11760

ММДО Шпоры

Шпаргалка

Математика и математический анализ

Билет № 1 Загальна задача лінійного програмування. Линейное программирование – раздел математического программирования который изучает задачу определения экстремума линейной функции нескольких переменных при линейных ограничениях на переменные в виде рав...

Русский

2013-04-11

6.32 MB

61 чел.

Билет № 1

  1.  Загальна задача лінійного програмування.

Линейное программирование – раздел математического программирования, который изучает задачу определения экстремума линейной функции нескольких переменных при линейных ограничениях на переменные в виде равенств и неравенств.

,  ,  ,

В общей задаче линейного программирования часть ограничений носит характер неравенств, а часть является уравнениями. Кроме того, не на все переменные наложено условие неотрицательности:

Здесь . Ясно, что стандартная задача получается как частный случай общей при ; каноническая — при .

Все три перечисленные задачи эквивалентны в том смысле, что каждую из них можно простыми преобразованиями привести к любой из двух остальных.

2.  Класи операційних задач.

  1.  Задачи распределения
  2.  Управления запасами
  3.  Массового обслуживания
  4.  Замены
  5.  Согласования и координации
  6.  Выбора маршрута
  7.  Состязательные
  8.  Поиска

1. Этот класс задач обладает след особенностями:

  •  Все понятия, используемые просты в плане используемых в них терминов
  •  Методы и решения хорошо разработаны
  •  Считается, что в полном объеме присутствуют исходные данные
  •  Руководители, отвечающие за распределение, обычно мыслят количественными категориями и в них отсутствуют предубеждения операционных исследований

2. Преследуют 2 цели:

  •  Сколько заказывать или производить?
  •  Когда заказывать или производить?

3. Этот класс задач связан с наличием клиента, обслуживающего и дисциплиной обслуживания. Проблемами массового обслуживания занимается теория массового обслуживания.

4. Существуют моральное и физическое старение. И задача: выбрать вид и время замены, чтобы эффект был максимальным.

5. В виду сложности современных проектов возникает необходимость согласовывать и координировать управление по частям сложной системы.

6. В анализе и выборе более дешевого маршрута

7. Этот класс задач рассматривает конфликтные ситуации и решается методами теории игр.

8. Этот класс задач занимается сбором и формализацией информ. в организационной системе.

Билет № 2

  1.  Розв'язання ЗЛП з штучною базою.

Если система ограничений ЗЛП представлена неравенствами вида  и равенствами, то опорный план не может быть найден. При применении метода искусственного базиса, в систему ограничений вводится m дополнительных переменных. Данные переменные вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M (в задаче минимизации – с большими положительными M). Таким образом, формируется новая ЗЛП. В систему ограничений данные переменные вводятся без буквы M.

В общем случае, если ЗЛП имеет общий вид (имеются все виды ограничений), то после приведения модели к каноническому виду, искусственные переменные вводятся лишь в те ограничения, где в исходной системе были знаки  при всех положительных компонентах вектора свободных членов. Выбрав в качестве начального базиса векторы, соответствующие введенным искусственным переменным, решается M-задача симплекс методом.

Если в оптимальном решении М-задачи нет искусственных переменных, это решение и есть оптимальное для исходной задачи. Если же в оптимально решении М-задачи есть хоть одна искусственная переменная, отличная от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и задача неразрешима.

  1.  Типи оперційних задач
  2.  Детерминированные
  3.  Вероятностные
  4.  В условиях неопределенности

  1.  Возникают в ситуациях, когда считается выбранная руководителем стратегия, приводит к единственному результату.
  2.  Задачи, возникающие в ситуациях, когда выбранная стратегия приводит к разным результатам вероятности достижения, которые могут быть известны и оценены.
  3.  Возникают в ситуациях когда руководитель не знает какие результаты могут быть достигнуты при выборе той или иной стратегии при рассматривании или вообще не знает результатов, и поэтому не может сопоставить результаты и вероятности.

- Математическое ожидание полезности


Билет № 3

 1. Етапи операційних досліджень

Первый этап

Семантическая постановка, требующая овеществления, т.е. рализации второго этапа.

  - входные параметры

  - выходные параметры

k - критерий эффективности

  - функция цели

(1),(2),(3) – математические модель задачи

(1),(2) – система ограничений

Третий этап

Заключается в поиске метода решения на математических моделях (1) – (3)

2. Метод потенціалів розв'язання Т-задач

Пусть задана транспортная задача

(2)

Метод потенциалов основывается на следующей теореме: для того что бы допустимый план перевозок Хij был оптимальным необходимо и достаточно что-бы существововали такие потенциалы при кот выполнялись бы следующие соотношения

Vj-Ui=Cij (5) для всех Xij>0

Vj-Ui=<Cij (6) для всех Xij=0

эта теорема основана на двойственной Т-задаче

у Ui Vj – двойственные перем, соответсвенно у ui пунктов отправления и и vj пунктов назначения

Vj=Cij+Ui (региональная цена в пункте назначения - начальная цена в пунктах назначения(за ед товара) + тариф за перевозку)

Что бы перевозки были рентабельными (5). (6)- не рентабельные перевозки.

Алгоритм метода потенциалов сводиться к ряду вычислительных процедур.


Билет № 4

1. Метод потенціалів розв'язання Т-задач

Пусть задана транспортная задача

(2)

Метод потенциалов основывается на следующей теореме: для того что бы допустимый план перевозок Хij был оптимальным необходимо и достаточно что-бы существововали такие потенциалы при кот выполнялись бы следующие соотношения

Vj-Ui=Cij (5) для всех Xij>0

Vj-Ui=<Cij (6) для всех Xij=0

эта теорема основана на двойственной Т-задаче

у Ui Vj – двойственные перем, соответсвенно у ui пунктов отправления и и vj пунктов назначения

Vj=Cij+Ui (региональная цена в пункте назначения - начальная цена в пунктах назначения(за ед товара) + тариф за перевозку)

Что бы перевозки были рентабельными (5). (6)- не рентабельные перевозки.

Алгоритм метода потенциалов сводиться к ряду вычислительных процедур.

 

2. Графічний метод розв'язання задач лінійного прорамування.

Геометрическая интерпретация возможна лишь в том случае, если функция имеет не больше двух переменных, если 3 то может быть найдено решение при построении в трехмерном пространстве. Может быть использована, когда задача задана в каноническом виде (все ограничения - равенства) либо общей форме, которая может быть сведена к канонической форме. ОДР – область допустимых решений находиться в замкнутом выпуклом многоугольнике, границами которых являются граничные значения переменных Xj, если ОДР не является замкнутым многоугольником , то ЗЛП не имеет решения. ЗЛП имеет бесчисленное множество решений, если F(x) параллельна той грани или ребру, которое наиболее удаленно от начала координат и на которой F(x) достигает экстремума. Решение ЗЛП графическим методом включает следующие этапы:             1. На плоскости X10X2 строят прямые из системы ограничений;  2. Определяются полуплоскости; 3. Определяют многоугольник решений; 4. Строят вектор N(c1,c2), который указывает направление целевой функции; 5.Передвигают прямую целевую функцию c1x2 + c2x2 = 0 в направлении вектора N до крайней точки многоугольника решений;  6. Вычисляют координаты точки и значение целевой функции в этой точке.

Билет № 5

  1.  Т-задачі. Методі побудови попрніх планів.

Транспортная задача - задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки.

Пусть имеется m пунктов отправления (ПО): , в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственно  единиц. Также имеется n пунктов назначения (ПН): , подавших заявки соответственно на  единиц груза. Считаем, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов (сбалансированная транспортная задача):

Известны стоимости  перевозки единицы груза от каждого пункта отправления  до каждого пункта назначения  . Стоимость перевозки нескольких единиц груза пропорциональна их числу. Составляем такой план перевозок, чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок минимальна.

– количество единиц груза, отправляемого из i-го ПО  в j-й ПН . Совокупность чисел () план перевозок, а сами величины  – перевозки.

Необходимо найти такой план перевозок (), при котором целевая функция (суммарная стоимость перевозок) будет минимальной:

и который удовлетворяет следующим ограничениям:

1) Суммарное количество груза, направляемого из каждого ПО во все ПН должно быть равно запасу груза в данном пункте:

2) Суммарное количество груза, доставляемого в каждый ПН из всех ПО, должно быть равно заявке, поданной данным пунктом:

3) Условие неотрицательности:

Решение транспортной задачи разбивается на два этапа:

1) определение исходного опорного решения;

2) построение последовательных итераций – приближение к оптимальному решению.

В настоящее время для построения опорных планов используются

- метод северо-западного угла

- м-д минимального элемента

-м-д двойных меток

-м-д дифференциальных рент

2.  Класи оперційних задач

  1.  Задачи распределения
  2.  Управления запасами
  3.  Массового обслуживания
  4.  Замены
  5.  Согласования и координации
  6.  Выбора маршрута
  7.  Состязательные

8Поиска

1. Этот класс задач обладает след особенностями:

  •  Все понятия, используемые просты в плане используемых в них терминов
  •  Методы и решения хорошо разработаны
  •  Считается, что в полном объеме присутствуют исходные данные
  •  Руководители, отвечающие за распределение, обычно мыслят количественными категориями и в них отсутствуют предубеждения операционных исследований

2. Преследуют 2 цели:

  •  Сколько заказывать или производить?
  •  Когда заказывать или производить?

3. Этот класс задач связан с наличием клиента, обслуживающего и дисциплиной обслуживания. Проблемами массового обслуживания занимается теория массового обслуживания.

4. Существуют моральное и физическое старение. И задача: выбрать вид и время замены, чтобы эффект был максимальным.

5. В виду сложности современных проектов возникает необходимость согласовывать и координировать управление по частям сложной системы.

6. В анализе и выборе более дешевого маршрута

7. Этот класс задач рассматривает конфликтные ситуации и решается методами теории игр.

8. Этот класс задач занимается сбором и формализацией информ. в организационной системе.

Билет № 6

1.  Задачі розподілу ресурсів.

Основной задачей исследования операций являются задачи распределения ресурсов, которые отражают суть организационного управления. Под управлением  понимают целенаправленное воздействие управляющего на объект управления.

Задачи распределения ресурсов

Обычно распределение ресурсов выполняется по видам работ. Задача возникает тогда, когда ресурсов не хватает всем потребителям.

В общем задача распределения формулируют так: необходимо недостающие ресурсы распределить так, что бы эффект от производимой операции был максимален.

Ввиду сложности существует классификация этих задач. При формализации это могут быть детерминированные и вероятностные, линейные и нелинейные, с постоянными и переменными коэффициентами, статические и динамические.

R\O

O1

O2

Oj

On

Объём B

R1

B1

R2

Ri

Cij

Bm

Требуемый объём A

a1

a2

aj

an

Общая потребность в ресурсах

 (1) сбалансированная задача распределения

– несбалансированная задача

>= с избытком ресурсов

=< с недостатком ресурсов

Если работы и ресурсы выражаются в одинаковых единицах измерения то их называют транспортными..

M: A1A2…Am – ai i=1,m (1)

N: B1 B2…Bn – aj j=1n(2)

Считаем что каждый из приёмных пунктов подал заявку на приём груза Bj, предполагается, что известна стоимость перевозки i-того груза в j-тый пункт.

Матрица стоимостей перевозок:

C11

C12

..

C1n

C21

C22

C2n

Cm1

Cm2

Cmn

Требуется составить такой план перевозок при котором все грузы были бы вывезены, все заявки удовлетворены и общая стоимость всех перевозок была минимальной.

2.  Геометрична інтерпретація ЗЛП.

Рассмотрим задачу линейного программирования, система ограничений которой задана в виде неравенств.

Найти минимальное значение линейной функции

При ограничениях


Если система неравенств (10) при условии (11) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, в противном случае - несовместной.

Рассмотрим на плоскости х12 совместную систему линейных неравенств

Это все равно, что в системе (10) - (11) положить n=2. Каждое неравенство этой системы геометрически определяет полуплоскость с граничной прямой Условия неотрицательности определяют полуплоскости соответственно с граничными прямыми Система совместна, поэтому полуплоскости, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют общую часть, которая является выпуклым множеством и представляет собой совокупность точек, координаты каждой из которых являются решением данной системы.

Совокупность этих точек - многоугольник решений. Он может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником, неограниченной многоугольной областью.

Если в системе ограничений (10) - (1) n= 3, то каждое неравенство геометрически представляет полупространство трехмерного пространства, граничная плоскость которого , а условия неотрицательности – полупространства с граничными плоскостями соответственно . Если система ограничений совместна, то эти полупространства, как выпуклые множества, пересекаясь, образуют в трехмерном пространстве общую часть - многогранник решений. Многогранник решений может быть точкой, отрезком, лучом, многоугольником, многогранником, многогранной неограниченной областью.

Пусть в системе ограничений (10) - (11) n=∞; тогда каждое неравенство определяет полупространство n-мерного пространства с граничной гиперплоскостью , а условия неотрицательности – полупространства с граничными гиперплоскостями .

Если система ограничений совместна, то по аналогии с трехмерным пространством она образует общую часть n-мерного пространства, называемую многогранником решений, так как координаты каждой его точки являются решением.

Таким образом, геометрически задача линейного программирования представляет собой отыскание такой точки многогранника решений, координаты которой доставляют линейной функции минимальное значение, причем допустимыми решениями служат все точки многогранника решений.

Билет № 7

  1.  Основні поняття та візначенні дисципліни ММДО.

Операция – любое мероприятие или же комплекс действий, объединенный единым замыслом и направленный на достижение единой цели. Чисто организационное действие.

Операция оценивается эффективностью, под которой понимают степень ее приспособленности к выполнению стоящий перед ней задач.

Оперирующая сторона – совокупность лиц и технических устройств, которые в данной операции должны достичь определенной цели. Лиц и устройств может быть несколько, и они могут преследовать разные цели.

Стратегии – те или иные способы использования ресурсов. Стратегиями называют допустимые способы использования оперирующей стороной активных средств, которые есть в ее распоряжении.

Реализация той или иной допустимой стратегии: Оценка стратегий для их сравнения осуществляется при помощи определенных критериев. Эти критерии – критерии эффективности (критерии качества, оптимальности). Критерий оптимальности есть математическим выражением цели операции, он дает возможность количественно оценить степень достижения цели.

Состояние операции – совокупность параметров, которые определяют данную операцию (совокупность характеристик), и которые обозначают объективное состояние дел на данный момент.

Под исследованием операций можно понимать применение математических количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Решение (как результат) – конкретный набор значений контролируемых параметров, которые получены в результате анализа моделей операций. Решений задач исследования операций может быть много.

Оптимальное решение – такое решение, которое по тому или иному критерию лучше, чем  остальные.

  1.   Т-задачі. Методи опорних планів

Транспортная задача - задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки.

Пусть имеется m пунктов отправления (ПО): , в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственно  единиц. Также имеется n пунктов назначения (ПН): , подавших заявки соответственно на  единиц груза. Считаем, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов (сбалансированная транспортная задача):

Известны стоимости  перевозки единицы груза от каждого пункта отправления  до каждого пункта назначения  . Стоимость перевозки нескольких единиц груза пропорциональна их числу. Составляем такой план перевозок, чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок минимальна.

– количество единиц груза, отправляемого из i-го ПО  в j-й ПН . Совокупность чисел () план перевозок, а сами величины  – перевозки.

Необходимо найти такой план перевозок (), при котором целевая функция (суммарная стоимость перевозок) будет минимальной:

и который удовлетворяет следующим ограничениям:

1) Суммарное количество груза, направляемого из каждого ПО во все ПН должно быть равно запасу груза в данном пункте:

2) Суммарное количество груза, доставляемого в каждый ПН из всех ПО, должно быть равно заявке, поданной данным пунктом:

3) Условие неотрицательности:

Решение транспортной задачи разбивается на два этапа:

1) определение исходного опорного решения;

2) построение последовательных итераций – приближение к оптимальному решению.

В настоящее время для построения опорных планов используются

- метод северо-западного угла

- м-д минимального элемента

-м-д двойных меток

-м-д дифференциальных рент

Билет № 8

1.Задачі лінійного програмування. Типи задач.

Задача линейного программирования (ЗЛП) состоит в нахождении минимума (или максимума) линейной функции при линейных ограничениях.

Методы решения данной задачи делятся на: универсальные и специальные.

Классы задач, которые решаются при использовании методов линейного программирования:

  1.  Задачи оптимального использования ресурсов производства.
  2.  Задачи оптимального выбора технологий.
  3.  Задача о смесях.
  4.  Задачи о диетах.
  5.  Задача о раскрое.
  6.  Задача о назначениях.

Формы записи задачи:

  1.  Общая: ,

,  ,

  1.  Стандартная: в стандартной ЗЛП необходимо найти экстремум целевой функции, имея систему ограничений неравенств при условии неотрицательности всех переменных.

,

,  ,

,  , ,

  1.  Каноническая. В канонической задача линейного программирования, необходимо найти экстремум целевой функции с использованием системы ограничений-равенств и условий неотрицательности всех переменных.

,  , ,

Особенностью ЗЛП является то, что экстремум целевой функции достигается на границе области допустимых решений. Выпуклость данной функции обязательно. И эта выпуклость гарантирует то, что локальный экстремум совпадает с глобальным.

2.  Задачі розподілу ресурсів.

Основной задачей исследования операция являются задачи распределения ресурсов, которые отражают суть организационного управления. Под управлением  понимают целенаправленное воздействие управляющего на объект управления.

Задачи распределения ресурсов

Обычно распределение ресурсов выполняется по видам работ. Задача возникает тогда, когда ресурсов не хватает всем потребителям. В общем задача распределения формулируют так: необходимо недостающие ресурсы распределить так, что бы эффект от производимой операции был максимален.

Ввиду сложности существует классификация этих задач. При формализации это могут быть детерминированные и вероятностные, линейные и нелинейные, с постоянными и переменными коэффициентами, статические и динамические.

R\O

O1

O2

Oj

On

Объём B

R1

B1

R2

Ri

Cij

Bm

Требуемый объём A

a1

a2

aj

an

Общая потребность в ресурсах

 (1) сбалансированная задача распределения

– несбалансированная задача

>= с избытком ресурсов

=< с недостатком ресурсов

Если работы и ресурсы выражаются в одинаковых единицах измерения то их называют транспортными.

M: A1A2…Am – ai i=1,m (1)

N: B1 B2…Bn – aj j=1n(2)

Считаем что каждый из приёмных пунктов подал заявку на приём груза Bj, предполагается, что известна стоимость перевозки i-того груза в j-тый пункт.

Матрица стоимостей перевозок:

C11

C12

..

C1n

C21

C22

C2n

Cm1

Cm2

Cmn

Требуется составить такой план перевозок при котором все грузы были бы вывезены, все заявки удовлетворены и общая стоимость всех перевозок была минимальной.

Билет № 9

  1.  Моделі операційних задач.

Исследовать можно как саму операцию, так и ее модель. Предварительным исследованием модели является исследование самой операции.

Модель нужна для:

● Описания структуры операции, ее особенностей, законов развития и взаимодействия с окружающей средой.

● Управления операцией, определение лучших способов управления при заданных целях и критериях.

● Создания прогноза о прямых и непрямых последствиях реализации какой-то операции.

Существуют модели операций:

1) Изоморфные (модель изоморфна, если между моделью и объектом существует взаимно однозначное соответствие);

2)гомоморфные.

Обобщенная математическая модель оптимизационных задач

Чаще всего, математически обобщенная модель выглядит следующим образом:

F^*=F(A,X),

где X – множество данных контролируемых параметров,

A – множество параметров модели,

F – функция от параметров,

F* - результат функции.

Вектор A представляет из себя множество параметров, которые называются параметрами задачи, и в рамках данной задачи исследование операций они определены и имеют какое-то числовое количественное значение.

Вектор X – вектор независимых переменных (управляемые переменные). В зависимости от того, какие значения принимают элементы множества X, результат операции меняется.

В модель также может включаться вектор зависимых переменных (неуправляемые переменные) – вектор Y. Тогда математическая модель будет выглядеть так:  F^*=F(A,X,Y).

Эта функция F называется целевой функцией или критерием оптимальности, и ее значение является мерой эффективности операции после достижения определенной цели. Задание при использовании данной функции заключается в том, чтобы выбрать такие значения управляемых переменных x_i, которые бы давали целевой функции экстремальное значение. F^*=extrem F (A,X,Y) – модель операции.

Ограничения (представлены в виде моделей, в них могут входить все управляемые переменные) могут быть как равенствами, так и неравенствами, т.е. <,>,≤,≥,=.

Ограничения g_i (a_i,x_j,y_k ) называют системой ограничений или системой условий задачи. Переменные x_j всегда ограничены внешними по отношению к операции условиями (энергетическими, материальными, человеческими денежными и т.д.), а также они ограничены параметрами самой операции.

Частный случай: g_i (a_i,x_j,y_k )≤b_i,i=1,m. В задачах ограничения g_i  называют функциями затрат, а b_i - величина i-го ресурса.

2.  Т-задачі. Методі побудови попрніх планів.

Транспортная задача - задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки.

Пусть имеется m пунктов отправления (ПО): , в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственно  единиц. Также имеется n пунктов назначения (ПН): , подавших заявки соответственно на  единиц груза. Считаем, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов (сбалансированная транспортная задача):

Известны стоимости  перевозки единицы груза от каждого пункта отправления  до каждого пункта назначения  . Стоимость перевозки нескольких единиц груза пропорциональна их числу. Составляем такой план перевозок, чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок минимальна.

– количество единиц груза, отправляемого из i-го ПО  в j-й ПН . Совокупность чисел () план перевозок, а сами величины  – перевозки.

Необходимо найти такой план перевозок (), при котором целевая функция (суммарная стоимость перевозок) будет минимальной:

и который удовлетворяет следующим ограничениям:

1) Суммарное количество груза, направляемого из каждого ПО во все ПН должно быть равно запасу груза в данном пункте:

2) Суммарное количество груза, доставляемого в каждый ПН из всех ПО, должно быть равно заявке, поданной данным пунктом:

3) Условие неотрицательности:

Решение транспортной задачи разбивается на два этапа:

1) определение исходного опорного решения;

2) построение последовательных итераций – приближение к оптимальному решению.

В настоящее время для построения опорных планов используются

- метод северо-западного угла

- м-д минимального элемента

-м-д двойных меток

-м-д дифференциальных рент


Билет №10

1. Симплекс метод розв'язання ЗЛП.

Симплекс-метод позволяет переходить от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, чтобы значение целевой функции непрерывно увеличивалось (уменьшалось). В результате, оптимальное решение находится за конечное число шагов.

Алгоритм симплекс-метода делится на два этапа:

  1.  Нахождение опорного начального плана.
  2.  Определение оптимального плана либо установление факта неограниченности целевой функции на множестве планов задачи.

Классический алгоритм симплекс-метода используется только для канонической формы записи задачи линейного программирования.

,

где – вектор коэффициентов,

 – вектор неизвестных переменных.

,

где – матрица,  - вектора значений, которые стоят в системе ограничений при ,

- вектор ограничений.

Симплексный метод решения задач линейного программирования для компьютерной обработки использует таблицу, которая может быть составлена следующим образом:

Б

1

2

Где,  – количество уравнений в системе уравнений, может быть равно . – базисное решение.

Предварительно необходимо:

  1.  Проанализировать постановку задачи, ее форму, представление. Если задача задана не в канонической форме – преобразовать в каноническую.
  2.  Определить начальное допустимое базисное решение задачи.
  3.  Ввести в исходную симплекс-таблицу следующие параметры, соответствующие начальному базисному решению.

4 Записать весовые коэффициенты при переменных (строка -х).

5 Записать переменные, которые входят в текущий базис (столбец Б).

6 Заполняем – вектор свободных членов.

7 Столбец –весовые коэффициенты, которые в целевой функции стоят при  .

Нижняя строка – последняя индексная строка.  – значение целевой функции при текущем базисе.

Оценка ,          Алгоритм симплекс-метода

  1.  Осуществить первый этап, который описан выше, т.е. составить симплекс-таблицу.
  2.  Анализируем последнюю индексную строку.
    1.  Если в данной индексной строке все дельты больше нуля, то мы нашли оптимальное решение для задачи на максимум.
    2.  Для задачи на минимум решение найдено, если все значения дельт будут отрицательные.
  3.  Если имеются некоторые -е, которые меньше нуля, и в столбце -ом все элементы , то функция не ограничена сверху на области допустимых решений.
  4.  Если имеются-е и в столбцах , соответствующих этим отрицательным оценках, существует хотя бы один элемент , то возможен переход к новому лучшему плану, связанному с большим значением целевой функции.
  5.  Вектор , который соответствует переменной, вводимой в базис для улучшения плана, определяется по наименьшей отрицательной оценке . Столбец, содержащий эту оценку, называется направляющим.
  6.  Вектор, который нужно вывести из базиса, определяется по формуле: , . Строка называется направляющей. Элемент  – направляющий.
  7.  Заполняется таблица, соответствующая новому базисному решению.

  1.  Анализируем последнюю строку, в которую внесены, и возвращаемся к пункту 2 алгоритма.
  2.  Типи операційних задач.
  3.  Детерминированные
  4.  Вероятностные
  5.  В условиях неопределенности
  6.  Возникают в ситуациях, когда считается выбранная руководителем стратегия, приводит к единственному результату.
  7.  Задачи, возникающие в ситуациях, когда выбранная стратегия приводит к разным результатам вероятности достижения, которые могут быть известны и оценены.
  8.  Возникают в ситуациях когда руководитель не знает какие результаты могут быть достигнуты при выборе той или иной стратегии при рассматривании или вообще не знает результатов, и поэтому не может сопоставить результаты и вероятности.

- Математическое ожидание полезности

Билет №11

  1.  Геометричний метод розв'зання ЗЛП.       

Геометрическая интерпретация возможна лишь в том случае, если функция имеет не больше двух переменных, если 3 то может быть найдено решение при построении в трехмерном пространстве. Может быть использована, когда задача задана в каноническом виде (все ограничения - равенства) либо общей форме, которая может быть сведена к канонической форме. ОДР – область допустимых решений находиться в замкнутом выпуклом многоугольнике, границами которых являются граничные значения переменных Xj, если ОДР не является замкнутым многоугольником , то ЗЛП не имеет решения. ЗЛП имеет бесчисленное множество решений, если F(x) параллельна той грани или ребру, которое наиболее удаленно от начала координат и на которой F(x) достигает экстремума.      Решение ЗЛП графическим методом включает следующие этапы:    

1. На плоскости X10X2 строят прямые из системы ограничений;

2. Определяются полуплоскости;

3. Определяют многоугольник решений;

4. Строят вектор N(c1,c2), который указывает направление целевой функции;

5.Передвигают прямую целевую функцию c1x2 + c2x2 = 0 в направлении вектора N до крайней точки многоугольника решений;  

6. Вычисляют координаты точки и значение целевой функции в этой точке.

  1.  Двоїстість у задачах лінійного програмування.        

Каждой задаче линейного программирования со смешанными ограничениями

,

,,

,, ,

Двойственность будет выглядеть следующим образом:

,

,  ,

,  , ,         

 Правила записи двойственных задач:

  1.  Одна из двойственных задач всегда на максимум, другая – на минимум.
  2.  Матрица ограничений двойственной задачи получается транспонированием матрицы прямой задачи.
  3.  Коэффициенты целевой функции двойственной задачи являются свободными членами системы ограничений прямой задачи.
  4.  Свободные члены системы ограничений двойственной задачи являются коэффициентами линейной формы (т.е. целевой функции) исходной задачи.
  5.  Каждой переменной прямой задачи (n штук) отвечает одно ограничение двойственной задачи, причем, если j-я переменная больше или равна нулю, то j-е ограничение двойственной задачи будет являться неравенством типа «не меньше», т.е. больше либо равно. Переменным, которые не имеют ограничений на знак, будут отвечать ограничения-равенства.
  6.  Каждому ограничению прямой задачи (m штук)  отвечает одна переменная двойственной задачи, причем, если i-е ограничение – неравенство типа «не больше», то i-я переменная двойственной задачи больше или равно нулю, а ограничениям-равенствам соответствует переменная без ограничения на знак.

Пара двойственных задач может быть симметричной или несимметричной. В симметричных задачах ограничения задаются неравенствами и на переменные наложены ограничения неотрицательности.

Прямая задача

Двойственная задача:

Симметричная задача

Несимметричная задача

В несимметричной задаче система ограничений прямой задачи задается равенствами, а в двойственной – неравенствами, причем в последней переменные могут быть и отрицательными. Т.к. систему неравенств при помощи дополнительных переменных можно свести к системе равенств, то всякую пару симметричных задач можно свести к паре несимметричных задач.    

Билет №12

1. Т-задачі. Методи побудування опорних планів. 

Транспортная задача - задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки.

Пусть имеется m пунктов отправления (ПО): , в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственно  единиц. Также имеется n пунктов назначения (ПН): , подавших заявки соответственно на  единиц груза. Считаем, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов (сбалансированная транспортная задача):

Известны стоимости  перевозки единицы груза от каждого пункта отправления  до каждого пункта назначения  . Стоимость перевозки нескольких единиц груза пропорциональна их числу. Составляем такой план перевозок, чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок минимальна.

– количество единиц груза, отправляемого из i-го ПО  в j-й ПН . Совокупность чисел () план перевозок, а сами величины  – перевозки.

Необходимо найти такой план перевозок (), при котором целевая функция (суммарная стоимость перевозок) будет минимальной:

и который удовлетворяет следующим ограничениям:

1) Суммарное количество груза, направляемого из каждого ПО во все ПН должно быть равно запасу груза в данном пункте:

2) Суммарное количество груза, доставляемого в каждый ПН из всех ПО, должно быть равно заявке, поданной данным пунктом:

3) Условие неотрицательности:

Решение транспортной задачи разбивается на два этапа:

1) определение исходного опорного решения;

2) построение последовательных итераций – приближение к оптимальному решению.

В настоящее время для построения опорных планов используются

- метод северо-западного угла

- м-д минимального элемента

-м-д двойных меток

-м-д дифференциальных рент

  2.Основні теореми двоїсних ЗЛП.         

Связь между прямой и двойственной задачами можно установить при помощи следующих теорем, которые принимаем без доказательства:

  1.  Если и  – допустимое решение прямой и двойственной задач, то значения целевой функции прямой задачи никогда не превышают значения целевой функции двойственной задачи .
  2.   «Основная теорема двойственности» или Критерий оптимальности Л.В.Конторовича: Если  и  - допустимые решения прямой и двойственной задач, и для них выполняется , то  и  - оптимальные планы (решения) данных задач.
  3.  Теорема о существовании: Прямая и двойственная задачи имеют оптимальное решение тогда и только тогда, когда они обе имеют допустимые решения.
  4.  Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая тоже имеет оптимальное решение, при том их оптимумы равны. Если целевая функция одной из задач не ограничена сверху (соответственно снизу при стремлении целевой функции к минимуму) в области допустимых решений, то система ограничений несовместна. Обратное неверно.

С экономической точки зрения: Если задача определения оптимального плана, который максимизирует выпуск продукции, имеет решение, то и задача определения оценок ресурсов тоже имеет решение.                    

5. Теорема о дополнительной не жёсткости: Для того, чтобы планы  и  пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

Если любое ограничение одной из задач ее оптимальным планом преобразуется в строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального плана двойственной задачи равна нулю.

Если любая компонента оптимального плана положительна для одной из задач, то соответствующее ограничение двойственной задачи ее оптимальным планом преобразует в строгое равенство.

Двойственные оценки являются мерой дефицитности ресурса.

Билет №13

  1.  ЗЛП. Постановка задач. Форми математичного опису.      

Линейное программирование – раздел математического программирования, который изучает задачу определения экстремума линейной функции нескольких переменных при линейных ограничениях на переменные в виде равенств и неравенств. ,,,

Формы записи ЗЛП:

● Общая: ,

,,

● Стандартная: в стандартной ЗЛП необходимо найти экстремум целевой функции, имея систему ограничений неравенств при условии неотрицательности всех переменных.

,

,,

,, ,

● Каноническая. В канонической задача линейного программирования, необходимо найти экстремум целевой функции с использованием системы ограничений-равенств и условий неотрицательности всех переменных.

,,,

Особенностью ЗЛП является то, что экстремум целевой функции достигается на границе области допустимых решений. Выпуклость данной функции обязательна. И эта выпуклость гарантирует то, что локальный экстремум совпадает с глобальным.            

2.  Метод північно-західного кута. Побудові опорних планів.

Методы определения начального опорного плана. Как и в других ЗЛП итерационный процесс нахождения оптимального плана Т-задачи начинается с какого-либо опорного плана. Опорный план Т-задачи строится в виде матрицы размером . Заполненные позиции данной матрицы, т.е. такие, в которых , соответствуют базисным переменным/неизвестным.

Для того, чтобы план был невырожденным, количество ненулевых элементов должно равняться рангу системы ограничений .

Метод северо-западного угла.

  1.  Определяем элементы матрицы X, начиная с верхнего левого угла. Находим величины . Если , то . И первый столбец закрыт для расчета остальных элементов, т.е., если . Если , то и ,
  2.  Затем вычисляем . При , .
  3.  Процесс продолжается до тех пор, пока на каком-то этапе не исчерпаются все ресурсы и не удовлетворяться все потребности.

Билет №14

1.Т-задачі. Форми математичного опису.

Простейшая постановка Т-задачи:

В m-пунктах производства ()имеются запасы сырья/продукта в количествах . Необходимость в этом продукте в пунктах потребления выражается в следующих единицах . Из каждого пункта производства возможна транспортировка продукта в любой пункт потребления.

Транспортные издержки на перевозку единицы продукции (груза) из пункта в пункт  заданы транспортные издержки и обозначаются следующей матрицей: , , .

Задача состоит в поиске такого плана перевозок, при которых весь продукт из пункта производства будет вывезен, запросы потребителей полностью удовлетворены и суммарные транспортные издержки минимальны.

При такой постановке чаще все возникает транспортная задача. Данная задача – ЗЛП, в которой целевая функция и ограничения линейны.

Для составления математической модели введем переменные , , .  – обозначают количество груза, перевозимого из i-го пункта производства в j-й пункт потребления.

Формальная запись задачи: требуется найти множество переменных , которые минимизируют следующую функцию:

Условия:

Т-задача представляет собой ЗЛП с числом переменных и числом ограничений равенств . Матрица , которая является результатом решения задачи, планом перевозок Т-задачи, а переменные  – перевозки. Матрица  – матрица транспортных издержек.

2.Симплекс-метод розв'язання ЗЛП         

Симплекс-метод позволяет переходить от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, чтобы значение целевой функции непрерывно увеличивалось (уменьшалось). В результате, оптимальное решение находится за конечное число шагов.

Алгоритм симплекс-метода делится на два этапа:

▪ Нахождение опорного начального плана.

▪ Определение оптимального плана либо установление факта неограниченности целевой функции на множестве планов задачи.

Классический алгоритм симплекс-метода используется только для канонической формы записи задачи линейного программирования.

,

где – вектор коэффициентов,

 – вектор неизвестных переменных.

,

где – матрица,  - вектора значений, которые стоят в системе ограничений при ,

- вектор ограничений.

Симплексный метод решения задач линейного программирования для компьютерной обработки использует таблицу, которая может быть составлена следующим образом:

Б

1

2

Где,  – количество уравнений в системе уравнений, может быть равно . – базисное решение.

Предварительно необходимо:

Проанализировать постановку задачи, ее форму, представление. Если задача задана не в канонической форме – преобразовать в каноническую.

Определить начальное допустимое базисное решение задачи.

Ввести в исходную симплекс-таблицу следующие параметры, соответствующие начальному базисному решению.

Записать весовые коэффициенты при переменных (строка -х).

Записать переменные, которые входят в текущий базис (столбец Б).

Заполняем – вектор свободных членов.

Столбец –весовые коэффициенты, которые в целевой функции стоят при  .

Нижняя строка – последняя индексная строка.  – значение целевой функции при текущем базисе.

Оценка ,          

Алгоритм симплекс-метода

Осуществить первый этап, который описан выше, т.е. составить симплекс-таблицу.

Анализируем последнюю индексную строку.

Если в данной индексной строке все дельты больше нуля, то мы нашли оптимальное решение для задачи на максимум.

Для задачи на минимум решение найдено, если все значения дельт будут отрицательные.

Если имеются некоторые -е, которые меньше нуля, и в столбце -ом все элементы , то функция не ограничена сверху на области допустимых решений.

Если имеются-е и в столбцах , соответствующих этим отрицательным оценках, существует хотя бы один элемент , то возможен переход к новому лучшему плану, связанному с большим значением целевой функции.

Вектор , который соответствует переменной, вводимой в базис для улучшения плана, определяется по наименьшей отрицательной оценке . Столбец, содержащий эту оценку, называется направляющим.

Вектор, который нужно вывести из базиса, определяется по формуле: , . Строка называется направляющей. Элемент  – направляющий.

Заполняется таблица, соответствующая новому базисному решению.

Анализируем последнюю строку, в которую внесены, и возвращаемся к пункту 2 алгоритма.

БІЛЕТ №  15

1.  Етапи операційних досліджень.

Первый этап

Семантическая постановка, требующая овеществления, т.е. рализации второго этапа.

  - входные параметры

  - выходные параметры

k - критерий эффективности

  - функция цели

(1),(2),(3) – математические модель задачи

(1),(2) – система ограничений

Третий этап

Заключается в поиске метода решения на математических моделях (1) – (3)

2.  Геометричній метод розв'язання ЗЛП.

Геометрическая интерпретация возможна лишь в том случае, если функция имеет не больше двух переменных, если 3 то может быть найдено решение при построении в трехмерном пространстве. Может быть использована, когда задача задана в каноническом виде (все ограничения - равенства) либо общей форме, которая может быть сведена к канонической форме. ОДР – область допустимых решений находиться в замкнутом выпуклом многоугольнике, границами которых являются граничные значения переменных Xj, если ОДР не является замкнутым многоугольником , то ЗЛП не имеет решения. ЗЛП имеет бесчисленное множество решений, если F(x) параллельна той грани или ребру, которое наиболее удаленно от начала координат и на которой F(x) достигает экстремума.      

Решение ЗЛП графическим методом включает следующие этапы:    

1. На плоскости X10X2 строят прямые из системы ограничений;

2. Определяются полуплоскости;

3. Определяют многоугольник решений;

4. Строят вектор N(c1,c2), который указывает направление целевой функции;

5.Передвигают прямую целевую функцию c1x2 + c2x2 = 0 в направлении вектора N до крайней точки многоугольника решений;  

6. Вычисляют координаты точки и значение целевой функции в этой точке.

БІЛЕТ №  16

1.  Дискретні задачі математичного програмування.

В общем виде задача целочисленного дискретного программирования формулируется следующим образом:

«Найти план  при котором целевая функция

достигает экстремального значения при следующих условиях:

И все или их часть являются целыми числами или могут принимать лишь дискретные значения из определенного допустимого множества».

Обычно различается два класса таких задач (по условию «все или их часть являются целыми числами или могут принимать лишь дискретные значения»):

  1.  Значения переменных должны быть целочисленными, однако на множестве целых чисел они изменяются непрерывно.
  2.  Значения могут изменяться лишь дискретно на множестве целых или нецелых чисел.

В задачах линейного программирования экстремальные значения целевой функции достигаются в вершине выпуклого множества, которое представлено системой ограничений (1), либо в точке, которая является линейной комбинацией вершин.

Для целочисленного или дискретного линейного программирования точкой экстремума может быть любая точка из области допустимых решений. Именно это обстоятельство дало возможность разработать специальные методы.

Группы методов:

  1.  Методы отсечения (метод Гомори).
  2.  Комбинаторные методы (метод ветвей и границ).
  3.  Приближенные методы поиска оптимальных планов.

2.  Симплекс-метод розв’язання ЗЛП.

Симплекс-метод позволяет переходить от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, чтобы значение целевой функции непрерывно увеличивалось (уменьшалось). В результате, оптимальное решение находится за конечное число шагов.

Алгоритм симплекс-метода делится на два этапа:

  1.  Нахождение опорного начального плана.
  2.  Определение оптимального плана либо установление факта неограниченности целевой функции на множестве планов задачи.

Классический алгоритм симплекс-метода используется только для канонической формы записи задачи линейного программирования.

,

где – вектор коэффициентов,

 – вектор неизвестных переменных.

,

где – матрица,  - вектора значений, которые стоят в системе ограничений при ,

- вектор ограничений.

Симплексный метод решения задач линейного программирования для компьютерной обработки использует таблицу, которая может быть составлена следующим образом:

Б

1

2

Где,  – количество уравнений в системе уравнений, может быть равно . – базисное решение.

Предварительно необходимо:

  1.  Проанализировать постановку задачи, ее форму, представление. Если задача задана не в канонической форме – преобразовать в каноническую.
  2.  Определить начальное допустимое базисное решение задачи.
  3.  Ввести в исходную симплекс-таблицу следующие параметры, соответствующие начальному базисному решению.

4 Записать весовые коэффициенты при переменных (строка -х).

5 Записать переменные, которые входят в текущий базис (столбец Б).

6 Заполняем – вектор свободных членов.

7 Столбец –весовые коэффициенты, которые в целевой функции стоят при  .

Нижняя строка – последняя индексная строка.  – значение целевой функции при текущем базисе.

Оценка ,          

Алгоритм симплекс-метода

  1.  Осуществить первый этап, который описан выше, т.е. составить симплекс-таблицу.
  2.  Анализируем последнюю индексную строку.
    1.  Если в данной индексной строке все дельты больше нуля, то мы нашли оптимальное решение для задачи на максимум.
    2.  Для задачи на минимум решение найдено, если все значения дельт будут отрицательные.
  3.  Если имеются некоторые -е, которые меньше нуля, и в столбце -ом все элементы , то функция не ограничена сверху на области допустимых решений.
  4.  Если имеются-е и в столбцах , соответствующих этим отрицательным оценках, существует хотя бы один элемент , то возможен переход к новому лучшему плану, связанному с большим значением целевой функции.
  5.  Вектор , который соответствует переменной, вводимой в базис для улучшения плана, определяется по наименьшей отрицательной оценке . Столбец, содержащий эту оценку, называется направляющим.
  6.  Вектор, который нужно вывести из базиса, определяется по формуле: , . Строка называется направляющей. Элемент  – направляющий.
  7.  Заполняется таблица, соответствующая новому базисному решению.

  1.  Анализируем последнюю строку, в которую внесены, и возвращаемся к пункту 2 алгоритма.

БІЛЕТ №  17

1.  Т-задачі. Методи побудування опорних планів.

Транспортная задача - задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки.

Пусть имеется m пунктов отправления (ПО): , в которых сосредоточены запасы каких-то однородных грузов в количестве соответственно  единиц. Также имеется n пунктов назначения (ПН): , подавших заявки соответственно на  единиц груза. Считаем, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов (сбалансированная транспортная задача):

Известны стоимости  перевозки единицы груза от каждого пункта отправления  до каждого пункта назначения  . Стоимость перевозки нескольких единиц груза пропорциональна их числу. Составляем такой план перевозок, чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок минимальна.

– количество единиц груза, отправляемого из i-го ПО  в j-й ПН . Совокупность чисел () план перевозок, а сами величины  – перевозки.

Необходимо найти такой план перевозок (), при котором целевая функция (суммарная стоимость перевозок) будет минимальной:

и который удовлетворяет следующим ограничениям:

1) Суммарное количество груза, направляемого из каждого ПО во все ПН должно быть равно запасу груза в данном пункте:

2) Суммарное количество груза, доставляемого в каждый ПН из всех ПО, должно быть равно заявке, поданной данным пунктом:

3) Условие неотрицательности:

Решение транспортной задачи разбивается на два этапа:

1) определение исходного опорного решения;

2) построение последовательных итераций – приближение к оптимальному решению.

В настоящее время для построения опорных планов используются

- метод северо-западного угла

- м-д минимального элемента

-м-д двойных меток

-м-д дифференциальных рент

2.  Математичні моделі дискретних ЗЛП.

Многие задачи исследования операций, такие как распределения ресурсов, сетевого планирования и управления, календарного планирования, описываются математическими моделями дискретного программирования.

В задачах дискретного программирования область допустимых решений является невыпуклой и несвязной. Поэтому отыскание решения таких задач сопряжено со значительными трудностями. В частности, невозможно применение стандартного подхода, состоящего в замене дискретной задачи ее непрерывным аналогом, и дальнейшем округлении найденного решения до ближайшего целочисленного.

Таким образом, для решения задач дискретного программирования необходимы специальные методы.

По структуре математической модели задачи дискретного программирования разделяют на следующие основные классы: 1) задачи с неделимостями; 2) экстремальные комбинаторные задачи; 3) задачи на невыпуклых и несвязных областях; 4) задачи с разрывными целевыми функциями.

БІЛЕТ №  18

1.  Математичні моделі операційних задач.

Исследовать можно как саму операцию, так и ее модель. предварительным исследованием модели является исследование самой операции.

Модель нужна для:

1) описания структуры операции, ее особенностей, законов развития и взаимодействия с окружающей средой.

2) управления операцией, определение лучших способов управления при заданных целях и критериях.

3) создания прогноза о прямых и непрямых последствиях реализации какой-то операции.

Существуют модели операций:

1) изоморфные (модель изоморфна, если между моделью и объектом существует взаимно однозначное соответствие);

2) гомоморфные.

Идеальное моделирование включает в себя знаковое моделирование, которое разрабатывает следующие знаковое модели: схемы, графики, формулы, наборы символов, а также совокупность законов, которые работают с данными знаками.

Методика проведения исследования операции (и самой операции, и ее модели):

1. определение цели, целеполагание.

2. определение плана разработки проекта (операции).

3. формулировка проблемы.

4. построение модели.

5. разработка вычислительного метода.

6. разработка технического задания для программирования.

7. программирование и отладка программы.

8. сбор данных (для конкретной ситуации).

9. проверка модели на адекватность.

10. реализация результатов.

Типовые классы задач исследования операций:

- задача управления запасами (распределение ресурсов)

- ремонт и замена оборудования

- задача массового обслуживания

- задача упорядочивания и координации

- задачи выбора маршрута

- задачи поиска

- игровые задачи

- комбинированные задачи.

2.  Методи розв’язання дискретних ЗМП.

1) точные методы, которые включают:

метод отсекающих плоскостей (Гомори),

метод ветвей и границ,

метод последовательного анализа и отсева вариантов,

аддитивний метод и др.;

2) приближенные методы:

метод локальной оптимизации,

модификации точных методов,

методы случайного поиска и эвристические методы,

максимально учитывающие специфику решаемых задач.

БІЛЕТ №  19

1.  Класи операційних задач.

1. Задачи распределения

2. Управления запасами

3. Массового обслуживания

4. Замены

5. Согласования и координации

6. Выбора маршрута

7. Состязательные

8. Поиска

1. Этот класс задач обладает след особенностями:

• Все понятия, используемые просты в плане используемых в них терминов

• Методы и решения хорошо разработаны

• Считается, что в полном объеме присутствуют исходные данные

• Руководители, отвечающие за распределение, обычно мыслят количественными категориями и в них отсутствуют предубеждения операционных исследований

2. Преследуют 2 цели:

• Сколько заказывать или производить?

• Когда заказывать или производить?

3. Этот класс задач связан с наличием клиента, обслуживающего и дисциплиной обслуживания. Проблемами массового обслуживания занимается теория массового обслуживания.

4. Существуют моральное и физическое старение. И задача: выбрать вид и время замены, чтобы эффект был максимальным.

5. В виду сложности современных проектов возникает необходимость согласовывать и координировать управление по частям сложной системы.

6. В анализе и выборе более дешевого маршрута

7. Этот класс задач рассматривает конфликтные ситуации и решается методами теории игр.

8. Этот класс задач занимается сбором и формализацией информ. в организационной системе.

2.  Метод потенціалів розв’язання Т-задач.

Данный метод является одним из эффективных методов решения транспортной задачи по критерию минимизации стоимости перевозок.

Каждому из пунктов при применении данного метода назначается определенный потенциал. Данный потенциал обозначается для пунктов отправки , для пунктов получения - . Потенциалы назначаются только тем пунктам отправки и получения, которые обозначены ненулевыми элементами в матрице опорного плана.

Расчет потенциалов:  ,  ,  . Выбираем величины  и  такие, чтоб выполнялось условие .  – величина тарифа/стоимости соответствующей базовой переменной.

Поскольку число потенциалов равно m+n, а количество базисных переменных m+n-1, то для вычисления величин  и  потребуется решить m+n-1 уравнений с m+n неизвестными. Поэтому одному из потенциалов можно присвоить какое-либо значение, а остальные m+n-1 переменные вычисляются решением системы уравнений следующего вида:

Обычно назначают потенциалы . После вычисления значений  и  вычисляем значения матрицы псевдотарифов, анализируя которую определяем, оптимален ли план или нет.

Матрицу псевдо тарифов вычисляем для свободных элементов опорного плана. Например, . В оценочной матрице на тех местах, где в плане стоят свободные переменные, будут стоять рассчитанные значения .

Анализ матриц псевдотарифов: Если все значения элементов матрицы псевдотарифов неотрицательны, то анализируемый план оптимален.

Если есть отрицательные элементы, то выбираем наибольший по модулю отрицательный элемент и проводим следующие преобразования, связанные с построением цикла, который строится в матрице опорного плана.

Цикл в распределительной таблице (матрице планов) – набор клеток, в которых целесообразно изменять объемы ранее запланированных перевозок, чтобы получить план меньший (не больший стоимости).

Цикл соотносится с клеткой с наибольшим по модулю отрицательным псевдотарифом. Относительно распределения/расположения клеток данного цикла:

  1.  В одном ряду/столбце располагаются две и только две клетки цикла.
  2.  Последняя (завершающая) клетка цикла находится с том же ряду, что и первая (исходная).
  3.  Если условно объединить клетки цикла прямолинейными отрезками, то в каждой следующей клетке выполняется поворот на 90 градусов. При такой  геометрической взаимосвязи между клетками цикла не важно, через сколько базисных либо свободных клеток проходят условные прямолинейные отрезки.

Билет 20

1.Метод Гоморі

Метод отсечения (метод отсекающих плоскостей) основан на поиске оптимального плана без учета условий целочисленности и поочередного введения дополнительных линейных ограничений относительно области допустимых решений исходной задачи.

Существует множество вариантов (алгоритмов решения задач) данным методом.

Дополнительные ограничения имеют следующие свойства:

  1.  Должны быть линейными.
  2.  Отсечение оптимального плана решаемой задачи от множества допустимых планов должно быть выполнено так, чтобы были сохранены все допустимые планы с целочисленными компонентами ЗЦЛП.

Дополнительные ограничения, которые имеют рассмотренные свойства, называются правильными отсечениями.

Алгоритм метода отсечения:

  1.  Применяем симплекс-метод для решения задачи линейного программирования без учета ограничения целочисленности переменных. Если ЗЛП не имеет решения, то и ЗЛЦП не имеет решения. Если среди компонент найденного оптимального плана есть целый числа (и только целые), то задача решена. Если среди компонент найденного оптимального плана есть нецелые числа, то необходимо выполнять пункт 2.
  2.  Среди нецелых компонент необходимо выбрать компоненту с наибольшей дробной частью (если их несколько, то выбираем одну из них) и по соответствующей строке Т-таблицы оптимального нецелочисленного плана записывают условие отсечения

  1.  Построенное неравенство приводим к равенству методом введения дополнительной переменной. Строим новую Т-таблицу.
  2.  Продолжаем решение ЗЛП при дополнительном ограничении. Если полученный оптимальный план будет целочисленным, то решение ЗЦЛП получено. Если нет, то переходим к пункту 2.

Если в процессе решения появится строка с нецелым свободным членом, а остальные коэффициенты этой строки будут целыми, то исходная задача не имеет решения в целых числах.

2.Геометричній метод розв’язання ЗЛП -  

Геометрическая интерпретация возможна лишь в том случае, если функция имеет не больше двух переменных, если 3 то может быть найдено решение при построении в трехмерном пространстве. Может быть использована, когда задача задана в каноническом виде (все ограничения - равенства) либо общей форме, которая может быть сведена к канонической форме. ОДР – область допустимых решений находиться в замкнутом выпуклом многоугольнике, границами которых являются граничные значения переменных Xj, если ОДР не является замкнутым многоугольником , то ЗЛП не имеет решения.       

Решение ЗЛП графическим методом включает следующие этапы: 1. На плоскости X10X2 строят прямые из системы ограничений;  2. Определяются полуплоскости; 3. Определяют многоугольник решений; 4. Строят вектор N(c1,c2), который указывает направление целевой функции; 5.Передвигают прямую целевую функцию c1x2 + c2x2 = 0 в направлении вектора N до крайней точки многоугольника решений;  6. Вычисляют координаты точки и значение целевой функции в этой точке.

Билет 21

  1.   Етапи операційних досліджень.

Первый этап

Семантическая постановка, требующая овеществления, т.е. рализации второго этапа.

  - входные параметры

  - выходные параметры

k - критерий эффективности

  - функция цели

(1),(2),(3) – математические модель задачи

(1),(2) – система ограничений

Третий этап

Заключается в поиске метода решения на математических моделях (1) – (3)

  1.  Методи побудови опорніх планів. –

Пусть имеется m пунктов M: A1A2…Am – ai i=1,m (1) каждом из которых существующие запасы однородного груза. И пусть имеется N: B1 B2…Bn – aj j=1n(2) отправных пунктов в каждый из которых требуется поставить Bj едениц груза.

Каждый из приёмных пунктов подал заявку на приём груза Bj, предполагается, что известна стоимость перевозки i-того груза в j-тый пункт.

Матрица стоимостей перевозок:

C11

C12

..

C1n

C21

C22

C2n

Cm1

Cm2

Cmn

Требуется составить такой план перевозок при котором все грузы были бы вывезены, все заявки удовлетворены и общая стоимость всех перевозок была минимальной.

Ввиду специфика Т-задачи все неоптимальные планы являются допустимыми, а следовательно опорными. Поэтому при решении Т-задач разработаны методы позволяющие сразу найти опорный план.

В настоящее время для построения опорных планов используются

- метод северо-западного угла

- м-д минимального элемента

-м-д двойных меток

-м-д дифференциальных рент

Метод северо-западного угла:

  1.  Определяем элементы матрицы X, начиная с верхнего левого угла. Находим величины . Если , то . И первый столбец закрыт для расчета остальных элементов, т.е., если . Если , то и ,
  2.  Затем вычисляем . При , .
  3.  Процесс продолжается до тех пор, пока на каком-то этапе не исчерпаются все ресурсы и не удовлетворяться все потребности.

Метод потенціалів розв'язання Т-задач

Пусть задана транспортная задача

(2)

Метод потенциалов основывается на следующей теореме: для того что бы допустимый план перевозок Хij был оптимальным необходимо и достаточно что-бы существововали такие потенциалы при кот выполнялись бы следующие соотношения

Vj-Ui=Cij (5) для всех Xij>0

Vj-Ui=<Cij (6) для всех Xij=0

эта теорема основана на двойственной Т-задаче

у Ui Vj – двойственные перем, соответсвенно у ui пунктов отправления и и vj пунктов назначения

Vj=Cij+Ui (региональная цена в пункте назначения - начальная цена в пунктах назначения(за ед товара) + тариф за перевозку)

Что бы перевозки были рентабельными (5). (6)- не рентабельные перевозки.

Алгоритм метода потенциалов сводиться к ряду вычислительных процедур.

Билет 22

  1.    Етапи операційних досліджень

Первый этап

Семантическая постановка, требующая овеществления, т.е. рализации второго этапа.

  - входные параметры

  - выходные параметры

k - критерий эффективности

  - функция цели

(1),(2),(3) – математические модель задачи

(1),(2) – система ограничений

Третий этап

Заключается в поиске метода решения на математических моделях (1) – (3)

  1.  Т-задачі. Математичні моделі. Осболивості моделей Т-задач.

Пусть имеется m пунктов M: A1A2…Am – ai i=1,m (1) каждом из которых существующие запасы однородного груза. И пусть имеется N: B1 B2…Bn – aj j=1n(2) отправных пунктов в каждый из которых требуется поставить Bj едениц груза.

Каждый из приёмных пунктов подал заявку на приём груза Bj, предполагается, что известна стоимость перевозки i-того груза в j-тый пункт.

Матрица стоимостей перевозок:

C11

C12

..

C1n

C21

C22

C2n

Cm1

Cm2

Cmn

Требуется составить такой план перевозок при котором все грузы были бы вывезены, все заявки удовлетворены и общая стоимость всех перевозок была минимальной.

Задачи Т-типа.

Возьмём Xij как искомую переменную – количество единиц отвара для переправки из i-того в j-тый пункт.

X11+X12+…+X1n=a1

X21+x22+…+x2n=a2

……………………………..

Xm1+Xm2+…+Xmn=am (6)

B1

B2

..

Bj

Bn

a

A1

X11

X12

X1j

X1n

a1

A2

X21

X22

X2j

X2n

a2

Ai

Xi1

Xi2

Xij

xin

ai

Am

Xm1

Xm2

Xmj

Xmn

am

B

B1

B2

Bj

….

bn

Таблица 1- таблица планов и таблица стоимостей = N-=C-

X11+x21+…+xm1=b1

X12+x22+…+xm2=b2

…..

X1n+x2n+…+xmn=bn  (7)

Функция (5) – линейная форма.

В отличие от общей ЗЛП в системах ограничений (6) и (7) все коэффициенты при неизвестный равны единицам. С другой стороны ограничения (6) и (7) – линейные формы.

В отличие от общей задачи линейного программирования где выдвигалось требование не отрицательности искомых переменны в Т-задачи это требование отсутствует, поскольку по физическому смыслу все искомые переменные не могут быть <0, поскольку это грузы.

Ввиду наличия (4) система ограничений (6) и (7) с учётом 4 линейно зависима, а для решения задачи нам необходимо выбрать в качестве базисных переменных только те, которые принадлежат линейно независимых уравнений, если общее число ограничений n+m, то числе независимых будет на единицу меньше:

r=m+n-1 (8)

Следовательно такое же число будет и базисных переменных

Если рассмотреть таблицу Т1, то в ней количество переменных равно nxm число базисных переменных которое необходимо для решения равно r. Тогда число свободные переменные:

k = mn-(m-n-1) = (m-1)(n-1)  (9)

Следовательно при решении задачи нам достаточно найти r неизвестных которые будут >0, а все остальные(k), свободные клеточки естественно будут равны 0.

Если мы находим какое-то решение (любая совокупность базисных переменных) мы называем его опорным планом, так же как и в общей ЗЛП. В Т-задаче может быть множество опорных планов.

Из всей совокупности опорных планов оптимальным будет тот который соответствует функции цели (5), то есть даёт общую минимальную стоимость перевозок.

Если сопоставить ЗЛП и Т-задачу, то можно сделать такой вывод, что в Т-задаче по отношению к общей задаче может быть большое число свободных переменных которые необходимо от итерации к итерации изымать из базиса и при большой размерности задачи это может потребовать огромного числа итераций, что делает симплекс метод в данной задаче неэффективным, кроме того общей задачи ОЗЛП при расчёте симплекс таблиц используют элементы матрицы Аij, здесь все эти элементы равны 1, что так же делает симплекс метод неэффективным, поэтому для решения Т-задач используются другие методы.

Ввиду специфика Т-задачи все неоптимальные планы являются допустимыми, а следовательно опорными. Поэтому при решении Т-задач разработаны методы позволяющие сразу найти опорный план.

В настоящее время для построения опорных планов используются

- метод северо-западного угла

- м-д минимального элемента

-м-д двойных меток

-м-д дифференциальных рент

Билет 23

  1.  Методологія операційних досліджень.

Исследование операций, как методологическая дисциплина, выросла из недр других наук. Основной ее особенностью является системный характер.

Особенности исследования операций:

  1.  Системный подход
  2.  Использование комплексных научных коллективов
  3.  Применение новейших научных методов к задачам управления
  4.  Системный анализ – методология решения сложных организационных задач. Суть его сводится к учету постоянных взаимосвязей и взаимовлияний отдельных частей организации в интересах всей организации. Поэтому, чем масштабней задача, тем нужнее системный подход.
  5.  Использование комплексных научных коллективов.

При анализе сложных организационных задач необходимо исследовать общую проблему различных точек зрения. Для того чтобы увязать каждую из них между собою и выработать общее решение.

  1.  Сама дисциплина предполагает в методологии решения задач использовать новейшие научные достижения.

Методология – последовательность действий

Исследование операций предполагает этапы или последовательность исслед задач

  •  Постановка задачи
  •  Построение математической модели
  •  Поиск решения и решение поставленной задачи
  •  Проверка на адекватность
  •  Корректировка решения
  •  Реализация решения

Любое решение начинается с формулировки проблемы и постановки задачи. Это сводится к системному анализу особенностей задачи. Определение параметров и характеристик, выявлению взаимосвязей между ними, формулировки критерию эффективности.

Етапи операційних досліджень

Первый этап

Семантическая постановка, требующая овеществления, т.е. рализации второго этапа.

  - входные параметры

  - выходные параметры

k - критерий эффективности

  - функция цели

(1),(2),(3) – математические модель задачи

(1),(2) – система ограничений

Третий этап

Заключается в поиске метода решения на математических моделях (1) – (3)

  1.  Симплекс-метод розв’язання ЗЛП.

Симплекс-метод позволяет переходить от одного допустимого базисного решения к другому, причем так, чтобы значение целевой функции непрерывно увеличивалось (уменьшалось). В результате, оптимальное решение находится за конечное число шагов.

Алгоритм симплекс-метода делится на два этапа:

  1.  Нахождение опорного начального плана.
  2.  Определение оптимального плана либо установление факта неограниченности целевой функции на множестве планов задачи.

Классический алгоритм симплекс-метода используется только для канонической формы записи задачи линейного программирования.

,

где – вектор коэффициентов,

 – вектор неизвестных переменных.

,

где – матрица,  - вектора значений, которые стоят в системе ограничений при ,

- вектор ограничений.

Симплексный метод решения задач линейного программирования для компьютерной обработки использует таблицу, которая может быть составлена следующим образом:

Б

1

2

Где,  – количество уравнений в системе уравнений, может быть равно . – базисное решение.

Предварительно необходимо:

Проанализировать постановку задачи, ее форму, представление. Если задача задана не в канонической форме – преобразовать в каноническую.

Определить начальное допустимое базисное решение задачи.

Ввести в исходную симплекс-таблицу следующие параметры, соответствующие начальному базисному решению.

Записать весовые коэффициенты при переменных (строка -х).

Записать переменные, которые входят в текущий базис (столбец Б).

Заполняем – вектор свободных членов.

Столбец –весовые коэффициенты, которые в целевой функции стоят при  .

Нижняя строка – последняя индексная строка.  – значение целевой функции при текущем базисе.

Оценка ,          

Алгоритм симплекс-метода

Осуществить первый этап, который описан выше, т.е. составить симплекс-таблицу.

Анализируем последнюю индексную строку.

Если в данной индексной строке все дельты больше нуля, то мы нашли оптимальное решение для задачи на максимум.

Для задачи на минимум решение найдено, если все значения дельт будут отрицательные.

Если имеются некоторые -е, которые меньше нуля, и в столбце -ом все элементы , то функция не ограничена сверху на области допустимых решений.

Если имеются-е и в столбцах , соответствующих этим отрицательным оценках, существует хотя бы один элемент , то возможен переход к новому лучшему плану, связанному с большим значением целевой функции.

Вектор , который соответствует переменной, вводимой в базис для улучшения плана, определяется по наименьшей отрицательной оценке . Столбец, содержащий эту оценку, называется направляющим.

Вектор, который нужно вывести из базиса, определяется по формуле: , . Строка называется направляющей. Элемент  – направляющий.

Заполняется таблица, соответствующая новому базисному решению.

Анализируем последнюю строку, в которую внесены, и возвращаемся к пункту 2 алгоритма.

Билет 24

  1.  Основні поняття та визначення курсу «Дослідження операцій».

Операция – любое мероприятие или же комплекс действий, объедененный единым замыслом и направленный на достижение единой цели. Чисто организационное действие.

Операция оценивается эффективностью, под которой понимают степень ее приспособленности к выполнению стоящий перед ней задач.

Оперирующая сторона – совокупность лиц и технических устройств, которые в данной операции должны достичь определенной цели. Лиц и устройств может быть несколько, и они могут преследовать разные цели.

Стратегии – те или иные способы использования ресурсов. Стратегиями называют допустимые способы использования оперирующей стороной активных средств, которые есть в ее распоряжении.

Реализация той или иной допустимой стратегии: Оценка стратегий для их сравнения осуществляется при помощи определенных критериев. Эти критерии – критерии эффективности (критерии качества, оптимальности). Критерий оптимальности есть математическим выражением цели операции, он дает возможность количественно оценить степень достижения цели.

Состояние операции – совокупность параметров, которые определяют данную операцию (совокупность характеристик), и которые обозначают объективное состояние дел на данный момент.

Под исследованием операций можно понимать применение математических количественных методов для обоснования решений во всех областях целенаправленной человеческой деятельности.

Решение (как результат) – конкретный набор значений контролируемых параметров, которые получены в результате анализа моделей операций. Решений задач исследования операций может быть много.

Оптимальное решение – такое решение, которое по тому или иному критерию лучше, чем  остальные.

  1.  Методі розв’язання дискретних ЗЛП.

1) точные методы, которые включают:

метод отсекающих плоскостей (Гомори),

метод ветвей и границ,

метод последовательного анализа и отсева вариантов,

аддитивний метод и др.;

2) приближенные методы:

метод локальной оптимизации,

модификации точных методов,

методы случайного поиска и эвристические методы,

максимально учитывающие специфику решаемых задач.

Метод Гоморі

Метод отсечения (метод отсекающих плоскостей) основан на поиске оптимального плана без учета условий целочисленности и поочередного введения дополнительных линейных ограничений относительно области допустимых решений исходной задачи.

Существует множество вариантов (алгоритмов решения задач) данным методом.

Дополнительные ограничения имеют следующие свойства:

  1.  Должны быть линейными.
  2.  Отсечение оптимального плана решаемой задачи от множества допустимых планов должно быть выполнено так, чтобы были сохранены все допустимые планы с целочисленными компонентами ЗЦЛП.

Дополнительные ограничения, которые имеют рассмотренные свойства, называются правильными отсечениями.

Алгоритм метода отсечения:

  1.  Применяем симплекс-метод для решения задачи линейного программирования без учета ограничения целочисленности переменных. Если ЗЛП не имеет решения, то и ЗЛЦП не имеет решения. Если среди компонент найденного оптимального плана есть целый числа (и только целые), то задача решена. Если среди компонент найденного оптимального плана есть нецелые числа, то необходимо выполнять пункт 2.
  2.  Среди нецелых компонент необходимо выбрать компоненту с наибольшей дробной частью (если их несколько, то выбираем одну из них) и по соответствующей строке Т-таблицы оптимального нецелочисленного плана записывают условие отсечения

  1.  Построенное неравенство приводим к равенству методом введения дополнительной переменной. Строим новую Т-таблицу.
  2.  Продолжаем решение ЗЛП при дополнительном ограничении. Если полученный оптимальный план будет целочисленным, то решение ЗЦЛП получено. Если нет, то переходим к пункту 2.

Если в процессе решения появится строка с нецелым свободным членом, а остальные коэффициенты этой строки будут целыми, то исходная задача не имеет решения в целых числах.

Билет 25

  1.  Задачі лінійного програмування з штучною базою

Если система ограничений ЗЛП представлена неравенствами вида  и равенствами, то опорный план не может быть найден. При применении метода искусственного базиса, в систему ограничений вводится m дополнительных переменных. Данные переменные вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M (в задаче минимизации – с большими положительными M). Таким образом, формируется новая ЗЛП. В систему ограничений данные переменные вводятся без буквы M.

В общем случае, если ЗЛП имеет общий вид (имеются все виды ограничений), то после приведения модели к каноническому виду, искусственные переменные вводятся лишь в те ограничения, где в исходной системе были знаки  при всех положительных компонентах вектора свободных членов. Выбрав в качестве начального базиса векторы, соответствующие введенным искусственным переменным, решается M-задача симплекс методом.

Если в оптимальном решении М-задачи нет искусственных переменных, это решение и есть оптимальное для исходной задачи. Если же в оптимально решении М-задачи есть хоть одна искусственная переменная, отличная от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и задача неразрешима.

  1.  Метод північно-західного кута.

Метод северо-западного угла.

  1.  Определяем элементы матрицы X, начиная с верхнего левого угла. Находим величины . Если , то . И первый столбец закрыт для расчета остальных элементов, т.е., если . Если , то и ,
  2.  Затем вычисляем . При , .
  3.  Процесс продолжается до тех пор, пока на каком-то этапе не исчерпаются все ресурсы и не удовлетворяться все потребности.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27230. Продумайте методику работы с понятиями разной широты обобщения в зависимости от выбранного типа урока истории 23 KB
  Виды понятий Пути формирования понятий ИНДУКТИВНЫЙ Изучение фактов формирование представлений Выделение существенных признаков понятий Определение понятия Применение ДЕДУКТИВНЫЙ: сначала дается теория затем понятия раскрываются при помощи множества различных фактов постепенно обогащаются из темы ктеме конкретизируются фактическим материалом.
27231. Предложите приемы проблемного обучения на конкретном уроке истории 23 KB
  Предложите приемы проблемного обучения на конкретном уроке истории ПРОБЛЕМНОЕ ОБУЧЕНИЕ организованный преподавателем способ активного взаимодействия субъекта с проблемнопредставленным содержанием обучения в ходе которого он приобщается к объективным противоречиям научного знания и способам их решения. Достоинства проблемного обучения: 1.
27232. Покажите приемы использования метода Шаталова на уроке истории 23 KB
  Покажите приемы использования метода Шаталова на уроке истории КОНСПЕКТ представляет собой наглядную схему в которой отражены подлежащие усвоению единицы информации представлены различные связи между ними а также введены знаки напоминающие о примерах опытах привлекаемых для конкретизации абстрактного материала. Таким образом опорный конспект – система опорных сигналов в идее краткого условного конспекта представляющего собой наглядную конструкцию заменяющую систему фактов понятий идей как взаимосвязанных элементов целой части...
27233. Продемонстрируйте возможности использования проектного обучения на уроке истории 24 KB
  Разработка проектного задания которая может включать публикации для родителей или какойлибо другой аудитории с целью распространения информации о начале проекта его целях и задачах информацией о возможной помощи родителей своим детям. Для успешного завершения проекта группы должны иметь равноценный состав.Разработка проекта.Оформление результатов проекта.
27235. Определите возможности использования дебатов на уроке истории 24.5 KB
  определите возможности использования дебатов на уроке истории ДЕБАТЫ чётко структурированный и специально организованный публичный обмен мыслями между двумя сторонами по актуальным темам. Классификация дебатов на уроках истории: а проблемные дебаты предусматривают знакомство участников с историографическими концепциями затрагивают ключевые дискуссионные проблемы например Роль варягов в образовании Древнерусского государства Влияние ордынского ига на историческое развитие Руси; б экспрессдебаты по минипроблемам дебаты в...
27237. Дайте порівняльну характеристику основних ринкових структур (моделей ринку) 18.7 KB
  Під яку з цих ринкових класифікацій підлягає: комунальне господарство міста метрополітен кабельне TV районна лікарня комерційний банк кав’ярня перукарня Характерні риси основних типів ринку Чиста конкуренція Монополія Монополістична конкуренція Олігополія Кількість фірм Дуже багато Одна Багато Декілька Тип продукту Однорідний Унікальний немає замінювачів Диференційо ваний Однорідний або стандартизов Контроль за ціною Відсутній Значний Деякий Обмежений взаємозалежи Умови входу і виходу Дуже легкі Заблоковано Досить легкі Істотні...
27238. Охарактеризуйте досконалу (чисту) конкуренцію. В чому полягає специфіка ціноутворення в умовах досконалої конкуренції 14.55 KB
  У другому випадку мінімізує збитки якщо виробляє продукцію. У третьому фірма мінімізує збитки якщо закриває підприємство. Фірма мінімізує свої збитки коли виробляє обсяг продукції за якого загальні витрати перевищують загальний виторг на мінімальну величину. Якщо загальний виторг не перевищує загальних змінних витрат за будьякого обсягу виробництва фірма мінімізує збитки призупинивши виробництво продукту.