11681

Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №4 Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB. Завдання для виконання лаборат

Украинкский

2013-04-10

44.19 KB

29 чел.

Лабораторна робота №4

Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання для виконання лабораторної роботи:

Розв’язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB. Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом.

2 варіант.  

Теоретичні відомості

Для розвязання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

   (4.1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

  (4.2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

 (4.3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

  (4.4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

    (4.5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

  (4.6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (4.7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

 (4.8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (4.9)

Хід роботи

1. Складаю функцію для знаходження коренів

function nNewton(y1,y2,y3);

F=char(y1,y2,y3);

eps=0.0001;

J = [(diff(y1,'x1')) (diff(y1,'x2')) (diff(y1,'x3')) ;

    (diff(y2,'x1')) (diff(y2,'x2')) (diff(y2,'x3')) ;

    (diff(y3,'x1')) (diff(y3,'x2')) (diff(y3,'x3')) ];

p=[2;2;2];

x1=p(1);

x2=p(2);

x3=p(3);

dp=[inf;inf;inf];

while (max(abs(dp(1:3)))>eps)

   dp=[0;0;0];

   Fk=[0;0;0];

Jk=eval(J);

for i=1:3

    Fk(i)=eval(F(i,:));

end

dp=inv(Jk)*Fk;

p=p-dp;

x1=p(1);

    x2=p(2);

    x3=p(3);

end

p

2. Результати виконання програми.

2 вар.    

>> nNewton('(x1^2+2*(x2^2)+3*(x3^2))','(3*x1+x2^3+x3*8)','(5*(x1^2)+8*x2+7*(x3^2))')

p =

 1.0e-004 *

  -0.8573

  -0.0000

   0.3215

  

>> nNewton('(x1+2*(x2^2)+3*(x3^3))','(3*(x1^3)+x2+2*(x3^2))','(x1^2+8*(x2^3)+x3)')

p =

 1.0e-011 *

   0.0021

   0.1446

   0.0000

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я розглянув ітераційні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь, а саме метод Ньютона. Розв’язана запропоновану систему.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61715. Какие бывают растения? 22.05 KB
  Цель урока: Познакомить детей с названиями групп растений деревья кустарники травы с растениями относящимися к той или иной группе. Знания внешнего облика растений поможет вам конкретнее разобраться какие бывают растения.
61716. Земноводные 17.52 KB
  Цели: 1. Познакомить учащихся с классом земноводных, их характерными особенностями, средой обитания. 2. Продолжить формирование выделять существенные и отличительные признаки разных групп.
61717. Наши ближайшие соседи 17.69 KB
  Слайд 2 Государственные границы Это линии раздела между территориями государств. Слайд 3 Норд вег значит путь на север. Слайд 6 Берега Финляндии омывают Ботнический и Финский заливы Балтийского моря.
61718. Целостный педагогический процесс 45.77 KB
  1.Образовательная (дидактическая). Раскрыть сущность целостного педагогического процесса, его признаки и компоненты. Познакомить с педагогической задачей как единицей педагогического процесса. Раскрыть принципы педагогического процесса.
61719. Закономерности и принципы обучения 40.58 KB
  Структура урока: Закономерности процесса обучения. Принципы и правила процесса обучения. Давайте запишем тему урока и небольшой план: Тема урока: Закономерности и принципы обучения План: Закономерности процесса обучения.
61720. Техника спортивного плавания способом кроль на груди 29.42 KB
  Задачи: Закрепить технику упражнений для освоения с водой Разучить технику кроль на груди Развивать выносливость в процессе свободного плаванья Укреплять функции дыхания
61721. Атмосфера 26.55 KB
  Здравствуйте ребята Вот наконец прозвенел долгожданный звонок Проверьте все ли вы подготовили для урока во время перемены Тихонько усаживайтесь на свои места мы начинаем Здравствуйте 2 3 мин. Ребята вы знаете в космосе царит холод намного более сильный чем в морозилке.
61722. Особенности консультирования супругов 60.4 KB
  Дидактическая (образовательная). Ознакомить студентов с основными проблемами современной семьи, с тенденциями развития семейно-брачных отношений. Получить знания о базовых характеристиках супружеских отношений.