12472

Чисельне інтегрування. Формули Ньютона-Котеса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №6 Чисельне інтегрування. Формули НьютонаКотеса. Мета роботи: познайомитися з методами чисельного інтегрування реалізувати заданий за варіантом метод інтегрування у середовищі МatLAB. Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файл

Украинкский

2013-04-27

508.05 KB

24 чел.

Лабораторна робота №6

Чисельне інтегрування. Формули Ньютона-Котеса.

Мета роботи: познайомитися з методами чисельного інтегрування, реалізувати заданий за варіантом метод інтегрування у середовищі МatLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує заданий метод інтегрування (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

В наукових та інженерних задачах часто потрібно обчислювати визначені інтеграли. Але не всі вони мають аналітичний розв’язок. Для знаходження таких інтегралів застосовуються методи чисельного інтегрування.

В основу чисельних методів інтегрування закладений фізичний зміст визначеного інтеграла. Визначений інтеграл дорівнює площі фігури, що обмежена неперервною підінтегральною функ-цією f(x) на проміжку [a, b] (рисунок).

Класично визначений інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбница:

Але ця формула малопридатна для практичного застосування, оскільки клас функцій, для яких первісні F(a) та F(b) можна виразити через елементарні функції дуже вузький. Крім того, часто на практиці підінтегральна функція задається таблично і саме поняття первісної втрачає сенс. Тому в наш час для обчислення інтегралів велике розповсюдження отримали чисельні методи.

Задача чисельного інтегрування полягає у знаходженні визначеного інтегралу від функції f(x) на інтервалі [a, b], обчислюючи функцію f(x) на скінченій множині точок.

Виберемо проміжні точки так, щоб a = x0 < x1 < < xM = b. Формулою чисельного інтегрування або формулою квадратури називають:

яка відповідає визначеному інтегралу

  (1)

У формулі – похибка інтегрування. Вона має сенс лише тоді, коли функція f(x) задана аналітично. Функції називають ваговими коефіцієнтами. Вузлові точки для чисельного інтегрування можуть вибиратися рівновіддаленими, як у формулах Сімпсона чи Буля, або розташованими за певними правилами, як для формули Гаусса-Лежандра.

Квадратурні формули інтерполяційного типу.

Щоб отримати інтерполяційну формулу для складних функцій нерідко використовують інтерполяційні поліноми, що наближено описують ці функції. За визначенням існує єдиний поліном (зазначеного типу) PМ(х) ступеня М, який проходить через (М+1) рівновіддалених точок.

При використанні поліному Лагранжа з рівновіддаленими вузлами для наближення функції f(x) на інтервалі [a, b], інтеграл від f(x) наближено обчислюється за допомогою інтегралу від PL(х), в результаті отримуємо формулу квадратури Ньютона-Котеса (Newton-Cotes). Коли початкова і кінцева точки х0 = а та хМ = b , формулу називають замкнутою. Формули для наближення поліномами М = 1, 2, 3 та 4 відповідно наведені у таблиці 1.

Таблиця 1

Назва формули

Формула

Похибка формули

Ступінь точності n

Трапецій

n = 1

Симпсона

n = 3

Симпсона 3/8

n = 3

Буля

n = 5

Схеми визначення інтегралу за формулами квадратури.

Замкнута формула квадратури Ньютона-Котеса.

При обчисленні інтегралу можемо отримати проміжних точок більше, ніж використовується у формулі квадратури. Тому для обчислення інтегралу на всьому заданому проміжку скористаємося складною формулою квадратури. Так складна формула трапецій має вигляд:

         (2)

   (3)

Складна формула Сімпсона:

        (4)

 (5)

Для того, щоб формула квадратури була замкнутою, потрібно, щоб кількість вузлових точок на проміжку [a, b] була кратна числу точок, на яких будується вибрана формула квадратури з врахуванням початкової та кінцевої точок кожної локальної формули квадратури.

 Розрахунок визначеного інтегралу  за замкнутою формулою Симпсона.

З рисунку бачимо, що для розрахунку визначеного інтегралу на проміжку [х0, х8] інтервал розбили на 4 підінтервали, формула Сімпсона використовувалася 4 рази. Якщо позначити кількість точок, що використовується в простій формулі Сімпсона n = 3 і число застосувань формули m = 4 (значення функції в точках х2, х4, х6 використовуються двічі), то розрахунок кількості вузлів матиме вигляд: . Аналогічно розраховується кількість точок за іншими формулами квадратури.

Завдання на лабораторну роботу.

У середовищі MatLAB створити програму для розв‘язання задачі (при розв‘язанні задач використовувати замкнуті формули квадратури, перевірити отриманий результат за допомогою функції quad8(fun, a, b, tol)):

Задача 1 (варіанти 1-4). Швидкість автомобіля v через час t складає (3t2 + 5) м/с (для варіанту 1). Розрахувати шляхом інтегрування пройдений автомобілем шлях за 60 секунд руху (х0 = 0, хk = 60). (Площа між графіком швидкість/час і віссю х дорівнює пройденому шляху).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 10):

Варіант

Формула

Функція швидкості v

1

Трапецій

(3 t 2 + 5)

2

Сімпсона

2/3 + 2)

3

Симпсона 3/8

(7 + 2х - 2/3)

4

Буля

(3 х 3/5 + 1)

Задача 2 (варіанти 5-8). На початку роботи напруга двигуна u через який проходить струм і (і0 = 0, іk = 5), змінюється за залежністю (для варіанту 5). Визначити шляхом інтегрування потужність, що необхідна для розгону двигуна. (Площа між графіком напруга/струм і віссю х дорівнює потужності).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 7):

Варіант

Формула

Функція напруги u

5

Трапецій

6

Сімпсона

7

Симпсона 3/8

8

Буля

Задача 3 (варіанти 9-12). Синусоїдальна напруга задається рівнянням . Шляхом інтегрування знайти середнє значення напруги за пів періоду (0 = 0, k = ). (Середнє значення величини розраховується за формулою ).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 9):

Варіант

Формула

Функція напруги v

9

Трапецій

10

Сімпсона

11

Симпсона 3/8

12

Буля


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11436. Инвестиции в основной капитал и во внеоборотные активы 113.5 KB
  Экономическое содержание вложений во внеоборотные активы. Амортизация и ее роль в воспроизводственном процессе. Источники финансирования прямых инвестиций. Нематериальные активы, источники формирования, способы начисления амортизации.
11437. РЕАКЦИИ ОКИСЛЕНИЯ - ВОССТАНОВЛЕНИЯ 97.5 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8. РЕАКЦИИ ОКИСЛЕНИЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ Введение. Реакции связанные с изменением степени окисления атомов в молекулах реагирующих веществ называются окислительновосстановительными. Степень окисления условный электрический з
11438. ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ 108.5 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9 ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ Основные понятия Характерной особенностью окислительновосстановительных реакций является возможность пространственного разделения процессов окисления и восстановления т.е. проведения их на отдельных электр
11439. Знакомство с процессором командного языка ОС семейства Windows 106.5 KB
  Лабораторная работа № 1 : Знакомство с процессором командного языка ОС семейства Windows. Для того чтобы сдать лабораторную работу все примеры приводимые в теоретическом материале должны быть представлены преподавателю в виде созданных студентом bat файлов. Вопросы: ...
11440. Командная консоль ОС семейства Windows 102 KB
  Лабораторная работа № 1 Командная консоль ОС семейства Windows Задания. Традиционно все имена идентификаторы объектов лабораторной работы должны содержать суффикс FIO например именование файла My_File_LAS.odt если ФИО студента Луканов Алесандр Сергеевич. Оз...
11441. Форматирования текста 72 KB
  Лабораторная работа № 3 1.Форматирования текста Примеры форматирования текста приведены в файлах form_str.py и form_operat.py. 1Форматирование данных строкового типа производиться методами / функциями соответствующего модуля. Полное описание модуля можно вызвать командой ...
11442. Архитектура персонального компьютера. Классификация программного обеспечения 81.5 KB
  Лабораторная работа № 1 Тема: Архитектура персонального компьютера. Классификация программного обеспечения. Цель работы: изучить устройство персонального компьютера приобрести навыки в исследовании и описании аппаратного и программного обеспечения ЭВМ; изучить
11443. ИЗУЧЕНИЕ РАБОТЫ ТРЁХЭЛЕКТРОДНОЙ ЛАМПЫ 2.1 MB
  Лабораторная работа № 14 ИЗУЧЕНИЕ РАБОТЫ ТРЁХЭЛЕКТРОДНОЙ ЛАМПЫ ЦЕЛЬ РАБОТЫ: 1. Изучить практическое применение явления термоэлектронной эмиссии. 2. Овладеть методикой определения основных параметров трёхэлектродной лампы. ПРИБОРЫ: 1.Лампа 6Н7С или 6Н2П 1 шт. ...
11444. Правила измерения физических величин и определение погрешностей измерений 61 KB
  Лабораторная работа №2 Правила измерения физических величин и определение погрешностей измерений Цель работы: изучить правила определения погрешностей измерений физических величин. Расчетные формулы ...