11844

Методы безусловной оптимизации

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа: Методы безусловной оптимизации ЦЕЛЬ РАБОТЫ Цель лабораторной работы закрепление навыков исследования функций на выпуклость решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами...

Русский

2013-04-13

170 KB

25 чел.

Лабораторная работа:

«Методы безусловной оптимизации» 

  1.  ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель лабораторной работы - закрепление навыков исследования функций на выпуклость, решение задач на нахождение безусловного экстремума выпуклой функции аналитически и численными методами, изучение способов визуализации функций двух переменных в различных вычислительных пакетах.

  1.  Выполнение работы

Исследуемая функция:

График функции приведен на рисунке  1.

Рисунок 1. График исследуемой функции

Аналитический метод.

Находим первые производные:

Приравниваем производные нулю и решаем систему уравнений:

Находим вторые производные и составляем матрицу Гессе

Матрица Гессе положительно определена, следовательно в точке (1,1) глобальный минимум.

Метод Ньютона.

Этот метод реализован  средствами MATLAB текст программы приведен ниже

% Значения коэффициентов

g = 0.1; % дельта

% Начальная точка

x = [-0.1;1.5];

k = 1; % Счетчик шагов

kmax = 100; % Предельное число шагов,

% задается для предотвращения зацикливания

% Массивы для хранения промежуточных координат

x1trace = [x(1,1)];

x2trace = [x(2,1)];

i = 2;

while k < kmax;

% Вычисление коэффициента шага

%градиент

gr = [2*x(1,1) - 400*x(1,1)*(x(2,1)-x(1,1).^2)-2; 200*(x(2,1)- x(1,1).^2)];

%матрица Гессе

H=[1200*x(1,1).^2-400*x(2,1)+2,-400*x(1,1);-400*x(1,1),200];   

d = -inv(H)*gr; % шаг

x = x + d;   % модификация точки

% Сохранение координат

x1trace(i) = x(1,1);

 x2trace(i) = x(2,1);

i = i + 1;

% Проверка условия останова

if sqrt(gr(1,1)^2 + gr(2,1)^2) <= g;

break;

% Выход из цикла в случае выполнения условия

end

k = k + 1;

end

% Построение графика

X = -2:0.1:2;

Y = -2:0.1:2;

[X, Y] = meshgrid(X, Y);

Z = 100*(Y-X.^2).^2 + (1-X).^2; % функция 

[C, h] = contour(X, Y, Z);

clabel(C, h)

% Отображение меток на линиях уровня

hold on;

plot(x1trace, x2trace, '-+');

% Вывод начальной точки на график

text(x1trace(1) + 0.1, x2trace(1) + 0.1, 'M0');

%x1trace

%x2trace

% Вывод решения на график

text(-1.5, 1.5, char(['x1 = ' num2str(x(1,1))], ['x2 = ' num2str(x(2,1))], ['k = ' num2str(k)]));

Результат выполнения программы приведен на рисунке 2.

Рисунок 2. Результат выполнения прогаммы.

Выводы:  функция  была исследована на выпуклость. Была найдена точка глобального минимума (1,1)  аналитическим и численным методом Ньютона. Численный метод реализован средствами MATLAB.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

  1.  Методы оптимизации функций многих переменных. Лабораторный практикум. Екатеринбург 2007, 42 с.
  2.  Применение пакета “MATLAB” для решения нелинейных задач оптимизации градиентными методами. Методические указания для семинаров по дисциплине «Оптимизация и оптимальное управление технологическими процессами» Москва 2009, 32 с.
  3.  Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация: пер.с англ. – М.: Мир, 1985 – 509 с., ил.
  4.  Методы Оптимизации Систем Автоматизированного Проектирования. Метод Ньютона – электронный ресурс. http://optimizaciya-sapr.narod.ru/bez_mnogomer/nuton.html


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45754. Критика способности суждения 24.5 KB
  Критика способности суждения нем. Кант также замечает что эстетическое не исчерпывается прекрасным нем. Помимо него существует возвышенное нем.
45755. Критика чистого разума 32.5 KB
  Кант начинает свои рассуждения со специфической классификации суждений. Он выделяет суждения синтетическиеаналитические и априорныеапостериорные.Синтетическими называются суждения несущие новое знание не содержащееся в понятии которое является их субъектом.Аналитическими называются суждения которые всего лишь раскрывают свойства присущие понятию субъекта содержащиеся в нём самом и не несут нового знания.
45756. Кун. Структуры научных революций 28.5 KB
  сформулировал новую концепцию развития науки и научного знания которая произвела настоящий переворот во всей философии науки. Внутри парадигмы существование науки определяется Куном как нормальная наука; ученые еще не подвергают сомнению свою научную деятельность которая состоит в вписывании фактов в уже существующую теорию. Прогресс имеет место только внутри нормальной науки.Периоду нормальной науки Кун противопоставляет деятельность ученых в рамках кризиса то есть период экстраординарной науки причем если целью нормальной науки...
45757. Лейбниц. Об основных аксиомах познания 31 KB
  Если чтото отрицается как истинное то очевидно оно является ложным; а если чтото отрицается как ложное то оно является истинным. Подобным же образом если истинно то что нечто ложно или ложно то что нечто истинно то утверждение является ложным; а если истинно то что нечто истинно и лоншо то что нечто ложпо то оно является истинным. С другой стороны среди истинных предложений первыми являются те которые обычно называют тождественными как А есть Л Не А есть не А Если истинно предложение L то следовательно истинно...
45758. Лейбниц. Монадология 53.5 KB
  Согласно Лейбницу основаниями существующих явлений или феноменов служат простые субстанции или монады. Все монады просты и не содержат частей. Монады не могут претерпеть изменения в своём внутреннем состоянии от действия какихлибо внешних причин кроме Бога. Монада способна к изменению своего состояния и все естественные изменения монады исходят из её внутреннего принципа.
45759. Джон Локк. Опыты о человеческом разумении 28 KB
  Опыты о человеческом разумении 4 книги Локк впервые дал систематическую теорию эмпиризма. Средоточие философии Локка – его теория познания изложенная в Опыте о человеческом разумении Ее задача объяснить происхождение и основы человеческого познания и найти границы познавательной способности рассудка. Задачи философии Предмет философии по Локку исследование происхождения знания.
45760. Маклюэн. Понимание медиа 37.5 KB
  Понимание медиа. посвящённа осмыслению средств массовой коммуникации медиа. Средства массовой коммуникации медиа Маклюэн понимает чрезвычайно широко как расширение человека. По мнению Маклюэна глубочайшим заблуждением является убеждение в нейтральности медиа.
45761. Маркс К. К критике политической экономии 30.5 KB
  Маркс считает что анатомию гражданского общества следует искать в политической экономии. Совокупность этих производственных отношений составляет экономическую структуру общества реальный базис на котором возвышается юридическая и политическая надстройка и которому соответствуют опре формы общго сознания. На известной ступени своего развития материальные производительные силы общества приходят в противоречие с существующими производственными отношениями внутри которых они до сих пор развивались. Ни одна общая формация не погибает раньше...
45762. Одномерный человек 41.5 KB
  В результате пролетариат перестал быть революционным классом интегрировавшись в привычную систему ценностей а общество утратило возможности развития. Общество стало бесклассовым но оно далеко от марксова идеала коммунизма. Вместо коммунизма получилось одномерное общество неототалитарная Система существующая за счет гипноза средств массовой информации которые внедряют в каждое индивидуальное сознание ложные потребности и культ потребления. Общество называется свободным имеется в виду либеральное общество в то время как на самом деле в...