12093

Движение тела, брошенного с некоторой высоты под углом к горизонту

Лабораторная работа

Физика

Лабораторная работа 112 Движение тела брошенного с некоторой высоты под углом к горизонту. Краткая теория 1. Основные понятия кинематики материальной точки. Кинематика это раздел механики описывающий движение тел без выяснения причин обусловивших это дв...

Русский

2013-04-24

319 KB

104 чел.

Лабораторная работа 1-12

Движение тела, брошенного с некоторой высоты

под углом к горизонту.

Краткая теория

1. Основные понятия кинематики материальной точки.

Кинематика - это раздел механики, описывающий движение тел без выяснения причин, обусловивших это движение. Рассмотрим основные понятия, которыми оперирует кинематика, и взаимосвязь между ними.

Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Система отсчета - тело, по отношению к которому рассматривается движение, связанная с ним система координат и прибор для отсчета времени.

Положение материальной точки в данной системе отсчета в любой момент времени задается радиусом- вектором  , проекции которого на оси декартовой системы координат называются координатами материальной точки х, у, z.

                                                                                      (1)

где  - орты декартовых осей координат.

Линия, которую описывает конец радиус-вектора при движении материальной точки, называется траекторией (рис.1).

Расстояние  между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории, называется путем, пройденным материальной точкой. Вектор , проведенный из начального положения в конечное, называется перемещением.

Тогда   

                                                       (2)

                           (3)

Очевидно, что при криволинейном движении  

                                                                                                                   (4)

Скорость - кинематическая характеристика, показывающая быстроту движения тела (точки). Различают несколько видов скоростей.

1 .Средняя по модулю скорость (или просто «средняя скорость») - величина, равная отношению пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден:

                                                                                                                             (5)

Это скалярная величина.

2.Средний вектор скорости - величина, равная отношению перемещения тела  к промежутку времени  за который это перемещение произошло.

                               (6)

Как видно  - вектор, совпадающий по направлению с   (рис. 2). Очевидно, что

                                        (7)

3. Мгновенная скорость   (или просто "скорость") равна пределу, к которому стремится  средний вектор скорости, когда промежуток времени  стремится   к нулю.

                     (8)

Таким образом, скорость есть производная радиуса - вектора по времени. При этом скорость характеризует не только быстроту движения тела по траектории, но и направление, в котором оно движется в каждый момент времени. В соответствии с (8) скорость направлена по касательной к траектории в каждой ее точке (рис. 2). При этом, так как  , то модуль мгновенной скорости может быть найден как

                                                                                                   (9)

Ускорение - векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости и равная изменению скорости в единицу времени:

                                                                                                     (10)

При криволинейном движении скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для того чтобы характеризовать эти изменения отдельно, ускорение разделяют на две составляющие (рис. 3):

  1.  

тангенциальное  ускорение - составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории и равная изменению модуля скорости в единицу времени:

                                    (11)

  1.  

нормальное ускорение - составляющая ускорения, направленная по нормали к траектории к центру ее кривизны  и показывающая изменение  направления скорости в единицу времени: 

                                                                    (12)

где R - радиус кривизны траектории в данной точке,  - единичный вектор нормали. При этом     и так как   , то

                                           (13)

Основной задачей кинематики является нахождение закона движения материальной точки, т.е. зависимость ее радиуса- вектора от времени:

                                                   

Зная зависимость от времени ускорения   и начальные условия (радиус-вектор  и скорость точки  в некоторый момент времени ), можно решить эту задачу. Из (10) следует, что

                                                 

Интегрируя это выражение, получаем

                                                                                                         (14)

Из (8) получаем:

Интегрируя это равенство, с учетом (14), получим

                                      (15)

К вычислению этого интеграла и сводится основная задача кинематики.

2. Движение тела в поле силы тяжести.

В лабораторной работе 1-12 проводится модельный эксперимент по исследованию зависимости дальности полета тела в поле силы тяжести от угла бросания в случае, когда точка бросания находится на некоторой высоте над поверхностью Земли.

Рассмотрим движение тела в поле силы тяжести. Как известно, если пренебречь сопротивлением воздуха и вращением Земли, это равноускоренное движение:  . Если принять  = 0, то интегрирование равенства (15) даёт следующее выражение:

а интегрирование равенства (14) приводит к выражению:

Таким образом, параметры состояния материальной точки при таком движении - радиус-вектор  и скорость  - задаются уравнениями:    

                                                                               (16)

Это уравнения движения в векторной форме.

Известно, что рассматриваемое движение является плоским (траектория лежит в вертикальной плоскости), поэтому для его описания достаточно системы отсчета с двумя координатными осями х и у. Начало системы отсчета и направление координатных осей выбираются из соображений удобства решения конкретной задачи.

Начальный радиус – вектор   задают с помощью начальных координат и  в момент временя t=0; начальный вектор скорости  задаётся его модулем   и углом α  между вектором  и осью координат х. 

B работе № l - 12 точка броска находится на некоторой высоте  по отношению к точке падения, поэтому систему отсчета и направление координатных осей рациональнее всего выбрать, как показано на рис. 1. Тогда  и первое из уравнений (16) в проекциях на оси х и у будет иметь вид

                                         (17)                                    

                          

Поскольку в точке падения      , то

        , отсюда

         

 Решение этого уравнения будет таким:

                                                                          (18)

И подставляя (19) в (18), получим:

                                                  (19)   

Kaк видно, формула (19) достаточно сложна для анализа, и получить простое выражение для угла , соответствующего максимальной дальности броска, не представляется возможным. Поэтому целью работы   1-12 является экспериментальное исследование зависимости S() при постоянных    и   и определение угла, при котором дальность полета максимальна.

Краткие сведения пo работе с программой.

Программа выполнена со стандартным для системы Windows интерфейсом и реализует многооконный режим работы. Каждое окно имеет заголовок, позволяющий ориентироваться в программе. Если возникнет необходимость переместить окно в пределах рабочего стола Windows, следует щелкнуть левой кнопкой мыши на строке заголовка и, удерживая нажатой кнопку мыши, переместить окно.    

При одновременной работе с графиком, панелью «Управление движением»  и таблицами рекомендуется сворачивать те окна, которые не нужны в данный момент. При этом окно минимизируется в кнопку, расположенную над панелью задач Windows (внизу рабочего стола Windows).

При выполнении лабораторной работы в окне «Центр контроля» («Управление движением») задаются скорость (в метрах в секунду); угол бросания (в градусах); высоты, с которой бросают тело над углом к горизонту; направление вертикальной оси у и начала отсчета по этой оси в соответствующих строках. При нажатии кнопки «Построить график» на экране появляется траектория движения тела при указанных значениях скорости и угла. После изменения угла и скорости графическое представление информации изменяется.

Если выделить указателем мыши при нажатой кнопке участок траектории, заключив его в рамку, проведенную из левого верхнего угла в правый нижний угол, то можно развернуть данный участок траектории на весь экран.   Если после этого обвести указателем мышки рамку произвольной площади в произвольном месте графика из правого нижнего угла в левый верхний, то первоначальный вид графика будет восстановлен.     При увеличенном изображении участка траектории на весь экран перемещение указателя мыши при нажатой правой кнопке приводит к перемещению экрана по графику в соответствующем направлении.

При задании режима «Стробоскоп» на графике появляются составляющие векторов скорости для точек траектории, нанесенных на нее через равные интервалы времени.

Моменты времени с соответствующими значениями кинематических характеристик указаны в таблице, которая появляется после нажатия кнопки “Таблица”.   Нажав кнопку «Движение», можно на графике наблюдать вектора, указные в правом верхнем углу графика, и характер их изменения в процессе движения тела. Скроллер, расположенный в окне "Управление движением", позволяет масштабировать во времени процесс движения тела.    Остановить движение, получив мгновенный «снимок» векторов, позволяет кнопка «Стоп». Повторное нажатие этой кнопки возвращает режим движения тела.  

Ход работы

  1.  В эксперименте моделируется движение реального тела при заданных программно значениях начальной скорости V0  и угла бросания α. При этом на экране отображается траектория движения в координатных осях  y(x). Начало отсчета и направление оси у задаётся в соответствии с выбранной системой координат.

  1.  Нажмите кнопку "Построить график" для проведения эксперимента, моделирующего движение тела. Пронаблюдайте составляющие вектора скорости  и  в различных точках траектории тела, установив в центре «Управление движением» режим «Стробоскоп».

  1.  Отмените режим «Стробоскоп» и, нажав кнопку "Движение", пронаблюдайте изменение составляющих скорости и ускорения тела. Для удобства наблюдения можно изменять временной масштаб, перемещая движок на линейке, расположенной над кнопкой «Движение». Используя центр «Управление движением», можно отключать изображения векторов составляющих и пронаблюдать их изменения с течением времени для любой комбинации векторов путем нажатия кнопки «Движение». Все векторы будут обозначены соответствующим цветом.

  1.  Значения кинематических характеристик будут представлены в Таблице 1.

                                                                                                                         Таблица 1

t, с

X, м

Y, м

Vx, м/с

Vy, м/с

an, м/с2

aτ, м/с2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

  1.  Нажимая кнопку "Построить график" в центре «Управление движением»,  для заданного значения начальной скорости необходимо провести по 5 опытов для 10 разных значений угла бросания при постоянной начальной скорости. Шаг угла бросания автоматически устанавливается 200.

  1.  При   нажатии   кнопки   "Построить график" в центре «Управление движением» будет появляться значение дальности полета в каждом опыте, а на экране - соответствующая траектория движения. После пяти первых бросаний появится Таблица 2, которую для удобства наблюдения траектории можно временно свернуть или переместить.

                                                                                                                 Таблица 2

Угол α

-90

-70

-50

-30

-10

10

30

50

70

90

S1

S2

S3

S4

S5

<S>

ΔSi

Sтеор

V0 =       м/с

α  =    º

  1.  Сверните таблицы и пронаблюдайте теоретическую зависимость дальности полета от угла бросания Sтеор(α) с нанесенными экспериментальными точками.
  2.  Нажмите кнопку «Отчет» и перепишите или распечатайте полученные результаты.
  3.  Для окончания работы закройте все окна и выйдите из программы.

Обработка результатов измерений.

  1.  Качественно изобразите траекторию движения тела в координатных осях у(х) и все вектора составляющих скорости и ускорения при подъёме тела в произвольный момент времени.
  2.  По данным Таблицы 2 постройте график теоретической зависимости дальности полета от угла бросания Sтеор(α) и нанесите на него экспериментальные точки (средние значения дальности полета <S> для 10 углов бросания).
  3.  По методу расчета погрешности при прямых измерениях найдите случайные погрешности дальности полета для каждого из углов Si. Запишите их в Таблицу 2.
  4.  Укажите на графике S(α) доверительные интервалы для каждой экспериментальной точки <S> (α).
  5.  По полученному графику Sтеор(α) определите, при каком значения угла бросания дальность полета максимальна. Сделайте вывод о соответствии экспериментальных и теоретических данных.                 
  6.  Выведите формулы для расчета нормального и тангенциального ускорения в зависимости от времени в соответствии с заданной системой отсчета. Используя полученные формулы и формулу для любых двух моментов времени из Таблицы 1 посчитайте значения полного ускорения. Сделайте вывод.

Контрольные вопросы

  1.  Система отсчета. Задание положения материальной точки в пространстве.
    1.  Траектория, путь, перемещение.
    2.  Скорость (средняя, средний вектор, мгновенная).
    3.  Ускорение, составляющие ускорения при криволинейном движении.
    4.  Основная задача кинематики. Закон движения материальной точки.
    5.  Кинематические характеристики тела, движущегося в поле силы тяжести.

 

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79064. Правовое положение рабов. Институт пекулия. Способы установления и прекращения рабства 25.17 KB
  Власть рабовладельца над рабом беспредельна; она является полным произволом; господин может раба продать даже убить. Раб не может вступить в брак признаваемый законом; союз раба и рабыни contubernium отношение чисто фактическое. Если тем не менее коекакие проблески признания личности раба имели место то это происходило в интересах самого рабовладельца имело целью расширить и углубить эксплуатацию рабов. Термином пекулий происходящим вероятно от слова pecus скот называлось имущество выделяемое из общего имущества рабовладельца в...
79065. Правовое положение римских граждан. Установление формально равной правоспособности свободных в области частного права. Понятие дееспособности. Лица недееспособные и частично дееспособные 23.98 KB
  Установление формально равной правоспособности свободных в области частного права. в случаях захвата римского гражданина во власть врагов или по крайней мере недружественного народа впрочем в случае последующего возвращения на римскую территорию такое лицо восстанавливалось во всех правах; это называлось ius postliminii. Правоспособность римского гражданства в области частного права слагалась из двух основных элементов: ius conubii т. права вступать в законный брак при котором дети получали права римского гражданства а отцу принадлежала...
79066. Прекращение обязательств. Новация. Зачет. Невозможность исполнения обязательства 22.39 KB
  Невозможность исполнения обязательства. Последнее возможно лишь с согласия кредитора; место исполнения соответствует месту определенному в договоре; исполнение в срок указанный в договоре.; в оба требования должны быть такими по которым срок исполнения уже наступил или определен моментом востребования. Просрочка исполнения усиливает ответственность должника который должен впредь отвечать не только соответственно прямому содержанию обязательства но и обязывался к возмещению неполученных доходов кредитора на него возлагался случайный...
79067. Развитие уголовного права в Риме в период империи 19.9 KB
  Характерной тенденцией развития уголовного права данного периода является то что ряд частных деликтов постепенно становятся уголовно наказуемыми включаются в категорию преступлений crimen publicum. Появляется также большое число новых преступлений в том числе таких которые рассматриваются как опасное посягательство на устои государства. В числе этих преступлений заговор с целью свержения императора покушение на его жизнь или жизнь его чиновников непризнание религиозного культа императора и т. К числу преступлений непосредственно...
79068. Развитие уголовного права в Риме в республиканский период. Виды преступлений. Виды наказаний. Уголовный суд и процесс 20.41 KB
  Благодаря этому обстоятельству приговор магистрата малопомалу теряет свое значение и собственными органами уголовного суда делаются comiti centurit если дело идет о cpite и tribut если дело идет об nquisitio pecuni. Все производство у магистрата приобретает характер предварительного следствия. Производство перед магистратом в уголовных делах по своему смыслу отнюдь не соответствует производству in jure в процессе гражданском: здесь магистрат ничего не разбирает и ничего не решает меж тем как в уголовном процессе суд магистрата имеет...
79069. Сервитуты. Понятие и виды. Хозяйственное значение и содержание сервитутов. Приобретение и утрата сервитутов. Защита сервитутного права 27.56 KB
  С ростом городов с увеличением скученности городских построек собственники городских земельных участков стали нуждаться в правовом средстве с помощью которого можно было бы предупредить полное затемнение одного участка постройкой на соседнем участке и т. Прочность удовлетворения потребности посредством такой правовой формы состояла в вещном характере сервитутного права: предметом сервитутного права являлся сам земельный участок а не действие определенного лица обязавшегося допускать пользование его земельным участком со стороны соседа....
79070. Содержание и виды договоров. Условия действительности договора. Недействительность договора (сделки). Договоры противозаконные и противоречащие добрым нравам. Пороки воли 24.85 KB
  Со временем договорами стали также считаться неформальные соглашения лиц. Такие соглашения именовались пактами и, в отличие от контрактов, первоначально не пользовались исковой защитой, так как заключались без соблюдения установленной процедуры.
79071. Стороны в обязательстве. Замена лиц в обязательстве. Обязательства с несколькими кредиторами или должниками 28.95 KB
  Обязательства с несколькими кредиторами или должниками. Оно рассматривалось как строго личная связь между кредитором и должником несмотря на имущественный характер содержания обязательства.С установлением обязательства связывались определенные юридические последствия исключительно для тех лиц которые его установили. Понимание обязательства как строго личного отношения между сторонами приводило также к тому что обязательство первоначально признавалось абсолютно непередаваемым ни на активной стороне переход права требования от кредитора к...
79072. Уголовное право Рима в древнейший период. Виды деликтов 19.71 KB
  Многие из таких частных деликтов известных Законам XII таблиц стали рассматриваться как преступления в последующем. преступления которые наказывались от имени римского народа а взыскания по ним шли не частным лицам а государству. К ним относились прежде всего преступления против республики. В зависимости от характера преступления смертная казнь принимала различные формы: отсечение головы утопление распятие сбрасывание с Тарпейской скалы и т.