11844

Методы безусловной оптимизации

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа: Методы безусловной оптимизации ЦЕЛЬ РАБОТЫ Цель лабораторной работы закрепление навыков исследования функций на выпуклость решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами...

Русский

2013-04-13

170 KB

29 чел.

Лабораторная работа:

«Методы безусловной оптимизации» 

  1.  ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель лабораторной работы - закрепление навыков исследования функций на выпуклость, решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами, изучение способов визуализации функций двух переменных в различных вычислительных пакетах.

  1.  Выполнение работы

Исследуемая функция:

График функции приведен на рисунке  1.

Рисунок 1. График исследуемой функции

Аналитический метод.

Находим первые производные:

Приравниваем производные нулю и решаем систему уравнений:

Находим вторые производные и составляем матрицу Гессе

Матрица Гессе положительно определена, следовательно в точке (1,1) глобальный минимум.

Метод Ньютона.

Этот метод реализован  средствами MATLAB текст программы приведен ниже

% Значения коэффициентов

g = 0.1; % дельта

% Начальная точка

x = [-0.1;1.5];

k = 1; % Счетчик шагов

kmax = 100; % Предельное число шагов,

% задается для предотвращения зацикливания

% Массивы для хранения промежуточных координат

x1trace = [x(1,1)];

x2trace = [x(2,1)];

i = 2;

while k < kmax;

% Вычисление коэффициента шага

%градиент

gr = [2*x(1,1) - 400*x(1,1)*(x(2,1)-x(1,1).^2)-2; 200*(x(2,1)- x(1,1).^2)];

%матрица Гессе

H=[1200*x(1,1).^2-400*x(2,1)+2,-400*x(1,1);-400*x(1,1),200];   

d = -inv(H)*gr; % шаг

x = x + d;   % модификация точки

% Сохранение координат

x1trace(i) = x(1,1);

 x2trace(i) = x(2,1);

i = i + 1;

% Проверка условия останова

if sqrt(gr(1,1)^2 + gr(2,1)^2) <= g;

break;

% Выход из цикла в случае выполнения условия

end

k = k + 1;

end

% Построение графика

X = -2:0.1:2;

Y = -2:0.1:2;

[X, Y] = meshgrid(X, Y);

Z = 100*(Y-X.^2).^2 + (1-X).^2; % функция 

[C, h] = contour(X, Y, Z);

clabel(C, h)

% Отображение меток на линиях уровня

hold on;

plot(x1trace, x2trace, '-+');

% Вывод начальной точки на график

text(x1trace(1) + 0.1, x2trace(1) + 0.1, 'M0');

%x1trace

%x2trace

% Вывод решения на график

text(-1.5, 1.5, char(['x1 = ' num2str(x(1,1))], ['x2 = ' num2str(x(2,1))], ['k = ' num2str(k)]));

Результат выполнения программы приведен на рисунке 2.

Рисунок 2. Результат выполнения прогаммы.

Выводы:  функция  была исследована на выпуклость. Была найдена точка глобального минимума (1,1)  аналитическим и численным методом Ньютона. Численный метод реализован средствами MATLAB.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1.  Методы оптимизации функций многих переменных. Лабораторный практикум. Екатеринбург 2007, 42 с.
  2.  Применение пакета “MATLAB” для решения нелинейных задач оптимизации градиентными методами. Методические указания для семинаров по дисциплине «Оптимизация и оптимальное управление технологическими процессами» Москва 2009, 32 с.
  3.  Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: пер.с англ. – М.: Мир, 1985 – 509 с., ил.
  4.  Методы Оптимизации Систем Автоматизированного Проектирования. Метод Ньютона – электронный ресурс. http://optimizaciya-sapr.narod.ru/bez_mnogomer/nuton.html


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50047. Визначення показника заломлення та концентрації водних розчинів за допомогою рефрактометра 316 KB
  Мета роботи Ознайомитися з будовою і принципом дії рефрактометра типу РПЛ2 оволодіти методикою експериментального визначення показників заломлення та концентрацій водних розчинів цукру визначення граничних кутів які відповідають початку повного внутрішнього відбивання від межі розділу скло досліджуваний розчин Для виконання лабораторної роботи студенту попередньо необхідно: знати закони геометричної...
50048. Пересування як вид стройових вправ 44 KB
  Основи термiнологiï: випади махи ногами тулубом руками. Випади. Випад це рух або положення з виставленням i згинанням опорноï ноги. Випад лівою правою Положення коли опорна лiва права нога виставлена i зігнута вперед iнша нога стоїть позаду випрямлена в колiнi тулуб на однiй вертикалi з тазом Випад влiво вправо Положення коли опорна лiва права нога виставлена влiво впрао i зiгнута в колiнi тулуб вертикально Нахилений випад влiво вправо Положення коли виконується випад...
50050. Определение индуктивности соленоида и коэффициента взаимной индуктивности с помощью исследования вынужденных колебаний в RL – цепи 293 KB
  Определение индуктивности соленоида и коэффициента взаимной индуктивности с помощью исследования вынужденных колебаний в RL-цепи. Цепь состоит из генератора резистора обладающего активным электрическим сопротивлением цепи R и катушки индуктивности обладающей реактивным индуктивным сопротивлением 1 w = 2pn циклическая частота колебаний. Фаза колебаний напряжения на индуктивности опережает фазу колебаний напряжения...
50051. Изучение петли гистерезиса и измерение параметров ферромагнетика 168.5 KB
  Они способны сохранять намагниченность в отсутствие магнитного поля. Особенностью ферромагнетиков является сложная нелинейная зависимость между намагниченностью J и напряженностью магнитного поля H равносильно между вектором магнитной индукции В и напряженностью магнитного поля H. В действительности она является функцией напряженности поля Н и определяется как . Оно проявляется в том что при изменении намагничивающего поля Н магнитная индукция В в ферромагнетике отстает от внешнего магнитного поля Н.
50052. ЯВЛЕНИЕ САМОИНДУКЦИИ 99 KB
  Цель работы: ознакомиться с явлением самоиндукции; изучить зависимость постоянной времени электрической цепи состоящей из катушки индуктивности и омического сопротивления от величины сопротивления; определить величины индуктивности катушки и магнитной проницаемости сердечника соленоида. Найдём функциональную зависимость силы тока от времени. 12 Величину t=L R называют постоянной времени цепи которая равняется времени за которое при разрядке...
50053. Изучение команд меню Corel Draw10 117.5 KB
  Команда предназначена для загрузки в активный документ векторного растрового или текстового файла. Существует возможность загрузки нескольких десятков форматов и этот набор охватывает большинство наиболее распространенных графических и текстовых форматов. Позволяет сохранить информацию активного документа в различных форматах векторных растровых и текстовых. Текстовая информация может быть экспортирована либо вся либо из текущей страницы при включенном режиме Export this pge only Экспортировать лишь текущую страницу.
50054. Определение теплоемкости твердого тела 116 KB
  Цель работы: 1 измерение зависимости повышения температуры исследуемого образца в муфельной печи от времени; 2 вычисление по результатам измерений теплоемкости исследуемого образца. В любой момент времени количество тепла поступившее от электронагревателя идет на нагрев установки и на излучение в окружающую среду: [2] Величина Qпотерь пропорциональна разнице температур между печью и окружающим воздухом и может быть принята равной нулю в начальный момент времени. Прямое определение величин в уравнении [2] в начальный момент...
50055. Измерение параметров емкостей в цепи переменного тока 195.5 KB
  Плеханова технический университет Кафедра Общей и технической физики лаборатория электромагнетизма Измерение параметров ЕМКОСТЕЙ в цепи переменного тока Методические указания к лабораторной работе № 6 САНКТПЕТЕРБУРГ 2009 УДК 531 534 075. Цель работы: Определение импеданса сдвига фаз и измерение емкости на разных частотах в резистивноемкостной цепи. При работе на переменном токе с реактивными элементами в цепи индуктивность емкость следует обязательно учитывать их реактивный характер проводимости. Кроме того реактивные элементы...