12454

ИЗМЕРЕНИЕ ФОКУСНОГО РАССТОЯНИЯ ТОНКОЙ ЛИНЗЫ

Лабораторная работа

Физика

Лабораторная работа № 3 ИЗМЕРЕНИЕ ФОКУСНОГО РАССТОЯНИЯ ТОНКОЙ ЛИНЗЫ Введение. Многие оптические явления можно рассматривать на основе представлений о свете как о совокупности световых лучей линий вдоль которых распространяется световая энергия. В оптически о

Русский

2013-04-27

431.34 KB

2 чел.

Лабораторная работа № 3

ИЗМЕРЕНИЕ ФОКУСНОГО РАССТОЯНИЯ ТОНКОЙ ЛИНЗЫ

Введение. Многие оптические явления можно рассматривать на основе представлений о свете как о совокупности световых лучей — линий, вдоль которых распространяется световая энергия. В оптически однородной среде световые лучи прямолинейны. На границе раздела двух сред они подчиняются законам отражения и преломления. Световые пучки могут пересекаться, не интерферируя, и распространяться после пересечения независимо друг от друга. Раздел оптики, основывающийся на этих представлениях, называется геометрической или лучевой оптикой. Одной из основных задач геометрической оптики является расчет хода лучей в оптических приборах, предназначенных для получения изображений.

Преломление лучей сферической поверхностью. Любой оптический прибор представляет собой совокупность отражающих и преломляющих поверхностей, отделяющих друг от друга оптически однородные среды. Обычно эти поверхности бывают сферическими или плоскими. Впрочем, плоскость всегда можно представить как сферическую поверхность бесконечно большого радиуса кривизны. Поэтому сферические поверхности являются теми простейшими элементами, из которых строится любая оптическая система.

Рассмотрим сферическую поверхность Σ  с центром в точке C, разделяющую две прозрачные среды с показателями преломления n и n' (рис.1). Положим для определенности, что n' > n, а свет будет считаться монохроматическим, так, что зависимость n и n' от длины волны (дисперсия) не существенна. Можно предполагать (хотя это и не обязательно), что преломляющая поверхность обладает симметрией вращения относительно одной из OC, проходящих через центр кривизны. Такая прямая называется главной оптической осью.

Пусть точечный источник P находится на главной оптической оси системы. Возьмем какой-либо луч из этого пучка, например PM, падающий на  Σ под углом i, построим преломленный луч MP' (угол преломления i') и найдем положение точки, в которой преломленный луч пересечет ось системы. В дальнейшем все отрезки вдоль оси будем отсчитывать от точки O (точка пересечения поверхности Σ с осью PC), считая положительными отрезки, откладываемые от O вправо (в направлении распространения света), и отрицательными, отрезки, откладываемые влево (против направления распространения света). Координаты точек P, P' и C обозначим через S, S' и r соответственно. Таким образом, PO = -S, OP' = +S', OC = +r.

Ограничимся рассмотрением лучей, образующих малые углы с осью PC, так чтобы синусы и тангенсы всех углов модно было заменить значениями самых углов, выраженных в радианах. Такие лучи называются параксиальными или приосевыми. Все результаты, полученные ниже, справедливы в параксиальном приближении.

Закон преломления n sin i = n ' sin i ' n sin i = n' sin i' в параксиальном приближении запишется в виде

                       n i = n ' i ' n i = n' i' .                   (1)

Угол i — внешний угол треугольника ΔPMC, а угол φ — внешний угол  ΔP'MC, следовательно

i = u + φ i = u + φ ,

φ = i ' + u ' φ = i' + u' .

(2)

Обозначим как h — расстояние от точки M до оси PC, тогда для малых углов имеем

u ≈ sin u = h PM ≈ h − S u approx sin u = h over PM approx h over {-S} ;

u ' ≈ sin u ' = h P ' M ≈ h S ' u' approx sin u' = h over P'M approx h over {S'} ;

(3)

φ ≈ sin φ = h MC ≈ h r φ approx sin φ = h over MC approx h over r .

Здесь учтено, что при малых углах PM PO = -S, MP' ≈ OP' = S', OC = MP' = r (радиус сферы). Подставляя в (1) выражение для углов i и i' и заменяя углы u, u', φ их выражениями (3), приходим к соотношению Аббе:

n 1 r — 1 S = n ' 1 r — 1 S ' n left( 1 over r — 1 over S right) = n' left( 1 over r — 1 over {S'} right) ,

(4)

которому удобно придать вид

n S — n ' S ' = n — n ' r n over S — {n'} over {S'} = {n — n'} over r .

(5)

Величина, стоящая в правой части выражения (5), зависит только от показателей преломления рассматриваемых веществ и радиуса кривизны разделяющих их поверхности. Следовательно для данных веществ и данной поверхности эта величина постоянна; ее называют оптической силой преломляющей поверхности Ф:

Ф ≡ n ' − n r Ф equiv {n' - n} over r .

То обстоятельство, что в формулу (5) не входят углы, позволяет сделать очень важный вывод, что не только луч PM, но и всякие другие параксиальные лучи, выходящие из точки P оптической оси, после преломления сферической поверхностью пересекутся приближенно в одной и той же точке P',  лежащей так же на оптической оси. Точка P' будет поэтому оптическим изображением точки P в параксиальных лучах. Две точки P и P', удовлетворяющие условию, что если одна из них является объектом, от другая — изображением, называются сопряженными.

Уравнение (5) охватывает все случаи преломления лучей сферической поверхностью, при этом следует помнить, что S, S' и r — не просто длины отрезков, а координаты точек, имеющих знак. Пользуясь правилом знаков, мы можем разобрать случай выпуклой (r > 0) или вогнутой (r < 0) поверхности. Точно так же в зависимости от того, будут ли S и S' иметь разные или одинаковые знаки, мы будем иметь случаи, когда изображение располагается с противоположной по сравнению с источником света стороны преломляющей поверхности или лежит по одну сторону с ним. В первом случае (S' > 0) точка, именуемая изображением, есть действительно точка пересечения преломленных лучей. Такое изображение называется действительным. Во втором случае (S' < 0) преломленные лучи, идущие во второй среде, остаются расходящимися и реально не пересекаются. В этом случае название изображения относится к той воображаемой точке, которая представляет собой место пересечения предполагаемого продолжения преломленных лучей. Такое изображение называется мнимым.

Тонкая линза. Линзой называется тело из однородного прозрачного материала, ограниченное двумя сферическими поверхностями или сферической поверхностью и плоскостью.

Материалами для линз служат: в видимой области — стекло, кварц, флюорит; в инфракрасной области — кварц, каменная соль, сильвинит и т.д.

Преломление света в линзе можно рассматривать как последовательное преломление на двух сферических поверхностях. Пусть  Σ1 и  Σ2 представляют собой две сферические поверхности. Центр первой преломляющей поверхности лежит в точке C1, центр второй — в точке С2. На рис.2 для ясности чертежа изображена линза, имеющая заметную толщину O1O2. В действительности будем предполагать, что рассматриваемые линзы тонкие, т.е. Расстояние O1O2 очень мало по сравнению с O1C1 или O2C2 (приближение тонкой линзы). В таком случае точки O1 и O2 можно считать практически сливающимися в одной точке O. Эта точка O называется оптическим центром линзы. Всякая прямая, проходящая через оптический центр, называется оптической осью линзы. Та из осей, которая проходит через центры обеих преломляющих поверхностей линзы, называется главной оптической осью, остальные — побочными осями.

Луч, идущий по какой-либо из оптических осей, проходя через линзу, практически не меняет своего направления. Действительно, для лучей. Идущих вдоль оптической оси, участки обеих поверхностей линзы можно считать параллельными. При прохождении через плоскопараллельную пластинку световой луч претерпевает только параллельное смещение, но этим смещением в очень тонкой пластинке можно пренебречь.

Если на линзу падает световой луч не вдоль одной из ее оптических осей, а по какому-либо другому направлению, то он, испытав преломление сначала на первой ограничивающей линзу поверхности, потом на второй, отклонится от первоначального направления. Найдем точку, в которой соберется после прохождения линзы параксиальный пучок лучей, выходящий из точки P1 на главной оптической оси (рис.2).

Преломление на первой сферической поверхности  Σ1 создало бы без второй преломляющей поверхности Σ2  в среде с показателем преломления n'1 изображение P'1 на расстоянии OP'1 = S'1 (рис.2) от вершины, так что

n 1 S 1 — n ' 1 S ' 1 = n 1 — n ' 1 r 1 n_1 over S_1 — {n'_1} over {S'_1} = {n_1 — n'_1} over r_1 ,

где S1 = PO, r1 — радиус кривизны первой поверхности линзы.

Для второй поверхности P'1 является как бы минимальным источником света. Построение изображения этого источника после преломления на второй поверхности линзы даст точку P'2 на расстоянии OP'2 = S'2 от линзы. Здесь опять применима формула (5)

n ' 1 S ' 1 — n ' 2 S ' 2 = n ' 1 — n ' 2 r 2 {n'_1} over {S'_1} — {n'_2} over {S'_2} = {n'_1 — n'_2} over r_2 ,

где r2 — радиус кривизны второй поверхности. Полагая S1 = S, S'2 = S', сложим первое уравнение со вторым и получим формулу для тонкой линзы

n ' 2 S ' — n 1 S = n ' 2 — n 2 r 2 — n 1 — n 2 r 1 {n'_2} over {S'} — n_1 over S = {n'_2 — n_2} over r_2 — {n_1 — n_2} over r_1 .

(6)

Чаще всего по обе стороны линзы находится одна и та же среда, т.е. n'1 = n1. В этом случае формула тонкой линзы приобретает вид

1 S ' — 1 S = n 2 n 1 — 1 1 r 1 — 1 r 2 1 over {S'} — 1 over S = left( n_2 over n_1 — 1 right) left( 1 over r_1 — 1 over r_2 right) .

(7)

Для каждой конкретной линзы радиусы кривизны ее поверхностей и показатели преломления вещества линзы n2 и окружающей среды n1 заданы. Поэтому в правой части равенства (7) стоит постоянная величина:

Ф ≡ n 2 n 1 − 1 1 r 1 − 1 r 2 Ф equiv left( n_2 over n_1 - 1 right) left( 1 over r_1 - 1 over r_2 right) ,

которую называют оптической силой линзы. Легко видеть, что оптическая сила тонкой линзы равна сумме оптических сил ее преломляющих поверхностей:

Ф = Ф 1 + Ф 2 Ф = Ф_1 + Ф_2 .

Если Ф > 0, то линза называется положительной (собирательной). Если Ф < 0, то линза называется отрицательной (рассеивающей).

Фокусы тонкой линзы. На главной оптической оси можно найти такую точку, что выходящие из нее лучи после прохождения линзы образуют параллельный пучок света. Эту точку называют первым главным фокусом (рис.3а). Для параллельных лучей S' = ∞, откуда координата f первого главного фокуса равна

f = S ' ∣ S ' → ∞ = − n 1 Ф f = S' left none right rline _{S' toward infinity} = - {n_1 over Ф}

(8)

Если линза находится в воздухе n 1 ≃ n 2 n_1 simeq n_2 и поэтому f = 1 Ф f = 1 over Ф .

Вторым главным фокусом называется точка, в которой пересекаются лучи, падающие на линзу параллельным пучком (рис.3б). Для таких лучей S = -∞ отсюда координата  второго главного фокуса, как следует из (7), равна:

f ' = S ' ∣ S ' → − ∞ = + n 1 Ф f' = S' left none right rline _{S' toward - infinity} = + {n_1 over Ф} .

(9)

В воздухе f ' = 1 Ф f ' = 1 over Ф .

В случае рассеивающей линзы (Ф < 0) в фокусе пересекаются не преломленные лучи, а их воображаемые продолжения; при этом фокус лежит с той же стороны от линзы, с которой падает на линзу параллельный пучок лучей (рис.3в). Фокус такой линзы называется мнимым.

Расстояние от оптического центра линзы до фокуса называется фокусным расстоянием. Плоскости, проходящие через главные фокусы перпендикулярно главной оптической оси, называются фокальными плоскостями в однородной среде фокусные расстояния линзы равны по величине. В общем случае это не так (например, если по разные стороны от линзы находятся разные вещества).

Построение изображений в линзе. Фокальные плоскости, главная оптическая ось и плоскость самой линзы являются кардинальными элементами тонкой линзы. Знание этих элементов позволяет построить в линзе изображение любого объекта. Каждая точка изображения является точкой пересечения всех лучей, исходящих из сопряженной точки объекта. Однако, для нахождения этого места достаточно воспользоваться по крайней мере двумя из следующих трех лучей (рис.4):

  •  лучом PM, параллельным оптической оси: после преломления в линзе такой луч проходит через второй главный фокус;
  •  фокальным лучом PN, проходящим через первый главный фокус: после преломления в линзе он параллелен оптической оси;
  •  лучом PP', проходящим через центр линзы: этот луч не меняет после линзы своего направления.

Если пучок лучей, исходящих из каждой сопряженной точки предмета, после преломления в линзе становится расходящимся, то для построения изображения нужно использовать воображаемые продолжения преломленных лучей. Изображение предмета в этом случае лежит с той же стороны от линзы, что и предмет. Такое изображение называется мнимым.

Следует отметить, что при решении задач о построении изображения внеосевых точек совсем не обязательно, чтобы выбранные простейшие пары лучей действительно проходили через линзу. Лучи, служащие для построения, — условные; они могут быть не параксиальными. Тем не менее их можно использовать для построения изображения.

Увеличение тонкой линзы. Обозначим длину объекта через y, а длину изображения через y'. Линейным увеличением линзы называется отношение линейных размеров изображения к размерам объекта:

β = y ' y %beta = {y'} over y

(10)

Условимся отрезки, перпендикулярные к оптической оси, считать положительными, если они направлены вверх, и отрицательными, если они направлены вниз. Для случая, изображенного на рис.4, длина объекта y положительна, а длина изображения y' — отрицательна. Из подобия треугольников на рис.4 видно, что y ' y = S ' S {y'} over y = {S'} over S , так что в зависимости от расположения предмета изображение может быть увеличенным (|β| > 1), уменьшенным (|β| < 1), прямым (β > 0) или перевернутым (β < 0), действительным или мнимым.

Определение главного фокусного расстояния собирающей линзы.

Способ 1. при получении действительного изображения собирательной линзой (Ф > 0) в воздухе ( n 1 ≃ 1 n_1 simeq 1 ) формулу (7) с учетом (8) и (9) можно переписать в виде

1 a + 1 b = Ф = 1 f 1 over a + 1 over b = Ф = 1 over abs{f} ,

(11)

где a = |OB|, b = |OE| — расстояние от линзы до предмета и от линзы до изображения, соответственно. Отсюда

f = ab a + b abs{f} = {ab} over {a+b}

(12)

(формула Гаусса)

Способ 2. Пусть величина предмета l, а величина его изображения l'. Поскольку l/l' = a/b, формулу Гаусса (12) можно преобразовать к виду

f = b l l + l ' abs{f} = b l over {l + l'} .

(13)

На опыте измеряют величины b, l и l', причем целесообразно работать при больших увеличения.

Способ 3 (способ Бесселя). Если расстояние между предметом и экраном не меньше, чем 4|f|, то существует два положения линзы, при которых получается резкое изображение предмета (рис.6). Одно из этих изображений увеличенное, а другое уменьшенное.

Пусть в первом положении линза дает увеличенное изображение, тогда b > a. Во втором положении будет получаться уменьшенное изображение, причем a и b поменяются местами (это можно понять, если использовать обратный ход лучей или соображения симметрии). Обозначим

a + b = z ; b — a = x. a + b = z; b — a = x.

Очевидно, что z — расстояние от предмета до экрана; x — расстояние между двумя положениями линзы, при которых получается резкое изображение. Выразим a и b через z и x и подставим в формулу Гаусса (12):

f = z 2 — x 2 4z abs{f} = {z^2 — x^2} over {4z} .

(14)

Эту формулу тоже можно использовать для определения фокусного расстояния собирающей линзы.

1


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82035. Расчет автоматизации систем управления котельным агрегатом типа БКЗ-420/140нгм 126.49 KB
  Большинство современных теплотехнических измерительных приборов основано на применении электрических принципов измерения неэлектрических величин температуры давления расхода и пр. Допускается максимально длительная паропроизводительность котла 450 т ч без увеличения давления в барабане.
82036. Техническое обслуживание и ремонт сцепления КамАЗ-4310 490.5 KB
  Автомобильный транспорт является наиболее массовым и удобным видом транспорта, обладающим большой маневренностью хорошей проходимостью и приспособленностью для эксплуатации в разных климатических и географических условиях.
82037. Технология изготовления детали подшипника на автоматизированном оборудовании с ПУ 5.4 MB
  Оборудование с ЧПУ может быть представлено: станочным парком например станками станки оборудованные числовым программным управлением называются станками с ЧПУ: для обработки металлов например фрезерные или токарные дерева пластмасс для резки листовых заготовок для обработки давлением и т.
82038. Проектування магістральної волоконно-оптичної лінії зв’язку між м. Луцьк та м. Хмельницький 1.59 MB
  Розвиток засобів зв’язку має велике значення для ефективного керування народним господарством чіткої роботи державного апарату та всебічного задоволення населення в потребі зв’язку і технічних засобів інформації. А це потребує збільшення пропускної спроможності лінії зв’язку приблизно в 10 разів кожні 1617 років.
82039. Разработка рекламного продукта для декоративного покрытия «Модесто» 18.14 MB
  Характеристики рекламируемого товара. На основе информации собранной из различных источников составляется перечень основных характеристик товара. В качестве основных характеристик которые желательно иметь для разработки рекламного продукта можно выделить следующие: наименование товара...
82040. Основные компоненты бизнес-плана Агентства наружной рекламы 464.5 KB
  Обычно полотно перетяжки изготавливается методом трафаретной печати на хлопчатобумажной ткани. При необходимости размещения на длительный срок или при изготовлении сложного макета используется либо сублимационная печать на шелковой ткани, либо печать на баннере.
82041. Тиристорні перетворювачі 297.5 KB
  Система імпульснофазового управління в свою чергу складається із вузла що перетворює напругу управління в послідовність імпульсів визначеної тривалості форми моменти яких залежать від напруги управління; вузла підсилення імпульсів що формує імпульси з визначеними електричними параметрами.
82042. Туристическая база 13.36 MB
  Туризм можно классифицировать по различным критериям: По цели отдыха По характеру отдыха и его организации По продолжительности путешествия По сезонности Эти критерии имеют решающее значение потому что именно цель поездки больше всего влияет на формирование тура и организацию туристического обслуживания.
82043. Изготовление изделий из бисера 6.73 MB
  В настоящее время бисерная вышивка переживает свой расцвет. Это красиво, модно, современно. Вышивкой из бисера украшают не только платья, кофточки, но и обувь, сумки и многое другое. Основой для вышивки служат холст, лен, бархат, атлас, шерсть. Сукно. Нитки следует брать армированные, чтобы бусинки их не перетирали.