12470

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №4 Чисельні методи Лабораторна робота №4 Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання

Украинкский

2013-04-27

87.49 KB

7 чел.

Лабораторна робота №4                                                                              Чисельні методи

Лабораторна робота №4

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує метод Ньютона для розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

Для розв‘язання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

                  (1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

       (2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

             (3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

     (4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

                              (5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

                (6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

         (8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (9)

Наприклад – розв‘яжемо нелінійну систему рівнянь:

Початкові значення для методу Ньютона : (х0, у0) = (2,00; 0,25)

Сформуємо вектор-функцію і обчислимо матрицю Якобі:

.

В початковій точці вони приймуть значення:

.

Обчислимо х, у з лінійної системи рівнянь:

Значення невідомих знаходять будь-яким методом для розв‘язання систем лінійних рівнянь (для систем великої розмірності):

Здійснимо наступну ітерацію:

Аналогічно знайдемо два наступні розв‘язки:

Ітерації продовжуємо до досягнення заданої точності обчислень (в розглянутому прикладі точність обмежувалася п‘ятьма десятковими знаками після коми).

Завдання на лабораторну роботу.

Розв‘язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB та порівняти їх з розв‘язками, отриманими за допомогою даної викладачем програми.

Варіанти завдань:

1 вар.                          2 вар.     

3 вар.                               4 вар.    

  5 вар.                    6 вар.

   7 вар.                              8 вар.  

   9 вар.                      10 вар.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78001. СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ СИСТЕМЫ ПОДГОТОВКИ, ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ, ПЕРЕПОДГОТОВКА КАДРОВ МУНИЦИПАЛЬНЫХ ОРГАНОВ ВЛАСТИ 466.41 KB
  Предмет исследования система подготовки повышения квалификации и переподготовки кадров органа власти Цель дипломного проекта –- совершенствование системы подготовки повышения квалификации и переподготовки кадров органа власти Задачи исследования: изучить методику подготовки...
78002. Разработка проекта по увеличению объема реализации продукции компании и его финансово-экономическая оценка (на примере ООО «Фермер») 140.95 KB
  Выбор наиболее эффективных методов розничной продажи товаров; Организация оказания торговых услуг покупателям. В интерьерах магазина предусматривается использование рекламы информирующей о наличии товаров расположении отделов дополнительных услугах а также...
78004. Исследовании метода Монте-Карло для решения СЛАУ и рассмотрении его параллельной реализации для архитектуры CUDA 1.15 MB
  Рассматриваются различные подходы к параллельной реализации метода. Предлагается параллельная версия метода для архитектуры CUD и проводится тестирование и исследование ее эффективности при решении СЛАУ различных размерностей.
78005. Хронология периода княжения великого князя Всеволода Ольговича в Киеве (конец 30-х – первая половина 40-х гг. XII в.) 360.5 KB
  Древнерусские летописи и по сей день являются одним из самых содержательных источников по истории Древней Руси несмотря на свою противоречивость. В Ипатьевской летописи мы встречаем эти сведения но контекст сообщения не позволяет нам сделать вывод который мы находим у Карамзина.
78006. Волоконно-оптическая линия связи между городами Хабаровск и Владивосток с использованием технологии SDH и оптического кабеля 1.24 MB
  В данном дипломном проекте рассмотрена трасса между городами Хабаровск и Владивосток. Выбрана система передачи уровня «STM-4», произведен выбор типа кабеля, а так же конструктивный расчет выбранного кабеля марки ОКЛ-01-6-4-10/125-0,36/0,22-3,5/18-1.
78009. Рулевой привод 937.85 KB
  Рулевой привод служит для передачи усилия от рулевого механизма к управляемым колесам и для обеспечения правильного поворота колес. В соответствии с предъявляемыми требованиями рулевой привод должен обеспечивать: правильное соотношение углов поворота управляемых колес...