12249

Методы минимизации функции одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функции одной переменной использующие информацию о производных целевой функции. Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной fx т.е. такую точку что . Значение точки минимума вычисл

Русский

2013-04-24

781.11 KB

32 чел.

Лабораторная работа 2.

Методы минимизации функции одной переменной,

использующие информацию о производных целевой функции.

Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной f(x), т.е. такую точку , что . Значение точки минимума вычислить приближенно с заданной точностью ε.

В лабораторной работе № 1 были рассмотрены прямые методы решения задачи минимизации функции одной переменной. В данной работе рассматриваются методы минимизации, которые используют информацию о производной целевой функции.

Пусть на предварительно выбранном интервале неопределенности  целевая функция f(x) является выпуклой дифференцируемой функцией. Тогда для f(x) необходимым и достаточным условием глобального минимума является равенство нулю первой производной функции:

Метод средней точки.

Стратегия поиска: Если определение производной целевой функции не представляет затруднений, то в процедуре исключения отрезков методом дихотомии вычисление двух значений  вблизи середины очередного отрезка можно заменить вычислением одного значения производной  в его средней точке .

Сравнивая  с нулем, делим отрезок поиска точки минимума ровно вдвое, причем на каждой итерации нам надо вычислить только одно значение , не вычисляя при этом самой функции.

Алгоритм:

  1. Задать начальный интервал неопределенности L0 и точность ε.
  2. Положить . Вычислить .
  3. Проверка на окончание поиска: если , то положить ,  и завершить поиск, иначе – перейти к шагу 4.
  4. Сравнить  с нулем. Если , то продолжить поиск на отрезке , положив , иначе перейти к отрезку , положив . Перейти к шагу 2.

Метод хорд.

Стратегия поиска: Пусть на концах отрезка  производная  имеет разные знаки, т.е. . Тогда на интервале  найдется точка, в которой  обращается в нуль. В этом случае поиск минимума f(x) на отрезке  эквивалентен решению уравнения  на интервале .

Сущность метода хорд приближенного решения уравнения  на интервале  при  состоит в исключении отрезков путем определения точки пересечения с осью Ох хорды графика функции  на .

Координата этой точки равна:

Отрезок дальнейшего поиска точки минимума  (отрезок  или ) выбирается в зависимости от знака производной  так же, как и в методе средней точке. На каждой итерации, кроме первой, необходимо вычислять только одно новое значение производной  (значения производной на концах отрезка известны с предыдущих шагов).

Алгоритм:

  1. Выбрать начальный интервал неопределенности L0 и точность .
  2. Вычислить значения , .
  3. Положить , , , .
  4. Вычислить точку и значение .
  5. Если , то перейти к шагу 8.
  6. Если , то положить , , в противном случае положить , .
  7. Перейти к шагу 4.
  8. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Метод Ньютона (метод касательных).

Стратегия поиска: Пусть функция является дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке . Тогда для приближенного решения уравнения  можно применить метод Ньютона, или метод касательных.

Пусть  - нулевое, или начальное приближение к искомой точке . Построим в точке  касательную к графику функции :

Выберем в качестве следующего приближения к  точку  пересечения касательной с осью абсцисс:

В точке  построим новую касательную к графику и определим точку  – точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процедуру построения касательных повторяют до тех пор, пока не выполнится неравенство .

Возвращаясь к обозначению , получим, что для решения уравнения  необходимо построить последовательность

Следует отметить, что при плохом выборе начального приближения  метод может расходится (т.е. второе и последующие приближения могут отстоять от точки минимума дальше, чем начальное приближение).

Алгоритм:

  1. Выбрать начальное приближение x0, точность ε и предельное число итераций M.
  2. Положить k = 0 (k – номер итерации).
  3. Вычислить , .
  4. Вычислить точку и значения производных , .
  5. Если , то перейти к шагу 8.
  6. Положить k = k +1.
  7. Если k < M  перейти к шагу 4, в противном случае завершить поиск (последовательность расходится, необходимо повторить поиск с другим начальным приближением).
  8. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Вопросы и задания

  1. Написать функции, реализующие три предложенных метода.
  2. Выбрать для выполнения лабораторной работы тестовую функцию, номер которой соответствует последней цифре номера Вашего компьютера (данная функция совпадает с функцией, использованной в лабораторной работе 1)
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13. Для выбранной функции и для каждого реализованного метода изучить зависимость скорости работы (числа вычислений функции N) от заданного значения точности ε. Для этого необходимо определить число вычислений функции N при нескольких (от трех до пяти) значениях точности, например, при  и построить график зависимости .
  14.  Провести сравнение методов между собой: сравнить сложность реализации, скорость работы (точность). Какой из рассмотренных методов более оптимален для низкой точности () и для высокой точности ()?
  15.  Сравнить результаты полученные в настоящей работе с результатами, полученными в работе 1.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60710. Козацькі розваги 53.49 KB
  Спортивний майданчик Ведучі два юнаки в національному одязі. Наперед виходять двоє ведучих у національному одязі 1й юнак. 2й юнак.
60711. Комбинаторика. Комбинаторные задачи 323.5 KB
  Показать решение некоторых комбинаторных задач. Ход урока: а объяснение материала; б закрепление материала решение задач. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать Решение.
60712. ЕВОЛЮЦІЙНЕ ВЧЕННЯ 692 KB
  Кожне завдання містить парну кількість тестів чи запитань тому їх можна розділити на два варіанти: І варіант парні запитання ІІ варіант непарні. Також дані тестові завдання можна перевести у формат програми...
60713. Конкретный смысл деления 75.5 KB
  Цель. Закрепление двух видов деления: по содержанию и на равные части. Задачи урока: 1. Предметные: повторить конкретный смысл умножения; формировать навык устного и письменного вычисления в пределах 100;
60714. Конкурс ерудитів 83.5 KB
  Відповідь дається усно: учасник має право на 5 спроб. Оцінювання відбувається так: якщо відповідь дана з першої спроби 5 балів із другий 4 бали із третьої 3 з четвертої 2 з пятої 1 бал. Відповідь: російське.
60715. Содержание и объем понятия 2.21 MB
  Цель: дать понятие учащимся представления о содержании и объеме понятия Задачи: сформировать у учащихся представления о содержании и объеме понятия, о единичных и общих понятиях; актуализировать и углубить знания о возможностях создания компьютерной деловой графики.
60716. Музичні спогади про літо 272.5 KB
  Музику потрібно слухати в тиші, уважно, як це роблять всі великі музиканти. Композитор Роберт Шуман у своєму «Альбомі для юнацтва» запропонував «Правила для юних музикантів»
60717. Относись к людям так, как ты хотел бы, чтобы относились к тебе 45.5 KB
  Учитель: Помогать людям надо не ради благодарности а по велению души и сердца Делай добро и бросай его в воду. Учитель: Эта история Притча о добром Самарянине описана в книге Священное писание которая называется Библия.
60718. Стандартные приложения «Калькулятор» и «Звукозапись» 2.36 MB
  Итак что у нас получилось Стандартное приложение Калькулятор. Может кто-нибудь знает что за такая программа Калькулятор и что можно делать с помощью него Калькулятор.