12470

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №4 Чисельні методи Лабораторна робота №4 Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання

Украинкский

2013-04-27

87.49 KB

5 чел.

Лабораторна робота №4                                                                              Чисельні методи

Лабораторна робота №4

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує метод Ньютона для розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

Для розв‘язання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

                  (1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

       (2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

             (3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

     (4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

                              (5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

                (6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

         (8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (9)

Наприклад – розв‘яжемо нелінійну систему рівнянь:

Початкові значення для методу Ньютона : (х0, у0) = (2,00; 0,25)

Сформуємо вектор-функцію і обчислимо матрицю Якобі:

.

В початковій точці вони приймуть значення:

.

Обчислимо х, у з лінійної системи рівнянь:

Значення невідомих знаходять будь-яким методом для розв‘язання систем лінійних рівнянь (для систем великої розмірності):

Здійснимо наступну ітерацію:

Аналогічно знайдемо два наступні розв‘язки:

Ітерації продовжуємо до досягнення заданої точності обчислень (в розглянутому прикладі точність обмежувалася п‘ятьма десятковими знаками після коми).

Завдання на лабораторну роботу.

Розв‘язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB та порівняти їх з розв‘язками, отриманими за допомогою даної викладачем програми.

Варіанти завдань:

1 вар.                          2 вар.     

3 вар.                               4 вар.    

  5 вар.                    6 вар.

   7 вар.                              8 вар.  

   9 вар.                      10 вар.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1567. Внутренние методы диагностики беременности вагинальный и ректальный 19.26 KB
  Вагинальный метод диагностики беременности включает осмотр и пальпацию. Метод пальпации заключается во введении руки во влагалище и в прощупывании плода через свод влагалища.
1568. Врожденное бесплодие: инфатилизм, фриматизм, гермафродизм и другие 22.64 KB
  Бесплодие — это потеря животным способности к воспроизводству при нарушении функции размножения взрослого организма. Врожденное бесплодие — неспособность к воспроизводству как следствие аномалий развития полового аппарата самцов и самок.
1569. Гигиена нормальных родов. Прием новорожденного и уход за ним. Уход за родильницей 22.24 KB
  Роды - сложный физиологический процесс, заключается в выведении зрелого, жизнеспособного плода и его плодной оболочки из полости матки через родовые пути. Родовые пути-шейка матки, влагалище и его преддверие, вульва.
1570. Финансовая система Российской Федерации 199.5 KB
  Финансовая система РФ: понятие, структура. Фонды социального страхования. Пособие по временной нетрудоспособности. Единовременное пособие женщинам, вставшим на учет в женской консультации в ранние сроки беременности. Пособие по беременности и родам выплачивается застрахованной женщине за весь период отпуска по беременности и родам продолжительностью.
1571. Підприємницька діяльність як суб’єкт господарювання 204.27 KB
  Охарактеризувати сфери і напрямки діяльності підприємств. Розкрити сутність добровільних об’єднань підприємств. Розкрити сутність життєвого циклу підприємства та характеристика його етапів. Характеристика соціальної інфраструктури підприємства. Охарактеризувати організаційні структури управління підприємством.
1572. Реконструкція житлового кварталу в центральній частині міста 58.25 KB
  Місцеположення кварталу відносно центру міста – квартал знаходиться в центральній частині міста і розміщається у ІІ зоні містобудівної цінності. Планувальна структура, границі й розміри території (га), функціональне зонування.
1573. Супружеские конфликты в молодых семьях 712.55 KB
  Особенности стиля поведения и механизмов психологических защит в супружеских конфликтах у членов молодых семей. Мужчины и женщины из молодых семей в конфликтной ситуации реже всего используют сотрудничество, как стиль поведения, и наиболее часто проявляют такие психологические защиты как проекция и отрицание.
1574. Особенности профессии Электромеханик по ремонту и обслуживанию счетно–вычислительных машин 217 KB
  Служебные обязанности практиканта. Техническое обслуживание и ремонт лазерного принтера. Замена и ремонт печки. Чистка поверхности от пыли и грязи. Типовые проблемы с лазерными принтерами HP.
1575. Сети ЭВМ 154.93 KB
  Основные характеристики корпоративных компьютерных систем. Производительность корпоративных компьютерных сетей. Надёжность, отказоустойчивость и безопасность корпоративных компьютерных сетей. Расширяемость и масштабируемость корпоративных компьютерных сетей. Исследование и выбор базового метода при построении системы информационного обеспечения объекта.