12249

Методы минимизации функции одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функции одной переменной использующие информацию о производных целевой функции. Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной fx т.е. такую точку что . Значение точки минимума вычисл

Русский

2013-04-24

781.11 KB

30 чел.

Лабораторная работа 2.

Методы минимизации функции одной переменной,

использующие информацию о производных целевой функции.

Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной f(x), т.е. такую точку , что . Значение точки минимума вычислить приближенно с заданной точностью ε.

В лабораторной работе № 1 были рассмотрены прямые методы решения задачи минимизации функции одной переменной. В данной работе рассматриваются методы минимизации, которые используют информацию о производной целевой функции.

Пусть на предварительно выбранном интервале неопределенности  целевая функция f(x) является выпуклой дифференцируемой функцией. Тогда для f(x) необходимым и достаточным условием глобального минимума является равенство нулю первой производной функции:

Метод средней точки.

Стратегия поиска: Если определение производной целевой функции не представляет затруднений, то в процедуре исключения отрезков методом дихотомии вычисление двух значений  вблизи середины очередного отрезка можно заменить вычислением одного значения производной  в его средней точке .

Сравнивая  с нулем, делим отрезок поиска точки минимума ровно вдвое, причем на каждой итерации нам надо вычислить только одно значение , не вычисляя при этом самой функции.

Алгоритм:

  1. Задать начальный интервал неопределенности L0 и точность ε.
  2. Положить . Вычислить .
  3. Проверка на окончание поиска: если , то положить ,  и завершить поиск, иначе – перейти к шагу 4.
  4. Сравнить  с нулем. Если , то продолжить поиск на отрезке , положив , иначе перейти к отрезку , положив . Перейти к шагу 2.

Метод хорд.

Стратегия поиска: Пусть на концах отрезка  производная  имеет разные знаки, т.е. . Тогда на интервале  найдется точка, в которой  обращается в нуль. В этом случае поиск минимума f(x) на отрезке  эквивалентен решению уравнения  на интервале .

Сущность метода хорд приближенного решения уравнения  на интервале  при  состоит в исключении отрезков путем определения точки пересечения с осью Ох хорды графика функции  на .

Координата этой точки равна:

Отрезок дальнейшего поиска точки минимума  (отрезок  или ) выбирается в зависимости от знака производной  так же, как и в методе средней точке. На каждой итерации, кроме первой, необходимо вычислять только одно новое значение производной  (значения производной на концах отрезка известны с предыдущих шагов).

Алгоритм:

  1. Выбрать начальный интервал неопределенности L0 и точность .
  2. Вычислить значения , .
  3. Положить , , , .
  4. Вычислить точку и значение .
  5. Если , то перейти к шагу 8.
  6. Если , то положить , , в противном случае положить , .
  7. Перейти к шагу 4.
  8. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Метод Ньютона (метод касательных).

Стратегия поиска: Пусть функция является дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке . Тогда для приближенного решения уравнения  можно применить метод Ньютона, или метод касательных.

Пусть  - нулевое, или начальное приближение к искомой точке . Построим в точке  касательную к графику функции :

Выберем в качестве следующего приближения к  точку  пересечения касательной с осью абсцисс:

В точке  построим новую касательную к графику и определим точку  – точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процедуру построения касательных повторяют до тех пор, пока не выполнится неравенство .

Возвращаясь к обозначению , получим, что для решения уравнения  необходимо построить последовательность

Следует отметить, что при плохом выборе начального приближения  метод может расходится (т.е. второе и последующие приближения могут отстоять от точки минимума дальше, чем начальное приближение).

Алгоритм:

  1. Выбрать начальное приближение x0, точность ε и предельное число итераций M.
  2. Положить k = 0 (k – номер итерации).
  3. Вычислить , .
  4. Вычислить точку и значения производных , .
  5. Если , то перейти к шагу 8.
  6. Положить k = k +1.
  7. Если k < M  перейти к шагу 4, в противном случае завершить поиск (последовательность расходится, необходимо повторить поиск с другим начальным приближением).
  8. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Вопросы и задания

  1. Написать функции, реализующие три предложенных метода.
  2. Выбрать для выполнения лабораторной работы тестовую функцию, номер которой соответствует последней цифре номера Вашего компьютера (данная функция совпадает с функцией, использованной в лабораторной работе 1)
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13. Для выбранной функции и для каждого реализованного метода изучить зависимость скорости работы (числа вычислений функции N) от заданного значения точности ε. Для этого необходимо определить число вычислений функции N при нескольких (от трех до пяти) значениях точности, например, при  и построить график зависимости .
  14.  Провести сравнение методов между собой: сравнить сложность реализации, скорость работы (точность). Какой из рассмотренных методов более оптимален для низкой точности () и для высокой точности ()?
  15.  Сравнить результаты полученные в настоящей работе с результатами, полученными в работе 1.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66461. Структурно-семантичні та прагматичні особливості парантезу в оповіданнях У.Фолкнера 209 KB
  Робоча гіпотеза, яка висувається в дослідженні полягає в тому, що експресивна функція парантетичних внесень, експресивний характер є результатом нашарування текстових характеристик на статичну природу речення. Тому парантези — це не тільки, навіть не стільки належність речення, скільки належність тексту.
66462. Розробка рекомендацій щодо підвищення дохідності КБ «Фінанси та кредит» 5.49 MB
  Метою нашої роботи є вивчення і аналіз роботи по проведенню валютно-розрахункових операцій на прикладі КБ Фінанси та кредит здійснення розрахунків по експортно-імпортних операціях залучення клієнтів та збільшення прибутків банку. Національна мережа банківського обслуговування банку...
66463. Шляхи покращення банківського кредитування фізичних осіб 713.5 KB
  Об'єктивні відхилення фактичної потреби господарюючих суб'єктів у фінансуванні їх господарської діяльності від наявності (надлишку або нестачі) вільних ресурсів залежать від багатьох факторів, серед яких: капіталомісткість виробничої діяльності; сезонність виробництва...
66465. Повышение эффективности базового обучения информатике за счет предоставления её теоретических образующих 1.19 MB
  Соответствующая программная среда позволила вести разработки так называемых интеллектуальных обучающих систем (ИОС). Если традиционные АУК считаются порождением бихевиористической теории обучения, то ИОС связывают с более глубокими психологическими теориями...
66466. Ефективність інфузійної терапії при дегідратації у собак в умовах приватної ветеринарної клініки «Доктор - Вет» м. Дніпропетровська» 3.86 MB
  Дослідити клінічний статус та визначити найбільш інформативні морфологічні показники крові собак за дегідратації; експериментально обґрунтувати ефективні схеми використання комбінованої інфузійної терапії у собак за дегідратації;
66467. Проблематика и система образов романа «Между двух зорь» сквозь призму исторических событий и религиозно-философской мысли России конца XIX – начала XX веков 429 KB
  Прозаик поэт драматург переводчик литературовед всё это соединилось в Иване Алексеевиче Новикове 1877-1959. Новиков оставил большое творческое наследие которое к сожалению было предано забвению но в последние годы оно начинает открываться заново. Перед нами же встала проблема не столько второстепенности...
66469. Оценка эффективности внешнеэкономической деятельности ОАО “ММК им. Ильича” 552.61 KB
  Маркетинг внешнеэкономической деятельности предприятия. Изучение возможностей предприятия. Задачи дипломной работы заключаются в следующем: проведение маркетингового изучения конкурентной среды предприятия; анализ потенциала предприятия...