11681

Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №4 Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB. Завдання для виконання лаборат

Украинкский

2013-04-10

44.19 KB

29 чел.

Лабораторна робота №4

Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання для виконання лабораторної роботи:

Розв’язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB. Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом.

2 варіант.  

Теоретичні відомості

Для розвязання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

   (4.1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

  (4.2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

 (4.3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

  (4.4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

    (4.5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

  (4.6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (4.7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

 (4.8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (4.9)

Хід роботи

1. Складаю функцію для знаходження коренів

function nNewton(y1,y2,y3);

F=char(y1,y2,y3);

eps=0.0001;

J = [(diff(y1,'x1')) (diff(y1,'x2')) (diff(y1,'x3')) ;

    (diff(y2,'x1')) (diff(y2,'x2')) (diff(y2,'x3')) ;

    (diff(y3,'x1')) (diff(y3,'x2')) (diff(y3,'x3')) ];

p=[2;2;2];

x1=p(1);

x2=p(2);

x3=p(3);

dp=[inf;inf;inf];

while (max(abs(dp(1:3)))>eps)

   dp=[0;0;0];

   Fk=[0;0;0];

Jk=eval(J);

for i=1:3

    Fk(i)=eval(F(i,:));

end

dp=inv(Jk)*Fk;

p=p-dp;

x1=p(1);

    x2=p(2);

    x3=p(3);

end

p

2. Результати виконання програми.

2 вар.    

>> nNewton('(x1^2+2*(x2^2)+3*(x3^2))','(3*x1+x2^3+x3*8)','(5*(x1^2)+8*x2+7*(x3^2))')

p =

 1.0e-004 *

  -0.8573

  -0.0000

   0.3215

  

>> nNewton('(x1+2*(x2^2)+3*(x3^3))','(3*(x1^3)+x2+2*(x3^2))','(x1^2+8*(x2^3)+x3)')

p =

 1.0e-011 *

   0.0021

   0.1446

   0.0000

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я розглянув ітераційні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь, а саме метод Ньютона. Розв’язана запропоновану систему.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79111. Предмет социологии, ее основные категории и законы 94.5 KB
  Поэтому буквально социология означает учение об обществе. Что является предметом социологии Или какую сторону в обществе выделяет для изучения именно социология На этот вопрос можно ответить так: предметом социологии является социальная жизнь как особая реальность. Социология таким образом изучает отношения между всеми этими общностями пролетариями и предпринимателями между различными нациями и религиозными...
79112. Общество как система 395.5 KB
  В связи социальные связи и отношения С единое целое общество в целом Расшифруем что значит социальные явления. Это во-первых социальные группы и общности во-вторых личности и их социальные роли в-третьих социальные нормы и ценности. Социальные связи и отношения мы в дальнейшем рассмотрим специально. В зависимости от того какими будут эти связи и отношения и от того какие социальные группы и общности этими связями и отношениями объединяются мы получаем тот или иной исторический тип...
79113. Социальная структура общества, социальные группы и слои 999 KB
  Социальная группа есть совокупность индивидов, взаимодействующих определенным образом на основе разделяемых ожиданий каждого члена группы в отношении других.
79114. Методика социологического исследования 92.5 KB
  Методика социологического исследования. Программа социологического исследования. Методы социологического исследования наблюдение опрос анализ документов эксперимент. Программа социологического исследования.
79115. Понятие социального института, его характерные признаки 91 KB
  Понятие социальной организации. Формальные и неформальные организации. Это учреждения и организации связанные с осуществлением и распределением политической власти: государство партии армия правоохранительные учреждения профсоюзы политические движения в том числе различные женские молодежные расовые и национальные движения за равноправие женщин за права молодежи национально-освободительные организации. Понятие социальной организации.
79116. Баптистское движение 15.32 KB
  Основные положения вероучения были разработаны бывшим католическим священником Ульрихом Цвингли. В сотериологии Цвингли придерживался учения о спасении через веру в заместительную жертву Христа. Разногласие Цвингли и Лютера Цвингли первым из всех протестантов выступил против благодатных таинств. Цвингли первый богословски обосновал что Евхаристия это знак символ что субстанционально Христос в Евхаристии не присутствует.
79117. Вероучение анабаптистов 14.49 KB
  Они считали что получали личные откровения от Самого Бога и в свете их необходимо толковать Писание. Или только Писание или же что Писание следует толковать в свете внутренних озарений. Во всяком случае каждый человек мог толковать Писание. Писание ставилось в зависимость от внутреннего состояния человека.