11679

Ітераційні методи розвязання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №2 Ітераційні методи розвязання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації. Мета роботи: познайомитися з ітераційними методами розвязання систем алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у серед...

Украинкский

2013-04-10

40.97 KB

33 чел.

Лабораторна робота №2

Ітераційні методи розв’язання систем

лінійних алгебраїчних рівнянь. Метод Зейделя. Метод релаксації.

Мета роботи: познайомитися з ітераційними методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі MATLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему MATLAB файлом, що реалізує метод Зейделя чи метод релаксації для розв‘язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

Ітераційні методи дозволяють наближено знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, як границю послідовних наближень, що обчислюються по однаковому алгоритму. До ітераційних методів належать: метод Зейделя, метод простої ітерації, метод релаксації, градієнтні методи та їх модифікації. Застосовуються ітераційні методи для розв’язання систем ЛАР з числами порядку 106.

Забезпечення збіжності ітераційного процесу

Непрямі (ітераційні, неточні) методи дозволяють наближено знайти розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, як границю послідовних наближень, що обчислюються за певним алгоритмом.

До ітераційних методів належать: метод Зейделя, метод простої ітерації, метод релаксації, градієнтні методи та їх модифікації. Застосовуються ітераційні методи для розв’язання СЛАР з коефіцієнтами порядку 106.

Ознакою ітераційного методу розв‘язання системи ЛАР є наявність початкового наближення х0 чи (х01, х02, х03, …) і потрібної точності отримання розв‘язків .

Для успішного застосування ітераційних методів до початку ітерацій потрібно напевне знати, що ітераційний процес буде збігатися до конкретного розв‘язку. Для цього початкову систему приводять до нормалізованого вигляду таким чином:

 (1)

Після заміни початкової системи лінійних рівнянь еквівалентною їй – нормалізованою системою – застосуємо ітераційні чисельні методи розв‘язання СЛАР, забезпечивши, таким чином, збіжність до розв‘язку.

Метод релаксації для розв‘язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Для початку обчислень вибираємо початкове наближення (х10, х20, …, хn) і точність обчислень . На першому етапі обчислюємо, так звані, нев‘язки, тобто відхилення від нуля параметрів :

,                        (4)

які при канонічному представленні системи рівнянь повинні дорівнювати нулю.

В системі знаходимо рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою: , і, обнулюючи ( = 0), обчислюємо значення за формулою:

              (5)

де і – номер рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою. На наступному кроці підраховуємо нев‘язки за оновленим вектором наближень (х11, х20, …, хn0 ) і вибираємо рівняння з максимальною по модулю нев‘язкою :

,                         (6)

після чого розраховуємо , що задовольняє рівності:

                      (7)

При знаходженні чергового значення  не забувайте обнулювати ! 

Розрахунки продовжуємо до знаходження всіх значень , після цього перевіряємо умову припинення ітерацій, яка записується у вигляді: .

Якщо умова не виконується розпочинаємо наступний цикл ітерацій, який проводиться так, як і попередній, але в якості початкових значень невідомих виступають значення, обчислені у попередньому циклі ітерацій, наприклад: (х31, х21, …, хn1).

Цикли ітерацій продовжуємо до отримання необхідної точності  , яка визначається за простою умовою , саме тому даний метод називається методом релаксації.

При реалізації методу релаксації рівняння намагаються вибирати в такому порядку, щоб за найменшу кількість кроків знайти розв‘язок із заданою точністю. Оскільки такий вибір є невизначеним даний метод називають нестаціонарним.

Завдання для виконання лабораторної роботи.

Створити програму на внутрішній мові середовища МatLAB, що реалізує метод простої ітерації (варіанти 1, 4, 7, 10), метод релаксації (варіанти 3, 6, 9) та метод Зейделя (варіант 2, 5, 8). Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом лабораторної роботи № 1.

6 варіант.

Реалізація в Matlab

function result = relax(A, B, X, e, maxiter)

 A=[-2 -3 11;1 12 -5;-1 1 -1]

B=[-15 40 35 ]

X=[1;1;1]

e=0.001

maxiter=1000

B = A*B';

 A = A'*A;

 B = A'*B;

 D = A*X - B;

 [value, imax] = absmax(D);

 j = 1;

 while (abs(value) >= e) & (maxiter > 0)

       X(j) = X(j) - value/A(j,imax);

       D = A*X - B;

       [value,imax] = absmax(D);

       if j == length(B)

          j = 1;

          else 

          j = j + 1;

          end

       maxiter = maxiter - 1;

 end

 result = X;

D

A'

function [val, i] = absmax(A)

 val = A(1);

 i = 1;

 for j = 2 : length(A)

     if abs(val) < abs(A(j))

         val = A(j);

         i = j;

     end

 end

Реалізація

A =

   -2    -3    11

    1    12    -5

   -1     1    -1

B =

  -15    40    35

X =

    1

    1

    1

e =

 1.0000e-003

maxiter =

       1000

D =

 1.0e+016 *

  -0.5667

  -1.7124

   0.0000

ans =

    6    17   -26

   17   154   -94

  -26   -94   147

ans =

 1.0e+015 *

  -3.9993

  -0.1664

  -0.8138

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я познайомився з ітераційними методами розв’язання систем алгебраїчних рівнянь, реалізував заданий за варіантом метод у середовищі MATLAB.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39120. ТЕОРИИ ЭМОЦИОНАЛЬНЫХ ЯВЛЕНИЙ. ТЕОРИИ МОТИВАЦИОННОЙ И ВОЛЕВОЙ РЕГУЛЯЦИИ 155 KB
  Состояние когнитивного диссонанса возникает тогда: когда человек воспринимает самого себя в качестве причины возникшей когнитивной несогласованности; когда действия субъекта основаны на свободном выборе и разрушают Яконцепцию; когда люди чувствуют личную ответственность за свои неверные действия и поступки; когда такие действия и поступки имеют серьезные последствия. Когда свои действия или поступки которые вызывают когнитивный диссонанс человек не может оправдать и объяснить внешними факторами уменьшение диссонанса...
39121. СТРУКТУРНЫЕ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И ГЕНЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ МЫШЛЕНИЯ (ИНТЕЛЛЕКТА) ЧЕЛОВЕКА 163.5 KB
  Такие возможности реализуются на основе эмпирического опыта и воздействий социального окружения; эмпирическим опытом который включает: формирование двигательных навыков путем упражнения извлечение информации из опыта взаимодействия с физическим миром логикоматематический опыт организации и координации познавательных действий; воздействием социального окружения. Взаимодействие субъекта и объекта это источник любого знания который складывается из двух типов опыта: координации действий и операций которые строятся...
39122. СТРУКТУРНЫЕ, ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И ГЕНЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПАМЯТИ ЧЕЛОВЕКА 104.5 KB
  СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ И ГЕНЕТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ПАМЯТИ ЧЕЛОВЕКА План 1. Теории и модели памяти в когнитивной психологии 1. Модели организации процессов памяти в когнитивной психологии Кратковременная память Ограниченность объема: в среднем 57 единиц информации. На самых глубоких уровнях: а происходит когнитивная семантическая обработка путем установления различных связей с информацией в долговременной памяти; б устанавливается смысл и содержание информации осуществляется ее субъективная оценка.
39123. Структурные, функциональные и генетические теории внимания человека 63.5 KB
  Теории и модели внимания в когнитивной психологии Д. Модель внимания на основе избирательного ослабления сигналов Существует перцептивный фильтр расположенный между входными сенсорными сигналами и вербальным семантическим анализом сообщения. Стадия предвнимания: происходит быстрое извлечение и обработка информации полученной рецепторами позволяющие выделить простые и наиболее заметные признаки объектов; обработка информации производится автоматически быстро параллельно; обработка информации происходит без сознательных усилий и...
39124. ТЕОРИИ СОЗНАНИЯ ЧЕЛОВЕКА 86.5 KB
  ТЕОРИИ СОЗНАНИЯ ЧЕЛОВЕКА План Структурное и функциональное определение и объяснение сознания сохраняет свою актуальность в психологии до настоящего времени. Попытки объяснить сознание человека в истории психологии были связаны: с анализом организации процессов внимания с анализом осознаваемых и неосознаваемых мотивов человека с описанием сознания как сцены на которой представлен феноменологический опыт субъекта ассоциативная психология гештальтпсихология с трактовкой сознания как активного начала организующего в единство...
39125. МЕТОДОЛОГИЯ В НАУКЕ 177 KB
  Методология в составе научного знания Современная психология это система знаний состоящая из большого многообразия достоверных и сомнительных фактов феноменологических описаний психических явлений а также их всевозможных интерпретаций и объяснений. Методология науки это: система знаний о принципах построения формах и способах организации научного познания о способах установления степени достаточной обоснованности и верифицированности знаний получаемых в процессе научного исследования естественных природных и социальных...
39126. РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОНИМАНИЮ И ОПРЕДЕЛЕНИЮ ПРЕДМЕТА ПСИХОЛОГИИ 98.5 KB
  Феноменологические признаки психических явлений и ошибки возникающие при восприятии субъектом собственной психики Предмет психологии чрезвычайно сложен и до настоящего времени не существует полного согласия между научными направлениями исследования психических явлений даже в том что такое психика. Существует большое разнообразие психических явлений которые может наблюдать каждый человек с достаточно развитым самосознанием. По поводу основных фиксируемых при непосредственном наблюдении признаков психических явлений не существует единой...
39127. ПРОБЛЕМЫ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПСИХИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 126 KB
  ПРОБЛЕМЫ НАУЧНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПСИХИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ План 1. Научное познание психических явлений и его результаты Если обыденное познание психических явлений исходно опирается на непосредственночувственные данные и эмоциональные переживания возникающие в повседневном опыте субъекта то научное познание психики предполагает соблюдение ряда строгих процедур и требований которых придерживаются в любой сфере научной деятельности. Поиск объективных методов исследования и обоснование способов анализа и объяснения психических явлений это...
39128. ТЕОРИИ ЭВОЛЮЦИИ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ. ЭВОЛЮЦИЯ И ПСИХИКА 89 KB
  ТЕОРИИ ЭВОЛЮЦИИ ЖИВЫХ ОРГАНИЗМОВ. Теории эволюционирования живых организмов Общебиологические теории Ж. Обе направлены на объяснение многообразия различий в формах живых организмов а также способов их приспособления к среде обитания путем формулирования и указания предполагаемых причин и законов. Движущая сила развития органического мира врожденное стремление живых организмов к прогрессивному развитию различных функций.