12472

Чисельне інтегрування. Формули Ньютона-Котеса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №6 Чисельне інтегрування. Формули НьютонаКотеса. Мета роботи: познайомитися з методами чисельного інтегрування реалізувати заданий за варіантом метод інтегрування у середовищі МatLAB. Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файл

Украинкский

2013-04-27

508.05 KB

24 чел.

Лабораторна робота №6

Чисельне інтегрування. Формули Ньютона-Котеса.

Мета роботи: познайомитися з методами чисельного інтегрування, реалізувати заданий за варіантом метод інтегрування у середовищі МatLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує заданий метод інтегрування (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

В наукових та інженерних задачах часто потрібно обчислювати визначені інтеграли. Але не всі вони мають аналітичний розв’язок. Для знаходження таких інтегралів застосовуються методи чисельного інтегрування.

В основу чисельних методів інтегрування закладений фізичний зміст визначеного інтеграла. Визначений інтеграл дорівнює площі фігури, що обмежена неперервною підінтегральною функ-цією f(x) на проміжку [a, b] (рисунок).

Класично визначений інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбница:

Але ця формула малопридатна для практичного застосування, оскільки клас функцій, для яких первісні F(a) та F(b) можна виразити через елементарні функції дуже вузький. Крім того, часто на практиці підінтегральна функція задається таблично і саме поняття первісної втрачає сенс. Тому в наш час для обчислення інтегралів велике розповсюдження отримали чисельні методи.

Задача чисельного інтегрування полягає у знаходженні визначеного інтегралу від функції f(x) на інтервалі [a, b], обчислюючи функцію f(x) на скінченій множині точок.

Виберемо проміжні точки так, щоб a = x0 < x1 < < xM = b. Формулою чисельного інтегрування або формулою квадратури називають:

яка відповідає визначеному інтегралу

  (1)

У формулі – похибка інтегрування. Вона має сенс лише тоді, коли функція f(x) задана аналітично. Функції називають ваговими коефіцієнтами. Вузлові точки для чисельного інтегрування можуть вибиратися рівновіддаленими, як у формулах Сімпсона чи Буля, або розташованими за певними правилами, як для формули Гаусса-Лежандра.

Квадратурні формули інтерполяційного типу.

Щоб отримати інтерполяційну формулу для складних функцій нерідко використовують інтерполяційні поліноми, що наближено описують ці функції. За визначенням існує єдиний поліном (зазначеного типу) PМ(х) ступеня М, який проходить через (М+1) рівновіддалених точок.

При використанні поліному Лагранжа з рівновіддаленими вузлами для наближення функції f(x) на інтервалі [a, b], інтеграл від f(x) наближено обчислюється за допомогою інтегралу від PL(х), в результаті отримуємо формулу квадратури Ньютона-Котеса (Newton-Cotes). Коли початкова і кінцева точки х0 = а та хМ = b , формулу називають замкнутою. Формули для наближення поліномами М = 1, 2, 3 та 4 відповідно наведені у таблиці 1.

Таблиця 1

Назва формули

Формула

Похибка формули

Ступінь точності n

Трапецій

n = 1

Симпсона

n = 3

Симпсона 3/8

n = 3

Буля

n = 5

Схеми визначення інтегралу за формулами квадратури.

Замкнута формула квадратури Ньютона-Котеса.

При обчисленні інтегралу можемо отримати проміжних точок більше, ніж використовується у формулі квадратури. Тому для обчислення інтегралу на всьому заданому проміжку скористаємося складною формулою квадратури. Так складна формула трапецій має вигляд:

         (2)

   (3)

Складна формула Сімпсона:

        (4)

 (5)

Для того, щоб формула квадратури була замкнутою, потрібно, щоб кількість вузлових точок на проміжку [a, b] була кратна числу точок, на яких будується вибрана формула квадратури з врахуванням початкової та кінцевої точок кожної локальної формули квадратури.

 Розрахунок визначеного інтегралу  за замкнутою формулою Симпсона.

З рисунку бачимо, що для розрахунку визначеного інтегралу на проміжку [х0, х8] інтервал розбили на 4 підінтервали, формула Сімпсона використовувалася 4 рази. Якщо позначити кількість точок, що використовується в простій формулі Сімпсона n = 3 і число застосувань формули m = 4 (значення функції в точках х2, х4, х6 використовуються двічі), то розрахунок кількості вузлів матиме вигляд: . Аналогічно розраховується кількість точок за іншими формулами квадратури.

Завдання на лабораторну роботу.

У середовищі MatLAB створити програму для розв‘язання задачі (при розв‘язанні задач використовувати замкнуті формули квадратури, перевірити отриманий результат за допомогою функції quad8(fun, a, b, tol)):

Задача 1 (варіанти 1-4). Швидкість автомобіля v через час t складає (3t2 + 5) м/с (для варіанту 1). Розрахувати шляхом інтегрування пройдений автомобілем шлях за 60 секунд руху (х0 = 0, хk = 60). (Площа між графіком швидкість/час і віссю х дорівнює пройденому шляху).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 10):

Варіант

Формула

Функція швидкості v

1

Трапецій

(3 t 2 + 5)

2

Сімпсона

2/3 + 2)

3

Симпсона 3/8

(7 + 2х - 2/3)

4

Буля

(3 х 3/5 + 1)

Задача 2 (варіанти 5-8). На початку роботи напруга двигуна u через який проходить струм і (і0 = 0, іk = 5), змінюється за залежністю (для варіанту 5). Визначити шляхом інтегрування потужність, що необхідна для розгону двигуна. (Площа між графіком напруга/струм і віссю х дорівнює потужності).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 7):

Варіант

Формула

Функція напруги u

5

Трапецій

6

Сімпсона

7

Симпсона 3/8

8

Буля

Задача 3 (варіанти 9-12). Синусоїдальна напруга задається рівнянням . Шляхом інтегрування знайти середнє значення напруги за пів періоду (0 = 0, k = ). (Середнє значення величини розраховується за формулою ).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 9):

Варіант

Формула

Функція напруги v

9

Трапецій

10

Сімпсона

11

Симпсона 3/8

12

Буля


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78921. Пространство и время в социогуманитарном познании 30.5 KB
  Пространство и время в социогуманитарном познании. Время и пространство важнейшие онтологические характеристики которые являются конституирующими элементами любой картины мира. В классической теории познания сложившейся под влиянием естественнонаучного знания время рассматривалось как форма протекания всех механических органических и психических процессов условие движения изменения и развития будь то пространственное перемещение качественное изменение возникновение или гибель. Такое время объективный параметр процессуальности ...
78922. Понятие хронотипа и его роль в СГН 29 KB
  Культурнохудожественный хронотоп как единство художественного пространствавремени впервые концептуально и методологически раскрыл М. Ядром этих моделей и становится континуум пространствавремени. Время здесь сгущается уплотняется становится художественно зримым; пространство же интенсифицируется втягивается в движение времени сюжета истории. Приметы времени раскрываются в пространстве и пространство осмысливается и измеряется временем.
78923. Коммуникативность как условие создания СГЗ 28.5 KB
  Отдельный ученый индивидуальный субъект познания как правило включен в состав научного коллектива лаборатории кафедры института научного кружка или школы. Общение в формах сотрудничества соавторства и конкуренции научного руководства и ученичества преследует цели достижения взаимопонимания между учеными и в итоге обеспечивает достижение конечного результата получение нового знания. В процессе коммуникации ученых обществоведов и гуманитариев обеспечивается: а социализация молодых ученых усвоение и передача накопленного...
78924. Моральная ответственность за введение научных конвенций 31.5 KB
  Моральная ответственность за введение научных конвенций. Социальный характер конвенций в общественных и гуманитарных науках пытаются обосновать различными способами: посредством их связи с идеалами нормами и оценками имеющими социальное происхождение К. Социальный характер таких конвенций проявляется также в ответственности ученого за их введение изменение или отказ от них. Подробнее специфика конвенций социальногуманитарных наук раскрыта в работах К.
78925. Рациональное, объективное, истинное в СГН 32 KB
  При рассмотрении проблемы истины важно уяснить специфику ее классической неклассической и постнеклассической трактовки а также особенности современного понимания ряда частных вопросов: ситуативность и объективный характер истин социальногуманитарных наук; их взаимосвязь с социальной реальностью; экзистенциальноантропологический подход к истине в гуманитарном знании. Вследствие этого а также вследствие традиций и особенностей каждой из наук они могут пользоваться преимущественно классической неклассической или постнеклассической...
78926. Природа и типы объяснений в СГН 27 KB
  Объяснение логикометодологическая процедура экспликации сущности одного явления через другое имеющее статус достоверного очевидного. Научное объяснение должно отвечать двум требованиям: 1 адекватности его аргументы и характеристики должны иметь непосредственное отношение к предметам явлениям событиям которые они объясняют; 2 принципиальной проверяемости непосредственно или через следствия. По своей логической структуре объяснение представляет рассуждение или умозаключение посылки которого содержат информацию необходимую для...
78927. Объяснение и понимание в СГН 32.5 KB
  Объяснение и понимание в СГН. Объяснение логикометодологическая процедура экспликации сущности одного явления через другое имеющее статус достоверного очевидного. Научное объяснение должно отвечать двум требованиям: 1 адекватности его аргументы и характеристики должны иметь непосредственное отношение к предметам явлениям событиям которые они объясняют; 2 принципиальной проверяемости непосредственно или через следствия. По своей логической структуре объяснение представляет рассуждение или умозаключение посылки которого содержат...
78928. Понимание в гуманитарных науках 27.5 KB
  Понимание в гуманитарных науках. В гуманитарном знании в качестве оснований для объяснения часто выступают типологии а процедуры объяснения с необходимостью дополняются пониманием и интерпретацией. По эвристическим возможностям понимание не уступает рациональному способу познания но значительно расширяет палитру познавательных средств включая в них интуицию чувства переживание. Понимание предполагает проникновение на мотивационный интенциональный уровень человеческой деятельности либо а путем психологического вживания в цели...
78929. Объяснение и понимание в социологии, экономике, психологи 31.5 KB
  Объяснение и понимание в социологии экономике психологи и т. понимающей социологии во второй половине 19 века в философской подпочве социальнонаучного знания в лице Джамбаттиста Вико Фридриха Шлейермахера и всех тех кто различал социальный мир и мир природы и в связи с этим заявляли о необходимости выработки особых методов познания социального мира. Формирование из этой концепции понимания в социологии. Вычленение социологии как отдельного знания из социальной философии О.