12472

Чисельне інтегрування. Формули Ньютона-Котеса

Лабораторная работа

Математика и математический анализ

Лабораторна робота №6 Чисельне інтегрування. Формули НьютонаКотеса. Мета роботи: познайомитися з методами чисельного інтегрування реалізувати заданий за варіантом метод інтегрування у середовищі МatLAB. Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файл

Украинкский

2013-04-27

508.05 KB

24 чел.

Лабораторна робота №6

Чисельне інтегрування. Формули Ньютона-Котеса.

Мета роботи: познайомитися з методами чисельного інтегрування, реалізувати заданий за варіантом метод інтегрування у середовищі МatLAB.

Завдання до виконання роботи: Доповнити систему МatLAB файлом, що реалізує заданий метод інтегрування (відповідно до варіанту).

Теоретичні відомості.

В наукових та інженерних задачах часто потрібно обчислювати визначені інтеграли. Але не всі вони мають аналітичний розв’язок. Для знаходження таких інтегралів застосовуються методи чисельного інтегрування.

В основу чисельних методів інтегрування закладений фізичний зміст визначеного інтеграла. Визначений інтеграл дорівнює площі фігури, що обмежена неперервною підінтегральною функ-цією f(x) на проміжку [a, b] (рисунок).

Класично визначений інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбница:

Але ця формула малопридатна для практичного застосування, оскільки клас функцій, для яких первісні F(a) та F(b) можна виразити через елементарні функції дуже вузький. Крім того, часто на практиці підінтегральна функція задається таблично і саме поняття первісної втрачає сенс. Тому в наш час для обчислення інтегралів велике розповсюдження отримали чисельні методи.

Задача чисельного інтегрування полягає у знаходженні визначеного інтегралу від функції f(x) на інтервалі [a, b], обчислюючи функцію f(x) на скінченій множині точок.

Виберемо проміжні точки так, щоб a = x0 < x1 < < xM = b. Формулою чисельного інтегрування або формулою квадратури називають:

яка відповідає визначеному інтегралу

  (1)

У формулі – похибка інтегрування. Вона має сенс лише тоді, коли функція f(x) задана аналітично. Функції називають ваговими коефіцієнтами. Вузлові точки для чисельного інтегрування можуть вибиратися рівновіддаленими, як у формулах Сімпсона чи Буля, або розташованими за певними правилами, як для формули Гаусса-Лежандра.

Квадратурні формули інтерполяційного типу.

Щоб отримати інтерполяційну формулу для складних функцій нерідко використовують інтерполяційні поліноми, що наближено описують ці функції. За визначенням існує єдиний поліном (зазначеного типу) PМ(х) ступеня М, який проходить через (М+1) рівновіддалених точок.

При використанні поліному Лагранжа з рівновіддаленими вузлами для наближення функції f(x) на інтервалі [a, b], інтеграл від f(x) наближено обчислюється за допомогою інтегралу від PL(х), в результаті отримуємо формулу квадратури Ньютона-Котеса (Newton-Cotes). Коли початкова і кінцева точки х0 = а та хМ = b , формулу називають замкнутою. Формули для наближення поліномами М = 1, 2, 3 та 4 відповідно наведені у таблиці 1.

Таблиця 1

Назва формули

Формула

Похибка формули

Ступінь точності n

Трапецій

n = 1

Симпсона

n = 3

Симпсона 3/8

n = 3

Буля

n = 5

Схеми визначення інтегралу за формулами квадратури.

Замкнута формула квадратури Ньютона-Котеса.

При обчисленні інтегралу можемо отримати проміжних точок більше, ніж використовується у формулі квадратури. Тому для обчислення інтегралу на всьому заданому проміжку скористаємося складною формулою квадратури. Так складна формула трапецій має вигляд:

         (2)

   (3)

Складна формула Сімпсона:

        (4)

 (5)

Для того, щоб формула квадратури була замкнутою, потрібно, щоб кількість вузлових точок на проміжку [a, b] була кратна числу точок, на яких будується вибрана формула квадратури з врахуванням початкової та кінцевої точок кожної локальної формули квадратури.

 Розрахунок визначеного інтегралу  за замкнутою формулою Симпсона.

З рисунку бачимо, що для розрахунку визначеного інтегралу на проміжку [х0, х8] інтервал розбили на 4 підінтервали, формула Сімпсона використовувалася 4 рази. Якщо позначити кількість точок, що використовується в простій формулі Сімпсона n = 3 і число застосувань формули m = 4 (значення функції в точках х2, х4, х6 використовуються двічі), то розрахунок кількості вузлів матиме вигляд: . Аналогічно розраховується кількість точок за іншими формулами квадратури.

Завдання на лабораторну роботу.

У середовищі MatLAB створити програму для розв‘язання задачі (при розв‘язанні задач використовувати замкнуті формули квадратури, перевірити отриманий результат за допомогою функції quad8(fun, a, b, tol)):

Задача 1 (варіанти 1-4). Швидкість автомобіля v через час t складає (3t2 + 5) м/с (для варіанту 1). Розрахувати шляхом інтегрування пройдений автомобілем шлях за 60 секунд руху (х0 = 0, хk = 60). (Площа між графіком швидкість/час і віссю х дорівнює пройденому шляху).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 10):

Варіант

Формула

Функція швидкості v

1

Трапецій

(3 t 2 + 5)

2

Сімпсона

2/3 + 2)

3

Симпсона 3/8

(7 + 2х - 2/3)

4

Буля

(3 х 3/5 + 1)

Задача 2 (варіанти 5-8). На початку роботи напруга двигуна u через який проходить струм і (і0 = 0, іk = 5), змінюється за залежністю (для варіанту 5). Визначити шляхом інтегрування потужність, що необхідна для розгону двигуна. (Площа між графіком напруга/струм і віссю х дорівнює потужності).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 7):

Варіант

Формула

Функція напруги u

5

Трапецій

6

Сімпсона

7

Симпсона 3/8

8

Буля

Задача 3 (варіанти 9-12). Синусоїдальна напруга задається рівнянням . Шляхом інтегрування знайти середнє значення напруги за пів періоду (0 = 0, k = ). (Середнє значення величини розраховується за формулою ).

Розв‘язати задачу, використовуючи квадратурну формулу (число підінтервалів – не меньше 9):

Варіант

Формула

Функція напруги v

9

Трапецій

10

Сімпсона

11

Симпсона 3/8

12

Буля


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20342. ПРИЧИНЫ И ЗНАЧЕНИЕ ПЛЮРАЛИЗМА ФИЛОСОФСКИХ УЧЕНИЙ. ОСНОВНОЙ ВОПРОС ФИЛОСОФИИ И ОСНОВНЫЕ ФИЛОСОФСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИЛОСОФИИ КАК НАУКИ 38 KB
  ОСНОВНОЙ ВОПРОС ФИЛОСОФИИ И ОСНОВНЫЕ ФИЛОСОФСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФИЛОСОФИИ КАК НАУКИ. Для многих это признак слабости философии. В философии сегодня наиболее полно представлена самобытность человека.
20343. СПЕЦИФИКА ОБЪЕКТИВНОГО ИДЕАЛИЗМА. ОБЪЕКТИВНЫЙ ИДЕАЛИЗМ, РЕЛИГИЯ, РЕЛИГИОЗНАЯ ФИЛОСОФИЯ. ОБЪЕКТИВНЫЙ ИДЕАЛИЗМ ПЛАТОНА, ФОМЫ АКВИНСКОГО, Г. ГЕГЕЛЯ. ПЕРСПЕКТИВЫ ОБЪЕКТИВНОГО ИДЕАЛИЗМА 52 KB
  Но размышляя он приходит к выводу что известный тезис христианства о творении мира из ничто ничего нужно понимать так: есть некое Ничто существующее независимо от Бога. Но Бердяев считал что в таком случае никак нельзя обосновать свободу какая это свобода если все в мире подконтрольно Богу и все грехи мира падают на Бога. Но лишает христианского Бога роли господина всего существующего что для большинства христиан абсолютно неприемлемо. мы в силу общественной привычки и обучения часто без особых доказательств не говоря уже о...
20344. СПЕЦИФИКА СУБЪЕКТИВНОГО ИДЕАЛИЗМА. СОФИСТИКА, СКЕПТИЦИЗМ И СУБЪЕКТИВНЫЙ ИДЕАЛИЗМ. ИСТОРИЯ СТАНОВЛЕНИЯ СУБЪЕКТИВНОГО ИДЕАЛИЗМА ОТ БЕРКЛИ К КАНТУ. ОСНОВНЫЕ ТЕМЫ И ОСНОВЫ КРИТИКИ СУБЪЕКТИВНОГО ИДЕАЛИЗМА 63.5 KB
  Си философское направление обостренно воспринимающее проблему тему ограниченности человеческого опыта знания откуда для него объективно вытекает что сознание человека творит мир. Для крайнего последовательного СИ это означает не только познавательно гносеологически творит мир т. человек своим сознанием делает то что мы называем считаем материальным миром. В античности склонялись либо к простому релятивизму у каждого свои взгляды на мир либо к благоразумию критика философских взглядов одновременно не отвергала а наоборот...
20345. ИСТОРИЧЕСКИЕ ФОРМЫ МАТЕРИАЛИЗМА. ФИЛОСОФСКИЕ, ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫЕ И СОЦИАЛЬНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ НОВОГО МАТЕРИЛАЗИМА В СЕР. 19 В. НОВЫЙ МАТЕРИАЛИЗМ В НАЧАЛЕ III ТЫСЯЧЕЛЕТИЯ 37 KB
  Это связано с тем что они делали ффию так или иначе критикуя или не соглашаясь с мифологией например сводя мир к водному началу Фалес Первым собственно М был Демокрит. Атомов и пустоты было Демокриту достаточно не только чтобы построить мир но и разработать первое в ффии учение о детерминизме; сменим им или противопоставив его мифологическим учениям о судьбе. Определенное положение мира в момент времени Т однозначно определяет положение мира в следующий момент времени т. если бы мир откатили на пять лет назад Вы снова бы читали о...
20346. СПЕЦИФИКА И ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ОНТОЛОГИИ. ЕДИНСТВО И МНОГООБРАЗИЕ МАТЕРИАЛЬНОГО МИРА. ПОНИМАНИЕ МАТЕРИИ В НОВОМ МАТЕРИАЛИЗМЕ. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИИ. ДИАЛЕКТИЧЕСКАЯ И «ДУРНАЯ» БЕСКОНЕЧНОСТЬ. ПРИНЦИП МАТЕРИАЛЬНОГО ЕДИНСТВА МИРА 49.5 KB
  ПОНИМАНИЕ МАТЕРИИ В НОВОМ МАТЕРИАЛИЗМЕ. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА И ХАРАКТЕРИСТИКИ МАТЕРИИ. Это связано не только с тем материализму понятие материи ближе. В понятии материи сохранятся продуктивная диалектическая жизненная двойственность которой лишена категория бытия.
20347. СУБСТАНЦИАЛЬНАЯ, СУБЪЕКТИВНО-ИДЕАЛИСТИЧЕСКАЯ, РЕЛЯЦИОННАЯ КОНЦЕПЦИИ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ. ПРОСТАНСТВО И ВРЕМЯ КАК АТРИБУТЫ МАТЕРИИ. ПРОБЛЕМА ТЕМПОРАЛЬНОСТИ 33.5 KB
  СУБСТАНЦИАЛЬНАЯ СУБЪЕКТИВНОИДЕАЛИСТИЧЕСКАЯ РЕЛЯЦИОННАЯ КОНЦЕПЦИИ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ. Гипотезы об отдельном существовании времени как такового впечатляют но понимаются с трудом. Кинг чтото подобное использовал в своих по крайней мере двух произведениях; Сказка о потерянном времени; машины времени 2. Субъективноидеалистическая трактовка пространства и времени.
20348. ПОНИМАНИЕ ДВИЖЕНИЯ В НОВОМ МАТЕРИАЛИЗМЕ. ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИИ И ДИАЛЕКТИКА ИХ ВЗАИМОСВЯЗИ. ДВИЖЕНИЕ И РАЗВИТИЕ 43 KB
  ПОНИМАНИЕ ДВИЖЕНИЯ В НОВОМ МАТЕРИАЛИЗМЕ. ОСНОВНЫЕ ФОРМЫ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИИ И ДИАЛЕКТИКА ИХ ВЗАИМОСВЯЗИ. Общее понимание движения в новом материализме. Специфику понимания движения в новом материализме можно дать как результат синтез итог диалектической спирали в области истории философии.
20349. ПРОБЛЕМА АНТРОПОСОЦИОГЕНЕЗА. ТРУДОВАЯ ТЕОРИЯ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ЧЕЛОВЕКА И ОБЩЕСТВА. ПРОБЛЕМА НЕДОСТАЮЩЕГО ЗВЕНА 45 KB
  ТРУДОВАЯ ТЕОРИЯ ПРОИСХОЖДЕНИЯ ЧЕЛОВЕКА И ОБЩЕСТВА. АСН процесс происхождения человека и общества. Сложность этого слова не попытка усложнить дело а стремление уже в названии подчеркнуть неразрывную связь происхождения человека и общества а также длительность последовательность процесса происхождения антропос от человека; социо общество; генез от генезиса. Победы Лоренца в споре оправдывает евгенику науку и практику вмешательства в генетику человека для избавления последнего от всех больных и неправильных генов.
20350. ПРОБЛЕМА СОЗНАНИЯ В ФИЛОСОФИИ. ОБЪЕКТИВНО-ИДЕАЛИСТИЧЕСКОЕ, ВУЛЬГАРНО-МАТЕРИАЛИСТИЧЕСКОЕ И ДИАЛЕКТИКО-МАТЕРИАЛИСТИЧЕСКОЕ ПОНИАНИЕ СОЗНАНИЕ. ТЕОРИЯ ОТРАЖЕНИЯ И СОЗНАНИЕ. ПРОБЛЕМА ИДЕАЛЬНОГО 45.5 KB
  ОБЪЕКТИВНОИДЕАЛИСТИЧЕСКОЕ ВУЛЬГАРНОМАТЕРИАЛИСТИЧЕСКОЕ И ДИАЛЕКТИКОМАТЕРИАЛИСТИЧЕСКОЕ ПОНИАНИЕ СОЗНАНИЕ. ТЕОРИЯ ОТРАЖЕНИЯ И СОЗНАНИЕ. сознание; 1. В истории развития взглядов на сознание отметим два момента.