12249

Методы минимизации функции одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функции одной переменной использующие информацию о производных целевой функции. Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной fx т.е. такую точку что . Значение точки минимума вычисл

Русский

2013-04-24

781.11 KB

32 чел.

Лабораторная работа 2.

Методы минимизации функции одной переменной,

использующие информацию о производных целевой функции.

Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной f(x), т.е. такую точку , что . Значение точки минимума вычислить приближенно с заданной точностью ε.

В лабораторной работе № 1 были рассмотрены прямые методы решения задачи минимизации функции одной переменной. В данной работе рассматриваются методы минимизации, которые используют информацию о производной целевой функции.

Пусть на предварительно выбранном интервале неопределенности  целевая функция f(x) является выпуклой дифференцируемой функцией. Тогда для f(x) необходимым и достаточным условием глобального минимума является равенство нулю первой производной функции:

Метод средней точки.

Стратегия поиска: Если определение производной целевой функции не представляет затруднений, то в процедуре исключения отрезков методом дихотомии вычисление двух значений  вблизи середины очередного отрезка можно заменить вычислением одного значения производной  в его средней точке .

Сравнивая  с нулем, делим отрезок поиска точки минимума ровно вдвое, причем на каждой итерации нам надо вычислить только одно значение , не вычисляя при этом самой функции.

Алгоритм:

  1. Задать начальный интервал неопределенности L0 и точность ε.
  2. Положить . Вычислить .
  3. Проверка на окончание поиска: если , то положить ,  и завершить поиск, иначе – перейти к шагу 4.
  4. Сравнить  с нулем. Если , то продолжить поиск на отрезке , положив , иначе перейти к отрезку , положив . Перейти к шагу 2.

Метод хорд.

Стратегия поиска: Пусть на концах отрезка  производная  имеет разные знаки, т.е. . Тогда на интервале  найдется точка, в которой  обращается в нуль. В этом случае поиск минимума f(x) на отрезке  эквивалентен решению уравнения  на интервале .

Сущность метода хорд приближенного решения уравнения  на интервале  при  состоит в исключении отрезков путем определения точки пересечения с осью Ох хорды графика функции  на .

Координата этой точки равна:

Отрезок дальнейшего поиска точки минимума  (отрезок  или ) выбирается в зависимости от знака производной  так же, как и в методе средней точке. На каждой итерации, кроме первой, необходимо вычислять только одно новое значение производной  (значения производной на концах отрезка известны с предыдущих шагов).

Алгоритм:

  1. Выбрать начальный интервал неопределенности L0 и точность .
  2. Вычислить значения , .
  3. Положить , , , .
  4. Вычислить точку и значение .
  5. Если , то перейти к шагу 8.
  6. Если , то положить , , в противном случае положить , .
  7. Перейти к шагу 4.
  8. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Метод Ньютона (метод касательных).

Стратегия поиска: Пусть функция является дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке . Тогда для приближенного решения уравнения  можно применить метод Ньютона, или метод касательных.

Пусть  - нулевое, или начальное приближение к искомой точке . Построим в точке  касательную к графику функции :

Выберем в качестве следующего приближения к  точку  пересечения касательной с осью абсцисс:

В точке  построим новую касательную к графику и определим точку  – точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процедуру построения касательных повторяют до тех пор, пока не выполнится неравенство .

Возвращаясь к обозначению , получим, что для решения уравнения  необходимо построить последовательность

Следует отметить, что при плохом выборе начального приближения  метод может расходится (т.е. второе и последующие приближения могут отстоять от точки минимума дальше, чем начальное приближение).

Алгоритм:

  1. Выбрать начальное приближение x0, точность ε и предельное число итераций M.
  2. Положить k = 0 (k – номер итерации).
  3. Вычислить , .
  4. Вычислить точку и значения производных , .
  5. Если , то перейти к шагу 8.
  6. Положить k = k +1.
  7. Если k < M  перейти к шагу 4, в противном случае завершить поиск (последовательность расходится, необходимо повторить поиск с другим начальным приближением).
  8. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Вопросы и задания

  1. Написать функции, реализующие три предложенных метода.
  2. Выбрать для выполнения лабораторной работы тестовую функцию, номер которой соответствует последней цифре номера Вашего компьютера (данная функция совпадает с функцией, использованной в лабораторной работе 1)
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13. Для выбранной функции и для каждого реализованного метода изучить зависимость скорости работы (числа вычислений функции N) от заданного значения точности ε. Для этого необходимо определить число вычислений функции N при нескольких (от трех до пяти) значениях точности, например, при  и построить график зависимости .
  14.  Провести сравнение методов между собой: сравнить сложность реализации, скорость работы (точность). Какой из рассмотренных методов более оптимален для низкой точности () и для высокой точности ()?
  15.  Сравнить результаты полученные в настоящей работе с результатами, полученными в работе 1.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18507. Аналіз використання трудових ресурсів 79.5 KB
  Тема 7. Аналіз використання трудових ресурсів Значення завдання та джерела даних аналізу кадрового потенціалу підприємства. Аналіз стану трудових ресурсів і забезпеченості ними підприємства. Аналіз використання робочого часу. Аналіз продуктивності прац
18508. Аналіз витрат підприємства і собівартості продукції 85.5 KB
  Тема 8 Аналіз витрат підприємства і собівартості продукції Значення завдання та джерела даних аналізу. Оцінка собівартості продукції за узагальнюючими показниками. Аналіз прямих витрат в собівартості продукції. Аналіз комплексних статей витрат.
18509. Аналіз фінансових результатів діяльності підприємства 134.5 KB
  Тема Аналіз фінансових результатів діяльності підприємства Значення система показників завдання та джерела даних аналізу фінансових результатів. Загальна оцінка рівня та динаміки формування фінансових результатів. Аналіз валового прибутку підприємства. ...
18510. Аналіз фінансового стану підприємства 173 KB
  Тема Аналіз фінансового стану підприємства Поняття значення завдання та джерела аналізу фінансового стану підприємства. Загальна оцінка майна та боргових прав підприємства аналіз зміни їх складу та структури. Загальна оцінка джерел формування майна підп
18511. Теоретические основы логистической деятельности 61 KB
  Лекция 1. Теоретические основы логистической деятельности. Понятие сущность логистики. Этапы развития логистики. Предмет и содержание логистики как науки. Основные понятия логистики. Принципы логистики. 1. Понятие сущно...
18512. Концепция логистики 36.5 KB
  Лекция 2. Концепция логистики. Концептуальные положения логистики. Цели и системы логистики. Концептуальные положения логистики. Концепция это система взглядов то или иное понимание явлений процессов. Концепцию логи...
18513. Закупочная логистика 115 KB
  Лекция 3. Закупочная логистика. Понятие задачи и функции закупочной логистики. Процесс приобретения материалов и его основные стадии. Определение потребности в материалах. Методы материального обеспечения производства. Методы рас...
18514. Производственная логистика. Системы управления материальными потоками 87.5 KB
  Производственная логистика. Понятие задачи и функции производственной логистики. Основы управления материальными потоками в производстве. Организация материальных потоков. Системы управления материальными потоками. Понятие задачи ...
18515. Распределительная логистика 54.5 KB
  Лекция 6. Распределительная логистика. Понятие и сферы применения распределительной логистики. Каналы распределения товаров. Формы доведения товара до потребителя. Понятие и сферы применения распределительной логистики. Логистика распреде...