12248

Прямые методы минимизации функции одной переменной

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 1. Прямые методы минимизации функции одной переменной. В данной работе рассматриваются методы решения поставленной задачи не использующие вычисления производных прямые методы минимизации. Постановка задачи: Требуется найти безусловный ми...

Русский

2013-04-24

1 MB

61 чел.

Лабораторная работа 1.

Прямые методы минимизации функции одной переменной.

В данной работе рассматриваются методы решения поставленной задачи, не использующие вычисления производных (прямые методы минимизации).

Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной f(x), т.е. такую точку , что . Значение точки минимума вычислить приближенно с заданной точностью ε.

Предполагается, что для функции f(x) предварительно определен начальный интервал неопределенности L0 = [a0, b0] (имеется априорная информация о положении точки минимума, а именно то, что точка минимума , но более точное положение ее неизвестно), причем на заданном интервале функция является унимодальной (для любых функция монотонно убывает, для любых функция монотонно возрастает).

Метод равномерного поиска (метод перебора).

Стратегия поиска: Метод относится к пассивным стратегиям.

Задается количество интервалов N, на которое разбивается исходный интервал
L0 = [a0, b0]. Вычисления производятся в N +1 равноотстоящих друг от друга точках. Путем сравнения величин f(xi), i = 0,1,…,N находится точка xk, в которой значение функции наименьшее. Искомая точка минимума считается заключенной в интервале [xk-1, xk+1].

Алгоритм:

  1. Задать начальный интервал неопределенности L0 и точность ε.
  2. Задать количество интервалов разбиения .
  3. Вычислить точки ,  .
  4. Вычислить значения функции в найденных точках: f(xi) , .
  5. Среди точек найти такую, в которой функция принимает наименьшее значение: .
  6. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Метод поразрядного поиска.

Стратегия поиска: Метод является усовершенствованным вариантом метода перебора. В этом методе перебор точек интервала неопределенности L0 происходит сначала с шагом , i = 0, 1, … (при этом точка x0 совпадает с концом отрезка a0) до тех пор, пока не выполнится условие , или пока очередная из точек xi не совпадет с концом отрезка b0. После этого шаг уменьшается в несколько (2, 4, 10) раз, и производится перебор точек в противоположном направлении (с новым шагом) до тех пор, пока значения f(x) не перестанут уменьшаться, или очередная точка не совпадет с концом отрезка a0. Процедура уменьшения шага и смены направления перебора на противоположное повторяется несколько раз. Поиск прекращается, если текущий шаг дискретизации при последнем проходе алгоритма  не превосходит заданной точности .

Следует отметить, что в данном методе интервал неопределенности может быть полубесконечным: L0 = [a0, +∞) или L0 = (-, b0] (во втором случае начальное направление перебора выбирается в сторону уменьшения значений x).

Алгоритм:

  1. Задать начальный интервал неопределенности L0 и точность ε.
  2. Задать начальный шаг дискретизации .
  3. Положить i = 1, x0 = a0. Вычислить значение функции  f(x0).
  4. Определить точку xi = xi-1+Δ и значение функции  f(xi).
  5. Если и , то положить i = i +1 и вернуться к шагу 4.
  6. Задать новый шаг дискретизации .
  7. Если , то перейти к шагу 12.
  8. Вычислить точку xi = xi-1-Δ и значение функции  f(xi).
  9. Если и , то положить i = i +1 и вернуться к шагу 8.
  10. Задать новый шаг дискретизации и перейти к шагу 4.
  11. Если , то перейти к шагу 12.
  12. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Метод дихотомии.

Стратегия поиска: Метод относится к последовательным стратегиям и является одним из вариантов метода исключения отрезков.

Алгоритм опирается на анализ значений функции в двух точках. Для их нахождения текущий интервал неопределенности делится пополам и в обе стороны от середины откладывается по по δ/2, где δ < 2ε – малое положительное число. По результатам сравнения значений функции в этих точках из дальнейшего рассмотрения исключается часть текущего интервала неопределенности: из трех отрезков, полученных в результате разбиения интервала, выбирается тот отрезок, который не содержит точку с меньшим значением функции, и исключается из дальнейшего рассмотрения. Условия окончания итераций для всех вариантов метода исключения отрезков стандартные: поиск заканчивается, когда длина текущего интервала неопределенности оказывается меньше установленной величины точности ε.

Алгоритм:

  1. Задать начальный интервал неопределенности L0 и точность ε.
  2. Выбрать δ < .
  3. Положить k = 0 (k – номер итерации).
  4. Вычислить длину текущего интервала L0 = b0 - a0.
  5. Вычислить точки , и значения функции f(x1), f(x2).
  6. Сравнить f(x1) и f(x2).
  7. Если , то положить ak+1 = ak, bk+1 = x2.

  В противном случае () положить ak+1 = x1, bk+1 = bk.

  1. Вычислить длину нового интервала неопределенности Lk+1 = bk+1- ak+1.
  2. Если Lk+1 > ε, то перейти к шагу 5.
  3. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Метод золотого сечения.

Стратегия поиска: Метод относится к последовательным стратегиям и является одним из вариантов метода исключения отрезков.

Алгоритм опирается на анализ значений функции в двух точках, являющихся точками золотого сечения текущего интервала неопределенности. Исключение отрезка в данном случае выполняется так же, как и в методе дихотомии. При этом с учетом свойств золотого сечения на каждой итерации, кроме первой, требуется только одно новое вычисление функции.

Алгоритм:

  1. Задать начальный интервал неопределенности L0 и точность ε.
  2. Положить k = 0 (k – номер итерации).
  3. Вычислить длину текущего интервала L0 = b0 - a0.
  4. Вычислить значение и точки , .
  5. Вычислить значения функции , .
  6. Сравнить значения , .
  7. Если , то положить , , , .
    В противном случае () положить , , , .
  8. Вычислить длину нового интервала неопределенности Lk+1 = bk+1- ak+1.
  9. Если Lk+1 > ε, то перейти к шагу 5.
  10. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Вопросы и задания

  1. Реализовать функции для трех методов из приведенных выше: метода перебора, метода поразрядного поиска, метода дихотомии (либо метода золотого сечения вместо метода дихотомии).
  2. Выбрать для выполнения лабораторной работы тестовую функцию, номер которой соответствует последней цифре номера Вашего компьютера
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13. Для выбранной функции и для каждого реализованного метода изучить зависимость скорости работы (числа вычислений функции N) от заданного значения точности ε. Для этого необходимо определить число вычислений функции N при нескольких (от трех до пяти) значениях точности, например, при  и построить график зависимости .
  14.  Провести сравнение методов между собой: сравнить сложность реализации, скорость работы (точность). Какой из рассмотренных методов более оптимален для низкой точности () и для высокой точности ()?
  15.  Сохранить результаты для использования в лабораторной работе 2.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40878. Оптимізація епістемної функції мови 87.5 KB
  Термінознавство є розділом лексикології що вивчає терміносистеми мови принципи їхньої організації механізми творення термінів вимоги до них а також розв'язує прикладні завдання впорядкування й кодифікації терміносистем і їхніх відповідників у різних мовах. Терміносистема не відповідна метамові певної галузі оскільки до метамови входять формули символіка які не належать до природної мови. Лейчик вважає що це традиційне питання може бути розв'язане на підставі кваліфікації терміна як лексичної одиниці мови для спеціальних потреб.
40879. СОВРЕМЕННАЯ ПОЛИТИЧЕСКАЯ ЛИНГВИСТИКА 227.5 KB
  Каждый новый поворот в историческом развитии государства приводит к языковой перестройке создает свой лексикофразелогический тезаурус включающий также концептуальные метафоры и символы. Специальные исследования показывают что абсолютное большинство исследований политической метафоры выполняется на материале современного дискурса. Вместе с тем появляются публикации в которых рассматриваются метафоры характерные для иных политических периодов. Согласно такой точке зрения и в Древней Греции и в средневековой Европе и в любой стране...
40880. Фізичні причини виділення діапазону НВЧ 187 KB
  Рівняння Максвела 2ого порядку описують всі електромагнітні явища: де густина струму напруженість ЕП напруженість МП індукція МП індукція ЕП густина заряду поверхневий струм. Це – не всі рівняння Максвела у такій формі їх іноді називають рівняннями Герца. Рівняння записано в СГСЕ. Ці диференційні рівняння в частинних похідних другого порядку неоднорідні.
40881. Конституційне право України – провідна галузь національного права України 145.5 KB
  €œКонституційне право України – провідна галузь національного права України†План Поняття і предмет конституційного права України. Поняття і структура системи конституційного права України. Інститути конституційного права України: поняття і види. Метою даної лекції є формування у студентів знань щодо поняття “конституційне право України†як галузі права; засвоєння ними понять предмету і методів конституційноправового регулювання вивчення системи конституційного права України та її елементів а також поняття...
40883. Класифікація електромагнітних явищ 165 KB
  Рівняння магнітостатики: рівняння електростатики: . Рівняння магнітостатики має місце і там де . Звідси тобто звідки одержуємо рівняння Лапласа: з урахуванням заряду Пуасона: без.
40884. Конституційне право України як наука і навчальна дисципліна 253 KB
  €œКонституційне право України як наука і навчальна дисципліна План Конституційне право України як наука: поняття предмет система науки джерела науки основні функції науки. Конституційне право України як навчальна дисципліна: поняття структура курсу основна характеристика. Джерела конституційного права України як галузі права: поняття основні вимоги до джерел види джерел. Література Основна до всіх тем Конституція України від 28 червня 1996 р Відомості Верховної Ради України.
40885. Затухання у металі, скін – шар 67 KB
  В металі хвиля затухає як . Глибина на якій хвиля спадає в раз називається скін – шаром. Ми не врахували те що існує також відбита хвиля у середовищі
40886. Конституція України - Основний Закон держави 180 KB
  Конституція України Основний Закон держави†План Поняття і загальна характеристика конституції як Основного Закону держави. Юридичні властивості й функції Конституції України. Основні етапи становлення Конституції України. Правова охорона Конституції України.