12469

Розв’язання функціональних рівнянь з однією змінною

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №3 Розв’язання функціональних рівнянь з однією змінною Мета роботи: ознайомитися з методами розв‘язання рівнянь з однією змінною розглянути реалізацію цих методів у середовищі MatLab. Задачі лабораторної роботи: реалізувати один з методів у ві

Украинкский

2013-04-27

372.82 KB

48 чел.

Лабораторна робота №3

Розв’язання функціональних рівнянь з однією змінною

Мета роботи: ознайомитися з методами розв‘язання рівнянь з однією змінною, розглянути реалізацію цих методів у середовищі MatLab.

Задачі лабораторної роботи: реалізувати один з методів у відповідності до варіанту в середовищі MatLab, випробувати його роботу на прикладі розв‘язання конкретного рівняння.

Теоретичні відомості

Постановка задачі

Важливу задачу прикладного аналізу представляє розв’язок функціональних рівнянь з однією змінною (фізика, механіка, економіка та ін.)

У загальному вигляді функціональне рівняння записується у вигляді:

     (3.1)

де F(х) визначена і неперервна на скінченому чи нескінченному інтервалі [a,b].

Число називається коренем r кратності, якщо воно задовольняє рівнянням:

  (3.2)

Однократний корінь називається простим.

Два рівняння F(х) та G(х) називаються рівносильними, якщо будь-який розв’язок кожного з них є розв’язком і для другого.

Функціональні рівняння поділяються на алгебраїчні, якщо функція є алгебраїчною, та трансцендентні, якщо функція вміщує логарифмічні, тригонометричні та інші неалгебраїчні функції.

Шляхом алгебраїчних перетворень із будь-якого алгебраїчного рівняння можна отримати рівняння в канонічній формі:

   (3.3)

де n – степінь алгебраїчного рівняння .

Кожне алгебраїчне рівняння має хоча б один дійсний корінь чи пару комплексних.

При зведенні алгебраїчного рівняння до канонічної форми отримаємо ті ж корені, що і для початкового рівняння, але при цьому можуть з’явитися і сторонні корені. Наприклад:

 (3.4)

Якщо функція F(х) не є алгебраїчною, то рівняння (3.1) називається трансцендентним. Наприклад:

    (3.5)

В деяких випадках розв’язування трансцендентних рівнянь зводиться до розв’язання алгебраїчних.

Більшість функціональних рівнянь з однією змінною не розв’язуються точними методами шляхом аналітичних перетворень. На практиці для їх розв’язання застосовують чисельні методи. Розв’язати таке рівняння – значить встановити, чи має воно корені на вказаному проміжку, кількість коренів, і відшукати значення коренів із заданою точністю (-окіл).

Задача чисельного знаходження дійсних і комплексних коренів рівняння зазвичай складається з двох етапів:

  1.  відокремлення коренів – знаходження достатньо малих околів у заданій області, в яких знаходиться один корінь.
  2.  уточнення коренів – обчислення коренів із заданим ступенем точності в деякому околі.

Для знаходження дійсних коренів рівняння (3.1) застосовуються наступні чисельні методи:

  1.  метод половинного ділення;
  2.  метод хорд;
  3.  метод дотичних (Ньютона);
  4.  комбінований метод;
  5.  метод Рибакова, знаходження всіх дійсних коренів;
  6.  метод простої ітерації.

Відокремлення коренів

Відокремлення коренів – встановлення „тісних” проміжків, що вміщують кожен проміжок – один корінь.

В багатьох випадках цей етап проводять графічно. Враховуючи, що дійсні корені рівняння (3.1) – це точки перетину графіка функції F(х) з віссю абсцис, досить побудувати графік F(х) і відмітити на осі OX відрізки, кожен з яких вміщує по одному кореню.

Рис. 3.1. Графічний спосіб відокремлення коренів.

Побудову графіка вдається сильно спростити, якщо замінити рівняння (3.1) рівносильним йому рівнянням F1(х)= F2(х). В цьому випадку будують графіки функцій F1(х) та F2(х), потім на вісі OX відмічають відрізки, що вміщують абсциси точок перетину цих графіків.

Рис. 3.2. Варіанти розв’язання рівняння при заміні функції рівносильними функціями F1(х) та F2(х) на проміжку [ 1; 3 ].

При написанні програми, яка виконує відокремлення коренів графічний спосіб не є зручним, тому застосовують найпростіший алгоритм відокремлення коренів: проміжок, на якому відшукуються розв’язки, ділять рівномірно на невеликі відрізки, на кінцях кожного відрізку розраховують значення функції, якщо функція на кінцях відрізку змінює знак – відрізок містить корінь.

Метод половинного ділення

Припустимо, що рівняння має на відрізку [a, b] єдиний корінь. Функція F(x) на цьому відрізку неперервна. Поділимо відрізок [a, b] точкою навпіл (рис. 3.3). Якщо , то є коренем рівняння. Якщо F(c)  0, то вибираємо відрізок [a, с] чи [с, b], на якому функція змінює знак, тобто F(а) F(с) < 0 чи F(с) F(b) < 0. Новий зменшений відрізок знову поділимо навпіл і проводимо повторно ті ж самі дії. В результаті здобудемо на деякому етапі або точний корінь або послідовність вкладених один в одного відрізків , , … , таких, що  .

Рис. 3.3. Знаходження кореня рівняння методом половинного ділення.

Процес поділу продовжимо до тих пір, поки довжина відрізка не стане менше заданої точності :

|a – b| <      (3.6)

Корінь х0 приймається рівним середньому арифметичному значенню кінців знайденого звуженого відрізку. Похибка в цьому випадку не перевищує . Для досягнення заданої точності  потрібно вийти з ітераційного процесу, коли виконається умова .

Метод половинного поділу практично зручно застосовувати для грубого знаходження кореня даного рівняння, так як при збільшені точності значно збільшується об’єм обчислювальної роботи.

Метод хорд

Даний метод ґрунтується на лінійній інтерполяції функції F(x)=0 по двом значенням, що мають протилежні по знаку значення функції F(a) та F(b). Метод хорд швидше збігається до розв‘язку навіть при досить малих значеннях . Потрібно знайти корінь рівняння F(x)=0 на проміжку [a; b], і якщо відомо, що F(x) неперервна на [a; b] і F(a)∙F(b) < 0. Крім того,  перша F'(x) і  друга F''(x) похідні функції F(x) зберігають на проміжку [a; b] свій знак. Замінимо функцію F(x) лінійною функцією, яка проходить через вузлові точки (a , F(a)) і (b , F(b)) :

     (3.7)

Лінійна функція P(x) на кінцях відрізку [a; b] приймає такі ж значення, як і функція F(x)=0.

Рис. 3.4. Знаходження кореня за методом хорд.

В якості першого наближення при знаходженні кореня функції F(x)=0 візьмемо точне значення кореня функції P(x)=0, тобто х1, яке розрахуємо з рівняння:

                (3.8)

При подальшому дослідженні відрізків [a; х1] та 1; b], виберемо той, на якому функція змінює знак. З рис. 3.4 бачимо, що таким відрізком є [a; х1] . Для вибраного відрізка побудуємо лінійне наближення функції за формулою (3.7), виконаємо розрахунки кореня для лінійного наближення за формулою (3.8). Розрахунки припинимо, коли .

Метод січних

Метод січних подібний до методу хорд, тільки точки (х0 , F(х0)) і (х1 , F(х1)) взяті з одного боку від кореня рівняння F(x)=0. Геометрична інтерпретація методу представлена на рис.3.5.

В якості початкового наближення обираємо точки (х0 , f(x0)) та (х1, f(x1)).

Рис. 3.5. Знаходження кореня за методом січних.

Через точки (х0 , f(x0)) та (х1 , f(x1)) проводимо січну до графіку функції, яка перетинає вісь ох в точці 2, 0). Перевіряємо виконання умови , якщо вона не виконується, проводимо січну через точки (х1 , f(x1)) та (х2 , f(x2)), знаходимо точку перетину січної з віссю ох (точка 3, 0)) і перевіряємо виконання чергової умови , і так до виконання умови виходу з ітераційного процесу.

Для математичного опису методу січних отримаємо формулу прямої, що проходить через дві точки (х0 , f(x0)) та (х1 , f(x1)) :

           (3.9)

Враховуючи, що f(xn+1) = 0 отримаємо загальну формулу для методу січних:

               (3.10)

Метод січних має досить високу збіжність до розв‘язку у випадку, коли F(x)=0 - гладка функція, але в процесі розв’язання деяких рівнянь швидкість збіжності може знижатись (наприклад, на ділянках функції, близьких до функції х = const).

Метод дотичних (Ньютона)

Метод дотичних базується на заміні функції F(x)=0 у точці початкового наближення х0 дотичною, яка при перетині з віссю ох в точці 1, 0) дає перше наближення. У цьому методі Ньютон замість інтерполяції використав екстраполяцію, що знаходиться за допомогою дотичної у визначеній точці. Геометрична інтерпретація методу дотичних (Ньютона) показана на рис. 3.6. В якості початкового наближення обираємо абсцису х0 = b. У точці (х0 f(x0)) проводимо дотичну до графіку функції, яка перетинає вісь ох в точці 1, 0).

Рис. 3.6. Знаходження кореня за методом дотичних.

Перевіряємо виконання умови , якщо вона не виконується, проводимо дотичну в точці (х1 , f(x1)), знаходимо точку перетину дотичної з віссю ох (точка 2, 0)) і перевіряємо виконання чергової умови , і так до виконання умови виходу з ітераційного процесу.

Для математичного опису методу дотичних отримаємо формулу дотичної, що проведена в точці (х0 , f(x0)) і має кутовий коефіцієнт f'(x0):

            (3.11)

У точці перетину цієї дотичної з віссю ох (точка 1, 0)) y = 0, тому формулу 6 можемо записати у вигляді:

             (3.12)

Для загального випадку формулу Ньютона можемо записати у вигляді:

          (3.13)

Метод дотичних (Ньютона) має високу збіжність до розв‘язку, але час виконання ітерації дещо збільшується за рахунок необхідності обчислення похідної f'(xk).

Метод простої ітерації

Замінимо рівняння F(x)=0 рівносильним рівнянням:

x=f(x)       (3.14)

Припустимо w – корінь рівняння, а x0 – отримане будь-яким способом нульове наближення до кореня w. Підставимо x0 в праву частину рівняння (3.14), отримаємо x1=f(x0); x2=f(x1); … ; xn=f(xn-1). Цю числову послідовність називають послідовністю наближень чи ітераційною послідовністю. Послідовність наближень може бути збіжною чи розбіжною.

 Теорема: ітераційна послідовність буде збіжною при будь-якому початковому значенні x0[a; b], якщо для рівняння x=f(x), що має єдиний розв’язок на проміжку [a; b], виконуються умови:

  1.  f(x) визначена і диференційована на [a; b];
  2.  f(x) визначена для всіх x[a; b];
  3.  існує таке дійсне q, що для всіх x[a; b].

Швидкість збіжності характеризується нерівністю (умова Ліпшиця):

    (3.15)

Умовою припинення ітерацій є .

При розв’язанні поставленого в лабораторній роботі завдання потрібно ознайомитися з особливостями програмування на внутрішній мові середовища MatLab.

Завдання для виконання лабораторної роботи:

Створити програму на внутрішній мові середовища МatLAB, що реалізує метод, заданий по варіанту (таблиця 3.1), провести тестування створеної програми на прикладі.

Варіанти завдань до лабораторної роботи №3.

Таблиця 3.1

Варіант

Метод

Тестовий приклад

1

половинного ділення

2

січних

3

хорд

4

дотичних

5

простої ітерації

6

половинного ділення

7

січних

8

хорд

9

дотичних

10

простої ітерації

Створені програми перевірити на прикладі алгебраїчних рівнянь, що вводяться користувачем з клавіатури.

Додаток А

Лабораторна робота № _.

Тема

Мета роботи: ознайомитися з методами розв‘язання рівнянь з однією змінною, розглянути реалізацію цих методів у середовищі MatLab.

1. Короткі теоретичні відомості.

<У розділі наводяться ті теоретичні відомості, що використовуються при розв‘язанні задачі по варіанту лабораторної роботи>*

2. Хід виконання лабораторної роботи.

<У розділі пояснюються особливості алгоритму реалізації задачі у середовищі MATLAB, детально розписуються етапи розв‘язання поставленого завдання>

3. Лістінг програми.

<У розділі наводиться лістінг реалізації задачі у середовищі MATLAB, в якому повинні бути основні коментарі по етапам виконання поставленого завдання>

4. Результати виконання програми.

< У розділі наводиться результат реалізації задачі у середовищі MATLAB на тестовому прикладі у відповідності з варіантом (у числовому та графічному вігляді.>

5. Висновок.

<У розділі робиться висновок, у якому проводиться аналіз результатів і оцінка точності та сфери застосування методу.>

_____________________

* Примітки: при захисті лабораторної роботи студент повинен знати суть всіх методів, що вивчаються в рамках лабораторної роботи.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20528. Проверка закона Ома для участка цепи и всей цепи. Проверка закона Кирхгофа 37.5 KB
  Проверка закона Ома для участка цепи и всей цепи. Цель работы: Практически убедится в физических сущности закона Ома для участка цепи. Как показывают опыты ток на участке цепи прямо пропорционально напряжении на этом участке цепи и обратно пропорционально сопротивлении того же участка это закон Ома Рассмотрим полную цепь: ток в этой цепи определяется по формуле закон Ома для полной цепи.цепи с одной ЭДС прямо пропорционален этой ЭДС и обратно пропорционален сумме сопротивлении внешней и внутренней участков цепи.
20529. Измерение мощности и энергии 44 KB
  [Вт] [Вт] 100 Вт = 1 гектоватт [гВт] 1000 Вт = 1 киловатт [кВт] 1000000 Вт = 1 мегаватт [МВт] Электрическая мощность измеряется ваттметром Электрическая энергия измеряется счетчиком электрической энергии.1 № опыта Данные наблюдений Результаты вычислений U I tc P Wэнер R Pобщ 1 220 07 600 154 924 гВт 3143 704 2 220 11 3600 242 8712 гВт 1222 3 220 14 4900 308 15092 гВт 714 Р=UI=22007 = 154; W1=154600=92400=924 гВт P2=UI2=2201.1 = 242; W2=2423600=871200=8712 гВт P3=UI3=2201.4 =...
20530. Определение удельного сопротивления материалов 56 KB
  Цель работы: Опытным путем определить удельное сопротивление проводниковых материалов. Теоретическое основание: Сопротивление проводника характеризует его способность препятствовать прохождения тока. Для того чтобы при расчетах учесть способность разных проводников проводить ток вводится понятие удельное сопротивление. Удельное сопротивление – это сопротивление проводника длиной 1м и поперечное сечение 1 мм2 Сопротивление проводника зависит не только от материала из которого он изготовлен оно зависит и от его размеров длины и поперечного...
20531. Создание и редактирование простейших таблиц в EXEL 91.5 KB
  Интервал или блок ячеек задается адресами левой верхней и правой нижней ячеек разделенных двоеточием например А1:C4; B1:B10. Для выделения блока ячеек можно использовать мышь перемещать при нажатой левой кнопке или клавиши управления курсором при нажатой клавише Shift. Для удобства представления данных в EXСEL применяются различные форматы ячеек числовой денежный научный процент дата и др. Присвоить формат ячейке или блоку ячеек предварительно выделив их можно с помощью команды Ячейки меню Формат или нажав правую кнопку мыши и...
20532. Создание и редактирование различных видов диаграмм в Excel 74 KB
  Диаграмма – это графическое представление числовых данных. Ряды данных – это наборы значений которые требуется изобразить на диаграмме. Например при построении диаграммы дохода компании за последнее десятилетие рядом данных является набор значений дохода за каждый год. Математический аналог рядов данных это значения функции Y.
20533. Встроенные функции EXCEL. Статистический анализ 101 KB
  Встроенные функции EXCEL. Простейший способ получения полной информации о любой из них заключается в переходе на вкладку Поиск из меню после чего необходимо напечатать имя нужной функции и нажать кнопку Показать. Для удобства функции в EXCEL разбиты по категориям матаматические финансовые статистические и т. Зная к какой категории относится функция справку о ней можно получить следующим образом: Щелкните на закладке Содержание в верхней части окна а затем последовательно пункты Создание формул и проверка книг Функции листа.
20534. Создание, дополнение и чтение файла данных 80 KB
  Создать файл данных со следующей структурой: шифр товара наименование план выпуска на каждый квартал фактический выпуск в каждом квартале. выпуск Факт. выпуск План. выпуск Факт.
20535. Обработка файла данных 23.5 KB
  Данные по машинам автобазы: номер марка план перевозок факт. Макет исходных данных номер марка план факт о 367 нр ГАЗ 105 100 л 577 ор ЗИЛ 185 185 н 705 ар КамАЗ 220 220 в 368 еу ЛИАЗ 343 340 а 859 ср МАЗ 368 368 у 364 ар УАЗ 373 373 м 290 ао КамАЗ 288 287 н 390 ал ГАЗ 100 99 Алгоритм программы Программа по разработанному алгоритму Командный файл Обработка файла данных CLEAR {Очистка экрана} SET TALK OFF {Команда запрета выполнения отдельных команд} USE Imfd...
20536. Изучение принципов микропрограммного управления 23 KB
  Владимир 2000 Цель работы: Изучение принципов построения микропрограммного устройства управления. Развитие методов параллельной обработки данных и параллельного программирования показало что сложные алгоритмы могут быть эффективно реализованы при микропрограммном управлении что обусловило применение принципов микропрограммного управления в ЭВМ высокой производительности. Микропрограммный принцип управления обеспечивает реализацию одной машинной команды путем выполнения микрокоманд записанных в постоянной памяти.