12249

Методы минимизации функции одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функции одной переменной использующие информацию о производных целевой функции. Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной fx т.е. такую точку что . Значение точки минимума вычисл

Русский

2013-04-24

781.11 KB

32 чел.

Лабораторная работа 2.

Методы минимизации функции одной переменной,

использующие информацию о производных целевой функции.

Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной f(x), т.е. такую точку , что . Значение точки минимума вычислить приближенно с заданной точностью ε.

В лабораторной работе № 1 были рассмотрены прямые методы решения задачи минимизации функции одной переменной. В данной работе рассматриваются методы минимизации, которые используют информацию о производной целевой функции.

Пусть на предварительно выбранном интервале неопределенности  целевая функция f(x) является выпуклой дифференцируемой функцией. Тогда для f(x) необходимым и достаточным условием глобального минимума является равенство нулю первой производной функции:

Метод средней точки.

Стратегия поиска: Если определение производной целевой функции не представляет затруднений, то в процедуре исключения отрезков методом дихотомии вычисление двух значений  вблизи середины очередного отрезка можно заменить вычислением одного значения производной  в его средней точке .

Сравнивая  с нулем, делим отрезок поиска точки минимума ровно вдвое, причем на каждой итерации нам надо вычислить только одно значение , не вычисляя при этом самой функции.

Алгоритм:

  1. Задать начальный интервал неопределенности L0 и точность ε.
  2. Положить . Вычислить .
  3. Проверка на окончание поиска: если , то положить ,  и завершить поиск, иначе – перейти к шагу 4.
  4. Сравнить  с нулем. Если , то продолжить поиск на отрезке , положив , иначе перейти к отрезку , положив . Перейти к шагу 2.

Метод хорд.

Стратегия поиска: Пусть на концах отрезка  производная  имеет разные знаки, т.е. . Тогда на интервале  найдется точка, в которой  обращается в нуль. В этом случае поиск минимума f(x) на отрезке  эквивалентен решению уравнения  на интервале .

Сущность метода хорд приближенного решения уравнения  на интервале  при  состоит в исключении отрезков путем определения точки пересечения с осью Ох хорды графика функции  на .

Координата этой точки равна:

Отрезок дальнейшего поиска точки минимума  (отрезок  или ) выбирается в зависимости от знака производной  так же, как и в методе средней точке. На каждой итерации, кроме первой, необходимо вычислять только одно новое значение производной  (значения производной на концах отрезка известны с предыдущих шагов).

Алгоритм:

  1. Выбрать начальный интервал неопределенности L0 и точность .
  2. Вычислить значения , .
  3. Положить , , , .
  4. Вычислить точку и значение .
  5. Если , то перейти к шагу 8.
  6. Если , то положить , , в противном случае положить , .
  7. Перейти к шагу 4.
  8. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Метод Ньютона (метод касательных).

Стратегия поиска: Пусть функция является дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке . Тогда для приближенного решения уравнения  можно применить метод Ньютона, или метод касательных.

Пусть  - нулевое, или начальное приближение к искомой точке . Построим в точке  касательную к графику функции :

Выберем в качестве следующего приближения к  точку  пересечения касательной с осью абсцисс:

В точке  построим новую касательную к графику и определим точку  – точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процедуру построения касательных повторяют до тех пор, пока не выполнится неравенство .

Возвращаясь к обозначению , получим, что для решения уравнения  необходимо построить последовательность

Следует отметить, что при плохом выборе начального приближения  метод может расходится (т.е. второе и последующие приближения могут отстоять от точки минимума дальше, чем начальное приближение).

Алгоритм:

  1. Выбрать начальное приближение x0, точность ε и предельное число итераций M.
  2. Положить k = 0 (k – номер итерации).
  3. Вычислить , .
  4. Вычислить точку и значения производных , .
  5. Если , то перейти к шагу 8.
  6. Положить k = k +1.
  7. Если k < M  перейти к шагу 4, в противном случае завершить поиск (последовательность расходится, необходимо повторить поиск с другим начальным приближением).
  8. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Вопросы и задания

  1. Написать функции, реализующие три предложенных метода.
  2. Выбрать для выполнения лабораторной работы тестовую функцию, номер которой соответствует последней цифре номера Вашего компьютера (данная функция совпадает с функцией, использованной в лабораторной работе 1)
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13. Для выбранной функции и для каждого реализованного метода изучить зависимость скорости работы (числа вычислений функции N) от заданного значения точности ε. Для этого необходимо определить число вычислений функции N при нескольких (от трех до пяти) значениях точности, например, при  и построить график зависимости .
  14.  Провести сравнение методов между собой: сравнить сложность реализации, скорость работы (точность). Какой из рассмотренных методов более оптимален для низкой точности () и для высокой точности ()?
  15.  Сравнить результаты полученные в настоящей работе с результатами, полученными в работе 1.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13890. Кто пользуется своим правом, тот не нарушает ничьего права 14.56 KB
  Кто пользуется своим правом тот не нарушает ничьего права. Принцип римского права. Закон опирается на право. Он помогает определить его смысл и границы ответственности за правонарушение. Право будучи системой общеобязательных правил поведения санкциониров...
13891. Конституция государства должна быть такой, чтобы не нарушать Конституцию гражданина 25.5 KB
  Конституция государства должна быть такой чтобы не нарушать Конституцию гражданина Конституция должна соответствовать моральным принципам человека и быть гарантом его прав и свобод. Конституция это основной закон государства. В отличие от других нормативнопра...
13892. Инфляция – золотое время для возврата долгов 25 KB
  Экономика. Инфляция золотое время для возврата долгов. К.Мелихан. Некоторые слои населения могут выиграть от инфляции. Инфляция снижение покупательской способности денег в виду их чрезвычайного переполнения. Основными причинами инфляции могут являться внешние ...
13893. Закон тщетно существует для тех, кто не имеет мужества и средств его защищать 14.85 KB
  Закон тщетно существует для тех кто не имеет мужества и средств его защищать. Каждый человек живущий в государстве должен быть в первую очередь законопослушным защищать закон и следовать ему беспрекословно. Отсутствие справедливых законов может привести к гибел
13894. Если хочешь быть богатым, не помышляй увеличить своё имущество, а только умерь свою жадность 15.12 KB
  Если хочешь быть богатым не помышляй увеличить своё имущество а только умерь свою жадность. К. Гельвеций. Принято полагать что синонимом слову богатство является большое количество материальных благ принадлежащих какомулибо человеку. Но может ли считать
13895. Диктатура – это государство, в котором все боятся одного, а один – всех 14.52 KB
  Диктатура это государство в котором все боятся одного а один всех. А.Моравиан. Государства в которых у власти находятся диктаторы обречены на крах. Такая власть строится на запугивании населения что приводит в конечном счёте к её свержению. Диктатура пол...
13896. Демократия есть механизм, который гарантирует, что нами управляют не лучше, чем мы того заслуживаем 14.84 KB
  Демократия есть механизм который гарантирует что нами управляют не лучше чем мы того заслуживаем. Б. Шоу. Демократия политический режим при котором власть принадлежит всем или большинству свободных граждан подчиняющихся закону. Но демократия подразумевает не то...
13897. Дело – за юношей, совесть – за взрослым, молитва – за стариком 16.05 KB
  Дело за юношей совесть за взрослым молитва за стариком. Л. Питер. На каждом этапе социализации человек осуществляет определённый вид деятельности и выполняет определённые социальные роли. Социализация начавшийся в младенчестве и заканчивающийся в глу...
13898. Весь мир – театр. В нем женщины, мужчины – все актеры. У них есть выходы. И каждый не одну играет роль 19.44 KB
  Весь мир театр. В нем женщины мужчины все актеры. У них есть выходы. И каждый не одну играет роль. У. Шекспир Динамика современной жизни во многом заставляет личность приспосабливаться и трансформироваться меняя свою социальную роль. Говоря о социальной струк...