11681

Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №4 Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB. Завдання для виконання лаборат

Украинкский

2013-04-10

44.19 KB

27 чел.

Лабораторна робота №4

Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання для виконання лабораторної роботи:

Розв’язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB. Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом.

2 варіант.  

Теоретичні відомості

Для розвязання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

   (4.1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

  (4.2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

 (4.3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

  (4.4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

    (4.5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

  (4.6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (4.7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

 (4.8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (4.9)

Хід роботи

1. Складаю функцію для знаходження коренів

function nNewton(y1,y2,y3);

F=char(y1,y2,y3);

eps=0.0001;

J = [(diff(y1,'x1')) (diff(y1,'x2')) (diff(y1,'x3')) ;

    (diff(y2,'x1')) (diff(y2,'x2')) (diff(y2,'x3')) ;

    (diff(y3,'x1')) (diff(y3,'x2')) (diff(y3,'x3')) ];

p=[2;2;2];

x1=p(1);

x2=p(2);

x3=p(3);

dp=[inf;inf;inf];

while (max(abs(dp(1:3)))>eps)

   dp=[0;0;0];

   Fk=[0;0;0];

Jk=eval(J);

for i=1:3

    Fk(i)=eval(F(i,:));

end

dp=inv(Jk)*Fk;

p=p-dp;

x1=p(1);

    x2=p(2);

    x3=p(3);

end

p

2. Результати виконання програми.

2 вар.    

>> nNewton('(x1^2+2*(x2^2)+3*(x3^2))','(3*x1+x2^3+x3*8)','(5*(x1^2)+8*x2+7*(x3^2))')

p =

 1.0e-004 *

  -0.8573

  -0.0000

   0.3215

  

>> nNewton('(x1+2*(x2^2)+3*(x3^3))','(3*(x1^3)+x2+2*(x3^2))','(x1^2+8*(x2^3)+x3)')

p =

 1.0e-011 *

   0.0021

   0.1446

   0.0000

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я розглянув ітераційні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь, а саме метод Ньютона. Розв’язана запропоновану систему.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43997. Производство строительного керамического кирпича 1.05 MB
  Анализ степени опасности технологического процесса при производстве керамического кирпича. Он предложил изменить размеры кирпича сделав его более узким и продолговатым; размер аристотелева кирпича был 65Х25Х15 вершка или 270Х110Х70 мм что по объему составляет 105 современного кирпича. Производство кирпича развивалось также и в других городах: в первой половине XVII века мастера кирпичники были зарегистрированы в 15 городах. Качество кирпича изготовляемого на Руси в XV XVII вв.
43998. Дослідження ефективності паралельного сортування на багатоядерному компютері 1.01 MB
  Основною задачею дипломного проекту є дослідження, розробка (модернізація) і аналіз продуктивності паралельних алгоритмів зовнішнього сортування даних. Побудова формул оцінки витрат часу для виконання операції сортування - необхідної частини процедури оптимізації при реалізації операцій реляційної алгебри. Бажано показати лінійну залежність прискорення часу зовнішнього сортування від кількості доступних процесорів.
44000. Технико-экономическое обоснование проекта (на примере ООО «ПЕТРО-ВИД») 1.57 MB
  Малый бизнес способствует созданию новых рабочих мест, обеспечивает занятость населения, в итоге уменьшается безработица. Относительно небольшой персонал предприятий малого бизнеса способствует большему сплочению трудового коллектива по сравнению с крупными предприятиями. Это еще более усиливает трудовую мотивацию и положительно сказывается на результатах труда компании.
44001. Редуктор Цилиндрический 1.16 MB
  Определение действительных изгибающих напряжений Проверочный расчет быстроходной ступени. Расчет диаметров колес Расстояние между деталями передач Выбор типа подшипников Конструирование зубчатых колес Проверка валов Определение усилий действующих на вал. Определение реакций и построение эпюр изгибающих моментов Определение моментов в опасных сечениях и проверка подшипника.
44002. Подбор основных элементов проектируемого здания 4.46 MB
  Основным направлением развития массового жилищного строительства является сборное, панельное домостроение. Однако более 35% объемов жилищного строительства осуществляется еще недостаточно индустриальными методами. Поэтому индустриальные методы монолитного домостроения рассматриваются как резерв повышения общего уровня дальнейшей индустриализации
44003. Розробка установки для зварювання прямолінійних швів товстостінної обичайки неплавким електродом у середовищі інертного газу 367 KB
  До того у звязку із значною вартістю і істотними складнощами робіт по виправленню дефектів швів особливо важливим є питання вибору оптимальних параметрів процесу зварювання і їх підтримки впродовж усього технологічного циклу. Слід зазначити що розширення технологічних можливостей і підвищення продуктивності дугового зварювання неплавким електродом також є вельми важливим. Спрощення технології складання деталей під зварювання зниження кутових деформацій звуження зони термічного впливу сприяють більш широкому застосуванню технологій...
44005. Вибір відповідників перекладу текстів науково-навчального жанру та визначення ступеня їх відповідності 287 KB
  У звязку з цим стало зрозумілим що основні труднощі перекладу і весь характер перекладацького процесу зумовлюються розбіжностями в структурах і правилах функціонування мов що беруть участь у цьому процесі. Розвитку лінгвістичної теорії перекладу сприяло і те що дослідження перекладацького процесу дало важливі результати для рішення багатьох інших мовознавчих проблем. Рецкер висловив переконання що вибір перекладачем того чи іншого варіанта перекладу часто аж ніяк не є довільним а є закономірним і визначається співвідношенням одиниць...