11681

Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №4 Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB. Завдання для виконання лаборат

Украинкский

2013-04-10

44.19 KB

27 чел.

Лабораторна робота №4

Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання для виконання лабораторної роботи:

Розв’язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB. Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом.

2 варіант.  

Теоретичні відомості

Для розвязання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

   (4.1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

  (4.2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

 (4.3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

  (4.4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

    (4.5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

  (4.6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (4.7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

 (4.8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (4.9)

Хід роботи

1. Складаю функцію для знаходження коренів

function nNewton(y1,y2,y3);

F=char(y1,y2,y3);

eps=0.0001;

J = [(diff(y1,'x1')) (diff(y1,'x2')) (diff(y1,'x3')) ;

    (diff(y2,'x1')) (diff(y2,'x2')) (diff(y2,'x3')) ;

    (diff(y3,'x1')) (diff(y3,'x2')) (diff(y3,'x3')) ];

p=[2;2;2];

x1=p(1);

x2=p(2);

x3=p(3);

dp=[inf;inf;inf];

while (max(abs(dp(1:3)))>eps)

   dp=[0;0;0];

   Fk=[0;0;0];

Jk=eval(J);

for i=1:3

    Fk(i)=eval(F(i,:));

end

dp=inv(Jk)*Fk;

p=p-dp;

x1=p(1);

    x2=p(2);

    x3=p(3);

end

p

2. Результати виконання програми.

2 вар.    

>> nNewton('(x1^2+2*(x2^2)+3*(x3^2))','(3*x1+x2^3+x3*8)','(5*(x1^2)+8*x2+7*(x3^2))')

p =

 1.0e-004 *

  -0.8573

  -0.0000

   0.3215

  

>> nNewton('(x1+2*(x2^2)+3*(x3^3))','(3*(x1^3)+x2+2*(x3^2))','(x1^2+8*(x2^3)+x3)')

p =

 1.0e-011 *

   0.0021

   0.1446

   0.0000

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я розглянув ітераційні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь, а саме метод Ньютона. Розв’язана запропоновану систему.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45319. Содержание, форма и основные свойства конституции 25.12 KB
  Правовой статус главы муниципального образования. Закона об общих принципах организации местного самоуправления уставом муниципального образования может быть предусмотрена должность главы муниципального образования выборного должностного лица возглавляющего деятельность по осуществлению местного самоуправления на территории муниципального образования. Глава муниципального образования соединяет в своем правовом и фактическом статусе черты префекта департамента Франции и председателя исполкома местного Совета. Термин глава муниципального...
45320. Механизм защиты Конституции РФ 22.96 KB
  В конституционной практике Российской Федерации давно сложился ряд правовых форм способов защиты Конституции:1 процесс охраны Конституции Президентом Российской Федерации. Во-первых в качестве гаранта федеральной Конституции Президент Российской Федерации который наделяется прерогативами по защите конституционного строя прав и свобод человека и гражданина осуществлению мер по охране суверенитета РФ ее независимости и государственной целостности обеспечению согласованного функционирования органов государственной власти. Суд наделен...
45321. Конституционный строй 19.94 KB
  Одним из ключевых институтов гражданской службы определенных Федеральным законом О государственной гражданской службе Российской Федерации является институт должности гражданской службы. Прохождение гражданской службы возможно только на должности государственной службы. При освобождении от должности и не будучи назначенным на другую должность лицо увольняется с гражданской службы. Должности федеральной государственной гражданской службы учреждаются федеральным законом или указом Президента Российской Федерации должности...
45322. ИНСТИТУТ ОСНОВНЫХ ПРАВ И СВОБОД ЧЕЛОВЕКА И ГРАЖДАНИНА 27.9 KB
  Правовой статус депутата представительного органа мсу Закон об общих принципах организации местного самоуправления развивая нормы Конституции РФ весьма удачно решил проблему политикоправового статуса депутата других членов выборных органов. Представительный орган местного самоуправления состоит из депутатов избираемых на основе всеобщего равного и прямого избирательного права при тайном голосовании п. Известно что в мировой истории становления демократических начал императивный мандат сыграл решающую роль при формировании парламентского...
45323. Конституционно-правовой механизм обеспечения прав и свобод человека и гражданина 19.09 KB
  Основные принципы государственной службы в Российской Федерации. Вопрос о принципах государственной службы является важнейшим в структуре института государственной службы правовой системы не только Российской Федерации но и других стран мира. Термин принципы государственной службы указывает на основополагающие черты сущностные характеристики важнейшее содержание и значение самой государственной службы а также на главнейшие юридические положения в структуре одноименного правового института. Анализируя принципы государственной службы...
45324. Принципы российского федерализма 27.75 KB
  Российская Федерация состоит из республик краев областей городов федерального значения автономной области автономных округов равноправных субъектов Российской Федерации. В составе Российской Федерации в соответствии со ст. Государственная целостность Российской Федерации. Государственная целостность федеративного государства гарантируется тем что государственный суверенитет как верховенство и независимость государственной власти на всей своей территории и в международных отношениях принадлежит только Федерации но...
45325. Избирательный процесс в РФ: общая характеристика 25.17 KB
  Представительный орган муниципального образования Представительный орган муниципального образования может осуществлять свои полномочия в случае избрания не менее двух третей от установленной численности депутатов. Уставом муниципального образования определяется правомочность заседания представительного органа муниципального образования. Заседание представительного органа муниципального образования не может считаться правомочным если на нем присутствует менее 50 процентов от числа избранных депутатов.
45326. Право на объединение, многопартийность и правовой статус политических партий в РФ 25.91 KB
  Политическая партия определяется как общественное объединение созданное в целях участия граждан Российской Федерации в политической жизни общества посредством формирования и выражения их политической воли участия в общественных и политических акциях в выборах и референдумах а также в целях представления интересов граждан в органах государственной власти и органах местного самоуправления. Деятельность политических партий должна осуществляться на принципах добровольности равноправия самоуправления законности и гласности. Иначе...
45327. Гражданство РФ - принципы, основания его приобретения и прекращения 22.21 KB
  Основы конституционного строя детальная же регламентация этого конституционно-правового института закреплена в Федеральном законе О гражданстве Российской Федерации. Конституция РФ и Закон о гражданстве закрепляют следующие принципы гражданства Российской Федерации: Единство гражданства. В соответствии с этим принципом республики субъекты РФ не могут устанавливать собственное гражданство предусматривающее изъятия из общего единого статуса гражданина Российской Федерации; гражданин республики одновременно является...