12470

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №4 Чисельні методи Лабораторна робота №4 Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання

Украинкский

2013-04-27

87.49 KB

7 чел.

Лабораторна робота №4                                                                              Чисельні методи

Лабораторна робота №4

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує метод Ньютона для розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

Для розв‘язання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

                  (1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

       (2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

             (3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

     (4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

                              (5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

                (6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

         (8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (9)

Наприклад – розв‘яжемо нелінійну систему рівнянь:

Початкові значення для методу Ньютона : (х0, у0) = (2,00; 0,25)

Сформуємо вектор-функцію і обчислимо матрицю Якобі:

.

В початковій точці вони приймуть значення:

.

Обчислимо х, у з лінійної системи рівнянь:

Значення невідомих знаходять будь-яким методом для розв‘язання систем лінійних рівнянь (для систем великої розмірності):

Здійснимо наступну ітерацію:

Аналогічно знайдемо два наступні розв‘язки:

Ітерації продовжуємо до досягнення заданої точності обчислень (в розглянутому прикладі точність обмежувалася п‘ятьма десятковими знаками після коми).

Завдання на лабораторну роботу.

Розв‘язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB та порівняти їх з розв‘язками, отриманими за допомогою даної викладачем програми.

Варіанти завдань:

1 вар.                          2 вар.     

3 вар.                               4 вар.    

  5 вар.                    6 вар.

   7 вар.                              8 вар.  

   9 вар.                      10 вар.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77898. Имущественное страхование. Формы и виды страхования 33.5 KB
  Страховой риск это событие на случай наступления которого проводится страхование. Страховой интерес убытки которые могут возникнуть у страхователя при наступлении страхового случая и от которого он страхуется. Виды страхования: I имущественное страхование: а особый объект страхования...
77899. Сравнительный анализ займа и кредита 34 KB
  В случаях когда срок возврата договором не установлен или определен моментом востребования сумма займа должна быть возвращена заемщиком в течение 30 дней со дня предъявления займодавцем требования об этом если иное не предусмотрено договором. По договору финансирования под уступку денежного требования одна сторона финансовый агент передает или обязуется передать другой стороне клиенту денежные средства в счет денежного требования клиента кредитора к третьему лицу должнику вытекающего из предоставления клиентом товаров...
77900. Договор банковского счета 31.5 KB
  Договор банковского счета По договору банковского счета банк обязуется приниматься и зачислять поступающие на счет открытый клиенту денежные средства выполнять распоряжения клиента о перечислении и выдаче соответствующих сумм со счета и проведении других операций со счета. Субъекты: банк иная кредитная организация которая имеет право на ведение банковских операций; клиент ФЛ ЮЛ. Правовое регулирование: закон о ЦБ РФ о банках и банковской деятельности инструкция ЦБ об открытии и закрытии банковских счетов счетов по вкладам...
77901. Обязательства по совместной деятельности 29.5 KB
  Обязательства по совместной деятельности По договору простого товарищества двое или несколько лиц товарищей обязуются соединить свои вклады и совместно действовать без образования ЮЛ для извлечения прибыли или достижения иной не противоречащей закону цели. СУ: вклад который должен внести каждый из товарищей в общее дело. Должна быть дана денежная оценка вклада товарищей которая определяется по соглашению сторон. Правовой режим: имущество является общей долевой собственностью товарищей договором может быть установлено иное.
77902. Інноваційні процеси 35.86 KB
  Технічні новини і нововведення проявляються у формі нових продуктів виробів технологій їх виготовлення засобів виробництва машин устаткування енергії конструкційних матеріалів. Організаційні нововведення охоплюють нові методи і форми організації усіх видів діяльності підприємств та інших ланок суспільного виробництва організаційні структури управління сферами науки і виробництва форми організації різних типів виробів і колективної праці. За масштабністю і степенем впливу на ефективність діяльності певних ланок суспільного...
77903. Инфраструктура. Система технічного обслуговування 35 KB
  Інфраструктура підприємства це комплекс цехів господарств та служб підприємства які забезпечують необхідні умови функціонування підприємства. Інфраструктура являє сотвабою своєрідний тил виробництва без якого неможлива нормальна робота підприємства. Виробнича інфраструктура підприємства це сукупність підприємств які прямо не беруть участі у створенні основної продукції підприємства але своєю діяльністю сприяють роботі основних цехів створюючи необхідні для цього умови. Виробничу структуру підприємства зокрема складають;...
77904. Організація виробництва та забезпечення якості продукції 69.43 KB
  Якість та конкурентноспроможність продукції. Стандартизація та сертифікація продукції. Державна політика у сфері управління якістю продукції.
77905. Собівартість промислової продукції та шляхи її зниження 405 KB
  Собівартість промислової продукції та шляхи її зниження Сутність поняття собівартість та зниження її зниження. Кошторис витрат і собівартість продукції Склад та структура собівартості продукції. Класифікація витрат на виробництво продукції. Фактори та шляхи зниження собівартості продукції.
77906. Фінансово-економічні результати діяльності підприємства 18.87 KB
  Зміст і форми фінансової діяльності Доход прибуток та його розподіл рентабельність підприємства Оцінка та діагностика фінансового стану. Екон 1991 Мета нашої лекції ознайомитися і з`ясувати: Що таке фінансова діяльність підприємства; Що таке доход прибуток баланс підприємства і які показники розраховуються на підставі балансу. Для досягнення мети лекції нам необхідно вирішити ряд задач: З`ясувати з яких форм складається фінансова діяльність підприємства та які задачі вона виконує; В чому полягає різниця між доходом та...