11681

Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №4 Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB. Завдання для виконання лаборат

Украинкский

2013-04-10

44.19 KB

29 чел.

Лабораторна робота №4

Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання для виконання лабораторної роботи:

Розв’язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB. Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом.

2 варіант.  

Теоретичні відомості

Для розвязання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

   (4.1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

  (4.2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

 (4.3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

  (4.4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

    (4.5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

  (4.6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (4.7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

 (4.8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (4.9)

Хід роботи

1. Складаю функцію для знаходження коренів

function nNewton(y1,y2,y3);

F=char(y1,y2,y3);

eps=0.0001;

J = [(diff(y1,'x1')) (diff(y1,'x2')) (diff(y1,'x3')) ;

    (diff(y2,'x1')) (diff(y2,'x2')) (diff(y2,'x3')) ;

    (diff(y3,'x1')) (diff(y3,'x2')) (diff(y3,'x3')) ];

p=[2;2;2];

x1=p(1);

x2=p(2);

x3=p(3);

dp=[inf;inf;inf];

while (max(abs(dp(1:3)))>eps)

   dp=[0;0;0];

   Fk=[0;0;0];

Jk=eval(J);

for i=1:3

    Fk(i)=eval(F(i,:));

end

dp=inv(Jk)*Fk;

p=p-dp;

x1=p(1);

    x2=p(2);

    x3=p(3);

end

p

2. Результати виконання програми.

2 вар.    

>> nNewton('(x1^2+2*(x2^2)+3*(x3^2))','(3*x1+x2^3+x3*8)','(5*(x1^2)+8*x2+7*(x3^2))')

p =

 1.0e-004 *

  -0.8573

  -0.0000

   0.3215

  

>> nNewton('(x1+2*(x2^2)+3*(x3^3))','(3*(x1^3)+x2+2*(x3^2))','(x1^2+8*(x2^3)+x3)')

p =

 1.0e-011 *

   0.0021

   0.1446

   0.0000

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я розглянув ітераційні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь, а саме метод Ньютона. Розв’язана запропоновану систему.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85746. АНАЛИЗ И РАЗРАБОТКА МОДЕЛИ ПРОГНОЗА ОБЪЕМА ПРОДАЖ НА ПРИМЕРЕ ООО «ЭЛЕКТРА» 190.25 KB
  Задачи работы: охарактеризовать теоретические аспекты моделирования и прогнозирования продаж на предприятиях; рассмотреть методы прогноза; проанализировать деятельность рассматриваемого предприятия; провести анализ финансового состояния предприятия; определить направления совершенствования...
85747. Технический проект подсистемы материально-технического снабжения будущей АСУ производственной организации ООО «Тигр» 824.75 KB
  Формирование плана оказания услуг по возведению реконструкции фасадов на месяц. Формирование плана изготовления строительных материалов для внутренних нужд на месяц. Составление задания по строительным участкам на месяц. Составление плана выпуска строительных материалов для внутренних нужд организации на месяц и на сутки.
85748. Автоматизированное проектирование задач подсистемы управления персоналом на примере «Стройтехноконтакт» 3.29 MB
  Целью настоящего курсового проекта является разработка технического проекта АСУ предприятия ООО «Стройтехноконтакт», проектирование комплекса задач подсистемы управления кадрами. АСУ представляет собой организационно-техническую систему, обеспечивающую выработку решений на основе автоматизации информационных...
85749. Привод транспортера подачі матеріалів чи заготовок в цех на дільниці металообробки 3.65 MB
  Згідно з кінематичною схемою привода визначаємо його загальне ККД: пасова передача червячна передача =09508=076. Визначаємо розрахункову потужність електродвигуна: За таблицею обираємо стандартний двигун синхр. Визначаємо оберти n потужності Р крутні моменти Т на валах та діаметри валів. Діаметр більшого шківа визначаємо за формулою: Стандартний діаметр по ГОСТ 1738373: 4.
85752. Анализа балансов ООО «Вологодские семена» и выявление тенденций развития предприятия 503 KB
  Целью данной работы является изучение анализа финансово-экономического состояния на примере предприятия ООО «Вологодские семена». Задачи: провести вертикальный и горизонтальный анализ активов и пассивов; проанализировать платежеспособность и ликвидность предприятия; провести анализ деловой активности...
85753. Назначения требования по нормированию и контролю точности узла выходного вала коробки скоростей 4.54 MB
  Коробка скоростей предназначена для регулирования частоты вращения шпинделя станка. Изменения угловых скоростей в коробке скоростей осуществляется за счет изменения передаточного отношения в зубчатых зацеплениях.