11839

Демонстрування рівняння Бернуллі

Лабораторная работа

Физика

Демонстрування рівняння Бернуллі. Мета роботи Демонстрування рівняння Бернуллі побудова геометричної п’єзометричної та напірної ліній визначення втрат напору на окремих ділянках трубопроводу. 1. Загальні положення Рівняння Бернуллі є основним рівнянням гід...

Украинкский

2013-04-12

497 KB

19 чел.

Демонстрування рівняння Бернуллі. 

Мета роботи

Демонстрування рівняння Бернуллі, побудова геометричної, п’єзометричної та напірної ліній, визначення втрат напору на окремих ділянках трубопроводу.

1. Загальні положення

Рівняння Бернуллі є основним рівнянням гідродинаміки, яке встановлює взаємозв’язок між геометричним положенням центра ваги рухомих частинок рідини, тиском і швидкістю руху цих частинок .

1.1. Рівняння Бернуллі для стаціонарного руху елементарної струминки рідини

Теоретичні дослідження руху рідини часто зводять до дослідження абстрактної моделі нев’язкої (ідеальної) рідини, яка характеризується відсутністю внутрішнього тертя при її русі та абсолютною нестисливістю. Це спрощує розв’язування різноманітних задач гідродинаміки.

Виділимо в рухомій рідині трубку течії, вмістом якої є елементарна струминка ідеальної рідини  і положення якої в просторі при стаціонарному русі фіксоване (рис.1). Обмежимо певну елементарну масу рідини dm двома перерізами 1-1 і 2-2, в яких відповідно тиски і швидкості дорівнюють p1, p2 і u1, u2. Висоту розміщення геометричного центра ваги першого перерізу з площею d1, відраховану від довільної горизонтальної площини порівняння О–О, позначимо через z1, а другого перерізу з площею d2 – через z2.

Рис.1. Схема трубки течії

За безмежно малий проміжок часу dt виділена елементарна маса рідини під дією зовнішніх сил переміститься  в положення між перерізами 1'-1' і 2'-2'. Маса рідини в об’ємі між перерізами 1–1 і 1'–1' дорівнює u1d1dt, а в об’ємі 2–2 і 2'–2'u2d2dt, де  питома маса (густина) рідини.

Оскільки маса при цьому не змінилась, то очевидно, що із закону збереження маси

dm = u1d1dt = u2d2dt = const .

(1)

Застосуємо до виділеного об’єму рідини теорему про зміну кінетичної енергії, яку можна сформулювати так: робота сил, прикладених до тіла, дорівнює зміні кінетичної енергії цього тіла. Такими силами в даному випадку є сила тиску і сила тяжіння.

Робота сил тиску p дорівнює:

dAp = p1 u1d1dt – p2u2d2dt,

(2)

а робота сил тяжіння dAg:

g = (z1–z2)gdm,

(3)

де  g – прискорення вільного падіння: g = 9,81 м/с2.

В свою чергу приріст кінетичної енергії

.

(4)

Отже, на основі (2), (3) і (4) теорема про зміну кінетичної енергії запишеться у вигляді

(p1 u1d1– p2u2d2 )dt + (z1–z2)gdm = .

      (5)

Поділивши почленно ліву і праву частину рівняння (5) на dm, з врахуванням (1) після переносу величин з індексом 1 в одну сторону, а з індексом 2 в іншу, отримаємо:

.

(6)

Рівняння (6) можна переписати в іншому вигляді, розділивши його на  g , тоді

,

(7)

де – питома вага рідини:. Для води  = 9810 Н/м3 = 1000 кгс/м3 = 1 г·с/см3 .

Рівняння (6) та (7) називають рівнянням Бернуллі для елементарної струминки ідеальної рідини при її стаціонарному русі. Воно було одержане відомим вченим Д. Бернуллі в 1738 р.

Зазначимо, що константа в рівнянні Бернуллі стосується тільки даної струминки. Для іншої струминки вона може мати інше значення.

Як видно з виведення, рівняння Бернуллі у формі (6) є рівнянням енергії, що припадає на одиницю маси рідини і розмірність кожного члена є Дж/кг. В цьому можна переконатись, виконавши відповідні дії з розмірностями усіх трьох величин:

.

;

;

Рівняння Бернуллі у формі запису (7) є рівнянням енергії, що припадає на одиницю ваги рідини. Енергію одиниці маси або ваги рідини називають питомою енергією. Отже, окремі члени рівняння Бернуллі у формі запису (6) або (7) характеризують енергію, віднесену відповідно до одиниці маси або ваги рідини:

gz , z  – питома потенціальна  енергія положення;

– питома потенціальна енергія тиску;

– питома кінетична енергія.

При цьому сума  або  означає питому потенціальну енергію, віднесену відповідно до одиниці маси або ваги рідини. Таким чином, з енергетичної точки зору рівняння Бернуллі для елементарної струминки ідеальної рідини виражає закон збереження енергії.

Рівнянню Бернуллі у вигляді (7) можна дати також геометричну інтерпретацію, оскільки кожний член цього рівняння має розмірність довжини. З цієї точки зору величини називаються:

z – геометричний напір або висота положення;

– п’єзометрична висота; сума  називається п’єзометричним або гідростатичним напором;

– швидкісний напір або висота швидкісного напору.

Сума цих трьох складових  називається повним або гідродинамічним напором:

(8)

При русі реальної (в’язкої) рідини сумарна величина питомої енергії зменшується вздовж течії, тому що частина її витрачається на подолання гідравлічного опору, спричиненого силами в’язкісного тертя. Рівняння Бернуллі для елементарної струминки реальної рідини записується у вигляді:

(9)

(10)

де h1-2 – втрати напору (енергії) на подолання сил тертя (в’язкості) при русі елементарної струминки реальної рідини між двома перерізами. Строго кажучи, механічна енергія не втрачається, а в результаті дій сил тертя переходить у теплову енергію. Цей процес є незворотнім і називається дисипацією (розсіюванням) механічної енергії. Отже, рівняння Бернуллі у формі запису (9) або (10) називають також  рівнянням балансу енергії.

Як видно з рівняння (10), повна питома енергія або гідродинамічний напір елементарної струминки реальної рідини зменшується вздовж течії, тобто:

Hп2 = Hп1 – h1-2.

Геометричне місце точок верхніх кінців відрізків суми  називається п’єзометричною лінією, а зміна п’єзометричної лінії  на одиницю довжини називається п’єзометричним похилом і виражається залежністю:

(11)

де dlнескінчено малий відрізок шляху вздовж напрямку руху елементарної струминки рідини.

Геометричне місце точок верхніх кінців відрізків суми  називається напірною лінією, а її зміна на одиницю довжини – гідравлічним похилом:

                                                              (12)

Геометричний похил:                                                                                (13)

1.2. Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини

В різних точках живого перерізу потоку частинки рідини характеризуються різною питомою енергією. Для визначення сумарної енергії потоку рідини у будь-якому живому перерізі треба просумувати енергію всіх елементарних струминок у даному поперечному перерізі. Для цього запишемо рівняння нерозривності струминки

dQм = dQ=ud,

де dQм , dQвідповідно елементарна масова і об’ємна витрата.

Тоді добуток повної питомої енергії потоку на величину масової витрати

визначає енергію струминки, що проходить через даний переріз за одиницю часу (тобто потужність елементарної струминки).

Повна потужність потоку

(14)

або

,

(15)

де Еn , Ек - відповідно повна потенціальна і повна кінетична енергія потоку рідини, що протікає крізь вибраний живий переріз за одиницю часу. Якщо рух рідини є паралельноструминним або кут розходження між сусідніми струминками невеликий і кривизна струминки незначна (так званий плавнозмінний рух), то у цьому перерізі має місце гідростатичний розподіл тисків, тобто для всіх точок живого перерізу потоку можна прийняти:

.

(16)

Оскільки об’ємна витрата потоку , а Qм=ρQ,то

.

(17)

Для визначення кінетичної енергії Ек треба знати закон розподілу швидкостей у живому перерізі потоку, який у загальному випадку невідомий. Представимо другий вираз у формулі (15) у вигляді

.

(18)

Урахувавши, що середня швидкість , помножимо і поділимо його на добуток V3, де V – середня швидкість руху рідини. Отримаємо

.

(19)

Позначивши далі

,

(20)

замість (17) одержимо

.

(21)

Отже, повна потужність потоку

,

(22)

а питома енергія  потоку, віднесена до одиниці маси:

.

(23)

Коефіцієнт враховує нерівномірність розподілу швидкостей у живому перерізі потоку і називається коефіцієнтом кінетичної енергії або коефіцієнтом Коріоліса. Чисельно  дорівнює відношенню фактичної кінетичної енергії потоку рідини до кінетичної енергії, визначеної за середньою швидкістю. Для основних випадків руху рідини в трубах (тобто при турбулентному режимі)  = 1,01...1,10 і більше в залежності від ступеня турбулентності (в інженерних розрахунках часто приймають = 1). При ламінарному режимі руху в круглоциліндричних трубах  = 2.

Таким чином, рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини (так зване узагальнене рівняння Бернуллі) записується у вигляді:

(24)

або

(25)

де hw,1-2 – втрати питомої енергії (повного напору) для потоку рідини між вибраними перерізами.

При певних умовах енергія рідини може переходити з одного стану в інший. Наприклад, при звуженні потоку частина потенціальної енергії тиску переходить у кінетичну енергію, а при розширенні потоку – навпаки. Це чітко підтверджується при проведенні даної лабораторної роботи.

Рівнянню Бернуллі, записаному у вигляді (25), можна надати геометричну інтерпретацію. За початок відліку приймають довільно вибрану горизонтальну площину порівняння 0–0 (рис. 2). Від неї відкладають по вертикалі спочатку значення висоти положення z, потім послідовно п’єзометричну висоту  та висоту швидкісного напору , і одержують повний напір у даному перерізі . З’єднавши кінці відрізків, що зображають відповідні напори, одержимо три лінії: лінію геометричного напору або висоти положення (вісь трубопроводу); лінію п’єзометричну (при цьому п’єзометрична висота визначається відрізком, обмеженим знизу лінією геометричного напору, а зверху – п’єзометричною лінією); лінію повного напору (при цьому швидкісний напір визначається відрізком між лінією повного і п’єзометричного напорів). Оскільки повна питома енергія вздовж напрямку руху зменшується, то і лінія повного напору буде завжди знижуватись у напрямку руху рідини. Зменшення питомої енергії потоку не означає обов’язкове зменшення потенціальної енергії, тому п’єзометрична лінія, яка на прямолінійних ділянках трубопроводу та в місцях звуження спадає, у місцях розширення потоку може підніматися вверх за рахунок  переходу питомої кінетичної енергії в питому потенціальну енергію тиску.

Різниця між значеннями повного напору  у двох перерізах  дорівнює сумарним втратам напору hw,1-2 між вибраними перерізами.

2. Опис лабораторної установки

Лабораторна установка складається з послідовно з’єднаних труб різних діаметрів, що складають 7 розрахункових ділянок (рис. 2). На початку і в кінці кожної ділянки за допомогою штуцерів та імпульсних трубок приєднано п’єзометри для вимірювання п’єзометричної висоти (на першій ділянці п’єзометр приєднано тільки в кінці ділянки). Для зручності проведення вимірів всі п’єзометри виведені на п’єзометричний стенд.

Вода у дослідний трубопровід надходить з напірного резервуару. Витрата води  регулюється вентилями, встановленими на вході та на виході з установки. Для визначення об’єму рідини використовується мірний бак.

3. Послідовність виконання роботи

1. За допомогою вентиля на вході установки задають певний гідравлічний режим руху води в трубопроводі. Через деякий проміжок часу, необхідний для створення стаціонарного руху, знімають покази п’єзометрів і записують їх у журнал спостережень.

2. Для визначення середніх  швидкостей і швидкісних напорів знаходять об’ємну витрату потоку Q за формулою:

                                                  ,                                            (26)

де W  об’єм рідини в см3, що витікає з трубопроводу в мірний бак за час t.

3. З рівняння витрати Q=V визначають середню швидкість руху рідини в характерних живих перерізах:

 ,                                            (27)

де і – площа живого перерізу потоку, см2, яку знаходимо за формулою .

4. Обчислюють значення швидкісного напору для кожної ділянки трубопроводу. Коефіцієнт кінетичної енергії приймають α = 1,05.

Після проведених вимірів та розрахунків, результати яких записують у журнал спостережень, будують графік, що характеризуватиме співвідношення напорів в тому чи іншому перерізі потоку.

Значення z для кожного перерізу, а також діаметри і довжини ділянок наводяться на схемі лабораторної установки (рис. 2).

Графік викреслють на міліметровому папері в масштабі: горизонтальний Мг=1:40, вертикальний – Мв=1:20. Для більшої наочності лінії повного та п’єзометричного напорів зображують у різних кольорах.

4. Порядок побудови графіка

1. Вибирають площину порівняння 0–0 (в даній роботі - це площина підлоги лабораторії, рис. 2).

2. Від площини порівняння відкладають значення z1 (для перерізів 1-8)  і z2 (для перерізів 9-13) і викреслюють вісь трубопроводу, яка є одночасно лінією геометричного напору.

3. Діаметри трубопроводів на ділянках зображують у масштабі відповідно до їх реальних значень.

4. Від осі трубопроводу в кожному з перерізів відкладають значення  і, з’єднавши точки, одержують  лінію п’єзометричного напору.

5. Відклавши для кожного з перерізів уверх від п’єзометричної лінії значення  і з’єднавши між собою точки, отримують лінію повного напору як суму трьох величин .


Журнал  лабораторної  роботи

Ділянки

VII

П’єзометри

13

2,5

45

Витрата  Q =

12

VI

11

2,0

10

V

9

3,2

8

25

IV

7

2,0

6

ІІІ

5

4,0

4

ІІ

3

2,5

2

І

1

5,0

Роз-мір-

ність

см

см2

см/с

см

см

см

см

Об’єм  W = _________ cм3     

Час  витікання  t = ____ c

Величина

Діаметр перерізу

d

Площа живого перерізу

Середня швидкість

V= Q/

Геометричний напір z

П’єзометричний напір р/

Швидкісний напір αV2/(2g)

Повний напір

Н=z+(р/)+V2/(2g)

5. Контрольні запитання

  1.  Що таке ідеальна рідина?
  2.  Дайте визначення лінії течії, елементарної струминки.
  3.  Що називається живим перерізом струминки та потоку рідини?
  4.  Як записується рівняння Бернуллі для елементарної струминки ідеальної рідини?
  5.  Як записується рівняння Бернуллі для елементарної струминки і для потоку реальної рідини?
  6.  Дайте фізичне тлумачення кожного члена, що входить в рівняння Бернуллі.
  7.  Геометрична інтерпретація рівняння Бернуллі.
  8.  Що означає термін "повна питома енергія рідини"?
  9.  Якою величиною позначається різниця повної питомої енергії між двома перерізами потоку рідини?
  10.  Що таке п’єзометрична лінія?
  11.  Чи на ділянці трубопроводу однакового діаметру лінія повного напору буде паралельною до п’єзометричної лінії? Чому?
  12.  Що таке п’єзометричний похил?
  13.  Що характеризує гідравлічний похил?
  14.  Чим зумовлені втрати енергії в потоці реальної рідини?
  15.  Запишіть рівняння нерозривності для елементарної струминки та для потоку рідини.
  16.  Вкажіть  формулу для визначення витрати та середньої швидкості руху потоку рідини.
  17.  Умови застосування та практичного використання рівняння Бернуллі.


Література

  1.  Левицький Б.Ф., Лещій Н.П. Гідравліка. Загальний курс. – Львів: Світ, 1994.– 264 с.– Стор. 97-100, 129-134.
  2.  Константинов Ю.М., Гіжа О.О. Технічна механіка рідини і газу. – К.: Вища школа, 2002.– 398 с. – Стор. 65-88.
  3.  Большаков В.А., Попов В.Н. Гидравлика. Общий курс.– К.: Вища школа, 1989.– 215 с. – Cтор. 61-64, 68-74.
  4.  Справочник по гидравлике / Под ред. В.А.Большакова. – К.: Вища школа, 1984.– 343 с. – Стор. 31-32.
  5.  Чугаев Р.Р. Гидравлика (Техническая механика жидкости). – Л.: Энергоиздат, Ленинград. отд-ние, 1982. – 672 с. – Стор. 95-120.
  6.  Сльоз Л.Г. Технічна механіка рідини і газу. – Макіївка: ДонДАБА, 2003. – 185 с. – Стор. 68-76.
  7.  Альтшуль А.Д., Киселев П.Г. Гидравлика и аэродинамика. – М.: Стройиздат, 1975. – 323 с. – Стор. 68-76, 150-159.
  8.  Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика: Учебник для вузов. – М.: Машиностроение, 1987. – 440 с. – Стор. 86-89, 101-117.

Навчальне видання

Демонстрування рівняння Бернуллі

Методичні вказівки

до лабораторної роботи № 2 з дисциплін “Технічна механіка рідин і газів”, “Гідрогазодинаміка”, “Гідравліка, гідро- та пневмоприводи”

для студентів базових напрямів “Водні ресурси”, “Будівництво”, “Енергетика”, “Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології”, “Інженерна механіка”

стаціонарної та заочної форм навчання

Укладачі     

Пасічнюк Андрій Семенович

Каращенко Вячеслав Миколайович

Тазалова Неоніла Миколаївна

Редактор

Комп’ютерне складання

Здано у видавництво ХХ.ХХ.ХХХХ. Підписано до друку ХХ.ХХ.ХХХХ.

Формат 70100/16. Папір офсетний. Друк на різографі.

Умовн. друк. арк. ХХ.ХХ. Обл.-вид. арк. ХХ.ХХ.

Наклад ... прим. Зам. .......

Видавництво Національного університету "Львівська політехніка"

Поліграфічний центр

Видавництва Національного університету "Львівська політехніка"

вул. Ф. Колесси, 2, 79000, Львів


EMBED Рисунок AutoCAD 14  

EMBED Рисунок AutoCAD 14  


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85270. Пассивные звуковые извещатели для блокировки остекленных конструкций. Принцип действия и технические характеристики 350.5 KB
  Пассивные звуковые извещатели для блокировки остекленных конструкций появились сравнительно недавно и явились следствием исследований звуковых колебаний возникающих при разбитии стекла. Анализ звуковых спектров промышленных шумов акустических сигналов возникающих при разбитии стекла ударах...
85271. Пассивные оптико-электронные инфракрасные извещатели. Принцип действия и технические характеристики 184 KB
  Таким образом в такой системе каждая линза формирует две элементарные чувствительные зоны свою для каждого чувствительного элемента. Необходимо применять извещатели защищенные от проникновения внутрь насекомых а также по требованию заказчика и подразделений охраны обеспечивать герметизацию мест...
85273. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ (ПОЛЕВЫЕ) МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПОЖАРА В ПОМЕЩЕНИИ. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИИ ПОЛЕВОЙ МОДЕЛИ 208 KB
  Наиболее детальный уровень моделирования могут обеспечить, в принципе, полевые модели пожара. Эти модели называют дифференциальными. Полевые модели базируются на использовании дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих пространственно-временное распределение температур...
85275. С. Николаев «Почему «под-ушка», а не «под-голова» или немножко словесной эквилибристики». Я. Козловский «О словах разнообразных, одинаковых, но разных». Спустя рукава 46.5 KB
  Познакомить со статьями С. Николаева, Я. Козловского; учить понимать логическое и образное содержание, находить главное, ориентироваться в тексте; продолжить формирование коммуникативных компетенций, познавательных умений детей, развивать критическое мышление, познавательные процессы в их взаимосвязи...
85276. Падежные окончания имен существительных 1 склонения 44 KB
  Цель: закрепить и обобщить знания учащихся об именах существительных 1 склонения; формировать навык проверки безударных окончаний имен существительных 1 склонения; повторить и закрепить правописание существительных женского рода на –ия (акация, армия), правописание окончаний в родительном, дательном...
85277. Несклоняемые имена существительные. Три склонения имен существительных 48.5 KB
  Цель: познакомить с несклоняемыми именами существительными; формировать умение склонять имена существительные; формировать навыки определения падежа имени существительного по вопросу и предлогу; углубить знания детей об имени существительном как части речи. Чему будем учиться на уроке...
85278. Предложение. Виды предложений по цели высказывания 36.5 KB
  Цель: повторить и обобщить знания учащихся об основных признаках предложения, видах предложений, правилах оформления его на письме; обогащать словарный запас детей; развивать умения правильно интонировать предложение; воспитывать любовь к природе.