11884

Апроксимація інтервальної функції корисності на одновимірній множині за допомогою лінійної функції

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторна робота №1 Тема: Апроксимація інтервальної функції корисності на одновимірній множині за допомогою лінійної функції. Для виконання лабораторної роботи №1 студент повинний знати: мету і зміст даної роботи порядок її виконання; метод найменших кв...

Украинкский

2013-04-14

476 KB

8 чел.

Лабораторна робота №1

Тема: Апроксимація інтервальної функції корисності на одновимірній множині за допомогою лінійної функції.

Для виконання лабораторної роботи №1 студент повинний знати:

  •  мету і зміст даної роботи, порядок її виконання;
  •  метод найменших квадратів побудови апроксимуючої функції;
  •  властивості інтервальної функції цінності.

Студент повинний уміти:

Користуватися пакетом Excel:

  1.  працювати з масивами даних
  2.  будувати електронні таблиці;
  3.  працювати з графіками.

Студент повинний підготувати:

Алгоритм знаходження апроксимуючої функції з використанням електронних таблиць Excel, використовуючи лінійні функції.

Завдання.

Річний прибуток підприємства знаходиться в межах від  до  тис грн. Цінність отримання прибутку для варіантів 1-30: , , , , . Побудувати лінійну функцію цінності та оцінити якість апроксимації за допомогою коефіцієнту детермінації R2, вважаючи, що переважання особи, що приймає рішення, вже розставлено відповідно до варіанту (Див. Табл. 1.5-1.6).

Таблиця 1.5

Номер варіанту

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

x0

0

5

1

5

0

11

5

9

6

14

8

15

12

16

14

x0,25

23

30

26

30

25

36

30

34

31

39

33

40

37

41

39

x0,5

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

x0,75

73

80

76

80

75

86

80

84

81

89

83

90

87

91

89

x*

98

105

101

105

100

111

105

109

106

114

108

115

112

116

114

Таблиця 1.6

Номер варіанту

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

x0

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

x0,25

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

x0,5

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

x0,75

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

97

98

99

100

x*

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

Приклад виконання роботи: Річний прибуток підприємства від продажу товару знаходиться в межах від 0 до 96 тис. грн. Значення прибутку відповідно до системи переважань особи, що приймає рішення, та цінність його отримання наведено в Табл.1.7.

Таблиця 1.7

Прибуток, тис. грн.

Цінність

(позначення)

(значення)

(позначення)

(значення)

x0

0

0

x0,25

21

0,25

x0,5

51

0,5

x0,75

71

0,75

x*

96

1

Побудувати лінійну функцію цінності та оцінити якість апроксимації за допомогою коефіцієнту детермінації R2.

Розв’язання: Для роботи використаємо пакет Excel. Опишемо порядок виконання роботи:

По перше вихідні дані запишемо в робочу таблицю в блок (A1:B5).

По друге по введеним у робочу таблицю даним будуємо діаграму. Оскільки необхідно будувати динаміку змін цінності в залежності від прибутку, то будемо будувати діаграму “Точечная”. Для цього кліком курсору миші на панелі інструментів викликаємо “Мастер диаграмм”. В діалоговому вікні вибираємо тип діаграми “Точечная”. Вигляд – лівий верхній. Натискаємо “Далее” і вказуємо діапазон даних В1:В5 (за допомогою миші). Перевіряємо положення перемикача Ряды: в столбцах. Вибираємо вкладку Ряд та за допомогою миші вводимо діапазон підписів вісі Х: А1:А5. Вводимо назви діаграми, осей Х та Y. Отримано графік експериментальних даних.

По третє здійснемо апроксимацію отриманої кривої. Курсор миші встановлюємо на одну з точок графіка та натискаємо праву кнопку. У виниклому контекстному меню вибираємо “Добавить линию тренда”. З’являється діалогове вікно Линия тренда. Так як крива нагадує лінійну функцію, то вибигаємо тип лінії тренду “Линейная”. Відкриваємо вкладку “Параметры” та встановлюємо мітки в поля показывать уравнение не диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Натискаємо кнопку ОК. Отримали апроксимуючу криву (Див. Рис. 1.3).

Висновок

Рівняння лінійної апроксимуючої кривої для функції цінності має вигляд: , при цьому точність апроксимації дуже висока - , що дозволяє вважати адекватним лінійну залежність.


Лабораторна робота №2

Тема: Апроксимація інтервальної функції цінності на одновимірній множині за допомогою квадратичної функції.

Для виконання лабораторної роботи №2 студент повинний знати:

  •  мету і зміст даної роботи, порядок її виконання;
  •  метод найменших квадратів побудови апроксимуючої функції;
  •  властивості інтервальної функції цінності;

Студент повинний уміти:

Користуватися пакетом Excel:

  1.  працювати з масивами даних;
  2.  будувати електронні таблиці;
  3.  працювати з графіками.

Студент повинний підготувати:

Алгоритм знаходження апроксимуючої функції з використанням електронних таблиць, використовуючи квадратичну функцію.

Завдання.

Річний прибуток підприємства знаходиться в межах від  до  тис грн. Цінність отримання прибутку для варіантів 1-30: , , , , . Побудувати квадратичну функцію цінності, яка відбиває переважання особи, що приймає рішення та оцінити якість апроксимації за допомогою коефіцієнту детермінації R2, вважаючи, що переважання особи, що приймає рішення, вже розставлено відповідно до варіанту (Див. Табл. 1.8-1.9).

Таблиця 1.8

Номер варианту

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

x0

9

12

7

13

15

11

5

11

6

14

9

8

7

17

5

x0,25

34

37

33

37

39

36

31

36

32

36

32

31

30

38

28

x0,5

45

47

44

48

49

47

42

46

43

46

42

41

40

47

38

x0,75

53

55

52

55

57

54

51

54

51

53

49

48

47

54

45

x*

60

61

59

62

63

61

58

61

58

59

55

54

53

59

51

Таблиця 1.9

Номер варианту

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

x0

15

2

13

1

20

3

17

0

15

1

14

8

22

2

15

x0,25

36

25

34

24

40

25

37

22

35

20

34

28

41

23

34

x0,5

45

35

43

34

48

35

45

32

43

30

42

36

49

32

42

x0,75

52

42

50

41

55

42

52

39

50

37

49

43

55

39

49

x*

57

48

55

47

60

48

57

45

55

43

54

48

60

44

54

Приклад виконання роботи: Річний прибуток підприємства від продажу товару знаходиться в межах від 10 до 60 тис. грн. . Значення прибутку відповідно до системи переважань особи, що приймає рішення, та цінність його отримання наведено в Табл. 1.10.

Таблиця 1.10

Прибуток, тис. грн.

Цінність

(позначення)

(значення)

(позначення)

(значення)

x0

10

0

x0,25

35

0,25

x0,5

46

0,5

x0,75

53

0,75

x*

60

1

Побудувати квадратичну функцію цінності та оцінити якість апроксимації за допомогою коефіцієнту детермінації R2.

Розв’язання: Для побудови квадратичної функції цінності використаємо пакет Excel. Опишемо порядок виконання роботи:

Спочатку вихідні дані запишемо в робочу таблицю в блок (A1:B5);

Далі по введеним у робочу таблицю будуємо діаграму. Оскільки необхідно будувати динаміку змін цінності в залежності від прибутку, то будемо будувати діаграму “Точечная”. Для цього кліком курсору миші на панелі інструментів викликаємо “Мастер диаграмм”. В діалоговому вікні вибираємо тип діаграми “Точечная”. Вигляд – лівий верхній. Натискаємо “Далее” і вказуємо діапазон даних В1:В5 (за допомогою миші). Перевіряємо положення перемикача Ряды: в столбцах. Вибираємо вкладку Ряд та за допомогою миші вводимо діапазон підписів вісі Х: А1:А5. Вводимо назви діаграми, осей Х та Y. Отримано графік експериментальних даних;

На останок здійснемо апроксимацію отриманої кривої. Курсор миші встановлюємо на одну з точок графіка та натискаємо праву кнопку. У виниклому контекстному меню вибираємо “Добавить линию тренда”. З’являється діалогове вікно Линия тренда. Так як крива нагадує лінійну функцію, то вибигаємо тип лінії тренду “Полиномиальная” з . Відкриваємо вкладку “Параметры” та встановлюємо мітки в поля показывать уравнение не диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Натискаємо кнопку ОК. Отримали апроксимуючу криву (Див. Рис. 1.4);

Висновок

Рівняння квадратичної апроксимуючої кривої для функції цінності має вигляд: , при цьому точність апроксимації дуже висока - , що підтверджує адекватність квадратичної залежності.


Лабораторна робота №3

Тема: Апроксимація інтервальної функції цінності на одновимірній множині за допомогою логарифмічної функції.

Для виконання лабораторної роботи №3 студент повинний знати:

  •  мету і зміст даної роботи, порядок її виконання;
  •  метод найменших квадратів побудови апроксимуючої функції;
  •  властивості інтервальної функції цінності.

Студент повинний уміти:

Користуватися пакетом Excel:

  1.  працювати з масивами даних;
  2.  будувати електронні таблиці;
  3.  працювати з графіками.

Студент повинний підготувати:

Алгоритм знаходження апроксимуючої функції з використанням електронних таблиць, використовуючи логарифмічну функцію.

Завдання.

Цінності захоплення ринкових долей , , , , на основі вивчення ринку товару однакові для всіх варіантів і складають відповідно , , , , .

Здійснити апроксимацію функції цінності:

а) логарифмічною функцією;

б) квадратичною функцією.

Порівняти за допомогою коефіцієнту детермінації R2, який тип апроксимації є кращим. При цьому вважати, що переважання особи, яка приймає рішення, вже розставлено відповідно до номеру варіанту N (Див. Табл. 1.11).

Таблиця 1.11

Доля ринку, %

Цінність

(позначення)

(значення)

(позначення)

(значення)

N

0

0,5

0,25

0,75

1

Зауваження: Отримане для свого варіанту значення прибутку студент повинний округлити до цілого числа.

Приклад виконання роботи: Значення розміру ринкової долі відповідно до системи переважань особи, що приймає рішення, та цінність її захоплення на основі вивчення ринку товару викладені в Табл. 1.12.

Таблиця 1.12

Доля ринку, %

Цінність

(позначення)

(значення)

(позначення)

(значення)

1

0

3

0,25

5

0,5

15

0,75

25

1

Здійснити апроксимацію функції цінності:

а) логарифмічною функцією;

б) квадратичною функцією.

Порівняти за допомогою коефіцієнту детермінації R2, який тип апроксимації є кращим.

Розв’язання: Для роботи використаємо пакет Excel. Опишемо порядок виконання роботи:

По перше вихідні дані запишемо в робочу таблицю в блок (A1:B5);

По друге по введеним у робочу таблицю будуємо діаграму. Оскільки необхідно будувати динаміку змін цінності в залежності від прибутку, то будемо будувати діаграму “Точечная”. Для цього кліком курсору миші на панелі інструментів викликаємо “Мастер диаграмм”. В діалоговому вікні вибираємо тип діаграми “Точечная”. Вигляд – лівий верхній. Натискаємо “Далее” і вказуємо діапазон даних В2:В6 (за допомогою миші). Перевіряємо положення перемикача Ряды: в столбцах. Вибираємо вкладку Ряд та за допомогою миші вводимо діапазон підписів вісі Х: А2:А6. Вводимо назви діаграми, осей Х та Y. Отримано графік експериментальних даних.

По третє здійснемо апроксимацію отриманої кривої логарифмічною функцією. Курсор миші встановлюємо на одну з точок графіка та натискаємо праву кнопку. У виниклому контекстному меню вибираємо “Добавить линию тренда”. З’являється діалогове вікно Линия тренда. Так як крива нагадує лінійну функцію, то вибигаємо тип лінії тренду “Логарифмическая”. Відкриваємо вкладку “Параметры” та встановлюємо мітки в поля показывать уравнение не диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Натискаємо кнопку ОК. Отримали апроксимуючу криву (Див. Рис. 1.5);

По четверте здійснемо апроксимацію отриманої кривої квадратичною функцією. Для цього повторимо операції п. 3 за вийнятком того, що у вікні Линия тренда на вкладці Тип вибираємо тип лінії – “Полиномиальная”. Вказуємл . Отримали інший варіант апроксимації – квадратичною функцією (Див. Рис.1.6).

Висновок

У якості апроксимуючої кривої для функції цінності вибираємо логарифмічну, бо по-перше для квадратичної функції не виконуються умови нормування ,  (  ), а по-друге точність апроксимації у логарифмічної кривої вища за точність квадратичної кривої (). Рівняння найкращої апроксимуючої функції для функції корисності має вигляд: .


Лабораторна робота №4

Тема: Побудова та апроксимація функції корисності на одновимірній множині

Для виконання лабораторної роботи №4 студент повинний знати:

  •  мету і зміст даної роботи, порядок її виконання;
  •  знаходження вихідних даних за методом половинного поділу поточного проміжку за корисністю;
  •  виведення системи для отримання параметрів апроксимуючої функції при лінійній, квадратичній та логарифмічній залежностях;
  •  метод найменших квадратів побудови апроксимуючої функції;

Студент повинний уміти:

  1.  працювати з масивами даних;
  2.  будувати електронні таблиці;
  3.  працювати з графіками в оболонці електронних таблиць Excel.
  4.  оцінювати схильність/несхильність до ризику, використовуючи коефіцієнт Пратта-Ерроу .

Студент повинний підготувати:

Алгоритм знаходження апроксимуючої функції з використанням електронних таблиць.

Завдання.

Зауваження: Дана лабораторна робота виконується двома студентами, що мають варіанти відповідно , , .

Заданий проміжок [10;N1+20] та відповідні значення функції корисності , , , ,  .

Перший етап. Кожному студентові скласти таблицю значень прибутку та відповідних їм корисностей наслідків, виходячи із власної системи переважань, використовуючи метод половинного поділу поточного проміжку за корисністю.

Другий етап.

1. Апроксимувати функцію корисності за допомогою:

а) лінійної,

б) квадратичної,

в) кубічної,

г) логарифмічної,

або будь-якої іншої функції.

2. Визначити, яка з побудованих функцій найкращим чином апроксимує функцію , використовуючи коефіцієнт детермінації R2.

Третій етап.

1. Знайти коефіцієнти Пратта-Ерроу для всіх одержаних на другому етапі апроксимуючих функцій, які не мають точок перегину на [10;N1+20].

2. Використовуючи функцію корисності, знайдену у п.2 другого етапу та відповідний коефіцієнт Пратта-Ерроу

а) визначити, чи схильний кожен зі студентів до ризику;

б) у випадку, коли обидва студенти мають схильність або несхильність до ризику, визначити, хто має “більшу”.

Приклад виконання роботи: Тендерна комісія оцінює схильність до ризику двох інвесторів А та В у справі реалізації проекту реорганізації підприємства легкої промисловості. Припускається, що чистий прибуток від інвестицій може бути від 10 до 100 тис грн. Значення функції корисності відповідно , , , ,  для обох інвесторів.

Розв’язання:

Перший етап. Інвестори відповідно до власної системи переважань розставили пріорітети наступним чином:

, , , ,  (для інвестора А).

, , , ,  (для інвестора В).

На проміжках [43,85] та [20,54] інвесторами знайдено точки з :  . Так як , , то розбіжність відповідно між ,  та ,  для обох інвесторів вважається неістотною. Комісією занесено отримані дані в таблицю (Табл. 1.13).

Таблиця 1.13

Корисність

Прибуток, тис. грн.

Інвестор А

Інвестор В

(позначення)

(значення)

(позначення)

(значення)

(позначення)

(значення)

0

10

10

0,25

43

20

0,5

70

33

0,75

85

54

1

100

100

Другий етап. (Побудова та апроксимація функцій корисності інвесторів А та В.)

Для роботи використаємо пакет Excel. Опишемо порядок виконання роботи:

По перше вихідні дані запишемо в робочу таблицю в блок (A1:С5).

По друге по введеним у робочу таблицю будуємо діаграму. Оскільки необхідно будувати динаміку змін цінності в залежності від прибутку, то будемо будувати діаграму “Точечная”. Для цього кліком курсору миші на панелі інструментів викликаємо “Мастер диаграмм”. В діалоговому вікні вибираємо тип діаграми “Точечная”. Вигляд – лівий верхній. Натискаємо “Далее” і вказуємо діапазон значень Y: A1:A5 (за допомогою миші). Перевіряємо положення перемикача Ряды: в столбцах. Вибираємо вкладку Ряд та за допомогою миші вводимо діапазон значень Х: B1:B5. На цій же вкладці натискаємо кнопку “Добавить”. Отримали Ряд 2, для якого повторимо вищевказану процедуру вводу даних, вказавши діапазон значень Х: С1:С5. Вводимо назви діаграми, осей Х та Y. Отримано графіки експериментальних даних.

По третє здійснимо апроксимацію отриманих кривих. Курсор миші встановлюємо на одну з точок одного з графіків та натискаємо праву кнопку. У виниклому контекстному меню вибираємо “Добавить линию тренда”. З’являється діалогове вікно Линия тренда. В залежності від вигляду кривої вибираємо відповідний тип лінії тренду. Відкриваємо вкладку “Параметры” та встановлюємо мітки в поля показывать уравнение не диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2). Натискаємо кнопку ОК. Аналогічну процедуру повторимо для другої кривої. Отримали найкращі апроксимуючі криві (Див. Рис. 1.7): для інвестора А – квадратичну , для інвестора В – логарифмічну .

Третій етап. Визначимо схильність до ризику інвесторів А та В:

Візуальний аналіз Рис. 1.7 вказує на схильність інвестора В до ризику та несхильність до ризику інвестора А. Те ж саме виявляє й аналітичний підхід з використанням коефіцієнта Пратта-Ерроу:

,

отже інвестор А не є схильним до ризику.

,

отже інвестор В виявляє схильність до ризику.

Висновки

Найкраща крива, що апроксимує функцію корисності інвестора А має вигляд

, причому коефіцієнт детермінації є достатньо великим, що підтверджує адекватність квадратичної залежності. Так як , то інвестора А не виявляє схильності до ризику.

Зауважимо, що коефіцієнт при  у кривій, що апроксимує функцію корисності інвестора А є порівняно малим, тобто інвестор виявляє дуже малу несхильність, що межує з нейтральним ставленням до ризику.

Аналогічно найкраща крива, що апроксимує функцію корисності інвестора В:

, з коефіцієнтом детермінації  та коефіцієнтом Пратта-Ерроу , що вказує на схильність інвестора В до ризику.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28774. Россия в мировом человеческом сообществе. Факторы самобытности русской истории 54.17 KB
  Такая функция России в механизмах социальноглобального развития человечества обусловлена особенностями Евразии как единственного места где на единой территории происходит соединение Запада и Востока. Необходимость военного могущества России ее евразийская масштабность сложившиеся духовнокультурные основания русского народа как основного скрепа российского суперэтноса уникальный опыт взаимодействия более 100 народов и национальностей обусловлены исторически определяют Россию как уникальную евразийскую цивилизацию общинного типа с...
28775. Специфика цивилизаций Древнего Востока и Античности 38.1 KB
  В восточной цивилизации не существует гарантий личных прав человека. Эссе Специфика цивилизации государства общества культуры Древнего востока и Античности Понятие цивилизации является очень широким. Специалисты выделяют три глобальных типа: традиционные цивилизации; индустриальная цивилизация; постиндустриальная информационная цивилизация. Цивилизации Востока развиваются циклически проходят фазы становления и упрочения единого государства его упадка а затем наступает катастрофа связанная с распадом государства.
28776. Место Средневековья во всемирно-историческом процессе 28.35 KB
  Место Средневековья во всемирноисторическом процессе. Как видно в оценке средневековья присутствуют крайности. Поразному определяются и временные рамки Средневековья. К тому же внутри тысячелетнего периода Средневековья принято выделять три этапа: Раннее Средневековье – Vв.
28777. Формирование древнерусской государственности. Принятие христианства и его влияние на дальнейшее развитие страны 111.82 KB
  Это тем более очевидно что классовые общества и государства в Скандинавии сложились позже чем на Руси и серьезно повлиять на формирование НовгородскоКиевской Руси варяги не могли.Роль варяжского элемента в ранних государственных структурах Древней Руси 4. И пошли за море к варягам к руси. Сказали Руси чудь славяне кривичи и весь: Земля велика и обильна а порядка в ней нет.
28778. Эволюция древнерусской государственности в XI-XII вв. Международные связи древнерусских земель 25.18 KB
  Международные связи древнерусских земель. Ее причинами были: раздел территории на уделы между наследниками различных ветвей Дома Рюриковичей происходил в результате действовавшего принципа по старшинству к старшему в роду; постоянные княжеские усобицы в основе которых часто лежали политические амбиции тех или иных конкретных лиц не согласных с лествичным правом; рост крупного землевладения укреплявший чувство уверенности в своих силах у крупных владетелей обладавших значительными материальными ресурсами; натуральный характер...
28779. Борьба народов Руси с иноземными захватчиками в XII в. 66.86 KB
  Борьба народов Руси с иноземными захватчиками в XII в. XIII век в истории Руси это время вооруженного противостояния натиску с востока монголотатары и северозапада немцы шведы датчане. Встают два важных вопроса: почему русские княжества проявив героизм и мужество не смогли дать отпор завоевателям Какие последствия имело для Руси иго Ответ на первый вопрос очевиден: конечно имело значение военное превосходство монголотатар жесткая дисциплина отличная конница прекрасно налаженная разведка и др. Другие подчеркивают...
28780. Держава Чингисхана и монгольские завоевания. Иго и дискуссия о его роли в становлении Русского государства 29.73 KB
  Влияние монголотатарского ига на развитие русских земель. Упомянув кратко о зависимости русских князей от ханских ярлыков и сбора налогов Соловьев отмечал что нет причины признавать значительное влияние монголов на русскую внутреннею администрацию поскольку мы не видим никаких его следов. произошло не благодаря а вопреки Орде с точки зрения на монгольское иго в современной исторической науке: Традиционная история рассматривает его как бедствие для русских земель. Нашествие кочевников сопровождались массовыми разрушениями русских городов...
28781. Начало самодержавия в России. Внутренняя и внешняя политика Ивана IV. Альтернативы развития страны: «Избранная Рада » и опричнина 17.93 KB
  Внутренняя и внешняя политика Ивана IV. Царствование Ивана Грозного принято условно делить на две части сильно отличающиеся друг от друга по внутренней политике. Это знаменовало формирование на Руси нового типа традиционного общества – сословнопредставительной монархии Постоянным же совещательным органом при царе служила еще со времен Ивана III Боярская дума состоявшая из бояр. Первый Земский собор орган сословного представительства обеспечивающий связь центра и мест речь Ивана IV с лобного места: осуждение неправильного боярского...
28782. Смута: социальная катастрофа или время альтернатив? Причины и последствия смутного времени. Начало династии Романовых 18.58 KB
  Смутное время началось после смерти Федора Ивановича последнего царя из рода Рюрика 6 января 1598 г. Русская армия в это время готовилась выйти на помощь Смоленску который с сентября 1609 года был осаждён войсками польского короля Сигизмунда III. Поляки и запорожцы овладели городами северской земли; население Стародуба и Почепа полностью погибло во время вражеского штурма; Чернигов и НовгородСеверский сдались.