11698

Многократные равноточные измерения. Точечная оценка результатов наблюдения

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Многократные равноточные измерения. Точечная оценка результатов наблюдения. 1. Цель работы 1.1. Выбор средства измерения. 1.2. Освоение метода непосредственной оценки при проведении многократных равноточных измерений. 1.3. Освоение метода ...

Русский

2013-04-10

470.5 KB

12 чел.

Многократные равноточные измерения. Точечная оценка результатов наблюдения.

    1. Цель работы

     

    1.1. Выбор средства измерения.

    1.2. Освоение метода непосредственной оценки при проведении многократных равноточных измерений.

    1.3. Освоение метода определения закона распределения случайной погрешности при многократных наблюдениях и расчета эмпирических характеристик этого распределения.

    1.4. Приобретение практических навыков при точечной оценке многократных равноточных измерений методами теории вероятности и математической статистики.

    2. Оборудование и принадлежности

    • выборка  втулок Ø4,3h13 ( -0,18) в количестве 50 шт.;

    • подставка для крепления средства измерения;

    • штангенциркуль ШЦ – II, тип 3, цена деления 0,05 мм;

    • штангенциркуль с цифровым отсчетом, дискретность отсчета 0,01 мм;

    • микрометр МКЦ -25 – 0,001 цифровой , дискретность отсчета 0,001 мм;

    • микрометр типа МК модель102, 0 – 25 мм, цена деления 0,01 мм – 2 шт.

    • концевые меры КМ.2 – Н3 – Т  ГОСТ 9038 – 90.

    3. Краткое теоретическое введение

    3.1. Выбор средства измерения.

     При линейных измерениях по известному классу точности изделия выбирают значение коэффициента Аизм точности измерения

(ГОСТ8.051 – 81).

            

               Квалитет ИСО                                        Аизм ,%

                                                                      (ориентировочно)

                2 – 5 _____________________                35

                6 – 7 _____________________                32

                8 – 9 _____________________                25

                10 и грубее _______________                20

2

    Выбрав соответствующее значение Аизм можно затем определить предел допускаемой погрешности измерения

                              |Δд изм | = АизмIT ∙ 10-2 ;                        (1)

   Основная погрешность измерительного средства должна быть меньше значения |Δд изм | , рассчитанного по формуле (1).

   Предел допускаемой погрешности измерения зависит от цели измерения.

   При техническом контроле предел допускаемой погрешности измерения принимают

                              Δидоп ≈ |Δд изм |.

   При проведении исследований допускаемую погрешность измерений можно принять равной 0,1 диапазона  |Δд изм |  изменения размеров деталей в процессе обработки, а при отсутствии надлежащего по точности средства измерения (СИ) можно принять равной 0,2 диапазона |Δд изм | при условии проведения калиб-ровки  СИ по более точной мере, например, ПКМД  2 – го класса точности, перед проведением измерений. Выявленная погрешность СИ в процессе калибровки принимают как систематическую и алгебраически суммируют с результатом каждого измерения при проведении исследований.

Учитывая, что погрешность измерения включает в себя инструментальную, методическую и субъективную погрешности, рекомендуется выбирать такое средство измерения, чтобы его погрешность не превышала 0,7 допускаемой погрешности измерения.

Поэтому допускаемая погрешность средств измерения  Δс.и.доп определяется по формулам:

при техническом контроле Δс.и.доп ≈ 0,7∙|Δд изм |;                   (2)

при исследовании  Δс.и.доп  ≈ 0,7∙0,1∙|Δд изм | = 0,07∙|Δд изм |.     (3)

После определения допускаемой погрешности измерений по паспортным данным СИ и (или) табл. 23 приложения 1 [1], с учетом диапазона измерений, выбирают соответствующее средство измерений (СИ).

3.2. Закон рассеивания размеров деталей                                                

                                                                                                                   

     Закон рассеяния устанавливает зависимость между числовыми

значениями случайной величины xi (размеры детали) и частотой их

появления yi (плотностью вероятности pi). Эмпирическую совокупность

распределения размеров деталей в партии приблизительно можно

описать соответствующими теоретическим законом рассеяния.

В теории размерных цепей наиболее часто применяют нормальный

закон.

     Нормальный закон (закон Гаусса) это наиболее часто встречающийся и применяемый в технических приложениях теоретический закон рассеяния случайных погрешностей.  

                                                                                      

                                                                                                                               3

     Характеризует рассеяние линейных и угловых размеров деталей при обработке их на настроенных станках (особенно станках-автоматах), если соблюдаются на производстве определенные условия (стабильность работы оборудования и приспособлений, несущественный износ режущего инструмента и др.).

Теоретическая  кривая  плотности вероятности (распределения размеров)

нормального закона (рис.1, кривая 1) определяется уравнением

где р — плотность вероятности (частоты появления у) случайной величины

(определенного размера);  xi — текущее значение случайной величины

(размерa); М (xi)  xср - математическое ожидание случайной величины,

приблизительно равное среднему арифметическому  значению размера; σi -  среднее

квадратичное отклонение случайной величины (размера).  

       Применительно к размерам деталей среднее арифметическое значение

                                                                                                                                                        где xiд -   действительные размеры (диаметры, длины), деталей (на рис.1 кривая

рассеяния 2 построена по действительным размерам деталей);  п — число

деталей  в выборке из партии.

         Среднее квадратичное отклонение, характеризующее рассеяние или

разброс размеров, определяется выражением

4

где при малых n (n < 25) в знаменателе дроби ставят n – 1.

      За поле рассеяния принимают зону

ωi = ±Зσi = 6σi ;. (7)

   В пределах этой зоны будет находиться приблизительно 99,73 % деталей из партии и

0,27% всех деталей будут иметь размеры, большие, чем  Amax = Аср + Зσ и меньше, чем

Аmin = АсрЗσ. В общем случае поле (зона) рассеяния ωi  может не совпадать с полем

допуска Ti .  Как показано на рис. 1, Тi = ωi .

     3.3. Моменты  распределения.

 

      Сравнительно большие,  но маловероятные значения случайной величины

оказывают слабое влияние на математическое ожидание.  

      Для более полного учета влияния таких значений  используются характеристики, называемые моментами распределения. 

Начальным моментом порядка k  (k-м моментом) случайной величины х

называют математическое  ожидание величины xk, т. е.

     Центральным моментом порядка k случайной величины х называют математическое ожидание kстепени ее отклонения  х - М(х) от среднего значения:

     Для дискретных случайных величин вместо интегралов записываются суммы:

     Первый начальный момент совпадает с математическим ожиданием, т. е.

ν1 = М(х). Первый центральный момент  всегда  равен нулю, так как

μ1 = М( х М (х)) = М (х)  - М (х) = 0. Зависимости между моментами можно

получить, сопоставляя их выражения на основе свойств математического

ожидания.

   Так, μ2 = М ((х -  ν1)2) = М(х2 – 2х ν1 + ν12) = М(х2) - 2 ν1М(х) + М(ν12) =

ν2 - 2 ν1ν1- ν12, откуда  μ2 = ν2 - ν12.

                                                                                                                    

                                                                                                                               5

    Аналогично находим другие соотношения:

μ3 = ν3 - 3 ν1 ν2 + 2 ν12;  μ4 = ν4 - 4 ν3 ν1 + 6 ν2 ν12 - 3 ν14.

Распределения, как правило, могут быть описаны с помощью первых

четырех моментов, а моменты более высоких порядков используются  редко.

Второй центральный момент μ2 является показателем рассеивания и

называется дисперсией. Она обычно обозначается через D(x) и

определяется для дискретной и непрерывной случайных величин соответственно

                                                                                                                               

Дисперсия постоянной величины равна нулю. Постоянный множитель можно

выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат. Дисперсия как суммы, так

и разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий,

т. е.

                    D(x±y)=D(x)+D(y).

                              

       

    Квадратный корень из дисперсии называют средним квадратическим

отклонением, т. е.

             

причем, саму дисперсию D(x) часто обозначают через σ2(х).

     Для случайной величины, распределенной по нормальному закону,

математическое ожидание и среднее квадратическое значение совпадают соответственно с параметрами μ и σ.

     Можно утверждать, что 68,3% значений нормально распределенной величины попадают в интервал μ ± σ, 95,5% значений - в интервал  μ ± 2σ,  99,7% значений — в интервал μ ± 3σ.

     Третий центральный момент μ3 характеризует отклонение кривой распределения от симметричной. Кривая распределения с одной вершиной при μ3 < 0 имеет левостороннюю (отрицательную) асимметрию, а при μ3 > 0 - правостороннюю (положительную) асимметрию (рис. 2). Для симметричного (например, нормального)  распределения μ3 = 0.   

     Асимметрией   называют величину

     Наконец, четвертый центральный  момент  μ4  характеризует

островершинность кривой распределения. Так как для нормального

распределения отношение μ422 = 3, то в качестве характеристики

6

островершинности принимается величина называемая

                                                                                                                                             эксцессом. Ясно, что отклонение  эксцесса от  нуля характе-

ризует более островершинную ( при E(x) >0)  или менее островершин-

ную (при E(x) <0) кривую по сравнению с нормальной.   

     3.4. Статистические распределения

     При изучении множества однородных объектов относительно некоторого

характерного признака (количественного или качественного) обычно

подвергают испытаниям некоторое его подмножество случайно отобранных объектов, называемое выборкой. Множество объектов, из которых производится выборка, составляет генеральную совокупность. Число объектов выборки (или

генеральной совокупности) определяет ее объем. Различают повторные

выборки, когда отобранный объект перед отбором следующего возвращается

в генеральную совокупность, и бесповторные выборки, когда отобранный

объект в генеральную совокупность не возвращается. Обычно в практике

используются бесповторные выборки. Генеральная совокупность,

содержащая очень большое число объектов, может рассматриваться как

бесконечное множество, благодаря чему часто достигаются упрощения вычислений без существенного влияния на точность  результата.

Наблюдаемое значение, характеризующее признак объекта выборки,

называют вариантой, а последовательность вариант в возрастающем

порядке — вариационным рядом. Если в выборке объема п варианта

xt наблюдается с частотой ni (значение хi наблюдается ni раз), то

относительная частота варианты выражается как

                                                                                                                                   

    Перечень вариант и соответствующих им частот (или относительных  

частот) образует статистическое распределение выборки.     

     Оно обычно задается таблицей.

                                                                                                                         

 

                                                                                                                                   7

Статистическое распределение выборки можно представит также в  виде

последовательности  интервалов и соответствующих  им частот, что

особенно удобно, если признаком является непрерывная величина. Интервал, в котором заключены все варианты, разбивают на несколько частичных интервалов длиною hi и находят для каждого из них сумму частот ni вариант, попавших в i-й интервал.

    Если все частичные интервалы одинаковы (hi = h), то соответствующие

варианты называют равноотстоящими, причем их численные значения

определяются точками, лежащими посредине частичных интервалов. При

этом частота первоначальной варианты, которая оказалась на границе двух

частичных интервалов, поровну распределяется между этими интервалами.

     Пусть, например, по результатам  измерений  валов Ø18r6 получены

следующие размеры диаметров для выборки объема n = 100:

   xi

ni

xi

ni

xi

ni

18,023

6

18,027

   12

18,031

10

18,024

   7

18,028

13

18,032

7

18,025

   8

18,029

   12

18,033

3

18,026

  11

18,030

   11

Разбивая интервал 18,023 – 18,033 на пять частичных интервалов (h = 0,002) приходим к следующему распределению относительно равноотстоящих вариант:

Частичный

интервал

18,02318,025

18,02518,027

18,027 – 18,029

18,029 – 18,031

18,031 – 18,033

Равноотстоящая варианта

18,024

18,026

18,028

18,030

18,032

Сумма частот ni

17

21

25

22

15

Плотность

частоты ni/h

8500

10500

12500

11000

7500

Относительная

плотность частоты wi = ni/n

85

105

125

110

75

      Отложив по оси абсцисс частичные интервалы и построив на них как на основаниях прямоугольники высотой ni/hi (или wi/hi), получим  гистограмму частот (или относительных частот). Величина ni/hi  называется  плотностью частоты, а  wi/hi - плотностью относительной частоты. Очевидно, общая площадь гистограммы частот равна сумме  всех частот, т. е. объему выборки п, а площадь гистограммы относительных частот равна единице. Гистограмма частот для рассмотренного распределения показана на рис. 3.

      Если через пх обозначить число наблюдений, при которых зна-

чение признака меньше х, то представляет собой эмпирическую функцию

распределения.

8

     В соответствии с теоремой Бернулли при увеличении числа испытаний                                                                                                                       относительная частота события по вероятности стремится к вероятности этого

события. Поэтому F*(x) приближается к интегральной (теоретической)

функции распределения F(x).

   Эмпирические моменты. По данным наблюдений можно вычислить

начальные и центральные эмпирические моменты, которые определяются

соответственно формулами:

     Начальные и  центральные моменты можно найти либо непосредственно по

приведенным выше формулам, либо через начальные моменты.

При вычислении эмпирических моментов удобно пользоваться условными вариантами

       

    

            Рис.3. Гистограмма и полигон частот (для равноотстоящих вариант).

                                                                                                                                                                       9

                                          ui =    хi - с/ hi ,

                                                                                                                                                                                                                     

     где с — постоянная величина (условный нуль). Если вариационный ряд состоит из равноотстоящих вариант xi с шагом h и в кaчестве с выбрано значение одной из этих вариант, то условные варианты выражаются целыми числами.

      Сначала вычисляются начальные моменты для  условных вариант,  

называемые условными эмпирическими моментами, т.  е.

Искомые  эмпирические моменты определяются через условные.                 

      

      Так начальный момент первого порядка:                                                               

                     M1  =  M1h + c.

     Для центрального момента второго порядка:

       Для эмпирических центральных моментов высших порядков:

     Процесс вычислений целесообразно представить таблицей, которая для рассматриваемого примера при с = х3 = 18,028 имеет вид:

Равноотстоящая варианта  хi

ni

ui

ni ui

ni ui2

ni ui3

ni ui4

18,024

17

- 2

-34

68

-136

272

18,026

21

-1

-21

21

-21

21

18,028

25

0

0

0

0

0

18,030

22

1

22

22

22

22

18,032

15

2

30

60

120

240

100

-

-3

171

-15

555

Результаты вычислений ni, uik  также целесообразно представить таблицей

10

Равноотстоящая варианта  хi

ni

ui

ni ui

ni ui2

ni ui3

ni ui4

18,024

17

- 2

-34

68

-136

272

18,026

21

-1

-21

21

-21

21

18,028

25

0

0

0

0

0

18,030

22

1

22

22

22

22

18,032

15

2

30

60

120

240

100

-

-3

171

-15

555

           M1 = (1/100) ·∑ ni ui = - 0,03;      M2 = (1/100) ·∑ ni ui2 = 1,71;

                                                         i                                                                                         i

                M3 = (1/100) ·∑ ni ui3 = - 0,15;      M4 = (1/100)·∑ ni ui4 = 5,55;

                                                      i                                                                                          i

                M1 = M1·h + c = (-0,03) · 0,02 + 18,028 ≈ 18,028;

            

         m2 = ( M2 - M12) ·h2 = [1,71- (-0,03)2] · 0,0022 = 6,84·10-6;

                m3 = ( M3 – 3 M2  M1  + 2M13) ·h3 =[-0,15 - 3·1,71·(-0,03) +

          2·(-0,03)3]·0,0023 =32·10-12;

          m4 = ( M4 – 4 M3  M1  + 6 M2  M1  - 3M14) ·h4  = [5,55 - 4·(-0,15)·(-0,03) +

           6·1,71·(-0,03)2 - 3·(-0,03)4]·0,0024 = 88,64·10-12;

                    

           Искомые эмпирические моменты:

          М(х) = М1 = 18,028;

         D(х) = m2 = 6,84·10-6;   σ(x) = √ D(х) = √ 6,84·10-6 = 2,62·10-3;

          A(x) = m3 / ( m2)3/2 = 32·10-12 / (2,62·10-3)3 = 1,8·10-3;

          E(x) = m4 / m22  = (88,64·10-12) / (6,84·10-6)2 = 1,89.

      Как видно, имеет место небольшая левосторонняя асимметрия, а островершинность несколько больше, чем у нормального  распределения.    

      

     

                                                                                                                                         11

       3.5. Обработка наблюдений

       Количественные результаты при  наблюдениях получают обычно путем измерения или счета. Счет можно рассматривать как разновидность

измерений, а измерения часто сводятся к счету (например, в приборах с цифровым  отсчетом). Если истинное значение наблюдаемой величины есть х0, а в результате наблюдения (измерения) получено значение х, то погрешность наблюдения выражается как Δ = х х0.

     Условимся для краткости под термином величина понимать как тип наблюдаемой величины (линейный, угловой размеры и  т. п.), так и ее истинное значение. Термин наблюдение будет означать процесс регистрации результата и сам результат, при этом погрешность определяется разностью между наблюдением и величиной.

 Различают три вида погрешностей: промахи, систематические и

Случайные погрешности.

 Промахи возникают из-за грубого нарушения нормальных условий

наблюдения (неправильные действия наблюдателя, неисправность измерительной аппаратуры, резкое изменение внешних условий) и обычно характеризуются сравнительно большими погрешностями.

 Систематические погрешности являются результатом влияния

неучтенных факторов, связанных с условиями наблюдения (повышенная температура, электромагнитные помехи и т. п.). или недостатками измерительных устройств (неправильная градуировка шкалы, несовершенство метода измерения).

    Промахи и систематические погрешности в значительной мере могут

быть обнаружены и устранены как при обработке наблюдений, так и при

организации измерительного процесса (выбор метода измерения, поверка

приборов, использование автоматической регистрирующей аппаратуры, сбор

и анализ предварительных данных об объекте наблюдения и условиях

окружающей среды, подготовка и инструктаж экспериментаторов). Однако как бы хорошо ни были организованы наблюдения, всегда остается множество неучтенных факторов, влияние которых приводит к случайным погрешностям.

     Основная гипотеза. Случайные погрешности естественно рассматривать

как результат влияния большого числа различных причин, каждая из которых

вносит очень малую погрешность, и ни  одна из них не является

доминирующей (если выявлены доминирующие погрешности, то их следует отнести к  систематическим и учитывать соответствующей поправкой).

     В соответствии с теоремой Ляпунова имеются веские основания считать, что случайная погрешность распределена по нормальному закону (основная гипотеза). Если также предположить, что отклонения наблюдений равновероятны в обе стороны от величины, то математическое ожидание случайной погрешности Δ равно нулю и ее плотность вероятности f (Δ) и функция распределения F(Δ) имеют вид:

     Параметр распределения σ (среднее квадратическое отклонение случайной

величины Δ принимается в качестве средней ошибки.

                                                                                                                                                             12

Чем больше значение σ, тем более пологим является график функции f(Δ), 

и, следовательно, вероятность больших отклонений наблюдений от истинной величины с ростом σ увеличивается. Вероятность ошибки Δ, лежащей в интервале от -α до α , выражается через интеграл вероятности  следующим образом:

                  

  

где k = α / σ .  Вычислив значение k для заданного α при известном σ, 

можно найти эту вероятность по таблице для функции Лапласа Ф(k), причем

ψ(k) = 2Ф(k). Если исходной является вероятность погрешности, т. е. ψ(k) то

по тем же таблицам  обратным  интерполированием для Ф(k) = 1/2∙ψ(k) 

определяется значение k, а значит, и интервал погрешности Δ . Принимаемое

при этом значение вероятности называют доверительной вероятностью (или

достоверностью), а соответствующий ей интервал  - доверительным

интервалом. Часто используют стандартные доверительные интервалы, при

которых α = σ, 2σ, 3σ.  

    Им соответствуют надежности:

                  Р(-σ < Δ < σ) = ψ(1) = 2Ф(1) = 0,683;

                 Р(-2σ < Δ < 2σ) = ψ(2) = 2Ф(2) = 0,955;

                Р(-3σ < Δ < 3σ) = ψ(3) = 2Ф(3) = 0,997.

             

На основании  соотношения  Δ = xt хи  выражения  для  

доверительных вероятностей можно представить также в виде:

           Для характеристики наблюдений употребляют также  вероятную

погрешность ρ, определяемую как Р(—ρ < Δ < ρ) = 0,5,  т. е. ρ — это такое

отклонение, которое с одинаковой вероятностью 0,5 может быть превзойдено

или не превзойдено по абсолютной величине. Так как   ψ(k) = 2Ф(k) = 0,5, то

Ф(k) = 0,25 и k = 0,6745 (этот результат находят по таблице значений

интеграла Лапласа с помощью обратного интерполирования). Но k = ρ / σ,

следовательно, вероятная погрешность выражается через среднюю

погрешность соотношением ρ = 0,6745σ.

                                                                                                                              13       

        3.6. Точечные оценки

      При нормальном распределении погрешности  Δ = хх0 наблюдение х также распределено по нормальному закону

с математическим ожиданием, равным истинному значению х0 наблюдаемой

величины, и дисперсией σ2. Это означает, что отдельное наблюдение

представляет собой элемент из бесконечного множества наблюдений, которые

могут быть выполнены в одинаковых условиях (такие наблюдения называют

равноточными) со средней погрешностью σ. Это бесконечное множество

возможных наблюдений образует нормальную генеральную совокупность,

среднее арифметическое которой равно математическому ожиданию, т. е.

величиине х0.

На практике количество наблюдений ограничено, и вариационный ряд из

n наблюдений хъ х2, ..., хп можно рассматривать как случайную выборку из генеральной совокупности. Возникает вопрос, как распорядиться этой выборкой, чтобы наилучшим образом оценить величину х0 и степень

достоверности полученного результата.

      Поскольку наблюдения взаимно независимы, то плотность вероятности

для выборки хъ х2, ..., хп определяется как произведение плотностей вероятностей каждого из наблюдений, т. е.

   Эта вероятность имеет экстремумы относительно х0 и σ, значения

которых определяются из уравнений:

Наибольшего значения вероятность выборки достигает при

и любом σ, а также при

и любом х0. Это означает, что при нормальном распределении наиболее

вероятной оценкой наблюдаемой величины является среднее выборки хср , а

наилучшей оценкой средней погрешности для данного х0  является  среднее

14

квадратическое  отклонение σn выборки от истинного значения наблюдаемой

величины. Полученные peзультаты называют точечными оценками параметров,

а способ их определения — методом максимального правдоподобия.

 Точечная оценка σn используется в тех случаях, когда истинное  значение

наблюдаемой величины х0 известно (например, при исследовании точности

средств измерений). На основании наблюдений x1,  х2, ..., хп определяются

отклонения Δi = хi - х0 (i = 1, 2, ..., п) и вычисляется

 

               

                     

которая является средней квадратической погрешностью измерения

величины х. Оценка σn характеризует точность показаний измерительного устройства на участке шкалы в окрестностях значения х0 и означает с

вероятностью ψ (α / σ), что ошибка Δ не превосходит α.

   Другая точечная оценка

повсеместно используется на практике для определения наиболее вероятного

значения наблюдаемой величины. Следует, однако, помнить, что она

гарантирует наилучший результат для данной  выборки только в случаях нормального распределения. Если оценивать среднюю ошибку значением σn,

которое эта величина принимает при х0 = xср, т. е.

то нет никакой гарантии, что эта оценка будет наилучшей. Можно лишь

утверждать, что она тем ближе к истинной средней погрешности σ, чем ближе средние выборки хср к величине х0.

        3.7. Оценки в классической теории погрешностей

Для оценки точности наблюдений необходимо рассмотреть хср   и σср как слу-

чайные величины. Их плотности вероятностей выражаются функциями:

                                                                                                                             15

где Г(α) - гамма-функция (интеграл Эйлера второго рода), значения которой

можно взять из таблиц или вычислить по формулам (вторая формула

используется для целого положительного числа n:

   Как видно, хср распределено по нормальному закону с математическим

ожиданием х0 и средним квадратическим отклонением σ / √ n  , которое

характеризует точность оценки величины х0 через среднее выборки хср.

    Эта точность повышается пропорционально квадратному корню из объема выборки, но с увеличением n возрастает сравнительно медленно. Кроме того, повышение точности за счет значительного увеличения объема выборки может быть сведено на нет неполностью устраненной систематической ошибкой.

     Поэтому на практике даже при сравнительно высоких требованиях к достоверности результата ограничиваются 30—50 отсчетами. Конкретные рекомендации относительно объема выборки обычно основываются на анализе требуемой достоверности результата, точности измерительных устройств и условий наблюдения.

Среднее квадратическое отклонение  оценки  хср  при  объеме выборки  п  и  

известном стандарте σ  нормально  распределенной величины х0 

определяется по приведенной выше формуле как σ / √ n . Однако на практике точное  значение σ обычно не известно. В классической теории ошибок приближенное значение для σ определяют следующим образом. Из закона распределения f2ср) находят математическое ожидание Мср) = (n – 1 / n)∙σ2 и полагают его равным σср2.  

     Разумеется, замена Мср2) на  σср2 таит в себе известный произвол,

поэтому в правой части формулы для  Мср2)  величину σ следует заменить

на ее приближенное значение, которое обозначим через s. Тогда

σср2 = (n – 1 / n)∙s2, откуда следует  s2 =(n  / n - 1)∙σср2 и на основании

выражения для  σср2  получаем

     

     Это соотношение, называемое формулой Бесселя, используется для

определения средней ошибки одного наблюдения по данным выборки

х1, х2,…,хп. Величина s называется выборочным стандартом

                   

    Приближенную оценку для среднего квадратического отклонения

величины хср получим, разделив выборочный стандарт s на квадратный корень из объема выборки п, т. е.

       Достоверность определения величины х0 по п наблюдениям выражается как

Р( - kscp < хср - х0 < kscp) = ψ(k)  или  Р(хср -  kscv< x0 < xcp + ksep)= ψ(k)  что

16

сокращенно представляется записью х0 = хср ± kscp. Относительная ошибка

равна   k sср / хср,   где  k определяется на основании функции ψ(k), равной

заданной достоверности.  Для  достоверности 0,683  относительная ошибка  

равна sср / хср, а для достоверности 0,955 увеличивается вдвое.

       Неточность, связанная с заменой М(σср2) на σср2 при выводе формулы                    Бесселя, сказывается тем меньше, чем больше объем выборки п.

     Но, как показывает анализ, даже при очень больших п (порядка  тысячи) относительная погрешность определения σср все же составляет несколько процентов. Поэтому нет смысла записывать значения σ и  σср большее, чем с двумя значащими цифрами. Вторая значащая  цифра σср определяет и число значащих цифр, которые достаточно удерживать в записи хср.

     3.8.  Порядок  обработки  равноточных  наблюдений.

     При вычислении  хср и s удобно пользоваться формулами:                                              

 

где а — произвольная величина, для которой обычно выбирают округленное

число, близкое к xср. Пусть, например, требуется обработать ряд из 12

равноточных наблюдений некоторой величины. Соответствующие вычисления

приведены ниже = 18,028):

       хср = 0,001/11 + 18,028 ≈ 18,028;

      s = √ (1/11-1)∙(121·10-6 – 0,0012/11) = 0,0035;

      sср = s / n = 0,035∙/11 ≈ 0,001.

                                                                                                                         

                                                                                                                                

                                                                                                                           17

i

xi

xi - a

(xia)2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

18,023

18,024

18,025

18,026

18,027

18,028

18,029

18,030

18,031

18,032

18,034

-0,005

-0,004

-0,003

-0,002

-0,001

0

0,001

0,002

0,003

0,004

0,006

25·10-6

16·10-6

9·10-6

4·10-6

1·10-6

0

1·10-6

4·10-6

9·10-6

16·10-6

36·10-6

-

49

121·10-6

   Полученный результат записывается сокращенно

            х0 = 18,028 ± 0,001,

   что означает Р(18,027 < х0 < 18,029) = 0,683 или

                  Р(18,026 < х0 < 18,030) = 0,955 или

                  Р(18,025 < х0 < 18,031) = 0,9973, и вообще:

                  Р(18,028 – 0,001k < х0 < 18,028 + 0,001k) = ψ(k) = 2Ф(k),

  

    где k – любое число.

            

      3.9. Достоверность малых выборок 

     В инженерной практике обычно ограничиваются небольшим числом

наблюдений, в результате чего оценка результата с помощью величины

sср  может оказаться недостаточно точной. Это связано с тем, что в

соотношении Р (- kscp < хср - х0 < kscp) = ψ(k), или равносильном ему

 sср = s/ n принимается вместо точной величины σ/ n  .

        

18

     Необходимое уточнение достигается с помощью распределения              Стьюдента

 которому подчиняется величина

      График распределения Стьюдента напоминает по форме нормальное  

распределение и с увеличением п приближается к нему, сливаясь с ним при

п → ∞, а при малых п сильно отличается от нормального. Оно играет большую

роль в статистике малых выборок (микростатистике).

                  

 Вероятность того, что и не превзойдет по абсолютному значению число k,

выражается как

  P(—k <u<k)= P (xср kscp <x0< xср + kscp) = S{k, n),

где

    Как видно, при малых выборках для оценки достоверности  вместо

интеграла вероятности ψ(k) используется  функция  S(k, n), которая зависит

не только от k, но и от объема выборки n.

                                                                                                                                19

    Значения S(k, n) задаются соответствующими таблицами. Ниже для срав-

нения приводятся некоторые значения ψ(k) и S(k  n);

k

S(k,n) при значениях n

Ψ(k)

2

3

4

5

8

12

0,1

0,2

0,5

1,0

2,0

3,0

5,0

0,063

0,126

0,295

0,500

0,705

0,795

0,874

0,071

0,140

0,333

0,577

0,817

0,905

0,962

0,073

0,145

0,349

0,609

0,861

0,942

0,985

0,075

0,149

0,356

0,626

0,884

0,960

0,992

0,077

0,153

0,368

0,649

0,914

0,980

0,998

0,078

0,155

0,373

0,661

0,920

0,988

0,999

0,07966

0,15852

0,38292

0,68269

0,95450

0,99730

0,99999

Для определения доверительного интервала более удобны таблицы, в

которых приводятся значения k в зависимости от п и доверительной

вероятности. Например, для

        

    Р (хсрkscp < x0 < xср + kscp) = 0,95 получаем:

n

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

k

12,7

4,3

3,2

2,8

2,6

2,4

2,4

2,3

2,3

2,2

2,2

2,2

2,2

2,1

 

Для приведенного предыдущего примера при п = 11 и scp = 0,001

для достоверности 0,9973 находим k = 4,66, что соответствует

доверительному интервалу погрешностей ± k·sср = 4,66·0,001 ≈0,0047 вместо

sср = 3·0,001 = 0,0030, даваемый классической теорией.

        4. Порядок проведения лабораторной работы

 4.1. Выбор средства измерения (СИ).

 Исходя из заданных  полей  допуска на  втулку по формуле (3)

вычислите допустимую погрешность СИ Δс.и.доп.

    

     Пользуясь паспортными данными на предложенные в п.2  СИ

и (или) табл. 23 приложения 1 [1] выберите СИ.

Погрешность выбранного СИ должна удовлетворять неравенству

 Δс.и ≤ Δс.и.доп.

       

 

      4.2. Подготовка СИ к проведению  измерений.

       Установите выбранное средство измерения (СИ) не подставку и

отрегулируйте нулевое показание шкалы.

      

     Определите систематическую погрешность Δс СИ калибровкой с

помощью меры 4,3 мм, взятой из набора концевых мер, для чего проведите измерение меры три раза примерно в геометрическом центре меры.

    

      

20

Систематическую погрешность вычислите по формуле:

       

  

   П р и м е ч а н и е . Перед проведением регулировки шкалы и калибровки

СИ, поверхности меры и измерительные поверхности СИ очистите от грязи и смазки. После окончания калибровки СИ поверхности меры необходимо смазать тонким слоем смазки ЦИАТИМ и установить меру в

соответствующую ячейку набора концевых мер.

    4.3. Проведение измерений и обработка результатов измерения               

           выборки втулок.

    Для проведения измерений разбейтесь на группы по три человека.       

     Получите задание у преподавателя или лаборанта (выборку втулок количестве n1,  n2  и    n3  для каждого студента группы из трех человек ).

    Подготовьте СИ к проведению измерений по п.4.2. настоящей методики, при этом для калибровки СИ используйте меру 4,3 мм при получении выборки втулок.

    Проведите измерение диметра втулки по схеме рис.4.

Результаты измерений, общие для группы (N = n1 + n2 , + n3)  ,  сведите

в табл. 1 в порядке возрастания xi.

             (N =      ; Δс =              )                                                    Таблица 1.

xi1

xi2

xi3

xi =( xi1 + xi2 + xi3)/3 + Δс

ni

    Обработайте результаты измерения, общие для группы, по формулам и примеру п.3.4 настоящей методики: вычислите характеристики распределения случайной погрешности выборки втулок (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, асимметрию, эксцесс, постройте гистограмму и полигон распределения), сделайте выводы о соответствии полученного распределения нормальному закону распределения.

                                                                                                                               21

     

    4.4. Обработка результатов измерения выборки ni втулок

           (валов).

      Обработка результатов измерения производится индивидуально каждым членом группы.

     Результаты измерений сведите в табл. 2 в порядке возрастания xi.

             (ni  =    ; Δс =              )                                               Таблица 2.

xi1

xi2

xi3

xi =( xi1 + xi2 + xi3)/3 + Δс

    Обработайте результаты измерения по формулам и примеру п.3.8

настоящей методики: вычислите cреднее квадратическое отконение оценки

хср при объеме выборки n, доверительные границы рассеивания значений

диаметров валов, достоверность определения истинного диаметра валов х0 

при объеме выборки n методами классической теории.

    Обработайте результаты измерения по формулам и примеру п.3.9 по

уточненной методике с помощью распределения Стьюдента, сравните

полученные результаты и сделайте выводы.

22

                                     

                                                                                                                          

                                                                                                                            23

      5. Вопросы для самоконтроля

      5.1.Каким образом производится выбор средства измерения (СИ), если известно поле допуска деталей ?

      5.2. Какая принята классификация погрешностей наблюдений ? Дайте краткую характеристику погрешностей.

     5.3. Охарактеризуйте нормальный закон распределения случайных погрешностей (закон Гаусса):

     - теоретическая кривая плотности вероятности;

     - какое рассеяние линейных и угловых размеров он характеризует;

     - основные числовые характеристики распределения.

     5.4. Дайте определение статистического распределения выборки, в том числе: генеральной совокупности, выборки, варианты, вариационного ряда, относительной частоты варианты, частичных интервалов, равноотстоящих вариант.

      5.5. Какие измерения называются равноточными?

      5.6. Как определяется достоверность измеренных значений величины по числу наблюдений n методом максимального правдоподобия (доверительные границы, доверительная вероятность)?

       5.7. В чем заключается суть обработки результатов небольшого числа наблюдений с помощью распределения Стьюдента?

Список литературы

  1.  СкрипкаВ.А., Ягелло О.И. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплинам «Метрология», «Взаимозаменяемость» : - М.: РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина, 2007.
  2.  Сергеев А.Г. Метрология, стандартизация и сертификация:

Учебник / А.Г.Сергеев, В.В.Терегеря. – М. : ИД Юрайт, 2010.

     3. Метрология, стандартизация и сертификация: Учебник /

Ю.И. Борисов, А.С. Сигов – 3-е изд.- М.: ФОРУМ, 2009.

    4. Сигорский В.П. Математический аппарат инженера – Киев.: Изд. «Технiка», 1975.

24

                                                                                                 Приложение 1

                                                                                                    Таблица 4.1

z

Ф(z)

z

Ф(z)

z

Ф(z)

z

Ф(z)

0,00

0,0000

0,70

0,2580

1,40

0,4192

2,25

0,4878

0,02

0,0080

0,72

0,2642

1,42

0,4222

2,30

0,4893

0,04

0,0160

0,74

0,2703

1,44

0,4251

2,35

0,4906

0,06

0,0239

0,76

0,2764

1,46

0,4279

2,40

0,4918

0,08

0,0319

0,78

0,2823

1,48

0,4306

2,45

0,4929

0,10

0,0398

0,80

0,2881

1,50

0,4332

2,50

0,4938

0,12

0,0478

0,82

0,2939

1,52

0,4357

2,55

0,4946

0,14

0,0557

0,84

0,2995

1,54

0,4382

2,60

0,4953

0,16

0,0636

0,86

0,3051

1,56

0,4406

2,65

0,4960

0,18

0,0714

0,88

0,3106

1,58

0,4429

2,70

0,4965

0,20

0,0793

0,90

0,3159

1,60

0,4452

2,75

0,4970

0,22

0,0871

0,92

0,3212

1,62

0,4474

2,80

0,4974

0,24

0,0948

0,94

0,3264

1,64

0,4492

2,85

0,4978

0,26

0,1026

0,96

0,3315

1,66

0,4515

2,90

0,4981

0,28

0,1103

0,98

0,3365

1,68

0,4535

2,95

0,4984

0,30

0,1179

1,00

0,3413

1,70

0,4554

3,00

0,49865

0,32

0,1255

1,02

0,3461

1,72

0,4573

3,10

0,49903

0,34

0,1331

1,04

0,3508

1,74

0,4591

3,20

0,49931

0,36

0,1406

1,06

0,3554

1,76

0,4608

3,30

0,49952

0,38

0,1480

1,08

0,3599

1,78

0,4625

3,40

0,49966

0,40

0,1554

1,10

0,3643

1,80

0,4641

3,50

0,49977

0,42

0,1628

1,12

0,3686

1,82

0,4656

3,60

0,49984

0,44

0,1700

1,14

0,3729

1,84

0,4671

3,70

0,49989

0,46

0,1772

1,16

0,3770

1,86

0,4686

3,80

0,499928

0,48

0,1844

1,18

0,3810

1,88

0,4699

3,90

0,499952

0,50

0,1915

1,20

0,3849

1,90

0,4713

4,00

0,499968

0,52

0,1985

1,22

0,3888

1,92

0,4726

5,00

0,499999

0,54

0,2054

1,24

0,3925

1,94

0,4738

0,56

0,2123

1,26

0,3962

1,96

0,4750

0,58

0,2190

1,28

0,3997

1,98

0,4761

0,60

0,2257

1,30

0,4032

2,00

0,4772

0,62

0,2324

1,32

0,4066

2,05

0,4798

0,64

0,2389

1,34

0,4099

2,10

0,4821

0,66

0,2454

1,36

0,4131

2,18

0,4842

0,68

0,2517

1,38

0,4162

2,20

0,4861

                                                                                                                            25

          

                                                                                                        Приложение 2

Рис.4.8. Графики и формулы закона распределения Стьюдента

                                                                                                          Таблица 4.2

Значения коэффициента Стьюдента t

Число степеней свободы k = n - 1

Доверительная вероятность Р

0,90

0,95

0,99

1

6,31

12,71

63,66

2

2,92

4,30

9,92

3

2,35

3,18

5,84

4

2,13

2,78

4,60

5

2,02

2,57

4,03

6

1,94

2,45

3,71

7

1,89

2,36

3,50

8

1,86

2,31

3,36

9

1,83

2,26

3,25

10

1,81

2,23

3,17

11

1,80

2,20

3,11

12

1,78

2,18

3,05

13

1,77

2,16

3,01

14

1,76

2,14

2,98

26                                                                                                                          

                            Закон распределения Стьюдента

Графики вероятностей P(- tг < t < tг)|n

при законе распределения Стьюдента

для различных значений п и

функции ψ(z) (интегральная функция)

      Этот закон учитывает число измерений n и задается функцией

                               Г(n/2)                               tx2      n

      P( tx )‌‌‌|n =                                        1 +                2 ,       (4.29)

                       Г[(n-1)/2] √ π(n – 1)              n - 1

где n ≥ 2 — число измерений; Г(n/2), Г[(n-1)/2], — гамма-функции    

(интегралы Эйлера), определяемые для некоторого аргумента x как

                                     

                              Г(x) =      eu u x – 1 du .                           (4.30)

                                                          0                           

                                                                                                                               27


p(y) =                e
                                                               (4)

        

σ

1

i2

[xi – M(xi)]2

             n

 x = ∑ xiд / n M(xi)                                                   (5)

             1

x

xmax  x

xmin

    Рис.1

                   +∞                                                

 σi =      ∫ [xiM(xi)]2p(xi)dx ≈                                       (6)        

                    -∞                                                    

n

∑[ xi  - M(xi)]2  

1                                                

n

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

E(x) =            – 3,

μ22

μ4

(17)

2.

(18)

(19)

(20)

wi     125

 18,023       18,025           18,027           18,029       18,031     18,033     xi

100

75

50

25

 0

Полигон

(21)

(22)

(23)

(24)

                                                                              Δ

  f(Δ) =                 e                 ;  F(Δ) =                 e                  dt.                                         

                                                                             -∞

σ 2π                                

1                        

i2

Δ2

σ 2π                                

1                        

i2

t2

− –

(25)

                                          α                                           k            Δ

P( - α ≤ Δ ≤ α) =                e                  dΔ   =            e               dt = ψ(k).   (26)                                       

                                                                                    o         

i2

Δ2

2

t2

σ 2π                                

1                        

2

π

(28)

(27)

(29)

(30)

(31)

σn

(32)

Δi2

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(39)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

    Рис.5

(46)

                     

               Δс = х4.3 -                                  .                               (47)

3

хСИ1 + хСИ2 +  хСИ3

60º

60º

Подставка

Средство измерения

Державка втулок

 Втулка

Схема измерения диаметра втулки

2

1

1

2

3

                  Рис.4. Измерение диаметров втулок:

  1 -1, 2 – 2 и 3 – 3  - точки приложения измерительных поверхностей                    

         средства измерения (приблизительно в одном сечении)

                                                                                                                      z

Значение интеграла вероятностей F(Δ) =                 e               dz,                                

                                                                                                                       0         

1

 2π

-

 z2

2 σi2 

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-6

-6

-4

-2

0

2

4

6

pн(t)

p

n=20

3

2

tx

     Графики распределения Стьюдента p(tx) для различных  n и нормированного нормального распределения  pн(tx) при t = tx (дифференциальная функция).

     При n→ ∞ среднее арифметическое становится математическим ожиданием, причем оно становится самостоятельной, несмещенной и эффективной оценкой истинного значения (среднего или математического ожидания).

Закон описывает распределение плотности вероятности p(tx) для различных n 

  tx = Δx / σx = (xxи) / σx   (4.27)

где                  n

       х =         ∑ xi                        (4.28)

                     i=1

среднее арифметическое  значение n измерений величины

х = хи = хд, выступающее в качестве истинного значения;

σ х –СКО величины х.

1

n

   


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79411. Смысл жизни личности в концепции Франкла 25.84 KB
  Смыслы не являются универсальными они уникальны для каждого человека в каждый момент его жизни. Однако существенным отличием Франкла является идея о том что обретение и реализация смысла всегда связана с внешним миром с творческой активностью человека в нем и его продуктивными достижениями. При этом он как и другие экзистенциалисты подчеркивал что отсутствие смысла жизни или невозможность его реализовать приводит к неврозу порождая у человека состояния экзистенциального вакуума и экзистенциальной фрустрации. Он выделяет три класса...
79412. Движущие силы и условия развития личности. Развитие как способ существования личности в представлениях отечественных исследователей 44.04 KB
  Развитие как способ существования личности в представлениях отечественных исследователей. Проблема постоянства и изменчивости личности Асмолов: Факторы развития личности: органические предпосылки – среда – сама личность. Двухфакторная детерминация развития личности наследственность – среда определяет постановку проблемы о соотношении биологического и социального в человеке.
79413. Психологический возраст и социальная зрелость личности. Подходы к определению критериев социальной зрелости личности 34.66 KB
  Следует отметить что и проблема хронологического возраста имеет большое значение для психологии при исследовании жизненного пути личности выделения его основных этапов т. Вместе с тем в современной науке все большее распространение приобретает полиизмерительный подход к изучению возраста как дифференцированной меры времени человеческой жизни. ^ Самооценка возраста. При постановке проблемы возраста которая принята в психологии практически неисследованным остается вопрос о субъективном отношении человека к собственному возрасту о том...
79414. Категория «личность» в системе наук. Междисциплинарный статус проблемы 26.59 KB
  Междисциплинарный статус проблемы Первое отличие познавательной ситуации исследования психологических закономерностей становления и развития личности состоит в том что в психологии до сих пор возникают серьезные затруднения при попытках очертить сферу эмпирических фактов относящихся к предмету психологического изучения личности. Многогранность феноменологии личности отражающая объективно существующее многообразие проявлений человека в истории развития общества и его собственной жизни превращает исходный вопрос любого познания вопрос об...
79415. Проблемы, связанные с изучением личности. Общие представление о личности в психологии 31.43 KB
  Общие представление о личности в психологии Слово личность в английском языке происходит от латинского person. Таким образом с самого начала в понятие личность был включен внешний поверхностный социальный образ который индивидуальность принимает когда играет определенные жизненные роли некая личина общественное лицо обращенное к окружающим. Эта точка зрения совпадает с мнением современного непрофессионала который обыкновенно оценивает личность по критериям обаяния умения вести себя в обществе популярности физической...
79416. Процессы планирования. Планирование ресурсов проекта 50.09 KB
  Планирование ресурсов проекта. Стандарты на процесс проектирования ПО: ограничения налагаемые на применяемые методы проектирования например распределение ресурсов использование прерываний и структур управляемых событиями использование динамических задач повторный вход использование глобальных данных механизм обработки исключительных ситуаций и обоснования для их использования; Спецификация системы подсистемы: должны быть описаны требования к ресурсам вычислителя к аппаратуре коэффициенту использования ресурсов аппаратуры ПО...
79417. Стратегии и методы проектирования информационных систем 41.51 KB
  Данный подход рекомендуется для организаций с узкоспецифическими требованиями не нуждающихся в общем совершенствовании процессов. Нисходящий подход проектирования Сверхувниз подразумевает собой разработку универсальной системы удовлетворяющей потребности нескольких предприятий. Данный подход рекомендуется для относительно зрелых организаций с устоявшимися бизнеспроцессами которые стремятся вложить все необходимые ресурсы в законченный продукт.
79418. Анализ объекта автоматизации. Методологии анализа 137 KB
  Функциональные модели удобны, когда производится автоматизация производства с хорошо описанным производственным циклом. Модель показывает управление объектом автоматизации. В данных моделях выделяем функции у объектов, основные связи между функциями, формальные ресурсы для функций, входы и выходы у функций
79419. Анализ объекта автоматизации. Инструментальные средства поддержки процессов анализа 44.84 KB
  Бесплатная версия программы поддерживает только базовые типы диаграмм, не имеет многопользовательской поддержки, не использует базу данных