11844

Методы безусловной оптимизации

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа: Методы безусловной оптимизации ЦЕЛЬ РАБОТЫ Цель лабораторной работы закрепление навыков исследования функций на выпуклость решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами...

Русский

2013-04-13

170 KB

30 чел.

Лабораторная работа:

«Методы безусловной оптимизации» 

  1.  ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель лабораторной работы - закрепление навыков исследования функций на выпуклость, решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами, изучение способов визуализации функций двух переменных в различных вычислительных пакетах.

  1.  Выполнение работы

Исследуемая функция:

График функции приведен на рисунке  1.

Рисунок 1. График исследуемой функции

Аналитический метод.

Находим первые производные:

Приравниваем производные нулю и решаем систему уравнений:

Находим вторые производные и составляем матрицу Гессе

Матрица Гессе положительно определена, следовательно в точке (1,1) глобальный минимум.

Метод Ньютона.

Этот метод реализован  средствами MATLAB текст программы приведен ниже

% Значения коэффициентов

g = 0.1; % дельта

% Начальная точка

x = [-0.1;1.5];

k = 1; % Счетчик шагов

kmax = 100; % Предельное число шагов,

% задается для предотвращения зацикливания

% Массивы для хранения промежуточных координат

x1trace = [x(1,1)];

x2trace = [x(2,1)];

i = 2;

while k < kmax;

% Вычисление коэффициента шага

%градиент

gr = [2*x(1,1) - 400*x(1,1)*(x(2,1)-x(1,1).^2)-2; 200*(x(2,1)- x(1,1).^2)];

%матрица Гессе

H=[1200*x(1,1).^2-400*x(2,1)+2,-400*x(1,1);-400*x(1,1),200];   

d = -inv(H)*gr; % шаг

x = x + d;   % модификация точки

% Сохранение координат

x1trace(i) = x(1,1);

 x2trace(i) = x(2,1);

i = i + 1;

% Проверка условия останова

if sqrt(gr(1,1)^2 + gr(2,1)^2) <= g;

break;

% Выход из цикла в случае выполнения условия

end

k = k + 1;

end

% Построение графика

X = -2:0.1:2;

Y = -2:0.1:2;

[X, Y] = meshgrid(X, Y);

Z = 100*(Y-X.^2).^2 + (1-X).^2; % функция 

[C, h] = contour(X, Y, Z);

clabel(C, h)

% Отображение меток на линиях уровня

hold on;

plot(x1trace, x2trace, '-+');

% Вывод начальной точки на график

text(x1trace(1) + 0.1, x2trace(1) + 0.1, 'M0');

%x1trace

%x2trace

% Вывод решения на график

text(-1.5, 1.5, char(['x1 = ' num2str(x(1,1))], ['x2 = ' num2str(x(2,1))], ['k = ' num2str(k)]));

Результат выполнения программы приведен на рисунке 2.

Рисунок 2. Результат выполнения прогаммы.

Выводы:  функция  была исследована на выпуклость. Была найдена точка глобального минимума (1,1)  аналитическим и численным методом Ньютона. Численный метод реализован средствами MATLAB.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1.  Методы оптимизации функций многих переменных. Лабораторный практикум. Екатеринбург 2007, 42 с.
  2.  Применение пакета “MATLAB” для решения нелинейных задач оптимизации градиентными методами. Методические указания для семинаров по дисциплине «Оптимизация и оптимальное управление технологическими процессами» Москва 2009, 32 с.
  3.  Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: пер.с англ. – М.: Мир, 1985 – 509 с., ил.
  4.  Методы Оптимизации Систем Автоматизированного Проектирования. Метод Ньютона – электронный ресурс. http://optimizaciya-sapr.narod.ru/bez_mnogomer/nuton.html


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77701. Компакт-диск как носитель информации. CD-ROM 1.56 MB
  Таким образом в процессе такой штамповки осуществляется запись данных на диск. Поперечное сечение стандартного компакт-диска Структура данных на компакт-дисках В отличие от магнитных носителей гибких и жестких дисков компакт-диски разбиваются на концентрические дорожки и секторы. Представление о EFMмодуляции Процесс преобразования декодирования сигналов получаемых при прохождении чередующихся углублений и плато над считывающей головкой заключается в следующем: При записи данных на компактдиск используется EFMмодуляция...
77702. Конструкции дисководов CD-ROM 5.39 MB
  В этом заключается принципиальное отличие дисководов компактдисков от накопителей на жестких и гибких дисков в которых носители вращаются с постоянной угловой скоростью. Необходимость поддержания постоянной линейной скорости обусловлена исключительно тем что при воспроизведении звуковых компактдисков данные должны поступать в декодирующее устройство в постоянном и строго определенном темпе независимо от того с какого витка рожки они считываются. Механическая часть дисководов CDROM Конструкция дисководов компактдисков приведена на рис.
77703. Устройства записи информации со сменными дисками 2.29 MB
  Однако в ближайшее время их скорее всего заменят пишущие DVDнакопители которые работают быстрее позволяют записывать прожигать 47Гбайт DVDносители что значительно удобнее 700Мбайт CDдисков и кроме того обеспечивают обратную совместимость с CDносителями поскольку могут работать как обычные накопители CDRW. Так МОнакопитель Fujitsu работает медленнее накопителей CDRW и DVDRW а по цене сильно проигрывает первым и сравним со вторыми. В том случае когда требуется иметь постоянно под рукой пятьдесять сменных...
77705. Флэш-память. От ROM к Flash 572.5 KB
  Внимание которое уделяется флэш-памяти вполне объяснимо ведь это самый быстрорастущий сегмент полупроводникового рынка. Ежегодно рынок флэш-памяти растет более чем на 15 что превышает суммарный рост всей остальной полупроводниковой индустрии.
77706. Технологии развития современной памяти 115 KB
  Всего за несколько десятилетий в области технологий хранения данных произошли разительные перемены а появление флешпамяти без преувеличения можно назвать революцией. Сегодня принцип хранения информации в электронных устройствах конечно отличается от условных расчётов Фейнмана но размер единичного элемента хранения известен около 40 нм в коммерческих устройствах на основе флешпамяти. Технологии устройств памяти следующего поколения будут использовать новые материалы обладать временем доступа в единицы наносекунд и хранить информацию...
77707. Трёхмерная графитовая память 35.5 KB
  На сделанных сканирующим электронным микроскопом снимках видны графитовая полоска неизменённой ячейки памяти вверху и содержащей бит данных Выход нашли исследователи из Университета Райса Rice University в Хьюстоне которые показали что родственник графена графит может быть адаптирован для создания быстрых высокоёмких устройств хранения обладающих преимуществами по сравнению с флэшпамятью которой комплектуется сегодня множество мобильных устройств. Ячейки памяти могут быть расположены в виде вертикальных массивов что в...
77709. Современные тенденции развития носителей информации 697 KB
  Интерфейс IDE Что бы ни говорили сторонники SCSI широкое распространение IDEустройств на сегодняшний день свершившийся факт. В идеале каждое IDEустройство стоит подключать к отдельному каналу в этом пожалуй заключается основное преимущество SCSI. И это одно из главных преимуществ IDE перед SCSI. SCSI Smll Computer System Interfce Несмотря на кажущееся засилье устройств с интерфейсом IDE EIDE по объемам выпуска за SCSI жесткими дисками всетаки остается около 27 рынка.