11844

Методы безусловной оптимизации

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа: Методы безусловной оптимизации ЦЕЛЬ РАБОТЫ Цель лабораторной работы закрепление навыков исследования функций на выпуклость решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами...

Русский

2013-04-13

170 KB

25 чел.

Лабораторная работа:

«Методы безусловной оптимизации» 

  1.  ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель лабораторной работы - закрепление навыков исследования функций на выпуклость, решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами, изучение способов визуализации функций двух переменных в различных вычислительных пакетах.

  1.  Выполнение работы

Исследуемая функция:

График функции приведен на рисунке  1.

Рисунок 1. График исследуемой функции

Аналитический метод.

Находим первые производные:

Приравниваем производные нулю и решаем систему уравнений:

Находим вторые производные и составляем матрицу Гессе

Матрица Гессе положительно определена, следовательно в точке (1,1) глобальный минимум.

Метод Ньютона.

Этот метод реализован  средствами MATLAB текст программы приведен ниже

% Значения коэффициентов

g = 0.1; % дельта

% Начальная точка

x = [-0.1;1.5];

k = 1; % Счетчик шагов

kmax = 100; % Предельное число шагов,

% задается для предотвращения зацикливания

% Массивы для хранения промежуточных координат

x1trace = [x(1,1)];

x2trace = [x(2,1)];

i = 2;

while k < kmax;

% Вычисление коэффициента шага

%градиент

gr = [2*x(1,1) - 400*x(1,1)*(x(2,1)-x(1,1).^2)-2; 200*(x(2,1)- x(1,1).^2)];

%матрица Гессе

H=[1200*x(1,1).^2-400*x(2,1)+2,-400*x(1,1);-400*x(1,1),200];   

d = -inv(H)*gr; % шаг

x = x + d;   % модификация точки

% Сохранение координат

x1trace(i) = x(1,1);

 x2trace(i) = x(2,1);

i = i + 1;

% Проверка условия останова

if sqrt(gr(1,1)^2 + gr(2,1)^2) <= g;

break;

% Выход из цикла в случае выполнения условия

end

k = k + 1;

end

% Построение графика

X = -2:0.1:2;

Y = -2:0.1:2;

[X, Y] = meshgrid(X, Y);

Z = 100*(Y-X.^2).^2 + (1-X).^2; % функция 

[C, h] = contour(X, Y, Z);

clabel(C, h)

% Отображение меток на линиях уровня

hold on;

plot(x1trace, x2trace, '-+');

% Вывод начальной точки на график

text(x1trace(1) + 0.1, x2trace(1) + 0.1, 'M0');

%x1trace

%x2trace

% Вывод решения на график

text(-1.5, 1.5, char(['x1 = ' num2str(x(1,1))], ['x2 = ' num2str(x(2,1))], ['k = ' num2str(k)]));

Результат выполнения программы приведен на рисунке 2.

Рисунок 2. Результат выполнения прогаммы.

Выводы:  функция  была исследована на выпуклость. Была найдена точка глобального минимума (1,1)  аналитическим и численным методом Ньютона. Численный метод реализован средствами MATLAB.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1.  Методы оптимизации функций многих переменных. Лабораторный практикум. Екатеринбург 2007, 42 с.
  2.  Применение пакета “MATLAB” для решения нелинейных задач оптимизации градиентными методами. Методические указания для семинаров по дисциплине «Оптимизация и оптимальное управление технологическими процессами» Москва 2009, 32 с.
  3.  Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: пер.с англ. – М.: Мир, 1985 – 509 с., ил.
  4.  Методы Оптимизации Систем Автоматизированного Проектирования. Метод Ньютона – электронный ресурс. http://optimizaciya-sapr.narod.ru/bez_mnogomer/nuton.html


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13640. Карл Краус. Мы были достаточно цивилизованны, чтобы построить машину, но слишком примитивны, чтобы ею пользоваться 14.71 KB
  Мы были достаточно цивилизованны чтобы построить машину но слишком примитивны чтобы ею пользоваться Карл Краус Высказывание Карла Крауса австрийского писателя о том что мы были достаточно цивилизованны чтобы построить машину но слишком примитивны чтобы ею по...
13641. Национализм – это не любовь к своей нации, а ненависть к чужой 14.16 KB
  Национализм – это не любовь к своей нации а ненависть к чужой И.Н. ШевелевПрежде всего хочется характеризовать нацию как исторически высшую форму организации этносоциальных общностей. Для членов нации характерно национальное самосознание т.е. отражение в индивидуальн...
13642. Наши взгляды как часы - все показывают разное время, но каждый верит только свои 14.18 KB
  Наши взгляды как часы все показывают разное время но каждый верит только свои. Я согласна с данным высказыванием. Действительно неотъемлемая черта каждого индивида приобретшего характерные черты и ставшего индивидуальностью – это свое собственное мировоззрение. Во
13643. Теплов. Не в том дело, что способности человека проявляются в деятельности, а в том, что они в ней создаются 13.87 KB
  Не в том дело что способности человека проявляются в деятельности а в том что они в ней создаются. Б. Теплов Данное высказывание связано с проблемой развития человеческих способностей. Эта проблема важна для обществознания в целом так как от развития человека зависит д
13644. Объявить себя гением легче всего по радио 14.01 KB
  Объявить себя гением легче всего по радио.Дон АминадоРадио в 19 веке стало первым шагом к появлению массовой культуры.Радио телевидение пресса Интернет – продукты информационной эпохи которые состоят на службе массовой культуры сегодня. Именно в постиндустриальном общ...
13645. Прогресс – это движение по кругу, но все более быстрое 15.12 KB
  Прогресс – это движение по кругу но все более быстрое. Л.Левинсон.Человечество находится в постоянном движении. Развивается наука техника человеческий разум и если сравнить первобытность и наши дни то видно что человеческое общество прогрессирует. От первобытного ста...
13646. Революции – варварский способ прогресса 14.02 KB
  Революции – варварский способ прогресса. Ж.Жорес Революция это коренной перелом в жизни общества ведущий к смене старых порядков на новые.Революции никогда не вписывались в канву истории. Они разрывали и перекраивали ход истории. Основанные на насилии все известные рев
13647. Революция – это переход от неправды к правде, от лжи к истине, от угнетения к справедливости, от обмана и страданий к прямолинейной честности и счастью 14.41 KB
  Революция – это переход от неправды к правде от лжи к истине от угнетения к справедливости от обмана и страданий к прямолинейной честности и счастью Роберт ОуэнРеволюцию часто называют общественным взрывом именно поэтому на мой взгляд революция не решает полностью ...
13648. Свобода есть право на неравенство. Эссе 15.51 KB
  Тема: Свобода есть право на неравенство.Свобода это основная характеристика человеческого бытия его суть. Как писал немецкий философ Гегель: Свобода есть познанная необходимость. Свобода личности в различных ее проявлениях выступает сегодня важнейшей ценностью цив...