12470

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №4 Чисельні методи Лабораторна робота №4 Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання

Украинкский

2013-04-27

87.49 KB

7 чел.

Лабораторна робота №4                                                                              Чисельні методи

Лабораторна робота №4

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує метод Ньютона для розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

Для розв‘язання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

                  (1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

       (2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

             (3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

     (4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

                              (5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

                (6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

         (8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (9)

Наприклад – розв‘яжемо нелінійну систему рівнянь:

Початкові значення для методу Ньютона : (х0, у0) = (2,00; 0,25)

Сформуємо вектор-функцію і обчислимо матрицю Якобі:

.

В початковій точці вони приймуть значення:

.

Обчислимо х, у з лінійної системи рівнянь:

Значення невідомих знаходять будь-яким методом для розв‘язання систем лінійних рівнянь (для систем великої розмірності):

Здійснимо наступну ітерацію:

Аналогічно знайдемо два наступні розв‘язки:

Ітерації продовжуємо до досягнення заданої точності обчислень (в розглянутому прикладі точність обмежувалася п‘ятьма десятковими знаками після коми).

Завдання на лабораторну роботу.

Розв‘язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB та порівняти їх з розв‘язками, отриманими за допомогою даної викладачем програми.

Варіанти завдань:

1 вар.                          2 вар.     

3 вар.                               4 вар.    

  5 вар.                    6 вар.

   7 вар.                              8 вар.  

   9 вар.                      10 вар.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

29773. Классификация и особенности материалов электронной техники. Структура материалов. Обозначение кристаллографических плоскостей и направлений кристалла 25.27 KB
  Структура материалов. Классификация и особенности материалов электронной техники. Электрофизические свойства являются одним из основных свойств материалов определяют их применение в электронной технике.
29774. Способы представления сложных структур. Типичные кристаллические структуры материалов, применяемых в электронной технике 87.11 KB
  Структура типа алмаз. Элементарные полупроводники кремний и германий кристаллизуются в структуру типа алмаз. В структуре типа алмаз атомы образуют плотнейшую ГЦК решётку в которой половина 4 из 8ми тетраэдрических пустот заняты атомами того же сорта. Структура типа алмаз может быть представлена как две взаимно проникающие подрешётки типа ГЦК которые смещены относительно друг друга по пространственным диагоналям на её длины.
29775. Дефекты в кристаллах. Классификация дефектов. Точечные, линейные и поверхностные дефекты 30.5 KB
  Линейные дефекты К линейным дефектам кристаллической решётки относятся дислокации. Различают краевые и винтовые дислокации. Линия дислокации в этом случае это граница экстраплоскости. Винтовую дислокацию в кристалле можно определить как сдвиг одной части кристалла относительно другой но в отличие от краевой дислокации линия винтовой дислокации параллельна вектору сдвига.
29776. Цепь посылки вызова от ТА-57 на станцию ЦБ по структурной схеме 210.5 KB
  Кроме того оборудование комплекса позволяет образовать типовые каналы ТЧ 03 34 кГц каналы служебной связи 16; 192; 2275 кбит с прозрачные телеграфные каналы до 200 бод а также синхронные контрольные каналы 2037 и 4074 бит с. Кроме указанных выше цифровых каналов на каждой ступени образуются следующие дополнительные каналы: прозрачные телеграфные каналы ПТК; служебные телеграфные каналы СТК; синхронные контрольные каналы СКК; синхронные каналы служебной связи СКСС. Телеграфные каналы образуемые комплексом...
29777. Цепь дистанционного управления радиостанцией П-193М по структурной схеме 37.5 KB
  В качестве каналообразующей аппаратуры применяется аппаратура П331 П331МСкорость цифрового сигнала поступающего с аппаратуры П331 П331М может составлять 48 480 и 2048 кбит с.3 мкм; код линейного сигнала СМI; линейная скорость передачи 2048 кбит с независимо от скорости передачи входного сигнала; скорость передачи канала УСС 48 кбит с с ЭППЧ 03 21 кГц; Структурная схема аппаратуры П336Л. Цифровой сигнал от аппаратуры каналообразования ЦСП П331 П331М со скоростью передачи 48 кбит с ИО2 ИТ А или 480 кбит с...
29778. Назначение, ТТХ и состав (по общей схеме) телефонного коммутатора П-194М 149 KB
  Основные ТТХ П194М Число абонентских линий: П194М рассчитан на включение 40 абонентских линий в том числе: 3 соединительных линий линий № 3840 к станциям ЦБ или АТС; 10 соединительных линий линий № 1120 к радиостанциям УКВ с дистанционным управлением; 20 соединительных линий линий к КОА ДС с возможностью включения и выключения удлинителей. На вертикальной лицевой панели коммутатора размещены: пять вертикальных плат с 40 абонентскими комплектами; платы с гнездами для циркулярных соединений; ключи комплектов...
29779. Цепи вызова абонентом и опроса вызывающего абонента П-194М по принципиальной схеме 49 KB
  Вопрос 1. Цепи вызова абонентом и опроса вызывающего абонента П-194М по принципиальной схеме. Назначение и основные ТТХ радиорелейной станции Р-409МА. Состав ВЧ оборудования Р-409МА, назначение блоков. Опрос абонента коммутатора П-194М.
29780. Цепь прохождения разговора между двумя абонентами П-194М по принципиальной схеме 474 KB
  2: При работе станции в поддиапазоне А частоты возбудителя лежат в пределах 60120 мГц а в поддиапазонах Б и В в пределах 6011199 мГц. В сменных блоках передатчиков обеспечивается или только усиление А или усиление и умножение частоты колебаний возбудителя Б В. Отличие заключается лишь в том что в приемниках поддиапазонов Б и В дополнительно применено соответственно удвоение и учетверение частоты первого гетеродина блока Б2 общего для трех поддиапазонов станции. Как видно из рисунков в приемниках применено двойное...
29781. Цепь посылки вызова абонента АТС по СЛ с коммутатора П-194М по принципиальной схеме 354 KB
  Для обеспечения диапазонной кварцевой стабилизации частоты в возбудителе применена частотная автоматическая подстройка частоты генератора плавного диапазона по эталонному кварцевому калибратору источнику сетки опорных частот. Структурная схема возбудителя по назначению и принципу работы может быть разделена на три части: Тракт высокой частоты состоящий из генератора плавного диапазона частотного модулятора с компенсирующим усилителем и усилителя высокой частоты т. устройств обеспечивающих генерирование усиление и частотную...