12249

Методы минимизации функции одной переменной, использующие информацию о производных целевой функции

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 2. Методы минимизации функции одной переменной использующие информацию о производных целевой функции. Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной fx т.е. такую точку что . Значение точки минимума вычисл

Русский

2013-04-24

781.11 KB

30 чел.

Лабораторная работа 2.

Методы минимизации функции одной переменной,

использующие информацию о производных целевой функции.

Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции одной переменной f(x), т.е. такую точку , что . Значение точки минимума вычислить приближенно с заданной точностью ε.

В лабораторной работе № 1 были рассмотрены прямые методы решения задачи минимизации функции одной переменной. В данной работе рассматриваются методы минимизации, которые используют информацию о производной целевой функции.

Пусть на предварительно выбранном интервале неопределенности  целевая функция f(x) является выпуклой дифференцируемой функцией. Тогда для f(x) необходимым и достаточным условием глобального минимума является равенство нулю первой производной функции:

Метод средней точки.

Стратегия поиска: Если определение производной целевой функции не представляет затруднений, то в процедуре исключения отрезков методом дихотомии вычисление двух значений  вблизи середины очередного отрезка можно заменить вычислением одного значения производной  в его средней точке .

Сравнивая  с нулем, делим отрезок поиска точки минимума ровно вдвое, причем на каждой итерации нам надо вычислить только одно значение , не вычисляя при этом самой функции.

Алгоритм:

  1. Задать начальный интервал неопределенности L0 и точность ε.
  2. Положить . Вычислить .
  3. Проверка на окончание поиска: если , то положить ,  и завершить поиск, иначе – перейти к шагу 4.
  4. Сравнить  с нулем. Если , то продолжить поиск на отрезке , положив , иначе перейти к отрезку , положив . Перейти к шагу 2.

Метод хорд.

Стратегия поиска: Пусть на концах отрезка  производная  имеет разные знаки, т.е. . Тогда на интервале  найдется точка, в которой  обращается в нуль. В этом случае поиск минимума f(x) на отрезке  эквивалентен решению уравнения  на интервале .

Сущность метода хорд приближенного решения уравнения  на интервале  при  состоит в исключении отрезков путем определения точки пересечения с осью Ох хорды графика функции  на .

Координата этой точки равна:

Отрезок дальнейшего поиска точки минимума  (отрезок  или ) выбирается в зависимости от знака производной  так же, как и в методе средней точке. На каждой итерации, кроме первой, необходимо вычислять только одно новое значение производной  (значения производной на концах отрезка известны с предыдущих шагов).

Алгоритм:

  1. Выбрать начальный интервал неопределенности L0 и точность .
  2. Вычислить значения , .
  3. Положить , , , .
  4. Вычислить точку и значение .
  5. Если , то перейти к шагу 8.
  6. Если , то положить , , в противном случае положить , .
  7. Перейти к шагу 4.
  8. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Метод Ньютона (метод касательных).

Стратегия поиска: Пусть функция является дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке . Тогда для приближенного решения уравнения  можно применить метод Ньютона, или метод касательных.

Пусть  - нулевое, или начальное приближение к искомой точке . Построим в точке  касательную к графику функции :

Выберем в качестве следующего приближения к  точку  пересечения касательной с осью абсцисс:

В точке  построим новую касательную к графику и определим точку  – точку пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процедуру построения касательных повторяют до тех пор, пока не выполнится неравенство .

Возвращаясь к обозначению , получим, что для решения уравнения  необходимо построить последовательность

Следует отметить, что при плохом выборе начального приближения  метод может расходится (т.е. второе и последующие приближения могут отстоять от точки минимума дальше, чем начальное приближение).

Алгоритм:

  1. Выбрать начальное приближение x0, точность ε и предельное число итераций M.
  2. Положить k = 0 (k – номер итерации).
  3. Вычислить , .
  4. Вычислить точку и значения производных , .
  5. Если , то перейти к шагу 8.
  6. Положить k = k +1.
  7. Если k < M  перейти к шагу 4, в противном случае завершить поиск (последовательность расходится, необходимо повторить поиск с другим начальным приближением).
  8. Выбрать приближенно , . Поиск завершен.

Вопросы и задания

  1. Написать функции, реализующие три предложенных метода.
  2. Выбрать для выполнения лабораторной работы тестовую функцию, номер которой соответствует последней цифре номера Вашего компьютера (данная функция совпадает с функцией, использованной в лабораторной работе 1)
  3.  
  4.  
  5.  
  6.  
  7.  
  8.  
  9.  
  10.  
  11.  
  12.  
  13. Для выбранной функции и для каждого реализованного метода изучить зависимость скорости работы (числа вычислений функции N) от заданного значения точности ε. Для этого необходимо определить число вычислений функции N при нескольких (от трех до пяти) значениях точности, например, при  и построить график зависимости .
  14.  Провести сравнение методов между собой: сравнить сложность реализации, скорость работы (точность). Какой из рассмотренных методов более оптимален для низкой точности () и для высокой точности ()?
  15.  Сравнить результаты полученные в настоящей работе с результатами, полученными в работе 1.

 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80297. Правове становище та види суб’єктів господарювання 267.5 KB
  Поняття підприємства в цивільному праві та господарському праві. товариства державні комунальні та інші підприємства створені відповідно до ГК а також ін. Підприємства окрім тих що не мають за мету отримання прибутку. Підприємства всіх видів.
80298. Правове регулювання майнових відносин у сфері господарювання (підприємництва) 230.5 KB
  Похідні від права власності правові титули майна: право довірчої власності право господарського відання право оперативного управління право користування. Проблемні питання правового режиму майна господарського товариства. Особливості правового режиму окремих видів майна військового майна основних фондів майна творчих спілок видавництв підприємств книгорозповсюдження редакцій ЗМІ Національної академії наук України земельних ділянок державної та комунальної власності. Правове регулювання економіки базується сьогодні на Конституції...
80299. Проблеми правового регулювання банкрутства 251.5 KB
  Захист прав боржника і кредиторів через судові процедури. Проблеми застосування Закону України Про відновлення платоспроможності боржника або визнання його банкрутом Особливості банкрутства державних підприємств...
80300. Актуальні питання відшкодування шкоди 239 KB
  Актуальні питання відшкодування шкоди Поняття шкоди її види та способи відшкодування. Відшкодування моральної шкоди у договірних зобовязаннях. Відшкодування шкоди завданої малолітніми і неповнолітніми. Особливості відшкодування шкоди за участю органів прокуратури.
80301. Позовна давність. Наслідки спливу позовної давності 108 KB
  У цивільному праві цей інститут має на меті стабілізацію цивільного обороту, зміцнення фінансової та господарської дисципліни, ліквідацію невизначеності у відносинах економічних субєктів, стимуляцію їх до здійснення належних їм прав та виконання обовязків, оскільки відсутність розумних часових обмежень для примусового захисту цивільних
80302. Зобов’язання у сфері господарювання 116 KB
  Особливості господарського договору. Порядок укладення виконання та припинення господарського договору. Відмова від договору та розірвання договору. Роль договору не обмежується тим що він впливає на динаміку цивільних чи господарських правовідносин встановлює змінює припиняє відносини а й визначає зміст конкретних прав і обовязків сторін.
80303. Цивільно-правовий захист права інтелектуальної власності 127.5 KB
  Цивільноправовий захист права інтелектуальної власності. Загальні положення про цивільноправовий захист права інтелектуальної власності. Правопорушення у сфері інтелектуальної власності їх особливості. Проблемні питання цивільноправового захисту авторських прав.