11844

Методы безусловной оптимизации

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа: Методы безусловной оптимизации ЦЕЛЬ РАБОТЫ Цель лабораторной работы закрепление навыков исследования функций на выпуклость решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами...

Русский

2013-04-13

170 KB

28 чел.

Лабораторная работа:

«Методы безусловной оптимизации» 

  1.  ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель лабораторной работы - закрепление навыков исследования функций на выпуклость, решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами, изучение способов визуализации функций двух переменных в различных вычислительных пакетах.

  1.  Выполнение работы

Исследуемая функция:

График функции приведен на рисунке  1.

Рисунок 1. График исследуемой функции

Аналитический метод.

Находим первые производные:

Приравниваем производные нулю и решаем систему уравнений:

Находим вторые производные и составляем матрицу Гессе

Матрица Гессе положительно определена, следовательно в точке (1,1) глобальный минимум.

Метод Ньютона.

Этот метод реализован  средствами MATLAB текст программы приведен ниже

% Значения коэффициентов

g = 0.1; % дельта

% Начальная точка

x = [-0.1;1.5];

k = 1; % Счетчик шагов

kmax = 100; % Предельное число шагов,

% задается для предотвращения зацикливания

% Массивы для хранения промежуточных координат

x1trace = [x(1,1)];

x2trace = [x(2,1)];

i = 2;

while k < kmax;

% Вычисление коэффициента шага

%градиент

gr = [2*x(1,1) - 400*x(1,1)*(x(2,1)-x(1,1).^2)-2; 200*(x(2,1)- x(1,1).^2)];

%матрица Гессе

H=[1200*x(1,1).^2-400*x(2,1)+2,-400*x(1,1);-400*x(1,1),200];   

d = -inv(H)*gr; % шаг

x = x + d;   % модификация точки

% Сохранение координат

x1trace(i) = x(1,1);

 x2trace(i) = x(2,1);

i = i + 1;

% Проверка условия останова

if sqrt(gr(1,1)^2 + gr(2,1)^2) <= g;

break;

% Выход из цикла в случае выполнения условия

end

k = k + 1;

end

% Построение графика

X = -2:0.1:2;

Y = -2:0.1:2;

[X, Y] = meshgrid(X, Y);

Z = 100*(Y-X.^2).^2 + (1-X).^2; % функция 

[C, h] = contour(X, Y, Z);

clabel(C, h)

% Отображение меток на линиях уровня

hold on;

plot(x1trace, x2trace, '-+');

% Вывод начальной точки на график

text(x1trace(1) + 0.1, x2trace(1) + 0.1, 'M0');

%x1trace

%x2trace

% Вывод решения на график

text(-1.5, 1.5, char(['x1 = ' num2str(x(1,1))], ['x2 = ' num2str(x(2,1))], ['k = ' num2str(k)]));

Результат выполнения программы приведен на рисунке 2.

Рисунок 2. Результат выполнения прогаммы.

Выводы:  функция  была исследована на выпуклость. Была найдена точка глобального минимума (1,1)  аналитическим и численным методом Ньютона. Численный метод реализован средствами MATLAB.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1.  Методы оптимизации функций многих переменных. Лабораторный практикум. Екатеринбург 2007, 42 с.
  2.  Применение пакета “MATLAB” для решения нелинейных задач оптимизации градиентными методами. Методические указания для семинаров по дисциплине «Оптимизация и оптимальное управление технологическими процессами» Москва 2009, 32 с.
  3.  Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: пер.с англ. – М.: Мир, 1985 – 509 с., ил.
  4.  Методы Оптимизации Систем Автоматизированного Проектирования. Метод Ньютона – электронный ресурс. http://optimizaciya-sapr.narod.ru/bez_mnogomer/nuton.html


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12187. СИРОВИННІ МАТЕРІАЛИ МАРТЕНІВСЬКОГО ВИРОБНИЦТВА 1.09 MB
  1 СИРОВИННІ МАТЕРІАЛИ МАРТЕНІВСЬКОГО ВИРОБНИЦТВА Шихтові матеріали поділяються на металеві і неметалічні. До металевої частини шихти відносяться: чавун брухт розкислювачі і легуючі добавки; до неметалічної залізна і марганцева руда окалина агломерат вапняк і ва...
12188. ОСОБЛИВОСТІ ПОБУДОВИ ЗЛИВКІВ СПОКІЙНОЇ, КИПЛЯЧОЇ ТА НАПІВСПОКІЙНОЇ СТАЛЕЙ 797.5 KB
  ОСОБЛИВОСТІ ПОБУДОВИ ЗЛИВКІВ СПОКІЙНОЇ КИПЛЯЧОЇ ТА НАПІВСПОКІЙНОЇ СТАЛЕЙ Особливості побудови зливка спокійної сталі Звичайна структура зливка спокійної сталі рис. 7.1 характеризується наступними основними зонами. Зона 1. Тонкий поверхневий шар що утвор
12189. ВИЗНАЧЕННЯ ВМІСТУ ВУГЛЕЦЮ В СТАЛІ ЗА ДОПОМОГОЮ КАРБОМЕТРУ ALPHA 1.03 MB
  ВИЗНАЧЕННЯ ВМІСТУ ВУГЛЕЦЮ в СТАЛІ ЗА ДОПОМОГОЮ карбометру ALPHA Ціль роботи: вивчити методи контролю вмісту вуглецю в сталі; освоїти один з фізичних методів визначення вуглецю в сталі. Теоретичне введення Перед проведенням лабораторної роботи студент зобовя
12190. ХРОНОМЕТРАЖ ПЛАВКИ В СТАЛЕПЛАВИЛЬНОМУ АГРЕГАТІ 31.5 KB
  ХРОНОМЕТРАЖ ПЛАВКИ В СТАЛЕПЛАВИЛЬНОМУ АГРЕГАТІ Мета роботи: 1. Вивчити конструкцію сталеплавильного агрегату. 2. Ознайомитись з організацією робіт сталеплавильного агрегату. 3. Вивчити технологію плавки в сталеплавильному агрегаті. Перед проведенням ла...
12191. Определение порядка реакции по мурексиду и ката¬лизатору (кислоте) 282.69 KB
  Цель работы: определение порядка реакции по мурексиду и катализатору кислоте; определение константы диссоциации слабой кислоты путем кинетических измерений. Схема установки Рис. 1. Общий вид прибора где 1 узел светофильтров 2 узел кюветодержателя 3 и
12192. Ознакомиться с оптическим методом изучения кинетики реакции; определить порядок реакции по сахару к катализатору 151 KB
  Цель работы: ознакомиться с оптическим методом изучения кинетики реакции; определить порядок реакции по сахару к катализатору; определить среднюю константу скорости. Схема установки Рис. 1. Схема поляриметра где 1 источник света 2 светофильтр 34 поляр
12193. Определить частные и общий кинетический порядок реакции 31.15 KB
  Цель работы: определить частные и общий кинетический порядок реакции Fe3I→Fe2I Рабочие формулы где: n1 частный порядок реакции по ионам железа n2 частный порядок реакции по йодидионам где: n общий порядок реакции. Таблица 1 Экспериментальны
12194. Установить зависимость удельной и эквивалентной электропроводности электролита от концентрации и температуры 29 KB
  Цель работы: установить зависимость удельной и эквивалентной электропроводности электролита от концентрации и температуры. Рабочие формулы где: k постоянная сосуда RKCl сопротивление раствора KCl ‒ удельная электропроводность раствора KCl ...
12195. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СТЕКОЛ 89.5 KB
  PAGE 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ СТЕКОЛ Определение показателя преломления стекол: методические указания по выполнению лабораторной работы № 63 по курсу Физика для студентов инженернотехнических специальностей / Курск гос. техн. унт; сост.: Л...