12470

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №4 Чисельні методи Лабораторна робота №4 Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона. Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання

Украинкский

2013-04-27

87.49 KB

5 чел.

Лабораторна робота №4                                                                              Чисельні методи

Лабораторна робота №4

Розв‘язання систем нелінійних рівнянь. Метод Ньютона.

Мета роботи: познайомитися з методами розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь, реалізувати заданий за варіантом метод у середовищі МatLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує метод Ньютона для розв‘язання систем нелінійних алгебраїчних рівнянь (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

Для розв‘язання нелінійних та трансцендентних рівнянь можуть застосовуватися звичайний ітераційний метод. Але при знаходженні розв‘язків збіжність ітераційного методу до конкретного розв‘язку залежить від початкових значень змінних.

Метод Ньютона оснований на знаходженні послідовності {[x1k,x2k,…,xnk]}, що збігається до розв‘язку (x1, x2, …, xn). Цей метод називають ітерацією нерухомої точки. Величина похідної в нерухомій точці визначає, чи буде ітераційний процес збіжним. Коли це правило застосовується для функції декількох змінних – похідні повинні бути частинними. Узагальненням “похідної” для системи функцій є матриця Якобі (Якобіан). Наприклад, для функцій трьох незалежних змінних f1(x,y,z), f2(x,y,z), f3(x,y,z) матриця Якобі має вигляд:

                  (1)

Для функцій декількох змінних диференціал використовується, щоб показати, як змінення незалежних змінних вплине на залежні змінні. Наприклад, задані функції:

       (2)

Допустимо, що значення цих функцій відомі в точці (х0, у0, z0) і необхідно визначити їх значення в точці (x, y, z) віддаленій на ().

             (3)

де – диференціали залежних змінних, – диференціали незалежних змінних. Якщо змінення функції позначити dF, а змінення змінних dX, використовуючи векторне позначення можемо записати:

     (4)

Збіжність поблизу нерухомої точки. Ітерацію нерухомої точки визначаємо наступним чином:

                              (5)

Теорема. Припустимо, що функції (2) та їх перші частинні похідні неперервні в області, в якій знаходиться нерухома точка (x, y, z). Якщо (х0, у0z0) достатньо близько розташована до точки (x, y, z) і виконуються умови:

                (6)

то ітерація збігається до нерухомої точки (x, y, z).

Метод Ньютона виконується за наступними етапами:

1етап – для здійснення обчислень сформуємо функцію:

     (7)

2 етап – обчислимо Якобіан:

         (8)

3 етап – розв‘яжемо систему рівнянь:

4 етап – обчислимо координати наступної точки – наступне наближення до розв‘язку має вигляд:

   (9)

Наприклад – розв‘яжемо нелінійну систему рівнянь:

Початкові значення для методу Ньютона : (х0, у0) = (2,00; 0,25)

Сформуємо вектор-функцію і обчислимо матрицю Якобі:

.

В початковій точці вони приймуть значення:

.

Обчислимо х, у з лінійної системи рівнянь:

Значення невідомих знаходять будь-яким методом для розв‘язання систем лінійних рівнянь (для систем великої розмірності):

Здійснимо наступну ітерацію:

Аналогічно знайдемо два наступні розв‘язки:

Ітерації продовжуємо до досягнення заданої точності обчислень (в розглянутому прикладі точність обмежувалася п‘ятьма десятковими знаками після коми).

Завдання на лабораторну роботу.

Розв‘язати наступні рівняння методом Ньютона в середовищі МatLAB та порівняти їх з розв‘язками, отриманими за допомогою даної викладачем програми.

Варіанти завдань:

1 вар.                          2 вар.     

3 вар.                               4 вар.    

  5 вар.                    6 вар.

   7 вар.                              8 вар.  

   9 вар.                      10 вар.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83875. Полость живота. Топографо – анатомические образования верхнего и нижнего этажей брюшной полости 51.31 KB
  В хирургической анатомии в малом сальнике выделяют лишь lig.hepatoduodenale и lig.hepatogastricum, поскольку они хорошо визуализируются во время операций. В составе lig. hepatoduodenale, между ее листками, в порядке справа налево располагаются следующие элементы: ductus choledohus (D) — крайнее правое положение, vena portae (V) — посередине
83876. Висцеральные ветви брюшной части аорты. Притоки воротной вены. Порто – кавальные анастомозы 55.17 KB
  Висцеральные ветви брюшной части аорты Непарные висцеральные ветви Чревный ствол короткая 2 см но толстая артерия которая отходит на уровне XII грудного позвонка в самом hitus orticus диафрагмы идет вперед над верхним краем pncres и тотчас делится на три ветви: . gstric sinistr левая желудочная артерия идет к малой кривизне желудка дает ветви как к желудку так и к prs bdominlis esophgi. gstroduodenlis проходит позади duodenum и делится на две ветви: .
83877. Малый сальник, сальниковая сумка, стенки, отверстие, связь с другими отделами. Способы осуществления доступа к поджелудочной железе 69.84 KB
  В зависимости от локализации патологического процесса и характера оперативного вмешательства производят различные разрезы передней брюшной стенки. Для обнажения тела и хвоста поджелудочной железы чаще применяют верхний срединный разрез который в случае необходимости можно расширить путем пересечения прямых мышц живота. Для подхода к головке поджелудочной железы особенно если одновременно предполагают вмешательство на желчных путях целесообразно применять разрезы С. Разрез проводят параллельно XII ребру справа если необходимо подойти к...
83878. Хирургическая анатомия печени. Связки, доли, ворота, кровеносные сосуды. Хирургическая анатомия печёночно – двенадцатипертной связки, элементы 54.27 KB
  Нижний край острый с двумя вырезками вдавление от желчного пузыря и вырезки круглой связки печени. Поперечная борозда соответствует воротам печени. Левая продольная борозда глубокая щель отделяющая левую долю печени от правой.
83879. Холецистэктомия. Лапароскопическая холецистэктомия. Треугольник Кало. Показания, техника выполнения, анатомические сложности 50.01 KB
  Границы треугольника: 1 пузырный проток латерально; 2 общий печеночный проток медиально; 3 правая ветвь собственной печеночной артерии сверху пузырная артерия сама нередко образует верхнюю границу треугольника Холецистэктомия Показания: воспаление желчного пузыря желчнокаменная болезнь опухоль желчного пузыря. Оперативный прием: существуют два способа выделения пузыря: от дна и от шейки. Холецистэктомия от шейки пузыря Выделение пузырного протока и пузырной артерии. Производят выделение и удаление желчного пузыря.
83880. Хирургическая анатомия желчного пузыря и желчных протоков. Варианты желчных протоков. Дренирование желчных протоков 78.03 KB
  Хирургическая анатомия желчного пузыря Желчный пузырь представляет собой грушевидной формы резервуар для желчи располагающийся между правой и квадратной долями печени. Шейка желчного пузыря продолжается в пу зырный проток направлена в сторону ворот печени и залегает вместе с пузырным протоком в печеночнодвенадцатиперстной связке. С\'келетотопия: дно желчного пузыря определяется спереди.
83881. Хирургическая анатомия желудка. Отделы, кровеносные сосуды, нервы и лимфатические пути 54.69 KB
  Отделы желудка Желудок имеет достаточно специфическую форму. В нем можно выделить несколько отделов которые отличаются в функциональном отношении и по своему гистологическому строению: кардиальный отдел дно желудка тело желудка и пилорический отдел. Кардиальный отдел или кардия желудка назван так за то что он располагается в непосредственной близости к сердцу.
83882. Хирургическая анатомия двенадцатиперстной кишки. Отделы, кровеносные сосуды. Большой и малый дуоденальные сосочки 50.97 KB
  Верхняя часть луковица двенадцатиперстной кишки располагается между привратником желудка и верхним изгибом двенадцатиперстной кишки. Нисходящая часть двенадцатиперстной кишки образует более или менее выраженный изгиб вправо и идет от верхнего до нижнего изгибов. В эту часть открываются обший желчный проток и проток поджелудочной железы на большом сосочке двенадцатиперстной кишки.
83883. Хирургическая анатомия поджелудочной железы и спленэктомия 51.49 KB
  Она имеет: переднюю поверхность к которой выше брыжейки поперечной ободочной кишки прилегает антральная часть желудка а ниже петли тонкой кишки; заднюю поверхность к которой прилегают правая почечная артерия и вена общий жёлчный проток и нижняя полая вена; верхний и нижний края. Тело имеет: переднюю поверхность к которой прилегает задняя стенка желудка; заднюю поверхность к которой прилегают аорта селезёночная и верхняя брыжеечная вены; нижнюю поверхность к которой снизу прилегает дена дцатиперстнотощекишечный изгиб; верхний...