11681

Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №4 Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB. Завдання для виконання лаборат

Украинкский

2013-04-10

44.19 KB

29 чел.

Лабораторна робота №4

Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання для виконання лабораторної роботи:

Розв’язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB. Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом.

2 варіант.  

Теоретичні відомості

Для розвязання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

   (4.1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

  (4.2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

 (4.3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

  (4.4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

    (4.5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

  (4.6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (4.7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

 (4.8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (4.9)

Хід роботи

1. Складаю функцію для знаходження коренів

function nNewton(y1,y2,y3);

F=char(y1,y2,y3);

eps=0.0001;

J = [(diff(y1,'x1')) (diff(y1,'x2')) (diff(y1,'x3')) ;

    (diff(y2,'x1')) (diff(y2,'x2')) (diff(y2,'x3')) ;

    (diff(y3,'x1')) (diff(y3,'x2')) (diff(y3,'x3')) ];

p=[2;2;2];

x1=p(1);

x2=p(2);

x3=p(3);

dp=[inf;inf;inf];

while (max(abs(dp(1:3)))>eps)

   dp=[0;0;0];

   Fk=[0;0;0];

Jk=eval(J);

for i=1:3

    Fk(i)=eval(F(i,:));

end

dp=inv(Jk)*Fk;

p=p-dp;

x1=p(1);

    x2=p(2);

    x3=p(3);

end

p

2. Результати виконання програми.

2 вар.    

>> nNewton('(x1^2+2*(x2^2)+3*(x3^2))','(3*x1+x2^3+x3*8)','(5*(x1^2)+8*x2+7*(x3^2))')

p =

 1.0e-004 *

  -0.8573

  -0.0000

   0.3215

  

>> nNewton('(x1+2*(x2^2)+3*(x3^3))','(3*(x1^3)+x2+2*(x3^2))','(x1^2+8*(x2^3)+x3)')

p =

 1.0e-011 *

   0.0021

   0.1446

   0.0000

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я розглянув ітераційні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь, а саме метод Ньютона. Розв’язана запропоновану систему.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

51852. Лічба в межах 20. Вправи на засвоєння додавання та віднімання чисел у межах 10 56 KB
  Обладнання: ілюстрації героїв казок: Колобок Заєць Лиса Вовк Ведмідь Белочка Буратіно набори чисел дидактичний матеріал картки тести. Правильно це Колобок. Наш Колобок дуже допитливий тому геть і пішов от бабусі й дідуся щоб навчитися бути економним. Ну що ж у шлях І покотився Колобок.
51854. МИ ЧУЄМО ТЕБЕ, КОБЗАРЮ, КРІЗЬ СТОЛІТТЯ 479.5 KB
  22 Урок Черкащина земля Тараса Шевченка 33 Урок Черкащина духовності скарбниця. Шевченка без перебільшення можна назвати геніальним художником. Творчість Шевченка багатогранна як його талант. Літературна спадщина Шевченка обіймає велику збірку поетичних творів Кобзар драму Назар Стодоля і 2 уривки з інших п'єс; 9 повістей щоденник та автобіографію написані російською мовою записки історичноархеологічного характеру Археологічні нотатки 4 статті та понад 250 листів.
51856. Ми чуємо тебе Кобзарю крізь століття 1.78 MB
  Базилевський: Шевченко явище унікальне Просторо в цьому імені. Справді як поет Тарас Шевченко починає виступати в різноманітних здавалося б майже взаємно виключаючих поетичних жанрах немовби в різних стильових манерах. Питання для обговорення: як ви вважаєте: звідки черпав наснагу Шевченко чи можна на вашу думку розєднати Шевченка і Черкащину Свою відповідь обгрунтуйте. Без волi немає щастя вважав Шевченко: .
51857. The Miracle Drugs Abroad 57.5 KB
  Ech one is mircle drug in its own right nd I hvent met n mericn tourist yet who isnt willing to shre his medicines with less fortunte people who live brod. âI hve just the thing for youâ the hostess sid. It doesnt mke you s sleepy nd you only hve to tke two every four hours. I hve bottle t the hotel nd if you stop by Ill give you some.
51859. Використання ІКТ на уроках математики у школі II ступеня з метою формування профільних компетенцій 71 KB
  А саме: учні активно беруть участь в процесі навчання навчаються самостійно мислити пропонувати свої бачення прогнозувати та моделювати окремі ситуації. Якщо цей вчитель може надати допомогу учням в їх самостійній діяльності з використанням інформаційнокомунікаційних технологій та вказати їм на можливості їх використання для навчання в тому числі самостійно його авторитет суттєво підвищується. Якщо вчитель може запропонувати учням доступний їм Інтернетресурс який містить предметний навчальний матеріал надто якщо цей матеріал...