12472

Чисельне інтегрування. Формули Ньютона-Котеса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №6 Чисельне інтегрування. Формули НьютонаКотеса. Мета роботи: познайомитися з методами чисельного інтегрування реалізувати заданий за варіантом метод інтегрування у середовищі МatLAB. Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файл

Украинкский

2013-04-27

508.05 KB

24 чел.

Лабораторна робота №6

Чисельне інтегрування. Формули Ньютона-Котеса.

Мета роботи: познайомитися з методами чисельного інтегрування, реалізувати заданий за варіантом метод інтегрування у середовищі МatLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує заданий метод інтегрування (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

В наукових та інженерних задачах часто потрібно обчислювати визначені інтеграли. Але не всі вони мають аналітичний розв’язок. Для знаходження таких інтегралів застосовуються методи чисельного інтегрування.

В основу чисельних методів інтегрування закладений фізичний зміст визначеного інтеграла. Визначений інтеграл дорівнює площі фігури, що обмежена неперервною підінтегральною функ-цією f(x) на проміжку [a, b] (рисунок).

Класично визначений інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбница:

Але ця формула малопридатна для практичного застосування, оскільки клас функцій, для яких первісні F(a) та F(b) можна виразити через елементарні функції дуже вузький. Крім того, часто на практиці підінтегральна функція задається таблично і саме поняття первісної втрачає сенс. Тому в наш час для обчислення інтегралів велике розповсюдження отримали чисельні методи.

Задача чисельного інтегрування полягає у знаходженні визначеного інтегралу від функції f(x) на інтервалі [a, b], обчислюючи функцію f(x) на скінченій множині точок.

Виберемо проміжні точки так, щоб a = x0 < x1 < < xM = b. Формулою чисельного інтегрування або формулою квадратури називають:

яка відповідає визначеному інтегралу

  (1)

У формулі – похибка інтегрування. Вона має сенс лише тоді, коли функція f(x) задана аналітично. Функції називають ваговими коефіцієнтами. Вузлові точки для чисельного інтегрування можуть вибиратися рівновіддаленими, як у формулах Сімпсона чи Буля, або розташованими за певними правилами, як для формули Гаусса-Лежандра.

Квадратурні формули інтерполяційного типу.

Щоб отримати інтерполяційну формулу для складних функцій нерідко використовують інтерполяційні поліноми, що наближено описують ці функції. За визначенням існує єдиний поліном (зазначеного типу) PМ(х) ступеня М, який проходить через (М+1) рівновіддалених точок.

При використанні поліному Лагранжа з рівновіддаленими вузлами для наближення функції f(x) на інтервалі [a, b], інтеграл від f(x) наближено обчислюється за допомогою інтегралу від PL(х), в результаті отримуємо формулу квадратури Ньютона-Котеса (Newton-Cotes). Коли початкова і кінцева точки х0 = а та хМ = b , формулу називають замкнутою. Формули для наближення поліномами М = 1, 2, 3 та 4 відповідно наведені у таблиці 1.

Таблиця 1

Назва формули

Формула

Похибка формули

Ступінь точності n

Трапецій

n = 1

Симпсона

n = 3

Симпсона 3/8

n = 3

Буля

n = 5

Схеми визначення інтегралу за формулами квадратури.

Замкнута формула квадратури Ньютона-Котеса.

При обчисленні інтегралу можемо отримати проміжних точок більше, ніж використовується у формулі квадратури. Тому для обчислення інтегралу на всьому заданому проміжку скористаємося складною формулою квадратури. Так складна формула трапецій має вигляд:

         (2)

   (3)

Складна формула Сімпсона:

        (4)

 (5)

Для того, щоб формула квадратури була замкнутою, потрібно, щоб кількість вузлових точок на проміжку [a, b] була кратна числу точок, на яких будується вибрана формула квадратури з врахуванням початкової та кінцевої точок кожної локальної формули квадратури.

 Розрахунок визначеного інтегралу  за замкнутою формулою Симпсона.

З рисунку бачимо, що для розрахунку визначеного інтегралу на проміжку [х0, х8] інтервал розбили на 4 підінтервали, формула Сімпсона використовувалася 4 рази. Якщо позначити кількість точок, що використовується в простій формулі Сімпсона n = 3 і число застосувань формули m = 4 (значення функції в точках х2, х4, х6 використовуються двічі), то розрахунок кількості вузлів матиме вигляд: . Аналогічно розраховується кількість точок за іншими формулами квадратури.

Завдання на лабораторну роботу.

У середовищі MatLAB створити програму для розв‘язання задачі (при розв‘язанні задач використовувати замкнуті формули квадратури, перевірити отриманий результат за допомогою функції quad8(fun, a, b, tol)):

Задача 1 (варіанти 1-4). Швидкість автомобіля v через час t складає (3t2 + 5) м/с (для варіанту 1). Розрахувати шляхом інтегрування пройдений автомобілем шлях за 60 секунд руху (х0 = 0, хk = 60). (Площа між графіком швидкість/час і віссю х дорівнює пройденому шляху).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 10):

Варіант

Формула

Функція швидкості v

1

Трапецій

(3 t 2 + 5)

2

Сімпсона

2/3 + 2)

3

Симпсона 3/8

(7 + 2х - 2/3)

4

Буля

(3 х 3/5 + 1)

Задача 2 (варіанти 5-8). На початку роботи напруга двигуна u через який проходить струм і (і0 = 0, іk = 5), змінюється за залежністю (для варіанту 5). Визначити шляхом інтегрування потужність, що необхідна для розгону двигуна. (Площа між графіком напруга/струм і віссю х дорівнює потужності).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 7):

Варіант

Формула

Функція напруги u

5

Трапецій

6

Сімпсона

7

Симпсона 3/8

8

Буля

Задача 3 (варіанти 9-12). Синусоїдальна напруга задається рівнянням . Шляхом інтегрування знайти середнє значення напруги за пів періоду (0 = 0, k = ). (Середнє значення величини розраховується за формулою ).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 9):

Варіант

Формула

Функція напруги v

9

Трапецій

10

Сімпсона

11

Симпсона 3/8

12

Буля


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

33300. Права налоговых органов. Обязанности налоговых органов и их должностых лиц 23.5 KB
  Права налоговых органов. Обязанности налоговых органов и их должностых лиц. Организационная сисма управления налогами: 1общее управление – а определение осн. принципов налогообложения; б разработка налог.
33301. Взыскание налогов и сборов налоговыми органами и порядок применения принудительных мер 25 KB
  Налогоплательщик обязан уплачивать законно установленные налоги и сборы а также в случае несвоевременной уплаты налога пеню. Взыскиваемые с налогоплательщика суммы в первую очередь направляются на погашение недоимки по налогам а затем пени. Неисполнение или ненадлежащее исполнение обязанности по уплате налога является основанием для направления налогоплательщику требования об уплате налога. Требование об уплате налога должно быть направлено налогоплательщику не позднее трех месяцев после наступления срока уплаты налога.
33302. Налоговые и таможенные органы РФ как участники налоговых отношений 25 KB
  Налоговые и таможенные органы РФ как участники налоговых отношений Государственная налоговая служба ГНС ведомство трехуровневое. Она состоит из центрального аппарата налоговых инспекций по субъектам Федерации и налоговых инспекций по районам и городам. Налоговые инспекции имеют право: проводить плановые и контрольные проверки на предприятиях в учреждениях организациях не реже одного раза в два года; получать от налогоплательщиков необходимые сведения по вопросам проверок; приостанавливать операции предприятий организаций и...
33303. Виды ответственности за налоговые правонарушения и основные нормы по НК РФ 30.5 KB
  № 9431 О налоговых органах РФ налоговым органам предоставлено право налагать административные штрафы на должностных лиц организаций виновных в непредставлении несвоевременном представлении или представлении по неустановленной форме бухгалтерских отчетов балансов расчетов деклараций и других документов связанных с исчислением и уплатой налогов в бюджет в размере от двух до пяти минимальных размеров оплаты труда на каждого виновного. За те же действия совершенные повторно административный штраф устанавливается в размере от пяти до...
33304. Показатели, характеризующие эффективность работы налоговых органов 25 KB
  Показатели целесообразно разделить на три группы: параметры отражающие степень участия субъекта Российской Федерации в части обеспечения поступлений в федеральный и территориальный бюджеты группа основных показателей; параметры соответствующие результатам непосредственной работы с налогоплательщиками группа дополнительных показателей; показатели отражающие условия работы налоговых органов учитывающие демографический территориальный социальный экономический и другие факторы группа конструктивных уточняющих показателей....
33305. Обжалование актов налоговых органов и действий или бездействия их должностных лиц 28 KB
  В случае обжалования актов налоговых органов действий их должностных лиц в суд по заявлению налогоплательщика плательщика сборов налогового агента исполнение обжалуемых актов совершение обжалуемых действий могут быть приостановлены судом в порядке установленном соответствующим процессуальным законодательством Российской Федерации. В случае обжалования актов налоговых органов действий их должностных лиц в вышестоящий налоговый орган по заявлению налогоплательщика плательщика сборов налогового агента исполнение обжалуемых актов...
33306. Пеня: сферы его применения и порядок расчета суммы платежа по нему с организацией и с банков 27 KB
  Сумма соответствующих пеней уплачивается помимо причитающихся к уплате сумм налога или сбора и независимо от применения других мер обеспечения исполнения обязанности по уплате налога или сбора а также мер ответственности за нарушение законодательства о налогах и сборах. Пеня начисляется за каждый календарный день просрочки исполнения обязанности по уплате налога или сбора начиная со следующего за установленным законодательством о налогах и сборах дня уплаты налога или сбора. Подача заявления о предоставлении отсрочки рассрочки или...
33307. Регистрация лиц (юридических, физических), их постановка на учет в налоговых органах и присвоение ИНН. 29.5 KB
  Регистрация лиц юридических физических их постановка на учет в налоговых органах и присвоение ИНН. Учет организаций и физических лиц В целях проведения налогового контроля налогоплательщики подлежат постановке на учет в налоговых органах соответственно по месту нахождения организации месту нахождения ее обособленных подразделений месту жительства физического лица а также по месту нахождения принадлежащего им недвижимого имущества и транспортных средств и по иным основаниям предусмотренным настоящим Кодексом. Постановка на учет...
33308. Налоговая декларация и ее значение и основные разделы 26.5 KB
  В каждой налоговой декларации указывается ИНН присвоенный налогоплательщику. Форма налоговой декларации если она не утверждена законодательством о налогах и сборах разрабатывается МНС РФ. Основные федеральные региональные и местные налоги имеют инструкции по заполнению налоговой декларации издаваемые МНС по согласованию с МФ РФ. При обнаружении налогоплательщиком в поданной им налоговой декларации ошибок приводящих к занижению суммы налога подлежащей уплате он обязан внести необходимые изменения в налоговую декларацию.