12469

Розв’язання функціональних рівнянь з однією змінною

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №3 Розв’язання функціональних рівнянь з однією змінною Мета роботи: ознайомитися з методами розв‘язання рівнянь з однією змінною розглянути реалізацію цих методів у середовищі MatLab. Задачі лабораторної роботи: реалізувати один з методів у ві

Украинкский

2013-04-27

372.82 KB

47 чел.

Лабораторна робота №3

Розв’язання функціональних рівнянь з однією змінною

Мета роботи: ознайомитися з методами розв‘язання рівнянь з однією змінною, розглянути реалізацію цих методів у середовищі MatLab.

Задачі лабораторної роботи: реалізувати один з методів у відповідності до варіанту в середовищі MatLab, випробувати його роботу на прикладі розв‘язання конкретного рівняння.

Теоретичні відомості

Постановка задачі

Важливу задачу прикладного аналізу представляє розв’язок функціональних рівнянь з однією змінною (фізика, механіка, економіка та ін.)

У загальному вигляді функціональне рівняння записується у вигляді:

     (3.1)

де F(х) визначена і неперервна на скінченому чи нескінченному інтервалі [a,b].

Число називається коренем r кратності, якщо воно задовольняє рівнянням:

  (3.2)

Однократний корінь називається простим.

Два рівняння F(х) та G(х) називаються рівносильними, якщо будь-який розв’язок кожного з них є розв’язком і для другого.

Функціональні рівняння поділяються на алгебраїчні, якщо функція є алгебраїчною, та трансцендентні, якщо функція вміщує логарифмічні, тригонометричні та інші неалгебраїчні функції.

Шляхом алгебраїчних перетворень із будь-якого алгебраїчного рівняння можна отримати рівняння в канонічній формі:

   (3.3)

де n – степінь алгебраїчного рівняння .

Кожне алгебраїчне рівняння має хоча б один дійсний корінь чи пару комплексних.

При зведенні алгебраїчного рівняння до канонічної форми отримаємо ті ж корені, що і для початкового рівняння, але при цьому можуть з’явитися і сторонні корені. Наприклад:

 (3.4)

Якщо функція F(х) не є алгебраїчною, то рівняння (3.1) називається трансцендентним. Наприклад:

    (3.5)

В деяких випадках розв’язування трансцендентних рівнянь зводиться до розв’язання алгебраїчних.

Більшість функціональних рівнянь з однією змінною не розв’язуються точними методами шляхом аналітичних перетворень. На практиці для їх розв’язання застосовують чисельні методи. Розв’язати таке рівняння – значить встановити, чи має воно корені на вказаному проміжку, кількість коренів, і відшукати значення коренів із заданою точністю (-окіл).

Задача чисельного знаходження дійсних і комплексних коренів рівняння зазвичай складається з двох етапів:

  1.  відокремлення коренів – знаходження достатньо малих околів у заданій області, в яких знаходиться один корінь.
  2.  уточнення коренів – обчислення коренів із заданим ступенем точності в деякому околі.

Для знаходження дійсних коренів рівняння (3.1) застосовуються наступні чисельні методи:

  1.  метод половинного ділення;
  2.  метод хорд;
  3.  метод дотичних (Ньютона);
  4.  комбінований метод;
  5.  метод Рибакова, знаходження всіх дійсних коренів;
  6.  метод простої ітерації.

Відокремлення коренів

Відокремлення коренів – встановлення „тісних” проміжків, що вміщують кожен проміжок – один корінь.

В багатьох випадках цей етап проводять графічно. Враховуючи, що дійсні корені рівняння (3.1) – це точки перетину графіка функції F(х) з віссю абсцис, досить побудувати графік F(х) і відмітити на осі OX відрізки, кожен з яких вміщує по одному кореню.

Рис. 3.1. Графічний спосіб відокремлення коренів.

Побудову графіка вдається сильно спростити, якщо замінити рівняння (3.1) рівносильним йому рівнянням F1(х)= F2(х). В цьому випадку будують графіки функцій F1(х) та F2(х), потім на вісі OX відмічають відрізки, що вміщують абсциси точок перетину цих графіків.

Рис. 3.2. Варіанти розв’язання рівняння при заміні функції рівносильними функціями F1(х) та F2(х) на проміжку [ 1; 3 ].

При написанні програми, яка виконує відокремлення коренів графічний спосіб не є зручним, тому застосовують найпростіший алгоритм відокремлення коренів: проміжок, на якому відшукуються розв’язки, ділять рівномірно на невеликі відрізки, на кінцях кожного відрізку розраховують значення функції, якщо функція на кінцях відрізку змінює знак – відрізок містить корінь.

Метод половинного ділення

Припустимо, що рівняння має на відрізку [a, b] єдиний корінь. Функція F(x) на цьому відрізку неперервна. Поділимо відрізок [a, b] точкою навпіл (рис. 3.3). Якщо , то є коренем рівняння. Якщо F(c)  0, то вибираємо відрізок [a, с] чи [с, b], на якому функція змінює знак, тобто F(а) F(с) < 0 чи F(с) F(b) < 0. Новий зменшений відрізок знову поділимо навпіл і проводимо повторно ті ж самі дії. В результаті здобудемо на деякому етапі або точний корінь або послідовність вкладених один в одного відрізків , , … , таких, що  .

Рис. 3.3. Знаходження кореня рівняння методом половинного ділення.

Процес поділу продовжимо до тих пір, поки довжина відрізка не стане менше заданої точності :

|a – b| <      (3.6)

Корінь х0 приймається рівним середньому арифметичному значенню кінців знайденого звуженого відрізку. Похибка в цьому випадку не перевищує . Для досягнення заданої точності  потрібно вийти з ітераційного процесу, коли виконається умова .

Метод половинного поділу практично зручно застосовувати для грубого знаходження кореня даного рівняння, так як при збільшені точності значно збільшується об’єм обчислювальної роботи.

Метод хорд

Даний метод ґрунтується на лінійній інтерполяції функції F(x)=0 по двом значенням, що мають протилежні по знаку значення функції F(a) та F(b). Метод хорд швидше збігається до розв‘язку навіть при досить малих значеннях . Потрібно знайти корінь рівняння F(x)=0 на проміжку [a; b], і якщо відомо, що F(x) неперервна на [a; b] і F(a)∙F(b) < 0. Крім того,  перша F'(x) і  друга F''(x) похідні функції F(x) зберігають на проміжку [a; b] свій знак. Замінимо функцію F(x) лінійною функцією, яка проходить через вузлові точки (a , F(a)) і (b , F(b)) :

     (3.7)

Лінійна функція P(x) на кінцях відрізку [a; b] приймає такі ж значення, як і функція F(x)=0.

Рис. 3.4. Знаходження кореня за методом хорд.

В якості першого наближення при знаходженні кореня функції F(x)=0 візьмемо точне значення кореня функції P(x)=0, тобто х1, яке розрахуємо з рівняння:

                (3.8)

При подальшому дослідженні відрізків [a; х1] та 1; b], виберемо той, на якому функція змінює знак. З рис. 3.4 бачимо, що таким відрізком є [a; х1] . Для вибраного відрізка побудуємо лінійне наближення функції за формулою (3.7), виконаємо розрахунки кореня для лінійного наближення за формулою (3.8). Розрахунки припинимо, коли .

Метод січних

Метод січних подібний до методу хорд, тільки точки (х0 , F(х0)) і (х1 , F(х1)) взяті з одного боку від кореня рівняння F(x)=0. Геометрична інтерпретація методу представлена на рис.3.5.

В якості початкового наближення обираємо точки (х0 , f(x0)) та (х1, f(x1)).

Рис. 3.5. Знаходження кореня за методом січних.

Через точки (х0 , f(x0)) та (х1 , f(x1)) проводимо січну до графіку функції, яка перетинає вісь ох в точці 2, 0). Перевіряємо виконання умови , якщо вона не виконується, проводимо січну через точки (х1 , f(x1)) та (х2 , f(x2)), знаходимо точку перетину січної з віссю ох (точка 3, 0)) і перевіряємо виконання чергової умови , і так до виконання умови виходу з ітераційного процесу.

Для математичного опису методу січних отримаємо формулу прямої, що проходить через дві точки (х0 , f(x0)) та (х1 , f(x1)) :

           (3.9)

Враховуючи, що f(xn+1) = 0 отримаємо загальну формулу для методу січних:

               (3.10)

Метод січних має досить високу збіжність до розв‘язку у випадку, коли F(x)=0 - гладка функція, але в процесі розв’язання деяких рівнянь швидкість збіжності може знижатись (наприклад, на ділянках функції, близьких до функції х = const).

Метод дотичних (Ньютона)

Метод дотичних базується на заміні функції F(x)=0 у точці початкового наближення х0 дотичною, яка при перетині з віссю ох в точці 1, 0) дає перше наближення. У цьому методі Ньютон замість інтерполяції використав екстраполяцію, що знаходиться за допомогою дотичної у визначеній точці. Геометрична інтерпретація методу дотичних (Ньютона) показана на рис. 3.6. В якості початкового наближення обираємо абсцису х0 = b. У точці (х0 f(x0)) проводимо дотичну до графіку функції, яка перетинає вісь ох в точці 1, 0).

Рис. 3.6. Знаходження кореня за методом дотичних.

Перевіряємо виконання умови , якщо вона не виконується, проводимо дотичну в точці (х1 , f(x1)), знаходимо точку перетину дотичної з віссю ох (точка 2, 0)) і перевіряємо виконання чергової умови , і так до виконання умови виходу з ітераційного процесу.

Для математичного опису методу дотичних отримаємо формулу дотичної, що проведена в точці (х0 , f(x0)) і має кутовий коефіцієнт f'(x0):

            (3.11)

У точці перетину цієї дотичної з віссю ох (точка 1, 0)) y = 0, тому формулу 6 можемо записати у вигляді:

             (3.12)

Для загального випадку формулу Ньютона можемо записати у вигляді:

          (3.13)

Метод дотичних (Ньютона) має високу збіжність до розв‘язку, але час виконання ітерації дещо збільшується за рахунок необхідності обчислення похідної f'(xk).

Метод простої ітерації

Замінимо рівняння F(x)=0 рівносильним рівнянням:

x=f(x)       (3.14)

Припустимо w – корінь рівняння, а x0 – отримане будь-яким способом нульове наближення до кореня w. Підставимо x0 в праву частину рівняння (3.14), отримаємо x1=f(x0); x2=f(x1); … ; xn=f(xn-1). Цю числову послідовність називають послідовністю наближень чи ітераційною послідовністю. Послідовність наближень може бути збіжною чи розбіжною.

 Теорема: ітераційна послідовність буде збіжною при будь-якому початковому значенні x0[a; b], якщо для рівняння x=f(x), що має єдиний розв’язок на проміжку [a; b], виконуються умови:

  1.  f(x) визначена і диференційована на [a; b];
  2.  f(x) визначена для всіх x[a; b];
  3.  існує таке дійсне q, що для всіх x[a; b].

Швидкість збіжності характеризується нерівністю (умова Ліпшиця):

    (3.15)

Умовою припинення ітерацій є .

При розв’язанні поставленого в лабораторній роботі завдання потрібно ознайомитися з особливостями програмування на внутрішній мові середовища MatLab.

Завдання для виконання лабораторної роботи:

Створити програму на внутрішній мові середовища МatLAB, що реалізує метод, заданий по варіанту (таблиця 3.1), провести тестування створеної програми на прикладі.

Варіанти завдань до лабораторної роботи №3.

Таблиця 3.1

Варіант

Метод

Тестовий приклад

1

половинного ділення

2

січних

3

хорд

4

дотичних

5

простої ітерації

6

половинного ділення

7

січних

8

хорд

9

дотичних

10

простої ітерації

Створені програми перевірити на прикладі алгебраїчних рівнянь, що вводяться користувачем з клавіатури.

Додаток А

Лабораторна робота № _.

Тема

Мета роботи: ознайомитися з методами розв‘язання рівнянь з однією змінною, розглянути реалізацію цих методів у середовищі MatLab.

1. Короткі теоретичні відомості.

<У розділі наводяться ті теоретичні відомості, що використовуються при розв‘язанні задачі по варіанту лабораторної роботи>*

2. Хід виконання лабораторної роботи.

<У розділі пояснюються особливості алгоритму реалізації задачі у середовищі MATLAB, детально розписуються етапи розв‘язання поставленого завдання>

3. Лістінг програми.

<У розділі наводиться лістінг реалізації задачі у середовищі MATLAB, в якому повинні бути основні коментарі по етапам виконання поставленого завдання>

4. Результати виконання програми.

< У розділі наводиться результат реалізації задачі у середовищі MATLAB на тестовому прикладі у відповідності з варіантом (у числовому та графічному вігляді.>

5. Висновок.

<У розділі робиться висновок, у якому проводиться аналіз результатів і оцінка точності та сфери застосування методу.>

_____________________

* Примітки: при захисті лабораторної роботи студент повинен знати суть всіх методів, що вивчаються в рамках лабораторної роботи.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29007. Расчёт фундаментов по второй группе предельных состояний. Определение границ условного фундамента при расчёте осадок свайных фундаментов 34 KB
  Определение границ условного фундамента при расчёте осадок свайных фундаментов. Расчёт оснований свайных фундаментов по второй группе предельных состояний по деформациям производится исходя из условия: s≤su 1 где s конечная стабилизированная осадка свайного фундамента определённая расчётом; su предельное значение осадки устанавливаемое соответствующими нормативными документами или требованиями проекта. В настоящее время в большинстве случаев свайный фундамент при расчёте его осадки s рассматривается как условный массивный...
29008. Определение осадки свайного фундамента методом послойного суммирования. Порядок расчёта 31.5 KB
  Определение осадки свайного фундамента методом послойного суммирования.1 а нагрузка передаваемая на грунт основания принимается равномерно распределённой интенсивностью: 1 где N0II расчётная нагрузка от веса здания или сооружения на уровне верхнего обреза фундамента; NcII NpII NгII вес соответственно свай ростверка и грунта в объёме уловного фундамента авсd; Ау=by·ly площадь подошвы условно гофундамента. Найденное значение pII не должнопревышать расчётное сопротивление грунта основания R на уровне нижних концов свай...
29009. Опускные колодцы. Условия применения, конструктивная схема и последовательность устройства. Классификация опускных колодцев по материалу, по форме в плане и по способу устройства стен 41.5 KB
  Опускные колодцы. Опускные колодцы могут быть выполнены из дерева каменной или кирпичной кладки бетона железобетона металла. Наибольшее распространение в современной практике строительства получили железобетонные колодцы. По форме в плане опускные колодцы могут быть круглыми квадратными прямоугольной или смешанной формы с внутренними перегородками и без них рис.
29010. Кессоны. Условия применения, конструктивная схема, последовательность производства работ 35 KB
  При залегании прочных грунтов на значительной глубине когда устройство фундаментов в открытых котлованах становится трудновыполнимым и экономически невыгодным а применение свай не обеспечивает необходимой несущей способности прибегают к устройству фундаментов глубокого заложения. Необходимость устройства фундаментов глубокого заложения может быть вызвана и особенностями самого сооружения например когда оно должно быть опущено на большую глубину заглубленные и подземные сооружения. Одним из видов фундаментов глубокого заложения наряду с...
29011. Возведение заглубленных и подземных сооружений методом "стена в грунте". Технология устройства. Монолитный и сборный варианты 66.5 KB
  Возведение заглубленных и подземных сооружений методом стена в грунте . Способ стена в грунте предназначен для устройства фундаментов и заглубленных в грунт сооружений различного назначения. Способ заключается в том что сначала по контуру будущего сооружения в грунте отрывается узкая глубокая траншея которая затем заполняется бетонной смесью или сборными железобетонными элементами. Способ стена в грунте используется при возведении фундаментов под тяжёлые здания и.
29012. Условия применения песчаных подушек при устройстве фундаментов мелкого заложения. Основы расчёта 31.5 KB
  В качестве материала грунтовых подушек чаще всего используют крупные и среднезернистые пески песчаные подушки. Если в первом случае выбор толщины грунтовой подушки однозначен то во втором случае порядок её проектирования сводится к следующему. Задавшись расчётными значениями физикомеханических характеристик материала подушки определяют ориентировочные размеры фундамента в плане. Далее варьируя толщину подушки и если необходимо размеры фундамента устанавливают такую толщину подушки чтобы выполнялось условие: pz ≤ Rz 1 где pz ...
29013. Поверхностное уплотнение грунтов укаткой, вибрацией и тяжёлыми трамбовками. Понятие об оптимальной влажности уплотняемого грунта 36 KB
  Понятие об оптимальной влажности уплотняемого грунта. Уплотняемость грунтов особенно пылеватоглинистых в значительной степени зависит от их влажности и определяется максимальной плотностью скелета уплотнённого грунта ρdmax и оптимальной влажностью w0. Эти параметры находятся по методике стандартного уплотнения грунта при различной влажности 40 ударами груза весом 215 Н сбрасываемого с высоты 30 см. По результатам испытания строится график зависимости плотности скелета уплотнённого грунта ρd от влажности грунта w рис.
29014. Глубинное уплотнение грунтов с помощью песчаных и грунтовых свай. Область применения указанных методов 51.5 KB
  Песчаные сваи применяют для уплотнения сильно сжимаемых пылеватоглинистых грунтов рыхлых песков и заторфованных грунтов на глубину до 18. Песчаные сваи изготовляют следующим образом. Вокруг песчаной сваи грунт также находится в уплотнённом состоянии рис. Уплотнение грунта песчаными сваями обычно производится под всем сооружением Сваи располагаются в шахматном порядке как это показано на рис.
29015. Уплотнение грунтов основания водопонижением. Ускорение процесса уплотнения с помощью электроосмоса 33.5 KB
  Площадь основания где намечено уплотнение грунтов окружается иглофильтрами или колодцами из которых производится откачка воды водопонизительными установками рис. Понижение уровня подземных вод приводит к тому что в пределах зоны водопонижения снимается взвешивающее действие воды на скелет грунта. При пропускании через грунт постоянного электрического тока происходит передвижение воды к иглофильтрукатоду и эффективный коэффициент фильтрации увеличивается в 10.