12093

Движение тела, брошенного с некоторой высоты под углом к горизонту

Лабораторная работа

Физика

Лабораторная работа 112 Движение тела брошенного с некоторой высоты под углом к горизонту. Краткая теория 1. Основные понятия кинематики материальной точки. Кинематика это раздел механики описывающий движение тел без выяснения причин обусловивших это дв...

Русский

2013-04-24

319 KB

93 чел.

Лабораторная работа 1-12

Движение тела, брошенного с некоторой высоты

под углом к горизонту.

Краткая теория

1. Основные понятия кинематики материальной точки.

Кинематика - это раздел механики, описывающий движение тел без выяснения причин, обусловивших это движение. Рассмотрим основные понятия, которыми оперирует кинематика, и взаимосвязь между ними.

Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Система отсчета - тело, по отношению к которому рассматривается движение, связанная с ним система координат и прибор для отсчета времени.

Положение материальной точки в данной системе отсчета в любой момент времени задается радиусом- вектором  , проекции которого на оси декартовой системы координат называются координатами материальной точки х, у, z.

                                                                                      (1)

где  - орты декартовых осей координат.

Линия, которую описывает конец радиус-вектора при движении материальной точки, называется траекторией (рис.1).

Расстояние  между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории, называется путем, пройденным материальной точкой. Вектор , проведенный из начального положения в конечное, называется перемещением.

Тогда   

                                                       (2)

                           (3)

Очевидно, что при криволинейном движении  

                                                                                                                   (4)

Скорость - кинематическая характеристика, показывающая быстроту движения тела (точки). Различают несколько видов скоростей.

1 .Средняя по модулю скорость (или просто «средняя скорость») - величина, равная отношению пройденного пути ко времени, за которое этот путь пройден:

                                                                                                                             (5)

Это скалярная величина.

2.Средний вектор скорости - величина, равная отношению перемещения тела  к промежутку времени  за который это перемещение произошло.

                               (6)

Как видно  - вектор, совпадающий по направлению с   (рис. 2). Очевидно, что

                                        (7)

3. Мгновенная скорость   (или просто "скорость") равна пределу, к которому стремится  средний вектор скорости, когда промежуток времени  стремится   к нулю.

                     (8)

Таким образом, скорость есть производная радиуса - вектора по времени. При этом скорость характеризует не только быстроту движения тела по траектории, но и направление, в котором оно движется в каждый момент времени. В соответствии с (8) скорость направлена по касательной к траектории в каждой ее точке (рис. 2). При этом, так как  , то модуль мгновенной скорости может быть найден как

                                                                                                   (9)

Ускорение - векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости и равная изменению скорости в единицу времени:

                                                                                                     (10)

При криволинейном движении скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Для того чтобы характеризовать эти изменения отдельно, ускорение разделяют на две составляющие (рис. 3):

  1.  

тангенциальное  ускорение - составляющая ускорения, направленная по касательной к траектории и равная изменению модуля скорости в единицу времени:

                                    (11)

  1.  

нормальное ускорение - составляющая ускорения, направленная по нормали к траектории к центру ее кривизны  и показывающая изменение  направления скорости в единицу времени: 

                                                                    (12)

где R - радиус кривизны траектории в данной точке,  - единичный вектор нормали. При этом     и так как   , то

                                           (13)

Основной задачей кинематики является нахождение закона движения материальной точки, т.е. зависимость ее радиуса- вектора от времени:

                                                   

Зная зависимость от времени ускорения   и начальные условия (радиус-вектор  и скорость точки  в некоторый момент времени ), можно решить эту задачу. Из (10) следует, что

                                                 

Интегрируя это выражение, получаем

                                                                                                         (14)

Из (8) получаем:

Интегрируя это равенство, с учетом (14), получим

                                      (15)

К вычислению этого интеграла и сводится основная задача кинематики.

2. Движение тела в поле силы тяжести.

В лабораторной работе 1-12 проводится модельный эксперимент по исследованию зависимости дальности полета тела в поле силы тяжести от угла бросания в случае, когда точка бросания находится на некоторой высоте над поверхностью Земли.

Рассмотрим движение тела в поле силы тяжести. Как известно, если пренебречь сопротивлением воздуха и вращением Земли, это равноускоренное движение:  . Если принять  = 0, то интегрирование равенства (15) даёт следующее выражение:

а интегрирование равенства (14) приводит к выражению:

Таким образом, параметры состояния материальной точки при таком движении - радиус-вектор  и скорость  - задаются уравнениями:    

                                                                               (16)

Это уравнения движения в векторной форме.

Известно, что рассматриваемое движение является плоским (траектория лежит в вертикальной плоскости), поэтому для его описания достаточно системы отсчета с двумя координатными осями х и у. Начало системы отсчета и направление координатных осей выбираются из соображений удобства решения конкретной задачи.

Начальный радиус – вектор   задают с помощью начальных координат и  в момент временя t=0; начальный вектор скорости  задаётся его модулем   и углом α  между вектором  и осью координат х. 

B работе № l - 12 точка броска находится на некоторой высоте  по отношению к точке падения, поэтому систему отсчета и направление координатных осей рациональнее всего выбрать, как показано на рис. 1. Тогда  и первое из уравнений (16) в проекциях на оси х и у будет иметь вид

                                         (17)                                    

                          

Поскольку в точке падения      , то

        , отсюда

         

 Решение этого уравнения будет таким:

                                                                          (18)

И подставляя (19) в (18), получим:

                                                  (19)   

Kaк видно, формула (19) достаточно сложна для анализа, и получить простое выражение для угла , соответствующего максимальной дальности броска, не представляется возможным. Поэтому целью работы   1-12 является экспериментальное исследование зависимости S() при постоянных    и   и определение угла, при котором дальность полета максимальна.

Краткие сведения пo работе с программой.

Программа выполнена со стандартным для системы Windows интерфейсом и реализует многооконный режим работы. Каждое окно имеет заголовок, позволяющий ориентироваться в программе. Если возникнет необходимость переместить окно в пределах рабочего стола Windows, следует щелкнуть левой кнопкой мыши на строке заголовка и, удерживая нажатой кнопку мыши, переместить окно.    

При одновременной работе с графиком, панелью «Управление движением»  и таблицами рекомендуется сворачивать те окна, которые не нужны в данный момент. При этом окно минимизируется в кнопку, расположенную над панелью задач Windows (внизу рабочего стола Windows).

При выполнении лабораторной работы в окне «Центр контроля» («Управление движением») задаются скорость (в метрах в секунду); угол бросания (в градусах); высоты, с которой бросают тело над углом к горизонту; направление вертикальной оси у и начала отсчета по этой оси в соответствующих строках. При нажатии кнопки «Построить график» на экране появляется траектория движения тела при указанных значениях скорости и угла. После изменения угла и скорости графическое представление информации изменяется.

Если выделить указателем мыши при нажатой кнопке участок траектории, заключив его в рамку, проведенную из левого верхнего угла в правый нижний угол, то можно развернуть данный участок траектории на весь экран.   Если после этого обвести указателем мышки рамку произвольной площади в произвольном месте графика из правого нижнего угла в левый верхний, то первоначальный вид графика будет восстановлен.     При увеличенном изображении участка траектории на весь экран перемещение указателя мыши при нажатой правой кнопке приводит к перемещению экрана по графику в соответствующем направлении.

При задании режима «Стробоскоп» на графике появляются составляющие векторов скорости для точек траектории, нанесенных на нее через равные интервалы времени.

Моменты времени с соответствующими значениями кинематических характеристик указаны в таблице, которая появляется после нажатия кнопки “Таблица”.   Нажав кнопку «Движение», можно на графике наблюдать вектора, указные в правом верхнем углу графика, и характер их изменения в процессе движения тела. Скроллер, расположенный в окне "Управление движением", позволяет масштабировать во времени процесс движения тела.    Остановить движение, получив мгновенный «снимок» векторов, позволяет кнопка «Стоп». Повторное нажатие этой кнопки возвращает режим движения тела.  

Ход работы

  1.  В эксперименте моделируется движение реального тела при заданных программно значениях начальной скорости V0  и угла бросания α. При этом на экране отображается траектория движения в координатных осях  y(x). Начало отсчета и направление оси у задаётся в соответствии с выбранной системой координат.

  1.  Нажмите кнопку "Построить график" для проведения эксперимента, моделирующего движение тела. Пронаблюдайте составляющие вектора скорости  и  в различных точках траектории тела, установив в центре «Управление движением» режим «Стробоскоп».

  1.  Отмените режим «Стробоскоп» и, нажав кнопку "Движение", пронаблюдайте изменение составляющих скорости и ускорения тела. Для удобства наблюдения можно изменять временной масштаб, перемещая движок на линейке, расположенной над кнопкой «Движение». Используя центр «Управление движением», можно отключать изображения векторов составляющих и пронаблюдать их изменения с течением времени для любой комбинации векторов путем нажатия кнопки «Движение». Все векторы будут обозначены соответствующим цветом.

  1.  Значения кинематических характеристик будут представлены в Таблице 1.

                                                                                                                         Таблица 1

t, с

X, м

Y, м

Vx, м/с

Vy, м/с

an, м/с2

aτ, м/с2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

  1.  Нажимая кнопку "Построить график" в центре «Управление движением»,  для заданного значения начальной скорости необходимо провести по 5 опытов для 10 разных значений угла бросания при постоянной начальной скорости. Шаг угла бросания автоматически устанавливается 200.

  1.  При   нажатии   кнопки   "Построить график" в центре «Управление движением» будет появляться значение дальности полета в каждом опыте, а на экране - соответствующая траектория движения. После пяти первых бросаний появится Таблица 2, которую для удобства наблюдения траектории можно временно свернуть или переместить.

                                                                                                                 Таблица 2

Угол α

-90

-70

-50

-30

-10

10

30

50

70

90

S1

S2

S3

S4

S5

<S>

ΔSi

Sтеор

V0 =       м/с

α  =    º

  1.  Сверните таблицы и пронаблюдайте теоретическую зависимость дальности полета от угла бросания Sтеор(α) с нанесенными экспериментальными точками.
  2.  Нажмите кнопку «Отчет» и перепишите или распечатайте полученные результаты.
  3.  Для окончания работы закройте все окна и выйдите из программы.

Обработка результатов измерений.

  1.  Качественно изобразите траекторию движения тела в координатных осях у(х) и все вектора составляющих скорости и ускорения при подъёме тела в произвольный момент времени.
  2.  По данным Таблицы 2 постройте график теоретической зависимости дальности полета от угла бросания Sтеор(α) и нанесите на него экспериментальные точки (средние значения дальности полета <S> для 10 углов бросания).
  3.  По методу расчета погрешности при прямых измерениях найдите случайные погрешности дальности полета для каждого из углов Si. Запишите их в Таблицу 2.
  4.  Укажите на графике S(α) доверительные интервалы для каждой экспериментальной точки <S> (α).
  5.  По полученному графику Sтеор(α) определите, при каком значения угла бросания дальность полета максимальна. Сделайте вывод о соответствии экспериментальных и теоретических данных.                 
  6.  Выведите формулы для расчета нормального и тангенциального ускорения в зависимости от времени в соответствии с заданной системой отсчета. Используя полученные формулы и формулу для любых двух моментов времени из Таблицы 1 посчитайте значения полного ускорения. Сделайте вывод.

Контрольные вопросы

  1.  Система отсчета. Задание положения материальной точки в пространстве.
    1.  Траектория, путь, перемещение.
    2.  Скорость (средняя, средний вектор, мгновенная).
    3.  Ускорение, составляющие ускорения при криволинейном движении.
    4.  Основная задача кинематики. Закон движения материальной точки.
    5.  Кинематические характеристики тела, движущегося в поле силы тяжести.

 

PAGE  1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34960. Проблемы и последствия экономического роста 27.5 KB
  Таким образом потребность перехода к интенсивному типу экономического роста вызвана природными условиями и интернационализации хозяйства в целом. Органической составной частью проблем связанных с повышением эффективности и качества экономического роста является увеличение инвестиций в человеческий капитал.
34961. Роль ЦП в регулировании денежно-кредитной системы 26.5 KB
  Основными целями деятельности банка России является: 1.Развитие и укрепление банковской системы Российской Федерации. Таким образом Центральный банк является одним из важнейших инструментов механизма государственного регулирования экономики и сочетает в той или иной степени функции банка и органа государственного управления.
34962. Рыночное равновесие. Установка равновесной цены 62 KB
  Рыночное равновесие устанавливается когда цена приводится к уровню который уравнивает объем спроса и объем предложения. Рыночное равновесие цены и объем продаваемого блага могут изменяться в ответ на изменения спроса и предложения. Когда потолок цен устанавливается ниже равновесной цены образуется дефицит иногда его называют избыточным спросом благ и объем спроса превышает объем предложения.
34963. Рыночные структуры и их типы 31 KB
  Рыночные структуры и их типы Рыночная структура – это совокупность отражающих отраслевые особенности признаков рыночной организации обусловливающих способ установления цены и объема выпуска а также определяющих характер взаимодействия фирм отрасли. Рынки несовершенной конкуренции в свою очередь представлены рынками чистой монополии монополистической конкуренции олигополистическими рынками; чистая монополия тип рыночной структуры характеризующийся отсутствием конкуренции что предполагает господство на закрытом входными барьерами...
34964. Свойства кривых безразличия 40 KB
  Через любую точку в графическом пространстве можно провести соответствующую кривую безразличия. Так мы получим карту кривых безразличия. Любая кривая безразличия лежащая выше и правее другой представляет собой высокий уровень полезности.
34965. Системы национальных счетов, функции и структурные элементы 26.5 KB
  СНС связывает важнейшие макроэкономические показатели: объемы выпуска товаров и услуг совокупные доходы и расходы. СНС выполняет несколько важных функций среди которых: измерение объемов производства за определенный промежуток времени; выявление существующих тенденций в экономике; организация экономической политики государства. К показателям СНС относят: валовой внутренний продукт ВВП валовой национальный продукт ВНП валовой национальный располагаемый доход конечное потребление валовое накопление национальное сбережение НС...
34966. Совокупное предложение (две модели). Неценовые факторы совокупного предложения 116.5 KB
  Закон совокупного предложения при более высоком уровне цен у производителей возникают стимулы увеличения объема производства и соответственно увеличивается предложение изготовляемых товаров. Неценовые факторы совокупного предложения: Изменение цен на ресурсы: Наличие внутренних ресурсов Цены на импортные ресурсы Господство на рынке Изменение в производительности объем производства общие затраты Изменения правовых норм: Налоги с предприятий и субсидии Государственное регулирование Совокупное предложение: классическая и...
34967. Совокупный спрос. Неценовые факторы совокупного спроса 84 KB
  Совокупный спрос. Неценовые факторы совокупного спроса Совокупный спрос общий платежеспособный спрос на все товары и услуги производимые в экономике. Совокупный спрос реальный объем производимой в обществе продукции по сути ВВП который потребители готовы приобрести при каждом данном уровне цен в экономике. При расчете ВВП по потоку расходов выделялись четыре расходующие группы предъявляющие спрос на национальном рынке: население бизнес государство иностранные потребители.
34968. Способы измерения ВВП 29 KB
  Способы измерения ВВП ВВП рассчитывается 3 методами: По доходам ВВП = Национальный доход амортизация косвенные налоги субсидии чистый факторный доход изза границы ЧДиФ или чистый факторный доход иностранцев работающих на территории данной страны ЧДФ где: Национальный доход = заработная плата арендная плата процентные платежи прибыль корпораций Данная формула характеризует ВВП по доходам в Системе национальных счетов ООН версия 2008 года. По расходам где ВВП = Конечное потребление Валовое накопление капитала...