11844

Методы безусловной оптимизации

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа: Методы безусловной оптимизации ЦЕЛЬ РАБОТЫ Цель лабораторной работы закрепление навыков исследования функций на выпуклость решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами...

Русский

2013-04-13

170 KB

25 чел.

Лабораторная работа:

«Методы безусловной оптимизации» 

  1.  ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель лабораторной работы - закрепление навыков исследования функций на выпуклость, решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами, изучение способов визуализации функций двух переменных в различных вычислительных пакетах.

  1.  Выполнение работы

Исследуемая функция:

График функции приведен на рисунке  1.

Рисунок 1. График исследуемой функции

Аналитический метод.

Находим первые производные:

Приравниваем производные нулю и решаем систему уравнений:

Находим вторые производные и составляем матрицу Гессе

Матрица Гессе положительно определена, следовательно в точке (1,1) глобальный минимум.

Метод Ньютона.

Этот метод реализован  средствами MATLAB текст программы приведен ниже

% Значения коэффициентов

g = 0.1; % дельта

% Начальная точка

x = [-0.1;1.5];

k = 1; % Счетчик шагов

kmax = 100; % Предельное число шагов,

% задается для предотвращения зацикливания

% Массивы для хранения промежуточных координат

x1trace = [x(1,1)];

x2trace = [x(2,1)];

i = 2;

while k < kmax;

% Вычисление коэффициента шага

%градиент

gr = [2*x(1,1) - 400*x(1,1)*(x(2,1)-x(1,1).^2)-2; 200*(x(2,1)- x(1,1).^2)];

%матрица Гессе

H=[1200*x(1,1).^2-400*x(2,1)+2,-400*x(1,1);-400*x(1,1),200];   

d = -inv(H)*gr; % шаг

x = x + d;   % модификация точки

% Сохранение координат

x1trace(i) = x(1,1);

 x2trace(i) = x(2,1);

i = i + 1;

% Проверка условия останова

if sqrt(gr(1,1)^2 + gr(2,1)^2) <= g;

break;

% Выход из цикла в случае выполнения условия

end

k = k + 1;

end

% Построение графика

X = -2:0.1:2;

Y = -2:0.1:2;

[X, Y] = meshgrid(X, Y);

Z = 100*(Y-X.^2).^2 + (1-X).^2; % функция 

[C, h] = contour(X, Y, Z);

clabel(C, h)

% Отображение меток на линиях уровня

hold on;

plot(x1trace, x2trace, '-+');

% Вывод начальной точки на график

text(x1trace(1) + 0.1, x2trace(1) + 0.1, 'M0');

%x1trace

%x2trace

% Вывод решения на график

text(-1.5, 1.5, char(['x1 = ' num2str(x(1,1))], ['x2 = ' num2str(x(2,1))], ['k = ' num2str(k)]));

Результат выполнения программы приведен на рисунке 2.

Рисунок 2. Результат выполнения прогаммы.

Выводы:  функция  была исследована на выпуклость. Была найдена точка глобального минимума (1,1)  аналитическим и численным методом Ньютона. Численный метод реализован средствами MATLAB.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1.  Методы оптимизации функций многих переменных. Лабораторный практикум. Екатеринбург 2007, 42 с.
  2.  Применение пакета “MATLAB” для решения нелинейных задач оптимизации градиентными методами. Методические указания для семинаров по дисциплине «Оптимизация и оптимальное управление технологическими процессами» Москва 2009, 32 с.
  3.  Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: пер.с англ. – М.: Мир, 1985 – 509 с., ил.
  4.  Методы Оптимизации Систем Автоматизированного Проектирования. Метод Ньютона – электронный ресурс. http://optimizaciya-sapr.narod.ru/bez_mnogomer/nuton.html


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59139. Україно, ти моя молитва! 40 KB
  Iй учень: Рідний край це наша Україна Найкраща в світі дорога земля. IIй учень: Я буду вчитись щоб знання здобути Нові зробити в світі відкриття. IIIй учень: Тепло долонь і розуму і серцю Я Україні милій віддаю. Люблю твої поля річки й джерельця Люблю Вітчизну дорогу мою IVй учень...
59141. Українська мова - наш скарб 41 KB
  Дівчинка. Батьківщина починається з батька і матері, з оселі, де ви вперше побачили світ, з мови, якою розмовляють ваші батьки, з подвіря, по якому ви бігали, з села чи міста, з України, де ви народилися. А Україна - це наша Батьківщина.
59143. Українсько-московський договір 1654 року та його наслідки для України 64.5 KB
  Мета проекту: Розкрити внутрішнє й зовнішнє політичне становище Гетьманщини наприкінці 1653 року. Ознайомити учнів з подямиї 1654 року та їх наслідками для України. Результати проекту: Глибоке розуміння теми внутрішнє й зовнішнє становище Гетьманщини наприкінці 1653 року; Оцінювати діяльність Б.
59144. Урок-память: Муза болю, сумління і гнiвy. Присвячується поету-воїну Євгену Маланюку 60 KB
  Вчитель. Так думав старшина армії Української Народної Республіки у ті далекі трагічні дні 1920-го, коли разом із тисячами собі подібних змушений був покидати рідну землю після того, як більшовизм остаточно підімяв спроби утвердити Українську незалежну державу.
59145. Я народився і жив для добра і любові. (Життєвий і творчий шлях Олександра Довженка) 49.5 KB
  Він як самоцвіт: скільки не обертай його а в ньому починають світитися все нові і нові грані. Довженка порівнюють із видатними майстрами епохи Відродження які були водночас і живописцями і поетами і архітекторами і природознавцями.
59146. Поетизація римської доблесті, патріотичного служіння державі, величі Риму як провідні настанови й основний пафос поеми 362.5 KB
  Мета: узагальнити знання про римську культуру та літературу, перевірити знання біографії Вергілія, проаналізувати уривок із 6-ї книги Енеїди, розвивати вміння порівнювати та виділяти головне, за допомогою мистецтвознавчої паралелі дати характеристику головному герою...
59147. Ідеологія тоталітарного режиму очима Довженка. Щоденник - звинувачувальний документ системі 29.5 KB
  Довженко і саме своїм Щоденником зробив першу досить вдалу спробу становити в нашому національному телескопі головне дзеркало на місце усунути в ньому бодай найбільші дефекти. Клас ділиться на дві групи кожна з яких має змогу представити ворогуючі політичн...