12470

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №4 Чисельні методи Лабораторна робота №4 Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання

Украинкский

2013-04-27

87.49 KB

7 чел.

Лабораторна робота №4                                                                              Чисельні методи

Лабораторна робота №4

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує метод Ньютона для розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

Для розв‘язання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

                  (1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

       (2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

             (3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

     (4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

                              (5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

                (6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

         (8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (9)

Наприклад – розв‘яжемо нелінійну систему рівнянь:

Початкові значення для методу Ньютона : (х0, у0) = (2,00; 0,25)

Сформуємо вектор-функцію і обчислимо матрицю Якобі:

.

В початковій точці вони приймуть значення:

.

Обчислимо х, у з лінійної системи рівнянь:

Значення невідомих знаходять будь-яким методом для розв‘язання систем лінійних рівнянь (для систем великої розмірності):

Здійснимо наступну ітерацію:

Аналогічно знайдемо два наступні розв‘язки:

Ітерації продовжуємо до досягнення заданої точності обчислень (в розглянутому прикладі точність обмежувалася п‘ятьма десятковими знаками після коми).

Завдання на лабораторну роботу.

Розв‘язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB та порівняти їх з розв‘язками, отриманими за допомогою даної викладачем програми.

Варіанти завдань:

1 вар.                          2 вар.     

3 вар.                               4 вар.    

  5 вар.                    6 вар.

   7 вар.                              8 вар.  

   9 вар.                      10 вар.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50221. Основные достижения отечественной ветеринарии 78 KB
  Ветеринарная медицина-область научных знаний и практической деятельности, направленных на борьбу с болезнями животных, охрану людей от инфекций общих для животных и человека, выпуск доброкачественной в санитарном отношении продукции и решение ветеринарно-санитарных проблем защиты окружающей среды.
50222. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ КОНТУРЕ 323.5 KB
  Цель работы: Изучение вынужденных колебаний в последовательном контуре определение добротности контура и внутреннего сопротивления генератора синусоидальных колебаний. Основные теоретические положения к данной работе основополагающие утверждения: формулы схематические рисунки:...
50223. Визначення ширини забороненої зони напівпровідників з температурної залежності їх провідності 219.5 KB
  Цю залежність можна подати так: 1 де питома провідність власного напівпровідника при ; ширина забороненої зони напівпровідника; стала Больцмана. Тому ширину забороненої зони власного напівпровідника можна визначити із співвідношення:...
50224. Відкритий валютний ринок, його характеристика та інструменти 863 KB
  Валютний ринок – це сфера економічних відносин, щодо здійснення операцій з купівлі-продажу іноземної валюти і цінних паперів в іноземній валюті з метою отримання прибутку та хеджування, а також операцій з інвестування валютного капіталу.
50225. ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ 160.5 KB
  Принципиальная схема установки или её главных узлов: Блоксхема лабораторной установки для изучения электромагнитных волн в двухпроводной линии Конструкции зондов для изучения распределения составляющих электромагнитного поля: а петлевой зонд рамка; б вибратор Схема установки для изучения электромагнитных волн в двухпроводной линии приведена на рис. В линии устанавливается распределение электромагнитного поля зависящее от величины нагрузочного сопротивления . Эти...
50226. Визначення довжини світлової хвилі за допомогою дифракційної гратки 170.5 KB
  При цьому кут між напрямком зору на нульовий максимум і максимум довільного порядку дорівнює куту дифракції який забезпечує умову ; . 2 З аналізу останнього співвідношення випливає що різним довжинам хвиль у максимумі одного порядку відповідають різні значення кута дифракції. Тому на...
50227. Вивчення обертання площини поляризації світла І визначення концентрації цукру в розчині 830 KB
  Обертання площини поляризації світла оптично прозорими речовинами Прилади і обладнання Цукрометр типу СУ4 набір трубок з розчинами цукру різних концентрацій соленоїд випрямляч струму типу ВС24М Теоретичні відомості та опис установки В даній лабораторній роботі для вивчення явища обертання площини поляризації світла використовується цукрометр типу СУ4. Відлік значень кута обертання площини поляризації світла здійснюється за шкалою і ноніусом.
50228. Статистика. Предмет и методы статистики 946.26 KB
  Статистика - общественная наука, изучающая количественную сторону качественно определенных массовых социально-экономических явлений и процессов, их структуру и распределение, размещение в пространстве, движение во времени, выявляя действующие количественные зависимости, тенденции и закономерности в конкретных условиях, месте и времени.
50229. Експериментально визначити випромінювальну здатність вольфраму 158 KB
  Прилади і матеріали Оптичний пірометр із зникаючою ниткою електрична лампочка розжарення регулятор напруги ватметр блок живлення пірометра акумуляторна батарея Теоретичні відомості та опис установки Абсолютно чорні тіла є ідеалізацією реальних тіл. Дійсна температура повязана з яскравісною температурою Тя співвідношенням: 3 де ; =045 для вольфраму в області температур 10001500 0С ln045=08;...