11681

Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №4 Тема: Розв’язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розв’язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB. Завдання для виконання лаборат

Украинкский

2013-04-10

44.19 KB

27 чел.

Лабораторна робота №4

Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання для виконання лабораторної роботи:

Розв’язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB. Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом.

2 варіант.  

Теоретичні відомості

Для розвязання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

   (4.1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

  (4.2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

 (4.3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

  (4.4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

    (4.5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

  (4.6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (4.7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

 (4.8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (4.9)

Хід роботи

1. Складаю функцію для знаходження коренів

function nNewton(y1,y2,y3);

F=char(y1,y2,y3);

eps=0.0001;

J = [(diff(y1,'x1')) (diff(y1,'x2')) (diff(y1,'x3')) ;

    (diff(y2,'x1')) (diff(y2,'x2')) (diff(y2,'x3')) ;

    (diff(y3,'x1')) (diff(y3,'x2')) (diff(y3,'x3')) ];

p=[2;2;2];

x1=p(1);

x2=p(2);

x3=p(3);

dp=[inf;inf;inf];

while (max(abs(dp(1:3)))>eps)

   dp=[0;0;0];

   Fk=[0;0;0];

Jk=eval(J);

for i=1:3

    Fk(i)=eval(F(i,:));

end

dp=inv(Jk)*Fk;

p=p-dp;

x1=p(1);

    x2=p(2);

    x3=p(3);

end

p

2. Результати виконання програми.

2 вар.    

>> nNewton('(x1^2+2*(x2^2)+3*(x3^2))','(3*x1+x2^3+x3*8)','(5*(x1^2)+8*x2+7*(x3^2))')

p =

 1.0e-004 *

  -0.8573

  -0.0000

   0.3215

  

>> nNewton('(x1+2*(x2^2)+3*(x3^3))','(3*(x1^3)+x2+2*(x3^2))','(x1^2+8*(x2^3)+x3)')

p =

 1.0e-011 *

   0.0021

   0.1446

   0.0000

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я розглянув ітераційні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь, а саме метод Ньютона. Розв’язана запропоновану систему.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

58642. Гласные и согласные звуки 822 KB
  Сегодня мы попомним что звуки на письме обозначаются с помощью букв повторим какие звуки есть в русском языке и по каким признакам они различаются. Как звуки обозначаются на письме Чем звуки отличаются от букв Звуки мы слышим и произносим.
58643. Как надо действовать, чтобы правильно написать безударную гласную 55 KB
  Цель: Развитие умения работать по алгоритму чтобы правильно писать безударную гласную в корне слова познакомить с новым значением омонимы воспитывать самостоятельность пополнять словарный запас.
58645. Склонение личных местоимений в единственном и множественном числе 56 KB
  Цели: образовательные: совершенствовать умение склонять личные местоимения в единственном и множественном числе употреблять их в речи; развивающие: развивать орфографическую зоркость внимание мышление память...
58648. Формирование синтаксических умений при разборе простого и сложного предложения на грамматическом уровне развития речи младших школьников на уроках русского языка 58 KB
  Синтаксический анализ предложения. Из предложения текста: Крепкий лёд незаметно сковал реку. Назвать сочетание слов которое не является словосочетанием определить и охарактеризовать грамматическую основу предложения лёд сковывает А теперь давайте поиграем.
58649. Письменный пересказ текста-рассуждение 45.5 KB
  Задачи: образовательные Моделировать интонационный состав высказывания Составлять высказывание по опорным вопросам Участвовать в учебном диалоге: отвечать на вопрос задавать вопрос Создавать план текста. Осознавать особенности каждого типа текста.