11844

Методы безусловной оптимизации

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа: Методы безусловной оптимизации ЦЕЛЬ РАБОТЫ Цель лабораторной работы закрепление навыков исследования функций на выпуклость решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами...

Русский

2013-04-13

170 KB

30 чел.

Лабораторная работа:

«Методы безусловной оптимизации» 

  1.  ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель лабораторной работы - закрепление навыков исследования функций на выпуклость, решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами, изучение способов визуализации функций двух переменных в различных вычислительных пакетах.

  1.  Выполнение работы

Исследуемая функция:

График функции приведен на рисунке  1.

Рисунок 1. График исследуемой функции

Аналитический метод.

Находим первые производные:

Приравниваем производные нулю и решаем систему уравнений:

Находим вторые производные и составляем матрицу Гессе

Матрица Гессе положительно определена, следовательно в точке (1,1) глобальный минимум.

Метод Ньютона.

Этот метод реализован  средствами MATLAB текст программы приведен ниже

% Значения коэффициентов

g = 0.1; % дельта

% Начальная точка

x = [-0.1;1.5];

k = 1; % Счетчик шагов

kmax = 100; % Предельное число шагов,

% задается для предотвращения зацикливания

% Массивы для хранения промежуточных координат

x1trace = [x(1,1)];

x2trace = [x(2,1)];

i = 2;

while k < kmax;

% Вычисление коэффициента шага

%градиент

gr = [2*x(1,1) - 400*x(1,1)*(x(2,1)-x(1,1).^2)-2; 200*(x(2,1)- x(1,1).^2)];

%матрица Гессе

H=[1200*x(1,1).^2-400*x(2,1)+2,-400*x(1,1);-400*x(1,1),200];   

d = -inv(H)*gr; % шаг

x = x + d;   % модификация точки

% Сохранение координат

x1trace(i) = x(1,1);

 x2trace(i) = x(2,1);

i = i + 1;

% Проверка условия останова

if sqrt(gr(1,1)^2 + gr(2,1)^2) <= g;

break;

% Выход из цикла в случае выполнения условия

end

k = k + 1;

end

% Построение графика

X = -2:0.1:2;

Y = -2:0.1:2;

[X, Y] = meshgrid(X, Y);

Z = 100*(Y-X.^2).^2 + (1-X).^2; % функция 

[C, h] = contour(X, Y, Z);

clabel(C, h)

% Отображение меток на линиях уровня

hold on;

plot(x1trace, x2trace, '-+');

% Вывод начальной точки на график

text(x1trace(1) + 0.1, x2trace(1) + 0.1, 'M0');

%x1trace

%x2trace

% Вывод решения на график

text(-1.5, 1.5, char(['x1 = ' num2str(x(1,1))], ['x2 = ' num2str(x(2,1))], ['k = ' num2str(k)]));

Результат выполнения программы приведен на рисунке 2.

Рисунок 2. Результат выполнения прогаммы.

Выводы:  функция  была исследована на выпуклость. Была найдена точка глобального минимума (1,1)  аналитическим и численным методом Ньютона. Численный метод реализован средствами MATLAB.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1.  Методы оптимизации функций многих переменных. Лабораторный практикум. Екатеринбург 2007, 42 с.
  2.  Применение пакета “MATLAB” для решения нелинейных задач оптимизации градиентными методами. Методические указания для семинаров по дисциплине «Оптимизация и оптимальное управление технологическими процессами» Москва 2009, 32 с.
  3.  Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: пер.с англ. – М.: Мир, 1985 – 509 с., ил.
  4.  Методы Оптимизации Систем Автоматизированного Проектирования. Метод Ньютона – электронный ресурс. http://optimizaciya-sapr.narod.ru/bez_mnogomer/nuton.html


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82121. О здоровом образе жизни 75.5 KB
  Баба готовит колобок имитируя движениями рук процесс замешивания теста. Ведущий: По сусекам помела Горсти две муки нашла Соль добавила песок Славный вышел колобок Пышный да румяный Баба: Погоди ка дед чуток Пусть остынет колобок Ведущий: Непоседе Колобку Стыть бы на окошке Но решил он: Убегу Разомнусь немножко.
82122. Здоровий спосіб життя – це модно 70.5 KB
  Мета: Здійснювати пропаганду здорового способу життя; розширити та закріпити знання про пагубний вплив наркотиків тютюнопаління алкоголю на організм людини. Виховувати у учнів негативне відношення до застосування алкогольних напоїв наркотиків та та тютюнопаління, бажання і вміння вести здоровий спосіб життя...
82123. Зелені друзі 528 KB
  А зараз ми з вами спробуємо порівняти дерево і людину. Для цього ми розділимось на чотири групи кожна отримає запитання на яке дасть повну відповідь: Що спільного між людиною і деревом Чим відрізняються дерево і людина Яке значення дерева в житті людини Яке значення людини в житті дерев...
82124. Земля – наш космічний дім 63.5 KB
  Закріпити і перевірити знання учнів по темі; підвести підсумок пошуковій роботі; висвітлити значення океанів та використання їх багатств людиною; сприяти розвитку пам’яті, спостережливості; виховувати бережливе ставлення до природних багатств.
82125. Презентація проекту «Земля – наш дім» 41 KB
  Усі ми живі творіння природи на планеті Земля її біологічні мешканці і нам необхідно берегти свою Землю бо у космосі така одна. Світ-загадка лежить під ногами у нас: Форму кулі Земля наша має. Ось вирішили зробити колективну роботу Земля наш спільний дім а також композицію Рідна Земля намалювавши улюблені...
82126. Живе слово поета 72.5 KB
  Звучить музика Ведучий 1 Добрий день шановні друзі гості вчителі Ведучий 2 Ми вітаємо вас на нашому шкільному святі Живе слово поета О слово рідне Шум дерев Музика зір блакитнооких Шовковий спів снопів широких Дніпра між ними левій рев. 1 Художнє слово мов ота живинка Без нього ніби ти і не живеш...
82127. О.Буцень «Чи є зима?» 54.5 KB
  Мета: вчити дітей правильного і виразного читання; розширювати кругозір учнів; розвивати пізнавальні інтереси, усне мовлення, уяву, спостережливість; вдосконалювати техніку читання; виховувати любов до зимової пори, відчуття краси і неповторної зимової природи.
82128. Как зимуют птицы и звери. Забота людей о птицах и зверях зимой 429 KB
  Цель: учить устанавливать взаимосвязь между изменениями в неживой природе жизнью растений и жизнью животных; продолжить формировать умения сравнивать животных по их существенным признакам классифицировать их; обобщать полученную информацию; закреплять навыки работы в в группах...
82129. Конкурсно-розважальна програма для перших класів 45.5 KB
  Їжте діти апельсин Будете здорові як мій син Думаю що вам теж не завадять вітаміни які є у апельсині. То ж пограємо у гру Передай апельсин Апельсин тримаємо підборіддям передаємо наступним гравцям команди руками не допомагаємо. У кого падає апельсин той покидає гру.