11681

Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №4 Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB. Завдання для виконання лаборат

Украинкский

2013-04-10

44.19 KB

29 чел.

Лабораторна робота №4

Тема: Розвязання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розвязання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання для виконання лабораторної роботи:

Розв’язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB. Провести тестування створеної програми на прикладі, вибраному за варіантом.

2 варіант.  

Теоретичні відомості

Для розвязання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

   (4.1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

  (4.2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

 (4.3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

  (4.4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

    (4.5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

  (4.6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (4.7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

 (4.8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (4.9)

Хід роботи

1. Складаю функцію для знаходження коренів

function nNewton(y1,y2,y3);

F=char(y1,y2,y3);

eps=0.0001;

J = [(diff(y1,'x1')) (diff(y1,'x2')) (diff(y1,'x3')) ;

    (diff(y2,'x1')) (diff(y2,'x2')) (diff(y2,'x3')) ;

    (diff(y3,'x1')) (diff(y3,'x2')) (diff(y3,'x3')) ];

p=[2;2;2];

x1=p(1);

x2=p(2);

x3=p(3);

dp=[inf;inf;inf];

while (max(abs(dp(1:3)))>eps)

   dp=[0;0;0];

   Fk=[0;0;0];

Jk=eval(J);

for i=1:3

    Fk(i)=eval(F(i,:));

end

dp=inv(Jk)*Fk;

p=p-dp;

x1=p(1);

    x2=p(2);

    x3=p(3);

end

p

2. Результати виконання програми.

2 вар.    

>> nNewton('(x1^2+2*(x2^2)+3*(x3^2))','(3*x1+x2^3+x3*8)','(5*(x1^2)+8*x2+7*(x3^2))')

p =

 1.0e-004 *

  -0.8573

  -0.0000

   0.3215

  

>> nNewton('(x1+2*(x2^2)+3*(x3^3))','(3*(x1^3)+x2+2*(x3^2))','(x1^2+8*(x2^3)+x3)')

p =

 1.0e-011 *

   0.0021

   0.1446

   0.0000

Висновок: виконавши лабораторну роботу, я розглянув ітераційні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь, а саме метод Ньютона. Розв’язана запропоновану систему.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35558. Введение в систему MathCAD 4.95 MB
  Основы работы с MathCAD Решение уравнений средствами Mathcad Наиболее подходящей для этой цели является одна из самых мощных и эффективных математических систем MathCAD которая занимает особое место среди множества таких систем Matlab Maple Mathematica и др.
35559. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.4 MB
  Разностные уравнения (другие названия: уравнения в конечных разностях; возвратные последовательности) по своим свойствам и области применения очень близки к дифференциальным уравнениям. Отличие состоит в том, что дифференциальные уравнения связывают значение функции и производных от нее в один и тот же момент времени
35560. Доменные фурмы. Снижение потерь тепла от горячего дутья через внутренний конус (стакан) фурмы 616.5 KB
  В работах сообщается об успешной эксплуатации фурм с внутренними конусами из углеродистых и легированных сталей. О снижении теплопотерь от стальных конусов говорит тот факт [30] что замена материала внутреннего конуса толщина стенки 10 мм с меди на углеродистую и легированную сталь приводит к повышению температуры поверхности конуса со стороны горячего дутья со 108 до 300 и 5600С соответственно. Но со временем сложилось мнение [5] что конструкции фурм со стальными внутренними конусами недолговечны так как испытывая ударные...
35561. Профилактика зависимости от ПСИХОАКТИВНЫХ ВЕЩЕСТВ 2.45 MB
  Представленные в пособии материалы позволят тренеру составить детальный план тренинговых занятий с учетом потребностей целевой группы различного опыта и знаний подростков о вреде наркотиков. Основные понятия В ходе тренинга с участниками группы происходят изменения. Развитие или движение группы во времени обусловленное взаимодействием и взаимоотношениями членов группы между собой и с ведущим называют групповой динамикой. Групповая сплоченность формирование у участников чувства принадлежности к группе группового единства необходимое...
35562. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МАШИНЫ, СИСТЕМЫ И СЕТИ 4.47 MB
  В учебном пособии изложены основные принципы схемотехнической и программной организации современных ЭВМ. Основное внимание уделено задачам организации ЭВМ на основе микропроцессоров фирмы Intel.
35563. ОБОРУДОВАНИЕ ДЛЯ ВТОРИЧНОЙ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ 1.87 MB
  Рассмотрены источники образования и классификация вторичных отходов металлов описаны операции разделки и компактирования сепарации лома и отходов металлов приведены конструктивные схемы установок и оборудования для вторичной обработки металлов и сплавов. Источники образования и структура вторичных сырьевых ресурсов Ресурсы отходов цветных металлов и сплавов  это часть фонда металлов и сплавов перешедшая в категорию отходов к моменту на который определяется фонд. Оборотные отходы  часть отходов металлов и сплавов...
35564. Высокие технологии в металлургии. ч.1 Производство цветных металлов 1.14 MB
  Кратко изложена теория и практика современной металлургии меди никеля алюминия магния и титана. Металлургия меди 5 1.2 Свойства меди и области её применения 8 1.3 Сырье для получения меди 9 1.
35565. ТЕОРИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ 9.56 MB
  21 Операторные схемы замещения элементов цепи22 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.38 Численное решение уравнения состояния явный метод Эйлера40 ЛЕКЦИЯ 5 Линейные электрические цепи при импульсных воздействиях Расчет реакции цепи на одиночный импульс воздействия метод наложения.42 Расчет реакции цепи на периодическое импульсное воздействия метод сопряжения интервалов . Дальнейшее состояние цепи называют установившимся процессом.
35566. ЭКСПЛУАТАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА АВТОМОБИЛЕЙ 3.43 MB
  АТС и его эксплуатационные свойства4 Вопрос 2. Условия эксплуатации АТС. Тяговоскоростные свойства АТС ТСС АТС. Силы действующие на АТС9 Вопрос 5.