
  Эти две отличительные черты и определили широкое распространение методов представления знаний правилами. Программные средства оперирующие со знаниями представленными правилами получили название продукционных систем или систем продукции и впервые были предложены Постом в 1941 году. Общим для систем продукции является то что они состоят из трех элементов: Набор правил используемых как БЗ его еще называют базой правил; Рабочая память где хранятся предпосылки касающиеся отдельных задач а также результаты выводов получаемых на основе...
23658. Представление знаний с применением фреймов 143.5 KB
  Понятие фрейма и слота В сложных семантических сетях включающих множество понятий процесс обновления узлов и контроль связей между ними становится затруднительным. В каждом узле понятия определяются набором атрибутов и их значениями которые содержатся в слотах фрейма. Слот это атрибут связанный с узлом в системе основанной на фреймах. Слот является составляющей фрейма.
23659. Стратегии поиска в СОЗ 105.5 KB
  7 Начальныесостояния Цель конечные состояния Реализует возможность выбора Выполняет шаги от начального состояния к новым более близким к цели Исходные посылки и факты Поиск Стратегия поиска B A C C A B A B C A B C C B A B C A B A C C A B A B C C A B B A C A B C A C B 8. Стратегии поиска в СОЗ 8. Поиск в СОЗ Причем поиск конечного состояния выполняется автоматически на основе реализованной в СОЗ стратегии поиска которая: реализует возможность выбора; позволяет выполнять шаги от начального...
23660. Нечеткие множества в системах основанных на знаниях 462.5 KB
  Для ее решения вводится два показателя: П АiФ = sup min фu Aiu это возможность что нечеткое множество Ф принадлежит значению Аi атрибута Ã. Рассмотрим геометрическую интерпретацию определения ПА1Ф: min фu A1u представляет собой треугольник SQR т. sup min фu A1u это точка Q т. Тогда ПА1Ф = min {max 0 min 1 1 m1 m2 1 2 max 0 min 1 1 m2 m1 2 1 }.
23661. Основы построения систем основанных на знаниях (Соз) 68 KB
  Предположим нас интересует что имеет Иван: Запрос: имеет иван Вещь Ответ: Вещь = машина Если мы заполним базу еще рядом фактов имеет петр руб.500 имеет петр телевизор цена видео 4200 цена приемник 20 цена часы 70 тогда на аналогичный запрос но только относительно Петра мы получим ответ: Запрос: имеет петр Вещь Ответ: Вещь = часы Вещь = руб 500 Вещь = телевизор Заметим что имя петр мы вводим со строчной буквы так как это атом; а Вещь является переменной и записывается с заглавной буквы. Чтобы не...
23662. Экспертные системы. Назначения ЭС и основные требования к ним 78 KB
  Экспертные системы Система основанная на знаниях система программного обеспечения основными структурными элементами которой являются базы знаний и механизм логических выводов. Основными требованиями к ЭС являются: использование знаний связанно с конкретной предметной областью; приобретение знаний от эксперта; определение реальной и достаточно сложной задачи; наделение системы способностями эксперта. которые обладают общими качествами: имеют огромный багаж знаний о конкретной предметной области; имеют большой опыт работы в этой...