12250

Методы минимизации функции многих переменной

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа 3. Методы минимизации функции многих переменной. Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции от n переменных fx1 x2 xn т.е. такую точку что . Значение точки минимума вычислить приближенно с заданной точностью ε. Метод пр

Русский

2013-04-24

255.93 KB

54 чел.

Лабораторная работа 3.

Методы минимизации функции многих переменной.

Постановка задачи: Требуется найти безусловный минимум функции от n переменных f(x1, x2, …, xn), т.е. такую точку , что . Значение точки минимума вычислить приближенно с заданной точностью ε.

Метод правильного симплекса.

Стратегия поиска: Симплексом в Rn называется выпуклая оболочка (n+1) точек
x1, x2, …, xn+1, не принадлежащих ни к какому (n-1)-мерному подпространству Rn. Правильным симплексом называется множество из (n+1) равноудаленной точки. На плоскости (в двухмерном пространстве) правильный симплекс является правильным треугольником, в трехмерном пространстве правильный симплекс – правильный тетраэдр.

На первой итерации данного метода выбирается некоторый правильный симплекс в пространстве Rn . На каждой итерации сравниваются значения f(x) в вершинах симплекса. Затем преобразуется та вершина симплекса, в которой достигается максимальное значение. Преобразование происходит путем отражения  данной вершины симметрично относительно центра тяжести xC  остальных вершин. Если значение функции в полученной точке меньше, чем в исходной, то переходят к новому симплексу. Иначе пытаются осуществить процедуру отражения для остальных вершин исходного симплекса. Если все попытки неудачны, повторяют процедуру с уменьшенной длиной ребра до тех пор, пока данная длина не станет меньше заданной точности.

Алгоритм:

  1. Задать точность вычислений , выбрать начальное приближение , ребро a.
  2. Построить начальный правильный симплекс по заданному ребру a и точке .
  3. Вычислить значения f(x) в вершинах симплекса.
  4. Упорядочить вершины симплекса в порядке возрастания значений f(x).
  5. Найти и выполнить отражение вершины xn: . Если , то положить и перейти к шагу 3. Иначе перейти к шагу 6.
  6. По формулам, аналогичным формулам пункта 5, вычислить отражения вершин с номерами j = n-1, …, k. Где k выбирается из условия , либо
    k =1.
  7. Если k > 1, то положить и перейти к шагу 3. Иначе перейти к шагу 8.
  8. Выбрать новый размер ребра a = a / 2. Если a > перейти к пункту 2. Иначе остановка расчета и выбор в качестве точки минимума точки x0.

Метод деформируемого симплекса

(Метод Нелдера-Мида)

Стратегия поиска: Метод является усовершенствованным вариантом предыдущего метода. В данном случае при построении нового симплекса, кроме операции отражения, допускаются операции сжатия и растяжения. А именно, положение новой вершины симплекса находится путем сравнения и выбора наименьшего значения среди значений целевой функции в точках:

На практике хорошо себя зарекомендовал следующий выбор параметров для нахождения пробных точек: .

Для того, чтобы избежать накопления ошибок округления на итерациях, рекомендуется периодически производить так называемое обновление алгоритма. А именно, при числе итераций, кратных заданному числу M, построение нового симплекса происходит произвольно с одной фиксированной вершиной, полученной на предыдущем шаге.

Метод покоординатного поиска

(Метод Хука-Дживса).

Стратегия поиска: Алгоритм на каждом шаге содержит две основные процедуры:

а) исследующий покоординатный поиск  в окрестности данной точки x, предназначенный для определения направления убывания функции f(x) – точка ;

б) перемещение в направлении убывания (-x).

Если после шага а) = x, то происходит уменьшение шага исследующего спуска.

Если шаг становится меньше заданной точности, то прекращение поиска.

Алгоритм исследующего покоординатного спуска:

  1. Положить j = 1.
  2. Сделать пробный шаг . - заданный шаг в направлении j. Если f(y) < f(x), перейти к шагу 6, иначе к шагу 3.
  3. Сделать пробный шаг . - заданный шаг в направлении j. Если f(y) < f(x), перейти к шагу 6, иначе к шагу 4.
  4. Если j < n, положить j = j +1 и перейти к шагу 2. Иначе перейти к шагу 5.
  5. Положить = x и завершить поиск.
  6. Положить = y и завершить поиск.

Очень часто на практике используют альтернативную реализацию данного метода заключающуюся в следующем. Вместо одного шага в каждом направлении будем делать серию шагов до достижения минимума (т.е. будем искать одномерный минимум функции при фиксированных значениях других координат). После достижения минимума по одной координате повторяют аналогичную процедуру по следующим координатам. Таким образом, алгоритм сводится к последовательности одномерных минимизаций (по каждой из координат).

Также очень часто в литературе под названием покоординатный спуск (поиск) фигурируют альтернативные методы в основе которых лежит идея чередования направлений соответствующих отдельным координатам.

Метод градиентного спуска с постоянным шагом.

Стратегия поиска: Предполагается, что целевая функция f(x) - дифференцируема в и возможно вычисление ее производных в произвольной точке .

Рассмотрим итерационные процедуры минимизации вида

  (1)

где направление убывания pk определяется тем или иным способом с учетом информации о частных производных функции f(x), а величина шага > 0 такова, что

  (2)

Положим в (1) на каждом шаге . Величина коэффициента задается пользователем и остается постоянной до тех пор, пока функция убывает в точках последовательности, что контролируется путем проверки условия (2). При этом величина единичного шага определяется модулем градиента функции.

Алгоритм:

  1. Задать точность вычислений , , выбрать начальное приближение .
  2. Выбрать начальное значение шага .
  3. Положить k = 0 (k – номер итерации).
  4. Вычислить значение .
  5. Вычислить точку .
  6. Проверить выполнение критерия окончания поиска:

, .

Если критерий выполнен переход к шагу 10, иначе к шагу 7.

  1. Положить k = k+1.
  2. Проверка условия (2). Если условие не выполнено, положить =/2.
  3. Переход к новой итерации (шаг 4).
  4. Выбираем приближенно , . Поиск завершен.

Вопросы и задания

  1. Написать в среде MATLAB функции, реализующие следующие три метода: метод правильного симплекса (либо метод Нелдера-Мида), метод покоординатного спуска Хука-Дживса, метод градиентного спуска с постоянным шагом.
  2. Протестировать работу реализованных методов на примере функции:

,

выбрав несколько значений a в диапазоне от 1  до 100 (3-5 значений), при одинаковом начальном приближении (10, 10). Сравнить скорость работы методов при различных значениях параметра a, заполнив таблицу следующего вида:

Таблица 1. Число итераций N для различных значений a.

Метод

a = 1

a = 10

a = 100

a=…

ε = 0.01

ε = 0.001

ε = 0.01

ε = 0.001

ε = 0.01

ε = 0.001

Правильного симплекса

Хука-Дживса

Градиентного спуска

Для точности также выбирается 3-5 значений, соответствующих степеням десяти.

  1. Изучить зависимость работы методов от начального приближения при фиксированном значении a для функции задания 2. Результаты представить в виде таблицы, аналогичной заданию 1. Например, сравнить выбор начального приближения на осях (точки (0, 10) и (10, 0)) и на прямой x=y (точка (10, 10)). 
  2. На примере функции Химмельблау

рассмотреть особенности применения данных методов для минимизации многомодальной функции. Как в данном случае будет зависеть работа рассматриваемых алгоритмов от выбора начального приближения?

  1. Сравнить поведение предложенных методов на примере функции Розенброка («овражной» функции):

при различных вариантах начального приближения. Какой метод в данном случае будет давать наилучшие результаты?


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40192. Функции и роль финансов в хозяйственной деятельности предприятий и корпораций 31.5 KB
  Особенности управления финансами корпорации определяются следующими основными моментами. Если для предприятия имеющего достаточно простую организационную структуру анализ рынка конкурентов определение приоритетов являются менее сложной задачей чем для многозвенного предприятия то соответственно для корпорации вопросы организации финансовых потоков представляются более сложными так как чем крупнее корпорация тем многообразнее возможные источники финансирования и направления использования финансовых ресурсов; многократно возрастает цена...
40193. Охарактеризуйте сущность, функции и принципы организации финансов хозяйствующих субъектов 29.5 KB
  1Сущность финансов хозяйственных субъектов: Предприятие хозяйственный субъект созданный для организации предпринимательской деятельности экономической целью которого является обеспечение общественных потребностей и получение прибыли для обеспечения собственного финансового роста. 2Принципы организации финансов предприятия:Финансовые отношения коммерческих организаций и предприятий строятся на определенных принципах связанных с основами хозяйственной деятельности: хозяйственная самостоятельность самофинансирование материальная...
40194. Особенности финансов корпоративных групп 26 KB
  Содержание понятий политика стратегия и тактика и соподчиненность этих явлений подробно описали Слепов В. Финансовая политика это общая финансовая идеология предприятия необходимая для достижения выбранной экономической цели. Финансовая стратегия это совокупность методов с помощью которых реализуется на практике финансовая политика предприятия. Кредитная политика ценовая политика дивидендная политика и т.
40195. Особенности финансов коммерческих организаций различных форм собственности 34.5 KB
  Акция вид ценных бумаг свидетельствующий о внесении определенных средств в состав имущества акционерного общества и подтверждающий право собственности на долю в уставном капитале. Акция дает ее собственнику право на получение части прибыли дивиденда от деятельности акционерного общества и как правило на участие в его управлении. Акционерные общества могут быть открытого и закрытого типов. Разница между ними состоит в том что акционерные общества закрытого типа могут создавать ограниченное количество акционеров а количество и состав...
40196. Особенности коммерческих организаций, осуществляющих финансово-кредитные операции. Особенности коммерческих организаций, занимающихся финансовым посредничеством 55 KB
  Особенности коммерческих организаций осуществляющих финансовокредитные операции. Особенности коммерческих организаций занимающихся финансовым посредничеством Кредитная сфера охватывает часть денежных отношений характеризующуюся самостоятельным движением денег когда деньги меняют владельца Д Д. На этой основе у кредитных организаций возникают следующие группы финансовых отношений: денежные отношения характерные для коммерческих организаций: отношения с потребителями банковских услуг что является основой формирования финансовых...
40197. Особенности финансов некоммерческих организаций 22 KB
  Некоммерческие П. Некоммерческие партнерства 7. Автономные некоммерческие организации 8.
40198. Организация управления финансами корпораций. Организационная структура финансовой службы 62.5 KB
  СТРУКТУРА ФИНАНСОВОЙ СЛУЖБЫ ПРЕДПРИЯТИЯ Общее правило формирования коллектива сотрудников финансовой службы предприятия – высокая квалификация и экономически обоснованная минимизация штата. Поэтому структура финансовой службы предприятия обычно формируется постепенно по мере развития предприятия освоения современных технологий и внедрения современных инструментов финансового менеджмента централизации финансово – экономического управления предприятием и формирования на предприятии высокой корпоративной культуры. Структура финансовой службы...
40199. Понятие и сущность финансовых ресурсов. Охарактеризуйте основные подходы к формированию понятия финансовые ресурсы 41.5 KB
  Прибыль – это часть чистого дохода созданного в процессе производства и реализованного в сфере обращения которую непосредственно получает предприятие. Прибыль убыток отчетного периода складывается из: прибыли от реализации товаров; прибыли от реализации имущества и прочих активов; прибыли от финансовых операций; внереализационной прибыли. Прибыль от реализации товаров представляет собой разность выручки от реализации за вычетом НДС акцизов экспортных пошлин налога на реализацию ГСМ процентных надбавок к розничным ценам на...
40200. Подходы к трактовке определения капитала. Учетно-аналитический подход к трактовке понятия капитала 32.5 KB
  Подходы к трактовке определения капитала. Учетноаналитический подход к трактовке понятия капитала. Капитал – это стоимость которая имеет рыночную цену и спрос это реализуемая стоимость. Капитал имеет три формы движения: предпринимательскую прямые капиталовложения в производство и портфельные инвестиции т.