12472

Чисельне інтегрування. Формули Ньютона-Котеса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №6 Чисельне інтегрування. Формули НьютонаКотеса. Мета роботи: познайомитися з методами чисельного інтегрування реалізувати заданий за варіантом метод інтегрування у середовищі МatLAB. Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файл

Украинкский

2013-04-27

508.05 KB

24 чел.

Лабораторна робота №6

Чисельне інтегрування. Формули Ньютона-Котеса.

Мета роботи: познайомитися з методами чисельного інтегрування, реалізувати заданий за варіантом метод інтегрування у середовищі МatLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує заданий метод інтегрування (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

В наукових та інженерних задачах часто потрібно обчислювати визначені інтеграли. Але не всі вони мають аналітичний розв’язок. Для знаходження таких інтегралів застосовуються методи чисельного інтегрування.

В основу чисельних методів інтегрування закладений фізичний зміст визначеного інтеграла. Визначений інтеграл дорівнює площі фігури, що обмежена неперервною підінтегральною функ-цією f(x) на проміжку [a, b] (рисунок).

Класично визначений інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбница:

Але ця формула малопридатна для практичного застосування, оскільки клас функцій, для яких первісні F(a) та F(b) можна виразити через елементарні функції дуже вузький. Крім того, часто на практиці підінтегральна функція задається таблично і саме поняття первісної втрачає сенс. Тому в наш час для обчислення інтегралів велике розповсюдження отримали чисельні методи.

Задача чисельного інтегрування полягає у знаходженні визначеного інтегралу від функції f(x) на інтервалі [a, b], обчислюючи функцію f(x) на скінченій множині точок.

Виберемо проміжні точки так, щоб a = x0 < x1 < < xM = b. Формулою чисельного інтегрування або формулою квадратури називають:

яка відповідає визначеному інтегралу

  (1)

У формулі – похибка інтегрування. Вона має сенс лише тоді, коли функція f(x) задана аналітично. Функції називають ваговими коефіцієнтами. Вузлові точки для чисельного інтегрування можуть вибиратися рівновіддаленими, як у формулах Сімпсона чи Буля, або розташованими за певними правилами, як для формули Гаусса-Лежандра.

Квадратурні формули інтерполяційного типу.

Щоб отримати інтерполяційну формулу для складних функцій нерідко використовують інтерполяційні поліноми, що наближено описують ці функції. За визначенням існує єдиний поліном (зазначеного типу) PМ(х) ступеня М, який проходить через (М+1) рівновіддалених точок.

При використанні поліному Лагранжа з рівновіддаленими вузлами для наближення функції f(x) на інтервалі [a, b], інтеграл від f(x) наближено обчислюється за допомогою інтегралу від PL(х), в результаті отримуємо формулу квадратури Ньютона-Котеса (Newton-Cotes). Коли початкова і кінцева точки х0 = а та хМ = b , формулу називають замкнутою. Формули для наближення поліномами М = 1, 2, 3 та 4 відповідно наведені у таблиці 1.

Таблиця 1

Назва формули

Формула

Похибка формули

Ступінь точності n

Трапецій

n = 1

Симпсона

n = 3

Симпсона 3/8

n = 3

Буля

n = 5

Схеми визначення інтегралу за формулами квадратури.

Замкнута формула квадратури Ньютона-Котеса.

При обчисленні інтегралу можемо отримати проміжних точок більше, ніж використовується у формулі квадратури. Тому для обчислення інтегралу на всьому заданому проміжку скористаємося складною формулою квадратури. Так складна формула трапецій має вигляд:

         (2)

   (3)

Складна формула Сімпсона:

        (4)

 (5)

Для того, щоб формула квадратури була замкнутою, потрібно, щоб кількість вузлових точок на проміжку [a, b] була кратна числу точок, на яких будується вибрана формула квадратури з врахуванням початкової та кінцевої точок кожної локальної формули квадратури.

 Розрахунок визначеного інтегралу  за замкнутою формулою Симпсона.

З рисунку бачимо, що для розрахунку визначеного інтегралу на проміжку [х0, х8] інтервал розбили на 4 підінтервали, формула Сімпсона використовувалася 4 рази. Якщо позначити кількість точок, що використовується в простій формулі Сімпсона n = 3 і число застосувань формули m = 4 (значення функції в точках х2, х4, х6 використовуються двічі), то розрахунок кількості вузлів матиме вигляд: . Аналогічно розраховується кількість точок за іншими формулами квадратури.

Завдання на лабораторну роботу.

У середовищі MatLAB створити програму для розв‘язання задачі (при розв‘язанні задач використовувати замкнуті формули квадратури, перевірити отриманий результат за допомогою функції quad8(fun, a, b, tol)):

Задача 1 (варіанти 1-4). Швидкість автомобіля v через час t складає (3t2 + 5) м/с (для варіанту 1). Розрахувати шляхом інтегрування пройдений автомобілем шлях за 60 секунд руху (х0 = 0, хk = 60). (Площа між графіком швидкість/час і віссю х дорівнює пройденому шляху).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 10):

Варіант

Формула

Функція швидкості v

1

Трапецій

(3 t 2 + 5)

2

Сімпсона

2/3 + 2)

3

Симпсона 3/8

(7 + 2х - 2/3)

4

Буля

(3 х 3/5 + 1)

Задача 2 (варіанти 5-8). На початку роботи напруга двигуна u через який проходить струм і (і0 = 0, іk = 5), змінюється за залежністю (для варіанту 5). Визначити шляхом інтегрування потужність, що необхідна для розгону двигуна. (Площа між графіком напруга/струм і віссю х дорівнює потужності).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 7):

Варіант

Формула

Функція напруги u

5

Трапецій

6

Сімпсона

7

Симпсона 3/8

8

Буля

Задача 3 (варіанти 9-12). Синусоїдальна напруга задається рівнянням . Шляхом інтегрування знайти середнє значення напруги за пів періоду (0 = 0, k = ). (Середнє значення величини розраховується за формулою ).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 9):

Варіант

Формула

Функція напруги v

9

Трапецій

10

Сімпсона

11

Симпсона 3/8

12

Буля


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37545. ОСНОВЫ ФИЛОСОФСКИХ ЗНАНИЙ. Учебно-методическое пособие 792 KB
  Природа человека и смысл его существования 104 Тема 14. В современном представлении философией называется область теоретических знаний о мире в целом о месте человека в нем и о принципах взаимоотношения человека с миром. Мировоззрение – это целостный взгляд на мир и место в нем человека. В его структуру входят: знания о мире; ценности с позиций которых человек осмысливает мир; убеждения и идеалы которые определяют поступки человека.
37546. ФІЛОСОФІЯ. МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ 414 KB
  Написание рефератов по философии. Методические указания определяются рабочей программой конспектом лекций и дополнительно снабжаются краткой версией полнотекстовой базой данных философских источников кафедры психологии философии и образовательных технологий. Самостоятельное изучение курса философии базируется на принципах личного поиска исходя из мировоззрения личности и одновременно предметности освоения своей специальности будущими учеными. Для сохранения диалектической природы философии в предложенных для самостоятельного чтения...
37548. КУРС ФИЛОСОФИИ В ТАБЛИЦАХ 48.16 KB
  Философия о человеке Историческая эпоха философии Что такое человек Античность Микрокосмос Душа тело Душа есть проявление идеи Платон Душа это форма человека Аристотель Средние века Духовность душа тело; духовность есть связь человека с Богом посредством веры любви надежды совести Новое время Существо разумное и действующее по законам разума Локк Кант Проявление общественных отношений Маркс Существо волевое и страстное Ницше ХХ в. Философия об обществе Историческая эпоха философии Что такое общество Античность...
37550. Возникновение и история развития проблемы защиты информации 762.5 KB
  Возникновение и история развития проблемы защиты информации Проблема зашиты информации вообще говоря имеет многовековую историю. Применение же специальных мер в целях сохранения информации в тайне практиковалось еще в древние времена: достоверно например известно что выдающийся политический деятель и полководец древнего Рима Цезарь использовал для этих целей криптографическое преобразование текстов сообщений вошедшее в историю под названием шифра Цезаря хотя по современным представлениям и весьма примитивное. Но поскольку здесь...
37551. Обществознание. Человек в мире человека 746.5 KB
  Значимость вопроса к чему может привести человека безудержное развитие техники настолько велика что в настоящее время эта отрасль человеческой деятельности стала едва ли не главной проблемой понимания нашей ситуации. Антропогенная цивилизациябазируется на утверждении человека основной ценностью функционирования общества в целом и отдельных его подси стем. Необходимо проанализировать предпосылки становления нового типа цивилизации выделив из числа важнейших следующие: эрозия ценностей техногенной цивилизации исходящих из культа силы как...
37552. Таможенная экспертиза минеральных вод импортного происхождения реализуемых на территории Российской Федерации 205.5 KB
  Изучить ассортимент минеральной воды реализуемой в торговой сети города Троицка; оценить качество минеральной воды, реализуемой в торговой сети г. Троицка, по органолептическим показателям; установить оптимальное соотношение цены и качества; Установить код ТНВЭД и характеристику минеральной воды по ТН ВЭД РФ. на заключительном этапе проанализировать результаты проведенных исследований, сделать выводы по всем разделам курсовой работы.