12470

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №4 Чисельні методи Лабораторна робота №4 Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання

Украинкский

2013-04-27

87.49 KB

7 чел.

Лабораторна робота №4                                                                              Чисельні методи

Лабораторна робота №4

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує метод Ньютона для розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

Для розв‘язання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

                  (1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

       (2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

             (3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

     (4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

                              (5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

                (6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

         (8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (9)

Наприклад – розв‘яжемо нелінійну систему рівнянь:

Початкові значення для методу Ньютона : (х0, у0) = (2,00; 0,25)

Сформуємо вектор-функцію і обчислимо матрицю Якобі:

.

В початковій точці вони приймуть значення:

.

Обчислимо х, у з лінійної системи рівнянь:

Значення невідомих знаходять будь-яким методом для розв‘язання систем лінійних рівнянь (для систем великої розмірності):

Здійснимо наступну ітерацію:

Аналогічно знайдемо два наступні розв‘язки:

Ітерації продовжуємо до досягнення заданої точності обчислень (в розглянутому прикладі точність обмежувалася п‘ятьма десятковими знаками після коми).

Завдання на лабораторну роботу.

Розв‘язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB та порівняти їх з розв‘язками, отриманими за допомогою даної викладачем програми.

Варіанти завдань:

1 вар.                          2 вар.     

3 вар.                               4 вар.    

  5 вар.                    6 вар.

   7 вар.                              8 вар.  

   9 вар.                      10 вар.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3553. Реконструкция слесарно-механического участка в условиях ПЧ-4 1.1 MB
  Автомобили работают 365 дней в году, в две смены, 8 часов в смену. Климат умеренно холодный, рельеф слабохолмистый, дорожное покрытие преимущественно асфальтобетон. КУЭ – III. Осуществление такого рода услуг возможно благодаря универсальному подвижному составу и хорошей производственной базе
3554. Аерологія виробок 1.92 MB
  Модуль 1. Шахтне повітря, кліматичні умови, пилогазовий режим та його контроль. Вступ. Призначення та задачі шахтної вентиляції по створенню безпечних умов праці шахтарів. Мета та задачі дисципліни. Тема 1.1 Шахтне повітря. Поняття «шахтне повітря»....
3555. Сутність цивільного та земельного законодавств, їх компетенція у вирішенні питання набуття права приватної власності на земельні ділянки громадянами України 315.5 KB
  Актуальність даної теми обґрунтовується постійно зростаючою зацікавленістю встановлення режиму власності на землю, з метою здійснення господарської діяльності фізичними і юридичними особами на земельних ділянках. З утворенням України як незале...
3556. Історія економічних вчень 144.69 KB
  Предмет і завдання курсу Історія економічних вчень Економічне життя суспільства вивчається системою економічних наук - це науки про загальні закони экономічного розвитку, галузеві економічні науки: науки, шо відмічають конкретні процеси і яв...
3557. Поняття та особливості сільськогосподарського виробництва 36.41 KB
  Сільське господарство розвивається на основі різних форм власності і видів господарювання. Рівень господарювання і характер економічної відокремленості цих господарств визначають специфічні особливості їхніх взаємовідносин з державою і певні відмінності у способах використання механізму дії економічних законів.
3558. Адміністративне право 121.5 KB
  Вступ до адміністративного права. Адміністративне право — це одна з профільних, фундаментальних галузей правової системи України. Адміністративне право визначається як сукупність юридичних норм та правових інститутів, призначених для ре...
3559. Ремонт машин і обладнання підприємств виробництва будівельних матеріалів 304 KB
  Метою курсового проекту по ремонту механічного устаткування є привити студентам навички рішення інженерних питань ремонту, економічних обґрунтувань і планування різних видів ремонту та складання необхідної документації.
3560. Изучение внешнего фотоэффекта 67.5 KB
  Цель работы: изучение внешнего фотоэффекта. Задача: определение световой и вольт-амперной характеристики фотоэлемента. Техника безопасности: напряжение 220 В подается от сети на трансформатор и выпрямитель, поэтому соответствующие токоведущие...
3561. Фінансовий контроль як різновид публічного контролю 80.12 KB
  Фінансовий контроль як різновид публічного контролю 1. Методологічні та теоретичні основи дослідження проблеми фінансового контролю: постановка проблеми. 2. Фінансовий контроль як особливий вид публічного контролю. 3. Поняття та правова природа фінан...