12433

Работа с символьным пакетом инженерных расчетов MathCAD

Лабораторная работа

Информатика, кибернетика и программирование

Лабораторная работа N 9 Работа с символьным пакетом инженерных расчетов MathCAD Тема1: Оформление документа ввод и редактирование формул. Вычислительные особенности MathСad. Операторы и математические функции. Символьные вычисления. Цель работы: Изучение вычислительных

Русский

2013-04-27

1.39 MB

8 чел.

Лабораторная работа N 9 

Работа с символьным пакетом инженерных расчетов MathCAD

Тема1: Оформление документа, ввод и редактирование формул. Вычислительные особенности MathСad. Операторы и математические функции. Символьные вычисления.

Цель работы: Изучение вычислительных возможностей символьного пакета MathCAD для научных и инженерных расчетов. Приобретение навыков работы с документом MathCAD и работы с основными панелями инструментов.

Используемые программные средства: MathCAD.

Теоретические сведения

  1.   Элементы интерфейса и организация документа

MathCAD является уникальной системой для работы с формулами, числами, текстами и графиками. Он так же гибок, как самые мощные электронные таблицы и языки программирования, но легок в освоении и приятен в использовании.

Рассмотрим основные элементы интерфейса MathCAD. Запуск пакета производится двойным щелчком по пиктограмме MathCAD на рабочем столе или активизацией соответствующей опции главного меню (Пуск>Программы>MathSoft Apps>MathCAD) . При этом разворачивается собственное окно приложения. Это окно содержит окно документа с именем Untitled:1, через него осуществляется доступ к рабочему документу MathCAD.

Формулы могут размещаться в любом месте рабочего документа MathCAD . Чтобы подвести курсор к нужному месту, не видимому в настоящий момент в окне, можно использовать полосы прокрутки, как в любой программе Windows. Подобно другим программам под Windows, MathCAD содержит полосу меню. Ниже полосы меню расположена панель инструментов. Многие команды меню можно быстро вызвать, нажав кнопку на панели инструментов. Для того чтобы узнать, что делает кнопка, достаточно нажать на нее, и появится строка сообщения. Если активизировать кнопку не нужно, то достаточно убрать с неё указатель, не отпуская кнопки мыши. Если указатель остановлен на кнопке, появляется текст, описывающий действие кнопки.

Прямо под панелью инструментов располагается панель шрифтов. Она содержит шаблоны выбора и кнопки, используемые для задания характеристик шрифтов в уравнениях и тексте. Для вставки операторов, греческих букв, графиков и т.п. служат кнопки палитры математика.

В целях экономии места на экране каждая из этих компонент может быть выведена на экран либо скрыта с помощью соответствующей команды меню Вид (View). Как правило, регулярно используются палитра вычислений и палитра графиков,

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 2.

Рассмотрим аспекты управления рабочим документом. Чтобы открыть ранее существующий рабочий документ, нужно выбрать пункт Открыть (Open) из меню Файл. MathCAD запросит имя файла. В самом низу меню Файл MathCAD ведет список файлов, открывшихся последними. Выбор имени файла из этого списка сразу открывает файл. В меню Файл есть два пункта, касающиеся сохранения файлов: Сохранить (Save) , Сохранить как (Save As). Для записи рабочего документа, ранее никогда не сохраняющегося, можно выбрать любой из них, в результате чего появится диалоговое окно Сохранить как (Save As), в котором можно набрать имя файла. Для перезаписи исходного рабочего документа (его изменённой версии) нужно выбрать пункт Сохранить (Save) или нажать комбинацию клавиш [Ctrl+S], в результате чего MathCAD уничтожает исходную копию рабочего документа и записывает новую копию, показываемую в рабочем окне.

Практическая часть

Хотя MathCAD предназначен для сложных математических вычислений, его можно использовать, например, как калькулятор. Для этого:

  1.  Щёлкните в любом месте рабочего документа, появится небольшой крестик. Весь ввод с клавиатуры будет размещаться теперь в рабочем документе, начиная с места расположения крестика.
  2.  Напечатайте 20-4/103.2= . После набора знака= MathCAD вычисляет выражение и выводит результат.

Этот пример демонстрирует особенности работы с MathCAD.

  1.  MathCAD отображает формулы в точности в том виде, как их печатают в книгах или пишут на доске – по всей площади экрана; подбирает размеры для дробных черт, скобок и других математических символов, чтобы они выглядели так, как их обычно пишут на бумаге.
  2.  MathCAD понимает, какую операцию выполнять первой. После ввода  знака равенства   =  MathCAD  показывает результат.
  3.  После ввода оператора MathCAD показывает небольшой прямоугольник, называемый  полем ввода. Поле ввода содержит места  для ввода чисел и выражений.

Выражение на экране можно редактировать, устанавливая в нужном месте указатель и печатая новые символы, цифры или операторы.

В пакете MathCAD можно оперировать переменными и функциями. При помощи переменных и функций становится возможным связь уравнений и использование промежуточных результатов в дальнейших вычислениях.

Правила определения переменных.

  1.  Напечатать имя переменной, которую нужно определить.
  2.  Напечатать двоеточие (:), чтобы  ввести символ присваивания ( MathCAD  показывает  :  сопровождаемое символом присваивания  : =).
  3.  Напечатать значение, присваиваемое переменной. Оно может содержать числовые константы и любые, ранее определённые переменные и функции.

Слева от знака  :=  могут стоять:

  1.  имя простой переменной, например  x;
  2.  имя переменной с нижними индексами;
  3.  матрица с элементами, являющимися простыми переменными или переменными с нижними индексами;
  4.  имя функции со списком аргументов, состоящих из имен простых переменных, например  f(x,y,z);
  5.  имя переменных с верхними индексами.

Пример 1. Задание переменных.

MathCAD читает рабочий документ сверху вниз и слева направо. Определив переменную, ее можно использовать в вычислениях везде ниже и правее области, в которой она определена. Попробуйте задать переменную сами, используя следующий алгоритм.

  1.  наберите имя переменной, например ;
  2.  напечатайте символ  : (двоеточие). В рабочем документе появится знак присваивания (:=)
  3.  напечатайте значение, которое вы присваиваете переменной , например 11
  4.  наберите  9/2 [Space]*t^2=

Здесь: [Space] – клавиша пробела; символ  ^ означает возведение в степень, *   знак умножения, а наклонная черта вправо ( / )  деление.

После ввода формулы MathCAD возвращает результат. Окно рабочего документа содержит одно определение, которое определяет переменную, и одно вычисление, которое дает результат. MathCAD пересчитывает результаты сразу после внесения любых изменений в рабочий документ. Если заменить, например, число 11 в примере на какое-либо другое, MathCAD изменит результат, как только будет введен [Enter], или Вы щелкнете мышью вне формулы.

Переменные могут быть определены в одном и том же рабочем документе неоднократно, например, дважды. MathCAD будет просто использовать первое определение для всех выражений ниже первого определения и выше второго. В выражениях, находящихся ниже второго определения, MathCAD использует второе определение.

MathCAD может выполнять повторяющиеся или итерационные вычисления также легко, как вычисления отдельных выражений. Для этого MathCAD использует специальный тип переменных дискретные аргументы. Переменная типа дискретный аргумент принимает диапазон значений. Если в выражении присутствует дискретный аргумент, то MathCAD вычисляет выражение столько раз, сколько значений содержит дискретный аргумент. Итак, для определения дискретного аргумента должны быть заданы:

  1.  имя переменной слева;
  2.  или := или в середине;
  3.  допустимый диапазон справа.

Для того чтобы вычислить выражение для диапазона значений, сначала определите дискретный аргумент.

  1.  напечатайте j и затем нажмите клавишу двоеточия :. Пустое поле означает, что MathCAD ожидает определение для j, не зная, будет ли j обычной переменной или дискретным аргументом.
  2.  Напечатайте 1. Затем нажмите клавишу точку с запятой ;. Это сообщает MathCAD, что определяется дискретный аргумент. MathCAD показывает ; как две точки .., что означает диапазон. Завершите определение дискретного аргумента, печатая 15 в оставшемся поле.
  3.  Это определение указывает, что j принимает значения 1, 2 .. 15. Чтобы определить дискретный аргумент с шагом, отличным от единицы, нужно сделать следующее:
  4.  напечатать k: 1, 1.5 ;15
  5.  На экране это будет выглядеть как
  6.  k:= 1,1.5 .. 15 .
  7.  В этом определении диапазона:
  8.  переменная k – имя дискретного аргумента. Это должно быть простое имя
  9.  число 0 – первое значение переменной k 
  10.  число 1.5 – второе значение в диапазоне. Это не размер шага. Размер шага в этом примере 0.5 – разница между 1.5 и 1
  11.  число 2 – последнее значение в диапазоне. Если третье число в определении диапазона не равно целому числу приращений начального значения, аргумент все равно не выйдет за его пределы.

Можно использовать произвольные скалярные выражения вместо 1, 1.5 и 15, но эти значения должны быть всегда вещественными. Комплексные числа не имеют смысла в определениях дискретного аргумента, так как имеется бесконечное число путей, соединяющих два данных комплексных числа. Если только дискретный аргумент определен, он принимает полный диапазон значений каждый раз, когда он используется.

Нельзя определить простую переменную через дискретный аргумент. Например, если определив j, теперь записать i := j + 1,то MathCAD истолкует это как попытку приравнять скалярную переменную дискретному аргументу и отметит уравнение сообщением “нескалярная величина”. Если дискретный аргумент используется в выражении, MathCAD вычисляет выражение один раз для каждого значения дискретного аргумента. Этот принцип выражает различие между выражениями с дискретным аргументом и без него. Выражения, которые не содержат дискретный аргумент, имеют только одно значение. Выражения, содержащие дискретные аргументы, принимают много значений, которые соответствуют каждому значению каждого аргумента.

Пример 2. Определение дискретного аргумента.

Определение функции аналогично определению переменной. Имя функции должно стоять слева, знак присваивания := посередине, а выражение - справа. Основное различие состоит в том, что имя теперь включает список аргументов.

Правила определения функций.

  1.  напечатать имя функции, например  f ;
  2.  напечатать левую скобку, а вслед за ней – имя или список имен, разделенных запятой. Для завершения списка аргументов нужно напечатать правую скобку. Не имеет значение, были ранее определены или использованы в рабочем документе имена из списка аргументов. Важно только, чтобы эти аргументы были именами, а не более сложными выражениями;
  3.  ввести  : . Появится знак оператора присваивания  :=;
  4.  напечатать выражение, задающее функцию. Оно может содержать любые ранее определенные функции и переменные.
  5.  Определенная таким образом функция может быть использована везде ниже определения, также как используются переменные.

При использовании функции в выражении MathCAD 

  1.  вычисляет значения аргументов, указанных в скобках;
  2.  заменяет формальные параметры (аргументы в определении функции) фактическими значениями аргументов, указанных в скобках;
  3.  выполняет вычисления, предписанные определением функции, и возвращает результат вычислений как значение функции.

Пример 3. Задание функций.

Если в определении функции используется имя переменной, которой нет в списке аргументов, то оно должно быть определено прежде определения функции. Значение этой переменной в момент ввода определения функции становится постоянной частью функции.

Каким образом строятся математические выражения в MathCAD? Многие математические выражения можно создавать, просто печатая последовательность символов. Часть символов – буквы и цифры – служат для ввода чисел и имен функций и переменных, другие символы – для создания операторов. Можно напечатать многие из этих операторов, нажимая соответствующие кнопки на различных палитрах операторов. Например, арифметическую палитру можно открыть, нажав кнопку с изображением калькулятора. Математические выражения имеют строго определенную структуру, и редактор формул MathCAD разработан с учетом этого. В MathCAD математические выражения не столько печатаются, сколько строятся. MathCAD собирает различные части выражения, используя правила старшинства операций и некоторые дополнительные правила, которые упрощают ввод знаменателей, показателей степени и выражений в радикалах. Например, если напечатать / чтобы создать дробь, курсор будет оставаться в знаменателе, пока ему явно не указать, чтобы он покинул знаменатель, щелкнув мышью вне знаменателя, нажав [Space] или используя клавиши курсора. Говорят, что в этом случае операторы являются “цепкими”. Операции деления, возведения в степень и извлечение корня в MathCAD – “цепкие” операции, т.е. после создания одной из этих операций, всё затем печатаемое будет частью знаменателя, показателя степени или подкоренного выражения, пока явно не переместить курсор, нажимая [Space], клавиши курсора или с помощью мыши. Чтобы покинуть выражение, можно:

  1.  щёлкнуть снаружи выражения мышью,
  2.  нажать клавишу ввода [Enter].

Правила редактирования существующего выражения.

Чтобы отредактировать имя или число:

  1.  щелкните на нем – это поместит маркер ввода в нужное место
  2.  при необходимости нажмите клавиши управления курсором, чтобы переместить маркер
  3.  если напечатать символ, он появится слева от маркера ввода. Нажатие клавиши [Backspace] удаляет символ слева от маркера ввода.

Для замены оператора:

  1.  щелкните на знаке мышью или используйте клавиши курсора
  2.  нажмите клавишу  [Del]  или клавишу [Backspace]. Повторное нажатие удаляет все выражение.
  3.  нажмите другой знак.

Вставка оператора. 

Проще вставить оператор между двумя буквами или цифрами, стоящими рядом. Например, чтобы вставить знак деления между двумя символами, стоящими рядом, нужно:

  1.  вставить маркер ввода между ними;
  2.  нажать знак деления  / .

Столь же просто вставлять операторы, которые требуют только одного операнда. Примеры таких операндов – квадратный корень, модуль и комплексное сопряжение. Чтобы вставить один из них, выделите все выражение, к которому нужно применить оператор и наберите соответствующую комбинацию клавиш. Многие из этих операторов также доступны на арифметической палитре.

Удаление оператора. 

Можно удалить оператор, соединяющий два имени переменных или две константы, а также операторы, требующие только одного операнда.

  1.  поместите маркер ввода после оператора;
  2.  нажмите [Backspace].

Или

  1.  поместите маркер ввода перед оператором;
  2.  нажмите [Del].

Чтобы удалить оператор, который имеет только один операнд типа |x |, x! :

  1.  охватите оператор маркером ввода;
  2.  нажмите  [Del] или [Backspace].

Чтобы вычислить выражение, нужно:

  1.  напечатать выражение, содержащее любую допустимую комбинацию чисел, переменных и функций. Любые переменные или функции, используемые в этом выражении, должны быть определены в рабочем документе;
  2.  нажать клавишу  =.

Прерывание вычислений.

Для того чтобы прервать процесс вычислений, нажмите клавишу [Esc]. После появления диалогового окна нужно щелкнуть по кнопке  OK, для остановки процесса вычислений или по кнопке “отмена” для его продолжения.

Исправление ошибок.

Определив выражение, вызвавшее ошибку, нужно его отредактировать с целью устранения ошибки или исправить определение переменной, приведшей к ошибке. После щелчка по выражению и начала редактирования MathCAD удаляет сообщение об ошибке. После щелчка вне уравнения (или нажатия клавиши  [F9]), MathCAD повторно вычисляет выражение. Если ошибка устранена, то MathCAD затем повторно вычисляет другие выражения, зависящие от измененного.

Выражение, отмеченное сообщением об ошибке, не обязательно содержит ее причину. Причиной ошибки могут быть функции или переменные, определенные в рабочем документе значительно ранее. Для устранения ошибки придется отредактировать именно ее.

Рассмотрим допустимые в MathCAD имена переменных и функций. Имена в MathCAD могут содержать любые из следующих символов:

  1.  прописные и строчные латинские буквы;
  2.  цифры от 0 до 9
  3.  знак подчеркивания _
  4.  штрих ` Это не апостроф. Находится на одной клавише с тильдой ~
  5.  символ процента %
  6.  греческие буквы. Есть два способа набрать греческую букву: напечатать римский эквивалент и нажать [Ctrl]+G или щелкнуть по соответствующему символу на палитре греческих символов
  7.  символ бесконечности, который можно задать как комбинацию клавиш[Ctrl]+[Shift]+Z. 
  8.  Имена переменных и функций не могут включать пробелы или любые другие символы, не перечисленные выше.

MathCAD не делает различий между именами переменных и именами функций. Если определить вначале f(x), а затем переменную f, окажется невозможным использовать f(x) где-либо ниже определения f некоторые имена уже используются MathCAD для встроенных констант, единиц измерения и функций. Хотя эти имена можно переопределить, этот уничтожит их встроенные значения.

MathCAD различает в именах символы верхнего и нижнего регистра, а также различные шрифты.

Кроме того, среда MathCAD включает так называемые предопределенные переменные. MathCAD содержит 8 переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Они называются встроенными или предопределенными. Эти переменные имеют или общепринятое значение (например, пи или е), или используются как внутренние переменные, управляющие работой MathCAD. Эти переменные можно переопределять, например, определим  е:= 2. Ниже этого определения переменная  е  примет в рабочем документе новое значение.

Приведем примеры некоторых встроенных переменных:

р=3.14159…– число Пи;

е=2.71828 – основание натурального логарифма;

Е=10^307 – машинная бесконечность;

% =0.01 – процент.

MathCAD интерпретирует все, начинающееся цифрой, как число. Цифра может сопровождаться:

  1.  другими цифрами;
  2.  десятичной точкой;
  3.  цифрами после десятичной точки;
  4.  символами h или o для шеснадцатеричных и восьмеричных чисел; символами i или j для комплексных чисел. Комплексные числа MathCAD воспринимает в форме a+bi (или a+bj). Специальные функции и операторы для работы с комплексными числами:
  5.  Re(z) – вещественная часть числа z;
  6.  Im(z) – мнимая часть числа z;
  7.  Arg(z) – аргумент числа z (угол в комплексной плоскости между вещественной осью и радиус-вектором, определяемым числом z);
  8.  |z| модуль числа z.

Одиночное число в MathCAD называют скаляром. Столбец чисел называется вектором, а прямоугольная таблица чисел матрицей. Способы создания массива:

  1.  заполнить массив пустых полей
  2.  использовать дискретный аргумент

Можно различать имена векторов, матриц и скаляров, используя различный шрифт для их описания.

Правила создания вектора (матрицы).

  1.  Щелкните мышью в свободном месте рабочего документа и напечатайте имя вектора V или матрицы M, сопровождаемое символом двоеточия.
  2.  Выберите матрицы из меню Вставка (Insert) или нажмите комбинацию клавиш  [Ctrl]+m или щёлкните мышью на соответствующей палитре. Появится диалоговое окно, где Rows – количество строк, а Columns – количество столбцов.
  3.  Нажмите Ok . MathCAD создает вектор (матрицу) с пустыми полями для заполнения. Заполните эти поля скалярными выражениями.

Можно теперь использовать имя вектора (матрицы)  в любом выражении. Имя вектора (матрицы) и сам вектор (матрица) взаимозаменяемы. Как только вектор определен, можно определить через него другие вектора. Можно обращаться к отдельным элементам массива, используя нижние и верхние индексы. Чтобы напечатать нижний индекс, используйте клавишу нижней скобки [ . Чтобы вставить оператор верхнего индекса, нажмите комбинацию клавиш [Ctrl]+6. Нижние индексы, подобно делению и возведению в степень, удерживают ввод. Чтобы не печаталось после [ ,все остается в нижнем индексе, пока не будет нажат пробел , чтобы выйти оттуда. Когда определены элементы вектора (матрицы), часть из них можно оставить неопределенными. Если V был не определен и третий элемент вектора определяется равным  10, то нулевой, первый и второй элементы не определены. MathCAD заполняет эти элементы нулями, пока в них не будут внесены необходимые значения

Пример 4. Определение и просмотр элементов матрицы (вектора).

Можно создать большие массивы, используя дискретный аргумент. Если массив имеет более чем 9 строк или столбцов, MathCAD автоматически отображает его в виде таблицы вывода с полосами прокрутки.

Векторные и матричные операторы. Некоторые из операторов MathCAD имеют особые значения в применении к векторам и матрицам. Например, символ умножения означает просто умножение, когда применяется к двум числам, но он же означает скалярное произведение, когда применяется к векторам и умножение матриц, когда применяется к матрицам. Многие из этих операторов доступны из палитры символов. Обратите внимание, что операторы, которые ожидают в качестве аргумента вектор, всегда ожидают вектор-столбец, а не вектор-строку. MathCAD располагает следующими встроенными функциями для работы с векторами и матрицами:

cols(M) – число строк в матрице M;

rows(M) – число столбцов в матрице M;

min(M), max(M) – минимальный и максимальный элементы матрицы M;

length(V) – число элементов вектора V;

last(V) –индекс последнего элемента в векторе V.

Пример 5. Векторные и матричные функции.

Пример 6. Векторные и матричные операции.

Сумма элементов вектора:   Скалярное и векторное произведение

Определитель матрицы    Транспонированная матрица

Обратная матрица:

Решение матричных уравнений.

Матричные уравнения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений и решаются путем обращения матрицы коэффициентов .

Кром того, MathCAD есть также оператор lsolve, позволяющий решать систему уравнений в случае невырожденной матрицы .

Пример 7. Решение системы линейных уравнений.

Символьные вычисления.

В MathСad используются арифметические операторы, подобные операторам сложения и вычитания, умножения и деления, а также операторы, определенные для матриц и специальные операторы типа вычисления интегралов и производных. Операторы можно вводить, используя комбинации клавиш или палитры операторов. Пиктограммы на кнопках палитры оператора указывают, какой оператор появляется при нажатии на данную кнопку. При задержке указателя мыши над кнопкой появляется надпись, указывающая назначение этой кнопки. Чтобы вставить оператор из палитры, укажите мышью, где необходимо поместить оператор, затем нажмите на кнопку необходимого оператора на соответствующей палитре.

Операторы вычисления сумм и произведений.

Оператор суммирования вычисляет сумму выражений по всем значениям индекса. Оператор произведения работает аналогичным образом. Чтобы создать оператор суммирования в рабочем документе:

  1.  щелкните в свободном месте рабочего документа.
  2.  Затем нажмите комбинацию [Ctrl]+[Shift]+ 4 или соответствующую кнопку на палитре 3. интегралов и производных. В нижнем поле слева от знака равенства введите имя переменной. Эта переменная - индекс суммирования. Она определена только внутри оператора суммирования, вне оператора может существовать другая переменная с тем же индексом.
  3.  В поле справа от знака равенства, а также над знаком суммы введите целое число или любое выражение, принимающее целое значение.
  4.  В оставшемся поле введите выражение, которое необходимо просуммировать. Это выражение будет содержать индекс суммирования. Если это выражение имеет несколько членов, используйте скобки ( ).

Для создания оператора произведения нажмите комбинацию клавиш [Ctrl]+[Shift]+3 или щелкните мышью на соответствующей кнопке палитры интегралов (матанализ). Далее применяйте правило, описанное выше. Если индекс суммирования изменяется не с шагом равным единице, то используется обобщенный оператор суммы – обобщенный оператор произведения.

  1.  Напечатайте i : 1, 1.2 ; 10
  2.  Щелкните на свободном месте рабочего документа. Нажмите комбинацию клавиш [Shift]+4 (или [Shift]+3). 
  3.  Щелкните на поле снизу и введите имя дискретного аргумента, который должен быть определен раньше.
  4.  Щелкните на поле справа от знака суммирования (знака произведения) и внесите выражение, содержащее дискретный аргумент.
  5.  Нажмите знак равенства, чтобы увидеть результат.

Пример 8. Вычисление сумм и произведений.

Порядок выполнения работы

(включая пример и варианты заданий)

Студентам рекомендуется внимательно изучить теоретические сведения, разобрать приведенные там примеры, затем приступить к выполнению поставленного задания.

Тестовый пример:

1) Попробуем набрать следующее выражение

и вычислим его значение для a = 0.1, x = 3.5, y = 1. В первую очередь зададим значения переменных, входящих в состав данного выражения.

Напечатайте x:3.5 a:0.1 y:1. Затем наберите x-3*a^2.

До сих пор правила старшинства позволяли нам просто печатать символы подряд, дальше так продолжать нельзя, так как маркер ввода находится на двойке, и двойка станет числителем, если нажать / Чтобы все выражение стало числителем, нажмите три раза клавишу [space ] . Маркер ввода охватит выражение целиком. Можно поэкспериментировать с другими клавишами курсора, можно щелкать мышью на других частях выражения. Прежде чем перейти к следующему шагу, убедитесь, что маркер ввода охватывает все выражение.

Нажмите / чтобы создать дробную черту напечатайте - 4 + и щелкните на кнопке корня на арифметической палитре. Затем напечатайте y + 1 , чтобы завершить знаменатель. Чтобы добавить что-либо снаружи корня нажмите дважды клавишу [Space] (пробел). Чтобы вычислить значение данного выражения нажмите клавишу =.

2)

2.1. j:=0..8

2.2. Xj:=j2+1

2.3. наберите j : 0 ;8

2.4. наберите X [ j : j^2[Space]+1

2.5. наберите X=

Чтобы увидеть все элементы данного вектора, используя полосы прокрутки, щелкните мышью по получившейся таблице вывода.

3) Выполнить вычисления по приведенным ниже формулам.

3.1 Используя переменную типа “дискретный аргумент”, задать элементы вектора.

3.2 Ввести с клавиатуры вектора W, V, матрицы A,B. Вычислить: WxV, W*V, сумму элементов данных векторов, A-1, BT, A*B, A*A-1, (2*A+B)*(A-B2).

3.3 Наберите A:

щелкните мышью на палитре матричных операторов. Заполните поля диалогового окна и нажмите клавишу OK . Затем заполните пустые поля матрицы скалярными выражениями. Аналогично задайте матрицу B и вектора W, V.

Проведите необходимые вычисления, используя палитру матриц и векторов.

Контрольные вопросы.

  1.  Опишите палитры символов.
  2.  Особенности работы с пакетом инженерных расчетов MathCAD.
  3.  Как определить переменную в пакете MathCAD? Приведите примеры.
  4.  Переменная типа “ дискретный аргумент “. Примеры.
  5.  Как в MathCAD определяется функция? Приведите примеры определения функции.
  6.  Построение выражения в MathCAD. Цепкие операторы.
  7.  Редактирование существующего выражения: замена, вставка, удаление оператора; вычисление выражения.
  8.  Сообщения об ошибках в пакете MathCAD. Исправление ошибок.
  9.  Допустимые в MathCAD имена переменных и функций. Предопределенные переменные. Числа.
  10.  Создание вектора (матрицы). Примеры.
  11.  Векторные и матричные операции (функции). Примеры.
  12.  Какие операторы используются в Mathcad? Как их можно вводить?
  13.  Операторы вычисления сумм и произведений: способы задания, примеры.
  14.  Оператор производной: способ задания, дифференцирование в точке, символьное дифференцирование, примеры.
  15.  Определенный интеграл: способ задания, переменные пределы интегрирования. Двойной и тройной интегралы.
  16.  Неопределенный интеграл: способ задания, примеры.
  17.  Символьный знак равенства, способы его задания, примеры.
  18.  Встроенные функции.

Варианты заданий

Вариант 1

1) Вычислить , где  , , .

2) Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3) Ввести с клавиатуры векторы , ., матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

4) Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью функции lsolve.

5) Найти число , где – матрица, полученная из матрицы заменой первого столбца вектором .

6) Вычислить

Вариант 2

1) Вычислить , где , , .

2) Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3) Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

  1.  Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью функции lsolve.
  2.  Найти число , где – матрица, полученная из матрицы заменой второго столбца вектором .
  3.  Вычислить .

Вариант 3

1) Вычислить , где . , .

2) Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3) Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

4) Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью функции lsolve.

5) Найти число , где – матрица, полученная из матрицы заменой третьего столбца вектором .

6) Вычислить .

Вариант 4

1) Вычислить , где , .

2) Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3) Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

4) Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью функции lsolve.

5) Найти число , где – матрица, полученная из матрицы заменой первого столбца вектором .

6) Вычислить .

Вариант 5

1) Вычислить ,  где , .

2) Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3) Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

4) Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью функции lsolve.

5) Найти число , где – матрица, полученная из матрицы заменой второго столбца вектором .

6) Вычислить .

Вариант 6

1) Вычислить где , .

2) Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3) Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

4) Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью функции lsolve.

5) Найти число , где – матрица, полученная из матрицы заменой третьего столбца вектором .

6) Вычислить .

Вариант 7

1) Вычислить , где , .

2) Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3) Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

4) Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью функции lsolve.

5) Найти число , где – матрица, полученная из матрицы заменой первого столбца вектором .

6) Вычислить .

Вариант 8

1) Вычислить  , где, .

2) Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3) Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

4) Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью функции lsolve.

5) Найти число , где – матрица, полученная из матрицы заменой второго столбца вектором .

6) Вычислить .

Вариант 9.

1) Вычислить , где  , .

2) Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3) Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

4) Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью функции lsolve.

5) Найти число , где – матрица, полученная из матрицы заменой третьего столбца вектором .

6) Вычислить .

Вариант 10

1) Вычислить , где , ,.

2) Используя переменную типа «дискретный аргумент», задать элементы вектора по правилу , если .

3) Ввести с клавиатуры векторы , и матрицы , .

Вычислить:

а) скалярное и векторное произведение векторов W и V;

б) сумму элементов данных векторов;

в) , , , , ;

г) сумму элементов каждой строки матрицы .

4) Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы и с помощью функции lsolve.

5) Найти число , где – матрица, полученная из матрицы заменой первого столбца вектором .

6) Вычислить .

Тема 2. Графические возможности пакета инженерных расчетов MathCAD. Анимация.

Цель работы: Изучение графических возможностей символьного пакета MathCAD. Приобретение навыков построения графиков функции и поверхностей. Знакомство с возможностями анимации и создания условных выражений.

Используемые программные средства: Пакет MathCAD.

Теоретические сведения.

В пакете MathCAD встроено несколько различных типов графиков, которые можно

разделить на двумерные (или графики на плоскости) и трехмерные (графики в пространстве) В свою очередь двумерные графики делятся на:

  1.  XY (декартовый) график (XY Plot);
  2.  полярный график (Polar Plot).

Среди трехмерных выделяют

  1.  график трехмерной поверхности (Surface Plot);
  2.  график линий уровня (Contour Plot);
  3.  трехмерная гистограмма (3D Bar Plot);
  4.  трехмерное множество точек (3D Scatter Plot);
  5.  векторное поле (Vector Field Plot).

Деление графиков на типы несколько условно, так как управляя установками многочисленных параметров, можно создавать комбинации типов графиков, а также новые типы (например, двумерная гистограмма распределения является разновидностью простого XY-графика).

Все графики создаются аналогичным способом, с помощью панели инструментов Graph (График), различия обусловлены отображаемыми данными.

Некорректное определение данных приводит, вместо построения графика, к выдаче сообщения об ошибке.

  1.  Построение двумерного графика.

К двумерным графикам относят графики в декартовой и полярной системах координат. Созданный однажды график одного типа нельзя переделать в график другого типа (в отличие от трехмерных графиков). Для построения XY-графика необходимы два ряда данных, откладываемых по осям ОХ и ОУ.

Для построения нужно:

  1.  щелкнуть мышью в свободном месте рабочего документа;
  2.  нажать комбинацию клавиш [shift] + 2 или щелкнуть мышью по палитре графических операторов или выбрать пункт X - Y Plot из меню Insert (Вставка).

Появляется пустой график с полями ввода для выражений, отображаемых по осям графика.

XY-график двух векторов.

Самый простой и наглядный способ получить декартов график – это сформировать два вектора данных, которые будут отложены вдоль осей ОХ и ОУ. Последовательность построения графика двух векторов х и у показана на рис. 1. В этом случае в шаблоны возле осей вводятся просто имена векторов. Также допускается откладывать по осям элементы векторов, т. е. вводить в шаблоны возле осей имена и соответственно (рис. ). В результате получается график, на котором отложены точки, соответствующие парам элементов векторов, соединенные отрезками прямых линий. Образованная ими ломаная называется рядом данных, или кривой (trace).

Пример 1.

XY-график функции. 

График любой скалярной функции f(х) можно построить двумя способами. Первый заключается в дискретизации значений функции, присвоении этих значений вектору и прорисовке графика вектора.

Пример 2.

Второй способ, называемый быстрым построением графика, заключается во введении функции в один из шаблонов (например, у оси ординат), а имени аргумента – в шаблон у другой оси абсцисс (рис.). В шаблоны слева и справа от аргумента необходимо ввести границы диапазона изменения значений аргумента. Если такой диапазон не задан, по умолчанию график будет построен в диапазоне значений аргумента от -10 до 10.

Пример 3.

  1.  Построение графиков в полярных координатах

Для создания полярного графика необходимо нажать кнопку Polar Plot на панели Graph (График) и вставить в появившиеся шаблоны имена переменных и функций, которые будут нарисованы в полярной системе координат: угол (нижний шаблон) и радиус-вектор (левый шаблон). Аналогично построению графика в декартовых координатах по осям могут быть отложены два вектора элементы векторов и ранжированные переменные в различных сочетаниях, а также может быть осуществлено быстрое построение графика функции.

Пример 4.

График функции в полярных координатах можно построить также с помощью преобразований полярных координат в декартовые.

В примере 5 построен график кардиоиды в полярных координатах, уравнение которого задано в виде . Уравнения для и – обычное преобразование полярных координат в прямоугольные (декартовые).

Пример 5.

3. Размещение нескольких графиков на чертеже. 

График может содержать несколько выражений по оси ординат в зависимости от одного выражения по оси абсцисс или несколько значений по оси ординат, согласованных с соответствующими выражениями по оси абсцисс. Чтобы представить графически несколько выражений по оси ординат относительно одного выражения по оси абсцисс, необходимо ввести первое выражение для оси ординат, сопровождаемое запятой. Непосредственно под первым выражением появится пустое поле (шаблон). В появившемся месте ввода записывается имя второй функции, сопровождаемое другой запятой и т.д. Все выражение должно использовать одну и ту же переменную.

Пример 6.

Чтобы построить несколько независимых кривых на одном чертеже, введите два или более выражения, отделяемых запятыми на оси абсцисс, и то же самое число выражений на оси ординат. MathCAD согласует выражения попарно: первое выражение оси абсцисс с первым выражением оси ординат, второе со вторым и т.д. Можно построить до 16 функций на оси ординат в зависимости от одного аргумента на оси абсцисс. Если для каждой кривой используется свой аргумент, то можно отобразить только до 10 графиков.

Пример 7.

Все графики на чертеже совместно используют одни границы на осях. Для каждой оси все выражения и границы должны иметь совместимые размерности.

Изменение размеров графика.

Чтобы изменить размеры графика, необходимо:

  1. Заключить его в выделяющий прямоугольник с помощью щелчка мыши.
  2.  Переместить указатель мыши к левому нижнему краю выделяющего прямоугольника. Указатель превратится в двойную стрелку.
  3.  Переместить указатель при нажатой кнопке мыши, растягивая графическую область в желаемом направлении.
  4.  По достижении желаемого размера отпустить кнопку мыши.

Для отмены выделения щелкните мышью вне графической области.

4. Форматирование двумерных графиков.

При двойном щелчке мышью в области графика (либо выборе в контекстном меню команды Format) открывается окно форматирования графика.

На вкладке Trace (Трасировки) предоставляется возможность задать следующие параметры:

  1.  Legend Label (Легенда) – текст легенды, описывающий ряд данных.
  2.  Symbol (Символ) – значок, отмечающий выделенную точку:
  3.  None – значок отсутствует;
  4.  x’s – крестик;
  5.  +’s – плюс;
  6.  box – прямоугольник;
  7.  dmnd – ромб;
  8.  o’s – кружок.
  9.  Line (Линия) – стиль линии.
  10.  solid – сплошная;
  11.  dot – мелкий пунктир;
  12.  dadot – штрих-пунктир;
  13.  dash – крупный пунктир.
  14.  Color (Цвет) цвет линии и точек данных,
  15.  Weight (Толщина) – толщина линии и точек данных,
  16.  Type (Тип) – тип представления ряда данных:
  17.  line – линия;
  18.  point – точка;
  19.  bar – столбик гистограммы;
  20.  solidbar – закрашенный столбик;
  21.  step – ступенька;
  22.  stem – палочка с кружочком;
  23.  draw – рисованная линия;
  24.  error – позволяет отложить на графике вычисленную ошибку.

Сохранение установок по умолчанию.

На вкладке Defaults (По умолчанию) диалога Formatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование выбранного графика) находятся два элемента управления:

  1.  кнопка Change to Defaults (Вернуть установки по умолчанию) позволяет изменить все установки выделенного графика на установки по умолчанию, принятые для текущего документа;
  2.  - флажок проверки Use for Defaults (Использовать для установок по умолчанию) фиксирует установками по умолчанию для данного документа установки выбранного графика.

Создание заголовка графика.

Чтобы создать заголовок графика, необходимо:

  1.  Дважды щелкнуть мышью в области графика.
  2.   В диалоге Formatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование выбранного графика) перейти на вкладку Labels (Метки).
  3.   В поле Title (Заголовок) ввести текст заголовка.
  4.   Установить флажок проверки Show Title (Показать заголовок).
  5.   Выбрать переключатель Above (Сверху) или Below (Снизу), чтобы заголовок появился сверху или снизу графика.
  6.   Нажать кнопку ОК. 

Форматирование осей графиков.

Возможности форматирования координатных осей графиков включают в себя управление их внешним видом, диапазоном, шкалой, нумерацией и отображением некоторых значений на осях при помощи маркеров.

Изменение диапазона осей.

Когда график создается впервые, MathCAD выбирает представленный диапазон для обеих координатных осей автоматически. Чтобы изменить этот диапазон, нужно:

  1.  Перейти к редактированию графика, щелкнув в его пределах мышью. График будет выделен, а вблизи каждой из осей появятся два поля с числами, обозначающими границы диапазона.
    1.   При щелчке мышью в области одного из полей, чтобы редактировать соответствующую границу оси (например, верхнего предела оси х).
    2.   Пользуясь клавишами управления курсором и клавишами BackSpace или Del, удалите содержимое поля.
    3.  Введите новое значение диапазона.
    4.  Щелкните за пределами поля, и график будет автоматически перерисован в новых пределах.

Форматирование шкалы.

Изменение внешнего вида шкалы, нанесенной на координатную ось, производится с помощью диалогового окна Formatting Currently Selected X-Y Plot (Форматирование выбранного графика), в котором следует перейти на вкладку X-YAxes (Оси X и Y). Вызвать диалоговое окно можно двойным щелчком мыши в области графика или выполнением команды Format /Graph / X-Y Plot (Формат / График / X-Y График), или выбором в контекстном меню команды Format (Формат).

С помощью флажков и переключателей легко поменять внешний вид каждой из осей. Перечислим доступные опции и поясним их действие:

  1.  Log Scale (Логарифмический масштаб) – график по данной оси будет нарисован в логарифмическом масштабе. Это полезно, если данные разнятся на несколько порядков;
  2.  - Grid Lines (Линии сетки) – показать линии сетки;
  3.  - Numbered (Нумерация) – показать нумерацию шкалы. Если убрать этот флажок, то числа, размечающие шкалу, пропадут;
  4.  Autoscale (Автоматический масштаб) – выбор диапазона оси производится автоматически процессором MathCAD;
  5.  Show Markers (Показать маркеры) – выделение значений на осях.
  6.  AutoGrid (Автоматическая шкала) – разбиение шкалы производится автоматически процессором MathCAD. Если этот флажок снят, в поле ввода рядом с ним следует указать желаемое количество меток шкалы;
  7.  Equal Scales (Одинаковый масштаб) – оси OX и OY принудительно рисуются в одинаковом масштабе;
  8.  Axes Style (Вид оси) – можно выбрать один из трех видов системы координат:
  9.  Boxed (Прямоугольник);
  10.  Crossed (Пересечение) – координатные оси в виде двух пересекающихся прямых;
  11.  None (Нет) – координатные оси не показываются на графике.

Изменить описанные параметры можно и в диалоговом окне Axis Format (Формат оси), которое появляется, если щелкнуть дважды на самой оси.

Замечание. Для полярного графика предусмотрены другие виды осей: Perimeter (Периметр), Crossed (Пересечение) и None (Нет).

Создание маркеров.

Для создания маркеров (пунктирных горизонтальных и вертикальных линий на графике) на вкладке X-Y Axes (Оси Х и У) открывшегося окна форматирования  (оси Х-У) устанавливается флажок Show Markers (Показывать маркеры) по оси OX (слева) и/или OY (справа). При этом около выбранной оси появляются  шаблоны для ввода чисел либо имен констант. Удобнее использовать имена, так как при перемене значения константы соответствующая метка смещается автоматически.

Трассировка и увеличение масштаба просмотра графика.

Трассировка позволяет очень точно изучить строение графика. Для того чтобы включить режим трассировки, необходимо выбрать в контекстном меню пункт Trace (Трассировка). В результате появится окно трассировки,  а в поле графика – две пересекающиеся пунктирные линии. При перемещении указателя мыши по графику передвигается точка пересечения линий трассировки. При этом координаты точки указываются с высокой точностью в окне трассировки в полях X-Value (Значение X) и Y-Value (Значение Y). При нажатии кнопки Сору X (Копировать X) или Copy Y (Копировать Y) копирует соответствующее число в буфер обмена. В дальнейшем его можно вставить в любое место документа или в маркер, нажав клавиши [Ctrl]+V либо выбрав в контекстном меню команду Paste (Вставить).

Если установлен флажок Track Data Points (Следовать за рядом данных), то линии трассировки следуют точно вдоль графика. Если нет, то они могут перемещаться по всей области графика.

Помимо трассировки, предусмотрена еще одна удобная возможность просмотра графика в увеличенном масштабе. Для этого необходимо

  1.  Щелкнуть правой кнопкой мыши и в контекстном меню выбрать команду Zoom (Масштаб) – откроется диалоговое окно X-Y Zoom (Масштаб по осям Х и У).
  2.  Обвести указателем мыши при нажатой левой кнопке мыши ту область графика, которую необходимо увеличить – эта область окажется обведенной пунктирной линией.
  3.  В открытом окне щелкнуть по кнопке Zoom (Масштабировать) – выделенная область увеличится.

Чтобы вернуться к исходному виду графика, используются кнопки Unzoom (отменить масштабирование) или Full View(Вид полностью). Чтобы закрыть окно, оставив график увеличенным, необходимо нажать клавишу ОК.

5. Построение графиков поверхностей

Для построения графика поверхности: необходимо определить матрицу значений, которую необходимо отобразить графически. MathCAD будет использовать номер строки и номер столбца матрицы в качестве координат по осям X и Y. Элементы матрицы будут представлены на графике как высоты выше или ниже плоскости X-Y

Для построения графика поверхности нужно нажать комбинацию клавиш [Сtrl] + 2 или щелкнуть мышью на графической палитре инструментов, или из меню Вставка (Insert) выберите команду Grafics (Surface plot). MathCAD покажет рамку с одним полем ввода, в которое вводится имя матрицы. При нажатии клавиши F9 или перемещении курсора выделенной области. MathCAD дает пространственное изображение матрицы в виде двумерной cетки, находящейся в трехмерном пространстве. Каждый элемент матрицы представляется как точка на определенной высоте, пропорциональной значению элемента матрицы. По умолчанию ориентация поверхности такова, что первая строка матрицы простирается из дальнего левого угла сетки, а первый столбец из дальнего левого угла по направлению к наблюдателю. MathCAD рисует линии, чтобы соединить точки на графике. Эти линии определяют поверхность. Типичный график поверхности показывает значения функции двух переменных. Чтобы создать такой график, необходимо сначала образовать матрицу, содержащую значения этой функции, а затем построить поверхностный график этой матрицы.

Пример 8.

Быстрое построение графика.

Для быстрого построения графика необходимо

  1.  Задать функцию двух переменных.
    1.  Установив курсор в то место, де нужно построить график, отрыть панель (График) и щелкнуть по кнопке (График поверхности). На экране появится шаблон графика.
      1.  В месте ввода ввести имя функции без аргументов.

Пример 9.

Кроме графиков поверхности, MathCAD также может строить карты линий уровня, трехмерные гистограммы, точечные графики и графики векторных полей.

Пример 10.

 

6. Форматирование графика поверхности.

Форматирование трехмерных графиков выполняется с помощью диалогового окна 3-D Plot Format (Форматирование 3-D графика), которое вызывается двойным щелчком мыши в области графика. Параметры трехмерных графиков всех типов устанавливаются посредством этого диалогового окна. В диалоге 3-D Plot Format (Форматирование 3-D графика) доступно большое количество параметров, изменение которых способно очень сильно повлиять на внешний вид графика. Они сгруппированы по принципу действия на нескольких вкладках.

Изменение типа графика.

Чтобы поменять тип уже имеющегося графика (например, построить вместо поверхности график линий уровня и т. д.), соответствующий переключатель в нижней части вкладки General (Общие) установите в необходимое положение. После нажатия кнопки ОК график будет перерисован.

Вращение графика.

Самый простой способ ориентации системы координат с графиком в трехмерном пространстве – это перетаскивание ее указателем мыши. Попробуйте перемещать при нажатой левой кнопке мыши указатель в пределах графика, и вы увидите, как поворачивается график. Другой способ изменения ориентации графика – с помощью полей Rotation (Вращение), Tilt (Наклон) и Twist (Поворот) на вкладке General (Общие), которые в совокупности определяют соответствующие углы(в градусах) и тем самым задают направление всех трех осей координат в пространстве

Изменение стиля координатных осей.

С помощью группы переключателей Axes Style (Стиль осей) можно задать один из следующих стилей осей координат: Perimeter (Периметр), Corner (Углом), None (Нет) - оси отсутствуют. Если установить флажок Show Box (Показать куб), то координатное пространство будет изображено в виде куб.

Масштабирование графика.

В поле Zoom (Масштаб) вкладки General (Общие) можно задать числовое значение масштаба.

Форматирование осей.

Вкладка Axes (Оси) содержит три вложенных вкладки, в которых задаются параметры для каждой из трех координатных осей. В частности, можно включить или отключить показ линий сетки, нумерации и задать диапазонпо каждой из осей . Смысл этих операций сходен с аналогичными операциями для двумерных графиков. При помощи еще одной вкладки – Backplanes (Плоскости заднего плана) задается показ проекций координатной сетки на три скрытые плоскости трехмерного графика.

Стиль заливки и линий.

С помощью вкладки Appearance (Появление) для контурного и поверхностного графиков можно выбрать стиль заливки линий графика поверхности. При выборе переключателя Fill Surface (Заливка поверхности) из группы Fill Options (Опции заливки) вы получаете доступ к опциям цвета (в группе Color Options). Если выбрать переключатель Solid Color (Один цвет), то получится однотонная заливка поверхности. Если установить переключатель Color-map (Цветовая схема), то поверхность или контурный график будут залиты разными цветами и оттенками, причем выбрать цветовую схему можно на вкладке Advanced (Дополнительно).

Спецэффекты.

Во вкладке Advanced (Дополнительно) имеется доступ к управлению несколькими специальными эффектами оформления графиков, благодаря которым они смотрятся более красиво:

  1.  Shininess (Сияние) – имеется возможность регулировать сияние в пределах от 0 до 128;
  2.  Fog (Туман) - эффект тумана;
  3.  Transparency (Прозрачность) – задается процент прозрачности графика;
  4.  Perspective (Перспектива) – показ перспективы с определением видимости расстояния.

Еще один спецэффект подсветки графика задается на вкладке Lighting (Подсветка), причем имеются как встроенные схемы подсветки, так и возможность задавать ее цвет и направление самому пользователю.

7. Анимация.

Во многих случаях самый зрелищный способ представления результатов расчетов - это анимация. MathCAD позволяет создавать анимационные ролики и сохранять их в видеофайлах.

Основной принцип анимации в MathCAD – покадровая анимация. Ролик анимации представляет собой последовательность кадров, составленных из некоторого участка документа, который выделяется пользователем. Расчеты производятся обособленно для каждого кадра, причем формулы и графики, которые в нем содержатся, должны быть функцией от номера кадра. Номер кадра задается системной переменной FRAME, которая может принимать только натуральные значения. По умолчанию, если не включен режим подготовки анимации, это переменная равна нулю.

В виде анимации можно представить любой график, возникновение которого зависит от встроенной переменной FRAME. Для этого необходимо выполнить следующую последовательность действий:

  1.  Определить функцию, использующую переменную FRAME в качестве параметра, например, (см. пример 11).
    1.  Постройте график этой функции.
      1.  Выберите команду Animate (Анимация) из меню View (Вид)., чтобы открыть диалоговое окно .
      2.  Курсором выделите нужный фрагмент изображения.
      3.  Задайте в диалоговом окне общее число кадров и частоту их воспроизведения.
      4.  Щелкните по кнопке Animate. После завершения процесса создания кадров появится окно проигрывателя видеофайлов. Созданный клип можно сохранить, щелкнув в окне Animate (Анимация) по кнопке Save as (Сохранить как) и использовать вне документа MathCAD.
      5.  Сохраненный как avi-файл клип нужно вставить в MathCAD. Для этого в главном меню выберите команду Insert – Object (Вставка – Объект), в открывшемся окне установить переключатель Создать из файла, выберите нужный файл, щелкнув по кнопке Обзор. Желательно также установить флажок Связь. Это позволит редактировать avi-файл непосредственно из документа.

Пример 11.

Замечание 1. При создании анимационных клипов рекомендуется отключить автоматическое масштабирование графика, так как возможны скачки изображения при изменении масштаба.

Замечание 2. При создании файлов анимации допускается выбирать программу видеосжатия. Делается это с помощью кнопки Options (Опции) в диалоговом окне Animate (Анимация).

Вариант 1

1. Построить график функции .

2. Построить в одной системе координат при графики функций,  

3. В полярной системе координат построить график трехлепестковой розы для , .

4. Построить поверхность .

5. Анимировать поверхность при , .

6. Построить при график функции

Вариант 2

1. Построить график функции .

2. Построить в одной системе координат при графики функций , .

3. В полярной системе координат построить график спирали Архимеда для .

4. Построить поверхность .

5. Анимировать поверхность при , .

6. Построить при график функции

Вариант 3

1. Построить график функции .

2. Построить в одной системе координат при графики функций , .

3. В полярной системе координат построить график улитки Паскаля для .

4. Построить поверхность .

5. Анимировать поверхность при , .

6. Построить при график функции

Вариант 4

1. Построить график функции .

2. Построить в одной системе координат при графики функций ,

3. В полярной системе координат построить график розы для , .

4. Построить поверхность .

5. Анимировать поверхность при , .

6. Построить при график функции

Вариант 5

1. Построить график функции .

2. Построить в одной системе координат при графики функций , .

3. В полярной системе координат построить график спирали Галилея , для , .

4. Построить поверхность .

5. Анимировать поверхность при , .

6. Построить при график функции

Вариант 6

1. Построить график функции .

2. Построить в одной системе координат при графики функций , .

3. В полярной системе координат построить график строфоиды для .

4. Построить поверхность .

5. Анимировать поверхность при , .

6. Построить при график функции

Вариант 7

1. Построить график функции .

2. Построить в одной системе координат при графики функций , .

3. В полярной системе координат построить график розы для .

4. Построить поверхность .

5. Анимировать поверхность при , .

6. Построить при график функции

Вариант 8

1. Построить график функции .

2. Построить в одной системе координат при графики функций , .

3. В полярной системе координат построить график кардиоиды для .

4. Построить поверхность .

5. Анимировать поверхность при , .

6. Построить при график функции

Вариант 9

1. Построить график функции

2. Построить в одной системе координат при  графики функций , .

3. В полярной системе координат построить график логарифмической спирали для .

4. Построить поверхность .

5. Анимировать поверхность при , .

6. Построить при график функции

Вариант 10

1. Построить график функции .

2. Построить в одной системе координат при графики функций ,

3. В полярной системе координат построить график спирали «жезл» , для .

4. Построить поверхность .

5. Анимировать поверхность при , .

6. Построить при график функции

Тема 3: Численные методы решения нелинейных уравнений и оптимизация функций.

Цель работы: Изучить вычислительные возможности пакета MathCAD для решения оптимизационных задач.

Используемые программные средства: пакет MathCAD.

Теоретические сведения.

  1.  Решение уравнения с одним неизвестным.

Метод простых итераций.

Пусть задана непрерывная функция f(x) и требуется найти корни уравнения

f (1)

Уравнение (1) заменим эквивалентным ему уравнением

  (2)

Выберем некоторое нулевое приближение и вычислим последующие приближения по формулам:  

  (3)

Процесс итераций сходится  , если выполнено условие  на отрезке [ab], содержащем корень .

Метод Ньютона.

Пусть дано уравнение f(x) = 0 ,корень которого   отделен. Суть метода состоит в том, что дуга кривой  заменяется касательной к ней и за приближение корня берется абсцисса точки пересечения касательной с осью OX.

В методе касательных (n+1)-е приближение вычисляется по формуле , , в которой за нулевое приближение принимается такое значение из отрезка [ab], для которого выполняется условие .

Оценка абсолютной погрешности определяется формулой , где .

Средства пакета MathCAD для решения нелинейных уравнений

Для решения алгебраических уравнений MathCAD имеет встроенную функцию root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, работает по-разному.

  1.  root (f(х),х);
  2.  root(f(х),х,а,b);

где f(х) – скалярная функция, определяющая уравнение ;

х – скалярная переменная, относительно которой решается уравнение;

а, b – границы интервала, внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения (guess value) переменной х. Для этого нужно предварительно присвоить этой переменной некоторое число, в окрестности которого будет производиться поиск корня. Таким образом, присвоение начального значения требует априорной информации о примерной локализации корня. Эту Отделить корень можно, построив график функции f(х) и с помощью опции Trace (см. лабораторную работу № 3) определить примерно абсциссу пересечения графиком оси ОХ.

Пример 1.

Рассмотрим уравнение sin(x) = 0, корни которого известны заранее.

Поиск корня алгебраического уравнения в заданном интервале

Когда root имеет четыре аргумента, следует помнить о двух ее особенностях:

  1.  внутри интервала [а,b] не должно находиться более одного корня, иначе будет найден один из них, заранее неизвестно какой именно;
  2.  значения f(а) и f(b) должны иметь разный знак, иначе будет выдано сообщение об ошибке.

Пример 2.

Поиск мнимых корней уравнения.

Если уравнение не имеет действительных корней, но имеет мнимые, то их также можно найти.

Пример 3.

Замечание. Явный вид функции f(х) может быть определен непосредственно в теле функции root.

Корни полинома

Если функция f(х) является полиномом, то все его корни можно определить, используя встроенную функцию polyroots(v), где v – вектор, составленный из коэффициентов полинома.

Поскольку полином n-й степени имеет ровно n корней (некоторые из них могут быть кратными), вектор v должен состоять из n+1 элемента. Результатом действия функции polyroots является вектор, составленный из n корней рассматриваемого полинома. При этом нет надобности вводить какое-либо начальное приближение, как для функции root.

Пример 3.

Следует обратить внимание, что численный метод вместо двух из трех действительных единичных корней (иными словами, кратного корня 1) выдает два мнимых числа. Однако малая мнимая часть этих корней находится в пределах погрешности, определяемой константой TOL, и не должна вводить пользователей в заблуждение. В данном случае следует помнить, что корни полинома могут быть комплексными, и ошибка вычислений может сказываться как на действительной, так и на комплексной части искомого корня.

Символьное решение уравнений. 

Некоторые уравнения можно решить точно с помощью символьного процессора MathCAD. Делается это очень похоже на численное решение уравнений с применением вычислительного блока. Присваивать неизвестным начальные значения нет необходимости.

Пример 4 .

Вместо знака равенства после функции Find в листингах следует знак символьных вычислений, который можно ввести с панели Symbolic (Символика) или, нажав клавиши <Ctrl>+<.>. При этом уравнения должны иметь вид логических выражений (знаки равенства нужно вводить с помощью панели Booleans (Булевы операторы)).

С помощью символьного процессора решить уравнение с одним неизвестным можно и другим способом:

  1.  Введите уравнение, пользуясь панелью Booleans (Булевы операторы) или нажав клавиши <Ctrl>+<.> для получения логического знака равенства.
  2.  Щелчком мыши выберите переменную, относительно которой требуется решить уравнение.
  3.  Выберите в меню Symbolics (Символика) пункт Variable/Solve (Переменная/Решить).

После строки с уравнением появится строка с решением или сообщение о невозможности символьного решения этого уравнения.

Символьные вычисления могут производиться и над уравнениями, которые помимо неизвестных содержат различные параметры.

2. Решение систем нелинейных уравнений.

Метод простых итераций (последовательных приближений).

Систему нелинейных уравнений можно записать в векторном виде

  (1)

или подробно в координатном виде .

Нулевое приближение в случае двух переменных находится графически: на плоскости строят кривые и и находят точки их пересечения.

Для трех и более переменных удовлетворительных способов подбора нулевых приближений нет.

Заменим нелинейную систему (1) эквивалентной системой вида

 . (2)

или .

Если итерации сходятся, то они сходятся к решению уравнения (предполагается, что решение существует).

Исследуем сходимость итераций. Обозначим компоненты решения через  и преобразуем погрешность очередной итерации:

где l – направление, соединяющее многомерные точки и , а  – некоторая точка, лежащая между ними на этом направлении. Это равенство означает, что вектор погрешности нового приближения равен матрице производных, умноженной на вектор погрешности предыдущего приближения. Если какая-нибудь норма матрицы производных , согласованная с некоторой нормой вектора, меньше единицы, то норма погрешности убывает от итерации к итерации по геометрической прогрессии. Это означает линейную сходимость метода.

Заканчивать итерации можно по критерию сходимости: , выполнение которого необходимо проверить для каждой компоненты.

Средства пакета MathCAD для решения нелинейных уравнений

Для решения систем имеется специальный вычислительный блок, состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

  1.  Given – ключевое слово;
  2.  Система уравнений или неравенств, записанная логическими операторами в виде равенств или неравенств;
  3.  Find (x1,... ,xn) – встроенная функция для решения системы относительно переменных x1,... ,x .

Блок Given/Find использует для поиска решения итерационные методы, поэтому, как и для функции root, требуется задать начальные значения для всех x1,...,xn. Начальные условия определяют начальные значения искомых переменных и задаются в виде var:=value, т.е. обычным присваиванием переменным заданных значений, причем задать их необходимо до ключевого слова Given. Уравнения задаются в виде expr_left=expr_right с применением логического знака равенства между левой и правой частями каждого уравнения, который вводится либо с панели инструменов. Boolean (Булевы операторы), сочетанием клавиш<Ctrl>+<=>.

Функция Find возвращает вектор значений, составленный из решения по каждой переменной. Таким образом, число элементов вектора равно числу аргументов функции Find.

Пример 4.

Решить систему уравнений в окрестности точки .

Выполним проверку

Ответ: решением системы является точка (-0.106, 1.056).

Замечание. Вычислительный блок использует константу CTOL в качестве погрешности выполнения уравнений, введенных после ключевого слова Given. Например, если CTOL =0.001, то уравнение х=10 будет считаться выполненным и при х=10,001, и при х=9,999.

Вычислительным блоком с функцией Find можно найти и корень уравнения с одним неизвестным. Действие Find в этом случае совершенно аналогично уже рассмотренным примерам. Задача поиска корня рассматривается как решение системы, состоящей из одного уравнения. Единственным отличием будет скалярный, а не векторный тип числа, возвращаемого функцией Find.

Если окрестность, в которой требуется найти решение системы, не задана, начальное приближение для решения можно задать, построив в одной графической области графики кривых, задаваемых уравнениями системы.

Пример 5.

Найти решение системы уравнений  

Зададим функции f(x,y) и g(x,y), соответствующие первому и второму уравнениям системы соответственно:

Построим графики поверхностей, описываемых этими уравнениями.

На графике видно, что в качестве начального приближения можно выбрать, например, точку (0,0). Далее используя вычислительный блок и функцию, решение системы.

Выполним проверку, подставив найденные значения в функции f(x,y) и g(x,y).

Ответ: решением системы является точка (-1.118, -0.653).

Иногда приходится заменять задачу отделения корней системы уравнений задачей поиска экстремума функции многих переменных. Например, когда невозможно найти решение с помощью функции Find, можно попытаться потребовать вместо точного выполнения уравнений условий минимизировать их невязку. Для этого следует в вычислительном блоке вместо функции Find использовать функцию Minerr, имеющую тот же самый набор параметров. Она также должна находиться в пределах вычислительного блока:

  1.  x1:=c1 ... xn: =сn – начальные значения для неизвестных.
  2.  Given - ключевое слово.
  3.  Система алгебраических уравнений и неравенств, записанная логическими операторами.
  4.  Minerr (x1,... ,хn) – приближенное решение системы относительно переменных x1,... ,хn, минимизирующее невязку системы уравнений.

Пример 6. Использование функции Minerr

 

Функции MathCAD для решения задач оптимизации.

MathCAD с помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется либо сначала вычислить все их локальные значения и потом выбрать из них наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее подобласть наибольших (наименьших) значений функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности. Второй вариант таит в себе опасность уйти в окрестность другого локального экстремума, но часто может быть предпочтительнее при решении практических задач.

Для поиска локальных экстремумов имеются две встроенные функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

  1.  Minimize (f, x1, ... ,хn) – вектор значений аргументов, при которых функция f достигает минимума;
  2.  Maximize (f, x1, ... ,хn) – вектор значений аргументов, при которых функция f достигает максимума;
  3.  f(x1, ... ,хn)– заданная целевая функция;
  4.  x1, ... ,хn – аргументы, по которым производится минимизация(максимизация).

Всем аргументам функции f предварительно следует присвоить некоторые значения, причем для тех переменных, по которым производится минимизация, они будут восприниматься как начальные приближения.

Пример 7. Поиск локального экстремума в окрестности заданной точки.

Найти максимум функции в окрестности точки (4;5).

Ответ: функция имеет максимум, равный 4, в точке(1;1).

Пример 8. Поиск условного экстремума функции.

Найти минимум функции при условиях  .

Решение.

  1.  Задаем целевую функцию, матрицу системы ограничений и вектор правой части этой системы

  1.  Задаем начальное приближение решения  

3. С помощью вычислительного блока находим минимальное значение функции и значение вектора, на котором достигается это значение.

Ответ: минимум функции равен 32.155 и достигается в точке (1,0.623,0.343,1,0.048,1).

Контрольные вопросы.

  1.  Что значит отделить корень уравнения ?
  2.  Какие функции могут быть использованы для решения нелинейных уравнений?
  3.  Опишите конструкцию вычислительного блока.
  4.  В чем состоит градиентный метод?
  5.  В чем различие между функциями Find и Minner для решения систем нелинейных уравнений?
  6.  Где необходимо расположить ограничительные условия при решении задачи оптимизации?
  7.  Как ограничено число ограничительных условий для решения задачи оптимизации?

Варианты заданий

Вариант 1

  1.  Решить уравнение , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.
  2.  Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.
  3.  Решить систему нелинейных уравнений:
  4.  Найти максимум функции .

Вариант 2

  1.  Решить уравнение  , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.
  2.  Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.
  3.  Решить систему нелинейных уравнений: .
  4.  Найти максимум функции при ограничении .

Вариант 3

  1.  Решить уравнение  , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.
  2.  Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.
  3.  Решить систему нелинейных уравнений: .
  4.  Найти максимум функции  при ограничении .

Вариант 4

  1.  Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.
  2.  Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.
  3.  Решить систему нелинейных уравнений:  .
  4.  Найти максимум функции .

Вариант 5

  1.  Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.
  2.  Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.
  3.  Решить систему нелинейных уравнений: .
  4.  Найти минимальное и максимальное значения функции .

Вариант 6

  1.  Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.
  2.  Найти все корни полинома  . Проиллюстрировать решение графически.
  3.  Решить систему нелинейных уравнений: .
  4.  Найти максимум функции при условиях , , .

Вариант 7

  1.  Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.
  2.  Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.
  3.   Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку.
  4.  Найти минимум функции при условиях , , .

Вариант 8

  1.  Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.
  2.  Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.
  3.  Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку.
  4.  Найти минимум функции при условиях , , .

Вариант 9

  1.  Решить уравнение , , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.
  2.  Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.
  3.  Решить систему нелинейных уравнений: . Выполнить проверку
  4.  Найти минимум функции при условиях  , , .

Вариант 10

  1.  Решить уравнение, предварительно оделив корни 7, , используя встроенные функции root и Find. Сравнить полученные решения.
  2.  Найти все корни полинома . Проиллюстрировать решение графически.
  3.  Решить систему нелинейных уравнений:

. Выполнить проверку.

  1.  Найти минимум функции при условиях , , .

Тема 4: Элементы программирования в пакете инженерных расчетов MathCAD.

Цель работы: Изучение  возможностей символьного пакета MathCAD для программирования условных и циклическтх выражений. Приобретение навыков написания простейших программ.

Используемые программные средства: Пакет MathCAD.

Теоретические сведения.

Для повышения гибкости Mathcad в системе предусмотрена возможность написания небольших программ для решения тех проблем, которые не могут быть реализованы стандартными средствами. Обычно прибегать к программированию приходится в тех случаях, когда стандартные средства либо не могут решить задачу, либо неэффективны. Для написания программ используется программная палитра, которая вызывается кнопкой панели управления. Как видно, всего имеется 10 операторов, из которых и строится программа. Причём операторы должны вводиться только из палитры, писать их "вручную" не рекомендуется.

Практическая часть

Для примера приведём простую программу возвращающую 1, если число чётное, и 0 в противном случае.

– начинаем создание программы с кнопки Add Line. Вертикальная линия играет роль операторных скобок.

– оператор локального присваивания. В программе нельзя использовать оператор присваивания ":=", вместо него используется оператор локального присваивания, отличие которого заключается в том, что локальная переменная определена только внутри своего блока и при выходе из программы теряет своё значение.

Пример:

– условный оператор создаёт конструкцию вида:

где первый операнд выполняется, если справедливо условие являющееся вторым операндом. Из всех программных операторов оператор условия является, пожалуй, наиболее важным. Его приходится использовать практически во всех создаваемых алгоритмах. Как уже показано, условный оператор if имеет два маркера. В правый маркер вводится условие, в левый – операция, которая должна быть проделана в случае, если условие выполнится (если же оно не выполнится, система просчитывает программу, пропуская данный фрагмент). В маркер оператора может быть внесено несколько выражений условий или операций. В случае задания комплекса условий будьте предельно внимательны и всегда помните, чем отличаются формы его определения через программный блок и с использованием логического умножения. Неверное задание формы комплекса условий – самая распространенная ошибка при работе с данным оператором.

Пример: Функция возвращает остаток от деления на 2:

После того, как функция определена, она может использоваться наравне со встроенными функциями.

С оператором if возможны более сложные конструкции при использовании ещё одного оператора

– реализующего альтернативу. Аналог традиционной конструкции Если ... То ... Иначе ... . Т.е. оператор предназначен для определения того действия, которое должно быть выполнено, если условие оператора if окажется истинным. Одновременно может быть использовано несколько условных операторов if. Оператор otherwise в таком случае будет задействован, если не выполняется условия всех операторов if.

– оператор цикла обеспечивает повторяющиеся вычисления, если известно количество шагов.

Первый операнд – переменная цикла, это интервальная переменная и её значения определены во втором операнде. Третий операнд – тело цикла может состоять из блока операторов и выполняется пока не исчерпаются все значения переменной цикла.

Пример: 

Рассмотрим программу упорядочения чисел по убыванию в одномерном массиве. Пусть дан массив чисел:  Мы воспользуемся вложенными циклами и в качестве тела цикла по i используем ещё один цикл по j.

Здесь реализован простейший алгоритм сортировки, так называемый "метод пузырька". На самом деле, большие числа как бы всплывают наверх при каждом шаге цикла по i, в то время как в цикле по j на каждом шаге происходит сравнение пары чисел и замена, если большее число находится ниже, причём эта замена осуществляется снизу.

Отметим, что в системе имеется стандартная функция сортировки sort().

Примечание: второй цикл мы организовали с отрицательным шагом от конечного значения к начальному. Можно использовать программные возможности Mathcad просто для задания функций более сложного вида.

– оператор break введён для повышения гибкости программирования и позволяет закончить цикл досрочно, не исчерпав всего списка. Как правило, ввиду того, что цикл бывает нужным остановить при выполнении некоторого условия, данный оператор почти всегда используется с условным оператором if.

Рассмотрим следующую задачу: нам необходимо найти первое вхождение 0 в числовом массиве и вернуть его индекс. Мы приводим работающую программу, где введена функция last(M) которая возвращает последний индекс массива. Возвращаемым значением программы является последний выполняемый оператор - k.

– ещё один полезный оператор позволяющий прервать выполнение текущей итерации и перейти к следующей.

Рассмотрим например задачу нахождения максимального и минимального элемента

массива.  

Действительно, если , то нет смысла проверять , а лучше перейти к следующему шагу цикла.

– оператор цикла с предусловием используется в тех случаях, когда заранее неизвестно количество шагов необходимых для решения задачи. Условие проверяется перед началом каждого шага цикла.

Реализуем, например алгоритм вычисления квадратного корня a используя итерационную формулу  

– оператор return служит для прекращения работы программы и возврата результата. Обычно данный оператор используется при описании действий алгоритма в случае ошибочной ситуации.

Допустим нам необходимо вычислить позицию первого вхождения числа в массив.

Рассмотрим в качестве ещё одного примера вопрос, как программным способом построить скалярное произведение.

Вычислим квадрат модуля вектора

Оператор return здесь может быть опущен.

В качестве возвращаемого значения в программе используется результат последней операции. Обратите внимание, что в программах мы не пользуемся оператором присваивания :=, а  вводим оператор локального присваивания. Переменные, определённые в программе, теряют значение при выходе из неё.

– оператор on error служит для обработки ошибочных ситуаций типа "деления на нуль". Данный оператор по своему синтаксису полностью соответствует условному оператору if. В правый его маркер следует внести величину или выражение, ошибка в вычислении которого должнв быть зарегистрирована. В левом маркере следует прописать условие, которое должно быть выполнено в случае ошибочной ситуации.

Например, нам необходимо описать функцию , чтобы не было особенности в 0.  тогда:

Примечание. Оператор on error может использоваться в арифметических выражениях.

Варианты заданий

Вариант 1

  1.  Составить программу которая будет менять местами 2 строки матрицы.
  2.  Используя оператор on error для предотвращения появления ошибки "деление на нуль", вычислить функцию .
  3.  Написать программу, где функции, возвращающая –1, 0 или 1 в зависимости от знака аргумента (соответственно «-», 0, «+»).

Вариант 2

  1.  Составить программу, которая будет выводить сумму геометрической прогрессии, при заданных значениях .
  2.  Написать программу по выводу матрицы размером 3х3, где на второстепенной диагонали стояли бы 1.
  3.  Вычислить значение функции .

Вариант 3

  1.  Вычислить сумму чисел 1+2+3+....+n.
  2.  Для x изменяющего от -2 до 2 вычислить значение .
  3.  Составить программу по вычислению длины вектора.

Вариант 4

1.Создайте программу pr(n) для вычисления произведения чисел 1*2*3*....*n.

2.Создайте программу для вычисления и вывода двух корней квадратного уравнения .

3.Используя оператор on error для предотвращения появления ошибки "деление на нуль", вычислить функцию .

Вариант 5

  1.  Создайте программу для вычисления и вывода двух корней квадратного уравнения f(x)=ax2+bx+c.
  2.  Дано натуральное число n, действительное x. Вычислить .
  3.   Написать программу по выводу на экран знака «+» («-»), если значение .

Вариант 6

  1.  Написать программу, которая будет выводить единичную матрицу.
  2.  Вычислить значение , используя итерационную процедуру В качестве приближенного значения корня квадратного берется такое значение , которое удовлетворяет условию , где – заданная точность вычисления.
  3.  Вычислить , где меняется от 0 до 10.

Вариант 7

  1.  Составить программу, которая будет выводить сумму арифметической прогрессии при заданных значениях .
  2.  Составим программу для вычисления переменной z по формуле .
  3.  Написать программу, которая выводит абсолютное значение функции .

Вариант 8

  1.  Определить функцию, которая равна 1, если аргумент размещён между чётным и нечётным числом, и 0 в противном случае.
  2.  Вычислить сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 0,4 и начальным элементом -8.
  3.  Написать программу по выводу на экран матрицы, каждый элемент которой будет вычисляться по правилу: , где и – элементы матриц соответственно

Вариант 9

1.Написать программу по выводу диагональной матрицы, с произвольным значением величины, стоявшей на главной диагонали.

2.Составить программу по вычислению скалярного произведения двух векторов.

3.Вычислить сумму .

Вариант 10

  1.  Вывести единичную матрицу, где элементу будет присвоено значение -5.
  2.  Используя оператор on error для предотвращения появления ошибки "деление на нуль", вычислить функцию .
  3.  Написать программу, которая возвращает число 5, если функции отлична от нуля и -5, если равна нулю.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

44496. Прогнозирование развития общественного экономического комплекса 25.42 KB
  Земли населенные ими составляли значительную часть Римской империи. часть свевов переселилась на Пиренейский полуостров. переправилась и часть племени свевов. Испанский автор Идаций писал что в конечном итоге после опустошений и вандалыхасдинги и свевы заняли Галисию причем свевы получили западную часть этой территории аланы – Лузитанию и Картахену а вандалы силинги – Бетику прочие территории Пиренейского полуострова осталась у испаноримлян.
44497. Таблицы MS Word. Расчеты в таблицах MS Word 1.1 MB
  Приобретение навыков работы с программными средствами обработки текстовой информации; приобретение навыков работы с таблицами в текстовом процессоре MS Word
44498. Гидрогазодинамика. Технические показатели центробежных насосов 4.36 MB
  Рабочим органом центробежного насоса является вращающееся рабочее колесо, снабженное лопастями. Энергия от рабочего колеса к жидкости передается путем динамического взаимодействия лопастей колеса с обтекающей их жидкостью.
44499. Биология. Принципы биологического познания 116.21 KB
  Биология изучает строение, функционирование, рост, происхождение, историческое развитие и распространение живых организмов на Земле, описывает и систематизирует их разнообразие, взаимодействие между собой и с окружающей средой.
44500. Основные положения Гигиены 25.79 KB
  Гигиена - наука о здоровье, о создании условий, благоприятных для сохранения человеком здоровья. О рациональном труде и отдыхе, предупреждении болезней.
44501. Визначений інтеграл та його застосування 3.14 MB
  Значний внесок у розв’язання проблеми про площу круга зробив видатний грецький математик IV ст. до н.е. Євдокс Книдський. Він вписував в круг правильний многокутник, а потім доводив, що за рахунок збільшення кількості сторін многокутника (відповідно зменшенням їх довжин) можна добитися того
44502. НАЦІОНАЛЬНА ЕКОНОМІКА 432.5 KB
  Метою практикуму є оволодіння знаннями та навичками практичних розрахунків, що здійснюють державні органи управління в процесі обґрунтування заходів державного втручання в економіку та особисто в діяльність окремих підприємницьких структур.
44503. Самай сүйек өзектері, олардың маңызы 15.31 KB
  Гуманисты были творцами новой системы знания в центре которого стояла проблема человека его земного предназначения термин humnist полагает П. Мишле выдвинул принципиально отличное от средневекового решения проблемы отношения человека к миру. Бурдаха где он писал что новое понимание искусства литературы науки новая концепция человека не вступали в противоречие в христианской религией ибо были предопределены ее пышным цветением в XIII в. Наиболее значительной для Тоффанина была идея божественности человека.
44504. Дабыл қуысы, қабырғалары, құрамы, қатынастары, отит кезіндегі асқынулар 16.68 KB
  Отит-құлақтың қабынуы. қөбіне ортаңғы құлақтың қабыну кездеседі-лабиринтит. Ортаңғы отит қоздырғышы кокктар-пнвмококк, стафилококк, гемофильді таяқшалар. Көбіне жоғары тыныс алу жолдарының асқынуларынан кейн п. б