11681

Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №4 Тема: Розв’язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розв’язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB. Завдання для виконання лаборат

Украинкский

2013-04-10

44.19 KB

27 чел.

Лабораторна робота №4

Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання для виконання лабораторної роботи:

Розв’язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB. Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом.

2 варіант.  

Теоретичні відомості

Для розвязання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

   (4.1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

  (4.2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

 (4.3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

  (4.4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

    (4.5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

  (4.6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (4.7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

 (4.8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (4.9)

Хід роботи

1. Складаю функцію для знаходження коренів

function nNewton(y1,y2,y3);

F=char(y1,y2,y3);

eps=0.0001;

J = [(diff(y1,'x1')) (diff(y1,'x2')) (diff(y1,'x3')) ;

    (diff(y2,'x1')) (diff(y2,'x2')) (diff(y2,'x3')) ;

    (diff(y3,'x1')) (diff(y3,'x2')) (diff(y3,'x3')) ];

p=[2;2;2];

x1=p(1);

x2=p(2);

x3=p(3);

dp=[inf;inf;inf];

while (max(abs(dp(1:3)))>eps)

   dp=[0;0;0];

   Fk=[0;0;0];

Jk=eval(J);

for i=1:3

    Fk(i)=eval(F(i,:));

end

dp=inv(Jk)*Fk;

p=p-dp;

x1=p(1);

    x2=p(2);

    x3=p(3);

end

p

2. Результати виконання програми.

2 вар.    

>> nNewton('(x1^2+2*(x2^2)+3*(x3^2))','(3*x1+x2^3+x3*8)','(5*(x1^2)+8*x2+7*(x3^2))')

p =

 1.0e-004 *

  -0.8573

  -0.0000

   0.3215

  

>> nNewton('(x1+2*(x2^2)+3*(x3^3))','(3*(x1^3)+x2+2*(x3^2))','(x1^2+8*(x2^3)+x3)')

p =

 1.0e-011 *

   0.0021

   0.1446

   0.0000

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я розглянув ітераційні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь, а саме метод Ньютона. Розв’язана запропоновану систему.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52532. Meet Disney Heroes 92.47 KB
  T: (divides pupils into two teams. Teams choose the names for them). Now I’m going to tell you the names of some colour and you will pick up the flag with this colour.) Each pupil can get one point for his team.
52533. THE MAGIC WALT DISNEY WORLD 2.04 MB
  It’s the Main Street. But we can’t go. We don’t know the names of cartoons in English. You can get 1 ball. Let’s underline the letter combinations and read them correctly. (дети подчеркивают и читают хором за учителем)
52534. W.Disney and His Amusement Park - Disneyland 61 KB
  The topic of our today’s lesson is “Walt Disney and His Amusement Park – Disneyland” and “The Past Indefinite Tense”. By the end of the lesson you should be able: 1. To talk about Walt Disney and his amusement park Disneyland, using active vocabulary.
52535. Складання розповіді за художньою картиною В. Хабарова „Портрет дівчинки” 529 KB
  Діти пропоную вам розглянути ось цу картину. Діти ви розглянули картину російського художника В. Де розмістив художник героїню Якою вона зображена Діти пригадайте свої відчуття коли ви захоплено читаєте або щось майструєте або малюєте. Діти у парах відновлюють розповідь за картиною.
52536. Проект «Я дитина всесвіту» 947.5 KB
  Вірно діти це вода. В казках мертва вода заживляла рани. Глибока вона там а вода знай в ній холодна джерельна студена. Журавель напоїв хлопчика джерельною водою а потім на своїх широких крилах відніс хлопчика додому і сказав: Запамятай вода жива її треба берегти Хлопчик подякував і повторив: вода жива.
52537. Всі ми родом із дитинства. Подорож в українську минувшину. Живопис на склі «Ікона святого Миколая» 87.5 KB
  Миколай народився в Патарі тепер Туреччина біля 280 р. Миколай і потайки вечором кинув у відкрите вікно кімнати мішечок з золотом. І знову Святий Миколай підкинув торбинку грошей так щоб ніхто того не бачив. Коли прийшов час наймолодшій дочці виходити заміж а грошей не булоі її чекала неволя батько дівчат заховався біля хати; і коли Святий Миколай кинув знову мішечок з золотом батько схопив його за руку.
52538. Дитинство Ісуса Христа 116 KB
  Мета: ознайомити учнів з дитинством Спасителя, вказуючи на Його чесноти; розвивати бажання брати собі за взірець Христа; виховувати послух, покірність та повагу до батьків.
52539. Всі ми родом із дитинства 97 KB
  Евеліна Хромченко Дитинство Дитинствоказка мов чарівна мить Там завжди сонячно і світло. Надія Красоткіна Дитинство це коли день починається з першим променем сонця звуком тихих маминих кроків запахом теплого хліба співом птахів і триває довгодовго це коли дерева великі а ти внизу і помічаєш так багато: і мурашки і бджолу на квітці і пухнасту гусеницю і чуєш як росте трава і можеш залізти на найвище дерево і переплести саму широку річку і все можеш зробити сам. Варто подумати про дитинство і пам’ять підкине дивні...